CHƯƠNG 2: TAM GIÁC

BÀI 1. TỔNG BA GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC

Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được các định lí tổng ba góc trong một tam giác.
+ Nhận biết được tam giác vuông và nắm được tính chất về góc trong tam giác vuông.
+ Nhận biết được góc ngoài của một tam giác và nắm được định lí về tính chất góc ngoài của tam
giác.
 Kĩ năng
+ Vận dụng các định lí trong bài để tính số đo các góc trong và ngoài tam giác.
+ Vận dụng các kiến thức đã học vào giải quyết các bài toán trong thực tiễn.

Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí tổng ba góc của một tam giác
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o.

∆ABC có A  B
 C
  180

Áp dụng vào tam giác vuông

Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
 C
Định lý: Trong một tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau. Tam giác ABC vuông tại A nên B   90 .

Khi đó, hai góc nhọn được gọi là phụ nhau.

 C
∆ABC vuông tại A  B   90

Góc ngoài của tam giác

Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.
Tính chất: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

∆ABC có 
ACx là góc ngoài đỉnh C  
ACx   
A B

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

∆ABC, 
A  90
 C
B   90

∆ABC luôn có
A  B
 C
  180

∆ABC có 
ACx là góc ngoài tại C


ACx   
A B

Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính số đo của một góc, so sánh các góc
Phương pháp giải
1. Sử dụng định lí tổng ba góc trong một tam Ví dụ: Tính số đo x, y trong các hình vẽ sau:
giác và các định lý về góc khác.
2. Lưu ý cách giải của một số dạng toán quen
thuộc như tổng - hiệu, tổng - tỷ, tính chất của tỷ
lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆ABC có A  B
 C
  180
a) Áp dụng định lí về tổng ba góc của một tam
  180
65  60  C
giác.
  180  65  60  55
C
b) Áp dụng định lí về góc ngoài của tam giác. b) Xét ∆ABC có y là góc ngoài tại đỉnh C.

Suy ra y     85  55  140 .

A B
  180 (hai góc kề bù).
Lại có x  B
  180  55  125 .
Suy ra x  180  B

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A  80 và B

 C
  20 .

a) Tính số đo các góc B, C của ∆ABC.

b) Gọi AD là tia phân giác của A . Tính số đo của 

ADB .
Hướng dẫn giải

a) Xét ∆ABC có A  B
 C
  180 .

Theo giả thiết A  80 nên B

 C
  100 .

 C
Mặt khác B   20 (giả thiết).

Trang 3
   100  20  60 .
Suy ra: B
2
B
C   20  60  20  40 .

b) Do AD là tia phân giác góc A nên BAD 1

  DAC 1
A  .80  40 .
2 2

ADB là góc ngoài đỉnh D nên 

Xét ∆ACD có    ACD
ADB  DAC   40  40  80

  20, C
Ví dụ 2. Cho ∆ABC có B   40 .

a) Tam giác ABC là tam giác gì?

  2.BAD
b) Gọi AD là tia nằm giữa hai tia AB và AC . Biết CAD .

.
Tính số đo của CDA
Hướng dẫn giải

a) Xét ∆ABC có A  B
 C
  180

 
 C
A  180  B 
  180   20  40   120 .

Do A  90 nên tam giác ABC là tam giác có một góc tù.
  2.BAD
b) Theo giả thiết, ta có CAD 

 1
BAD 
BAD 1  1
BAD
     1
  BAD
1
A  .120  40 .

CAD 2  
BAD  CAD 1  2 
A 3 3 3

Xét ∆ADB có 
ADC là góc ngoài đỉnh D nên  
ADC  BAD ABD  
ADC  40  20  60 .
Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Tam giác ABC có số đo A  75, B

  45 . Góc C có số đo bằng

  90 .
A. C   60 .
B. C   45 .
C. C   75 .
D. C
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại B. Kết luận nào sau đây là sai?
A. 
ABC  90 . B. A  C
  90 .  C
C. B   90 .   90  A .
D. C
  80 . Biết N
Câu 3: Cho tam giác MNP có M P
  40 . Số đo của N
 bằng
  75 .
A. N   45 .
B. N   70 .
C. N   60 .
D. N
Câu 4: Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Một tam giác chỉ có tối đa hai góc nhọn.
B. Một tam giác chỉ có nhiều nhất một góc tù.
Trang 4
 C. Trong một tam giác, có ít nhất hai góc có số đo nhỏ hơn 60°.
D. Trong một tam giác, số đo của mỗi góc luôn nhỏ hơn tổng số đo các góc còn lại.
Câu 5: Cho tam giác ABC có A  75 và B
  2.C
 . Số đo của góc C bằng
  70 .
A. C   35 .
B. C   40 .
C. C   50 .
D. C
Câu 6: Cho tam giác ABC có A  75 . Biết góc B có số đo lớn hơn số đo góc C là 15o.
a) Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC.
b) Gọi BD là tia phân giác của 
ABC với D  AC . Tính số đo của 
ADB .
Câu 7: Cho tam giác ABC có AD, BE lần lượt là tia phân giác trong các góc A, B  D  BC ; E  CA  .

