SKKN Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian (2016 - 2017)

BM 01-Bia SKKN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH

TRONG KHÔNG GIAN
Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃN

Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN
- Lĩnh vực khác: .......................................................
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
Mô hình Đĩa CD (DVD) Phim ảnh Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
Năm học: 2016 - 2017

SKKN môn Hình học năm 2017: Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BM02-LLKHSKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
om
––––––––––––––––––
l.c
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
ai
1. Họ và tên: ĐẶNG THANH HÃN
gm
2. Ngày, tháng, năm sinh: 01 – 08 – 1976
3. Nam, nữ: NAM
s@
4. Địa chỉ: KP 9, phường Tân Biên, TP Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai
es
5. Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0919302101
in
6. Fax: E-mail:
us
7. Chức vụ: Giáo viên
nb
8. Nhiệm vụ được giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc
ho
chuyên môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng môn Toán lớp
10C1, 12A2, 12A10; Chủ nhiệm lớp 12A10. yn
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi
qu
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

em
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học
- Năm nhận bằng: 2000
k
ay
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

:d
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC

ok
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán.

o
- Số năm có kinh nghiệm: 17 năm.

eb
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 02

F
D
-P
er
rd
lO
ai
Em
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tên SKKN : RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG
KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
om
- Trong chương trình Toán học THPT, môn hình học không gian là một nội dung
l.c
quan trọng ở hai năm học cuối cấp. Trong đó, các bài toán tính khoảng cách là
ai
một nội dung phong phú và đem lại nhiều thú vị.
gm
Có thể nói, “Kỹ năng tính khoảng cách trong không gian” là đỉnh cao của môn
s@
hình học không gian , vì để giải quyết tốt các bài toán tính khoảng cách trong
không gian đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức hình học, phải biết
es
phân tích và có tư duy ở mức độ cao; biết cách nhận xét mối quan hệ của các đối
in
tượng: “điểm, đường thẳng, mặt phẳng” để từ đó đề xuất cách giải phù hợp.
us
- Tuy vậy, trong chương trình toán THPT ở môn hình học không gian, các em học
nb
sinh được tiếp cận với các bài tính khoảng cách ở một vài ví dụ cơ bản đơn giản,
ho
yn
thiếu hệ thống và tính liên hệ. Nhưng trong thực tế, các bài toán tính khoảng cách
qu
xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng gây không ít
em
khó khăn cho các em học sinh, trong khi đó chỉ có số ít các em biết phương pháp
để giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được rõ ràng, thậm chí còn mắc một
k
ay
số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
:d
Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hiện hành, bài
ok
toán tính khoảng cách được trình bày ở cuối chương III (cuối học kỳ II) rất là ít và
o
hạn chế. Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa
eb
ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm. Hơn nữa, do số tiết phân phối chương
trình cho phần này quá ít (3 tiết) nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên
F
D
không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải
-P
cho học sinh mặc dù cách giải nào cũng có chung một mục đích là chuyển về bài
er
toán tính “khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”.
rd
- Trong những năm học qua, khi được phân công giảng dạy lớp 11, 12 qua nhận
lO
xét và đánh giá, tôi thấy đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo về vận
ai
dụng kiến thức; nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay mở rộng kiến thức vào từng
Em
dạng toán cụ thể.Vì vậy, trong các giờ dạy, việc củng cố kiến thức và bồi dưỡng
năng lực tư duy cho học sinh thông qua các bài toán là một điều cần thiết. Khi đó
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
người thầy phải có phương pháp truyền thụ tốt và kiến thức chuyên sâu để dẫn dắt
học sinh, đồng thời cần hệ thống hóa lại bài tập để học sinh vận dụng có hiệu quả.
- Tôi viết chuyên đề này với mục đích “Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong
om
không gian”, một câu hỏi thường gặp trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao
l.c
đẳng trong những năm gần đây, nhằm giúp các em học sinh lớp 12 có thể tự ôn
ai
tập để nâng cao kiến thức và đạt mức điểm 7 trong đề thi Đại học - Cao đẳng.
gm
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn không thể tránh được những thiếu sót,
s@
rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và các em học sinh. Chúc các em học tập
es
thật tốt và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới; Chúc quý thầy cô hạnh phúc và
in
thành công trong sự nghiệp trồng người.
us
nb
Tôi xin chân thành cảm ơn !
ho
yn
qu
k em
ay
:d
o ok
eb
F
D
-P
er
rd
lO
ai
Em
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1. Cơ sở lý luận:
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của giáo viên và
om
hoạt động học của học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào
l.c
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
ai
thông. Trong đó, bộ môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với
gm
kiến thức rộng, đa phần các em học sinh gặp khó khăn ở môn học này.
s@
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài
es
tập. Điều đó thể hiện ở việc “học đi đôi với hành”, đòi hỏi học sinh phải có tư
in
us
duy logic. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán
nb
học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết
ho
vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
yn
- Mặt khác, sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cập nhật
qu
tri thức. Trong những năm gần đây, ngành giáo dục đã liên tục có những thay đổi
em
nhằm để phù hợp với xu thế của thời đại, điều đó được thể hiện trong năm học
2016 - 2017 thông qua hình thức thi trắc nghiệm và liên môn. Đối với hình thức
k
ay
thi này, người học phải nỗ lực và không ngừng học tập tìm tòi cách giải mới; liên
:d
tục rèn luyện thì mới đạt được những kết quả cao.
ok
Xét ví dụ sau:
o
Ví dụ : (Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2006)
eb
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung
F
điểm của AB và CD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1C và MN.
D
Cách giải 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
-P
Ta có MN // BC nên MN // (A1BC)
er
Do đó d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)).

rd
1
lO
Gọi H = AB1 ∩ A1B và K là trung điểm của BH thì MK // AH và MK = AH.

2
ai
Do AB1 ⊥ A1B nên MK ⊥ A1B.

Em
Do CB ⊥ (BAA1B1) nên CB ⊥ MK ⇒ MK ⊥ (A1BC).

1 1 a 2
Vậy d(MN, A1C) = d(M, (A1BC)) = MK = AH = AB1 =
2 4 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách giải 2: Phương pháp toạ độ trong không gian
Xét hệ trục toạ độ Oxyz với : z A D
1 1
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a 0), D(0; a; 0)
A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1(a; a; a) D1(0; a; a) C
om
B 1
1
a
⇒ M( ; 0; 0) và A1C = (a; a; – a) cùng phương
l.c
2 H
A D
ai
với u = (1; 1; –1) ; BC = (0; a; 0) cùng phương với K
y
gm
M
N
v = (0; 1; 0). Khi đó VTPT của mặt phẳng (A1BC)

s@
B C
là = u, v  = (1; 0; 1) .
n x
es
Phương trình tổng quát mặt phẳng (A1BC): x + z – a = 0.
in
us
a 2
do đó d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)) =
nb
4
Cách giải 3: Áp dụng công thức đổi khoảng cách và tính thể tích của khối đa diện
ho
yn
qu
d ( M, ( A1BC) ) MB 1 1
Mặt khác AM ∩ (A1BC) =B nên = = ⇒ d ( M, ( A1BC) ) = d ( A, ( A1BC) )
d ( A, ( A1BC) )
em
AB 2 2
1 a3 1 a2 2
k
V
Mà A1 ABC = V = và S ∆A BC = A1 B.BC =
ay
ABCD . A1B1C1 D1
6 6 2 1
2
:d
1 1 3VA ABC a 2
Vậy d(M, (A1BC)) = d ( A, ( A1 BC ) ) = . 1 = .
2 2 S∆A1BC 4
ok
- Qua ví dụ minh họa ta thấy, nếu học sinh được hướng dẫn và phân tích cụ
o
eb
thể đồng thời kết hợp với máy tính cầm tay các em có thể nhanh chóng cho đáp số
chính xác. Điều này cần thiết cho các bài thi bằng trắc nghiệm khách quan.
F
D
- Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT
-P
vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán “Tính khoảng cách
er
trong không gian”.

rd
- Trong giới hạn của SKKN tôi giới thiệu 3 kỹ năng tính khoảng cách thường
lO
hay sử dụng trong chương trình toán THPT:

Kỹ năng tính khoảng cách bằng phương pháp hình học tổng hợp,
ai
•
Em
đồng thời kết hợp sử dụng công thức tính thể tích khối đa diện.
• Kỹ năng tính khoảng cách bằng phương pháp toạ độ trong không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
- Đưa ra một số ví dụ có phân tích lời giải cho học sinh tham khảo và bài tâp
áp dụng.
om
- Đây là nội dung thường gặp trong các kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng và Đại
học. Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều thì
l.c
mới đạt kết quả tốt.
ai
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.
gm
A. TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC TỔNG
s@
HỢP VÀ KẾT HỢP CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
es
Tóm tắt lý thuyết:
in
1. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
us
AB
1. sinα = (ĐỐI chia HUYỀN)
nb
BC
AC
ho
2. cosα = (KỀ chia HUYỀN)
BC yn
AB
3. tanα = (ĐỐI chia KỀ)
qu
AC
em
AC
4. cotα = (KỀ chia ĐỐI)
AB
k
ay
2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

:d
1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) =>AB2 = BC2 - AC2

ok
2. AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC 3. AH2 = BH.CH

o
1 1 1
eb
4. AB.AC = BC.AH 5. = +
AH 2
AB 2
AC 2
F
3. ĐỊNH LÍ CÔSIN
D
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA
-P
2. b2 = a2 + c2 – 2accosB
er
3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC
rd
a b c
lO
4. ĐỊNH LÍ SIN = = = 2R
sin A sinB sinC
ai
5. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (MN // BC)

Em
AM AN MN AM AN
1. = = ; 2. =
AB AC BC MB NC
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 7
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
1. Tam giác thường:
1 1 abc
S = ah ; S = a b s in C ;S = ; S = pr (r: bán kính đường tròn nội
om
2 2 4R
a + b + c
tiếp tam giác; p = ); S = p(p − a )(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông)
l.c
2
ai
2. Tam giác đều cạnh a:
gm
a 3 a2 3
a) Đường cao: h = ; b) S =
4
s@
2
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực.
es
1
3. Tam giác vuông: a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
in
2
us
b) Tâm đg tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
nb
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
ho
1 2
S= a (2 cạnh góc vuông bằng nhau) Cạnh huyền bằng a 2
2 yn
5. Nửa tam giác đều:
qu
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

em
a 3 a2 3
b) BC = 2AB c) AC = d) S =
k
2 8
ay
6. Tam giác cân:

:d
a) S=
1
ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
ok
2
b) Đường cao từ đỉnh là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
o
eb
1
7. Hình Thang: S = S = h(d1 + d2 ) (h: đường cao; d1, d2 là 2 cạnh đáy)
F
2
D
8. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

-P
9. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

er
1
rd
10. Hình thoi: S= d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

2
lO
11. Hình vuôngcạnh a: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

ai
b) S = π R2
Em
12. Đường tròn: a) Chu vi = 2 π R (R: bán kính đường tròn)

7. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a) Giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm.
2
b) Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng độ dài trung tuyến.
3
om
2. Đường cao: Giao điểm của ba đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của ba đường trung trực là tâm đường tròn
l.c
ngoại tiếp tam giác.
ai
gm
4. Đường phân giác: Giao điểm của ba đường phân giác là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác.
s@
8. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
es
1. HìnhChóp: Thông qua việc xác định chiều cao của hình chóp, ta có thể tạm
phân thành 4 dạng hình chóp (không xét hình chóp cụt) như sau:
in
- Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hay hình chóp có hai mặt bên cắt
us
nhau và cùng vuông góc với đáy.
nb
- Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
ho
- Hình chóp có đều.
- Hình chóp có thường(chiều cao tùy thuộc vào giả thiết của bài toán).
yn
Chú ý:
qu
Hình chóp đều: Hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với
em
tâm của đáy.

Tính chất: Các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với đáy các góc bằng nhau; Các
k
ay
mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và tạo với đáy các góc bằng nhau.
:d
Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
ok
2. Hình lăng trụ: Thông qua việc xác định chiều cao của hình lăng trụ , ta có
thể tạm phân thành 2 dạng hình lăng trụ như sau:
o
eb
- Hình lăng trụ đứng (chiều cao chính là cạnh bên của lăng trụ).
- Hình lăng trụ xiên (chiều cao tùy thuộc vào giả thiết của bài toán).
F
D
Chú ý:
-P
Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
er
Hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành⇒Hình hộp đứng là hình lăng
rd
trụ đứng có đáy là hình bình hành.

lO
3. Chứng minh sự vuông góc:

ai
Bài toán có yêu cầu chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α)
Em
Ta có thể thực hiện một trong các cách thông dụng sau:
+ Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong (α).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 9
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
+ Cách 2: Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (β) và (γ)
sao cho cả (β) và (γ) đều vuông góc với (α)
+ Cách 3: Chứng minh a song song với b và b vuông góc với (α).
om
+ Cách 4: Chứng minh 2 mặt phẳng (β) và (α) vuông góc với nhau theo giao
tuyến d và a nằm trong (β) và vuông góc với d.
l.c
Bài toán có yêu cầu chứng minh đường thẳng a vuông góc với đt b :
ai
gm
+ Cách 1: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b.
s@
+ Cách 2: Đường thẳng a song song với đường thẳng c và c vuông góc với b.
Bài toán có yêu cầu chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau
es
+ Cách 1: Tìm trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt
in
us
phẳng kia.
+ Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phảng đó bằng 900. thực hiện như sau:
nb
• B1: Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng.
ho
• B2: Trên ∆ xác định điểm I thuận lợi nhất, rồi từ I kẻ các đường thẳng
yn
a trong (α) và b trong (β) sao cho a và b vuông góc với ∆ .
qu
• B3: Chứng minh a và b vuông góc với nhau.
em
4. Khoảng cách: Từ vị trí tương đối của ba đối tượng trong không gian là điểm,
đường thẳng, mặt phẳng ta có 5 bài toán tính khoảng cách sau:
k
ay
• Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : Khoảng cách từ một
:d
điểm M đến đường thẳng ∆ là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H của nó
ok
trên ∆. kí hiệu d(M, ∆) = MH (MH ⊥ ∆ và H ∈ ∆).

o
eb
• Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) : Khoảng cách từ một
điểm M đến mặt phẳng (α) là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H của nó
F
D
trên mặt phẳng (α). kí hiệu d(M, (α)) = MH (MH ⊥ (α) và H ∈ (α)).
-P
Để xác định hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (α) : Ta thực hiện :
er
rd
B1: Xác định mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (α) theo giao tuyến d.
lO
B2: Trong mặt phẳng (P) kẻ MH vuông góc với d (H thuộc d) thì MH ⊥ (α) .
ai
Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) bằng MH.

Em
Chú ý: Khi việc xác định hình chiếu H phức tạp, do đó việc tính khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (α) quá khó thì ta có thể đổi cách tính khoảng cách:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 10
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- Đổi điểm song song: Xác định đường thẳng ∆ đi qua M và song song với (α);
với A là một điểm thuộc ∆ và A khác M, khi đó d(M, (α)) = d(A, (α))
- Đổi điểm cắt nhau: Cho đoạn thẳng MA cắt mặt phẳng (α) tại B, khi đó :
om
( ) = MB
d M,(α )
l.c
d ( A,(α ) ) AB
ai
gm
• Bài toán 3: Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) song song :
Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) song song bằng khoảng cách
s@
từ điểm M tùy ý trên đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α).
• Bài toán 4: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song :
es
Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm M tùy ý
in
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
us
• Bài toán 5: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a, b chéo nhau: Kí hiệu d(a, b)
nb
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a, b chéo nhau:
Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.
ho
Bằng khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng song song với nó
yn
chứa đường thẳng b.
Bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b.
qu
Chú ý :Cách xác định đoạn vuông góc chung khi hai đường thẳng a, b chéo và
em
vuông góc với nhau.

5. Góc:
k
a) Góc ϕ (00 ≤ ϕ ≤ 900) giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc
ay
giữa hai đường thẳng a’ ,b’ cắt nhau và lần lượt song song với hai đường
:d
thẳng a, b.
b) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó
ok
với hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.

o
c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì lần lượt vuông
eb
góc với hai mặt phẳng đó.

Thực hành: Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, sau đó tìm hai đường thẳng
F
trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. khi đó góc
D
giữa hai đường thẳng là góc cần tìm (chú ý định lí ba đường vuông góc).
-P
9. KHỐI ĐA DIỆN:
er
1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
rd
1
lO
2. Thể tích khối chóp: V = B h (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
3
ai
3. Tỉ số thể tích của khối chóp: Khối chóp tam giác SABC có A/, B/, C/ thuộc
Em
V SA ′ SB′ SC ′
các cạnh SA, SB, SC. Khi đó: S.A ′B′C ′ = . . .
V SA SB SC
S.ABC
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 11
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:
Tóm tắt lý thuyết
Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
om
1. Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)
l.c
Hệ gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng

ai
với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là i, j , k .
gm
• O: gốc tọa độ
• x ' Ox : trục hoành
s@
• y ' Oy : trục tung
es
• z ' Oz : trục cao
in
2. Tọa độ của vectơ trong không gian
us

2.1. Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y. j + z.k
nb

ho
Với định nghĩa trên, ta có: 0 = (0;0;0) , i = (1;0;0 ) ,

j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1)
yn
qu
2.2. Các công thức về tọa độ của vectơ trong không gian
em

Cho a = ( 1 1 1 ) = ( x2 ; y2 ; z2 ) và số thực k
x ; y ; z , b
k
ay

a) a ± b = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 ) b) ka = ( kx1; ky1; kz1 )
:d
 x1 = x2  x1 = tx2
ok
 
c) a = b ⇔  y1 = y2 d) a cùng phương b ⇔ ∃t ∈ ℝ : a = tb ⇔:  y1 = ty2
o
z = z  z = tz
eb
 1 2  1 2
F
x1 y1 z1
⇔ = = (với điều kiện: x2 y2 z2 ≠ 0 )
D
x2 y2 z2
-P

( )
er
e) Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa: a.b = a b cos a, b

rd
2 2 2
Biểu thức tọa độ: a.b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 Hệ quả: a = x1 + y1 + z1
lO
ai
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
( )
cos a, b = ( a, b ≠ 0 )
Em
x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22

a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 12
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f) Tích có hướng của hai vectơ:

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ a, b là một vectơ được kí hiệu và xác
 x2 x3 x3 x1 x1 x2 
om
định như sau:  a, b  = a ∧ b =  ; ; 
 y2 y3 y3 y1 y1 y2 
l.c
Tính chất:
ai

 a, b  ⊥ a và  a, b  ⊥ b ;  a, b  = − b, a  ;  a, b  = a b .sin a, b ( )
gm
         

s@
a và b cùng phương ⇔  a, b  = 0 ; a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0
es
1
Ứng dụng: Diện tích tam giác: S ∆ABC =  AB, AC 
2 
in
us

Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  . AA '
nb
1
ho
Thể tích khối tứ diện: VABCD =  AB, AC  . AD
6
yn 
3. Tọa độ của điểm trong không gian

qu

3.1. Định nghĩa: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z )
em
Với định nghĩa trên, ta có: O ( 0;0;0 )

k
ay
M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 )

:d
M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z )

ok
M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z )
o
eb
3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian
F
Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; y B ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC )
D

-P
AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
er
2 2 2
rd
AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A )
lO
 x + xB y A + y B z A + z B 
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M  A ; ; 
ai
 2 2 2 
Em
x +x +x y +y +y z +z +z 
Tọa độ trọng tam G của tam giác ABC: G  A B C ; A B C ; A B C 
 3 3 3 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 13
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu giá của

om
n vuông góc với (α ) .

l.c
- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm
trên mặt phẳng (α ) thì ta có thể chọn ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
ai

gm
(α ) là n =  a, b  .
s@
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:
es
Ax + By + Cz + D = 0 , với A2 + B 2 + C 2 > 0

in
Trong đó, n = ( A; B; C ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
us

- Mặt phẳng (α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp
nb
tuyến có phương trình là:
ho
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
yn
Chú ý: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm
qu
x y z
( a; 0;0) ,( 0;b;0 ) ,C ( 0;0;c ) (abc ≠ 0) ) là: + + = 1
em
a b c
Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
k
ay
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

:d
- Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của

ok
u song song với ∆ hoặc chứa trong ∆ .

o
- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và cùng có giá vuông góc với
eb

∆ thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u =  a, b  .
F
D
2. Phương trình của đường thẳng.

-P
a) Phương trình tham số của đường thẳng:

er

- Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương a = (a1;a2;a3) ,
rd
lO
x = x 0 + a1t

có phương trình tham số là : y = y 0 + a2 t ( t ∈ R), (a12 + a22 + a32 ≠ 0)
ai
z = z + a t
Em
 0 3
Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị x, y, z tương ứng là tọa độ của một điểm
M thuộc đường thẳng.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 14
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường
x − x 0 y − y 0 z − z0
thẳng ∆ là: = = (a1.a2 .a3 ≠ 0)
om
a1 a2 a3
l.c
Phần4 : KHOẢNG CÁCH
ai
1.Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
gm
A x 0 + By 0 + Cz 0 + D
d ( M 0 ,(α )) =
s@
A 2 + B 2 +C 2
es
2. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 và có vectơ

 MM0 ,a 
in
 
us
chỉ phương a d ( M ;∆ ) =
a
nb
3. Khoảng cách giữa hai đườngthẳng chéo nhau.
ho
Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau . yn
∆1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 )
qu

∆2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 )
em
Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được tính bằng công thức sau:
k

ay
 a , b  .M1 M 2
d ( ∆1 ; ∆2 ) =
:d
 a , b 
ok
Giải bài toán bằng hình học không gian bằng phương pháp tọa độ:
o
Để giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp sử dụng tọa độ Đê –
eb
các trong không gian Oxyz, ta thường thực hiện các bước sau:
F
D
Bước 1: Từ giả thiết cả bài toán, lập hệ tọa độ thích hợp rồi từ đó suy ra tọa
-P
độ các điểm cần thiết.

er
Bước 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian bằng
rd
cách:
lO
+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định.
ai
+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần chứng minh.
Em
+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị.
+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm quỹ tích…
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 15
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi M, N
om
lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt
l.c
phẳng (AMN).
ai
Giải.
gm
s@
Phân tích: Ta cần tìm hình chiếu của S lên
mặt phẳng (AMN), việc xác định là không
es
khó nhưng khi tính khoảng cách từ điểm S
in
đến hình chiếu thì gặp khó khăn. Do đó ta
us
không thực hiện tính trực tiếp từ S mà
nb
thực hiện chuyển đổi khoảng cách để việc
ho
tính toán thuận lợi hơn. Ta thực hiện tính yn
từ điểm O. Tuy vậy, việc xác định hình
qu
chiếu của O lên mặt phẳng (AMN) là đơn

em
giản nhưng khi tính khoảng cách từ O đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng
k
ay
(AMN) cũng không đơn giản, do đó ta chuyển đến việc tính khoảng từ trung điểm
:d
E của AO đến mặt phẳng (AMN).

ok
Ta có SO cắt (AMN) tại trung điểm I của MN, khi đó I cũng là trung điểm của SO.
d ( S, ( AMN ) )
o
SI
= = 1 ⇒ d ( S, ( AMN ) ) = d ( O, ( AMN ) )
eb
Vậy
d ( O, ( AMN ) ) OI
F
Gọi E là trung điểm của AO thì IE // SA nên IE ⊥ (ABCD).

D
Kẻ EF ⊥ AI (F ∈ AI) và do MN ⊥ (SAC) nên MN ⊥ EF

-P
a 21
er
Vậy EF ⊥ (AMN) và d(E, (AMN)) = EF =

14
rd
d ( O, ( AMN ) )
lO
OA a 21
Mà = = 2 ⇒ d ( O, ( AMN ) ) = 2d ( E, ( AMN ) ) =
d ( E, ( AMN ) ) EA 7
ai
Em
Cách giải 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
1 1 1 a 2
Từ giả thiết ta tìm được AM = AN = SB = SD = a; SA = a 3 ; MN = BD =
2 2 2 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 16
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7 1 a 14
Trong tam giác SAO ta có SO = a ; AI = SO =
2 2 4
1 a 7
Diện tích của tam giác AMN là SAMN = AI.M N =
om
2 8
1 a3 3
l.c
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = SA.SABCD =
3 3
ai
1 1 a3 3
gm
Thể tích khối chóp S.AMN là VS.AMN = VS.ABD = VS.ABCD =
4 8 24
s@
3VS. AMN a 21
Do đó d(S, (AMN)) = = .
S∆AMN 7
es
Cách giải 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
in
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A(0; 0; 0),
us
 a a 3 a a 3
D(a; 0; 0), B(0; a; 0), S(0; 0; a 3 ), M  0; ;  , N  ;0; .
nb
 2 2   2 2 
ho
Ta có phương trình mặt phẳng (AMN): 3 x + 3 y – z = 0.
a 3 a 21
yn
Do đó d(S, (AMN)) = = .
qu
7 7
em
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a,
a 5
k
SA = . Gọi I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là
ay
2
trung điểm H của BC. Tính theo a khoảng cách từ I đến (SAB).
:d
Giải
ok
o
Phân tích: Ta cần tìm hình chiếu của I lên mặt phẳng
eb
(SAB), việc xác định là khó vì phải chọn mặt phẳng đi

F
qua I và vuông góc với mặt phẳng (SAB). Tuy nhiên nếu
D
-P
ta chú ý đến giải thiết của bài toán thì dễ thấy IH // (SAB)
er
do đó thay vì tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB)

rd
ta thực hiện tính khoảng cách từ điểm H đến (SAB).

lO
Ta có IH // SB và IH ⊄ (SAB) do đó IH // (SAB).
ai
Vậy d(I, (SAB)) = d(H, (SAB))

Em
Kẻ HM ⊥ AB (M ∈ AB) thì AB ⊥ (SHM), do đó mặt phẳng (SAB) ⊥ (SHM) và

(SAB) ∩ (SHM) = SM.
Trong mặt phẳng (SHM), kẻ HK ⊥ SM (K∈SM) thì HK ⊥ (SAB). Khi đó K là
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 17
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng (SAB) hay d(H, (SAB)) = HK
1 a 2 a 3
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH =
BC = , SH =
2 2 2
a
om
Tam giác AHB vuông cân tại H suy ra HM = .
2
l.c
a 3
Trong tam giác SHM ta tính được HK = .
ai
4
gm
Cách giải 2:Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
s@
es
1 a 2 a 3
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH = BC = , SH =
in
2 2 2
us
1 a3 3 1 1 1
Do đó VS.AHB = SH. S∆AHB = và S∆SAB = SM. AB = a. a = a2
nb
3 24 2 2 2
a 3
ho
3VS.AHB
Vậy d(H, (SAB)) = = .
S∆SAB 4 yn
qu
em
 a a a 3   a 3a a 3 
B(a; 0; 0), C(0; a; 0), S  ; ;  , I ; ; .
k
2 2 2  4 4 4 
ay
Ta có phương trình mặt phẳng (SAB): 3 y – z = 0.

:d
a 3
ok
Do đó d(I, (SAB)) = .
4
o
Bài 3. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a 2 , góc giữa cạnh bên và
eb
mặt đáy bằng 600. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa
F
hai đường thẳng AB, SC.

D
Giải
-P
er
Phân tích: Ta thấy AB và SC là hai đường thẳng chéo

rd
nhau nên khoảng cách giữa AB và SC bằng độ dài đoạn

lO
vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy nhiên,việc

ai
xác định đoạn vuông góc chung của AB và SC là

Em
không đơn giản, do đó ta thực hiện đi tính

khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 18
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
song song với nó và chứa đường thẳng SC. Khi đó ta thực hiện tính khoảng cách từ
một điểm tùy ý trên AB đến mặt phẳng (SCD), chẳng hạn là điểm A. Lúc này ta cần
xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD), nhưng việc làm này gặp phức tạp vì
om
phải chọn mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (SCD). Do đó ta thực hiện đổi
l.c
khoảng cách tính từ điểm O đến mặt phẳng (SCD).
ai
Gọi M là trung điểm CD, thì (SOM) ⊥(SCD) và (SOM) ∩ (SCD) = SM.
gm
Trong mặt phẳng (SOM), kẻ OK ⊥ SM (K ∈ SM) thì OK ⊥ (SCD).
s@
Do đó d(O, (SCD)) = OK.
es
a 2 a 6
Từ tam giác vuông SAO ta tính được AO = , SO =
in
2 2
us
a
Hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên OM =
nb
2
a 3
ho
Từ tam giác SOM ta tính được OK = .
14 yn
Mặt khác ta có AB // CD và AB ⊄ (SCD) do đó AB // (SCD).
qu
Vậy d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

em
d ( A, ( SCD ) ) AC
Mà AO ∩ (SCD) = C nên = =2
d ( O, ( SCD ) ) OC
k
ay
a 42
:d
⇒ d(A, (SCD)) = 2 d(O, (SCD)) = 2OK = .

7
ok
o
Ta có AB // CD và AB ⊄ (SCD) do đó AB // (SCD).
eb

F
D
a 2 a 6
-P

2 2
er
a a 7
rd
Từ tam giác vuông SOM ta tính được OM = , SM =

2 2
lO
1 a2 7 1 a3 6
ai
Khi đó S∆SCD = .SM.CD = và VS.ACD = SO.S∆ACD = .

2 4 3 12
Em
3VS.ACD a 42
Vậy d(A, (SCD)) = =
S∆SCD 7
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 19
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với O(0; 0; 0),
a 2   a 2   a 2   a 6  a 2 
A ;0;0  , B  0; − ;0  , C  − ;0;0  , S  0;0  , D  0; ;0  .
om
 2   2   2   2   2 

 AB, SC .AC a 42
l.c
 
d(AB, CD) = =
ai
 AB, SC  7
 
gm
Chú ý: Ta có thể thực hiện tính cách khác như sau:
s@
a 6
Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (SCD): 3x – 3y – z + = 0.
2
es
a 42
Do đó d(A, (SCD)) = .
in
7
us
Bài 4. (Đề thi tập trung lần 1 năm học 2015 – 2016, Trường THPT Nguyễn Trãi)
nb
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, hình chiếu vuông góc
ho
của đỉnh S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn AO. Biết
a yn
rằng SC = 3a và OH = .Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
2
qu
(SBD).
em
Giải
k
ay
Phân tích: Ta cần xác định hình chiếu của A lên

:d
mặt phẳng (SBD), do đó phải chọn mặt phẳng đi

ok
qua A và vuông góc với mặt phẳng (SBD).

o
Dễ thấy mặt phẳng (SAO) vuông góc và cắt mặt

eb
phẳng (SBD) theo giao tuyến SO. Khi đó trong

F
mặt phẳng (SAO), kẻ AE ⊥ SO ( E ∈ SO)

D
-P
thì AE ⊥ (SBD) hay d(A, (SBD)) = AE.

er
Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a

rd
3a 3
lO
∆SCH vuông tại H, nên ta có SH = SC 2 − HC 2 =

2
ai
Tam giác SHO vuông tại H nên SO = SH 2 + OH 2 = a 7 .

Em
SH .AO 3a 21
Ta có AE.SO = SH.AO, suy ra d (A, (SBD )) = AE = =
SO 14
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 20
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a, suy ra đáy có độ dài cạnh bằng a 2
om
1 a3 3 1
và S∆SBD = SO. BD = a2 7
l.c
Ta có VS.ABD = SH.S∆ABD =
3 2 2
ai
3VS.ABD 3a 21
gm
Vậy d(A, (SBD)) = =
S∆SBD 14
s@
es
 a 3a 3 
A(0; –a; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), D(–a; 0; 0), S  0; − ; .
in
 2 2 
us
nb
3a 21
Ta có phương trình mặt phẳng (SBD): 3 3 y + z = 0, do đó d(A, (SBD)) = .
14
ho
yn
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
qu
AC = a 3 , AA′ = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng
em
với trung điểm H của cạnh BC. Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
k
(ABB′A′).
ay
Giải
:d
ok
Phân tích: Ta cần xác định

o
eb
hình chiếu của C lên mặt phẳng

(ABB′A′), do đó phải chọn mặt
F
D
phẳng đi qua C và vuông góc

-P
với mặt phẳng (ABB′A′).Tuy

er
rd
nhiên việc xác định là không khó

lO
nhưng khi tính khoảng cách từ C

ai
đến hình chiếu thì gặp phức tạp,

Em
do đó ta thực hiện đổi tính khoảng

cách từ điểm H đến mặt phẳng (ABB′A′).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 21
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ta có CH ∩ (ABB′A′) = B
d ( C, ( ABB′A′ ) ) CB
Do đó = = 2 ⇒ d ( C, ( ABB′A′ ) ) = 2d ( H, ( ABB′A′ ) )
d ( H, ( ABB′A′ ) ) HB
om
Gọi I là trung điểm của AB thì mặt phẳng (A′HI) vuông góc và cắt mặt phẳng
l.c
(ABB′A′) theo giao tuyến A′I. Trong mặt phẳng (A’HI) , kẻ HK ⊥ A′I (K ∈ A′I) thì
ai
gm
HK ⊥ (ABB′A′) hay d(H, (ABB′A′)) = HK
1 a 3
s@
Trong tam giác ABC ta có BC = AH = a, HI = AC = .
2 2
es
Trong tam giác A′HA ta có A′H = a 3
in
1 1 1 5 a 15
us
Trong tam giác A′HI ta có = + = 2 ⇒ HK =
HK 2
A ′H 2
HI 2
3a 5
nb
2a 15
ho
Vậy d ( C, ( ABB′A′ ) ) = 2d ( H, ( ABB′A′ ) ) = 2HK = .
yn 5
qu
Từ giả thiết ta tính được
em
1 a 3
2 2
k
ay

:d
a 15
Trong tam giác A′HI ta có A′I =
2
ok
1 1 1 a3 1 a2 15
o
Mà VA′.ABH = A H.S∆ABH = A H. HI.AB =

′ ′ và S∆A′AB = A I.AB =
′ .
eb
3 3 2 4 2 4
3VA′.ABH a 15
F
Do đó d ( H, ( ABA′ ) ) = =
D
S∆A′AB 5
-P
2a 15
er
5
rd

lO
a a 3 
ai
B(a; 0; 0), C(0; a 3 ; 0), A′  ; ;a 3  .

Em
2 2 
2a 15
Ta có phương trình mặt phẳng (A′AB): 2y – z = 0, do đó d(C, (ABB′A′)) = .
5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 22
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng
cách giữa hai mặt phẳng ( AB ' D ' ) và (C ' BD ) .
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
om
Giải
l.c
Phân tích: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
ai
( AB ' D ' ) và (C ' BD ) song song bằng khoảng cách
gm
từ một điểm bất kì trên mặt phẳng (C ' BD ) đến
mặt phẳng ( AB ' D ' ) . Tuy nhiên ta cần chọn
s@
điểm sao cho qua điểm đó có mặt phẳng
es
vuông góc với mặt phẳng ( AB ' D ' ) , khi đó nếu
in
gọi O và O′ lẩn lượt là tâm của hai hình vuông
us
ABCD và A 'B'C'D' thì điểm O chính là điểm
nb
thỏa mãn yêu cầu.
ho
Gọi O và O′ lẩn lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A 'B'C'D ' .
yn
Dễ thấy ( AB' D' ) // (C ' BD ) nên d( (AB'D') , (C ' BD) ) = d(O, ( AB ' D ' ) ).
qu
Mặt khác mặt phẳng ( A 'C'CA ) đi qua O và vuông góc và cắt mặt phẳng
em
( AB' D' ) theo giao tuyến O'A , khi đó kẻ OK ⊥ O'A (K∈ O'A ) thì OK ⊥ ( AB' D' )
Vậy d(O, ( AB' D' ) ) = OK
k
ay
a 2 a 3
Trong tam giác vuông O'OA ta có O'O = a và OA = , suy ra OK =
:d
2 3
ok
Phân tích: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB ' D ' ) và (C ' BD ) song song bằng
o
eb
khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng (C ' BD ) đến mặt phẳng ( AB ' D ' ) .
Khác với cách giải 1, ta chọn điểm C' .
F
D
Ta có C'A′ ∩ ( AB' D' ) = O' nên d( C′,(AB'D') ) = d( A′,(AB'D') )

-P
a3 a2 3
Mặt khác VA′.B′D′A = và S∆B′D′A =
er
6 2
rd
3VA′.B′D′A a 3
lO
Vậy d( A′,(AB'D') ) = =
S∆B′D′A 3
ai

Em
khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng (C ' BD ) đến mặt phẳng ( AB ' D ' ) ,
ta chọn điểm B.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 23
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với C(0; 0; 0),
B(a; 0; 0), A(a; a; 0), C′(0; 0; a) B′(a; 0; a), D′(0; a; a).
Ta có phương trình mặt phẳng ( AB ' D ' ) : x + y + z – 2a = 0
om
a 3
Vậy d( B,(AB'D') ) = .
3
l.c
Bài 7. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh
ai
– năm 2015)
gm
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′có A′ABD hình chóp đều và AB = AA′ = a. Tính theo
s@
a thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và
A′C′.
es
in
us
nb
ho
yn
qu
k em
ay
∗ Tính thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′

:d
Do A′ABD là hình chóp đều, khi đó gọi G là trọng tâm của tam giác ABD thì
ok
A′G ⊥ (ABD) hay A′G là chiều cao của hình hộp.

o
a 3
eb
Gọi O là giao điểm của BD và AC thì AG =

3
F
a 6
D
Trong tam giác A′AG ta có A′G = A′A 2 − AG 2 =

-P
3
er
a2 3 a3 2
Do đó SABCD = 2SABD = và VABCD.A′B′C′D′ = A′G.SABCD =
rd
2 2
lO
∗ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và A′C′ chéo nhau
ai
Phân tích: Ta thấy AB′ và A′C′ là hai đường thẳng chéo nhau nên khoảng cách giữa
Em
AB′ và A′C′ bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy nhiên,việc
xác định đoạn vuông góc chung của AB′ và A′C′ là phức tạp, do đó ta thực hiện đi
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 24
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
tính khoảng cách giữa A′C′ và mặt phẳng (AB′C) song song với nó và chứa đường
thẳng AB′. Khi đó ta thực hiện tính khoảng cách từ một điểm tùy ý trên A′C′ đến mặt
phẳng (AB′C), chẳng hạn là điểm H. Lúc này ta cần xác định hình chiếu K của H lên
om
mặt phẳng (AB′C), do đó ta cần chọn mặt phẳng đi qua H và vuông góc với mặt
l.c
phẳng (AB′C), ta thực hiện giải như sau:
ai
gm
Gọi H là giao điểm của B′D′ và A′C′. Do A′C′ // AC nên A′C′ // (AB′C)
Do đó d(A′C′, AB′) = d(A′C′, (AB′C)) = d(H, (AB′C))
s@
Kẻ HE // A′G (E ∈ AC) thì ta có mặt phẳng (B′HE) vuông góc và cắt mặt phẳng
es
(AB′C) theo giao tuyến B′E.
in
Kẻ HK ⊥ B′E (K ∈ B′E) thì HK ⊥ (AB′C) hay d(H, (AB′C)) = HK
us
Trong tam giác B′HE ta có:
nb
1 1 1 11 a 22
= + = ⇒ HK =
HK 2 B′H 2 HE 2 2a 2 11
ho
yn
qu
em
k
ay
:d
ok
phẳng (AB′C), chẳng hạn là điểm A′. Lúc này ta cần xác định hình chiếu của A′ lên
o
mặt phẳng (AB′C), tuy nhiên việc xác định này gặp phức tạp do đó ta thực hiện tính
eb
khoảng cách từ điểm B như sau:

F
Dễ thấy d(A′, (AB′C)) = d(B, (AB′C))

D
-P
1 a3 2
Ta có VB′.ABC = VABCD.A′B′C′D′ =
er
6 12
rd
2 2 a 33
Trong tam giác B′HE ta có B′E = B′H + HE =
lO
6
1 a 2 11
ai
Khi đó tam giác AB′C có diện tích S∆AB′C = .B′E. AC = .

Em
2 4
3VB′.ABC a 22
d(B, (AB′C)) = = .
S∆AB′C 11
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 25
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cách giải 3: Phương pháp tọa độ trong không gian:
a 3  a 3 a 6  −5a 3 a 6  −a 3 −a a 6 
A ;0;0  , A′  ; 0;  , C′  ; 0;  , B′  ; ; .
3 
om
2  6 3   6 3   3 2
 

l.c
 A′C′, AB′ .AC′
  a 22
Ta có d(A′C′, AB′) = =
ai
 A′C′, AB′ 11
 
gm
s@
Từ hệ trục tọa độ đã lập ta có phương trình mặt phẳng (AB′C): 2 2 y – 3z = 0
a 22
es
d(A′C′, AB′) = d(A′C′, (AB′C)) = d(A′, (AB′C)) =
11
in
Kết luận chung:
us
Giải bài toán tính khoảng cách trong không gian bằng phương pháp hình
nb
học tổng hợp hầu hết được qui về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một
ho
mặt phẳng, khi đó ta chỉ cần xác định được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
yn
thì xem như bài toán giải được. Tuy nhiên trong một số trường hợp việc tính trực
qu
tiếp gặp khó khăn thì ta thực hiện đổi khoảng cách để việc tính toán được đơn
em
giản và thuận lợi hơn; Trong trường hợp tính khoảng cách từ một điểm đến một
k
mặt phẳng bằng cách sử dụng công thức thể tích thì cần chọn khối đa diện sao cho
ay
dễ tính được thể tích và mặt phẳng đáy sao cho dễ tính được diện tích.
:d
Giải bài toán tính khoảng cách trong không gian bằng phương pháp tọa độ
ok
việc khó khăn nhất là tìm được tọa độ của những điểm liên hệ đối với yêu cầu của
o
eb
bài toán. Đôi khi việc kết hợp với hình học tổng hợp giúp ta đến được kết quả
nhanh hơn và đỡ phức tạp hơn. Một khi tọa độ được xác định thì việc còn lại là áp
F
D
dụng công thức, khi đó không phải ta không cần mất thời gian phân tích và suy
-P
luận như hình học tổng hợp.

er
Tuy vậy, mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và nhược điểm của nó,
rd
lO
do đó ta không nên nên quá coi trọng phương pháp này mà xem nhẹ phương pháp
kia, các bài tập đều được nhấn mạnh những ưu điểm và nhược điểm. Hy vọng
ai
Em
chuyên đề này giúp các em củng cố kiến thức và có hứng thú hơn với môn hình
học không gian.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 26
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập tự luyện
Bài 1. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc
om
với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm;
l.c
BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
ai
phẳng (BCD).
gm
6 34
Đáp số: d ( A, ( BCD ) ) = cm
s@
17
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
es
với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
in
450.
us
nb
a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) .
ho
c) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC. yn
qu
a3 2
Đáp số: a)
em
3
a 6
b) d ( B, ( SCD ) ) =
k
3
ay
a 10
:d
c) d ( SB, AC ) =
5
o ok
eb
F
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD

D
là hình vuông cạnh là 2a. SA ⊥ (ABCD) và

-P
SA= 2a , gọi M là trung điểm SD . Tính theo a

er
rd
khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CM.

lO
2a 11
Đáp số: a) d ( BD,CM ) =
ai
11
Em
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 27
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’
= 1200 v à
có đáy là hình thoi cạnh a, BAD
A ' C = a 5 . Tính theo a thể tích khối lăng
om
trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB’ và BD.
l.c
2a
ai
Đáp số: V = a3 3; d ( AB′, BD ) =
17
gm
s@
es
in
Bài 5. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1
us
có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
nb
AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của
ho
điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng
với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai
yn
qu
mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng
em
600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B1

đến mặt phẳng (A1BD).
k
ay
a 3
(
Đáp số: d B1 , ( A1BD ) = )
:d
2
o ok
eb
Bài 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C '
có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy
F
D
AB = 2a và góc
ABC = 300. Mặt phẳng
-P
( C ' AB ) tạo với (ABC) một góc bằng 600.

er
rd
Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C '
lO
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC′

ai
và CB′ theo a.
Em
3 3 2
Đáp số: V = a , d ( AC′, CB′ ) = a
3 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 28
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 7. (trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy
là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng
om
của D qua trung điểm của SA, M là trung
l.c
điểm của AE, N là trung điểm của BC.
ai
Chứng minh MN vuông góc với BD và
gm
tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng
s@
MN và AC.
Đáp số: MN // (SAC) và BD ⊥ (SAC) suy ra BD ⊥ MN
es
a 2
in
d ( MN , AC ) =
4
us
Bài 8. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )
nb
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
ho
= 900 , AB = BC = a , AD = 2a, SA
ABC = BAD
vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình
yn
chiếu của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD
qu
vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt

em
phẳng (SCD).
k
Đáp số: Tam giác SCD vuông tại C

ay
a
d ( H ,( SCD ) ) =
:d
3
o ok
Bài 9. ( trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A, A1 năm 2014 )
eb
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

F
3a
hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu của
D
2
-P
S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh

er
AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

rd
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

lO
a3
ai
Đáp số: VS . ABCD =

Em
3
2a
d ( A,( SBD) ) =
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 29
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
- Tài liệu phù hợp với mọi đối tượng học sinh, do đó học sinh tích cực, tự giác
học tập.
- Củng cố được nhiều kỹ năng như Phân tích, Tư duy. Tổng hợp... Giúp các
om
em học sinh tự tin hơn trong việc học môn Toán.
l.c
- Tránh áp đặt cách giải theo ý của giáo viên hoặc đưa ra quá nhiều
ai
chương trình giải mẫu sẽ làm mất tính sáng tạo của học sinh.
gm
- Học sinh tiến bộ qua từng bài toán từ đó phát huy được tính ham học
của các em.
s@
- Thống kê:
Năm học ĐTB < 6,5
es
6,5 ≤ ĐTB < 8,0 8,0 ≤ ĐTB
in
2015 – 2016 15% 55% 30%
us
2016 – 2017 5% 35% 60%
nb
ho
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ
yn
- Có thể đưa vào chương trình học và xem như là bài đọc thêm, trên cơ sở đó
qu
giáo viên và học sinh tham khảo và rèn luyện.
em
- Đối với một số học sinh yếu bước đầu sẽ rất nhọc nhằn từ đó dễ sinh
chán nản. Phải kiên trì thực hiện từng bước mới thành công.
k
ay
VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

:d
1. Một số bài tập trích từ đề thi Đại học – Cao đẳng từ năm 2002 đến năm
ok
2015.
o
eb
2. Văn Như Cương (chủ biên), SGK Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục năm
2000.
F
3. Một số đề thi tập trung của trường THPT Nguyễn Trãi năm 2013, 2014.
D
-P
4. Một số bài toán được tác giả tích lũy trong quá trình giảng dạy.
er
rd
NGƯỜI THỰC HIỆN

lO
ai
Em
Đặng Thanh Hãn
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 30
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hết
om
l.c
ai
gm
s@
es
in
us
nb
ho
yn
qu
k em
ay
:d
o ok
eb
F
D
-P
er
rd
lO
ai
Em
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 31
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BM 01-Bia SKKN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
om
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
l.c
Mã số: ................................
ai
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
gm
s@
es
in
us
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
nb
ho
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN
yn
qu
k em
ay
:d
ok
Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃN

o
eb
Lĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục
F
D
- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN

-P
er
- Lĩnh vực khác: .......................................................

rd
lO
ai
Em
Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
Mô hình Đĩa CD (DVD) Phim ảnh Hiện vật khác
(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Năm hTrang
ọc: 2016: 32 - 2017
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
om
BM02-LLKHSKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
l.c
––––––––––––––––––
ai
gm
IV. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
10. Họ và tên: ĐẶNG THANH HÃN
s@
11. Ngày, tháng, năm sinh: 01 – 08 – 1976
es
12. Nam, nữ: NAM
in
13. Địa chỉ: KP 9, phường Tân Biên, TP Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai
us
14. Điện thoại: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0919302101
nb
15. Fax: E-mail:
ho
16. Chức vụ: Giáo viên
yn
17. Nhiệm vụ được giao (quản lý, đoàn thể, công việc hành chính, công việc
chuyên môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng môn Toán lớp
qu
10C1, 12A2, 12A10; Chủ nhiệm lớp 12A10.

em
18. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi

V. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
k
ay
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học
:d
- Năm nhận bằng: 2000

ok
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

o
VI. KINH NGHIỆM KHOA HỌC

eb
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán.

F
- Số năm có kinh nghiệm: 17 năm.

