You are on page 1of 30

1

TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU


Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

CHUYÊN ĐỀ
CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.

A. Kiến thức cơ bản.


I. Tỉ lệ thức.
1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
𝑎 𝑐
Dạng tổng quát: = hoặc a:b=c:d
𝑏 𝑑

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ; b và c gọi là trung tỉ


2. Tính chất.
a) Tính chất 1 (Tính chất cơ bản)
𝑎 𝑐
= => ad = bc (với b,d≠0)
𝑏 𝑑

b) Tính chất 2 (Tính chất hoán vị)


𝑎 𝑐
Từ tỉ lệ thức = (a,b,c,d≠0) ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác bằng cách:
𝑏 𝑑

- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau


- Đổi chỗ trung tỉ cho nhau
- Đổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau
𝑎 𝑐
Cụ thể: Từ = (a,b,c,d≠0)
𝑏 𝑑

𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 𝑏
=> = , = , =
𝑐 𝑑 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎

II. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.


𝑎 𝑐 𝑎 𝑎+𝑐 𝑎−𝑐
1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức = suy ra = = (b≠±d)
𝑏 𝑑 𝑏 𝑏+𝑑 𝑏−𝑑

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
2
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

𝑎 𝑐 𝑒
2) Tính chất 2: = = ta suy ra
𝑏 𝑑 𝑓
𝑎 𝑐 𝑒 𝑎+𝑐+𝑒 𝑎−𝑐+𝑒 𝑐−𝑒
= = = = = =⋯
𝑏 𝑑 𝑓 𝑏+𝑑+𝑓 𝑏−𝑑+𝑓 𝑑−𝑓

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)


* Nâng cao.
𝑎 𝑐 𝑒 𝑘1 𝑎+𝑘2 𝑏+𝑘3 𝑒
1. Nếu = = =k thì =𝑘
𝑏 𝑑 𝑓 𝑘1 𝑏+𝑘2 𝑑+𝑘3 𝑓
𝑎 𝑐 𝑎±𝑏 𝑐±𝑑
2. Từ = => +) =
𝑏 𝑑 𝑏 𝑑
𝑎±𝑏 𝑐±𝑑
+) =
𝑎 𝑐

(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
𝑥 𝑦 𝑧
* Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c => = =
𝑎 𝑏 𝑐

Ta còn viết x:y:z = a:b:c

B. Các dạng toán và phương pháp giải.


Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau
Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức
Dạng 4: Ứng dụng tính chất của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau vào giải bài
toán chia tỉ lệ.
Dạng 5: Tính chất của tỉ lệ thức áp dụng trong bất đẳng thức

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
3
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT


TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Bài 1: Tìm x biết:
𝑥−3 5
a) =
𝑥+5 7
𝑥−1 𝑥−2
b) =
𝑥+2 𝑥+3

Giải
𝑥−3 5
a) Từ = => 7(x-3) = 5(x+5). Giải ra x = 23
𝑥+5 7
𝑥−1 𝑥−2
b) Cách 1. Từ = => (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2)
𝑥+2 𝑥+3

(x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2


𝑥 2 - x + 3x – 3 = 𝑥 2 + 2x – 2x – 4
1
Đưa về 2x = -1 => x = −
2
x 1 x2
Cách 2: +1= +1
x2 x3
2x 1 2x 1
=
x2 x3
1
 2x+1=0  x= - (Do x+2  x+3)
2
𝑥 𝑦 𝑧
Bài 2: Tìm x, y, z biết: = = và x – 3y + 4z = 62
4 3 9

Giải
Cách 1 (Đặt giá trị chung)
𝑥 = 4𝑘
𝑥 𝑦 𝑧
Đặt = = = 𝑘 => {𝑦 = 3𝑘
4 3 9
𝑧 = 9𝑘
Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62
4k – 9k + 36k = 62

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
4
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

𝑥 = 4.2 = 8
31k = 62 => k = 2 Do đó { 𝑦 = 3.2 = 6
𝑧 = 9.2 = 18
Vậy x = 8; y= 6; z = 18
Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
𝑥 = 4.2 = 8
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥−3𝑦+4𝑧 62
= = = = =2 =>{ 𝑦 = 3.2 = 6
4 3 9 4−3.3+4.9 31
𝑧 = 9.2 = 18
Cách 3 (Phương pháp thế)
𝑥 𝑧 4𝑧
Từ = => x=
4 9 9
𝑦 𝑧 3𝑧
= => y=
3 9 9
4𝑧 3𝑧
Mà x – 3y + 4z = 62 => −3 + 4𝑧 = 62 đua về 31z = 558 => z = 18
9 9
4.18 3.18
Do đó x = = 8 ; y= =6
9 9

Vậy x = 8; y = 6 v à z =18

Bài 3: Tìm x, y, z biết:


𝑥 3 𝑦 5
a) = ; = và 2x + 3y – z = 186
𝑦 4 𝑧 7

b) 2x = 3y = 5z và |𝑥 + 𝑦 − 𝑧|=95
Giải
𝑥 3 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
a) Cách 1: Từ = => = => =
𝑦 4 3 4 15 20
𝑦 5 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧
Và = => = => =
𝑧 7 5 7 20 28
𝑥 𝑦 𝑧
=> = = (*)
15 20 28
𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥+3𝑦−𝑧 186
Ta có: = = = = =3
15 20 28 2.15+3.20−28 62

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
5
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

