Professional Documents
Culture Documents
CHUYÊN ĐỀ
CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
𝑎 𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 𝑏
=> = , = , =
𝑐 𝑑 𝑏 𝑎 𝑐 𝑎
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
2
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
𝑎 𝑐 𝑒
2) Tính chất 2: = = ta suy ra
𝑏 𝑑 𝑓
𝑎 𝑐 𝑒 𝑎+𝑐+𝑒 𝑎−𝑐+𝑒 𝑐−𝑒
= = = = = =⋯
𝑏 𝑑 𝑓 𝑏+𝑑+𝑓 𝑏−𝑑+𝑓 𝑑−𝑓
(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
𝑥 𝑦 𝑧
* Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c => = =
𝑎 𝑏 𝑐
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
3
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Giải
𝑥−3 5
a) Từ = => 7(x-3) = 5(x+5). Giải ra x = 23
𝑥+5 7
𝑥−1 𝑥−2
b) Cách 1. Từ = => (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2)
𝑥+2 𝑥+3
Giải
Cách 1 (Đặt giá trị chung)
𝑥 = 4𝑘
𝑥 𝑦 𝑧
Đặt = = = 𝑘 => {𝑦 = 3𝑘
4 3 9
𝑧 = 9𝑘
Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62
4k – 9k + 36k = 62
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
4
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
𝑥 = 4.2 = 8
31k = 62 => k = 2 Do đó { 𝑦 = 3.2 = 6
𝑧 = 9.2 = 18
Vậy x = 8; y= 6; z = 18
Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
𝑥 = 4.2 = 8
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥−3𝑦+4𝑧 62
= = = = =2 =>{ 𝑦 = 3.2 = 6
4 3 9 4−3.3+4.9 31
𝑧 = 9.2 = 18
Cách 3 (Phương pháp thế)
𝑥 𝑧 4𝑧
Từ = => x=
4 9 9
𝑦 𝑧 3𝑧
= => y=
3 9 9
4𝑧 3𝑧
Mà x – 3y + 4z = 62 => −3 + 4𝑧 = 62 đua về 31z = 558 => z = 18
9 9
4.18 3.18
Do đó x = = 8 ; y= =6
9 9
Vậy x = 8; y = 6 v à z =18
b) 2x = 3y = 5z và |𝑥 + 𝑦 − 𝑧|=95
Giải
𝑥 3 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
a) Cách 1: Từ = => = => =
𝑦 4 3 4 15 20
𝑦 5 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧
Và = => = => =
𝑧 7 5 7 20 28
𝑥 𝑦 𝑧
=> = = (*)
15 20 28
𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥+3𝑦−𝑧 186
Ta có: = = = = =3
15 20 28 2.15+3.20−28 62
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
5
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
𝑥 = 15.3 = 45
=>{𝑦 = 20.3 = 60
𝑧 = 28.3 = 84
Vậy x=45; y=60 và z=84
𝑥 𝑦 𝑧
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt = = =k
15 20 28
x y z 95
Mà |𝑥 + 𝑦 − 𝑧| = 95
x y z 95
+) Nếu x+y-z= 95
𝑥 = 75
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥+𝑦−𝑧 95