D
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 02

-P
er
rd
lO
ai
Em
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 33
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tên SKKN : RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG
om
KHÔNG GIAN
l.c
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
ai
gm
- Trong chương trình Toán học THPT, môn hình học không gian là một nội dung
quan trọng ở hai năm học cuối cấp. Trong đó, các bài toán tính khoảng cách là
s@
một nội dung phong phú và đem lại nhiều thú vị.
es
Có thể nói, “Kỹ năng tính khoảng cách trong không gian” là đỉnh cao của môn
in
hình học không gian , vì để giải quyết tốt các bài toán tính khoảng cách trong
us
không gian đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức hình học, phải biết
nb
phân tích và có tư duy ở mức độ cao; biết cách nhận xét mối quan hệ của các đối
ho
tượng: “điểm, đường thẳng, mặt phẳng” để từ đó đề xuất cách giải phù hợp.
yn
- Tuy vậy, trong chương trình toán THPT ở môn hình học không gian, các em học
qu
sinh được tiếp cận với các bài tính khoảng cách ở một vài ví dụ cơ bản đơn giản,
em
thiếu hệ thống và tính liên hệ. Nhưng trong thực tế, các bài toán tính khoảng cách
k
xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng gây không ít
ay
khó khăn cho các em học sinh, trong khi đó chỉ có số ít các em biết phương pháp
:d
để giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được rõ ràng, thậm chí còn mắc một
ok
số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
o
eb
Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hiện hành, bài
toán tính khoảng cách được trình bày ở cuối chương III (cuối học kỳ II) rất là ít và
F
D
hạn chế. Chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa
-P
ra cách giải thích vắn tắt và dễ mắc sai lầm. Hơn nữa, do số tiết phân phối chương
er
trình cho phần này quá ít (3 tiết) nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên
rd
không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải
lO
cho học sinh mặc dù cách giải nào cũng có chung một mục đích là chuyển về bài
toán tính “khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”.
ai
- Trong những năm học qua, khi được phân công giảng dạy lớp 11, 12 qua nhận
Em
xét và đánh giá, tôi thấy đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo về vận
dụng kiến thức; nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay mở rộng kiến thức vào từng
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 34
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
dạng toán cụ thể.Vì vậy, trong các giờ dạy, việc củng cố kiến thức và bồi dưỡng
năng lực tư duy cho học sinh thông qua các bài toán là một điều cần thiết. Khi đó
người thầy phải có phương pháp truyền thụ tốt và kiến thức chuyên sâu để dẫn dắt
om
học sinh, đồng thời cần hệ thống hóa lại bài tập để học sinh vận dụng có hiệu quả.
l.c
- Tôi viết chuyên đề này với mục đích “Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong
ai
không gian”, một câu hỏi thường gặp trong các kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao
gm
đẳng trong những năm gần đây, nhằm giúp các em học sinh lớp 12 có thể tự ôn
s@
tập để nâng cao kiến thức và đạt mức điểm 7 trong đề thi Đại học - Cao đẳng.
es
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn không thể tránh được những thiếu sót,
in
rất mong được sự góp ý của quý thầy cô và các em học sinh. Chúc các em học tập
us
thật tốt và đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới; Chúc quý thầy cô hạnh phúc và
nb
thành công trong sự nghiệp trồng người.
ho
yn Tôi xin chân thành cảm ơn !
qu
k em
ay
:d
o ok
eb
F
D
-P
er
rd
lO
ai
Em
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 35
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
om
1. Cơ sở lý luận:
l.c
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của giáo viên và
ai
hoạt động học của học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào
gm
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
s@
thông. Trong đó, bộ môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với
kiến thức rộng, đa phần các em học sinh gặp khó khăn ở môn học này.
es
- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn
in
us
toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài
nb
tập. Điều đó thể hiện ở việc “học đi đôi với hành”, đòi hỏi học sinh phải có tư
ho
duy logic. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán
yn
học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết
qu
vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải.
em
- Mặt khác, sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cập nhật
tri thức. Trong những năm gần đây, ngành giáo dục đã liên tục có những thay đổi
k
ay
nhằm để phù hợp với xu thế của thời đại, điều đó được thể hiện trong năm học
:d
2016 - 2017 thông qua hình thức thi trắc nghiệm và liên môn. Đối với hình thức
ok
thi này, người học phải nỗ lực và không ngừng học tập tìm tòi cách giải mới; liên
o
tục rèn luyện thì mới đạt được những kết quả cao.
eb
Xét ví dụ sau:
F
D
Ví dụ : (Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng khối A năm 2006)
-P
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung
er
điểm của AB và CD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1C và MN.
rd
lO
ai
1
Em
Gọi H = AB1 ∩ A1B và K là trung điểm của BH thì MK // AH và MK = AH.

2
Do AB1 ⊥ A1B nên MK ⊥ A1B.
Do CB ⊥ (BAA1B1) nên CB ⊥ MK ⇒ MK ⊥ (A1BC).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 36
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1 a 2
Vậy d(MN, A1C) = d(M, (A1BC)) = MK = AH = AB1 =
2 4 4
Cách giải 2: Phương pháp toạ độ trong không gian
om
Xét hệ trục toạ độ Oxyz với : z A D
1 1
A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a 0), D(0; a; 0)
l.c
A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1(a; a; a) D1(0; a; a) B C
1
1
ai
a
gm
⇒ M( ; 0; 0) và A1C = (a; a; – a) cùng phương
2 H
A D
s@
với u = (1; 1; –1) ; BC = (0; a; 0) cùng phương với K
y
M
N
v = (0; 1; 0). Khi đó VTPT của mặt phẳng (A1BC)
es
B C
là n = u, v  = (1; 0; 1) . x
in
us
Phương trình tổng quát mặt phẳng (A1BC): x + z – a = 0.
nb
a 2
ho
do đó d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)) =
4 yn
Cách giải 3: Áp dụng công thức đổi khoảng cách và tính thể tích của khối đa diện
qu
em

d ( M, ( A1BC) ) MB 1 1
k
Mặt khác AM ∩ (A1BC) =B nên = = ⇒ d ( M, ( A1BC) ) = d ( A, ( A1BC) )

ay
d ( A, ( A1BC) ) AB 2 2
:d
1 a3 1 a2 2
Mà VA1 ABC = VABCD. A1B1C1D1 = S
và ∆A BC = A B. BC =
ok
1
6 6 2 1
2
1 3VA ABC a 2
o
1
Vậy d(M, (A1BC)) = d ( A, ( A1 BC ) ) = . 1 = .
eb
2 2 S ∆A1BC 4
- Qua ví dụ minh họa ta thấy, nếu học sinh được hướng dẫn và phân tích cụ
F
D
thể đồng thời kết hợp với máy tính cầm tay các em có thể nhanh chóng cho đáp số
-P
chính xác. Điều này cần thiết cho các bài thi bằng trắc nghiệm khách quan.
er
- Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT
rd
vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán “Tính khoảng cách
lO
trong không gian”.

ai
- Trong giới hạn của SKKN tôi giới thiệu 3 kỹ năng tính khoảng cách thường
Em
hay sử dụng trong chương trình toán THPT:

• Kỹ năng tính khoảng cách bằng phương pháp hình học tổng hợp,
đồng thời kết hợp sử dụng công thức tính thể tích khối đa diện.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 37
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Kỹ năng tính khoảng cách bằng phương pháp toạ độ trong không gian.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:
- Đưa ra một số ví dụ có phân tích lời giải cho học sinh tham khảo và bài tâp
om
áp dụng.
l.c
- Đây là nội dung thường gặp trong các kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng và Đại
học. Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều thì
ai
mới đạt kết quả tốt.
gm
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP.
s@
B. TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC TỔNG
es
HỢP VÀ KẾT HỢP CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
in
Tóm tắt lý thuyết:
us
1. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
nb
AB
1. sinα = (ĐỐI chia HUYỀN)
ho
BC
AC yn
2. cosα = (KỀ chia HUYỀN)
BC
qu
AB
3. tanα = (ĐỐI chia KỀ)
em
AC
AC
k
4. cotα = (KỀ chia ĐỐI)

ay
AB
:d
2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

ok
1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) =>AB2 = BC2 - AC2

o
2. AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC 3. AH2 = BH.CH

eb
1 1 1
4. AB.AC = BC.AH 5. = +
F
2 2
AH AB AC 2
D
-P
3. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA
er
2. b2 = a2 + c2 – 2accosB
rd
lO
3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC
a b c
ai
4. ĐỊNH LÍ SIN = = = 2R
sin A sinB sinC
Em
5. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (MN // BC)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 38
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
AM AN MN AM AN
1. = = ; 2. =
AB AC BC MB NC
6. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
om
1. Tam giác thường:
l.c
1 1 abc
S = ah ; S = a b s in C ;S = ; S = pr (r: bán kính đường tròn nội
ai
2 2 4R
gm
a + b + c
tiếp tam giác; p = ); S = p(p − a )(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông)
2
s@
2. Tam giác đều cạnh a:
a 3 a2 3
es
a) Đường cao: h = ; b) S =
2 4
in
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực.
us
1
nb
3. Tam giác vuông: a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)
2
ho
b) Tâm đg tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
yn
qu
1 2
S= a (2 cạnh góc vuông bằng nhau) Cạnh huyền bằng a 2
em
2
5. Nửa tam giác đều:
k
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

ay
:d
a 3 a2 3
b) BC = 2AB c) AC = d) S =
2 8
o ok
6. Tam giác cân:

eb
a) S=
1
ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
2
F
b) Đường cao từ đỉnh là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
D
-P
1
7. Hình Thang: S = S = h(d1 + d2 ) (h: đường cao; d1, d2 là 2 cạnh đáy)
er
2
rd
8. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

lO
9. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

1
ai
10. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

Em
2
11. Hình vuôngcạnh a: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 39
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12. Đường tròn: a) Chu vi = 2 π R (R: bán kính đường tròn) b) S = π R2
7. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
1. Đường trung tuyến:
om
a) Giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm.
l.c
2
b) Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng độ dài trung tuyến.
ai
3
gm
2. Đường cao: Giao điểm của ba đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của ba đường trung trực là tâm đường tròn
s@
ngoại tiếp tam giác.
es
4. Đường phân giác: Giao điểm của ba đường phân giác là tâm đường tròn nội
in
tiếp tam giác.
us
8. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
nb
1. HìnhChóp: Thông qua việc xác định chiều cao của hình chóp, ta có thể tạm
ho
phân thành 4 dạng hình chóp (không xét hình chóp cụt) như sau:
- Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hay hình chóp có hai mặt bên cắt
yn
nhau và cùng vuông góc với đáy.
qu
- Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
em
- Hình chóp có đều.

- Hình chóp có thường(chiều cao tùy thuộc vào giả thiết của bài toán).
k
ay
Chú ý:
Hình chóp đều: Hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với
:d
tâm của đáy.

ok
Tính chất: Các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với đáy các góc bằng nhau; Các
o
mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và tạo với đáy các góc bằng nhau.
eb
Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
F
2. Hình lăng trụ: Thông qua việc xác định chiều cao của hình lăng trụ , ta có
D
thể tạm phân thành 2 dạng hình lăng trụ như sau:
-P
- Hình lăng trụ đứng (chiều cao chính là cạnh bên của lăng trụ).
er
- Hình lăng trụ xiên (chiều cao tùy thuộc vào giả thiết của bài toán).
rd
Chú ý:
lO
Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
ai
Hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành⇒Hình hộp đứng là hình lăng
Em
trụ đứng có đáy là hình bình hành.

3. Chứng minh sự vuông góc:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 40
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài toán có yêu cầu chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α)
+ Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
nằm trong (α).
om
+ Cách 2: Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (β) và (γ)
l.c
sao cho cả (β) và (γ) đều vuông góc với (α)
ai
+ Cách 3: Chứng minh a song song với b và b vuông góc với (α).
gm
+ Cách 4: Chứng minh 2 mặt phẳng (β) và (α) vuông góc với nhau theo giao
s@
tuyến d và a nằm trong (β) và vuông góc với d.
Bài toán có yêu cầu chứng minh đường thẳng a vuông góc với đt b :
es
in
+ Cách 1: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b.
us
+ Cách 2: Đường thẳng a song song với đường thẳng c và c vuông góc với b.
nb
Bài toán có yêu cầu chứng minh hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau
ho
+ Cách 1: Tìm trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng kia.
yn
qu
+ Cách 2: Chứng minh góc giữa hai mặt phảng đó bằng 900. thực hiện như sau:
• B1: Xác định giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng.
em
• B2: Trên ∆ xác định điểm I thuận lợi nhất, rồi từ I kẻ các đường thẳng
k
a trong (α) và b trong (β) sao cho a và b vuông góc với ∆ .

ay
• B3: Chứng minh a và b vuông góc với nhau.

