Chuyên đề:

TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
a c
=
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số b d (hoặc a : b = c : d).
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các
số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
a c
=
Tính chất 1: Nếu b d thì ad=bc

Tính chất 2: Nếu ad=bc và a, b, c, d ¿ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

a c a b d c d b
= = = =
b d , c d , b a , c a
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
a c a c a+c a−c
= = = =
-Tính chất: Từ b d suy ra: b d b+ d b−d
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
a c e a c e a+b+ c a−b+c
= = = = = = =. ..
b d f suy ra: b d f b+d + f b−d+ f
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
x y y z x y
= = =
Ví dụ 1: Tìm x, y, z biết a) : 3 4 , 3 5 b) 2 5 và x. y=40
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
x y z x y y z
= = = =
a) 10 6 21 và 5 x+ y −2 z=28 b) 3 4 , 5 7 và 2 x+3 y−z=124
x y x y z
= 2 2 = = =x+ y+ z
c) 5 3 và x − y =4 d) y +z +1 z+ x +1 x+ y−2
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
 x−1 y−2 z−3
= =
a) 2 3 4 và 2 x +3 y−z=50 b)

y + z +1 z+x +2 x+ y−3 1
= = =
x y z x+ y+z
1+2 y 1+4 y 1+6 y x 3 y3 z3
= =  
c) 18 24 6x d) 8 64 216 và x2 + y2 + z2 = 14.
a b c d
= = =
Bài 3: Cho a+b +c +d≠0 và b+c +d a+c +d a+b+ d a+b+ c
a+ b b+ c c +d d+ a
A= + + +
Tìm giá trị của: c +d a+d a+ b b+ c
a b c
, ,
Bài 4: Cho ba tỉ số bằng nhau: b  c c  a a  b . Biết a+b+c  0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
A C
=
Để chứng minh tỉ lệ thức: B D ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
A C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số B và D có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
a c a+b c+d
= =
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức b d .Chứng minh rằng: a−b c−d

a c ab a2 −b2
= =
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức b d . Chứng minh rằng: cd c 2−d 2

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

a c
=
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: b d .Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau:

3 a+5 b 3 c +5 d a+b 2 a2 +b 2 a−b c−d

=
a) 3 a−5 b 3 c−5 d b)
( )
c+ d
= 2 2
c +d
=
c) a+b c+d

2
ab ( a−b ) 2 a+5 b 2c +5 d 2008a  2009b 2008c  2009d
=
cd ( c−d )2 = 
d) e) 3 a−4 b 3 c−4 d f) 2009c  2010d 2009a  2010b

a c 7 a2 +5 ac 7 b 2 +5 bd 7a 2  3ab 7c 2  3cd
= = 2 
i) 11a  8b 11c 2  8d 2
2 2 2
g) a+b c +d h) 7 a −5 ac 7 b −5 bd
 a b c a+ b+c 3 a
= =
Bài 2: Cho b c d . Chứng minh rằng:
( b+c +d )=
d

a b c
= =
Bài 3: Cho 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4 (a−b )(b−c)=( c−a )2
a1 a a a
 2  3  ...  2008
Bài 4: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a 2 a3 a4 a 2009
2008
a1  a  a 2  a 3  ...  a 2008 
 1 
CMR: Ta có đẳng thức:
a 2009  a 2  a 3  a 4  ...  a 2009 

a1 a2 a a
= =.. . .. .. . .. .. .. .= 8 = 9
Bài 5: Cho a2 a3 a 9 a1 và
a1 +a2 +. . .+a9 ≠0 . Cm: a1 =a 2=. ..=a 9

a b a2 + b2 a
= =
Bài 6: Chứng minh rằng nếu : b d thì b2 + d2 d
a 2  b2 ab a c
 
Bài 7. Cho tỉ lệ thức : c  d cd . Chứng minh rằng: b d .
2 2

2 2 2
2
a +b 2
ab 2 ab a +2 ab+b ( a+b ) ab ( a+b )( a+ b ) a . b
= = 2 2
= = ⇒ =
Giải. Ta có : c +d
2 2 cd = 2cd c + 2 cd+ d ( c+ d )2 cd ( c+ d )( c +d ) c . d ;

c ( a+b ) b ( c +d ) ca+ cb bc+ bd ca−bd a c

⇒ = = = = =1⇒ ca+ cb=ac+ ad ⇒ cb=ad ⇒ =
a ( c +d ) d ( a+b ) ac +ad da+db ca−bd b d

Bài 8: CMR nếu a( y + z )=b( z+ x )=c( x + y )

y− z z−x x− y
= =
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : a(b−c ) b(c−a) c (a−b )

2 2
Bài 9: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b =ac ; c =bd

a3 + b3 + c 3 a
=
và b3 +c 3 + d3 ≠0 Chứng minh rằng: b3 + c3 +d 3 d

Bài 10: CMR nếu a( y + z )=b( z+ x )=c( x + y ) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì

y− z z−x x− y
= =
a(b−c ) b(c−a) c (a−b )

a c
=
Bài 11: Cho b d . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 và zc+td≠0
 xa+ yb xc+ yd
=
Chứng minh rằng: za+tb zc +td