Ta có = = = = = 5 =>{𝑦 = 50
15 10 6 15+10−6 19
𝑧 = 30
+) Nếu x + y – z = - 95
𝑥 = −75
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥+𝑦−𝑧 −95
Ta có = = = = = −5 =>{𝑦 = −50
15 10 6 15+10−6 19
𝑧 = −30
𝑥 = 75; 𝑦 = 50; 𝑧 = 30
Vậy: [
𝑥 = −75; 𝑦 = −50; 𝑧 = −30
4 3 2
c) và x + y – z = - 10
3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3z
Giải
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
6
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
6 9 18
a) Vì 𝑥= 𝑦= 𝑧
11 2 5
6𝑥 9𝑦 18𝑧
=> = =
11 2 5
6𝑥 9𝑦 18𝑧
=> = =
11.18 2.18 5.18
𝑥 𝑦 𝑧
=> = =
33 4 5
𝑥 = 231
𝑥 𝑦 𝑧 −𝑧+𝑧 −196
Ta có = = = = = 7 =>{ 𝑦 = 28
33 4 5 −33+5 −28
𝑧 = 35
Vậy x = 231; y = 28 và z = 35
𝑥−1 𝑦+3 𝑧−5
b) Ta có = =
2 4 6
3(𝑥−1) 4(𝑦+3) 5(𝑧−5) 5(𝑧−5)−3(𝑥−1)−4(𝑦+3) 50−34 16
= = = = = = =2
6 16 30 30−6−16 8 8
𝑥 − 1 = 4 => 𝑥 = 5
{ 𝑦 + 3 = 8 => 𝑦 = 5
𝑧 − 5 = 12 => 𝑧 = 17
Vậy x = 5; y = 5 và z = 17
4 3 2
c) Vì =
3x 2 y 2 z 4 x 4 y 3z
3𝑥−2𝑦 2𝑧−4𝑥 4𝑦−3𝑧 12𝑥−8𝑦 6𝑧−12𝑥 8𝑦−6𝑧 12𝑥−8𝑦+6𝑧−12𝑥+8𝑦−6𝑧
= = = = = = =0
4 3 2 16 9 4 16+9+4
3𝑥 − 2𝑦 = 0 3𝑥 = 2𝑦
=>{ 2𝑧 − 4𝑥 = 0 =>{ 2𝑧 = 4𝑥
4𝑦 − 3𝑧 = 0 4𝑦 = 3𝑧
𝑥 𝑦
3𝑥 = 2𝑦 => = x y z x y z 10
Từ { 2 3 10
4𝑦 = 3𝑧 =>
𝑦
=
𝑧
2 3 4 23 4 1
3 4
𝑥 = −20
=> {𝑦 = −30 Vậy x = - 20; y = -30 và z = -40
𝑧 = −40
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
7
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Giải
𝑥 𝑦 𝑧
a) Vì x: y: z = 2: 3: 5 => = =
2 3 5
Vậy x = 6; y = 9 và z = 15
Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách 3 của bài 2
𝑥3 𝑦3 𝑧3 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3 𝑥 𝑦 𝑧
b) Từ = = => ( ) = ( ) = ( ) => = =
8 27 64 2 3 4 2 3 4
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
8
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
𝑥 = −10
Nếu k = -5 => { 𝑦 = −25
𝑧 = −20
𝑥 = 10; 𝑦 = 15; 𝑧 = 20
Vậy [
𝑥 = −10; 𝑦 = −15; 𝑧 = −20
Cách 2 (Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥 2 +2𝑦 2 −3𝑧 2 −650
Vì = = => = = = = = 25
2 3 4 4 9 16 4+2.9−3.16 −26
Giải:
* Nếu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 0
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 1
Ta c ó = = = (𝑦+𝑧+1)+(𝑥+𝑧+2)+(𝑥+𝑦+3) = = (2)
𝑦+𝑧+1 𝑥+𝑧+2 𝑥+𝑦−3 2(𝑥+𝑦+𝑧) 2
1
Từ (1) và (2) ta có x + y + z =
2
1
𝑦+𝑧 = −𝑥
2
1 𝑥 𝑦 𝑧
=> 𝑥 + 𝑧 = 2 − 𝑦 thay vào đề bài ta được: 1 =1 =1
−𝑥+1 −𝑦+2 −𝑧−3
2 2 2
1
𝑥+𝑦 = −𝑧
{ 2
𝑥 𝑦 𝑧 1
Hay 3 =5 = −5 =
−𝑥 −𝑦 −𝑧 2
2 2 2
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
9
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
𝑥 1 3 3 1
+) 3 = => 2x = − 𝑥 => 3x = => x =
−𝑥 2 2 2 2
2
𝑦 1 5 5 5
+) 5 = => 2y = − 𝑦 => 3y = => y =
−𝑦 2 2 2 6
2
1 1 5
+) Có x + y + z = , mà x = và y =
2 2 6
1
x =
2
1 1 5 −5 5
=>z= − − = Vậy y = 6
2 2 6 6
−5
{𝑧 = 6
* Nếu x + y + z = 0 ta có:
𝑥 𝑦 𝑧
(1) => = = =0
𝑦+𝑧+1 𝑥+𝑧+2 𝑥+𝑦−3
=> x = y = z = 0
1 5 −5
x = ; y = ; 𝑧=
Vậy [ 2 6 6
x = y = z = 0
Giải
1+2𝑦 1+4𝑦
a) Vì = => 24(1+2y) = 18(1+4y)
18 24
Ta có 1 3y
12
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
10
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
𝑎 𝑐 𝑎 𝑛 𝑐 𝑛
•) = => ( ) = ( ) (n ∈ N*)
𝑏 𝑑 𝑏 𝑑
Sau đây là một số bài tập minh họa ( giả thiết các tỉ số đã cho đều có nghĩa)
𝑎 𝑐 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑
Bài 1: Cho tỉ lệ thức = Chứng minh rằng =
𝑏 𝑑 𝑎−𝑏 𝑐−𝑑
GIẢI
Cách 1 (pp1):
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
11
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
(a + b). (c − d) = ac – ad + bc − bd
Ta có: (a − b). (c + d) = ac + ad − bc − bd }
a c
Vì = => ad = bc
b d
(a+b).(c-d) = (a – b).(c+d)
𝑎+𝑏 𝑐+𝑑
=
𝑎−𝑏 𝑐−𝑑
Cách 2 (pp2):
𝑎 𝑐 𝑎 = 𝑘𝑏
Đặt = = k => {
𝑏 𝑑 𝑐 = 𝑘𝑑
𝑎 + 𝑏 𝑘𝑏 + 𝑏 𝑏(𝑘 + 1) 𝑘 + 1
𝑇𝑎 𝑐ó: = = =
𝑎 − 𝑏 𝑘𝑏 − 𝑏 𝑏(𝑘 − 1) 𝑘 − 1
𝑐 + 𝑑 𝑘𝑑 + 𝑑 𝑑(𝑘 + 1) 𝑘 + 1
= = =
𝑐 − 𝑑 𝑘𝑑 − 𝑑 𝑑(𝑘 − 1) 𝑘 − 1 }
𝑎+𝑏 𝑐+𝑑
=
𝑎−𝑏 𝑐−𝑑
Cách 3 (pp3):
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏
Từ = => =
𝑏 𝑑 𝑐 𝑑
𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏
Ta có: = = =
𝑐 𝑑 𝑐+𝑑 𝑐−𝑑
𝑎+𝑏 𝑐+𝑑
=
𝑎−𝑏 𝑐−𝑑
𝑎 𝑐 𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏2
Bài 2: Cho tỉ lệ thức = Chứng minh rằng = (1)
𝑏 𝑑 𝑐𝑑 𝑐 2 −𝑑 2
GIẢI
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
12
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Cách 1:
a c
Vì = => ad = bc
b d
Có: ab(𝑐 2 − 𝑑 2 ) = 𝑎𝑏𝑐 2 − 𝑎𝑏𝑑 2 = 𝑎𝑐𝑏𝑐 − 𝑎𝑑𝑏𝑑 }
𝑐𝑑(𝑎2 − 𝑏 2 ) = 𝑐𝑑𝑎2 − 𝑐𝑑𝑏 2 = 𝑎𝑐𝑎𝑑 − 𝑏𝑐𝑏𝑑
ab(𝑐 2 − 𝑑 2 ) = 𝑐𝑑(𝑎2 − 𝑏 2 )
𝑎𝑏 𝑎2 − 𝑏2
=
𝑐𝑑 𝑐 2 −𝑑 2
Cách 2:
𝑎 𝑐 𝑎 = 𝑘𝑏
= = k => { thay vào 2 vế của (1) chứng minh 2 vế có cùng giá trị
𝑏 𝑑 𝑐 = 𝑘𝑑
Cách 3:
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 2 𝑏 2 𝑎 𝑏
Vì = => = => ( ) = ( ) = .
𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑
𝑎𝑏 𝑎2 𝑏2 𝑎2 − 𝑏2
= = =
𝑐𝑑 𝑐2 𝑑 2 𝑐 2 −𝑑 2
𝑎 𝑐
B ài 3: chứng minh rằng nếu = thì
𝑏 𝑑
5𝑎+3𝑏 5𝑐+3𝑑
a) =
5𝑎−3𝑏 5𝑐−3𝑑
7𝑎2 +3𝑎𝑏 7𝑐 2 +3𝑐𝑑
b) =
11𝑎2 −8𝑏2 11𝑐 2 −8𝑑 2
GIẢI
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 5𝑎+3𝑏 5𝑎−3𝑏
a) Từ = => = = =
𝑏 𝑑 𝑐 𝑑 5𝑐+3𝑑 5𝑐−3𝑑
5𝑎+3𝑏 5𝑐+3𝑑
=> =
5𝑎−3𝑏 5𝑐−3𝑑
𝑎 𝑐 𝑎 𝑏
b) Từ = => =
𝑏 𝑑 𝑐 𝑑
𝑎2 𝑏2 𝑎𝑏 7𝑎2 8𝑏2 3𝑎𝑏 11𝑎2
=> = = = = = =
𝑐2 𝑑2 𝑐𝑑 7𝑐 2 8𝑑 2 3𝑐𝑑 11𝑐 2
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
13
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
𝑎3 +𝑏3 −𝑐 3 𝑎+𝑏−𝑐 3
1) =( )
𝑏3 +𝑐 3 −𝑑 3 𝑏+𝑐−𝑑
𝑎 𝑎3 +8𝑏3 +125𝑐 3
2) =
𝑑 𝑏3 +8𝑐 3 +125𝑑 3
GIẢI
a b
b2 = ac => =
b c
1) Vì b c
}
2
c = bd => =
c d
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎+𝑏−𝑐
= = =
𝑏 𝑐 𝑑 𝑏+𝑐−𝑑
𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑎+𝑏−𝑐 3 𝑎3 +𝑏3 −𝑐 3
= = =( ) = 𝑏3 +𝑐 3−𝑑3
𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑏+𝑐−𝑑
𝑎3 +𝑏3 −𝑐 3 𝑎+𝑏−𝑐 3
Vậy =( )
𝑏3 +𝑐 3 −𝑑 3 𝑏+𝑐−𝑑
𝑎3 𝑏3 𝑐3 𝑎3 +8𝑏3 +125𝑐 3
= = =
𝑏3 𝑐3 𝑑3 𝑏3 +8𝑐 3 +125𝑑 3
2) Có: }
𝑎 3 𝑎3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎
𝑚à ( ) = 3 = . . =
𝑏 𝑏 𝑏 𝑐 𝑑 𝑑
𝑎 𝑎3 +8𝑏3 +125𝑐 3
=
𝑑 𝑏3 +8𝑐 3 +125𝑑 3
𝑎 𝑏 𝑐
Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn = =
2014 2015 2016
GIẢI
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎−𝑏 𝑏−𝑐 𝑐−𝑎
Từ = = = = =
2014 2015 2016 −1 −1 2
2(𝑎−𝑏) 2(𝑏−𝑐)
= =𝑐−𝑎
−1 −1
4(𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐) = (𝑐 − 𝑎)2
𝑎 𝑏′ 𝑏 𝑐′
Bài 6: Biết ′
+ = 1 và ′
+ =1
𝑎 𝑏 𝑏 𝑐
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
14
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
CMR: abc + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′= 0
GIẢI
𝑎 𝑏′
Từ ′
+ =1 => ab + 𝑎′ 𝑏 ′ = 𝑎′ 𝑏 (1)
𝑎 𝑏
abc + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 + 𝑎′ 𝑏𝑐 + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐 ′ = 𝑎′ 𝑏𝑐 + 𝑎′ 𝑏 ′ 𝑐
abc + 𝑎′ 𝑏′ 𝑐 ′ = 0
𝑏𝑧−𝑐𝑦 𝑐𝑥−𝑎𝑧 𝑎𝑦−𝑏𝑥
Bài 7: Cho = = (1)
𝑎 𝑏 𝑐
𝑥 𝑦 𝑧
CMR: = =
𝑎 𝑏 𝑐
GIẢI
Từ (1) ta có:
𝑏𝑧 − 𝑐𝑦 𝑎𝑏𝑧 − 𝑎𝑐𝑦 𝑏𝑐𝑥 − 𝑏𝑎𝑧 𝑐𝑎𝑦 − 𝑐𝑏𝑥
= = =
𝑎 𝑎2 𝑏2 𝑐2
𝑎𝑏𝑧−𝑎𝑐𝑦+𝑏𝑐𝑥−𝑏𝑎𝑧+𝑐𝑎𝑦−𝑐𝑏𝑥
= =0
𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2
𝑦 𝑧
𝑏𝑧 − 𝑐𝑦 = 0 => 𝑏𝑧 = 𝑐𝑦 => =
𝑏 𝑐
{ 𝑦 𝑥
𝑎𝑦 − 𝑏𝑥 = 0 => 𝑎𝑦 = 𝑏𝑥 => =
𝑏 𝑎
𝑥 𝑦 𝑧
= =
𝑎 𝑏 𝑐
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
15
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
GIẢI
Bài 1 :
3x y 3 x
Cho tỉ lệ thức . Tính giá trị của tỉ số
x y 4 y
Bài giải:
Cách 1 :
3x y 3
Từ 4(3x – y) = 3(x+y) 12x – 4y = 3x + 3y
x y 4
12x – 3y = 3(x+y) 9x = 7y
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
16
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
x 7
Vậy =
y 9
Cách 2:
3x
1
3x y 3 y 3 x 3a 1 3
Từ Đặt =a =
x y 4 x
1 4 y a 1 4
y
Bài 2:
x y z yzx
Cho . Tính giá trị của biểu thức P =
2 3 4 x yz
Cách 1:
x y z
Đặt = k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k 0)
2 3 4
3k 4k 2k 5k 5
P=
2k 3k 4k 3k 3
5
Vậy P =
3
Cách 2 :
x y z yzx yzx x yz x yz
Có =
2 3 4 3 4 2 5 23 4 3
5
Vậy P =
3
Bài 3 :
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
17
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a b c d
Tính giá trị của biểu thức
bcd acd abd bca
Bài giải:
a b c d
Từ
bcd acd abd bca
a b c d
1 1 1 1
bcd acd abd bca
M 4
+) Xét a b c d 0 Từ (*) ta có :
b c d a c d a b d b c a
a bc d M 4
Bài 4:
ab bc ca
Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn
c a b
Bài giải:
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
18
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a b b c a c c a b abc
P 1
b c a b c a abc
+) Xét a b c 0 Từ (*) ta có :
a b cP 8
Bài 5 :
ab bc ca
Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn
ab bc ca
ab 2 bc 2 ca 2
Tính giá trị của biểu thức P 3 3 3
a b c
Bài giải:
ab bc ca
Với a, b, c 0 ta có :
ab bc ca
1 1 1
a b c P 1
a b c
Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các
chữ số của nó chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3.
