- Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình Trần Nam Dũng – ĐH KHTN Tp HCM Trong toán học, có rất nhiều trường hợp ta không xác định được giá trị cụ thể đối tượng mà chúng ta đang xét (ví dụ số, hàm số) nhưng vẫn có thể thực hiện các phép toán trên các đối tượng đó. - Ví dụ ta có thể không biết giá trị các nghiệm của một phương trình, nhưng vẫn biết được tổng của chúng: “Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos5x – 5cos3x + 3cosx – 1 = 0 trên đoạn [0, 2. - hay là tính tích phân của một hàm mà ta không có biểu thức tường minh: “Chứng minh rằng với mọi t 0, phương trình x3 + tx – 8 = 0 luôn có 1 nghiệm 7. - 0 Trong bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ đề cập đến một tình huống căn bản khác, đó là khảo sát những dãy số xác định bởi dãy các phương trình: “Cho dãy các hàm số fn(x) xác định bởi công thức tường mình hoặc truy hồi thoả mãn điều kiện: các phương trình fn(x. - Ký hiệu xn là nghiệm của phương trình 1 1 1. - 0 x x 1 xn thuộc khoảng (0, 1) a) Chứng minh dãy {xn} hội tụ. - Rất may mắn, để chứng minh tính hội tụ của x n, ta không cần đến điều đó. - Chỉ cần chứng minh tính đơn điệu và bị chặn là đủ. - Ta có fn+1(xn. - Như thế ta đã chứng minh được xn+1 < xn. - Ta sẽ chứng minh giới hạn nói trên bằng 0. - Để chứng minh điều này, ta cần đến kết quả quen thuộc sau . - 1/n > ln(n) (Có thể chứng minh dễ dàng bằng cách sử dụng đánh giá ln(1+1/n. - Khi đó, do dãy số giảm nên ta có xn a với mọi n. - Khi đó với n N ta có x x 1. - Bài toán 2. - Chứng minh rằng phương trình xn = x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x n. - Chứng minh rằng xn dần về 1 khi n dần đến vô cùng và tìm lim n( x n 1. - xnn+1 – xn – 1 > xnn – xn – 1= fn(xn. - Suy ra dãy {xn} có giới hạn hữu hạn a. - Ta chứng minh a = 1. - Thay vào phương trình fn(xn. - n Bài toán 3. - a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f n(x. - b) Gọi nghiệm đó là xn, chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. - Ta sẽ chứng minh dãy xn tăng, tức là xn+1 > xn. - a10 + n + 1 > a nên ta chỉ cần chứng minh ax n + 1 < a là sẽ suy ra xn < xn+1 < 1. - Như vậy, cần chứng minh x n < (a-1)/a. - Thật vậy, nếu xn (a-1)/a n 1 a 1 n 10 1. - Từ lời giải trên, ta có thể chứng minh được rằng lim xn = (a-1)/a. - Bài toán 4. - Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 1. - Chứng minh rằng x 1 4x 1 n x 1 2 khi n dần đến vô cùng, xn dần đến 4. - Bình luận: Việc chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x n > 1 là hiển nhiên. - Tương tự như cách chứng minh lim x n = c ở nhận xét trên, ta sẽ dùng định lý Lagrange để đánh giá khoảng cách giữa x n và 4. - Lời giải: Đặt fn(x) như trên và gọi xn là nghiệm > 1 duy nhất của phương trình fn(x. - Ta có f n ( 4. - Bài toán 5. - Chứng minh rằng phương trình xn = x2 + x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn. - Tương tự như ở bài toán 2, có thể chứng minh được rằng xn ~ 1 + ln(3)/n. - Định lý Lagrange sẽ giúp chúng ta đánh giá hiệu xn – xn+1 và chứng minh dự đoán này. - xn – x2 – x – 1. - Ta có Pn+1(x. - xn+1 – x2 – x – 1 = xn+1 – xn + Pn(x. - (xn – xn+1)Pn+1’(c) với c thuộc (xn+1, xn), Pn+1’(x. - (n+1)xn – 2x – 1. - 2xn+1 – 1 = Pn+1’(xn+1. - Qua các ví dụ trên, chúng ta thấy công cụ cơ bản để khảo sát các dãy số cho bởi dãy các phương trình là các định lý cơ bản của giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý về sự hội tụ của dãy số đơn điệu và bị chặn, định lý Lagrange) và mối liên hệ mang tính truy hồi giữa các phương trình