:d
4. Khoảng cách: Từ vị trí tương đối của ba đối tượng trong không gian là điểm,
ok
đường thẳng, mặt phẳng ta có 5 bài toán tính khoảng cách sau:
o
eb
• Bài toán 1: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : Khoảng cách từ một
điểm M đến đường thẳng ∆ là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H của nó
F
D
trên ∆. kí hiệu d(M, ∆) = MH (MH ⊥ ∆ và H ∈ ∆).

-P
• Bài toán 2: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) : Khoảng cách từ một
er
rd
điểm M đến mặt phẳng (α) là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu H của nó
lO
trên mặt phẳng (α). kí hiệu d(M, (α)) = MH (MH ⊥ (α) và H ∈ (α)).
ai
Để xác định hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (α) : Ta thực hiện :
Em
B1: Xác định mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (α) theo giao tuyến d.
B2: Trong mặt phẳng (P) kẻ MH vuông góc với d (H thuộc d) thì MH ⊥ (α) .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 41
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) bằng MH.
Chú ý: Khi việc xác định hình chiếu H phức tạp, do đó việc tính khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng (α) quá khó thì ta có thể đổi cách tính khoảng cách:
om
- Đổi điểm song song: Xác định đường thẳng ∆ đi qua M và song song với (α);
l.c
với A là một điểm thuộc ∆ và A khác M, khi đó d(M, (α)) = d(A, (α))
ai
- Đổi điểm cắt nhau: Cho đoạn thẳng MA cắt mặt phẳng (α) tại B, khi đó :
gm
( ) = MB
d M,(α )
s@
d ( A,(α ) ) AB
es
• Bài toán 3: Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) song song :
in
Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) song song bằng khoảng cách
us
từ điểm M tùy ý trên đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α).
nb
• Bài toán 4: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song :
ho
Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm M tùy ý
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. yn
• Bài toán 5: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a, b chéo nhau: Kí hiệu d(a, b)
qu
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng a, b chéo nhau:
em
Bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.
Bằng khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng song song với nó
k
chứa đường thẳng b.

ay
Bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b.
:d
Chú ý :Cách xác định đoạn vuông góc chung khi hai đường thẳng a, b chéo và
vuông góc với nhau.
ok
5. Góc:
o
a) Góc ϕ (00 ≤ ϕ ≤ 900) giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc
eb
giữa hai đường thẳng a’ ,b’ cắt nhau và lần lượt song song với hai đường
thẳng a, b.
F
b) Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó
D
với hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.

-P
c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng bất kì lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó.
er
Thực hành: Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, sau đó tìm hai đường thẳng
rd
trong hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm. khi đó góc
lO
giữa hai đường thẳng là góc cần tìm (chú ý định lí ba đường vuông góc).
ai
9. KHỐI ĐA DIỆN:
Em
1. Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
1
2. Thể tích khối chóp: V = B h (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 42
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Tỉ số thể tích của khối chóp: Khối chóp tam giác SABC có A/, B/, C/ thuộc
V SA ′ SB′ SC ′
các cạnh SA, SB, SC. Khi đó: S.A ′B′C ′ = . . .
V SA SB SC
S.ABC
om
B. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN:
Tóm tắt lý thuyết
l.c
Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ai
gm
1. Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)
Hệ gồm ba trục x ' Ox, y ' Oy , z ' Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng
s@

với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là i, j , k .
es
• O: gốc tọa độ
in
• x ' Ox : trục hoành
us
• y ' Oy : trục tung
nb
• z ' Oz : trục cao
ho
2. Tọa độ của vectơ trong không gian yn

2.1. Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y. j + z.k
qu

em
Với định nghĩa trên, ta có: 0 = (0;0;0) , i = (1;0;0 ) ,

k
j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1)
ay
2.2. Các công thức về tọa độ của vectơ trong không gian
:d

Cho a = ( x1; y1; z1 ) , b = ( x2 ; y2 ; z2 ) và số thực k
ok

o
a) a ± b = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 ) b) ka = ( kx1; ky1; kz1 )

eb
 x1 = x2  x1 = tx2
F
 
D
c) a = b ⇔  y1 = y2 d) a cùng phương b ⇔ ∃t ∈ ℝ : a = tb ⇔:  y1 = ty2

-P
z = z  z = tz
 1 2 1 2
er
x1 y1 z1
rd
⇔ = = (với điều kiện: x2 y2 z2 ≠ 0 )

x2 y2 z2
lO

ai
e) Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa: a.b = a b cos a, b ( )

Em

Biểu thức tọa độ: a.b = x x
1 2 + y y
1 2 + z z
1 2 Hệ quả: a = x12 + y12 + z12
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 43
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
( )
cos a, b =
x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22
( a, b ≠ 0 )

a ⊥ b ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
om
f) Tích có hướng của hai vectơ:
l.c

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ a, b là một vectơ được kí hiệu và xác
ai
 x2 x3 x3 x1 x1 x2 
gm
định như sau:  a, b  = a ∧ b =  ; ; 
 y2 y3 y3 y1 y1 y2 
s@
Tính chất:
es

 a, b  ⊥ a và  a, b  ⊥ b ;  a, b  = − b, a  ;  a, b  = a b .sin a, b
          ( )
in

us
a và b cùng phương ⇔  a, b  = 0 ; a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0
nb
1
 AB, AC 
ho
Ứng dụng: Diện tích tam giác: S∆ABC =
2 
yn

Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  . AA '
qu
1

em
Thể tích khối tứ diện: VABCD =  AB, AC  . AD

6 
k
ay
3. Tọa độ của điểm trong không gian

:d
3.1. Định nghĩa: M ( x; y; z ) ⇔ OM = ( x; y; z )

ok
Với định nghĩa trên, ta có: O ( 0;0;0 )

o
eb
M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 )
M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z )

F
D
M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; z ) M ∈ ( Oyz ) ⇒ M ( 0; y; z )
-P
er
3.2. Các công thức về tọa độ của điểm trong không gian
rd
Cho A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC )
lO

AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A )
ai
Em
2 2 2
AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( zB − z A )
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 44
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 x + xB y A + y B z A + z B 
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M  A ; ; 
 2 2 2 
x +x +x y +y +y z +z +z 
Tọa độ trọng tam G của tam giác ABC: G  A B C ; A B C ; A B C 
om
 3 3 3 
l.c
Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
ai
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

gm
- Vectơ n khác 0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu giá của

n vuông góc với (α ) .
s@

- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm
es
trên mặt phẳng (α ) thì ta có thể chọn ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
in

(α ) là n =  a, b  .
us
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
nb
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:
ho
Ax + By + Cz + D = 0 , với A2 + B 2 + C 2 > 0
yn
Trong đó, n = ( A; B; C ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
qu

- Mặt phẳng (α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận n = ( A; B; C ) làm vectơ pháp
em
tuyến có phương trình là:

k
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
ay
Chú ý: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm
:d
x y z
( a; 0;0) ,( 0;b;0) ,C ( 0;0;c ) (abc ≠ 0) ) là: + + = 1
ok
a b c
o
Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

eb
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

F
- Vectơ u khác 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của
D

-P
u song song với ∆ hoặc chứa trong ∆ .

er
- Nếu hai vec tơ a, b khác 0 , không cùng phương và cùng có giá vuông góc với
rd

∆ thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u =  a, b  .
lO
2. Phương trình của đường thẳng.

ai
a) Phương trình tham số của đường thẳng:

Em

- Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương a = (a1;a2;a3) ,
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 45
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
x = x 0 + a1t

có phương trình tham số là : y = y 0 + a2 t (t ∈ R), (a12 + a22 + a32 ≠ 0)
z = z + a t
 0 3
om
Ứng với mỗi giá trị của t cho ta các giá trị x, y, z tương ứng là tọa độ của một điểm
l.c
M thuộc đường thẳng.
ai
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:
gm
Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường
x − x 0 y − y 0 z − z0
s@
thẳng ∆ là: = = (a1.a2 .a3 ≠ 0)
a1 a2 a3
es
Phần4 : KHOẢNG CÁCH
in
1.Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0
us
nb
A x 0 + By 0 + Cz 0 + D
d ( M 0 ,(α )) =
ho
A 2 + B 2 +C 2
yn
2. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 và có vectơ

qu
 MM0 ,a 
 
chỉ phương a d ( M ;∆ ) =
em
a
k
3. Khoảng cách giữa hai đườngthẳng chéo nhau.

ay
Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau .

:d

∆1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương a = ( a1 ;a2 ;a3 )
ok

∆2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương b = ( b1 ;b2 ;b3 )
o
eb
Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được tính bằng công thức sau:

F
 a , b  .M1 M 2
D
d ( ∆1 ; ∆2 ) =
 a , b 
-P
er
Giải bài toán bằng hình học không gian bằng phương pháp tọa độ:
rd
Để giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp sử dụng tọa độ Đê –
lO
các trong không gian Oxyz, ta thường thực hiện các bước sau:
ai
Bước 1: Từ giả thiết cả bài toán, lập hệ tọa độ thích hợp rồi từ đó suy ra tọa
Em
độ các điểm cần thiết.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 46
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian bằng
cách:
+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định.
om
+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần chứng minh.
l.c
+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị.
ai
+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm quỹ tích…
gm
C. MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
s@
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi M, N
es
lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt
in
us
phẳng (AMN).
nb
Giải.
ho
Phân tích: Ta cần tìm hình chiếu của S lên yn
mặt phẳng (AMN), việc xác định là không
qu
khó nhưng khi tính khoảng cách từ điểm S

em
đến hình chiếu thì gặp khó khăn. Do đó ta

k
ay
không thực hiện tính trực tiếp từ S mà

:d
thực hiện chuyển đổi khoảng cách để việc

ok
tính toán thuận lợi hơn. Ta thực hiện tính

o
từ điểm O. Tuy vậy, việc xác định hình

eb
chiếu của O lên mặt phẳng (AMN) là đơn

F
giản nhưng khi tính khoảng cách từ O đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng
D
-P
(AMN) cũng không đơn giản, do đó ta chuyển đến việc tính khoảng từ trung điểm
er
E của AO đến mặt phẳng (AMN).

rd
Ta có SO cắt (AMN) tại trung điểm I của MN, khi đó I cũng là trung điểm của SO.
lO
d ( S, ( AMN ) ) SI
Vậy = = 1 ⇒ d ( S, ( AMN ) ) = d ( O, ( AMN ) )
ai
d ( O, ( AMN ) ) OI
Em
Gọi E là trung điểm của AO thì IE // SA nên IE ⊥ (ABCD).

