- Trƣờng Đại Học Công Nghệ Thông Tin KHOA MẠNG & TRUYỀN THÔNG LÝ THUYẾT THÔNG TIN Bùi Văn Thành
[email protected] 1 Tháng 7 năm 2013 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƢƠNG 0 XÁC SuẤT MA TRẬN 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt XÁC SUẤT (PROBABILITY) 1.1.
- THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ: 1.1.1.
- -Nhưng biết được các hậu quả có thể xảy ra Ví dụ: Tung một con xúc sắc là một thí nghiệm ngẫu nhiên vì : -Ta không biết chắc mặt nào sẽ xuất hiện -Nhưng biết được có 6 trường hợp xảy ra (xúc sắc có 6 mặt Ràng buộc: 3 -Con xúc sắc đồng chất để 6 mặt đều có thể xuất hiện như nhau.
- CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.1.2.
- Không gian mẫu (Sample Space) Tập hợp các hậu quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu của thí nghiệm đó.
- Biến cố (Event) a) Biến cố -Mỗi tập hợp con của không gian mẫu là một biến cố -Biến cố chứa một phần tử gọi là biến cố sơ đẳng Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc : -Biến cố các mặt chẵn là .
- Biến cố các mặt lẻ Các biến cố sơ đẳng là CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Biến cố xảy ra (hay thực hiện) Gọi r là một hậu quả xảy ra và A là một biến cố: -nếu r ∈ A ta nói biến cố A xảy ra -nếu r ∉ A ta nói biến cố A không xảy ra Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc nếu mặt 4 xuất hiện thì: -Biến cố {2,4,6} xảy ra vì Biến cố {1,3,5} không xảy ra vì Ghi chú: -φ⊂ E.
- φ là một biến cố ∀r, r ∉φ.
- φ là một biến cố vô phương (biến cố không) -E ⊂ E.
- E là một biến cố ∀ r, r ∈ E.
- E là một biến cố chắc chắn 5 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.1.4.
- Các phép tính về biến cố Cho 2 biến cố A, B với A⊂ E và B ⊂ E a) Biến cố hội A ∪ B (Union): Biến cố hội của 2 biến cố A và B được ký hiệu là A ∪ B: A ∪ B xảy ra (A xảy ra HAY B xảy ra) b) Biến cố giao A ∩ B (Intersection): A ∩ B xảy ra (A xảy ra VÀ B xảy ra) 6 A∩B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c) Biến cố phụ A (Biến cố đối lập, Component of A):A xảy ra A không xảy ra d) Biến cố cách biệt ( biến cố xung khắc, mutually exclusive event) A cách biệt với B A ∩ B = φ A cách biệt với B A với B không cùng xảy ra 7 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, ta có không gian mẫu: E Gọi A là biến cố mặt lẻ xuất hiện.
- A Gọi B là biến cố khi bội số của 3 xuất hiện.
- B = {3, 6} -Gọi C là biến cố khi mặt 4 xuất hiện.
- C = {4}, biến cố sơ đẳng.
- biến cố khi mặt chẵn xuất hiện.
- A và C là 2 biến cố cách biệt.
- e) Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive) Gọi A1, A2…, Ak là k biến cố trong không gian mẫu E Nếu A1∪ A2∪… ∪Ak = E thì K biến cố trên được gọi là một hệ đầy đủ.
- 8 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.
- XÁC SUẤT (Probability).
- Định nghĩa: Nếu thông gian mẫu E có N biến cố sơ đẳng và biến cố A có n biến cố sơ đẳng thì xác suất của biến cố A là : P(A.
- Soá tröôøng hôïp A xaûy ra/Soá tröôøng hôïp coùtheå xaûy ra Ví dụ: Trong thí nghiệm thảy một con xúc sắc, xác suất biến cố các mặt chẵn xuất hiện là : P(A) =n(A)/N .
- Gọi A là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu E : 0 ≤ P(A.
- φ là Biến cố vô phương P (E.
- E là Biến cố chắc 9 chắn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.3.
- Công thức về xác suất : a) Xác suất của biến cố hội: P (A ∪ B.
- P(A ∩ B) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ghi chú : Nếu A và B là 2 biến cố cách biệt, ta có: A ∩ B = φ =>P(A ∩ B.
- P(B) b) Xác suất của biến cố phụ (biến cố đối lập) Biến cố phụ của biến cố A trong không gian mẫu E là A : P(A.
- 0 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.4.
- Công thức nhân về xác suất : a) Xác xuất có điều kiện : Gọi P (B / A) là xác suất có điều kiện của biến cố B sau khi biến cố A đã thực hiện.
- 0 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chứng minh : Gọi E là không gian mẫu chứa hai biến cố A,B Giả sử A thực hiện rồi thì A là biến cố chắc chắn, ta có thể chọn A làm không gian mẫu thu gọn.
- Biến cố B thực hiện sau khi biến cố A xảy ra trở thành biến cố B/A.
- Trong không gian mẫu biến cố B/A thực hiện nếu và chỉ nếu A ∩ B thực hiện.
- P(A ∩ B)/P(A) 13 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Công thức nhân về xác suất: Cho hai biến cố A và B trong không gian mẫu E, xác suất của biến cố giao được tính: P(A∩B.
- P(B) c) Biến cố độc lập : Biến cố gọi là độc lập với biến cố A về phương diện xác suất nếu xác suất của biến cố B không thay đổi cho dù biến cố A đã xảy ra, nghĩa là: P(B/A.
- P(A) Trong trường hợp hai biến cố độc lập, công thức nhân trở thành: P(A∩B.
- P(B) 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.5.
- Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes a) Công thức xác suất đầy đủ : Giả sử biến cố B xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố của hệ đầy đủ cách biệt nhau từng đôi một A1, A2…, Ak xảy ra.
- Biết xác suất P(Ai) và P(B/Ai) hãy tìm P(B) A1 Ak A2 B 15 B ∩A1 B∩A2 B∩Ak CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Theo giả thiết bài toán thì B = (B ∩ A1.
- P(B/ Ai)*P(Ai) i=1 Công thức này được gọi là công thức xác xuất đầy đủ.
- 16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Trong nhà máy có 4 phân xưởng.Phân xưởng I sản xuất chiếm 1/3 tổng sản lượng của nhà máy.
- Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho sản phẩm của nhà máy thì sản phẩm đó là phế phẩm Giải : Gọi A1, A2, A3, A4 là biến cố lấy đúng một sản phẩm của phân xưởng I,II,III,IV.
- Gọi B là biến cố lấy được một phế phẩm B = (B∩A1.
- 0,01 Vậy P(B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b) Công thức Bayes: Giải bài toán ngược của bài toán trên, tức là biết các P(Ai), P(B/Ai) và biến cố B đã xảy ra, tìm P(Ai/B) Ta có : B = (B∩A1.
- i=1 18 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Công thức này được gọi là công thức Bayes, hay công thức xác suất các giả thiết về các biến cố Ai có thể xem như giả thiết theo đó biến cố B xuất hiện.
- Ta phải tính xác suất của các giả thiết với điều kiện biến cố B xuất hiện.
- Ví dụ: Xét lại thí dụ 2.2, cũng với giả thiết đó bây giờ ta yêu cầu xác suất để lấy một sản phẩm của phân xưởng thứ nhất biết nó là một phế phẩm.
- CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1.2.6.
- Công thức Bernoulli : a)Công thức Bernoulli : Nếu tiến hành những phép thử độc lập, trong mỗi phép thử xác suất hiện của biến cố A như nhau và bằng p thì xác suất để biến cố A xuất hiện k lần trong n phép thửđó được biểu diễn bằng công thức Bernoulli Pn(k.
- Cn k pk qn-k Với q = 1-p Ghi chú : a.Trong trường hợp biến cố A xuất hiện từ k1 đến k2 lần trong n phép thử thì ta ký hiệu xác xuất đó là Pn(k1,k2) Gọi Aki là biến cố A xuất hiện ki lần A = Aki ∪ Ak1+1.
- Ak2 k2 Pn(k1,k2)=P(A)= ∑Cni piqn-i 20 i=k1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt b.Khi n và k khá lớn việc tính toán Pn(k) và Pn(k1, k2) sẽ phức tạp.
- Để khắc phục điều đó người ta phải tìm cách tính gần đúng các xác suất đó bằng cách áp dụng các định lý giới hạn.
- Hỏi xác suất để trong 4 bi lấy ra có 2 bi trắng.
- Giải: Xác suất lấy được bi trắng p có thể xem như nhau trong 4 phép thử: q = 1 - p = 1/3 áp dụng công thức Bernoulli 21 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Xác suất xuất hiện biến cố A bằng 0,4.
- Hỏi xác suất để trong 10 phép thử biến cố A xuất hiện không quá 3 lần.
- Giải: p = 0.4, q = 0.6 Xác suất để biến cố A xuất hiện 0 lần : P10(0.
- q10 Xác suất để biến cố A xuất hiện 1 lần : P10(1.
- 10pq9 Xác suất để biến cố A xuất hiện 2 lần : P10(2.
- 45p2q8 Xác suất để biến cố A xuất hiện 3 lần : P10(3.
- 120p3q7 Xác suất để biến cố A xuất hiện không quá 3 lần P10(0,3.
- 0.38 22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ghi chú: b) Số lần xuất hiện chắc chắn nhất: Trị số của Pn(k) nói chung phụ thuộc vào k.
- Số k0 gọi là số lần xuất hiện chắc chắn nhất của biến cố A trong n phép thử.
- Ta có: 23 np-q ≤ k0 ≤ np + p CuuDuongThanCong.com p ≠ 0 và p ≠ 1 https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Xác suất bắn trúng đích của một người bằng 0,7.
- Giải : n = 25, p = 0,7, q = 0,3 np - q ≤ k0 ≤ np + p k k0 ≤ 18,2 Vì k là số nguyên, nên chọn k = 18 24 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt c) Các công thức gần đúng để tính Pn (k) và Pn (k1,k2) Các công thức được rút ra từ các định lý giới hạn.
- Công thức Moixre - Laplace : Pn(k) ≈ϕ(xk)/ npq • Công thức Moixre - Laplace được sử dụng khi n khá lớn • p là xác suất của biến cố A trong phép thử Bernoulli, p không quá gần 0 và 1 xk = (k-np.
- 1 / 2π * e-x²/2 : hàm số Gauss 25 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Xác suất để sản xuất ra một chi tiết loại tốt là 0.4.Tìm xác suất để trong 26 chi tiết sản xuất ra thì có 13 chi tiết loại tốt.
- 1/ 2π∫0 x e-x²/2dx : hàm Laplace chuẩn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Một phân xưởng sản xuất bóng đèn đạt trung bình là 70% sản phẩm loại tốt.
- Tìm xác suất để trong 1000 bóng đèn có từ 652 đèn 760 bóng đèn loại tốt.
- Xác suất phải tìm là P n = 1000, p = 0,7 q = 0,3 k1 = 652 k2 = 700 α = (k1 - np)/ npq.
- CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Công thức Poisson • Nếu n.
- k! -λ k Định lý Poisson cũng có thể dùng để tính gần đúng Pn (k1,k2) 28 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Tổng sản phẩm của xí nghiệp A trong 1 quí là 800.
- Tìm xác suất để cho : Có 3 sản phẩm là phế phẩm Có không quá 10 sản phẩm bị hỏng Giải: n =800, p = 0,005.
- 29 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MA TRẬN Mô tả.
- 30 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CÁC LOẠI MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận tam giác là ma trận vuông được chia thành hai loại là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới