- HỆ PHƯƠNG TRÌNH. - Kiến thức cần nhớ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:. - được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình đó. - Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình. - vào phương trình của đường thẳng ta được:. - 2) Tương tự phần (1) ta có hệ: Vậy. - Ví dụ 2. - Giải các hệ phương trình sau: a). - Theo đề bài ra ta có hệ phương trình:. - Theo bài ra ta có hệ phương trình:. - ta có hệ phương trình mới. - Vậy hệ có nghiệm duy nhất Ví dụ 3. - Cho hệ phương trình:. - a) Giải hệ phương trình với. - để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. - ta có hệ phương trình: b) Từ phương trình (1) ta có. - vào phương trình (2) ta được:. - (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. - Ta có:. - (thỏa mãn điều kiện) c)Ta có:. - (4) Từ (4) suy ra. - ta có:. - Ví dụ 4. - a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất? b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo. - sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất. - d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất. - luôn chạy trên một đường thẳng cố định. - để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho. - Lời giải: a) Từ phương trình (2) ta có. - Thay vào phương trình (1) ta được:. - (3) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là. - Ta cũng có thể lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi. - b) Từ phương trình (2) ta có. - Khi đó hệ có nghiệm duy nhất. - Khi đó phương trình (3) thành:. - khi đó phương trình (3) thành: (3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm. - c) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi. - d) Khi hệ có nghiệm duy nhất. - ta có: Vậy điểm. - luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình. - e) Khi hệ có nghiệm duy nhất. - theo (d) ta có:. - theo cách khác: Khi hệ phương trình. - có nghiệm duy nhất. - lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1) của hệ ta thu được: Ví dụ 5. - hệ phương trình luôn có nghiệm. - là một cặp nghiệm của phương trình: Chứng minh:. - Lời giải: Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có. - thay vào phương trình. - của hệ ta có:. - nên phương trình này luôn có nghiệm duy nhất. - Suy ra hệ luôn có nghiệm với mọi. - là một nghiệm của hệ: Từ hệ phương trình ta có:. - .Nhân cả hai vế phương trình thứ nhất với. - phương trình thứ hai với. - rồi trừ hai phương trình cho nhau ta được:. - Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng. - và đường thẳng. - Mặt khác ta cũng dễ chứng minh đường thẳng. - vuông góc với nhau nên hai đường thẳng này luôn cắt nhau. - là giao điểm của hai đường thẳng thì tam giác. - suy ra. - Ví dụ 6. - Hệ có nghiệm duy nhất. - Lời giải: Từ phương trình (2) ta suy ra:. - Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, điều đó xảy ra khi và chỉ khi:. - a) Ta có:. - b) Ta có: đặt. - Ví dụ 7): Cho hệ phương trình:. - Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất. - Lời giải: Xét hai đường thẳng. - thì đường thẳng. - thì hai đường thẳng. - Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau. - Xét hai đường thẳng. - luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất. - đường thẳng. - cố định, đường thẳng. - Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: