KHAI THÁC KHÁI NI M ð TH HÀM S L I, LÕM ð ðÁNH GIÁ B T ð NG TH C I. LÝ DO CH N ð TÀI ng d ng hàm l i ñ ñánh giá b t ñ ng th c (BðT) ñã ñư c khai thác nhi u và ñ i di n cho ng d ng ñó là BðT Jensen. Khái ni m hàm l i trong chương trình SGK cũ và m i (bài ñ c thêm) ñư c ñ nh nghĩa d a vào v trí n m trên, n m dư i c a ti p tuy n v i ñ th hàm s . Trong ñ nh nghĩa ñó, ñã cho ta m t tính ch t hình h c c a ti p tuy n. ðó là: ta có th ñánh giá thông qua m t bi u th c b c nh t c a . V n d ng tính ch t này, ta có th tìm ñư c l i gi i ñơn gi n cho m t s bài toán ch ng minh BðT. Hơn n a thông qua ñó ñ chúng ta th y ñư c vi c d y cho HS B n ch t c a các khái ni m Toán h c r t quan tr ng trong phát tri n tư duy cho h c sinh. ðó là lí do mà tôi ch n ñ tài “Khai thác khái ni m ñ th hàm s l i, lõm ñ ñánh giá BðT” II. TH C TR NG TRƯ C KHI TH C HI N CÁC GI I PHÁP C A ð TÀI: 1. Thu n l i: V i s ñ i m i phương pháp d y h c trung h c ph thông l y h c sinh làm trung tâm và t o s h ng thú trong h c t p. H c sinh ch ñ ng chi m lĩnh tri th c. Do ñó, vi c d y cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a m t khái ni m Toán h c h t s c quan tr ng 2. Khó khăn: Khi d y khái ni m Toán h c giáo viên chưa chú tr ng nhi u vào vi c d y cho h c sinh n m ñư c b n ch t c a khái ni m mà ch y u t p trung vào vi c kh o sát các ñ i tư ng có thu c v khái ni m ñó hay không?. Do ñó h c sinh Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 1 cũng ít quan tâm ñ n b n ch t c u khái ni m ñã h c nên m t ph!n nào ñó h n ch vi c phát tri n tư duy cũng như s h ng thú trong h c t p. III. N I DUNG ð TÀI 1. Cơ s lí thuy t. a. ð nh nghĩa: Cho hàm s ñi m = liên t c và có ñ th là (C). Khi ñó ta có hai n m trên ñ th (C). n u ti p tuy n t i m i ñi m n m trên cung i) ð th (C) g i là l i trên luôn n m phía trên ñ th (C). n u ti p tuy n t i m i ñi m n m trên cung ii) ð th (C) g i là lõm trên luôn n m phía dư i ñ th (C). y _ y _ a _ b _ x _ x _ 1 _ b _ a ð th hàm s l i ð th hàm lõm b. D u hi u ñ th l i ð nh lí 1: Cho hàm s = có ñ o hàm c p hai liên t c trên *N u > ∀ ∈ ( ) thì ñ th hàm s lõm trên *N u < ∀ ∈ ( ) thì ñ th hàm s l i trên c. ( ) ( ) ng d ng T" hình nh tr c quan c a ñ nh nghĩa cho ta m t phương pháp gi i các bài toán BðT và c c tr sau : ð nh lí 2: (B t ñ ng th c ti p tuy n) Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 2 liên t c và có ñ o hàm ñ n c p hai trên = Cho hàm s ≥ i) N u ∀ ∈ ≤ ii) N u ≥ thì ∀ ∈ − ≤ thì + − . ∀ + ð ng th c trong hai B t ñ ng th c trên x y ra ⇔ ∈ ∀ = ∈ . Ta có th ch ng minh ñ nh lí trên như sau = i) Xét hàm s Ta có : = = ⇒ ≥ − − − ⇔ = = ∀ ∈ − = ⇒ ∈ , ≥ ∀ ∈ ñ i d u t" − sang + khi x qua và nên ta có : . ii) Ch ng minh tương t . ð nh lí 3: (B t ñ ng th c cát tuy n) i) N u ii) N u liên t c và có ñ o hàm ñ n c p hai trên = Cho hàm s ≥ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ − − ≥ thì − − ≤ thì − + − ð ng th c trong các BðT trên có khi và ch# khi . ∀ ∈ + ∀ ho$c = . = ∈ . 2. N!i dung, bi n pháp th"c hi n gi#i pháp c$a ñ% tài: Ví d 1: Cho các s th c dương + + = Gi#i: Xét hàm s + + th%a + ≤ + v i = . Ch ng minh r ng . + ∈ . + Ta có: = =− ⇒ + Nên ta có: ≤ < ∀ ∈ + − + Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 3 ≤ − + ≤ − + + Suy ra : +       ≤ ( + + − )+ = ð ng th c x y ra ⇔ = = = . + th%a : Ví d 2 : Cho các s th c dương + + + + + = . Ch ng minh ≥ . + Gi#i : = Xét hàm s : =− < , + > ⇒− ≤ ≥ − + ≥ − + ≥ − + + ≥ + + − + + M$t khác : + + ≤ + Ta suy ra : ∀ ∈ − + Nên ta có : + . Ta có : = ⇒ + ⇒ ≤ ≤ ⇒ + + + − + ≥ + + (*) = ≤ và =− < nên t" (*) = . Nh&n xét : D u hi u giúp chúng ta nh n ra phương pháp trên là BðT c!n ch ng minh có d ng + + + ≥ ho$c + + + ≤ , trong ñó = là các s th c cho trư c. Trong m t s trư ng h p BðT chưa có d ng trên, ta ph i th c hi n m t s phép bi n ñ i m i ñưa v d ng trên.Chúng ta c!n chú ý m t s d u hi u sau. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 4 ≥ • N u BðT có d ng thì ta l y loganepe hai v • N u BðT c!n ch ng minh ñ ng b c thì ta có th chu&n hóa. Tùy thu c vào t"ng bài toán mà ta l a ch n cách chu&n hóa phù h p. + + th%a : Ví d 3 : Cho các s th c dương = . Tìm GTLN c a bi u th c :  = +      +   + +     +     .  + Gi#i : = Ta có : + = Xét hàm s : = + +   +  + + ⇒ ( )+ − = +  −  ≤ +  −  ≤ +  −  . ≤ (Do + <   +  ∀ ∈ ( = Ví d 4 : Cho − + + )+ ð ng th c x y ra ⇔ = = = . V y GTLN c a ≤ ≤ + − ≤ + + + + + Nên ⇒    + < . Ta có : < ≤ ⇒  +  + + ≤ Suy ra :    − = ⇒   +  = + + ) + ⇒ > th%a ≤ + + + + . + . = . Tìm GTNN c a bi u th c = − + − + − . Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 5 ≥ Gi#i : Áp d ng BðT Cô si, ta có : ð$t = =− ≤ ⇒ ≤ + . Vì hàm s + − − = có < − − = ≤ +      −  +    ⇒ ⇒ = ⇒ + + + − − − − − − ≤ + + . ð ng th c x y ra ⇔ ≥ ⇒ = = V y GTNN c a = = = =− . . ≥ Ví d 5 : Cho − − + + th%a = . Tìm GTNN c a bi u th c = + + . Gi#i : = Xét hàm s = + ⇒ = ⇒ = Vì  ∈  ≤ ≤ . Ta có : = ⇒ + +   +  + + = + + + + = ( + l y ñ o hàm hai v ta ñư c ) +  >  ∀ ∈   nên áp d ng BðT ti p tuy n, ta có :  ≥ − + ≥ − + Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 