Biết AD cắt BE tại K và    30 . Tính số đo các góc A, B, C của tam giác ABC.
AKB  110, KAC
Câu 8: Cho tam giác ABC. Tính số đo các góc còn lại của tam giác biết
A. A  96 và C
  32 . B. A : B
 :C
  2 : 7 :1 .
  75 và A : C
C. B   3:2

Dạng 2: Các bài toán chứng minh góc

Phương pháp giải
Sử dụng linh hoạt các tính chất về góc của một tam Ví dụ: Cho tam giác MNP. Các đường phân giác
giác, góc ngoài tại một đỉnh hay tính chất tia phân trong các góc M, P cắt nhau tại I.
giác của góc. 
  90  MNP
Chứng minh rằng: MIP
2
Hướng dẫn giải

  IMP
Xét ∆MIP có MIP   IPM
  180
Bước 1. Áp dụng tính chất tổng ba góc trong tam
giác, tính góc trong yêu cầu của bài toán.
  180  IMP
 MIP 
  IPM


Lại có:
Bước 2. Kết hợp tính chất đường phân giác để
  1 NMP
IMP  ).
 (do MI là phân giác của NMP
chứng minh hệ thức. 2

  1 NPM
IPM  (do PI là phân giác của NPM
 ).
2

Trang 5
   180  1 . NMP
Suy ra MIP
2

  NPM
 . (1)

Mặt khác, xét ∆MNP có
  NMP
MNP   NPM
  180

  NPM
 NMP   180  MNP
 (2)

Thế (2) vào (1), ta được

MIP
2

  180  1 . 180  MNP


  180  90  1 .MNP
 MIP 
2

  90  MNP (điều phải chứng minh)
 MIP
2

Ví dụ mẫu
Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A và AH  BC  H  BC  .

  BCA
a) Chứng minh BAH .

 cắt CH tại K. Chứng minh 

b) Tia phân giác của CAH 
AKB  BAK
Hướng dẫn giải

  90  
a) Xét ∆ABC có BAC ABC  
ACB  90 .

Xét ∆ABH có 
AHB  90     90 .
ABH  BAH

Suy ra 
ABC  
ACB      90 
ABH  BAH

  (điều phải chứng minh).

ACB  BAH

 nên CAK
b) Ta có AK là tia phân giác của CAH   1 CAH
  KAH .
2

Mà   (chứng minh câu a) nên suy ra

ACB  BAH
   BAH
ACB  CAK   KAH


   BAK
ACB  CAK  (1).

Mặt khác 
AKB là góc ngoài đỉnh K của ∆AKC nên

Trang 6

AKB    hay 
ACK  CAK AKB    (2)
ACB  CAK

Từ (1) và (2) ta có   (điều phải chứng minh)

AKB  BAK

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ AH vuông góc với BC  H  BC  . Các tia phân giác góc ABC

và góc HAC cắt nhau tại I. Chứng minh rằng 

AIB  90 .
Câu 2: Cho tam giác ABC có BD , CE lần lượt là tia phân giác các góc B, C. Gọi I là giao điểm của BD
và CE.

  90  A .
a) Chứng minh rằng BIC
2
  60 . Tính số đo của BIE
b) Biết BAC .
 là trung bình cộng của hai góc 
 biết số đo góc BAC
c) Tính số đo của BIC ABC , 
ACB .
  BCA
Câu 3: Cho tam giác ABC và đường cao AH  H  BC  . Biết rằng BAH .

a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.

b) Biết rằng số đo góc  , 
ABC bằng trung bình cộng của hai góc BAC ACB . Tính số đo các góc của tam
giác ABC.

Trang 7
 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Tính số đo của một góc, so sánh các góc
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
1-B 2-C 3-C 4-B 5-B

Câu 1: Xét ∆ABC có A  B

 C
  180  C
  180  
 
  180   75  45   60 .
A B

  90 (A đúng); A  C
Câu 2: Vì tam giác ABC vuông tại B nên B   90 (B và D đúng).

 C
C. B   90 sai vì B
  90 nên B
 C
  90 .

N
Câu 3: Xét ∆MNP có M P
  180  N
P
  180  M
  180  80  100 .

P
Mặt khác N   100  40  70 .
  40 . Suy ra N
2
Câu 4:
A. Sai vì luôn tồn tại tam giác có ba góc nhọn. Ví dụ tam giác có ba góc bằng 60°.
B. Đúng. Giả sử tam giác có nhiều hơn 1 góc tù. Khi đó tổng ba góc trong tam giác lớn hơn 180° (mâu
thuẫn với định lí tổng 3 góc trong tam giác).Vậy trong tam giác có nhiều nhất một góc tù.

C. Sai. Thật vậy xét tam giác ABC có A  60, B

  60, C
  60 . Khi đó A  B
 C
  180 (mâu thuẫn

với định lí tổng 3 góc trong tam giác).

A tù. Khi đó góc ngoài A1 tại A là góc nhọn. Ta có A  B

D. Sai. Thậy vậy, xét ∆ABC có   C

A1 (mâu

thuẫn vì góc tù luôn lớn hơn góc nhọn).

Câu 5: ∆ABC có A  B
 C
  180  B
 C
  180  
A  180  75  105 .
  2.C
Mặt khác B  nên 2C
 C
  105  3C
  105  C
  35 .

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 6:

a) Xét ∆ABC có A  B
 C
  180  B
 C
  180  
A  180  75  105 .

 C
Mà B   105  15  60, C
  15 (giả thiết) nên B   105  60  45 .
2

b) Do BD là tia phân giác góc ABC nên  1

ABD  DBC
1
ABC  .60  30 .
2 2

ADB là góc ngoài đỉnh D nên 

Xét ∆BCD có    DCB
ADB  DBC   30  45  75 .

Trang 8
Câu 7:

  30
Ta có KAC
 nên KAB
Do AK là phân giác của BAC   KAC
  30 và BAC
  2.KAC
  2.30  60 .

  KBA
Xét ∆ABK có KAB    110  180  KBA
AKB  180  30  KBA   180   30  110   40

Mà BK là phân giác của 

ABC nên 
ABC  2.
ABK  2.40  80 .

Xét ∆ABC có A  B
 C
  180  60  80  C
  180  C
  180   60  80   40 .

Vậy ∆ABC có A  60, B

  80, C
  40 .

Câu 8: Xét ∆ABC có A  B

 C
  180 .

a) Có A  96, C   180  
  32 nên B
 
  180   96  32   52 .
AC

  
b) Theo giả thiết A : B   2 : 7 :1  A  B  C .
 :C
2 7 1
A B
 C
 A  B
 C
 180
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:      18
2 7 1 2  7 1 10

Suy ra A  2.18  36; B

  7.18  126; C
  1.18  18 .

  75 nên ta có A  C
c) Do B   180  75  105 .

 
Từ giả thiết    3:2  A  C .
A:C
3 2
A C
 A  C
 105
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:     21
3 2 3 2 5

Suy ra A  3.21  63; C

  2.21  42 .

Dạng 2. Các bài toán chứng minh góc

Câu 1:

Trang 9
Xét ∆ABC vuông tại A có 
ABC  
ACB  90 . (1)

Xét ∆AHC vuông tại H có HAC ACH  90 . (2)

Từ (1) và (2), ta có HAC ACH  
ABC     ABC
ACB   90   HAC .

1   1 HAC
Lại có 
ABI  ABC (do BI là phân giác của 
ABC ); HAI  ).
 (do AI là phân giác của HAC
2 2

Suy ra  1
ABI  HAI
1 
ABC  HAC 
 HAC (do HAC ABC ).
2 2

Xét ∆ABI có:  

ABI  IAB   HAB
ABI  IAH   HAC
  HAB
  BAC
  90 .

Mà  
ABI  IAB AIB  180 .

Suy ra 
AIB  180   
  180  90  90 (điều phải chứng minh).
ABI  IAB

Câu 2:

1B
  IBC
a) Ta có IBA  ), ICA
 (do BI là tia phân giác B   1C
  ICB  ).
 (do CI là tia phân giác C
2 2
  IBC
Xét ∆IBC có BIC   ICB
  180 .

  180  IBC
Suy ra BIC  
  180   1 B
  ICB

 2
  1C
2
   180  1 B

 2

 C
 (1)

Xét ∆ABC có A  B
 C
  180  B
 C
  180  
A (2)
Thế (2) vào (1) ta có:

BIC
2

  180  1 180  
 1 1
A  180  90  A  90  A (điều phải chứng minh).
2 2

  90  1 BAC
b) Từ chứng minh câu a, ta có: BIC   90  1 .60  120 .
2 2
  BIC
Mà ta có BIE   180 (hai góc kề bù). Suy ra BIE
  180  BIC
  180  120  60 .

 có số đo là trung bình cộng số đo của 

c) Do BAC ABC và 
ACB nên
Trang 10
1 
BAC
2

ABC    C
ACB hay B 
  2. 
A

180
Mà A  B
 C
  180 nên 3. 
A  180  
A  60 .
3

  90  A  90  60  120 .
Áp dụng chứng minh ở ý a ta có: BIC
2 2
Câu 3:

  HCA
a) Xét ∆AHC vuông tại H có HAC   90 (1)
  BCA
Theo giả thiết, ta có BAH  hya HAB
  HCA


  HAB
Theo (1), ta có: HAC   90  BAC
  90  AB  AC .

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

b) Do số đo góc  , 
ABC bằng trung bình cộng của hai góc BAC ACB nên ta có

AC  90  C


ABC   . (2)
2 2
 C
Tam giác ABC vuông tại A nên B   90  B
  90  C
 . (3)


90  C
Từ (2) và (3) ta có: .
 90  C
2
  30 . Khi đó, ta có B
Giải phương trình ta tìm được C   90  C
  90  30  60 .

Vậy ∆ABC có A  90; B

  60; C
  30 .

Trang 11