Kẻ EF ⊥ AI (F ∈ AI) và do MN ⊥ (SAC) nên MN ⊥ EF
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 47
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a 21
Vậy EF ⊥ (AMN) và d(E, (AMN)) = EF =
14
d ( O, ( AMN ) ) OA a 21
= = 2 ⇒ d ( O, ( AMN ) ) = 2d ( E, ( AMN ) ) =
om
Mà
d ( E, ( AMN ) ) EA 7
l.c
Cách giải 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
ai
1 1 1 a 2
Từ giả thiết ta tìm được AM = AN = SB = SD = a; SA = a 3 ; MN = BD =
gm
2 2 2 2
7 1 a 14
s@
Trong tam giác SAO ta có SO = a ; AI = SO =
2 2 4
es
1 a 7
Diện tích của tam giác AMN là SAMN = AI.M N =
2 8
in
us
1 a3 3
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = SA.SABCD =
3 3
nb
1 1 a3 3
ho
Thể tích khối chóp S.AMN là VS.AMN = VS.ABD = VS.ABCD =
4 8 24
3VS. AMN a 21
yn
Do đó d(S, (AMN)) = = .
qu
S∆AMN 7
em

k
ay
 a a 3 a a 3
D(a; 0; 0), B(0; a; 0), S(0; 0; a 3 ), M  0; ;  , N  ;0; .
 2 2  2 2 
:d
ok
Ta có phương trình mặt phẳng (AMN): 3 x + 3 y – z = 0.

a 3 a 21
o
Do đó d(S, (AMN)) = = .
eb
7 7
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a,
F
D
a 5
SA = . Gọi I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là
-P
2
er
trung điểm H của BC. Tính theo a khoảng cách từ I đến (SAB).
rd
Giải
lO
Phân tích: Ta cần tìm hình chiếu của I lên mặt phẳng
ai
Em
(SAB), việc xác định là khó vì phải chọn mặt phẳng đi

qua I và vuông góc với mặt phẳng (SAB). Tuy nhiên nếu
ta chú ý đến giải thiết của bài toán thì dễ thấy IH // (SAB)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 48
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
do đó thay vì tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB)
ta thực hiện tính khoảng cách từ điểm H đến (SAB).
om
Kẻ HM ⊥ AB (M ∈ AB) thì AB ⊥ (SHM), do đó mặt phẳng (SAB) ⊥ (SHM) và
l.c
(SAB) ∩ (SHM) = SM.
ai
Trong mặt phẳng (SHM), kẻ HK ⊥ SM (K∈SM) thì HK ⊥ (SAB). Khi đó K là
gm
hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng (SAB) hay d(H, (SAB)) = HK
s@
1 a 2 a 3
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH =
BC = , SH =
2 2 2
es
a
Tam giác AHB vuông cân tại H suy ra HM = .
in
2
us
a 3
Trong tam giác SHM ta tính được HK = .
nb
4
ho
Ta có IH // SB và IH ⊄ (SAB) do đó IH // (SAB). yn
qu
1 a 2 a 3
em
Từ giải thiết ta suy ra BC = a 2 , BH = AH = BC = , SH =

2 2 2
a3 3
k
1 1 1 1
ay
Do đó VS.AHB = SH. S∆AHB = và S∆SAB = SM. AB = a. a = a2

3 24 2 2 2
:d
3VS.AHB a 3
Vậy d(H, (SAB)) = = .
ok
S∆SAB 4
o

eb
F
 a a a 3   a 3a a 3 
B(a; 0; 0), C(0; a; 0), S  ; ;  , I ; ; .
D
 2 2 2   4 4 4 
-P
Ta có phương trình mặt phẳng (SAB): 3 y – z = 0.

er
a 3
rd
Do đó d(I, (SAB)) = .
lO
4
Bài 3. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a 2 , góc giữa cạnh bên và
ai
mặt đáy bằng 600. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa
Em
hai đường thẳng AB, SC.

Giải
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 49
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phân tích: Ta thấy AB và SC là hai đường thẳng chéo
nhau nên khoảng cách giữa AB và SC bằng độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy nhiên,việc
om
xác định đoạn vuông góc chung của AB và SC là
l.c
không đơn giản, do đó ta thực hiện đi tính
ai
khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD)
gm
song song với nó và chứa đường thẳng SC. Khi đó ta thực hiện tính khoảng cách từ
s@
một điểm tùy ý trên AB đến mặt phẳng (SCD), chẳng hạn là điểm A. Lúc này ta cần
es
xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD), nhưng việc làm này gặp phức tạp vì
in
phải chọn mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (SCD). Do đó ta thực hiện đổi
us
khoảng cách tính từ điểm O đến mặt phẳng (SCD).
nb
Gọi M là trung điểm CD, thì (SOM) ⊥(SCD) và (SOM) ∩ (SCD) = SM.
ho
Trong mặt phẳng (SOM), kẻ OK ⊥ SM (K ∈ SM) thì OK ⊥ (SCD).
yn
Do đó d(O, (SCD)) = OK.
qu
a 2 a 6
em

2 2
a
k
Hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên OM =

ay
2
:d
a 3
Từ tam giác SOM ta tính được OK = .
14
o ok
Mặt khác ta có AB // CD và AB ⊄ (SCD) do đó AB // (SCD).

eb

d ( A, ( SCD ) ) AC
F
Mà AO ∩ (SCD) = C nên = =2
D
d ( O, ( SCD ) ) OC
-P
a 42
er
⇒ d(A, (SCD)) = 2 d(O, (SCD)) = 2OK = .

7
rd
lO
Ta có AB // CD và AB ⊄ (SCD) do đó AB // (SCD).
ai

Em
a 2 a 6
2 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 50
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a a 7
Từ tam giác vuông SOM ta tính được OM = , SM =
2 2
1 a2 7 1 a3 6
om
Khi đó S∆SCD = .SM.CD = và VS.ACD = SO.S∆ACD = .
2 4 3 12
l.c
3VS.ACD a 42
Vậy d(A, (SCD)) = =
ai
S∆SCD 7
gm
s@
a 2   a 2   a 2   a 6  a 2 
es
A ;0;0  , B  0; − ;0  , C  − ;0;0  , S  0;0  , D  0; ;0  .
 2   2   2   2   2 
in

 AB, SC .AC a 42
us
 
d(AB, CD) = =
nb
 AB, SC  7
 
ho
yn a 6
Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (SCD): 3x – 3y – z + = 0.
qu
2
a 42
em
Do đó d(A, (SCD)) = .
7
k
ay
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, hình chiếu vuông góc
:d
của đỉnh S lên mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với trung điểm H của đoạn AO. Biết
ok
a
rằng SC = 3a và OH = .Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
o
2
eb
(SBD).
Giải
F
D
-P
Phân tích: Ta cần xác định hình chiếu của A lên

er
mặt phẳng (SBD), do đó phải chọn mặt phẳng đi

rd
qua A và vuông góc với mặt phẳng (SBD).

lO
Dễ thấy mặt phẳng (SAO) vuông góc và cắt mặt

ai
phẳng (SBD) theo giao tuyến SO. Khi đó trong

Em
mặt phẳng (SAO), kẻ AE ⊥ SO ( E ∈ SO)

thì AE ⊥ (SBD) hay d(A, (SBD)) = AE.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 51
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a
3a 3
∆SCH vuông tại H, nên ta có SH = SC 2 − HC 2 =
2
om
l.c
SH .AO 3a 21
ai
Ta có AE.SO = SH.AO, suy ra d (A, (SBD )) = AE = =
14
gm
SO
s@
Từ giả thiết ta có AC = 4OH = 2a, suy ra đáy có độ dài cạnh bằng a 2
es
in
1 a3 3 1
us
Ta có VS.ABD = SH.S∆ABD = và S∆SBD = SO. BD = a2 7
3 2 2
nb
3VS.ABD 3a 21
Vậy d(A, (SBD)) = =
ho
S∆SBD 14
yn
qu
 a 3a 3 
em
A(0; –a; 0), B(a; 0; 0), C(0; a; 0), D(–a; 0; 0), S  0; − ; .

 2 2 
k
ay
3a 21
Ta có phương trình mặt phẳng (SBD): 3 3 y + z = 0, do đó d(A, (SBD)) = .
:d
14
ok
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
o
eb
AC = a 3 , AA′ = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng
F
với trung điểm H của cạnh BC. Tính theo a khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
D
-P
(ABB′A′).
er
Giải
rd
lO
Phân tích: Ta cần xác định

ai
hình chiếu của C lên mặt phẳng

Em
(ABB′A′), do đó phải chọn mặt

phẳng đi qua C và vuông góc
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 52
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
với mặt phẳng (ABB′A′).Tuy
nhiên việc xác định là không khó
nhưng khi tính khoảng cách từ C
om
đến hình chiếu thì gặp phức tạp,
l.c
do đó ta thực hiện đổi tính khoảng
ai
gm
cách từ điểm H đến mặt phẳng (ABB′A′).
Ta có CH ∩ (ABB′A′) = B
s@
d ( C, ( ABB′A′ ) ) CB
= 2 ⇒ d ( C, ( ABB′A′ ) ) = 2d ( H, ( ABB′A′ ) )
es
Do đó =
d ( H, ( ABB′A′ ) ) HB
in
us
Gọi I là trung điểm của AB thì mặt phẳng (A′HI) vuông góc và cắt mặt phẳng
nb
(ABB′A′) theo giao tuyến A′I. Trong mặt phẳng (A’HI) , kẻ HK ⊥ A′I (K ∈ A′I) thì
ho
HK ⊥ (ABB′A′) hay d(H, (ABB′A′)) = HK
yn 1 a 3
qu
2 2
em
a 15
k
1 1 1 5
Trong tam giác A′HI ta có = 2 ⇒ HK =
ay
= +
HK 2
A ′H 2
HI 2
3a 5
:d
2a 15
ok
5
o
eb
Từ giả thiết ta tính được

F
1 a 3
D

2 2
-P

er
a 15
rd
Trong tam giác A′HI ta có A′I =

2
lO
1 1 1 a3 1 a2 15
Mà VA′.ABH = A H.S∆ABH = A′H. HI.AB =
′ và S∆A′AB = A I.AB =
′ .
ai
3 3 2 4 2 4
Em
3VA′.ABH a 15
Do đó d ( H, ( ABA′ ) ) = =
S∆A′AB 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 53
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2a 15
5
om
a a 3 
l.c
B(a; 0; 0), C(0; a 3 ; 0), A′  ; ;a 3  .
2 2 
ai
2a 15
gm
Ta có phương trình mặt phẳng (A′AB): 2y – z = 0, do đó d(C, (ABB′A′)) = .
5
s@
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng
cách giữa hai mặt phẳng ( AB ' D ' ) và (C ' BD ) .
es
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
in
Giải
us
nb
Phân tích: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
ho
( AB ' D ' ) và (C ' BD ) song song bằng khoảng cách
từ một điểm bất kì trên mặt phẳng (C ' BD ) đến yn
mặt phẳng ( AB ' D ' ) . Tuy nhiên ta cần chọn
qu
điểm sao cho qua điểm đó có mặt phẳng

em
vuông góc với mặt phẳng ( AB ' D ' ) , khi đó nếu

k
gọi O và O′ lẩn lượt là tâm của hai hình vuông

ay
ABCD và A 'B'C'D ' thì điểm O chính là điểm

:d
thỏa mãn yêu cầu.

ok
Gọi O và O′ lẩn lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A 'B'C'D' .
o
Dễ thấy ( AB ' D ' ) // (C ' BD ) nên d( (AB'D ') , (C ' BD) ) = d(O, ( AB ' D ' ) ).
eb
Mặt khác mặt phẳng ( A 'C'CA ) đi qua O và vuông góc và cắt mặt phẳng
F
( AB' D' ) theo giao tuyến O 'A , khi đó kẻ OK ⊥ O 'A (K∈ O 'A ) thì OK ⊥ ( AB' D' )
D
-P
Vậy d(O, ( AB' D' ) ) = OK

er
a 2 a 3
rd
Trong tam giác vuông O'OA ta có O 'O = a và OA = , suy ra OK =

2 3
lO
ai
Em
khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng (C ' BD ) đến mặt phẳng ( AB ' D ' ) .
Khác với cách giải 1, ta chọn điểm C' .
Ta có C'A′ ∩ ( AB' D' ) = O' nên d( C′,(AB'D') ) = d( A′,(AB'D') )
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 54
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a3 a2 3
Mặt khác VA′.B′D′A = và S∆B′D′A =
6 2
3VA′.B′D′A a 3
Vậy d( A′,(AB'D') ) = =
om
S∆B′D′A 3
l.c
ai
khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng (C ' BD ) đến mặt phẳng ( AB ' D ' ) ,
gm
ta chọn điểm B.
s@
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với C(0; 0; 0),
B(a; 0; 0), A(a; a; 0), C′(0; 0; a) B′(a; 0; a), D′(0; a; a).
es
Ta có phương trình mặt phẳng ( AB ' D ' ) : x + y + z – 2a = 0
in
a 3
us
Vậy d( B,(AB'D') ) = .
3
nb
Bài 7. (Đề thi thử THPT QG Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai – Hà Tĩnh
ho
– năm 2015)
yn
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′có A′ABD hình chóp đều và AB = AA′ = a. Tính theo
qu
a thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và
em
A′C′.
k
ay
:d
o ok
eb
F
D
-P
er
rd
∗ Tính thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′

lO
Do A′ABD là hình chóp đều, khi đó gọi G là trọng tâm của tam giác ABD thì
A′G ⊥ (ABD) hay A′G là chiều cao của hình hộp.
ai
a 3
Em
Gọi O là giao điểm của BD và AC thì AG =

3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 55
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a 6
Trong tam giác A′AG ta có A′G = A′A 2 − AG 2 =
3
a2 3 a3 2
Do đó SABCD = 2SABD = và VABCD.A′B′C′D′ = A′G.SABCD =
om
2 2
∗ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB′ và A′C′ chéo nhau
l.c
ai
gm
s@
es
in
us
phẳng (AB′C), chẳng hạn là điểm H. Lúc này ta cần xác định hình chiếu K của H lên
nb
mặt phẳng (AB′C), do đó ta cần chọn mặt phẳng đi qua H và vuông góc với mặt
ho
phẳng (AB′C), ta thực hiện giải như sau: yn
qu
Gọi H là giao điểm của B′D′ và A′C′. Do A′C′ // AC nên A′C′ // (AB′C)
em
Do đó d(A′C′, AB′) = d(A′C′, (AB′C)) = d(H, (AB′C))

Kẻ HE // A′G (E ∈ AC) thì ta có mặt phẳng (B′HE) vuông góc và cắt mặt phẳng
k
(AB′C) theo giao tuyến B′E.

ay
Kẻ HK ⊥ B′E (K ∈ B′E) thì HK ⊥ (AB′C) hay d(H, (AB′C)) = HK

:d
Trong tam giác B′HE ta có:

ok
1 1 1 11 a 22
o
2 = 2 ⇒ HK =
2
= 2
+
eb
HK B′H HE 2a 11
F
D
-P
er
rd
lO
ai
phẳng (AB′C), chẳng hạn là điểm A′. Lúc này ta cần xác định hình chiếu của A′ lên
Em
mặt phẳng (AB′C), tuy nhiên việc xác định này gặp phức tạp do đó ta thực hiện tính
khoảng cách từ điểm B như sau:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 56
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dễ thấy d(A′, (AB′C)) = d(B, (AB′C))
1 a3 2
Ta có VB′.ABC = VABCD.A′B′C′D′ =
6 12
om
2 2 a 33
Trong tam giác B′HE ta có B′E = B′H + HE =
6
l.c
1 a 2 11
ai
Khi đó tam giác AB′C có diện tích S∆AB′C = .B′E. AC = .
2 4
gm
3VB′.ABC a 22
s@
d(B, (AB′C)) = = .
S∆AB′C 11
Cách giải 3: Phương pháp tọa độ trong không gian:
es
in
a 3 a 6  −5a 3 a 6  −a 3 −a a 6 
us
a 3 
A ;0;0  , A′  ; 0;  , C′  ; 0;  , B′  ; ; .
2 6 3 6 3 3 2 3 
nb
      

ho
 A′C′, AB′ .AC′
  a 22
Ta có d(A′C′, AB′) = = yn
 A′C′, AB′ 11
 
qu
em
Từ hệ trục tọa độ đã lập ta có phương trình mặt phẳng (AB′C): 2 2 y – 3z = 0

a 22
k
d(A′C′, AB′) = d(A′C′, (AB′C)) = d(A′, (AB′C)) =

ay
11
:d
Kết luận chung:

Giải bài toán tính khoảng cách trong không gian bằng phương pháp hình
ok
học tổng hợp hầu hết được qui về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một
o
eb
mặt phẳng, khi đó ta chỉ cần xác định được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng
F
thì xem như bài toán giải được. Tuy nhiên trong một số trường hợp việc tính trực
D
tiếp gặp khó khăn thì ta thực hiện đổi khoảng cách để việc tính toán được đơn
-P
giản và thuận lợi hơn; Trong trường hợp tính khoảng cách từ một điểm đến một
er
rd
mặt phẳng bằng cách sử dụng công thức thể tích thì cần chọn khối đa diện sao cho
lO
dễ tính được thể tích và mặt phẳng đáy sao cho dễ tính được diện tích.
ai
Giải bài toán tính khoảng cách trong không gian bằng phương pháp tọa độ
Em
việc khó khăn nhất là tìm được tọa độ của những điểm liên hệ đối với yêu cầu của
bài toán. Đôi khi việc kết hợp với hình học tổng hợp giúp ta đến được kết quả
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 57
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
nhanh hơn và đỡ phức tạp hơn. Một khi tọa độ được xác định thì việc còn lại là áp
dụng công thức, khi đó không phải ta không cần mất thời gian phân tích và suy
luận như hình học tổng hợp.
om
Tuy vậy, mỗi phương pháp đều có những ưu điểm và nhược điểm của nó,
l.c
do đó ta không nên nên quá coi trọng phương pháp này mà xem nhẹ phương pháp
ai
kia, các bài tập đều được nhấn mạnh những ưu điểm và nhược điểm. Hy vọng
gm
chuyên đề này giúp các em củng cố kiến thức và có hứng thú hơn với môn hình
s@
học không gian.
Bài tập tự luyện
es
Bài 1. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
in
us
Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc
nb
với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm; AB = 3cm;
ho
BC = 5cm. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (BCD). yn
qu
6 34
Đáp số: d ( A, ( BCD ) ) = cm
17
em
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
k
ay
với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
:d
450.
ok
d) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

o
e) Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) .

eb
f) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
F
D
a3 2
Đáp số: a)
-P
3
er
a 6
b) d ( B, ( SCD ) ) =
rd
3
lO
a 10
c) d ( SB, AC ) =
5
ai
Em
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 58
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh là 2a. SA ⊥ (ABCD) và
SA= 2a , gọi M là trung điểm SD . Tính theo a
om
khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CM.
l.c
2a 11
Đáp số: a) d ( BD,CM ) =
ai
11
gm
s@
es
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’
in
= 1200 v à
có đáy là hình thoi cạnh a, BAD
us
A 'C = a 5 . Tính theo a thể tích khối lăng
nb
trụ ABCD.A’B’C’D’ và khoảng cách giữa hai
ho
đường thẳng AB’ và BD.
Đáp số: V = a3 3; d ( AB′, BD ) =

2a yn
17
qu
k em
ay
:d
Bài 5. Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1

ok
có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,

o
AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của

eb
điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng

F
với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai

D
mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng

-P
600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B1

er
đến mặt phẳng (A1BD).

rd
lO
a 3
(
Đáp số: d B1 , ( A1BD ) = ) 2
ai
Em
Bài 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C '
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 59
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy
AB = 2a và góc
ABC = 300. Mặt phẳng
( C ' AB ) tạo với (ABC) một góc bằng 600.
om
Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C '
l.c
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC′
ai
gm
và CB′ theo a.
3 3 2
s@
Đáp số: V = a , d ( AC′, CB′ ) = a
3 2
es
Bài 7. (trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
in
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy
us
là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng
nb
của D qua trung điểm của SA, M là trung
ho
điểm của AE, N là trung điểm của BC.
yn
Chứng minh MN vuông góc với BD và
qu
tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng

em
MN và AC.
k
Đáp số: MN // (SAC) và BD ⊥ (SAC) suy ra BD ⊥ MN

ay
a 2
:d
d ( MN , AC ) =
4
ok
Bài 8. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )

o
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,

eb
= 900 , AB = BC = a , AD = 2a, SA
ABC = BAD
F
vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình

D
chiếu của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD

-P
vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt

er
phẳng (SCD).
rd
Đáp số: Tam giác SCD vuông tại C

lO
a
d ( H ,( SCD) ) =
ai
3
Em
Bài 9. ( trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A, A1 năm 2014 )
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 60
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
3a
hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu của
2
S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh
om
AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
l.c
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
ai
gm
a3
Đáp số: VS . ABCD =
3
s@
2a
d ( A,( SBD) ) =
3
es
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
in
- Tài liệu phù hợp với mọi đối tượng học sinh, do đó học sinh tích cực, tự giác
us
học tập.
nb
- Củng cố được nhiều k ỹ năng như Phân tích, Tư duy. Tổng hợp... Giúp các
ho
em học sinh tự tin hơn trong việc học môn Toán.
yn
- Tránh áp đặt cách giải theo ý của giáo viên hoặc đưa ra quá nhiều
chương trình giải mẫu sẽ làm mất tính sáng tạo của học sinh.
qu
- Học sinh tiến bộ qua từng bài toán từ đó phát huy được tính ham học
em
của các em.

- Thống kê:
k
ay
Năm học ĐTB < 6,5 6,5 ≤ ĐTB < 8,0 8,0 ≤ ĐTB
:d
2015 – 2016 15% 55% 30%

ok
2016 – 2017 5% 35% 60%

o
eb
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ

F
D
- Có thể đưa vào chương trình học và xem như là bài đọc thêm, trên cơ sở đó
-P
giáo viên và học sinh tham khảo và rèn luyện.

er
- Đối với một số học sinh yếu bước đầu sẽ rất nhọc nhằn từ đó dễ sinh
rd
chán nản. Phải kiên trì thực hiện từng bước mới thành công.
lO
VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

ai
Em
5. Một số bài tập trích từ đề thi Đại học – Cao đẳng từ năm 2002 đến năm
2015.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 61
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. Văn Như Cương (chủ biên), SGK Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục năm
2000.
7. Một số đề thi tập trung của trường THPT Nguyễn Trãi năm 2013, 2014.
om
8. Một số bài toán được tác giả tích lũy trong quá trình giảng dạy.
l.c
ai
NGƯỜI THỰC HIỆN
gm
s@
Đặng Thanh Hãn
es
in
us
nb
ho
yn
qu
k em
ay
:d
o ok
eb
F
D
-P
er
rd
lO
ai
Em
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trang : 62

SKKN Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian (2016 - 2017)

Uploaded by

Document Information

Copyright

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Copyright:

SKKN Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong không gian (2016 - 2017)

Uploaded by

Copyright:

BM 01-Bia SKKN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH

Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃN

- Lĩnh vực khác: .......................................................

Năm học: 2016 - 2017

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán.

- Số năm có kinh nghiệm: 17 năm.

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 02

Do đó d(MN, A1C) = d(MN, (A1BC)) = d(M, (A1BC)).

Gọi H = AB1 ∩ A1B và K là trung điểm của BH thì MK // AH và MK = AH.

Do AB1 ⊥ A1B nên MK ⊥ A1B.

Do CB ⊥ (BAA1B1) nên CB ⊥ MK ⇒ MK ⊥ (A1BC).

trong không gian”.

hay sử dụng trong chương trình toán THPT:

2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) =>AB2 = BC2 - AC2

2. AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC 3. AH2 = BH.CH

5. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (MN // BC)

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

6. Tam giác cân:

8. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

9. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

10. Hình thoi: S= d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

11. Hình vuôngcạnh a: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

12. Đường tròn: a) Chu vi = 2 π R (R: bán kính đường tròn)

tâm của đáy.

trụ đứng có đáy là hình bình hành.

3. Chứng minh sự vuông góc:

trên ∆. kí hiệu d(M, ∆) = MH (MH ⊥ ∆ và H ∈ ∆).

Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) bằng MH.

vuông góc với nhau.

với hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng.

góc với hai mặt phẳng đó.

e) Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa: a.b = a b cos a, b

x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22

3. Tọa độ của điểm trong không gian

Với định nghĩa trên, ta có: O ( 0;0;0 )

M ∈ Ox ⇒ M ( x;0;0 ) M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 )

M ∈ Oy ⇒ M ( 0; y;0 ) M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0; z )

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

u song song với ∆ hoặc chứa trong ∆ .

2. Phương trình của đường thẳng.

a) Phương trình tham số của đường thẳng:

độ các điểm cần thiết.

chiếu của O lên mặt phẳng (AMN) là đơn

E của AO đến mặt phẳng (AMN).

Gọi E là trung điểm của AO thì IE // SA nên IE ⊥ (ABCD).

Kẻ EF ⊥ AI (F ∈ AI) và do MN ⊥ (SAC) nên MN ⊥ EF

Vậy EF ⊥ (AMN) và d(E, (AMN)) = EF =

(SAB), việc xác định là khó vì phải chọn mặt phẳng đi

do đó thay vì tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB)

ta thực hiện tính khoảng cách từ điểm H đến (SAB).

Vậy d(I, (SAB)) = d(H, (SAB))

Kẻ HM ⊥ AB (M ∈ AB) thì AB ⊥ (SHM), do đó mặt phẳng (SAB) ⊥ (SHM) và

Ta có phương trình mặt phẳng (SAB): 3 y – z = 0.

hai đường thẳng AB, SC.

Phân tích: Ta thấy AB và SC là hai đường thẳng chéo

nhau nên khoảng cách giữa AB và SC bằng độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy nhiên,việc

xác định đoạn vuông góc chung của AB và SC là

không đơn giản, do đó ta thực hiện đi tính

Vậy d(AB, CD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).