𝑥 = 15.3 = 45
=>{𝑦 = 20.3 = 60
𝑧 = 28.3 = 84
Vậy x=45; y=60 và z=84
𝑥 𝑦 𝑧
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt = = =k
15 20 28

(Sau đó giải như cách 1 của bài 2)


Cách 3: Sau khi làm đến (*) dùng phương pháp thế giải như cách 3 của bài 2.
2𝑥 3𝑦 5𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
b) Vì 2x = 3y = 5z => = = => = =
30 30 30 15 10 6

 x  y  z  95
Mà |𝑥 + 𝑦 − 𝑧| = 95  
 x  y  z  95
+) Nếu x+y-z= 95
𝑥 = 75
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥+𝑦−𝑧 95
Ta có = = = = = 5 =>{𝑦 = 50
15 10 6 15+10−6 19
𝑧 = 30
+) Nếu x + y – z = - 95
𝑥 = −75
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥+𝑦−𝑧 −95
Ta có = = = = = −5 =>{𝑦 = −50
15 10 6 15+10−6 19
𝑧 = −30
𝑥 = 75; 𝑦 = 50; 𝑧 = 30
Vậy: [
𝑥 = −75; 𝑦 = −50; 𝑧 = −30

Bài 4: Tìm x, y, z biết:


6 9 18
a) 𝑥= 𝑦= 𝑧 và – x + z = -196
11 2 5
𝑥−1 𝑦+3 𝑧−5
b) = = và 5z – 3x – 4y = 50
2 4 6

4 3 2
c)   và x + y – z = - 10
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z

Giải

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
6
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

6 9 18
a) Vì 𝑥= 𝑦= 𝑧
11 2 5
6𝑥 9𝑦 18𝑧
=> = =
11 2 5
6𝑥 9𝑦 18𝑧
=> = =
11.18 2.18 5.18
𝑥 𝑦 𝑧
=> = =
33 4 5
𝑥 = 231
𝑥 𝑦 𝑧 −𝑧+𝑧 −196
Ta có = = = = = 7 =>{ 𝑦 = 28
33 4 5 −33+5 −28
𝑧 = 35
Vậy x = 231; y = 28 và z = 35
𝑥−1 𝑦+3 𝑧−5
b) Ta có = =
2 4 6
3(𝑥−1) 4(𝑦+3) 5(𝑧−5) 5(𝑧−5)−3(𝑥−1)−4(𝑦+3) 50−34 16
= = = = = = =2
6 16 30 30−6−16 8 8

𝑥 − 1 = 4 => 𝑥 = 5
 { 𝑦 + 3 = 8 => 𝑦 = 5
𝑧 − 5 = 12 => 𝑧 = 17
Vậy x = 5; y = 5 và z = 17
4 3 2
c) Vì   =
3x  2 y 2 z  4 x 4 y  3z
3𝑥−2𝑦 2𝑧−4𝑥 4𝑦−3𝑧 12𝑥−8𝑦 6𝑧−12𝑥 8𝑦−6𝑧 12𝑥−8𝑦+6𝑧−12𝑥+8𝑦−6𝑧
= = = = = = =0
4 3 2 16 9 4 16+9+4
3𝑥 − 2𝑦 = 0 3𝑥 = 2𝑦
=>{ 2𝑧 − 4𝑥 = 0 =>{ 2𝑧 = 4𝑥
4𝑦 − 3𝑧 = 0 4𝑦 = 3𝑧
𝑥 𝑦
3𝑥 = 2𝑦 => = x y z x  y  z  10
Từ { 2 3       10
4𝑦 = 3𝑧 =>
𝑦
=
𝑧
2 3 4 23 4 1
3 4
𝑥 = −20
=> {𝑦 = −30 Vậy x = - 20; y = -30 và z = -40
𝑧 = −40

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
7
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

Bài 5: Tìm x. y, z biết:


a) x: y: z = 2: 3: 5 và xyz = 810
𝑥3 𝑦3 𝑧3
b) = = và 𝑥 2 +2𝑦 2 − 3𝑧 2 = - 650
8 27 64

Giải
𝑥 𝑦 𝑧
a) Vì x: y: z = 2: 3: 5 => = =
2 3 5

Cách 1 (Đặt giá trị chung)


𝑥 = 2𝑘
𝑥 𝑦 𝑧
Đặt = = = 𝑘 =>{𝑦 = 3𝑘
2 3 5
𝑧 = 5𝑘
Mà xyz = 810 => 2k.3k.5k = 810 => 30𝑘 3 =810 => 𝑘 3 =27 => k = 3
𝑥 = 2.3 = 6
=>{ 𝑦 = 3.3 = 9 Vậy x = 6; y = 9 và z = 15
𝑧 = 5.3 = 15
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 810
Cách 2: Từ = = => ( ) = . . = = = 27
2 3 5 2 2 3 5 30 30
𝑥
 = 3 => x = 6 thay vào đề bài tìm ra y = 9 ; z = 15
2

Vậy x = 6; y = 9 và z = 15
Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách 3 của bài 2
𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3 𝑥 𝑦 𝑧
b) Từ = = => ( ) = ( ) = ( ) => = =
8 27 64 2 3 4 2 3 4

Cách 1: (Đặt giá trị chung)