6 ≥ − + + C ng ba BðT trên ta có : + ( ≥ + + − )+ = . ñ t ñư c ⇔ = = = . V y GTNN c a = Ví d 6 : Cho > . Ch ng minh r ng : + + + + + ≥ + + + + + . (Trích ñ thi Albania 2002) L i gi i. Vì BðT ñã cho thu!n nh t nên ta ch# c!n ch ng minh Bñt ñúng v i m i s + th c dương a,b,c th%a mãn + ≥ trong ñó: + + = = , khi ñó bñt c!n ch ng minh tr' thành: + − v i < < . D( th y hàm s > có ∀ ∈ Nên theo BðT ti p tuy n ta có : + +    ≥      < Do      + + ≤ + + − + + + +   .  + ≥ = s th c +    + ⇒ Ví d 7: Cho +    thu c kho ng ≤ π      = .  th%a : ≤ .Ch ng minh : . Gi#i : ð$t = = ⇒ > = và ∑ ≤ = Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 7 Ta c!n ch ng minh : ∏ ≤ + = = Xét hàm s (1). > = có ≤ ⇒∏ − + = + = =∏ ⇔ = − ∏ ≤ = = = + = + +  ∑  =     ≤ = ð ng th c x y ra ⇔ = = π ∀ > . + + ⇒ < ⇒ = = = ⇔ .     ≤    + = = = = = . Nh&n xét : Qua các ví d trên, ta có ñư c k t qu t ng quát sau ð nh lí 4 : Cho hàm s n m trong ño n  • N u • N u > < = có ñ o hàm c p hai trên   th%a mãn : ∀ ∈  ∀ ∈  Ví d 8. Cho tam giác ∑ = ≤ ∑ ≥ ≤  và s . =  thì ta có :  thì ta có : = ∑ ≤ . = có m t góc không nh% hơn + + ≥ − π . Ch ng minh r ng : . L i gi#i. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 8 = Hàm s π ≥ Không m t tính t ng quát, ta gi s)  π ∈  có   , > ≥ ≤ ⇒ π .  π ∀ ∈  . Áp d ng BðT ti p tuy n, ta   > có π ≥ π ≥ π − π ≥  ⇒   − −   +    π + π π + π π +   +    .   ≥   π π  − −   π π  +  +   + − π π  +  +   Do π        +     −  π   >     +    − π ≥  π  ≥  +    ð ng th c x y ra ⇔ π = + + π   =   − và = = π = + π nên ta có : ñpcm. ≥ th%a + π      và các hoán v . Ví d 9. Cho các s th c không âm GTNN c a bi u th c : =   + + + + + và = . Tìm . L i gi#i. Không m t tính t ng quát, ta gi s) = Xét hàm s ⇒ = − + + ∈ > ∀ ∈ = ( ) có ⇒ = ≥ ≤ . + . Áp d ng BðT ti p tuy n, ta có : Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 9 ≥ − + ⇒ + ≥ ;  ≥  + + =    − ð ng th c x y ra ⇔ = V y − = = − + + ≥ ; + ≥ + + + = . và các hoán v . . Nh&n xét : Trong m t s trư ng h p ñ th hàm s  −  nhưng ta v*n có ñư c ñánh giá : = ≥ có kho ng l i, lõm trên − + ∈ . Ch ng h n các b n xem ñ th minh h a dư i ñây. y _ a x _ O x0 _ ∈ ℝ và Ví d 10: Cho + + + b = . Ch ng minh r ng : + ≥ + + . L i gi#i: BðT ñã cho ⇔ − + Trong ñó − . Ta th y = − + − = ≥ − ⇔ + + nên ñ th hàm s ≥ có kho ng l i và kho ng lõm do ñó ta không th áp d ng BðT ti p tuy n ñư c. Tuy nhiên ta Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 10 v*n có th ñánh giá ñư c ñ ng th c x y ra khi qua ti p tuy n c a nó t i ñi m có hoành ñ = = − = + ⇒ − + = Chú ý. Vì hoành ñ − ≥ + + + = − ñi m có hoành ñ = − = − + ≥ = là: = − . ∀ ∈ℝ. (ñpcm). là ti p tuy n c a ñ th hàm s − (vì = ) Ta có ti p tuy n c a ñ th hàm s t i − = ( )−( = nên ta có s phân tích: = )=( − t i ñi m có − − ) ( )v i ≥ và ≠ . ≥− Ví d 11: Cho + + + + và + + + = . Ch ng minh r ng: . ( Vô ñ ch Toán Ba Lan 1996) ≤ L i gi#i. Ta th y ñ ng th c x y ra khi + + = trong ñó ≤ + V y: + − + + + + − + > + − = + + ≤ Ví d 12 : Cho các s th c ∈ − v i + . t i ñi m có hoành ñ = + = và Bñt ñã cho có d ng: = = Ti p tuy n c a ñ th hàm s Ta có: = + + + = ≥ = là : = + . ∀ ∈ − ñpcm. tho mãn + + = . Ch ng minh : + + + + Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa ≥ . 11 L i gi#i. Ta có : + ≤ + + − = + + + ≤ ≥ + − + + (Nh n xét : ð ng th c x y ra khi = s − M$t khác: − + − = + + + − − − + + − = − + + − − − − ⇒ − − + − − ≤ + . = là : = − ≥ + + + ≥ + + + + − − ) ∀ ∈ − = ñpcm.  ≥   + + − − − = ∀ ∈ + + + +  . +  = , khi ñó Bñt ñã cho tr' ≤ . Vì a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác và Ta có : + và ti p tuy n c a ñ th hàm L i gi#i. Không làm m t tính t ng quát ta gi s) − = + nên là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng : Ví d 13. Cho thành − = = − + + + − = + ≤ t i ñi m có hoành ñ − ⇒ − = − + + − ≤ − = suy ra ∈ . ∀ ∈ . Ta cũng có hai Bñt tương t . C ng các Bñt này l i v i nhau ta có: − − + − − + − − ≤ + + − = (ñpcm). Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 12 ð ng th c x y ra khi = = = . > . Ch ng minh r ng : Ví d 14. Cho + − + + + + − + + + + − + + ≥ . (Olympic Toán Nh t B n 1997) L i gi#i . Vì Bñt c!n ch ng minh là thu!n nh t nên ta ch# c!n ch ng minh Bñt ñúng th%a mãn + + = . Khi ñó Bñt ñã cho tr' thành: v i m i s th c dương − − ⇔ ⇔ ⇔ + − + − + − − + + + + + + − + Trong ñó − + − + − + ≤ = − + − + + + − ⇒ + − + + + − + − + v i ∈ ≥ ≤ . t i ñi m có hoành ñ = − = ≤ − . Ti p tuy n c a ñ th hàm s Ta có: ≥ + + − + + + + = = − + − + = ≥ là : = + ∀ ∈ ñpcm. Trong các ví d trên ta ch# xét các BðT ñ i x ng ba bi n và ñ ng th c x y ra khi các bi n b ng nhau. Ph!n ti p theo ta s+ ñi xét m t s BðT không ñ i x ng ho$c BðT ñ i x ng nhưng ñ ng th c x y ra khi có ít nh t hai bi n không b ng nhau. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 13 Ví d 15: Cho + + = . Ch ng minh r ng: + + − + = ⇔ < − = ∈ ≥        −  +        ≥        −  +        + > • N u       ≥ ( − ( )( − )+ ( )= ≥ ( )( − )+ ( )= + ( > )+ + + − )+ ( )> − ≥ ⇒ = − ⇒ ∀ ∈ và = < − ∀ ∈ .    = .   . Áp d ng BðT ti p tuy n và cát tuy n ta có: − ≥ (Trung Qu c 2005). . Áp d ng BðT ti p tuy n ,ta có:        −  +        + ≥ có ñ ng th i = ≥ ⇒ + ≥ . = Xét hàm s • N u và ≥ L i gi#i: Gi s) ⇒ > + = . > . Ví d 16: Cho ∆ nh n. Tìm GTLN c a bi u th c: = . L i gi#i: Ta có : Xét hàm s = + = + ∈ Áp d ng BðT ti p tuy n v i ∆ π ⇒ = ! ⇒ =−  ∀ ∈  π   nh n, ta có : Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 14 ≤ ( − )+ = ≤ ( − )+ = ≤ ( − )+ + ⇒ ( ) − ) − + ! + ! + ! ≥ + + sao cho : = = = + M$t khác : = ( ) − + Ch n ba góc ⇒ = ( + = ⇒ ⇒ = ⇒ = = = = = = = + + ⇒ ⇒ + ≤ + + . ð ng th c x y ra ⇔ ≤ = V y GTLN c a = = = = . . Nh&n xét : T" cách gi i trên, ta có ñư c cách gi i cho bài toán t ng quát sau : Cho ∆ nh n. Tìm GTLN c a = ,v i là nh ng s th c dương. (Xem ' ph!n bài t p) nh n. Tìm GTNN c a bi u th c : Ví d 17 : Cho tam giác = + + . L i gi#i : (D a theo l i gi i c a 2M) Xét hàm s ⇒ =  ∈  = + > π = +  , có   ∀ ∈  π .  Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 15 Áp d ng BðT ti p tuy n v i ∆ ≥ − + nh n, ta có : = − + ! ≥ ⇒ ! + ≥ Tương t : ! + + ! ⇒ ! − − + ! Ta ch n các góc ≥ ! + ≥ = sao cho : ! + > + . = ! − = ! là ba góc c a tam giác nên ta có ñ ng th c : Vì + ! ! + ⇒ + ! + + + ! ! = ⇒ là nghi m dương c a phương trình : + = ⇒ − ! = − + = = (1). ; − + − + − + − − . ñ t ñư c khi = là ba góc c a tam giác nh n ñư c xác ñ nh b'i : V i = ! + − = − = − = V y GTNN c a + − = + ≥ ⇒ + = ! = ! > ! = ! = , trong ñó là nghi m dương duy nh t c a PT (1). Nh&n xét : Tương t cách làm trên, ta cũng tìm ñư c giá tr nh% nh t c a bi u th c = + + , trong ñó là các s th c dương và là ba góc c a tam giác nh n (Xem ' ph!n bài t p). Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 16 > Ví d 18: Cho + th%a + = = . Tìm GTNN c a : + + + + . = + , ∈ L i gi#i: = Ta có các hàm s = + ñ o hàm c p hai dương trên kho ng > . Nên v i là nh ng hàm s có th%a + + = áp d ng BðT ti p tuy n, ta có: ≥ − + + ≥ ; = ⇔ − = sao cho Ta ch n Do + + + = = + = − ≥ ;      ⇔      − = = + = + = + + ≥ V y = = + + = + = s th c dương α α > ∀ ∈ − + . + − v i là nghi m n m trong c a (2). = liên t c và có ñ o hàm c p hai trên − Ví d 19. (BðT Jensen). Cho hàm s a) N u − = . + − ( ) và (1) − − ð ng th c x y ra ⇔    =   ⇔ =    =   (2). D( th y phương trình (2) luôn có nghi m trong kho ng ⇒ + α có t ng b ng 1. thì ta có: ∑α ≥ = Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa  ∑α   =     17 v i ∀ ∈( ) = b) N u < ∀ ∈ . ð ng th c có khi thì ta có: = = ∑α ) . ð ng th c có khi = = .  ∑α   = ≤ = v i ∀ ∈( = = =     . L i gi#i. a) ð$t =α Vì > ⇒α )+ − ∈ ⇒ . ∀ = (α ≥ ∑α +α + nên áp d ng BðT ti p tuy n, ta có: ( ≥ ⇒ +α −α ∑α ≥ = )+α −α ∀ = ∑α + =  =  ∑α   = = =  .   b) Ch ng minh tương t . Ví d 20. (2M) Cho hai b s th c dương ∑ = = ∑ . Ch ng minh r ng: = ∏ và ≥∏ = th%a mãn: . = L i gi#i. BðT c!n ch ng minh ⇔ ∑ ≥ = = Hàm s − ≤ − + + = ⇒ − ∑ = ⇒ ∑ = ≤ . = là hàm l i, nên áp d ng BðT ti p tuy n ta có: ≤ ⇒ ∑ ∑ + ≤ ∑ − = + ∑ = = ∑ = ñpcm. = Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 18 Chú ý: ði u thú v là BðT Cô si l i là m t h qu c a bài toán trên. Th t v y: ∑ = Cho ∏ ≤∏ = = ∑ ⇒ = ≥ = = = =  ∑  = =    ∏        . Khi ñó BðT ñã cho tr' thành: = ( do = = ) ñây chính là BðT Cô Si cho s . = Bài t&p áp d ng 1. Cho > Ch ng minh: 2. Cho > th%a + + + ≤ th%a + + 4. Cho các s th c    5. Cho ∈ π và − ! + + ≥ + + ≥ . Ch ng minh r ng: + + + 3. Cho + + + + +  ∈    và   −     −       + +  − ≥   ( + + + + + ≤ = . Ch ng minh − ) . = π . Ch ng minh − ! + ≤ + = . Ch ng minh r ng: + + + + + + − ! Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa + − ! ≥ . 19 6. Cho n s th c dương tho mãn: ∑ = . Cmr: = + + + π − + + + + π + ! 8. Cho tam giác − π + ! − ! . . Ch ng minh r ng ! ≤ ! + + 9. Cho tam giác = 2) Giá tr nh% nh t c a = ! + + > nh n và 1) Giá tr l n nh t c a 10. Cho ( New Zealand 1998). + . Tìm GTNN c a bi u th c 7. Cho tam giác = ≤ < . + . Tìm: . + + s th c không âm ≤ có t ng b ng 1. Ch ng minh: (BðT Cauchy). 11. Cho > . Ch ng minh: + + + 12. Cho + + + + + + + + + + ≤ (M - 2003 ). > . Ch ng minh: + + + > . Ch ng minh: 14. Cho > và + + + + 13. Cho ≥ + + + + + + + + . + ≥ + + + . = . Ch ng minh : + 15. Cho + > . Ch ng minh: + − + + + + + + + ≥ + + . + + ≤ + .( H ng Kông 1997) IV. K'T QU • H c sinh h ng thú và chú ý hơn khi h c các khái ni m Toán h c. Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 20 • H c sinh gi i quy t ñư c m t l p bài toán khó v BðT. V. BÀI H C KINH NGHI M • Khi d y h c các khái ni m Toán h c c!n chú ý ñ n b n ch t c a khái ni m ñó và khai thác b n ch t c a khái ni m. • Trong quá trình d y h c, chúng ta có th g i m' m t s hư ng phát tri n t" m t khái ni m Toán h c cho h c sinh tìm tòi và nghiên c u. VI. K'T LU(N. Vi c khái thác khái ni m ñ th l i lõm c a ñ th hàm s cho chúng ta: • M t phương pháp ch ng minh BðT và gi i m t s d ng toán c c tr khá hi u qu và ñơn gi n. • D a vào hai BðT ti p tuy n và cát tuy n k t h p v i phương pháp cân b ng h s , chúng ta có th sáng t o ra nhi u bài toán BðT hay và khó. NGƯ-I TH.C HI/N Nguy n T t Thu Nguy n T t Thu – Trư ng Lê h ng Phong – Biên Hòa 21