- Đề thi vào trường PTNK năm 2000 [1] có bài toán hình học có nội dung như sau (đề bài giữ nguyên ý trong đề gốc nhưng được tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán 1. - Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. - Đường tròn nội tiếp tiếp xúc CA, AB tại E, F . - Chứng minh rằng AH 2 = 2EK.F L. - Bài toán là ứng dụng cơ bản của tính chất đường tròn nội tiếp định lý Thales và định lý Pythagore. - Cuối đề bài cũng đặt ra câu hỏi là xét bài toán với tam giác thường ? Đó là vấn đề thú vị khi thay thế góc vuông hiển nhiên bài toán không thể đúng nếu giữ nguyên các giả thiết. - Tuy vậy nếu phát triển giả thiết gốc thêm một chút ta sẽ thu được bài toán mới rất thú vị như sau Bài toán 2. - Cho tam giác ABC đường cao AH. - Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc CA, AB tại E, F . - Chứng minh rằng AH 2 = .EK.F L. - Ta thấy ngay khi tam giác vuông tại A thì IA = 2IJ ta thu được bài toán ban đầu. - Thực chất tác giả đạt được bài toán trên nhờ một số biến đổi lượng giác tương tự cách làm ở bài toán gốc. - Tuy vậy trong quá trình giải thì tìm được lời giải như trên thực sự đã thoát ly được ý tưởng lượng giác và làm bài toán trở nên ý nghĩa hơn. - Thực chất bài toán 1 vẫn còn rất nhiều điều thú vị chờ các bạn khám phá. - Bài toán 2 mới chỉ là khai thác có tính ban đầu, các bạn hãy suy nghĩ thêm về vấn đề này. - Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2001 [1] có bài toán hình học có nội dung như sau (đề bài giữ nguyên ý trong đề gốc nhưng được tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán 3. - Chứng minh rằng H luôn thuộc một đường tròn cố định khi P, Q di chuyển. - Chứng minh rằng nếu. - a) Ta thấy các tam giác KAP và LAQ cân tại K, L nên ∠KAP + ∠LAQ = 180. - Từ đó H thuộc đường tròn đường kính IA cố định. - Ta có điều phải chứng minh. - Bài toán có thể được khai thác như sau Bài toán 4. - a) Chứng minh rằng đối xứng của A qua P Q luôn thuộc một đường tròn cố định khi P, Q di chuyển. - Các bạn hãy làm như một bài luyện tập Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2003 [1] có bài toán hình học có nội dung như sau (đề bài giữ nguyên ý trong đề gốc nhưng được tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán 5. - a) Cho đường tròn (O) và một điểm I cố định. - Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng quay quanh I. - b) Cho đường tròn (O) và đường thẳng d ở ngoài (O). - Đường tròn đường kính P O cắt (O) tại M, N. - Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển. - Cả hai bài toán trên thực chất đều là các vấn đề đã rất kinh điển và đã xuất hiện trước đó rất lâu trong nhiều tài liệu. - Tôi sẽ không đi sâu vào giải mà sẽ mở rộng và khai thác cả hai bài toán đó Bài toán 6. - Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên (O). - a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác P MN luôn đi qua một điểm cố định khác P. - Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác P KL luôn đi qua một điểm cố định khác P . - Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác P MN cắt P I tại S khác P . - Dây KL đi qua J cố định tương tự câu a) đường tròn ngoại tiếp tam giác P KL đi qua T cố định khác P . - Đây là bài toán rất tổng quát và nhiều ý nghĩa. - Chúng ta thường hay gặp những trường hợp đặc biệt của bài toán này trong nhiều bài toán ở các kỳ thi THCS ở Việt Nam. - Sau đây là một ứng dụng của phần b) bài gốc Bài toán 7. - Cho đường tròn (O) nằm trong hai dải đường thẳng song song a, b. - Chứng minh rằng P M luôn đi qua điểm cố định khi P di chuyển. - Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2010 [1] có bài toán hình học có nội dung như sau (đề bài giữ nguyên ý trong đề gốc nhưng được tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán 8. - Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định với dây BC cố định không là _ đường kính và A di chuyển trên cung lớn BC . - Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K khác A. - a) Chứng minh rằng K luôn thuộc một đường tròn cố định khi A di chuyển. - b) Chứng minh rằng AK đi qua O. - Vậy tứ giác KBOC nội tiếp hay K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC cố định. - Bài toán gốc phát biểu câu b) là chứng minh AK đi qua điểm cố định nhưng rõ ràng điểm cố định là O đã xuất hiện ngay trong đề nên phát biểu theo cách chứng minh thẳng hàng thuận tiện hơn. - Nếu để ký kỹ ta cũng dễ thấy tâm ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC. - Bài toán này tuy đơn giản xong có khá nhiều ý tưởng để phát triển, sau đây là một phát triển như thế Bài toán 9. - (K) là một đường tròn cố định đi qua B, C lần lượt cắt CA, AB tại E, F khác B, C. - Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH và tam giác ABG cắt nhau tại D khác A. - Chứng minh rằng AD luôn đi qua một điểm cố định khi A di chuyển. - Vậy nên ∠BDC không đổi, D sẽ nằm trên đường tròn (L) cố định. - Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2012 [1] có bài toán hình học có nội dung như sau (đề bài giữ nguyên ý trong đề gốc nhưng được tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán 10. - Cho tam giác ABC vuông tại A. - Ta dễ thấy các tam giác AMC, BDM vuông. - Do đó các tam giác AMC, BDM đồng dạng có đường HM KD cao tương ứng là AH, BK nên. - Từ đó dễ thấy trong tam giác DMC đường thẳng qua HC KM H song song với MD và đường thẳng qua K song song MC cắt nhau trên CD, vậy E thuộc CD. - Cách giải của bài toán chỉ thuần túy kiến thức lớp 8 về tam giác đồng dạng và định lý Thales. - Cho tam giác ABC có E, F lần lượt thuộc cạnh CA, AB. - Bài toán phát biểu trên tam giác vuông thì cũng sẽ có một cách nhìn trên tam giác bất kỳ như sau Bài toán 11. - Cho tam giác ABC với M là một điểm trên cạnh BC. - Tiếp tuyến tại M của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC cắt đường thẳng qua B song song AC tại D. - Do MD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM nên ∠MAC = ∠BMD = ∠MAP . - Bài toán thực chất là ứng dụng tính chất tam giác đồng dạng chung cạnh, một trong những kiến thức cơ bản của các tam giác đồng dạng. - Bài toán còn nhiều vấn đề để khai thác xin dành điều đó cho bạn đọc. - Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2014 [1] có bài toán hình học có nội dung như sau (đề bài giữ nguyên ý trong đề gốc nhưng được tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán 12. - Gọi I, J là tâm nội tiếp các tam giác AHB, AHC. - Bài toán thực chất là ứng dụng một hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có thể tìm một lời giải dùng kiến thức lớp 8 như sau. - Cho tam giác ABC phân giác BE, CF cắt nhau tại I. - Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BE.CF = 2IB.IC. - (AB + BC + CA)2 2BC 2 + 2BC.BA + 2BC.CA + 2AB.AC = AB 2 + BC 2 + CA2 + 2BC.BA + 2BC.CA + 2AB.AC BC 2 = AB 2 + AC 2 Tương đương tam giác ABC vuông tại A. - Trở lại bài toán A L K J I B M H N C Hình 10. - Áp dụng bổ đề cho tam giác ABH ta có BK.AM = 2IB.IA hay AI BK = (1). - 2BI 2AJ AJ Ta dễ thấy ∠BAN = ∠BAH + ∠HAN = ∠ACB + ∠NAC = ∠ANB do đó tam giác ABN cân. - Vậy trong tam giác AMN các đường cao MJ, IN, AH đồng quy. - Ý chính của bài toán là tập trung chứng minh MJ ⊥ AN, từ đây ta dễ thấy tứ giác MIJN nội tiếp, đây cũng là một ý hay từ đề toán gốc. - Ta có thể mở rộng bài toán như sau Bài toán 13. - Cho tam giác ABC có các điểm E, F lần lượt thuộc tia CB, BC sao cho tam giác ∠BAF = ∠BCA, ∠CAE = ∠ABC. - I, J là tâm nội tiếp tam giác ABE, ACF . - Chứng minh rằng bốn điểm M, N, I, J cùng thuộc một đường tròn. - Ta có điều phải chứng 2 2 minh. - Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2015 [3] có bài toán hình học có nội dung như sau (đề bài giữ một số ý tưởng trong đề gốc nhưng được tác giả chỉnh sửa lại một chút cho đẹp hơn) Bài toán 14. - Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I và nội tiếp đường tròn (O). - Đường tròn qua O, I tiếp xúc IA cắt trung trực BC tại F khác O. - P là một điểm di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. - a) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác P OF luôn đi qua điểm E cố định khi P thay đổi. - KE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OIE tại L khác E. - Chứng minh rằng L nằm trên (O). - a) Gọi AI cắt (O) tại E khác A thì E là tâm ngoại tiếp tam giác IBC. - Từ đó EP tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác P OF hay tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác P OF đi qua E cố định. - Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông ta thấy EF.EO = EI 2 = EB 2 = EM.EN = EM.2EO. - Từ đó tam giác OL = OE nên L thuộc (O). - Ý a) chủ yếu dùng để phát hiện điểm E, vì yếu tố cố định không có mặt trong đề bài nên bài toán có phần thú vị. - Bước sau dùng biến đổi góc để chỉ ra tam giác cân và chứng minh điểm thuộc đường tròn bằng định nghĩa là một ý rất thú vị, vì thường khi biến đổi góc để chứng minh điểm thuộc đường tròn ta chỉ hay suy nghĩ đi chứng minh góc nnội tiếp bằng nhau rồi để đưa về tứ giác nội tiếp. - Ý b) tác giả xây dựng lại từ hai ý bài toán gốc dựa trên một kết quả đã có trong kỳ thi thử vào chuyên KHTN năm 2012. - Các đề thi toán chuyên của trường PTNK từ năm 1999 tới 2015 có nhiều bài toán hay có ý tưởng. - Trong bài viết không bao quát hết tất cả các bài toán hình học trong 15 năm vì ở đây tác giả chỉ chọn lọc ra các bài toán mà theo ý chủ quan của tác giả là hay và mang ý nghĩa. - Quan điểm hình học đẹp được thể hiện xuyên suốt bài viết do đó một số bài toán có nội dung cực trị, bất đẳng thức hoặc tính toán cũng không được đề cập tới