𝑥 = 2𝑘
𝑥 𝑦 𝑧
Đặt = = = k => {𝑦 = 3𝑘
2 3 4
𝑧 = 4𝑘
Mà 𝑥 2 + 2𝑦 2 – 3𝑧 2 = - 650 => 4𝑘 2 + 2.9𝑘 2 − 3.16𝑘 2 = −650
=>-26𝑘 2 = −650 => 𝑘 2 = 25 => 𝑘 = ±5
𝑥 = 10
Nếu k = 5=>{𝑦 = 15
𝑧 = 20

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
8
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

𝑥 = −10
Nếu k = -5 => { 𝑦 = −25
𝑧 = −20
𝑥 = 10; 𝑦 = 15; 𝑧 = 20
Vậy [
𝑥 = −10; 𝑦 = −15; 𝑧 = −20
Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥 2 +2𝑦 2 −3𝑧 2 −650
Vì = = => = = = = = 25
2 3 4 4 9 16 4+2.9−3.16 −26

𝑥 2 = 100 => 𝑥 = ±10


=>{𝑦 2 = 225 => 𝑦 = ±15
𝑧 2 = 400 => 𝑧 = ±20
Theo đề bài suy ra x,y,z cùng dấu
 x  10; y  15; z  20
Vậy 
 x  10; y  15; z  20
Cách 3 (Phương pháp thế)

Bài 6: Tìm x, y, z biết:


𝑥 𝑦 𝑧
= = = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (1)
𝑦+𝑧+1 𝑥+𝑧+2 𝑥+𝑦−3

Giải:
* Nếu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧  0
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 1
Ta c ó = = = (𝑦+𝑧+1)+(𝑥+𝑧+2)+(𝑥+𝑦+3) = = (2)
𝑦+𝑧+1 𝑥+𝑧+2 𝑥+𝑦−3 2(𝑥+𝑦+𝑧) 2
1
Từ (1) và (2) ta có x + y + z =
2
1
𝑦+𝑧 = −𝑥
2
1 𝑥 𝑦 𝑧
=> 𝑥 + 𝑧 = 2 − 𝑦 thay vào đề bài ta được: 1 =1 =1
−𝑥+1 −𝑦+2 −𝑧−3
2 2 2
1
𝑥+𝑦 = −𝑧
{ 2
𝑥 𝑦 𝑧 1
Hay 3 =5 = −5 =
−𝑥 −𝑦 −𝑧 2
2 2 2

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
9
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

𝑥 1 3 3 1
+) 3 = => 2x = − 𝑥 => 3x = => x =
−𝑥 2 2 2 2
2

𝑦 1 5 5 5
+) 5 = => 2y = − 𝑦 => 3y = => y =
−𝑦 2 2 2 6
2

1 1 5
+) Có x + y + z = , mà x = và y =
2 2 6
1
x =
2
1 1 5 −5 5
=>z= − − = Vậy y = 6
2 2 6 6
−5
{𝑧 = 6

* Nếu x + y + z = 0 ta có:
𝑥 𝑦 𝑧
(1) => = = =0
𝑦+𝑧+1 𝑥+𝑧+2 𝑥+𝑦−3

=> x = y = z = 0
1 5 −5
x = ; y = ; 𝑧=
Vậy [ 2 6 6
x = y = z = 0

Bài 7: Tìm x, y biết:


1+2𝑦 1+4𝑦 1+6𝑦
a) = =
18 24 6𝑥
1+3𝑦 1+5𝑦 1+7𝑦
b) = =
12 5𝑥 4𝑥

Giải
1+2𝑦 1+4𝑦
a) Vì = => 24(1+2y) = 18(1+4y)
18 24

=>24 +48y = 18 +72y


1 1 3 5
1 1+2. 1+6.
Đưa về 24y = 6 => y = thay vào đề bài ta có 4
= 4
=> 2
= 2
4 18 6𝑥 18 6𝑥
3 5
=> . 6𝑥 = 18. => 18x = 90 => x = 5
2 2

Ta có 1 3y
12
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
10
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

1+3𝑥 1+5𝑦 1+7𝑦 4+20𝑦 5+35𝑦 1+3𝑦+4+20𝑦−5−35𝑦 −12𝑦


= = = = = = = −𝑦
12 5𝑥 4𝑥 20𝑥 20𝑥 12+20𝑥−20𝑦 12
−1 1+5𝑦
=>1+3y = -12y => 15y = -1 => y = thay vào = −𝑦
15 5𝑥
−1
1+5. 1 1 1 1 2
Ta được 15
= => 5x . =1− => 𝑥 = => x = 2
5𝑥 15 15 3 3 3
−1
Vậy x = 2 và y =
15

Dạng 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC


𝐴 𝐶
Để chứng minh tỉ lệ thức = ta thường dùng một số phương pháp sau:
𝐵 𝐷

•) Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A.D = B.C


𝐴 𝐶
•) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số 𝑣à có cùng giá trị
𝐵 𝐷

•) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức

* Một số kiến thức cần chú ý


𝑎 𝑛.𝑎
•) = (n ≠ 0)
𝑏 𝑛.𝑏

𝑎 𝑐 𝑎 𝑛 𝑐 𝑛
•) = => ( ) = ( ) (n ∈ N*)
𝑏 𝑑 𝑏 𝑑

Sau đây là một số bài tập minh họa ( giả thiết các tỉ số đã cho đều có nghĩa)
𝑎 𝑐 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑
Bài 1: Cho tỉ lệ thức = Chứng minh rằng =
𝑏 𝑑 𝑎−𝑏 𝑐−𝑑

GIẢI

Cách 1 (pp1):

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
11
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

(a + b). (c − d) = ac – ad + bc − bd
Ta có: (a − b). (c + d) = ac + ad − bc − bd }
a c
Vì = => ad = bc
b d

 (a+b).(c-d) = (a – b).(c+d)
𝑎+𝑏 𝑐+𝑑
 =
𝑎−𝑏 𝑐−𝑑

Cách 2 (pp2):
𝑎 𝑐 𝑎 = 𝑘𝑏
Đặt = = k => {
𝑏 𝑑 𝑐 = 𝑘𝑑
𝑎 + 𝑏 𝑘𝑏 + 𝑏 𝑏(𝑘 + 1) 𝑘 + 1
𝑇𝑎 𝑐ó: = = =
𝑎 − 𝑏 𝑘𝑏 − 𝑏 𝑏(𝑘 − 1) 𝑘 − 1
𝑐 + 𝑑 𝑘𝑑 + 𝑑 𝑑(𝑘 + 1) 𝑘 + 1
= = =
𝑐 − 𝑑 𝑘𝑑 − 𝑑 𝑑(𝑘 − 1) 𝑘 − 1 }
𝑎+𝑏 𝑐+𝑑
 =
𝑎−𝑏 𝑐−𝑑

Cách 3 (pp3):
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏
Từ = => =
𝑏 𝑑 𝑐 𝑑

𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏
Ta có: = = =
𝑐 𝑑 𝑐+𝑑 𝑐−𝑑

𝑎+𝑏 𝑐+𝑑
 =
𝑎−𝑏 𝑐−𝑑

𝑎 𝑐 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 𝑎+𝑏 𝑏


𝑎 𝑐
+ 1 = + 1 => = => =
Cách 4: Từ = => {𝑏𝑎 𝑑
𝑐
𝑏
𝑎−𝑏
𝑑
𝑐−𝑑
𝑐+𝑑
𝑎−𝑏
𝑑
𝑏
𝑏 𝑑
− 1 = − 1 => = => =
𝑏 𝑑 𝑏 𝑑 𝑐−𝑑 𝑑

𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑


 = => =
𝑐+𝑑 𝑐−𝑑 𝑎−𝑏 𝑐−𝑑

𝑎 𝑐 𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏2
Bài 2: Cho tỉ lệ thức = Chứng minh rằng = (1)
𝑏 𝑑 𝑐𝑑 𝑐 2 −𝑑 2

GIẢI

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
12
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

Cách 1:
a c
Vì = => ad = bc
b d
Có: ab(𝑐 2 − 𝑑 2 ) = 𝑎𝑏𝑐 2 − 𝑎𝑏𝑑 2 = 𝑎𝑐𝑏𝑐 − 𝑎𝑑𝑏𝑑 }
𝑐𝑑(𝑎2 − 𝑏 2 ) = 𝑐𝑑𝑎2 − 𝑐𝑑𝑏 2 = 𝑎𝑐𝑎𝑑 − 𝑏𝑐𝑏𝑑

 ab(𝑐 2 − 𝑑 2 ) = 𝑐𝑑(𝑎2 − 𝑏 2 )
𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏2
 =
𝑐𝑑 𝑐 2 −𝑑 2

Cách 2:
𝑎 𝑐 𝑎 = 𝑘𝑏
= = k => { thay vào 2 vế của (1) chứng minh 2 vế có cùng giá trị
𝑏 𝑑 𝑐 = 𝑘𝑑
Cách 3:

𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 2 𝑏 2 𝑎 𝑏
Vì = => = => ( ) = ( ) = .
𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑

𝑎𝑏 𝑎2 𝑏2 𝑎2 − 𝑏2
 = = =
𝑐𝑑 𝑐2 𝑑 2 𝑐 2 −𝑑 2
𝑎 𝑐
B ài 3: chứng minh rằng nếu = thì
𝑏 𝑑

5𝑎+3𝑏 5𝑐+3𝑑
a) =
5𝑎−3𝑏 5𝑐−3𝑑
7𝑎2 +3𝑎𝑏 7𝑐 2 +3𝑐𝑑
b) =
11𝑎2 −8𝑏2 11𝑐 2 −8𝑑 2

GIẢI
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 5𝑎+3𝑏 5𝑎−3𝑏
a) Từ = => = = =
𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 5𝑐+3𝑑 5𝑐−3𝑑
5𝑎+3𝑏 5𝑐+3𝑑
=> =
5𝑎−3𝑏 5𝑐−3𝑑
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏
b) Từ = => =
𝑏 𝑑 𝑐 𝑑
𝑎2 𝑏2 𝑎𝑏 7𝑎2 8𝑏2 3𝑎𝑏 11𝑎2
=> = = = = = =
𝑐2 𝑑2 𝑐𝑑 7𝑐 2 8𝑑 2 3𝑐𝑑 11𝑐 2

7𝑎2 +3𝑎𝑏 11𝑎2 −8𝑏2


= =
7𝑐 2 +3𝑐𝑑 11𝑐 2 −8𝑑 2

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
13
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

7𝑎2 +3𝑎𝑏 7𝑐 2 +3𝑐𝑑


=> =
11𝑎2 −8𝑏 2 11𝑐 2 −8𝑑 2

Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd. Chứng minh rằng:

𝑎3 +𝑏3 −𝑐 3 𝑎+𝑏−𝑐 3
1) =( )
𝑏3 +𝑐 3 −𝑑 3 𝑏+𝑐−𝑑
𝑎 𝑎3 +8𝑏3 +125𝑐 3
2) =
𝑑 𝑏3 +8𝑐 3 +125𝑑 3

GIẢI
a b
b2 = ac => =
b c
1) Vì b c
}
2
c = bd => =
c d
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+𝑏−𝑐
 = = =
𝑏 𝑐 𝑑 𝑏+𝑐−𝑑
𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑎+𝑏−𝑐 3 𝑎3 +𝑏3 −𝑐 3
 = = =( ) = 𝑏3 +𝑐 3−𝑑3
𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑏+𝑐−𝑑
𝑎3 +𝑏3 −𝑐 3 𝑎+𝑏−𝑐 3
Vậy =( )
𝑏3 +𝑐 3 −𝑑 3 𝑏+𝑐−𝑑
𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑎3 +8𝑏3 +125𝑐 3
= = =
𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑏3 +8𝑐 3 +125𝑑 3
2) Có: }
𝑎 3 𝑎3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎
𝑚à ( ) = 3 = . . =
𝑏 𝑏 𝑏 𝑐 𝑑 𝑑
𝑎 𝑎3 +8𝑏3 +125𝑐 3
 =
𝑑 𝑏3 +8𝑐 3 +125𝑑 3

𝑎 𝑏 𝑐
Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn = =
2014 2015 2016

Chứng minh: 4(a-b)(b-c) = (𝑐 − 𝑎)2

GIẢI
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑐−𝑎
Từ = = = = =
2014 2015 2016 −1 −1 2

2(𝑎−𝑏) 2(𝑏−𝑐)
 = =𝑐−𝑎
−1 −1
 4(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐) = (𝑐 − 𝑎)2
𝑎 𝑏′ 𝑏 𝑐′
Bài 6: Biết ′
+ = 1 và ′
+ =1
𝑎 𝑏 𝑏 𝑐

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
14
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

CMR: abc + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′= 0

GIẢI
𝑎 𝑏′
Từ ′
+ =1 => ab + 𝑎′ 𝑏 ′ = 𝑎′ 𝑏 (1)
𝑎 𝑏

Nhân cả hai vế của (1) với c ta có: abc + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 = 𝑎′ 𝑏𝑐 (2)


𝑏 𝑐′
Ta c ó : ′
+ =1 => bc + 𝑏 ′ 𝑐 ′ = 𝑏 ′ 𝑐 (3)
𝑏 𝑐

Nhân cả hai vế của (3) với 𝑎′ ta có: 𝑎′ 𝑏𝑐 + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ = 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 (4)

Cộng cả hai vế của (2) và (4) ta có:

abc + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 + 𝑎′ 𝑏𝑐 + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ = 𝑎′ 𝑏𝑐 + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐

 abc + 𝑎′ 𝑏′ 𝑐 ′ = 0
𝑏𝑧−𝑐𝑦 𝑐𝑥−𝑎𝑧 𝑎𝑦−𝑏𝑥
Bài 7: Cho = = (1)
𝑎 𝑏 𝑐
𝑥 𝑦 𝑧
CMR: = =
𝑎 𝑏 𝑐

GIẢI

Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c

Từ (1) ta có:
𝑏𝑧 − 𝑐𝑦 𝑎𝑏𝑧 − 𝑎𝑐𝑦 𝑏𝑐𝑥 − 𝑏𝑎𝑧 𝑐𝑎𝑦 − 𝑐𝑏𝑥
= = =
𝑎 𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎𝑏𝑧−𝑎𝑐𝑦+𝑏𝑐𝑥−𝑏𝑎𝑧+𝑐𝑎𝑦−𝑐𝑏𝑥
= =0
𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2
𝑦 𝑧
𝑏𝑧 − 𝑐𝑦 = 0 => 𝑏𝑧 = 𝑐𝑦 => =
𝑏 𝑐
{ 𝑦 𝑥
𝑎𝑦 − 𝑏𝑥 = 0 => 𝑎𝑦 = 𝑏𝑥 => =
𝑏 𝑎
𝑥 𝑦 𝑧
 = =
𝑎 𝑏 𝑐

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
15
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

Bài 8: CMR: Nếu a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) (1)

Trong đó a,b,c là các số khác nhau và khác 0 thì:


𝑦−𝑧 𝑧−𝑥 𝑥−𝑦
= =
𝑎(𝑏−𝑐) 𝑏(𝑐−𝑎) 𝑐(𝑎−𝑏)

GIẢI

Vì a,b,c ≠ 0 nên chia các số của (1) cho abc ta được:


𝑎(𝑦 + 𝑧) 𝑏(𝑧 + 𝑥) 𝑐(𝑥 + 𝑦) 𝑦+𝑧 𝑧+𝑥 𝑥+𝑦
= = => = =
𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 𝑎𝑏𝑐 𝑏𝑐 𝑏𝑐 𝑏𝑐
(𝑥+𝑦)−(𝑧+𝑥) (𝑦+𝑧)−(𝑥+𝑦) (𝑧+𝑥)−(𝑦+𝑧)
= = =
𝑎𝑏−𝑎𝑐 𝑏𝑐−𝑎𝑏 𝑎𝑐−𝑏𝑐
𝑦−𝑧 𝑧−𝑥 𝑥−𝑦
 = =
𝑎(𝑏−𝑐) 𝑏(𝑐−𝑎) 𝑐(𝑎−𝑏)

Dạng 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Bài 1 :
3x  y 3 x
Cho tỉ lệ thức  . Tính giá trị của tỉ số
x y 4 y

Bài giải:

Cách 1 :
3x  y 3
Từ   4(3x – y) = 3(x+y)  12x – 4y = 3x + 3y
x y 4

 12x – 3y = 3(x+y)  9x = 7y

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
16
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

x 7
Vậy =
y 9

Cách 2:
3x
1
3x  y 3 y 3 x 3a  1 3
Từ    Đặt =a  =
x y 4 x
1 4 y a 1 4
y

Bài 2:
x y z yzx
Cho   . Tính giá trị của biểu thức P =
2 3 4 x yz

Cách 1:
x y z
Đặt   = k  x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k  0)
2 3 4

3k  4k  2k 5k 5
P=  
2k  3k  4k 3k 3

5
Vậy P =
3

Cách 2 :
x y z yzx yzx x yz x yz
Có   =   
2 3 4 3 4 2 5 23 4 3

yzx x yz yzx 5


   
5 3 x yz 3

5
Vậy P =
3

Bài 3 :

Cho dãy tỉ số bằng nhau

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
17
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

a b c d
   Tính giá trị của biểu thức
bcd acd abd bca

ab bc cd d a


M   
cd ad ab bc

Bài giải:
a b c d
Từ   
bcd acd abd bca

a b c d
 1  1  1  1
bcd acd abd bca

abcd abcd abcd abcd


    (*)
bcd acd abd bca

+) Xét a  b  c  d  0  a  b  (c  d ); b  c  (a  d )

 M  4

+) Xét a  b  c  d  0 Từ (*) ta có :

b c  d  a c  d  a b  d  b c  a

a bc d M 4

Bài 4:
ab bc ca
Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn  
c a b

Tính giá trị của biểu thức P  1    


a b c
1  1  

b c  a  

Bài giải:

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
18
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

ab bc ca ab bc ca


Từ    1  1  1
c a b c a b

abc abc abc


   (*)
c a b

+) Xét a  b  c  0  a  b  c; a  c  b; b  c  a

a  b b  c a  c c a b abc
P        1
b c a b c a abc

+) Xét a  b  c  0 Từ (*) ta có :

a b cP 8

Bài 5 :
ab bc ca
Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn  
ab bc ca

ab 2  bc 2  ca 2
Tính giá trị của biểu thức P  3 3 3
a b c

Bài giải:
ab bc ca
Với a, b, c  0 ta có :  
ab bc ca

ab bc ca 1 1 1 1 1 1


        
ab bc ca b a c b a c

1 1 1
    a  b  c  P 1
a b c

Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ


BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN CHIA TỈ LỆ

Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các
chữ số của nó chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3.

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
19
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

Lời giải
̅̅̅̅̅ , ( ĐK : a, b, c  N * ,1  a  9,0  b, c  9
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là 𝑎𝑏𝑐
)
=> 1  a  b  c  27
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ⋮ 18
+) 𝑎𝑏𝑐 <=> {𝑎𝑏𝑐 ⋮ 2 ( do 18=2.9 và ƯCLN(2;9)=1 )
̅̅̅̅̅ ⋮ 9
𝑎𝑏𝑐
+) Các chữ số của số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; 3
̅̅̅̅̅ ⋮ 2 => c ⋮ 2
Mà 𝑎𝑏𝑐
=>a, b, c tỉ lệ với 1;3; 2 hoặc a; b; c tỉ lệ với 3; 1; 2
a b c abc
+) a, b, c tỉ lệ với 1; 3; 2 =>   
1 3 2 6

=>a + b + c ⋮ 6
̅̅̅̅̅ ⋮ 9
Lại có 𝑎𝑏𝑐 <=>a + b + c ⋮ 9
Mà 1  a  b  c  27
Nên a + b + c = 18
𝑎=3
a b c
=>   3 =>{𝑏 = 9 (Thỏa mãn điều kiện)
1 3 2
𝑐=6
𝑎=3
Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; 2 =>{𝑏 = 9 (Thỏa mãn điiều kiện)
𝑐=6
Vậy số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là 396; 936.
1
Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh. Nếu rút ở lớp 7A đi số
4
1 1
học sinh, rút ở lớp 7B đi số học sinh, rút ở lớp 7C đi học sinh thì số
7 3
học sinh còn lại của cả 3 lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp ban đầu.
Lời giải

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
20
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

Gọi số học sinh ban đầu của lớp 7A,7B.7C lần lượt là x,y, z (học sinh)
ĐK: x, y, z  N * , x, y, z  144
+) Ba lớp 7A,7B,7C có tất cả 144 học sinh => x  y  z  144
1 1
+) Nếu rút ở lớp 7A đi học sinh, rút ở lớp 7B đi học sinh, rút ở lớp 7C
4 7
1
đi học sinh thì số học sinh còn lại của 3 lớp bằng nhau.
3
3 6 2
x y z
Nên ta có 4 7 3

3 6 2 x y z x  y  z 144
 x y      6
24 42 18 z 8 7 9 8  7  9 24

 x  48

  y  42 (Thỏa mãn điều kiện)
 z  54

Vậy số học sinh lúc đầu của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 48 học sinh, 42
học sinh, 54 học sinh.

Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học
sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ
một , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2. Tìm số học sinh mỗi tổ.
Lời giải
Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là x, y, z.(học sinh)
ĐK: x, y, z  N * , x, y, z  52
+) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52
+) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3
học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2
Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
21
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

3  x – 1 4  y – 2  2  z  3
  
12 12 12


x – 1

y – 2   z  3

4 3 6
x  1 y-2 z  3 x  y  z 52
     4
4 3 6 13 13

 x  1  16  x  17

  y  2  12   y  14 (Thỏa mãn điều kiện)
 z  3  24  z  21
 

Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh, 14
học sinh, 21 học sinh.
3
Bài 4: Tìm ba phân số có tổng bằng −3 . Biết tử của chúng tỉ lệ với 3; 4;
70

5 còn mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.


Lời giải
𝑎 𝑐 𝑒 a, b, c, d , e, g  Z
Gọi ba phân số cần tìm là , , với
𝑏 𝑑 𝑔 b, d , g  0

Theo đầu bài ta có


a c e 3
a : c : e = 3:4 :5, b : d : g =5:1:2 và    3
b d g 70

a c e
+) a:c:e= 3 :4 :5 =>    k với k  Z
3 4 5
 a=3k ,c =4k , e =5k
b d g
+) b : d : g = 5 : 1 : 2 =>    t với t  Z , t  o
5 1 2
 b=5t, d=t, g=2t
a c e 3 3k 4k 5k 213
+)    3 =>   
b d g 70 5t t 2t 70

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
22
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

k 71 213 k 3
 .  => 
t 10 70 t 7
a 9 c 12 e 15
  ,  , 
b 35 d 7 g 14

9 12 15
Vậy ba phân số cần tìm là , ,
35 7 14
Bài 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương
ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?
Lời giải
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và ℎ𝑎 , ℎ𝑏 , ℎ𝑐 lần lượt là các chiều
cao tương ứng.
a.ha b.hb c.hc
Diện tích của tam giác đó là:   => a. ℎ𝑎 = b. ℎ𝑏 = c. ℎ𝑐 (1)
2 2 2
+) có a, b, c tỉ lệ với 2; 3; 4
a b c
=>    k ( k  o )
2 3 4
=> a = 2k, b = 3k v à c = 4k
(1) =>2k. ℎ𝑎 = 3k. ℎ𝑏 = 4k. ℎ𝑐
2ha 3hb 4hc
=> 2 ℎ𝑎 = 3 ℎ𝑏 = 4 ℎ𝑐 =>  
12 12 12
ha hb hc
=>   => ℎ𝑎 , ℎ𝑏 , ℎ𝑐 tỉ lệ với 6; 4 ; 3
6 4 3
Vậy độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 thì ba chiều cao tương
tứng với ba cạnh đó tỉ lệ với 6; 4; 3.

Bài 6: Một ô tô phải đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Sau khi đi
1
được quãng đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 20%. Do đó ô tô đến B sớm hơn
2

được 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
23
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

Lời giải
Gọi vận tốc dự định là x, vận tốc mới tăng là y ( x,y > 0)
120 y 6
Ta có y  x => 
100 x 5
Gọi C là trung điểm của AB. Ô tô đến B sớm hơn dự định 10 phút là nhờ
tăng vận tốc từ điểm C.
Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc x mất thời gian là 𝑡1
Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc y mất thời gian là 𝑡2
y t1 y 6
Thì x. 𝑡1 = y. 𝑡2 =>  mà 
x t2 x 5

t1 6 t t t t t  60
=>  => 1  2  1 2  10 =>  1
t2 5 6 5 65 t2  50
=>Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc đã tăng hết 50 phút
Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60 phút.
Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là 60 + 50 = 110 (phút)

Bài 7: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m,
giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được một ngày cửa
2 1 3
hàng còn lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bán được của
3 3 5

ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó
cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải mỗi cuộn.

Lời giải
Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z (m)
ĐK: 0< x, y, z < 186
+) Tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m => x + y + z = 186

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
24
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

2 1
+ Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai,
3 3
3
cuộn thứ ba
5

=> Trong ngày đó cửa hàng đã bán được số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai,
x 2 y 2z
thứ ba lần lượt là , , (mét)
3 3 5
+) Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3;
2 và giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn như nhau.
=> Số mét vài bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với
2; 3; 2
x 2 y 2z
=> : :  2:3: 2
3 3 5
2x 2 y 2z
=>  
12 9 10
x y z x  y  z 186
=>     6
12 9 10 12  9  10 31

 x  72
=>  y  54 ( Thỏa mãn điều kiện )
 z  60

Vậy trong ngày đó cửa hàng đã bán số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ
ba lần lượt là : 24; 36; 24 (mét).

Dạng 5: TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC

ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

a c
Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ và với b> 0; d >0.
b d

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
25
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

a c
CM:   ad  bc
b d

Giải:

a c 
  ad cb
+ Có b d    ad  bc
 bd db
b  0; d  0 

ad  bc  ad bc a c
+ Có:    
b  0; d  0 bd db b d

a c a ac c
Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ     (Bài 5/33 SGK Đ7)
b d b bd d

Giải:

a c 
 
+ b d   ad  bc(1) thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:
b  0; d  0 

 ad  ab  bc  ab
a ac
a b  d   b c  a     2
b bd

+ Thêm vào hai vế của (1) dc ta có:

1  ad  dc  bc  dc
 d  a  c   c b  d 
ac c
   3
bd d

+ Từ (2) và (3) ta có:

a c a ac c
Từ     (đpcm)
b d b bd d

Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
26
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

𝑎 𝑎 𝑎+𝑐
a. Nếu < 1 th ì <
𝑏 𝑏 𝑏+𝑐

𝑎 𝑎 𝑎+𝑐
b. Nếu > 1 thì >
𝑏 𝑏 𝑏+𝑐

Bài 1. Cho a; b; c; d > 0.

a b c d
CMR: 1     2
abc bcd cd a d a b

Giải:

a
+ Từ  1 theo tính chất (3) ta có:
abc

ad a
 1 (do d>0)
abcd abc

a a
Mặt khác:   2
abc abcd

a a ad
+ Từ (1) và (2) ta có:    3
abcd abc abcd

Tương tự ta có:

b b ba
   4
abcd bcd abcd

c c cb
   5
abcd cd a cd ab

d d d c
   6
d+a+b+c d  a  b a  b  c  d

Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:

a b c d
1    2
abc bcd cd a d a b

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
27
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

a c a ab  cd c
Bài 2. Cho  và b; d  0 CMR:  2 
b d b b  d2 d

Giải:

a c a.b c.d ab cd
Ta có  và b; d  0 nên   2  2
b d b.b d.d b d

ab ab  cd cd a ab  cd c
Theo tính chất (2) ta có:  2  2  2 
b 2
b d 2
d b b d2 d

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tìm các số x,y,z biết rằng


x2 x4 x y z
a.  b.   và 5 x  y  2 z  28 c. 4 x  3 y ; 7 y  5 z và
x 1 x  7 10 6 21
2x  3y  z  6

10 6 14
d. x : y : z  12 : 9 : 5 và xyz  20 e.   và xyz  6720 f.
x  5 y  9 z  21
x  16 y  25 z  9
  và 2 x3  1  15
9 16 25

Bài 2. Tìm các số x,y,z biết rằng

a. x : y : z  3 : 4 : 5 và 5z 2  3x2  2 y 2  594 b. 3 x 1  2  y  2 ; 4  y  2  3  z  3 và


2 x  3 y  z  50

12 x  15 y 20 z  12 y 15 y  20 z 2x 3y 4z
c.   và x  y  z  48 d.   và
7 9 11 3 4 5
 x  y  z  49

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
28
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

x 3 y 5
Bài 3. Tìm các số x,y,z biết : a.  ;  và 2 x  3 y  5z  1
y 2 z 7
1 4 y 1 6 y 1 8y
b,  
13 19 5x

2x  1 y  2 2x  3 y 1 y  z 1 x  z  2 y  x  3 1
c.   d,   
5 7 6x x y z x yz

a c
Bài 4. Cho tỉ lệ thức  . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau ( với
b d
giả thiết các tỉ số đều có nghĩa )
2a  7b 2c  7d 2015a  2016b 2015c  2016d
a.  b, 
3a  4b 3c  4d 2016c  2017d 2016a  2017b

ab  a 2  b2 ab  2a  3b  7a 2  5ac 7b 2  5bd


2 2

c.    d,   e, 
cd 
2
c d
2
cd  2c  3d  7a 2  5ac 7b 2  5bd

Bài 5.
a c
Cho a  c  2b và 2bd  c  b  d  ; b, d  0 CMR : 
b d

Bài 6.
a1 a2 a3 a2014
Cho dãy tỉ số bằng nhau :     Cmr ta có đẳng thức
a2 a3 a4 a2015

2014
a1  a a a   a2014 
 1 2 3 
a2015  a2  a3  a4   a2015 

Bài 7.
a c
Cho  các số x, y, z, t thỏa mãn ax  yb  0 và zc  td  0
b d

xa  yb xc  yd
Cmr : 
za  tb zc  td

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
29
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

Bài 8.
2a  13b 2c  13d a c
Cho tỉ lệ thức  Cmr : 
3a  7b 3c  7d b d

Bài 9.
a1 a2 a3 an 1 an
Cho      ( a1  a2   an  0 )
a2 a3 a4 an a1

a12  a22   an2


Tính : 1) A 
 a1  a2   an 
2

a19  a29   an9


2) B 
 a1  a2   an 
9

Bài 10.
x y z t
Biết   
y z t z t  x t  x y x y  z

x y y  z z t t  x
Tính P    
z t t  x x y y  z

Bài 11.

Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số
của nó xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 ;2 ;3

Bài 12 :
3
Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng là và các tử tương ứng tỉ
196
lệ với 3 và 5 , các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4 và 7

Bài 13.

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
30
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ

Cho ABC các góc ngoài của tam giác tại A,B,C tỉ lệ với 4 ;5 ;6 . Các góc
trong tương ứng tỉ lệ với các số nào ?

Bài 14.

Trong một đợt lao động, ba khối 7,8,9 chuyển được 912m3 đất. Trung bình
mỗi học sinh khối 7,8,9 theo thứ tự làm được 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1,6m3 . Số học sinh
khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3, số học sinh khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số
học sinh mỗi khối ?

Bài 15.

Quãng đường AB dài 76m, người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai
4
đi từ B đến A. Vận tốc của người thứ nhất chỉ bằng vận tốc của người thứ hai
5
10
(đến lúc gặp nhau). Thời gian của người thứ nhất chỉ bằng thời gian của
11
người thứ hai. Tính quãng đường mỗi người đi được ?

Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS

You might also like