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
19
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Lời giải
̅̅̅̅̅ , ( ĐK : a, b, c N * ,1 a 9,0 b, c 9
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là 𝑎𝑏𝑐
)
=> 1 a b c 27
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ⋮ 18
+) 𝑎𝑏𝑐 <=> {𝑎𝑏𝑐 ⋮ 2 ( do 18=2.9 và ƯCLN(2;9)=1 )
̅̅̅̅̅ ⋮ 9
𝑎𝑏𝑐
+) Các chữ số của số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; 3
̅̅̅̅̅ ⋮ 2 => c ⋮ 2
Mà 𝑎𝑏𝑐
=>a, b, c tỉ lệ với 1;3; 2 hoặc a; b; c tỉ lệ với 3; 1; 2
a b c abc
+) a, b, c tỉ lệ với 1; 3; 2 =>
1 3 2 6
=>a + b + c ⋮ 6
̅̅̅̅̅ ⋮ 9
Lại có 𝑎𝑏𝑐 <=>a + b + c ⋮ 9
Mà 1 a b c 27
Nên a + b + c = 18
𝑎=3
a b c
=> 3 =>{𝑏 = 9 (Thỏa mãn điều kiện)
1 3 2
𝑐=6
𝑎=3
Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; 2 =>{𝑏 = 9 (Thỏa mãn điiều kiện)
𝑐=6
Vậy số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là 396; 936.
1
Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh. Nếu rút ở lớp 7A đi số
4
1 1
học sinh, rút ở lớp 7B đi số học sinh, rút ở lớp 7C đi học sinh thì số
7 3
học sinh còn lại của cả 3 lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp ban đầu.
Lời giải
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
20
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Gọi số học sinh ban đầu của lớp 7A,7B.7C lần lượt là x,y, z (học sinh)
ĐK: x, y, z N * , x, y, z 144
+) Ba lớp 7A,7B,7C có tất cả 144 học sinh => x y z 144
1 1
+) Nếu rút ở lớp 7A đi học sinh, rút ở lớp 7B đi học sinh, rút ở lớp 7C
4 7
1
đi học sinh thì số học sinh còn lại của 3 lớp bằng nhau.
3
3 6 2
x y z
Nên ta có 4 7 3
3 6 2 x y z x y z 144
x y 6
24 42 18 z 8 7 9 8 7 9 24
x 48
y 42 (Thỏa mãn điều kiện)
z 54
Vậy số học sinh lúc đầu của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 48 học sinh, 42
học sinh, 54 học sinh.
Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học
sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ
một , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2. Tìm số học sinh mỗi tổ.
Lời giải
Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là x, y, z.(học sinh)
ĐK: x, y, z N * , x, y, z 52
+) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52
+) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3
học sinh thì số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2
Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
21
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
3 x – 1 4 y – 2 2 z 3
12 12 12
x – 1
y – 2 z 3
4 3 6
x 1 y-2 z 3 x y z 52
4
4 3 6 13 13
x 1 16 x 17
y 2 12 y 14 (Thỏa mãn điều kiện)
z 3 24 z 21
Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh, 14
học sinh, 21 học sinh.
3
Bài 4: Tìm ba phân số có tổng bằng −3 . Biết tử của chúng tỉ lệ với 3; 4;
70
a c e
+) a:c:e= 3 :4 :5 => k với k Z
3 4 5
a=3k ,c =4k , e =5k
b d g
+) b : d : g = 5 : 1 : 2 => t với t Z , t o
5 1 2
b=5t, d=t, g=2t
a c e 3 3k 4k 5k 213
+) 3 =>
b d g 70 5t t 2t 70
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
22
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
k 71 213 k 3
. =>
t 10 70 t 7
a 9 c 12 e 15
, ,
b 35 d 7 g 14
9 12 15
Vậy ba phân số cần tìm là , ,
35 7 14
Bài 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương
ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?
Lời giải
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và ℎ𝑎 , ℎ𝑏 , ℎ𝑐 lần lượt là các chiều
cao tương ứng.
a.ha b.hb c.hc
Diện tích của tam giác đó là: => a. ℎ𝑎 = b. ℎ𝑏 = c. ℎ𝑐 (1)
2 2 2
+) có a, b, c tỉ lệ với 2; 3; 4
a b c
=> k ( k o )
2 3 4
=> a = 2k, b = 3k v à c = 4k
(1) =>2k. ℎ𝑎 = 3k. ℎ𝑏 = 4k. ℎ𝑐
2ha 3hb 4hc
=> 2 ℎ𝑎 = 3 ℎ𝑏 = 4 ℎ𝑐 =>
12 12 12
ha hb hc
=> => ℎ𝑎 , ℎ𝑏 , ℎ𝑐 tỉ lệ với 6; 4 ; 3
6 4 3
Vậy độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 thì ba chiều cao tương
tứng với ba cạnh đó tỉ lệ với 6; 4; 3.
