ĐI TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT DÃY SỐ

- ĐI TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT DÃY SỐ 2  2.
- 2 lim x un  un.
- uˆn 2n1  1 un  n1 2 TRẦN DUY SƠN Xuân kỷ sửu 2009 1 Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Giới thiệu Dãy số là một phần của Đại số cũng như Giải tích toán học.
- Dãy số đóng một vai trò cực kì quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống.
- Trong các kì thi HSG quốc gia, IMO (Olympic toán học quốc tế), hay những kì thi giải toán của nhiều tạp chí toán học các bài toán về dãy số được xuất hiện khá nhiều và được đánh giá ở mức độ khó.
- Các bạn học sinh cũng đã được làm quen với dãy số từ rất sớm, từ hồi tiểu học chúng đã được làm quen với các bài toán về dãy số như: tìm quy luật của một dãy số đơn giản,… Đây không phải một giáo trình về lí thuyết dãy số mà chỉ là một chuyên đề nhỏ trình bày một vấn đề nhỏ trong lĩnh vực dãy số.
- Tập tài liệu này gần như một bài viết mở, như một cuộc trao đổi, trò chuyên, trình bày con đường đi tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số cơ bản, từ đó ứng dụng để giải một số bài toán.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Một số kí hiệu dùng trong tập tài liệu  CSN – Cấp số nhân  CSC – Cấp số cộng  CTTQ – Công thức tổng quát 3.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Mục lục Trang Đi tìm công thức tổng quát dãy số.
- 5 Phương trình sai phân tuyến tính.
- 14 Sử dụng phép thế lượng giác để xác định CTTQ dãy số.
- 16 Các bài toán dãy số chọn lọc.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trong phần này, tôi và các bạn sẽ cùng nhau tìm hiểu và nêu ý tưởng tìm CTTQ của một số dạng dãy số bản.
- Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một bài tập đơn giản trong sách giáo khoa sau: Ví dụ 1: (Bài 45, trang 123, Đại số & Giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số (u n ) xác định bởi: un1  1 2n1  1 u1  2 và un  n  2.
- Chứng minh rằng un  n1 2 2 Với mọi số nguyên dương n.
- Nhưng làm như thế thì chẳng có gì thú vị, vậy tại sao chúng ta không thử đi tìm một cách giải khác cho bài toán này! Ta nhận thấy đề bài cho một công thức truy hồi xác định dãy (u n ) và cho số hạng đầu tiên u1  2 nên ý tưởng của chúng ta sẽ là tìm cách đưa (u n ) về một CSC hoặc CSN để dễ dàng liên hệ với u1 đã cho.
- Nhưng một rắc rối nhỏ là ở vế phải của công thức truy hồi có số 1.
- 2 2 2 2 Đến đây bài toán coi như được chứng minh xong! Nhận xét: Bài toán trên rất đơn giản và điển hình cho dạng bài tìm CTTQ của dãy số.
- Nhưng nếu không cho trước CTTQ của dãy số thì phương pháp quy nạp gần như vô hiệu và cần có phương pháp cho nhưng trường hợp như thế.
- Trong tập tài liệu này tôi và các bạn sẽ cùng nhau đi tìm CTTQ của dãy số.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Ý tưởng: Tiếp tục ý tưởng như ví dụ 1, tuy nhiên ta thấy ở trong công thức truy hồi đã cho xuất hiện một đa thức theo n là n  2 nên cách làm của chúng ta sẽ hơi khác một chút.
- 1  vn  2n1 v1  2n1  un  2n1  n  1.
- Ví dụ 3: u1  1 Cho dãy số (un.
- un  3un1  2 n Giải: Giả sử: u n  v n  q 2 (3).
- n n 1 Thay vào dãy số đã cho ta được: v n  q 2  3(v n 1  q 2.
- q 2  3q 2  2 n n 1 Thay vào (3) suy ra: v1  u vn  3 1  un  2n  3n1.
- Nhận xét: Từ ba ví dụ trên, chúngta có thể phát biểu bài toán tổng quát sau: (cách giải tổng quát sẽ nói tới trong phần Phương trình sai phân tuyến tính) Bài toán tổng quát 1: u1  c Cho dãy (u n ) được xác định bởi  n  2.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Các bạn có thể tự tổng quát bài toán trên dưới dạng công thức, với một chút kiên nhẫn biến đổi tôi cũng tìm được hai CTTQ sau đây, ngoài ra các bạn hãy tự mình tổng quát những công thức phức tạp hơn.
- Công thức tổng quát 1: u 1  x 1 Cho dãy (u n ) được xác định.
- 1 q 1 Công thức tổng quát 2: u 1  x 1 Cho dãy (u n ) được xác định.
- thì un  b(n  1) n1  x1 n1.
- thì un  a n 1  x1.
- a Thế là bắt đầu hình thành phương pháp rồi đấy nhỉ! Chúng ta tiếp tục bằng một bài toán rất nổi tiếng sau đấy: Một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) kể từ lúc tròn hai tháng tuổi cứ mỗi tháng đẻ ra một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái).
- Bài toán Fibonacci, trích cuốn Liber Abaci (sách về toán đố).
- Ý tưởng: Đây là một bài toán đố đơn thuần, để tiện cho việc giải toán, ta sẽ tìm cách viết lại đề bài.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Đề bài được viết lại như sau: Ví dụ 4: (dãy Fibonacci) Dãy ( Fn ) được xác định F1  1, F2  1 và Fn  Fn 1  Fn  2 n  3.
- Ý tưởng: Không như những bài toán đã gặp ở trên, bài toán này chúng ta gặp một công thức truy hồi liên quan tới 3 số hạng của dãy.
- Ý tưởng của chúng ta bây giờ sẽ là tìm cách biến đổi công thức truy hồi đó về dạng đơn giản hơn chỉ liên quan tới 2 số hạng của dãy.
- 2  Áp dụng kết quả công thức tổng quát 2 ta suy ra: 1.
- Bài toán trên được Leonardo Pisano (khoảng hay còn gọi là Fibonacci phát biểu lần đầu tiên ttrong một cuốn sách của mình tên là Liber Abaci dưới dạng một bài toán đố.
- Dãy Fibonacci là một dãy số có rất nhiên ứng dụng trong toán học, kinh tế, sinh học, hội họa,… Có rất nhiều tính chất tuyệt đẹp của dãy Fibonacci nhưng trong khuôn khổ của tập tài liệu không thể nói đến được, hi vọng có thể cùng các bạn trao đổi về dãy Fibonacci trong một chuyên đề khác.
- Công thức chúng ta vừa tìm được còn có tên là công thức Binet do nhà toán học Pháp Binet tìm ra đầu tiên.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Từ cách làm ở ví dụ 4, ta rút ra được bài toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát 2: u1  x1 , u2  x2 Cho dãy (u n ) được xác định bởi  n  3.
- un  aun 1  bun  2  0 Trong đó a, b, x1, x2 là các hằng số và a  4b  0 .
- từ đó tìm được 1 , 2 , khi đó: 2 un  1un1  2 (un1  1un2.
- un  1un1.
- x2  1 x1 )2n1 Áp dụng Công thức tổng quát 2: n2 n 1 a  a  a a Nếu 1  2  thì: un.
- un  5un1  6un2  2n  2n  1 n  2 2 Tìm CTTQ của (u n.
- Giải: Giải sử: un  vn  an  bn  c , cần chọn a, b, c sao cho: 2 2n 2  2n  1  (an 2  bn  c.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Thay lần lượt n  0,1,2 vào (5.1) ta có hệ: 19a  7b  2c  1 a  1.
- un  2 Giải: un 1 u 2 2 Ta có: un.
- un  2 un un un 1 v  1 Đặt: v n.
- 1 un v n  1  2v n 1 1  v n  2n  1  u n  n .
- 2 1 Nhận xét: Đây là dạng bài toán tìm CTTQ của dãy số cho bởi một công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với các hệ số hằng.
- Chúng ta có thể dễ dàng tổng quát bài toán trên dưới dạng sau đây: Bài toán tổng quát 3: pun1  q Cho dãy (u n ) được xác định bởi: u1.
- p  s )t  q Đặt: un  vn  t  vn  t.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Chúng ta tiếp tục xét một ví dụ sau là dạng bài xác định CTTQ của dãy số khi biết công thức truy hồi có căn thức Ví dụ 7: Cho dãy (u n ) được xác định: u1  2, un 1  2un  3un2  2 .
- Tìm CTTQ của (u n.
- Ý tưởng: Ta thấy trong công thức truy hồi có căn thức nên việc đầu tiên của chúng ta làm sẽ là khai triển căn thức, từ đó sẽ tìm cách đưa dãy về dạng đơn giản hơn.
- Giải: Viết lại công thức truy hồi.
- un 1  2un.
- 3un  2  un 1  4un 1un  un  2  0 .
- Thay n 2 2 2 2 bằng n  1 ta đươc: un  4unun 1  un 1  2  un 1  4un 1un  un  2  0 .
- 2 2 2 2 Từ đó suy ra: un 1 và un 1 là nghiệm của phương trình: x  4 xun  un u n 1  u n 1  4u n .
- Từ đây ta đã đưa được về dạng quen thuộc, các bạn hãy giúp tôi hoàn thành nốt bài toán này! Ví dụ 8: u1  1, v 1  1  Cho 2 dãy số (u n.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Nhận xét: Đây là dạng bài toán xác định CTTQ dãy số cho bởi một hệ phương trình.
- Ta có thể tổng quát bài toán trên dưới dạng: Bài toán tổng quát 4: u 1.
- Tìm CTTQ của dãy (u n.
- ps  qr )u n 1  0 Từ đây ta đưa được về dạng như Bài toán tổng quát 2.
- Ngoài việc tìm CTTQ của những bài toán cho trước, chúng ta cũng có thể tự tổng quát một số dạng dãy số khác.
- Xét mộ số thực  bất kì 2  và dãy số u n.
- Từ đây ta có bài toán.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn u n2 1 1 Giải: Ta thấy: u n 1  2u n  1  u n 1  2  2.
- Trong phần nay chúng ta vừa cùng nhau tìm hiểu và nêu ý tưởng tìm CTTQ của một số dạng dãy số cơ bản.
- Tuy nhiên còn nhiều dạng dãy số khác, do khuôn khổ tài liệu có hạn không thể đề cập hết ở đây.
- Rất mong các bạn thông cảm và hãy tự mình tìm hiểu, khám phá những loại dãy số mới.
- Trong các phần tiếp theo, tôi sẽ giới thiệu một số bài toán mà trong quá trình giải có sử dụng kết quả của phần này.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Phương trình sai phân tuyến tính Phương trình sai phân tuyến tính là một công cụ rất mạnh trong việc tìm CTTQ của dãy số.
- Giải sử: un  un  uˆn trong đó: un.
- là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất au n 1  bu n  0 và uˆ n là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất au n 1  bu n  f ( n.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Nếu 1 , 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì: un  A1  B2 trong đó A, B được xác n n ii.
- và un  r n  A cos n.
- Như các bạn đã thấy, nhiều suy luận trong phần đi tìm công thức tổng quát dãy số của chúng ta khá giống với tư tưởng của phương trình sai phân tuyến tính.
- Phương trình sai phân tuyến tính hay một số công cụ khác (ví dụ: hàm sinh) là những khái niệm thuộc toán học cao cấp, có nhiều ứng dụng trong việc tìm CTTQ của dãy số.
- Chuyên đề chọn lọc dãy số và áp dụng, NXB Giáo Dục 2008.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Sử dụng phép thế lượng giác để xác định CTTQ dãy số Nhiêu công thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ thực hiện phép thế lượng giác.
- Ý tưởng: Đây là một bài toán kinh điển trong lượng giác, nếu tinh mắt một chút ta có thể dễ dàng đưa nó về một bài toán dãy số, cách làm đó như sau: Đặt: u1  2, u2  2  2.
- 2 Từ đó suy ra: un  2  un1 .
- 8  Từ đó suy ra: un  2cos (các bạn có thế dùng chứng minh quy nạp để kiểm tra lại).
- 2n1 Tiếp tục ý tưởng dùng phép thế lượng giác, liên tưởng tới công thức To be continue… 16.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn 17.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Các bài toán dãy số chọn lọc Trong phần này tôi sẽ đưa ra một số bài toán dãy số mà trong quá trình giải có sử dụng kết quả của các phần trước.
- Ví dụ: (HSG Quốc gia 1997) Cho dãy số ( xn.
- Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và được phát trong bao nhiêu ngày? Ý tưởng: Thoạt nhìn ta thấy đây chỉ là một bài toán đố đơn thuần, nhưng nếu “nhạy cảm” một chút ta có thể biến nó về một bài toán dãy số.
- 7 7 7 7 Giải: n 1 6 Từ công thức truy hồi tìm được, ta suy ra: u n.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Vậy có 36 huy chương phát trong 6 ngày.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Bài tập đề nghị Bài viết đến đây là kết thúc, sau khi đọc bài viết này, các bạn hãy tự mình giải một số bài tập đề nghị sau đây.
- u  n  n  2  u n 2 Bài 2: (HSG Quốc gia bảng A - 1998) u 0  20, u 1  100 Cho dãy số (u n.
- The love makes us stronger Đi tìm công thức tổng quát dãy số Trần Duy Sơn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên.
- [2] Nguyễn Tất Thu – Chuyên đề hội giảng: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số, 2008