Bài 6: Một ô tô phải đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Sau khi đi
1
được quãng đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 20%. Do đó ô tô đến B sớm hơn
2
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
23
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Lời giải
Gọi vận tốc dự định là x, vận tốc mới tăng là y ( x,y > 0)
120 y 6
Ta có y x =>
100 x 5
Gọi C là trung điểm của AB. Ô tô đến B sớm hơn dự định 10 phút là nhờ
tăng vận tốc từ điểm C.
Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc x mất thời gian là 𝑡1
Nếu ô tô đi từ C đến B với vận tốc y mất thời gian là 𝑡2
y t1 y 6
Thì x. 𝑡1 = y. 𝑡2 => mà
x t2 x 5
t1 6 t t t t t 60
=> => 1 2 1 2 10 => 1
t2 5 6 5 65 t2 50
=>Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc đã tăng hết 50 phút
Thời gian ô tô đi nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60 phút.
Vậy thời gian ô tô đi từ A đến B là 60 + 50 = 110 (phút)
Bài 7: Một cửa hàng có ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m,
giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bán được một ngày cửa
2 1 3
hàng còn lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bán được của
3 3 5
ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tính xem trong ngày đó
cửa hàng đã bán được bao nhiêu mét vải mỗi cuộn.
Lời giải
Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z (m)
ĐK: 0< x, y, z < 186
+) Tổng chiều dài ba cuộn vải đó là 186m => x + y + z = 186
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
24
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
2 1
+ Sau khi bán được một ngày cửa hàng còn lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai,
3 3
3
cuộn thứ ba
5
=> Trong ngày đó cửa hàng đã bán được số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai,
x 2 y 2z
thứ ba lần lượt là , , (mét)
3 3 5
+) Số tiền bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3;
2 và giá tiền mỗi mét vải của ba cuộn như nhau.
=> Số mét vài bán được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với
2; 3; 2
x 2 y 2z
=> : : 2:3: 2
3 3 5
2x 2 y 2z
=>
12 9 10
x y z x y z 186
=> 6
12 9 10 12 9 10 31
x 72
=> y 54 ( Thỏa mãn điều kiện )
z 60
Vậy trong ngày đó cửa hàng đã bán số mét vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ
ba lần lượt là : 24; 36; 24 (mét).
a c
Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ và với b> 0; d >0.
b d
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
25
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a c
CM: ad bc
b d
Giải:
a c
ad cb
+ Có b d ad bc
bd db
b 0; d 0
ad bc ad bc a c
+ Có:
b 0; d 0 bd db b d
a c a ac c
Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ (Bài 5/33 SGK Đ7)
b d b bd d
Giải:
a c
+ b d ad bc(1) thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:
b 0; d 0
ad ab bc ab
a ac
a b d b c a 2
b bd
1 ad dc bc dc
d a c c b d
ac c
3
bd d
a c a ac c
Từ (đpcm)
b d b bd d
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
26
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
𝑎 𝑎 𝑎+𝑐
a. Nếu < 1 th ì <
𝑏 𝑏 𝑏+𝑐
𝑎 𝑎 𝑎+𝑐
b. Nếu > 1 thì >
𝑏 𝑏 𝑏+𝑐
a b c d
CMR: 1 2
abc bcd cd a d a b
Giải:
a
+ Từ 1 theo tính chất (3) ta có:
abc
ad a
1 (do d>0)
abcd abc
a a
Mặt khác: 2
abc abcd
a a ad
+ Từ (1) và (2) ta có: 3
abcd abc abcd
Tương tự ta có:
b b ba
4
abcd bcd abcd
c c cb
5
abcd cd a cd ab
d d d c
6
d+a+b+c d a b a b c d
Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được:
a b c d
1 2
abc bcd cd a d a b
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
27
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
a c a ab cd c
Bài 2. Cho và b; d 0 CMR: 2
b d b b d2 d
Giải:
a c a.b c.d ab cd
Ta có và b; d 0 nên 2 2
b d b.b d.d b d
ab ab cd cd a ab cd c
Theo tính chất (2) ta có: 2 2 2
b 2
b d 2
d b b d2 d
10 6 14
d. x : y : z 12 : 9 : 5 và xyz 20 e. và xyz 6720 f.
x 5 y 9 z 21
x 16 y 25 z 9
và 2 x3 1 15
9 16 25
12 x 15 y 20 z 12 y 15 y 20 z 2x 3y 4z
c. và x y z 48 d. và
7 9 11 3 4 5
x y z 49
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
28
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
x 3 y 5
Bài 3. Tìm các số x,y,z biết : a. ; và 2 x 3 y 5z 1
y 2 z 7
1 4 y 1 6 y 1 8y
b,
13 19 5x
2x 1 y 2 2x 3 y 1 y z 1 x z 2 y x 3 1
c. d,
5 7 6x x y z x yz
a c
Bài 4. Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau ( với
b d
giả thiết các tỉ số đều có nghĩa )
2a 7b 2c 7d 2015a 2016b 2015c 2016d
a. b,
3a 4b 3c 4d 2016c 2017d 2016a 2017b
c. d, e,
cd
2
c d
2
cd 2c 3d 7a 2 5ac 7b 2 5bd
Bài 5.
a c
Cho a c 2b và 2bd c b d ; b, d 0 CMR :
b d
Bài 6.
a1 a2 a3 a2014
Cho dãy tỉ số bằng nhau : Cmr ta có đẳng thức
a2 a3 a4 a2015
2014
a1 a a a a2014
1 2 3
a2015 a2 a3 a4 a2015
Bài 7.
a c
Cho các số x, y, z, t thỏa mãn ax yb 0 và zc td 0
b d
xa yb xc yd
Cmr :
za tb zc td
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
29
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Bài 8.
2a 13b 2c 13d a c
Cho tỉ lệ thức Cmr :
3a 7b 3c 7d b d
Bài 9.
a1 a2 a3 an 1 an
Cho ( a1 a2 an 0 )
a2 a3 a4 an a1
Bài 10.
x y z t
Biết
y z t z t x t x y x y z
x y y z z t t x
Tính P
z t t x x y y z
Bài 11.
Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ số
của nó xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 ;2 ;3
Bài 12 :
3
Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng là và các tử tương ứng tỉ
196
lệ với 3 và 5 , các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4 và 7
Bài 13.
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS
30
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Sưu tầm và chia sẻ bởi Organic Math - Toán học Hữu cơ
Cho ABC các góc ngoài của tam giác tại A,B,C tỉ lệ với 4 ;5 ;6 . Các góc
trong tương ứng tỉ lệ với các số nào ?
Bài 14.
Trong một đợt lao động, ba khối 7,8,9 chuyển được 912m3 đất. Trung bình
mỗi học sinh khối 7,8,9 theo thứ tự làm được 1, 2m3 ;1, 4m3 ;1,6m3 . Số học sinh
khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3, số học sinh khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số
học sinh mỗi khối ?
Bài 15.
Quãng đường AB dài 76m, người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai
4
đi từ B đến A. Vận tốc của người thứ nhất chỉ bằng vận tốc của người thứ hai
5
10
(đến lúc gặp nhau). Thời gian của người thứ nhất chỉ bằng thời gian của
11
người thứ hai. Tính quãng đường mỗi người đi được ?
Để đăng ký vào group VIP và nhận trọn bộ tài liệu WORD toán THCS, các
thầy cô vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS