Professional Documents
Culture Documents
§Ò 1
Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:
a) 85 + 211 chia hÕt cho 17
b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44
Bµi 2:
x2 + x - 6
a) Rót gän biÓu thøc:
x 3 - 4 x 2 - 18 x + 9
1 1 1 yz xz xy
b) Cho x + y + z = 0( x, y, z �0) . TÝnh 2 + 2 + 2
x y z
Bµi 3:(3®)
Cho tam gi¸c ABC . LÊy c¸c ®iÓm D,E theo thø tù thuéc tia ®èi
cña c¸c tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña
BE vµ CD .Qua O vÏ ®êng th¼ng song song víi tia ph©n gi¸c cña
gãc A, ®êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh r»ng AB = CK.
Bµi 4 (1®).
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã):
M = 4x2 + 4x + 5
§¸p ¸n
Bµi 1 : (3®)
a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 +
1)=211.17
Râ rµng kÕt qu¶ trªn chia hÕt cho 17.
b) (1,5®) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc:
an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - ...- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ.
Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 - 1917.69 +...+ 6918)
= 88(1918 - 1917.69 + ...+ 6918) chia hÕt cho 44.
Bµi 2 : (3®)
a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3)
= (x+3)(x-2).
x – 4x – 18 x + 9 = x – 7x + 3x2 - 21x + 3x + 9
3 2 3 2
+ 3 �0
b) (1,5®) V×
GV: Nguyễn -Cường 1
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
1 1 1 1 �1 1 �
+ + = 0 � = -� + �
x y z z �x y �
3
1 �1 1 � 1 �1 1 1 1 1 1 �
� 3 = - � + �� 3 = - � 3 + 3. 2 . + 3 . 2 + 3 �
z �x y � z �x x y x y y �
1 1 1 1 1 �1 1 � 1 1 1 1
� 3
+ 3 + 3 = -3 . . � + �� 3 + 3 + 3 = 3.
x y z x y �x y � x y z xyz
1 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy
Do ®ã : xyz( 3 + 3 + 3 )= 3
� 3 + 3 + 3 =3� 2 + 2 + 2 =3
x y z x y z x y z
Bµi 3 : (3®) A
Chøng minh :
VÏ h×nh b×nh hµnh K
ABMC ta cã AB = CM .
§Ó chøng minh AB = KC ta
B C
cÇn chøng minh KC = CM.
ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE
cã BC = CE (gt) => tam gi¸c
�=E
CBE c©n t¹i C => B � v×
1
CK (®pcm)
Bµi 4: (1®)
= (2x + 1)2 + 4.
V× (2x + 1)2 �0 =>(2x + 1)2 + 4 � 4 M � 4
1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi x = -
2
-------------------------------------------------
®Ò 2
C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè: a1a 2 .. . a 8 tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a
vµ b sau:
a) a1a 2a 3 = ( a 7 a 8 ) ( )
2 3
b) a 4a 5a 6a 7 a 8 = a 7 a 8
<=> r = 2 vµ s =1 => m = 3k + 2 vµ n =
3t + 1
r = 1 vµ s = 2 m = 3k + 1 vµ n =
3t + 2
<=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3(
3kt + k + 2t)
mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t =
3( 3kt + 2k + t)
=> (mn – 2) 3 §iÒu ph¶i chøng minh.
¸p dông: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 3.
( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1)
( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1
C©u 3 . Gi¶i PT:
1 1 1
+ .+ + x = (1.2 + 2.3 + + 2006.2007)
1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007
Nh©n 2 vÕ víi 6 ta ®îc:
2 2 2
3 + ++ x = 2 (1.2( 3 - 0) + 2.3( 4 - 1) + + 2006.2007( 2008 - 2005)
1`.2.3 2.3.4 2005.2006.2007
1 1 1 1 1
3 - + - +- x
1.2 2.3 2.3 3 .4 2006.2007
= 2 (1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + + 2006.2007.2008 - 2005.2006.2007)
1 1 1003.1004.669
3 - x = 2.2006.2007.2008 x =
1.2 2006.2007 5.100.651
OE OA
C©u 4 .a) Do AE// BC => = A B
OB OC
O
K
GV: Nguyễn -Cường 4
E H
F
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
OF OB
BF// AD =
OA OD
MÆT kh¸c AB// CD ta l¹i cã
D A1B1 C
OA OB OE OF
= nªn = => EF // AB
OC OD OB OA
b). ABCA 1 vµ ABB1D lµ h×nh b×nh hµnh => A 1C = DB1 =
AB
EF AB
V× EF // AB // CD nªn = => AB 2 = EF.CD.
AB DC
1 1 1 1
c) Ta cã: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 =
2 2 2 2
OK.OD.
1 1
AH .OB AH .OD S1 S
S1 2 AH S3
=> = = ; = 2 = AH .CK => = 3 => S1.S2
S4 1 CK S2 1 S4 S2
CK .OB CK .OD
2 2
= S3.S4
C©u 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45
= x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4
= ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4 4
Gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y
=1
x- y- 6 = 0 x=7
---------------------------------------------
®Ò 3
C©u 1: a. Rót gän biÓu thøc:
A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1
b. NÕu x2=y2 + z2
Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2
x y z a b c
C©u 2: a. Cho + + =0 (1) vµ + + =2 (2)
a b c x y z
x2 y 2 z 2
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= 2 + 2 + 2
a b c
ab bc ca
b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B = + 2 2 2+ 2 2 2
a +b -c b +c -a c +a -b
2 2 2
x= 2007 A
C©u 4: a. ( 1,25 ®iÓm) Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM; B
H lµ giao ®iÓm cña EF vµ BM
D EMB =DBKM ( gcg)
Gãc MFE =KMB BH EF E M
K
b. ( 1,25 ®iÓm) D ADF = DBAE (cgc) AF BE
H
T¬ng tù: CE BF BM; AF; CE
lµ c¸c ®êng cao cña DBEF ®pcm
Bµi 2 (2®):
2 x 2 + 3 x + 3 (2 x 2 - x) + (4 x - 2) + 5 5
P= = = x+2+ (0,5®)
2x - 1 2x - 1 2x - 1
x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn
5
®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th× 2x - 1
ph¶i nguyªn hay 2x - 1 lµ íc
nguyªn cña 5 (0,5®)
=> * 2x - 1 = 1 => x = 1
* 2x - 1 = -1 => x = 0
* 2x - 1 = 5 => x = 3
* 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®)
VËy x = 1;0;3;-2 th× P cã gi¸ trÞ
nguyªn. Khi ®ã c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña
P lµ:
x = 1 => P = 8
x = 0 => P = -3
x = 3 => P = 6
x = -2 => P = -1 (0,5®)
Bµi 3 (4®):
1) a) chøng minh D ABM ®ång d¹ng D
CAN (1®)
AB AM
b) Tõ c©u a suy ra: = D AMN ®ång d¹ng D ABC
AC AN
AMN = ABC ( hai gãc t¬ng øng) (1,25®)
2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H (0,25®)
BAH = CHA ( so le trong, AB // CH)
mµ CAH = BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®)
Suy ra:
CHA = CAH nªn D CAH c©n t¹i C
do ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5®)
GV: Nguyễn -Cường 8
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
BK = CA
VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm
KH
Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®êng trung b×nh cña tam
gi¸c KHA. Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm)(0,5®)
Bµi 4 (1®):
2007 x 2 - 2 x.2007 + 2007 2 x 2 - 2 x.2007 + 2007 2 2006 x 2
A= = +
2007 x 2 2007 x 2 2007 x 2
( x - 2007) 2 2006 2006
= +
2007 x 2 2007 2007
2006
A min = 2007
khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®)
------------------------------------
®Ò 5
C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A =
x2 6 1 10 - x 2
3 + + : x - 2 +
x - 4 x 6 - 3x x + 2 x+2
a, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh .
b, Rót gän biÓu thøc A .
c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O
x 2 - 4x + 1 x 2 - 5x + 1
C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : +2=-
x +1 2x + 1
C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®êng
th¼ng vu«ng gãc víi nhau lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ
S.
1, Chøng minh D AQR vµ D APS lµ c¸c tam gi¸c c©n.
2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh
tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt.
3, Chøng minh P lµ trùc t©m D SQR.
4, MN lµ trung trùc cña AC.
5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng.
C©u 4 ( 1 ®iÓm):
2 x 2 + 3x + 3
Cho biÓu thøc A = 2x + 1
. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A
nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u 5 ( 1 ®iÓm)
a, Chøng minh r»ng x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y ) - 3xy.( x + y ) + z 3
3
1 1 1 yz xz xy
b, Cho + + = 0. TÝnh A= + +
x y z x2 y2 z 2
x - 2( x + 2 ) + x - 2 6
= ( x - 2)( x + 2) : x + 2
-6 x+2 1
= . =
( x - 2)( x + 2) 6 2-x
1
c, §Ó A > 0 th× 2- x
0 2-x 0 x 2
1
C©u 2 . §KX§ : x -1; x -
2
x 2 - 4x + 1 x 2 - 5x + 1 x 2 - 3x + 2 x 2 - 3 x + 2
PT +1+ +1 = 0 + =0
x +1 2x + 1 x +1 2x + 1
(
x 2 - 3x + 2 )
1
+
1
( )
= 0 x - 3x + 2 ( 3x + 2) = 0 ( x - 1)( x - 2 )( 3x + 2) = 0
2
x + 1 2x + 1
x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3
C¶ 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ .
2
VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S = 1;2;-
3
C©u 3:
1, D ADQ = D ABR v× chóng lµ hai
tam gi¸c vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh
vu«ng gãc) vµ DA=BD ( c¹nh h×nh
vu«ng). Suy ra AQ=AR, nªn D AQR lµ
tam gi¸c vu«ng c©n. Chøng minh tîng
tù ta cã: D ARP= D ADS
do ®ã AP = AS vµ D APS lµ tam gi¸c
c©n t¹i A.
2, AM vµ AN lµ ®êng trung tuyÕn cña
tam gi¸c vu«ng c©n AQR vµ APS nªn AN SP vµ AM RQ.
MÆt kh¸c : PAN = PAM = 450 nªn gãc MAN vu«ng. VËy tø gi¸c
AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt.
3, Theo gi¶ thiÕt: QA RS, RC SQ nªn QA vµ RC lµ hai ®êng cao
cña D SQR. VËy P lµ trùc t©m cña D SQR.
4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM =
1
2
QR.
(v× a + b + c = 0 nªn a + b = -c )
1 1 1 1 1 1 3
Theo gi¶ thiÕt + + = 0. 3
+ 3 + 3 = .
x y z x y z xyz
yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3
khi ®ã A= 2
+ 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz 3 + 3 + 3 = xyz =3
x y z x y z x y z xyz
=====================
®Ò 6
Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc :
x2 -1 1 4 1 - x4
M= 4 - 2 x +
x - x + 1 x + 1 1+ x2
2
a) Rót gän
b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M .
Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn
4 x 3 - 3 x 2 + 2 x - 83
A=
x -3
bÐ nhÊt x2 = 0 x = 0 M bÐ nhÊt = -2
4 4
Bµi 2 : BiÕn ®æi A = 4x2+9x+ 29 + x - 3 A Z Z x-
x-3
3 lµ íc cña 4
x-3 = 1 ; 2 ; 4 x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7
Bµi 3 : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = 0
(x-2006)(x+1) = 0 x1 = -1 ; x2 = 2006
c) XÐt pt víi 4 kho¶ng sau :
x< 2 ; 2 x < 3 ; 3 x < 4 ; x 4
Råi suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 1 ; x = 5,5
Bµi 4 :
a) D ABE = D ADF (c.g.c) AE = AF
D AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI EF .
D IEG = D IEK (g.c.g) IG = IK .
Tø gi¸c EGFK cã 2 ®êng chÐo c¾t
nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®êng vµ
vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi .
b) Ta cã :
C©u 2: ( 1 ®iÓm )
a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2+y2+1 x.y + x + y ( víi mäi x ;y)
b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:
x-2
A=
x - x2 - x - 2
3
C©u 3: ( 4 ®iÓm )
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M
lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua P .
a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi?
b) Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB .
Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng.
c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng
phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.
PD 9
d) Gi¶ sö CP DB vµ CP = 2,4 cm,; =
PB 16
TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
C©u 4 ( 2 ®iÓm )
Cho hai bÊt ph¬ng tr×nh:
3mx-2m > x+1 (1)
m-2x < 0 (2)
T×m m ®Ó hai bÊt ph¬ng tr×nh trªn cã cïng mét tËp nghiÖm.
§¸p ¸n
GV: Nguyễn -Cường 13
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
C©u 1 ( 2 ®iÓm )
1) ( 1 ®iÓm ) §K: x 0; x 6 )
6x + 1 6 x - 1 ( x + 6)( x - 6) 6 x 2 + 36 x + x + 6 + 6 x 2 - 36 x - x + 6 1
A= x( x - 6) + x( x + 6) . 12( x 2 + 1) = = . =
x 12( x 2 + 1)
12( x 2 + 1) 1 1
= . =
x 12( x + 1) x
2
1 1
= = 9+4 5
2) A= x 1
9+4 5
C©u2: ( 2 ®iÓm )
1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1 x. y+x+y x2+y2+1 - x. y-x-y 0
2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0 ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-
2y) 0
(x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2 0
BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng.
2) (2 ®iÓm )
(1) 3mx-x>1+2m (3m-1)x > 1+2m. (*)
+ XÐt 3m-1 =0 → m=1/3.
2
(*) 0x> 1+ 3 x .
+ XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3.
1 + 2m
(*) x> 3m - 1
+ XÐt 3m-1 < 0 3m <1 → m < 1/3
1 + 2m
(*) x < 3m - 1
.
mµ ( 2 ) 2x > m x > m/2.
Hai bÊt ph¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm.
1 1
m 1
3 m m
3 3
+ 21 m m 2
= 3m -5m-2=0 (m-2)(m+1 =0)
3m-1 2
GV: Nguyễn -Cường 14
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
m-2 =0 m=2.
VËy : m=2.
C©u 3: (4 ®iÓm )
a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña
AC vµ BD.
→ AM //PO → tø gi¸c AMDB lµ h×nh
thang.
b) ( 1 ®iÓm ) Do AM// BD →
gãc OBA= gãc MAE ( ®ång vÞ )
XÐt tam gi¸c c©n OAB →
gãc OBA= gãc OAB
Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF → D AEI c©n ë I → gãc IAE = gãc
IEA
→ gãc FEA = gãc OAB → EF //AC .(1)
MÆt kh¸c IP lµ ®êng trung b×nh cña D MAC → IP // AC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra : E,F, P th¼ng hµng.
MF AD
c) (1 ®iÓm ) Do D MAF D DBA ( g-g) → FA
=
AB
kh«ng ®æi.
PD 9 BD PB
d) NÕu =
PB 16
9
=
16
=k → PD= 9k; PB = 16k.
Do ®ã CP2=PB. PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2.
PD = 9k =1,8
PB = 16 k = 3,2
DB=5
Tõ ®ã ta chøng minh ®îc BC2= BP. BD=16
Do ®ã : BC = 4 cm
CD = 3 cm
C©u4 ( 1 ®iÓm )
x-2 1 1
= 2 =
Ta cã A = ( x + x + 1)( x - 2) x + x + 1
2
1
(x + )2 +
3
2 4
1 2 3 1 1
VËy Amax [ ( x+ 2
) + ]
4
min x+ 2 = 0→x=- 2
4
Amax lµ 3
khi x = -1/2
========================
®Ò 8
Bµi1( 2.5 ®iÓm)
AC IC AC AO
Suy ra: = = (1)
AO BO IC BO
T¬ng tù: D BID ~ D BAO (gg)
OA OB OA ID
Suy ra: = = (2)
ID BD OB BD
16a 2 CA.DB = a 2
�
- 2a 2 �
CA + DB + 3 10a 2 . VËy: � 10a 2
= CA
� + DB =
a 3 � 3
a
Gi¶i hÖ pt CA = vµ DB = 3a
3
a
HoÆc CA = 3a vµ DB = 3
====================
®Ò 9
Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc :
x2 y2 x2y2
P= - -
( x + y) ( 1- y) ( x + y) ( 1+ x) ( x + 1) ( 1- y)
1.Rót gän P.
2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) � Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3.
Bµi 2(2 ®iÓm). Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 1 1 1 1
+ 2 + 2 + 2 =
x - 5x + 6 x - 7x + 12 x - 9x + 20 x - 11x + 30 8
2
Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc:
2x + 1
M=
x2 + 2
�x - 1= -1 �x = 0
� ��
�y + 1 = -2 �y = -3
�x - 1 = 1 �x = 2
� �� (lo¹i).
�y + 1 = 2 �y = 1
�x - 1 = 2 �x = 3
� ��
�y + 1 = 1 �y = 0
�x - 1= -2 �x = -1
� �� (lo¹i)
�y + 1 = -1 �y = -2
VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3.
Bµi 2.(2 ®iÓm) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:
M=
2x + 1+ x2 + 2- x2 - 2 x + 2 - x - 2x + 1
=
2 2
( )
x2 + 2 x2 + 2
M=
(x 2
)
+ 2 - ( x - 1)
2
= 1-
( x - 1)
2
x2 + 2 x2 + 2
x +2
0.
DÊu “=” x¶y ra khi x-1 = 0 � x = 1. VËy Mmax = 1 khi x = 1.
Bµi 4. . (3iÓm)
a. VBEC =VCFD (c.g .c ) � C�1 = D
�
1
�+ D
VCDF vu«ng t¹i C � F � = 900 � F
�+C� = 900 �VCMF vu«ng t¹i M
1 1 1 1
Hay CE DF.
C©u 5 . Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc
t©m H, t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng
hµng.
§¸p ¸n
C©u 1.
1 1 1 1 1 1 1
A= ( - + - +…….+ - )
3 2 5 5 8 3n + 2 3n + 5
1 1 1 n +1
= ( - )=
3 2 3n + 5 6n + 10
C©u 2. Chia ®a thøc x4 + ax + b cho x2 – 4
®îc ®a thøc d suy ra a = 0 ; b = - 16.
7
C©u 3.
x - x +1
2 Z x2 –x +1 = U(7)= +
- 1,+- 7
§a c¸c ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.
§¸p sè x = -2,1,3 .
C©u 4. Tõ gi¶ thiÕt a < b + c a2 < ab + ac
Tng tù b2 < ab + bc
c2 < ca + cb
Céng hai vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®îc (®pcm)
C©u 5. trong tam gi¸c ABC H lµ trùc t©m, G lµ
Träng t©m, O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp
tam gi¸c.
GM 1
- ChØ ra ®îc � = OMG
= , HAG �
AG 2
OM 1
- ChØ ra = (B»ng c¸ch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng
AH 2
minh CK = AH)
V AHG : VMOG (c.g.c)
H,G,O th¼ng hµng.
======================
®Ò 11
3 x 3 - 14 x 2 + 3x + 36
C©u 1:Cho biÓu thøc: A= 3
3x - 19 x 2 + 33x - 9
a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh.
b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0.
c, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 2:
GV: Nguyễn -Cường 22
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
( x + 16)( x + 9)
.a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= víi x>0.
x
.b, Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+1+: 2x-1+2x =3
C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn lît lµ c¸c
®iÓm thuéc c¸c c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC
=CM/CD =DN/DA= x.
.a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn
tÝch mhá nhÊt.
.b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th×
tø gi¸c MNKL lµ h×nh ch÷ nhËt.
C©u 4: T×m d cña phÐp chia ®a thøc
x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
§¸p ¸n
C©u1 (3®)
a.(1®)
( x - 3) 2 (3 x + 4)
Ta cã A= ( x - 3) 2 (3 x - 1) (0,5®)
C L D
M
K
D N B1
K1 A
Gäi S1,,S2, S3, S4 lÇn lît lµ diÖn tÝch tam gi¸c AKN,CLM,DMN vµ BKL.
KÎ BB1AD; KK1AD ta cã KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB
SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x)
SABD(0,5®)
T¬ng tù S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S
(0,25®)
T¬ng tù S3+S4= x(1-x)S
S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®)
SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-
1/2)2+1/2S1/2S(0,25®)
VËy SMNKL ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1/2S khi x=1/2 khi ®ã
M,N,K,L lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®)
b.(1,5®)
tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®)
tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt khi BDAC (0,5®)
C©u 4: (1®)
Gäi Q(x) lµ th¬ng cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1
GV: Nguyễn -Cường 24
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
99 55 11
ta cã x +x +x +x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*)
trong ®ã ax+b lµ d cña phÐp chia trªn
Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b
Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7
VËy d cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 lµ 4x+7
==========================
®Ò 12
Bµi 1: (3®)
x 5 - 2 x 4 + 2 x 3 - 4 x 2 + 3x + 6
Cho ph©n thøc : M =
x 2 + 2x - 8
a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0
c) Rót gän M
Bµi 2: (2®)
a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai
trong ba sè Êy ta ®îc 242.
b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ
cña biÓu thøc B.
A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n
Bµi 3: (2®)
a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc
1 1 1
M= + +
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx
b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c
1 1 1 1 1 1
Chøng minh r»ng: + + + +
a+b-c b+c -a c +a -b a b c
Bµi 4: (3®)
Cho tam gi¸c ABC, ba ®êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O.
Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lÖ víi 4,7,5
a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm
b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm
AP BN CM
c) Chøng minh . .
PB NC MA
=1
§¸p ¸n
Bµi 1:
a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) 0 x 2 vµ x - 4
(0,5®)
0,3®
VËy n = -1; n = 2
0,2®
0,2®
b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn
a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0
0,2®
1 1 4
+ víi x,y > 0
x y x+ y
1 1 4 2
+ =
a + b - c b + c - a 2b b
1 1 2
0,2® +
b+c-a c+a-b c
0,2®
1 1 2
+
c+a-b a+b-c a
0,2®
Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®îc ®iÒu ph¶i
chøng minh.
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c
0,2®
Bµi 4: a) A
B C
N
NB AB
AN lµ ph©n gi¸c cña  Nªn NC
=
AC
0,3®
0,5®
MC BC
b) BM lµ ph©n gi¸c cña B̂ nªn MA
=
BA
0,3®
AB BC AC BC 7
Theo gi¶ thiÕt ta cã: 4
=
7
=
5
=
BA 4
0,2®
MC 7 MC - MA 3 3.11
Nªn =
MA 4
=
MA + MC 11
ac =
3
= 11(cm)
0,5®
c) V× AN,BM,CP lµ 3 ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC
BN AB MC BC AP AC
Nªn BC
= ; = ;
AC MA BA PB
=
AB
0,5®
BN MC AP AB BC AC
Do ®ã . .
BC MA PB
= . .
AC AB BC
=1
0,5®
========================
®Ò 13
C©u 1: ( 2,5 ®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a/. x2 – x – 6 (1 ®iÓm)
3 2
b/. x – x – 14x + 24 (1,5 ®iÓm)
C©u 2: ( 1 ®iÓm)
T×m GTNN cña : x2 + x + 1
C©u 3: ( 1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) M120 víi m, n � Z.
C©u 4: ( 1,5 ®iÓm)
Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi :
1+ a 1+ b
x= ; y=
1+ a + a2 1 + b + b2
C©u 5: ( 1,5 ®iÓm)
Gi¶i ph¬ng tr×nh: x - 1 + x + 2 + x - 3 = 14
§¸p ¸n
C©u 1: a/. Ta cã: x – x – 6 = x – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)
2 2
= (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3)
( NÕu gi¶i b»ng c¸ch kh¸c cho ®iÓm t¬ng ®¬ng )
b/. Ta cã: x = 2 lµ nghiÖm cña f(x) = x3 – x2 – 14x + 24
Do ®ã f(x) Mx – 2, ta cã: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12
VËy x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12)
Ta l¹i cã: x = 3 lµ nghiÖm cña x2 + x – 12
Nªn x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4)
Nh vËy: x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) .
C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + x + 1 (1 ®’)
1 2 3 3 1 2
Ta cã : x2 + x + 1 = ( x + ) + � VËy f(x) ®¹t GTNN khi ( x + ) = 0 Tøc x = -
2 4 4 2
1
2
C©u 3: Ta cã : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)
= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn
tiÕp trong ®ã cã Ýt nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét
sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5).
VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.
C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ
1 1+ a + a2 a2 1 1 1 1
= = 1+ = 1+ = 1+ 1+ =
x 1+ a 1+ a 1+ a 1 1 1 1 y
2 2
+ +
a a a b2 b
1 1 1 1
V× a> b > 0 nªn 2 2 vµ . VËy x < y.
a b a b
C©u 5: 1/. XÐt kho¶ng x < -2 ,ta cã: -3x + 2 = 14 � x = - 4.
2/. -2 �x < 1, ta cã : -x + 16 = 14 � x = 2. (lo¹i)
3/. 1 �x < 3, ta cã : x + 4 = 14 � x = 10 (lo¹i).
16
4/. x � 3 , ta cã: 3x –2 2 = 14 � x = VËy ph¬ng tr×nh trªn cã
3
16
nghiÖm lµ x = - 4 vµ x= .
3
C©u 6: ( 2,5 ®’) D I C
2
F F
A B
Dùng tam gi¸c c©n BIC nh tam gi¸c AFB cã gãc ®¸y 150 .
Suy ra : B�2 = 600 (1) .
Ta cã VAFB =VBIC (theo c¸ch vÏ) nªn: FB = IB (2).
Tõ (1) vµ (2) suy ra : VFIB ®Òu .
§êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H . Ta cã: I�2 = 300 ( gãc ngoµi cña VCIB ).
� = 900 ( v×
Suy ra: H � = 600 ) Tam gi¸c ®Òu FIB nªn IH lµ trung
2 B
trùc cña FB hay CH lµ ®êng trung trùc cña VCFB . VËy VCFB c©n t¹i
C . Suy ra : CF = CB (3)
MÆt kh¸c : VDFC c©n t¹i F . Do ®ã: FD = FC (4).
Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).
VËy VDFC ®Òu.
Gi¶I b»ng ph¬ng ph¸p kh¸c ®óng cho ®iÓm t¬ng ®¬ng.
==============================
®Ò 14
C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc
f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x.
C©u 2 (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
(x+y+z)3 –x3-y3-z3.
C©u 3 (2 ®iÓm ) :
a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2 +x+1
b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3)
C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a2+b2+c2=ab+bc+ac
th× a=b=c
C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho
PAC = PBC. Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA.
Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM.
§¸p ¸n
GV: Nguyễn -Cường 30
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
a+b
C©u 4: * NÕu a> b th× x> a - b
a+b
* NÕu a<b th× x< a - b
* NÕu a=b th× 0x> 2b
+ NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b<0
+ V« nghiÖm nÕu b 0
C©u 5: A B
AE AB
a. DAEB vµ DKEB ®ång d¹ng (g.g) EK = KD
AF AB
DAFB Vµ DCFI ®ång d¹ng (g.g) = E F
FC CI
A£ AF
Mµ KD = CI = CD – AB = EF // KC K C
EK FC D I
VËy AF// AB
GV: Nguyễn -Cường 33
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
OK DE
b. DAEB Vµ DKED ®ång d¹ng, suy ra =
AB EB
KD + AB DE + EB DK + KC BD DC DB
= = = (1)
AB EB AB EB AB EB
DB DI DB AB
Do EF// DI EB = EF EB = EF (2)
DC AB
Tõ (1) vµ (2) AB = EF AB 2 = DC.EF
C©u 6: Theo ®Ò bµi ta ph¶i tÝnh diÖn B C
tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm2
O
SAOD = 196 cm2
Ta nhËn thÊy SABD = SACD (v× cã chung ®¸y AD
A
vµ ®êng cao t¬ng øng b»ng nhau) D
Suy ra SABO = SCOD
Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta rót ra r»ng: tû sè diÖn tÝch
hai tam gi¸c cã chung ®êng cao b»ng tû sè hai ®¸y t¬ng øng.
S AO S
Do ®ã: S
ABO
= = AOD => SABO.SCOD = SBOC.SAOD
BOC OC S COD
Mµ SABO = SCOD nªn: S2ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142
=> SABO = 13.14 = 182 (cm2)
================
®Ò 16
C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ
sè nguyªn.
2x3 + x2 + 2x + 5
A=
2x + 1
C©u 2(2®): Gi¶i ph¬ng tr×nh
x2 - 3|x| - 4 = 0
C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t¬ng øng c¸c
®iÓm P, Q, R. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång
qui lµ:
PB QC RA
. . =1
PC QA RB
C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu
thøc
M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2
§¸p ¸n
C©u 1
A nguyªn 2x+ 1 lµ íc cña 4
¦(4) = 1; 2; 4
Gi¶i ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn.
C©u 2: x2 - 3|x| - 4 = 0
3|x| = x2 - 4
3x = (x2 - 4)
x2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x2 + 3x - 4 = 0
Gi¶i 2 ph¬ng t×nh nµy ®îc S = -4; 4
C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8)
C©u 4: M = 18 khi a = b = …
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc...
Ta cã: A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- 1/4)2 + 1/4 A ≥ ¼
VËy Amin = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4.
=========================
®Ò 17
Bµi 1. Cho biÓu thøc:
x + 1 x - 1 x 2 - 4 x - 1 x + 2006
A= ( - + ).
x -1 x +1 x2 - 1 x
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh.
b) Rót gän biÓu thøc A.
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2:
2- x 1- x x
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2004
-1 = -
2005 2006
b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1
Bµi 3.
Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M
kÎ c¸c ®êng th¼ng song song víi hai ®êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®-
êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t
AC vµ BD t¹i I vµ J.
a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung
®iÓm cña EF.
GV: Nguyễn -Cường 35
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
b) Trong trêng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao
cho EJ = JI = IF.
Bµi 4. Cho a 4; ab 12. Chøng minh r»ng C = a + b 7
§¸p ¸n
Bµi 1:
x 1
a) §iÒu kiÖn:
x 0
( x + 1) 2 - ( x + 1) 2 + x 2 - 4 x - 1 x + 2006 x + 2006
b) A = ( =
x -1
2
x x
x = 1
c) Ta cã: A nguyªn (x + 2006) x 2006x
x = 2006
Do x = 1 kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x = 2006
Bµi 2.
2- x 1- x x
a) Ta cã: 2004
-1 = -
2005 2006
2-x 1- x x 2 - x 2004 1 - x 2005 x 2006
+1 = +1- +1 + = + - +
2004 2005 2006 2004 2004 2005 2005 2006 2006
2006 - x 2006 - x 2006 - x 1 1 1
= + (2006 - x)( - - =0
2004 2005 2006 2004 2005 2006
(2006 - x) = 0 x = 2006
D C
b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc,
E
a = 2 I J
råi tõ ®ã ta t×m ®îc: F Q
b = 1 A
P
M B
Bµi 3.
FI FP DO
a) Ta cã: = = (1)
IE PM OB
EJ EQ CO
= = (2)
FJ QM OA
DO CO (3)
=
OB OA
FI EJ
Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra = hay FI.FJ = EI.EJ (4)
IE FJ
NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã:
C©u 2:
a. T×m sè nguyªn d¬ng n ®Ó n5 +1 chia hÕt cho n3 +1.
b. Gi¶i bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn.
C©u 3:
Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ
®êng trung trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG =
2HE vµ AG = 2HF.
C©u 4:
Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n:
a = 1969 + 1971 ; b = 2 1970
§¸p ¸n
C©u 1: (3®)
a. m =1 (0.75®); n = -1 (0.75®)
b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc
(¸p dông c©u a)
1 1 1
= - (0.25®)
a - 5a + 6 a - 3 a - 2
2
1 1 1
= - (0.25®)
a - 7a + 12 a - 4 a - 3
2
1 1 1
= - (0.25®)
a - 9a + 20 a - 5 a - 4
2
C©u 4: (1.5®) A
Ta cã: 19702 – 1 < 19702 D
1969.1971 < 19702 I E
2 1969.1971 2.1970 (*)
G H
(0.25®)
Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*) B K F C
ta cã:
H×nh
2.1970 + 2 1969.1971 4.1970
*
(0.25®)
( 1969 + 1971) 2 (2 1970 ) 2 (0.25®)
1969 + 1971 2 1970 (0.25®)
VËy: 1969 + 1971 2 1970 (0.25®)
===============================
®Ò 19
Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc
x2 6 1 10 - x 2
A= 3 + + : x - 2 +
x - 4 x 6 - 3x x + 2 x+2
a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A?
b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2
c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0
d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn
bµi 2 (2,5®)
x4 + x3 + x + 1
a. Cho P =
x 4 - x 3 + 2x 2 - x + 1
Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh
1 1 1 1 1
+ 2 + 2 + 2 =
x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30 8
2
Bµi 3 (1®)
27 - 12 x
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =
x2 + 9
Bµi 4 (3®)
Cho DABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn
lît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC
a. CMR: E, A, H th¼ng hµng
v× tö = ( x + 1) 2
VËy P =
(( x 2
+ 1) ( x - x + 1)
2
) =
x 2 + 1`
0"x vµ mÉu x2 + 1
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)
GV: Nguyễn -Cường 40
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
2
x + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)
1 1 1 1
Trong ®ã x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2)( x + 3) = ( x + 2) - ( x + 3) ...
TX§ = "x; x -2;-3;-4;-5;-6 ph¬ng tr×nh trë thµnh:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - + - =
x+2 x+3 x+3 x+4 x+4 x+5 x+5 x+6 8
1 1 1
= - =
x+2 x+6 8
= 8( x + 6 - x - 2) = ( x + 2)( x + 6)
� 32 = x 2 + 8 x + 12
� x 2 + 8 x - 20 = 0 � x = 2; x = -10
VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10
Bµi 3 (1®)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc
27 - 12 x
A=
x2 + 9
( ) ( )
2
27 - 12 x x - 12 x + 36 - x + 9 x2 - 6
2 2
A= 2 = = 2 - 1 �-1
x +9 x2 + 9 x +9
A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 � ( x - 6 ) = 0 hay x =
2
A =
27 - 12 x
=
( ) (
4 x 2 + 36 - 4 x 2 + 12 x + 9 (
= 4- 2
)
2 x + 3)
2
�4 . A ®¹t GTLN lµ 4
x2 + 9 x2 + 9 x +9
3
( 2 x + 3)
2
=0�x=-
2
Bµi 4 (3®)
a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®êng trung trùc
cña ®oanh th¼ng EH
vËy gãc EAH = gãcIAH (1)
gãc FAD = gãcDAH (2)
céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH + gãc FAD = gãcDAH + gãcIAH
= 900 theo gi¶ thuyÕt
hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 90 0 + 900 = 1800. Do ®ã 3 ®iÓm
E, A, F th¼ng hµng
b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 90 0 (hai gãc nhän
tam gi¸c vu«ng)
Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng)
gãcCA = gãcHCA (tÝnh chÊt ®èi xøng)
suy ra gãc EBA + gãc FCA = 900
p
q
§¸p ¸n
Bµi 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120
KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) ( 2®iÓm )
b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)
Đề 23
Câu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6
b, Cho x Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Câu 2: (2đ)
1 1 1
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + = 3
x y z
1 1 1
Tính giá trị của biểu thức P = 2 + 2 + 2
x y z
Câu 3: (3đ) Tìm x biết
a, 3x + 2 < 5x -4
x + 43 x + 46 x + 49 x + 52
b, + = +
57 54 51 48
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y z
P= + +
y+z z+x x+ y
Bài 5: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H �BC). Trên tia HC
lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo m = AB .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và
BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
GB HD
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: =
BC AH + HC
.
GV: Nguyễn -Cường 49
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bài 6: (2 đ)
Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có
một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.
Đề 23
Câu1(4đ)
a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 .1đ
A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) 1đ
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) + 1đ
(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1
A chia hết cho x4 + x2 + 1 1đ
Cau 2 :
(2đ 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Có ( x + y + z ) = 2 + 2 + 2 + 2( xy + xz + yz )
2
x y z 0.75đ
z+ y+x
( 3 )2 = p + 2 vậyP+2=3 0,75đ
xyz
suy ra P = 1 0.5đ
Câu 4: a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
3đ =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) 0.5đ
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) 0,5đ
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên
liên tiếp )
3(n+1) chia hết cho3 B chia hết cho 3 A =3B chia 0,5đ
hết cho 9
a+b+c
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c x+y+z = 2
-a+b+c a-b+c a+b-c
x= ;y= ; z=
2 2 2
-a+b+c a-b+c a+b-c
P= + + = 0.5đ
2a 2b 2c
b) BM 1 BE 1 AD
= � = � (do DBEC ~ DADC ) 0,5đ
Ta có:
2đ BC 2 BC 2 AC
mà AD = AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BM 1 AD 1 AH 2 BH BH
nên = � = � = = (do ABH Đồng 1đ
BC 2 AC 2 AC AB 2 BE
dạng CBA)
Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c)
GB HD GB HD GB HD
Do đó: = � = � = 1đ
GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC
Câu 6 Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1) 1đ
Vì p là số nguyên tố nên:
Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn) 0,5đ
2
Hoặc: a +a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1
Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố)
chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác. 0,5đ
Đề 24
Câu 1: (4điểm)
x 2 x - 3y
a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= +
y-2 x-6
1 1 1 3
b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c 0. Chứng minh : 3 + 3 + 3 =
a b c abc
Câu 2: (3điểm)
x 2 y2 z2 x 2 + y2 + z2
a. Tìm x,y,x biết : + + =
2 3 4 5
b.Giải phương trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9
Câu 3: (3điểm)
a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a Z
b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi x Z+
Câu 4: (2điểm)
Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :
Câu 5: (6 điểm)
cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H
AH ' BH CH
a)tính tổng : + +
AA' BB' CC '
Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC;
AIB(M AC;N AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM
( AB + BC + CA) 2
c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức :
AA' 2 + B ' B 2 + C ' C 2
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 6(2điểm)
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì
(1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ.
……………..Hết…………………….
Đề 24
1 1 1
+ + =0
a b c 1đ
1 1 1
Đặt : = x; = y; = z
a b c
chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì: 1đ
x3+y3+z3=3xyz đpcm
Bài x 2 y2 z2 x 2 + y2 + z2
2: . : + + =
2 3 4 5
a) 1đ
1,5đ
x 2 x 2 y2 y2 z2 z2
- + - + - =0
2 5 3 5 4 5
0,5đ
3x 2 2 y 2 z 2
+ + =0x=y=z
10 15 20
b) .phươngtrình:
1,5đ
2x(8x-1)2(4x-1)=9 (64x - 16 x + 1)(8x - 2 x ) = 9
2 2
0,25đ
(64 x 2 - 16x + 1)(64 x 2 - 16x ) = 72
đặt :64x2-16x+0,5=k
0,5đ
Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 k = 72,25 k 8,5
2
0,25đ
-1 1
Với k=8,5 Ta có x= ;x =
4 2
0,25đ
Với k=-8,5 phương trình vô nghiệm
b)
1.5đ b,Từ bài toán trên ta có: x5-x5 x5-x+2 chia 5 dư 2 0,75đ
x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương
nào có tận cùng là 2hoặc 7) Vậy: 0,5đ
x5-x+2 không thế là số chính phương với mọi x Z + 0,25đ
Câu4 b c a c b 2 1 a2
2đ đặt A= a + b + c + = ab + + + c +
ac ba bc b ac a 2 bc
a 2 c2 a b2 b c 1 1đ
= abc + + + 2 + + 2 + 2 + =
c b b a c a abc
0,5đ
1 a 2 c c2 b b2 a
abc + + + + + + +
abc c a 2 b c 2 a b 2 0,5đ
1
tacó x+ 2"x >0 Nên A 8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
x
1
( BA'+ A' C ). AH
AH 2 S + S AHC
Ta có : A' A = 1
= AHB (1)
S ABC
AH .BC
2
BH S AHB + S BHC 1đ
Tương Tự: BB ' = S ABC
(2)
CH S + S AHC
== CHB (3)
CC S ABC 0,25 đ
AH ' BH CH 2( S AHB + S BHC + S CHA )
Từ (1); (2); (3) ta có: AA' + BB' + CC ' = =2 0,25 đ
S ABC
b.
0,5 đ
b) áp d ụng tính chất đường phân giác vào các tam giácABC,
ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; = suy ra
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC AB. AC
. . = . . = . = =1
IC NB MA AC BI AI AC BI AC . AB 0,75 đ
c) BI . AN .CM = BN .IC. AM
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 0,75 đ
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD 0,5 đ
- D BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 0,5 đ
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 0,25 đ
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
(AB + BC + CA ) 2 0,25 đ
4
AA'2 + BB'2 + CC'2 0,25 đ
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB=BC 0,25 đ
Tức tam giác ABCđều 0,25 đ
0,25 đ
2 2
Câu6 có 1+a =ab+ac+bc+a =(a+c)(a+b) 1đ
2đ Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c)
1+c2=(b+c)(a+c) 0,5đ
Đề 25
Bài 1: (5 điểm)
� 2 �1 � 1 �1 �� x - 1
Cho biểu thức: A = � 3 � + 1 +
� 2 � 2 + 1 ��: 3
�( x + 1) � x � x + 2x + 1 � x �� x
a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A<1
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
Bài 2:
(3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Bài 3 (4 điểm):
a) Giải phương trình:
1 6y 2
= +
3 y - 10 y + 3 9 y - 1 1 - 3 y
2 2
b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 4 (6 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối
D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối
của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G,
H cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 5: (2 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3
Đề 25
Bài 4: Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 0,5đ
1/2 E
Từ đó chứng A B
ĐỀ THI SỐ 26
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2+ x 4x2 2- x x 2 - 3x
A=( - 2 - ):( )
2- x x -4 2+ x 2 x 2 - x3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
x y z a b c x2 y 2 z 2
b) Cho + + = 1 + +
và x y z = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
a b c a b c
Câu 4: (6,0 điểm)
2 + x 4x2 2- x x 2 - 3x (2 + x) 2 + 4 x 2 - (2 - x ) 2 x 2 (2 - x)
A=( - 2 - ):( 2 ) = . = 1,0
2 - x x - 4 2 + x 2 x - x3 (2 - x)(2 + x) x ( x - 3)
4 x2 + 8x x(2 - x)
. = 0,5
(2 - x)(2 + x) x - 3
4 x( x + 2) x (2 - x) 4x2
= = 0,25
(2 - x)(2 + x )( x - 3) x - 3
4x 2
Vậy với x �0, x ��2, x �3 thì A = . 0,25
x -3
b 1,0
2
4x
Với x �0, x �3, x ��2 : A 0 � 0 0,25
x -3
� x-3 0 0,25
� x 3(TMDKXD) 0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25
GV: Nguyễn -Cường 59
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
c 1,0
x-7 = 4
�
x-7 = 4 � � 0,5
x - 7 = -4
�
�x = 11(TMDKXD)
�� 0,25
�x = 3( KTMDKXD)
121
Với x = 11 thì A = 0,25
2
Bài 3 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
� (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0
� 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5
Do : ( x - 1) 2 �0;( y - 3) 2 �0;( z + 1) 2 �0 0,5
Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25
b 2,5
a b c ayz+bxz+cxy
Từ : + + =0� =0 0,5
x y z xyz
� ayz + bxz + cxy = 0 0,25
x y z x y z
Ta có : + + = 1 � ( + + )2 = 1 0,5
a b c a b c
2 2 2
x y z xy xz yz
� 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1 0,5
a b c ab ac bc
x 2
y 2
z 2
cxy + bxz + ayz
� 2 + 2 + 2 +2 =1 0,5
a b c abc
x2 y 2 z 2
� 2 + 2 + 2 = 1(dfcm) 0,25
a b c
Bài 4 6,0
H
B C
0,25
F
O
E
A
K
D
a 2,0
Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : DBEO = DDFO( g - c - g ) 0,5
GV: Nguyễn -Cường 60
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
=> BE = DF 0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25
b 2,0
Ta có: �
ABC = � � = KDC
ADC � HBC � 0,5
Chứng minh : DCBH : DCDK ( g - g ) 1,0
CH CK
� = � CH .CD = CK .CB 0,5
CB CD
b, 1,75
Chứng minh : DAFD : DAKC ( g - g ) 0,25
AF AK
� = � AD. AK = AF . AC 0,25
AD AC
Chứng minh : DCFD : DAHC ( g - g ) 0,25
CF AH
� = 0,25
CD AC
CF AH
Mà : CD = AB � = � AB. AH = CF .AC 0,5
AB AC
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25
ĐỀ SỐ 27
Câu1.
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
x4 + 4
( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) - 24
b. Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
a b c a2 b2 c2
c. Cho + + = 1. Chứng minh rằng: + + =0
b+ c c + a a+ b b + c c + a a+ b
� x 2 1 �� 10 - x2 �
Câu2. Cho biểu thức: A = �2 + + �: �x - 2+ �
�x - 4 2 - x x + 2 �� x+ 2 �
a. Rút gọn biểu thức A.
1
b. Tính giá trị của A , Biết x = 2 .
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME
AB, MF AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.
HV + GT + KL
(1
điểm)
a. Chứng minh: AE = FM = DF (2
Câu 3 � DAED = DDFC � đpcm điểm)
(6 điểm)
b. DE, BF, CM là ba đường cao của DEFC � đpcm (2
điểm)
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
� ME + MF = a không đổi
� SAEMF = ME.MF lớn nhất � ME = MF (AEMF là hình
vuông) (1
� M là trung điểm của BD. điểm)
�1 b c
�a = 1+ +
a a
�
�1 a c
a. Từ: a + b + c = 1 � � = 1+ +
�b b b
�1 a b
Câu 4: �c = 1+ c + c
�
(2 điểm) (1
điểm)
1 1 1 �a b � �a c � �b c �
� + + = 3 + � + �+ � + �+ � + �
a b c �b a � �c a � �c b �
�3 + 2 + 2 + 2 = 9
1
Dấu bằng xảy ra � a = b = c =
3
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab =
a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
(1
a = 1 hoÆc b = 1
điểm
Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0
)
(lo¹i)
Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0
(lo¹i)
VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
GV: Nguyễn -Cường 63
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
§Ò thi SỐ 28
a 3 - 4a 2 - a + 4
C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=
a 3 - 7a 2 + 14a - 8
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u 2 : (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt
cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt ®ã .
C©u 3 : (2 ®iÓm)
1 1 1 1
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : + 2 + 2 =
x + 9 x + 20 x + 11 x + 30 x + 13x + 42 18
2
C©u 4 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc
xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n
c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh :
BC 2
a) BD.CE=
4
b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.
C©u 5 : (1 ®iÓm)
T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè
nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .
®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái
C©u 1 : (2 ®)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
0,25
a-2+3 3
b) (0,5®) P= a-2
= 1+
a-2
; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ íc cña 3,
mµ ¦(3)= - 1;1;-3;3
0,25
Tõ ®ã t×m ®îc a - 1;3;5
0,25
C©u 2 : (2®)
a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .
0,25
Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2 + 2ab + b 2 ) - 3ab =
=(a+b) (a + b) 2 - 3ab 0,5
V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;
Do vËy (a+b) (a + b) 2 - 3ab chia hÕt cho 9 0,25
b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36
0,5
Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 0,25
Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
Tõ ®ã ta t×m ®îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25
C©u 3 : (2®)
a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
GV: Nguyễn -Cường 65
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
2
x +11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25
§KX§ : x -4; x -5; x -6; x -7 0,25
Ph¬ng tr×nh trë thµnh :
1 1 1 1
+ + =
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18
1 1 1 1 1 1 1
- + - + - =
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18
1 1 1
- =
x + 4 x + 7 18
0,25
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Tõ ®ã t×m ®îc x=-13; x=2; 0,25
b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
y+z x+z x+ y
Tõ ®ã suy ra a= 2
;b =
2
;c =
2
; 0,5
y+z x+z x+ y 1 y x x z y z
Thay vµo ta ®îc A= 2x
+
2y
+
2z
= ( + ) + ( + ) + ( + )
2 x y z x z y
0,25
1
Tõ ®ã suy ra A 2 (2 + 2 + 2) hay A 3 0,25
C©u 4 : (3 ®)
a) (1®)
Trong tam gi¸c BDM ta cã : ˆ = 120 0 - Mˆ
D1 1
Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:
( x - a ) ( x - 10 ) + 1
thöùc B( x) = x 2 - 3x + 4
Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc
Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD
vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.
Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng
Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng
1 1 1 1
P= 2
+ 2 + 4 + ... + 1
2 3 4 1002
Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm
Caâ Ñaùp aùn Bieåu
u ñieåm
1 A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15
2ñ ( )(
= a 2 + 8a + 7 a 2 + 8a + 15 + 15 ) 0,5 ñ
0,5 ñ
=(a ) ( )
2
2
+ 8a + 22 a 2 + 8a + 120 0,5 ñ
0,5 ñ
=(a )
2
2
+ 8a + 11 - 1
=(a 2
+ 8a + 12 ) ( a 2
+ 8a + 10)
= ( a + 2) ( a + 6) ( a 2
+ 8a + 10 )
2 Giaû söû: ( x - a ) ( x - 10 ) + 1 = ( x - m ) ( x - n ) ;(m, n �Z ) 0,25
2ñ � x 2 - ( a + 10 ) x + 10a + 1 = x 2 - ( m + n ) x + mn ñ
0,25
� m + n = a +10
m.n =10 a +1 ñ
Khöû a ta coù : 0,25
mn = 10( m + n – 10) + 1 ñ
� mn - 10m - 10n + 100 = 1
� m(n - 10) - 10n + 10) = 1
vì m,n nguyeân ta coù: n -10=1 v n-10=-1 0,25
m -10 =1 m -10 =-1
ñ
suy ra a = 12 hoaëc a =8
0,25
ñ
0,25
ñ
0,25
ñ
GV: Nguyễn -Cường 68
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
0,25
ñ
3 Ta coù:
1ñ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 ñ
Ñeå A( x)MB( x) thì b+ 4=0 � b =-4 0,5 ñ
a - 3= 0 a =3
4
3ñ
0,25
ñ
ĐỀ THI SỐ 30
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
( 2009 - x ) + ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
19
= .
( 2009 - x ) - ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
49
Bài 4: (3 điểm)
2010x + 2680
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
x2 + 1
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA,
� = BFD,
AB sao cho: AFE � � = CDE,
BDF � � = AEF
CED � .
� = BAC
a) Chứng minh rằng: BDF � .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
Bài 1:
(�x + y + z ) - x 3 �
3
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = � �
-�
y3 + z 3 �
� �
= x ( x - 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x - x + 2010 ) .
2 2 2 2
Bài 5:
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E�=A � = F$ = 90o )
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân
� .
giác của BAC
D
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF F
s
s
� B D C
ĐỀ SỐ 31
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
x - 17 x - 21 x + 1
b) + + =4
1990 1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
1 1 1
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0.
x y z
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm
1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị
vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số
chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực
tâm.
HA' HB' HC'
a) Tính tổng + +
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
( AB + BC + CA ) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức AA' 2 + BB' 2 + CC' 2
đạt giá trị nhỏ nhất?
ĐÁP ÁN
Bài 1(3 điểm):
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
c) 4x – 12.2x +32 = 0 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
(2x – 23)(2x –22) = 0 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
2x = 23 hoặc 2x = 22 x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )
yz xz xy
Do đó: A = ( x - y)( x - z) + ( y - x )( y - z) + (z - x )(z - y) ( 0,25điểm )
Ta có: abcd = k 2
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 với k, m N, 31 k m 100
abcd = k 2
abcd + 1353 = m 2 (0,25điểm) (0,25điểm)
Do đó: m2–k2 = 1353
GV: Nguyễn -Cường 73
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
(0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 hoặc m–k = 33
m = 67 m = 37
hoặc
k = 56 k= 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng abcd = 3136
(0,25điểm)
Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
1
.HA'.BC
S 2 HA'
a) S HBC = = ;
1 AA'
ABC .AA'.BC
2
(0,25điểm)
S HC' S HB'
Tương tự: S
HAB
= ;
HAC
=
ABC CC' S ABC BB'
(0,25điểm)
HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC
+ + = + + =1 (0,25điểm)
AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; = (0,5điểm )
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
. . = . . = . =1
IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm )
BI .AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm )
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
(0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
(0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD
(0,25điểm)
- D BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
(AB + BC + CA ) 2
4 (0,25điểm)
AA'2 + BB'2 + CC'2
Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC
AB = AC =BC D ABC đều
Kết luận đúng (0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó
GV: Nguyễn -Cường 74
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
ĐỀ SỐ 32
Bài 1 (4 điểm)
1 - x3 1 - x2
Cho biểu thức A = - x : với x khác -1 và 1.
1- x 1- x - x + x
2 3
Đáp án
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ
1- x - x + x
3 2
(1 - x )(1 + x)
A= 1- x
:
(1 + x )(1 - x + x 2 ) - x (1 + x)
(1 - x )(1 + x + x 2 - x ) (1 - x )(1 + x) 0,5đ
= 1- x
:
(1 + x)(1 - 2 x + x 2 )
1
= (1 + x ) : (1 - x)
2 0,5đ
= (1 + x 2 )(1 - x) 0,5đ
b, (1 điểm)
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ
a + b - 2ab + b + c - 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c - 4ab - 4ac - 4bc
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Bài 3 (3 điểm)
0,5đ
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11.
x
Phân số cần tìm là x + 11
(x là số nguyên khác -11)
x-7 0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x + 15
(x khác -15)
x x + 15 0,5đ
Theo bài ra ta có phương trình =
x + 11 x - 7
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 1đ
5 0,5đ
Từ đó tìm được phân số -
6
Bài 4 (2 điểm)
0,5đ
Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) - 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 - 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a - 1) 2 + 3 0,5đ
Vì a 2 + 2 0 "a và (a - 1) 2 0"a nên (a 2 + 2)(a - 1) 2 0"a do đó 0,5đ
(a + 2)( a - 1) + 3 3"a
2 2
A
D I C
GV: Nguyễn -Cường 76
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ
b,(2điểm)
Tính được AD =
4 3
cm ; BD = 2AD =
8 3
cm
0,5đ
3 3
1 4 3
AM = 2 BD = cm
3
Tính được NI = AM =
4 3
cm
0,5đ
3
DC = BC =
8 3
cm , MN =
1
DC = 4 3 cm 0,5đ
3 2 3
Tính được AI =
8 3
cm
0,5đ
3
A B
Bài 6 (5 điểm) O
M N
D C
a, (1,5 điểm)
OM OD ON OC 0,5đ
Lập luận để có = , =
AB BD AB AC
OD OC 0,5đ
Lập luận để có =
DB AC
OM ON 0,5đ
= OM = ON
AB AB
b, (1,5 điểm)
OM DM OM AM 0,5đ
Xét DABD để có = (1), xét DADC để có = (2)
AB AD DC AD
1 1 AM + DM AD
Từ (1) và (2) OM.( AB + CD ) = AD
=
AD
=1
1 1 0,5đ
Chứng minh tương tự ON. ( AB + CD ) = 1
1 1 1 1 2 0,5đ
từ đó có (OM + ON). ( AB + CD ) = 2 AB + CD = MN
b, (2 điểm)
S AOB OB S OB S S 0,5đ
= , S
BOC
= AOB = BOC S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
S AOD OD DOC OD S AOD S DOC
Chứng minh được S AOD = S BOC 0,5đ
GV: Nguyễn -Cường 77
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2 0,5đ
Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009
2 2 2
ĐỀ SỐ 33
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng.
C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm
hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i
E,c¾t BCt¹i F.
a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c
BOC.
1 1 2
b. Chøng minh: + =
AB CD EF
c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®êng th¼ng ®i
qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.
ac abc c
+ + 0,5
abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1
2
ac abc c abc + ac + 1
= 1 + ac + c + c + 1 + ac + ac + c + 1 = abc + ac + 1 = 1 0,5
x - 214 x - 132 x - 54
a, (2®iÓm) 86
+
84
+
82
=6
x - 214 x - 132 x - 54
( - 1) + ( - 2) + ( - 3) = 0 1,0
86 84 82
x - 300 x - 300 x - 300
+ + =0 0,5
86 84 82
1 1 1
(x-300) + + = 0 x-300=0 x=300 VËy S =
86 84 82 0,5
300
b, (2®iÓm) 2x(8x-1) 2(4x-1)=9
(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 0,5
C©u 72 0,5
3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72
(5®iÓ k2=72,25 k=± 8,5 0,5
m) Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)
1 -1 0,5
(4x+1)=0; x= 2 ; x = 4
Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-
1)2+8=0 v« nghiÖm.
1 - 1
VËy S = 2 ,
4
0,5
c, (1®iÓm) x -y +2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-
2 2
(y2+4y+4)-7=0 0,5
(x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y
nguyªn d¬ng
Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1
x=3 ; y=1
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt
(x,y)=(3;1)
b, (2®iÓm) V× EO//DC
EO
=
AO
MÆt kh¸c AB//DC 1,0
C©u DC AC
AB AO AB AO AB AO EO AB
4 = = = = 0,5
DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC
(5®iÓ EF AB AB + DC 2 1 1 2
m) = = + = 1,0
2 DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF
c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N
DF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I 1,0
th× SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN.
ĐỀ SỐ 34
x 3 - 3x x+4
C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A = - 2 + 3
x +1 x - x +1 x +1
a) Rót gän biÓu thøc A
b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d¬ng víi mäi x ≠
-1
a) x - 3 x + 2 + x - 1 = 0
2
2 2 2
1 � �2 1 � �2 1 � � 1�
b) 8 � �x + �= ( x + 4 )
2
�x + �+ 4 �x + 2 �- 4 �x + 2 �
� x � x� x
� x
� �
� �
C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x Q th× gi¸
trÞ cña ®a thøc :
M = ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 16 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè
h÷u tØ.
GV: Nguyễn -Cường 81
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB),
®êng cao AH (H �BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD =
HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.
4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng.
TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m = AB .
5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai
tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc
AHM
GB HD
6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: =
BC AH + HC
.
----------------------------------------------
HÕt-------------------------------------------------
( )
x x 2 - x + 1 - ( x + 1) ( 3 - 3x ) + x + 4
a
( x + 1) ( x 2 - x + 1)
1®iÓ
=
(
x3 + 2 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) x + x + 1
2
)
=
x2 + x + 1
= m
( ) ( )
( x + 1) x 2 - x + 1 ( x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1
b � 1� 3
2
�x + �+
x + x +1
2
� 2� 4 1®iÓ
Víi mäi x ≠ - 1 th× A = 2 = 2
x - x +1 � 1� 3
�x - �+ m
� 2� 4
2 2
� 1� 3 � 1� 3
V× �x + �+ 0; �x - �+ 0, "x �-1 � A 0, "x �-1
� 2� 4 � 2� 4
m
( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn *)
* Víi x< 1 (**) x - 1 0 x - 1 = 1 - x ta cã ph¬ng
a tr×nh
x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 � x - 4 x + 3 = 0 � ( x - 1) ( x - 3) = 0
2
�2 1 � �2 1 �� � 2 1 �� 1� 2
�
�x + 2 �- �x + ��= ( x + 4 )
2
� 8 �x + 2 + 2 �+ 4 �x + 2 ��
� x � � x �� � x � � x �� 1®iÓ
b
� 16 = ( x + 4 ) � x ( x + 8 ) = 0 � x = 0 hoÆc x = -8 m
2
1®iÓ
x, y 0 y-1 0 vµ x-1 0
x -1
m
� = 2
y -1 y + y + 1
3
y -1
x 3 - 1 = ( x - 1) ( x 2 - x + 1) = - y ( x 2 - x + 1) � = 2
x -1 x + x +1
3
x y -1 -1
� + 3 = 2 + 2
y -1 x -1 y + y + 1 x + x + 1
3
1®iÓ
1®iÓ
m
Ta cã: M = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 16 1®iÓ
2 2
8a + 16 = ( a+ 4)2 1®iÓ
4
M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm) m
1®iÓ
m
5
a + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:
Gãc C chung.
CD CA
= (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ
CE CB
CAB ®ång d¹ng)
1.5®i
Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).
� =�
Suy ra: BEC ADC = 1350 (v× tam gi¸c Óm
AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn �
AEB = 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra:
1®iÓ
BE = AB 2 = m 2
m
BM 1 BE 1 AD
Ta cã: = � = � (do DBEC : DADC )
BC 2 BC 2 AC 1.5®i
mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H)
BM 1 AD 1 AH 2 BH BH Óm
nªn = � = � = = (do DABH : DCBA )
b BC 2 AC 2 AC AB 2 BE
�
Do ®ã DBHM : DBEC (c.g.c), suy ra: BHM � = 1350 � �
= BEC AHM = 450
1®iÓ
m
ĐỀ SỐ 35
x2 6 1 10 - x 2
Bài 1: Cho biểu thức: M = x 3 - 4 x + 6 - 3x + x + 2 : x - 2 +
x+2
a. Rút gọn M
b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt.
Bài 2: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
b. Cho các số x,y,z thỏa mãn đồng thời:
x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 3 + y 3 + z 3 = 1.
Tính tổng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011
Bµi 3:
1 1 1 1
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh: + 2 + 2 =
x + 9 x + 20
2
x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
�x + 1Md � �x + 1Md
� �2 � �x 2 + 1Md � � � 2 Md mµ d lÎ nªn d =
�x + 1Md �x + 1Md �x - 1Md
�
1. 0,25
+ Nªn muèn (x + 1)(x 2 + 1) lµ sè chÝnh ph¬ng
Th× (x+1) vµ (x 2 + 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph-
¬ng 0,25
�x 2 + 1 = k 2 �k = 1
§Æt: � � (k + x)(k – x) = 1 � � hoÆc
�x + 1 = t �x = 0
2
�k = -1
�
�x = 0
+ Víi x = 0 th× (2y + 1) 2 = 1 � y = 0 hoÆc y = -1.
(Tháa m·n pt)
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: (x;y) =
(0;0), (0; -1)
5 A
E
F
H
M
K
I
B
N
D
0,5
C
ĐỀ SỐ 36
Bài 1: (3,5đ)a, Với giá trị nào của n thì ( n + 5) ( n + 6 ) M6n với n �N .
b, CMR với n �N thì: n5 - nM30 .
n + 13
c, Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản.
n-2
Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, 4a b - ( a + b - c )
2 2 2 2 2
b, x5 + x + 1
GV: Nguyễn -Cường 89
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
c, ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) + 1
Bài 3: (3đ) Giải phương trình:
a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0
1 1 1 1
b, + 2 + 2 =
x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 9
2
c, ( x - 2 ) + ( x - 3) = 1
4 4
**************-The end-**************
Bài Phần Nội dung Điểm
1 Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30
= n(n – 1) + 30 + 12n M6n
a �n ( n - 1) M3 �n = 3 �n = 3k + 1 1
� n ( n + 1) + 30M6n � � ��
30M3
� �n 30
� n = 1; 3; 6; 10; 15; 30
b CMR: với n �N thì: n5 - n M30 1,5
Ta có 30 = 2.3.5
n5 - n = n ( n 4 - 1) = ( n - 1) n ( n + 1) ( n 2 + 1)
n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích
( n - 1) n ( n + 1) M6
ta chứng minh n - n = n ( n - 1) ( n + 1) M5
5 2 2
= ( 2ab ) - ( a 2 + b 2 - c 2 )
2 2
a = ( 2ab - a 2 - b 2 + c 2 ) ( 2ab + a 2 + b 2 - c 2 ) 1
=� c 2 - ( a - b ) ��( a + b ) - c2 �
2 2
� �� �
= ( a + b + c) ( a + b - c) ( c + a - b) ( c - a + b)
x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1
2 b = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) 1
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) + 1
= ( x + 1) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x + 3) + 1
= ( x2 + 5x + 4) ( x 2 + 5x + 6) + 1
c 1
( x + 5x + 5 ) - 1�
=�
�
2
( x + 5 x + 5 ) + 1�
�
��
2
�+ 1
= ( x 2 + 5 x + 5) - 1 + 1 = ( x 2 + 5x + 5)
2 2
x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0
� x 4 + x - 30 ( x 2 - x + 1) = 0
� x ( x 3 + 1) - 30 ( x 2 - x + 1) = 0
� x ( x + 1) ( x 2 - x + 1) - 30 ( x 2 - x + 1) = 0
� ( x 2 - x + 1) ( x 2 + x - 30 ) = 0
3 a � 2 2
� 1
� 1� 3
� x + x - 30 = 0 �
2
vìx - x + 1 = �x - �+ 0 �
� � 2� 4 �
� �
� x + 6 x - 5 x - 30 = 0
2
�x = -6
� ( x + 6) ( x - 5) = 0 � �
�x = 5
Vậy S = -6;5
b 1
+ 2
1
+ 2
1
=
1
x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 9
2
1 1 1 1
� 2 + 2 + 2 =
x + 3x + x + 3 x + 5x + 3x + 15 x + 7 x + 5x + 35 9
1 1 1 1
� + + =
( x + 1) ( x + 3) ( x + 3) ( x + 5) ( x + 5 ) ( x + 7 ) 9
ĐKXĐ: x �-1; -3; -5; -7
Phương trình trên có thể viết:
1�
�1 1 ��1 1 ��1 1 � � 1
�
� - �+ � - �+ � - �= 9
�
�x + 1 x + 3 � �x + 3 x + 5 � �x + 5 x + 7 �
2� �
GV: Nguyễn -Cường 91
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
1�1 1 �1 6 1
� � - �= � =
2 �x + 1 x + 7 � 9 2 ( x + 1) ( x + 7 ) 9
� ( x + 1) ( x + 7 ) = 27 � x 2 + 8 x - 20 = 0
� x 2 + 8 x + 16 = 36 � ( x + 4 ) = 62
2
�x + 4 = 6 �x = 2
�� �� (TM ĐKXĐ)
�x + 4 = -6 �x = -10
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10
ĐỀ SỐ 37
Bµi 1 (4 ®iÓm)
1 - x3 1 - x2
Cho biÓu thøc A = - x : víi x kh¸c -1 vµ 1.
1- x 1- x - x + x
2 3
A= 1- x
:
(1 + x )(1 - x + x 2 ) - x (1 + x)
(1 - x )(1 + x + x 2 - x ) (1 - x )(1 + x) 0,5
= 1- x
:
(1 + x)(1 - 2 x + x 2 ) ®
= (1 + x 2 ) :
1 0,5
(1 - x)
®
= (1 + x 2 )(1 - x) 0,5
KL ®
b, (1 ®iÓm)
2 5 5 2 5 0,25
T¹i x = -1 = - th× A = 1 + (- 3 ) - 1 - ( - 3 )
3 3 ®
= (1 +
25 5
)(1 + ) 0,25
9 3 ®
=
34 8 272
. = = 10
2 0,5
9 3 27 27 ®
KL
c, (1®iÓm)
Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A<0 khi vµ chØ khi (1 + x 2 )(1 - x) 0 (1) 0,25
®
V× 1 + x 2 0 víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi 1 - x 0 x 1 0,5
KL ®
0,25
®
Bµi 2 (3 ®iÓm)
BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®îc 0,5
a + b - 2ab + b + c - 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c - 4ab - 4ac - 4bc
2 2 2 2 2 2 2 2 2
®
BiÕn ®æi ®Ó cã (a 2 + b 2 - 2ac) + (b 2 + c 2 - 2bc) + (a 2 + c 2 - 2ac) = 0 0,5
®
BiÕn ®æi ®Ó cã (a - b) 2 + (b - c) 2 + (a - c) 2 = 0 (*) 0,5
®
V× (a - b) 2 0 ; (b - c) 2 0 ; (a - c) 2 0 ; víi mäi a, b, c 0,5
nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi (a - b) 2 = 0 ; (b - c) 2 = 0 vµ (a - c) 2 = 0 ; ®
0,5
®
Tõ ®ã suy ra a = b = c 0,5
®
Bµi 3 (3 ®iÓm)
0,5
Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè
GV: Nguyễn -Cường 93
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
®
x
cÇn t×m lµ x+11. Ph©n sè cÇn t×m lµ x + 11
(x lµ sè nguyªn
kh¸c -11)
Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®îc 0,5
x-7 ®
ph©n sè x + 15
(x kh¸c -15)
x x + 15 0,5
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh x + 11
= x-7
®
Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m ®îc x= -5 (tho¶ m·n) 1®
Tõ ®ã t×m ®îc ph©n sè -
5 0,5
6 ®
KL
Bµi 4 (2 ®iÓm)
0,5
BiÕn ®æi ®Ó cã A= a 2 (a 2 + 2) - 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3 ®
= (a 2 + 2)(a 2 - 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a - 1) 2 + 3 0,5
®
V× a 2 + 2 0 "a vµ ( a - 1) 2 0"a nªn (a 2 + 2)(a - 1) 2 0"a do ®ã 0,5
(a + 2)( a - 1) + 3 3"a
2 2
®
DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi a - 1 = 0 a = 1 0,25
®
KL 0,25
®
Bµi 5 (3 ®iÓm)
B
M N
A
D I C
a,(1 ®iÓm)
Chøng minh ®îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang 0,5
®
Chøng minh ®îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh 0,5
thang c©n ®
b,(2®iÓm)
TÝnh ®îc AD = 4 3
cm ; BD = 2AD = 8 3
cm 0,5
3 3 ®
1
AM = BD = 4 3 cm
2 3
O N
M
D C
a, (1,5 ®iÓm)
LËp luËn ®Ó cã
OM
=
OD
,
ON OC
= 0,5
AB BD AB AC ®
LËp luËn ®Ó cã
OD OC
= 0,5
DB AC ®
OM
=
ON
OM = ON 0,5
AB AB ®
b, (1,5 ®iÓm)
XÐt DABD ®Ó cã
OM
=
DM
(1), xÐt DADC ®Ó cã
OM
=
AM 0,5
AB AD DC AD ®
(2)
1 1 AM + DM AD
Tõ (1) vµ (2) OM.( AB + CD ) = AD
=
AD
=1
ĐỀ SỐ 38
ĐÁP ÁN
Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm)
Vì a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k �Z )
NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 d 1.
NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 d 1.
VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a2 chia 3 d 1.(1)
T¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b 2 chia 3 d 1.
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã a2-b2M3 (3)
(0,5 ®)
Ta cã a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+
(b2)2+3a2b2]
= (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]
Theo c/m trªn a2-b2M3 => (a2-b2)2 M3 mµ 3a2b2 M3 víi mäi a �Z
nªn (a2-b2)2+ 3a2b2 M3 (4)
Tõ (3) vµ (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] M3.3 hay a6-b6 M9 (0,5
®)
b) (1,0 ®iÓm)
Ta cần chứng minh: n5 – n M10
* Chứng minh : n5 - n M2
1 1 1 1
� + + =
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 (0,5 ®)
1 1 1
� - =
( x + 4) ( x + 7) 18
=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7)
=> (x+13)(x-2) = 0
(0,25 ®)
.
3 1
DÊu b»ng xÈy ra <=> = <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=>
x y
6a = - 45b (2)
1 3
Tõ (1) vµ (2) => b=-
50
; a=
20
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm
cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E.
Chøng minh:
a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.
NC NB
b) = +1
AN AB
1
=AM = ACC)
F2
M
CNM + MNA = 1v
N
GV: Nguyễn -Cường 98
A E B
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
BAN + NAC = 1v
Mµ MNA = NAC => CNM = BAN
MÆt kh¸c CNM = BNE (®®)
=>BNE = BAN
=> D BNE D BAN
CN AC AN
C¸ch kh¸c: b) Ta cã: D ACN D EAN => AN = EA = EN (1)
AN BA BE NB
D BNE D BAN => = (2) va = (3) . Tõ (1) vµ (2) => BN
NE BN BN AB
= AE
CN AC CN AB AE + EB EB EB
Tõ = = = = = 1+ = 1+ ( 4)
AN EA AN AE AE AE BN
CN NB
Tõ (3) vµ (4) => = 1+ (§pcm)
AN AB
§Ề SỐ 39
Bµi 1: (2 ®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:
1. x 2 + 7 x + 6
2. x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008
Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh:
1. x 2 - 3x + 2 + x - 1 = 0
2 2 2
� 1� � 1 � � 1 �
� 1�
2. �x + �= ( x + 4 )
2
8 �x + �+ 4 �x 2 + 2 �- 4 �x 2 + 2 �
� x� � x � � x � � x�
Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã:
1 1 1
(a+b+c)( a + b + c ) 9
3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc
( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8) + 2008 cho ®a thøc x 2 + 10 x + 21 .
®iÒu kiÖn x �1 ).
+ NÕu x 1: (1)
� x 2 - 4 x + 3 = 0 � x 2 - x - 3 ( x - 1) = 0 � ( x - 1) ( x - 3 ) = 0 0,5
� x = 1; x = 3 (c¶ hai ®Òu
kh«ng bÐ h¬n 1, nªn bÞ lo¹i)
VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt 0,5
lµ x = 1 .
2.2 � 1� �
2
1 � � 1 �
� 1�
2 2
�x + �= ( x + 4 ) (2)
2
8 �x + �+ 4 �x 2 + 2 �- 4 �x 2 + 2 �
� x� � x � � x � � x�
§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x �0
2
� 2 1 �� 1� 2
� 0,25
� 1 � � 2 1 ��
�x + 2 �- �x + ��= ( x + 4 )
2
(2) � 8 �x + �+ 4 �x + 2 ��
� x � � x �� � x � � x ��
2
� 1� � 1 �
� 8 �x + �- 8 �x 2 + 2 �= ( x + 4 ) � ( x + 4 ) = 16
2 2 0,5
� x� � x �
� x = 0 hay x = -8 vµ x �0 . 0,25
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x = -8
3 2.0
3.1 Ta cã:
1 1 1 a a b
A= (a + b + c)( a + b + c ) = 1 + b + c + a + 1 + c + a + b + 1
b c c 0,5
a b a c c b
= 3 + ( b + a ) + ( c + a ) + (b + c )
x y
Mµ: + 2 (B§T C«-Si)
y x
Do ®ã A 3 + 2 + 2 + 2 = 9. VËy A 9 0,5
®Ò SỐ 40
®Ò bµi:
Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:
� 2x - 3 2x - 8 3 �21 + 2 x - 8 x 2
P= � 2 + - �: +1
�4 x - 12 x + 5 13 x - 2 x 2
- 20 2 x - 1 � 4 x 2
+ 4 x - 3
a) Rót gän P
1
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x =
2
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
d) T×m x ®Ó P > 0.
GV: Nguyễn -Cường 102
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh:
15 x �1 1 �
a) - 1 = 12 � + �
x 2 + 3x - 4 �x + 4 3x - 3 �
148 - x 169 - x 186 - x 199 - x
b) + + + = 10
25 23 21 19
c) x-2 +3 =5
Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:
Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót.
NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20
phót. TÝnh kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã.
Bµi 4 (7 ®iÓm):
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M
lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P.
a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×?
b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng
minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.
c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF
kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.
PD 9
d) Gi¶ sö CP BD vµ CP = 2,4 cm, = . TÝnh c¸c c¹nh cña
PB 16
h×nh ch÷ nhËt ABCD.
Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt
cho 2010
b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh
r»ng:
1 1 2
+ �
1 + x2 1 + y2 1 + xy
�3x �
� + 5 .3 = x
�
�10 �
0,5®
� x =150
0,5®
VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km)
0,25®
3.150
VËn tèc dù ®Þnh lµ: = 45 ( km / h )
10 D C
Bµi 4(7®)
VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng P
0,5® M
O
I F
E A B
a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.
AM//PO
� tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang.
1®
b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ)
Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB
Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th×
tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA.
Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1)
1®
MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.
1®
MF AD
c) DMAF : DDBA ( g - g ) nªn = kh«ng ®æi.
FA AB
(1®)
PD 9 PD PB
d) NÕu = th× = = k � PD = 9k , PB = 16k
PB 16 9 16
GV: Nguyễn -Cường 106
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
CP PB
NÕu CP BD th× DCBD : DDCP ( g - g ) � = 1®
PD CP
do ®ã CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm)
0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16
0,5®
do ®ã BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm)
0,5®
Bµi 5:
a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1)
2010
2011 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2)
1®
Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.
1 1 2
b) + � (1)
1 + x2 1 + y 2 1 + xy
�1 1 �� 1 1 �
�� 2 - +
�� 2 - ��0
� 1 + x 1 + xy �� 1 + y 1 + xy �
x ( y - x) y ( x - y)
� + �0
( 1 + x 2
)( 1 + xy ) ( 1 + y 2
)( 1 + xy )
( y - x ) ( xy - 1)
2
۳ 0 ( 2)
( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) ( 1 + xy )
V× x �1; y �1 => xy �1 => xy - 1 �0
=> B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y)
1®
ĐỀ SỐ 41
=
( x - y ) - (x - y)
4 4
( do x + y = 1 � y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)
xy(y 2 + y + 1)(x 2 + x + 1)
( x - y ) ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) - (x - y)
= (0,25đ)
xy(x 2 y 2 + y 2 x + y 2 + yx 2 + xy + y + x 2 + x + 1)
( x - y ) (x
+ y 2 - 1)
2
= x 2 y 2 + xy(x + y) + x 2 + y 2 + xy + 2 �
xy �
(0,25đ)
� �
( x - y ) (x
- x + y 2 - y)
2
( x - y ) x(x - 1) + y(y - 1)
= x y + (x + y) + 2 �
xy �2 2 2 = xy(x 2 y 2 + 3)
(0,25đ)
� �
( x - y ) x(- y) + y( -x) ( x - y ) (-2xy)
= = (0,25đ)
xy(x y + 3)
2 2
xy(x 2 y 2 + 3)
Bài 4: (2 điểm) C
A
a) (1đ) E
DE có độ dài nhỏ nhất
GV: Nguyễn -Cường 109
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với D ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)
2 2 2
a 2 a a
= 2(x – ) + � (0,25đ)
4 2 2
a
Ta có DE nhỏ nhất � DE2 nhỏ nhất � x = (0,25đ)
2
a
� BD = AE = � D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)
2
b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
1 1 1 1
Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ)
2 2 2 2
1 2 AB AB 2
AB 2
1 AB 2 AB2 AB2
= – (AD – 2 .AD + )+ = – (AD – ) + � (0,25đ)
2 2 4 8 2 4 2 8
AB 2
AB 2
3
Vậy SBDEC = SABC – SADE � – = AB2 không đổi
2 8 8
(0,25đ)
3
Do đó min SBDEC = AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)
8
ĐỀ SỐ 42
Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:
Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy
s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n
xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch
mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ
GV: Nguyễn -Cường 110
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao
nhiªu ngµy.
5 5
2x
= 1 5 = 2x x =
2
(0,25 ®iÓm)
5 5
V× 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x=
2
(0,25 ®iÓm)
Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x 0; x 2
x(x + 2) - (x - 2) 2
- Gi¶i: = x2 + 2x – x +2 = 2;
x( x - 2) x( x - 2) 1®
x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = - 1
b) x2 – 9 < x2 + 4x + 7
x2 – x2 – 4x < 7 + 9 - 4x < 16 x> - 4 1®
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4
GV: Nguyễn -Cường 111
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy 0,5 ®
§iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1
VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy) 0,5 ®
- Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm)
- Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) 0,5 ®
Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13
57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 0,5 ®
x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n
xuÊt lµ 10 ngµy. 1®
Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500
(s¶n phÈm)
Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: 1®
Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung
∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) 1®
b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC
ta cã : BC = AB 2 + AC 2 = 15 2 + 20 2 = 625 = 25 (cm) 1®
AB AC BC 15 20 25
v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn = =
HB HA BA
hay = =
HB HA 15
20.05
AH = = 12 (cm)
25
15.15 1®
BH = 25
= 9 (cm)
HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)
BC 25
c) HM = BM – BH = 2
- BH =
2
- 9 = 3,5(cm)
1 1
SAHM = 2
AH . HM = 2 . 12. 3,5 = 21 (cm2) 1®
- VÏ ®óng h×nh: A
1®
B H M
C
ĐỀ SỐ 43
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
x - 17 x - 21 x + 1
b) + + =4
1990 1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm
1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị
vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số
chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực
HA' HB' HC'
tâm. a) Tính tổng + +
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
(AB + BC + CA) 2
c) Chứng minh rằng: 4.
AA'2 + BB'2 + CC'2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
yz xz xy
Do đó: A = ( x - y)( x - z) + ( y - x )( y - z) + (z - x )(z - y) ( 0,25điểm )
Ta có: abcd = k 2
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 với k, m N, 31 k m 100
abcd = k 2
(0,25điểm)
abcd + 1353 = m 2 (0,25điểm)
GV: Nguyễn -Cường 113
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
2 2
Do đó: m –k = 1353
(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
(0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 hoặc m–k = 33
m = 67 m = 37
hoặc
k = 56 k= 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng abcd = 3136
(0,25điểm)
Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
1
.HA'.BC
S HBC 2 HA'
a) S = = ;
1 AA'
ABC .AA'.BC
2
(0,25điểm)
S HC' S HB'
Tương tự: S
HAB
= ;
HAC
=
ABC CC' S ABC BB'
(0,25điểm)
HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC
+ + = + + =1 (0,25điểm)
AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; = (0,5điểm )
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
. . = . . = . =1
IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm )
BI .AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm )
c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
(0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
(0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD
(0,25điểm)
- D BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
AB2 + AD2 (BC+CD)2
(0,25điểm)
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2
4CC’2 (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 (AB+BC)2 – AC2
(0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2
GV: Nguyễn -Cường 114
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
(AB + BC + CA ) 2
4 (0,25điểm)
AA'2 + BB'2 + CC'2
(Đẳng thức xảy ra BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC
D ABC đều)
§Ò SỐ 44
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng.
C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm
hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i
E,c¾t BCt¹i F.
a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c
BOC.
1 1 2
b. Chøng minh: + =
AB CD EF
c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®êng th¼ng ®i
qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.
ac abc c
+ + 0,5
abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1
2
ac abc c abc + ac + 1
= 1 + ac + c + c + 1 + ac + ac + c + 1 = abc + ac + 1 = 1 0,5
x - 214 x - 132 x - 54
a, (2®iÓm) 86
+
84
+
82
=6
x - 214 x - 132 x - 54
( - 1) + ( - 2) + ( - 3) = 0 1,0
86 84 82
x - 300 x - 300 x - 300
+ + =0 0,5
86 84 82
1 1 1
(x-300) + + = 0 x-300=0 x=300 VËy S =
86 84 82 0,5
300
b, (2®iÓm) 2x(8x-1) 2(4x-1)=9
(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) 0,5
C©u = 72 0,5
3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72
(5®iÓ k2=72,25 k=± 8,5 0,5
m) Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 (2x-1)
1 -1 0,5
(4x+1)=0; x= 2 ; x = 4
Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 (8x-
1)2+8=0 v« nghiÖm.
1 - 1
VËy S = 2 ,
4
0,5
c, (1®iÓm) x -y +2x-4y-10 = 0 (x2+2x+1)-
2 2
(y2+4y+4)-7=0 0,5
(x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 V×
x,y nguyªn d¬ng
Nªn x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 vµ x-y-1=1
x=3 ; y=1
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt
(x,y)=(3;1)
0,5
EO AO
b, (2®iÓm) V× EO//DC DC
=
AC
MÆt kh¸c AB//DC 1,0
C©u
AB AO AB AO AB AO EO AB
4 = = = = 1,0
DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC
(5®iÓ EF AB AB + DC 2 1 1 2
m) = = + =
2 DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF
c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N
DF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN
lµ I th× SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN.
ĐỀ THI SỐ 45
a) Rót gän P.
b) Víi x > 0 th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo?
c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 3: (1.5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh.
a) x3 – 3x2 + 4 = 0
1 1 1 1 31
b) 1 + .1 +
1 .3
1 +
2.4
...1 +
3 .5
=
x ( x + 2) 16
x+3 x 2 + 9 - 6x
= : 0.25®
x 2 + 9 ( x - 3) ( x 2 + 9 )
x + 3 ( x - 3) ( x 2 + 9 )
= . 0.25®
x2 + 9 ( x - 3) 2
x+3
= 0.25®
x -3
C©u b: (0.75®)
x+3
P= Px - 3P = x + 3 0.25®
x -3
GV: Nguyễn -Cường 119
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
(P – 1)x = 3(P + 1)
3( P + 1)
x=
P -1
3( P + 1) P +1
Ta cã: x > 0 x = 0 0
P -1 P -1
P + 1 0
P -1 0 P 1
P +1 0 P 1
P -1 0
VËy kh«ng nhËn gi¸ trÞ tõ -1 ®Õn 1. 0.25®
C©u c: 0.75® §KX§: x 3
x+3 x -3+ 6 6
P= = = 1+ 0.25®
x -3 x -3 x -3
x =1
x = 2
H
M
O B
A
C©u a: (1®)
Chøng minh: D B0H D C0A (g.g) 0.5®
0B 0H 0A.0B = 0C.0H 0.25®
=
0C 0A
C©u b: (1.25®)
0B 0H
0C
=
0A
(suy ra tõ D B0H D C0A)
0 A 0H
= 0.25®
0C 0B
ĐỀ THI SỐ 46
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2+ x 4x2 2- x x 2 - 3x
A=( - 2 - ):( )
2- x x -4 2+ x 2 x 2 - x3
d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
e) Tìm giá trị của x để A > 0?
f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
x y z a b c x2 y 2 z 2
d) Cho + + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
a b c x y z a b c
2 + x 4x2 2- x x 2 - 3x (2 + x) 2 + 4 x 2 - (2 - x ) 2 x 2 (2 - x)
A=( - 2 - ):( 2 ) = . = 1,0
2 - x x - 4 2 + x 2 x - x3 (2 - x)(2 + x) x ( x - 3)
4 x2 + 8x x(2 - x)
. = 0,5
(2 - x)(2 + x) x - 3
4 x( x + 2) x (2 - x) 4x2
= = 0,25
(2 - x)(2 + x )( x - 3) x - 3
4x 2
Vậy với x �0, x ��2, x �3 thì A = . 0,25
x -3
b 1,0
2
4x
Với x �0, x �3, x ��2 : A 0 � 0 0,25
x -3
� x-3 0 0,25
� x 3(TMDKXD) 0,25
GV: Nguyễn -Cường 123
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25
c 1,0
x-7 = 4
�
x-7 = 4 � � 0,5
x - 7 = -4
�
�x = 11(TMDKXD)
�� 0,25
�x = 3( KTMDKXD)
121
Với x = 11 thì A = 0,25
2
Bài 3 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
� (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0
� 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5
Do : ( x - 1) 2 �0;( y - 3) 2 �0;( z + 1) 2 �0 0,5
Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25
b 2,5
a b c ayz+bxz+cxy
Từ : + + =0� =0 0,5
x y z xyz
� ayz + bxz + cxy = 0 0,25
x y z x y z
Ta có : + + = 1 � ( + + )2 = 1 0,5
a b c a b c
2 2 2
x y z xy xz yz
� 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1 0,5
a b c ab ac bc
x 2
y 2
z 2
cxy + bxz + ayz
� 2 + 2 + 2 +2 =1 0,5
a b c abc
x2 y 2 z 2
� 2 + 2 + 2 = 1(dfcm) 0,25
a b c
Bài 4 6,0
H
B C
0,25
F
O
E
A
K
D
a 2,0
Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5
GV: Nguyễn -Cường 124
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Chứng minh : DBEO = DDFO( g - c - g ) 0,5
=> BE = DF 0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25
b 2,0
Ta có: �
ABC = � � = KDC
ADC � HBC � 0,5
Chứng minh : DCBH : DCDK ( g - g ) 1,0
CH CK
� = � CH .CD = CK .CB 0,5
CB CD
b, 1,75
Chứng minh : DAFD : DAKC ( g - g ) 0,25
AF AK
� = � AD. AK = AF . AC 0,25
AD AC
Chứng minh : DCFD : DAHC ( g - g ) 0,25
CF AH
� = 0,25
CD AC
CF AH
Mà : CD = AB � = � AB. AH = CF .AC 0,5
AB AC
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25
ĐỀ THI SỐ 47
1 1 1
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0.
x y z
yz xz xy
Tính giá trị của biểu thức: A= 2 + 2 + 2
x + 2 yz y + 2 xz z + 2xy
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm
1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị
vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số
chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực
HA' HB' HC'
tâm. a) Tính tổng + +
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
(AB + BC + CA ) 2
c) Chứng minh rằng: 4.
AA'2 + BB'2 + CC'2
yz xz xy
Do đó: A = ( x - y)( x - z) + ( y - x )( y - z) + (z - x )(z - y) ( 0,25điểm )
Ta có: abcd = k 2
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 với k, m N, 31 k m 100
abcd = k 2
abcd + 1353 = m 2 (0,25điểm) (0,25điểm)
Do đó: m2–k2 = 1353
(m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
(0,25điểm)
m+k = 123hoặc m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 hoặc m = 37
k = 56 k= 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng abcd = 3136
(0,25điểm)
Bài 4 (4 điểm):
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu
đó.
GV: Nguyễn -Cường 127
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
ĐỀ THI SỐ 48
Bµi 1: (6 ®iÓm)
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a, 2(x + 5) - x2 - 5x = 0
1 2x - 3
b, +2=
x -1 1- x
c, |x - 4| + |x - 9| = 5
Bµi 2: (4 ®iÓm)
x -1 x +1
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh x + - (m - 2) x víi m lµ h»ng sè.
m m
Bµi 3: (3 ®iÓm)
Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét
trong c¸c ®êng cao cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®êng cao thø
hai.
Bµi 4: (3 ®iÓm)
Mét vßi níc ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã níc. Cïng lóc ®ã mét vßi
4
níc kh¸c ch¶y tõ bÓ ra. Mçi giê lîng níc ch¶y ra b»ng lîng níc ch¶y
5
1
vµo. Sau 5 giê níc trong bÓ ®¹t tíi dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ
8
kh«ng cã níc mµ chØ më vßi ch¶y vµo th× bao l©u bÓ ®Çy?
Bµi 5: (4 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã A � = 2B� . Gäi BC = a, AC = b, AB = c. Chøng minh
2 2
hÖ thøc a = b + bc.
ĐÁP ÁN
Bµi S¬ lîc lêi gi¶i §iÓ
m
Bµi 1 a, §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. 1
(6 Gi¶i ®îc x = -5 hoÆc x = 2 1
®iÓm b, §KX§: x �1. 0,5
) Víi x �1 ta cã
1 3 - 2x 1
+2= � 1 + 2( x - 1) = 3 - 2 x � 4 x = 4 � x = 1
x -1 x -1 0,5
Ta thÊy x = 1 kh«ng tháa m·n §KX§. VËy ph¬ng
tr×nh v« nghiÖm.
�x - 4 v�
i x �4
c, NhËn xÐt |x - 4| = � vµ |x - 9| =
�4 - x v�
i x <4 0,5
�x - 9 v�
i x �9
� 0,5
9 - x v�
� i x <9
- Víi x < 4 ta cã |x - 4| = 4 - x; |x - 9| = 9 - x nªn ph-
¬ng tr×nh cã d¹ng 0,5
4 - x + 9 - x = 5 <=> -2x = -8 <=> x = 4 (kh«ng
tháa m·n) 0,5
- Víi 4 � x < 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = 9 - x nªn
GV: Nguyễn -Cường 128
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
ph¬ng tr×nh cã d¹ng x - 4 + 9 - x = 5 <=> 5 = 5
(lu«n ®óng)
- Víi x � 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nªn ph-
¬ng tr×nh cã d¹ng
x - 4 + x - 9 = 5 <=> 2x = 18 <=> x =9 (tháa
m·n)
VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ S = x |4 �x �9
Bµi 2 x -1 x +1 2
x+ - (m - 2) x � ( m - 1) x (1)
(4 m m m 1
®iÓm) - NÕu m < 1 vµ m � 0 th× m - 1 < 0. Khi ®ã (1)
2 0,5
�x
m(m - 1)
2 0,5
- NÕu m > 1 th× m - 1 > 0. Khi ®ã (1) � x
m(m - 1)
- NÕu m = 1 th× m - 1 = 0. Khi ®ã (1) � 0x < 2 0,5
(lu«n ®óng víi mäi x).
KÕt luËn:
- Víi m < 1 vµ m � 0 th× tËp nghiÖm lµ S = 0,5
� 2 �
�x | x �
� m( m - 1) 0,25
- Víi m = 0 th× biÓu thøc v« nghÜa.
� 2 � 0,5
- Víi m > 1 th× tËp nghiÖm lµ S = �x | x � 0,25
� m(m - 1)
- Víi m = 1 th× S = R
Bµi 3 - VÏ h×nh:
(3 A 8cm B 0,5
®iÓm
)
6cm
D H C
Bµi 4 Gäi thêi gian vßi níc ch¶y ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0 0,5
(3 1
Khi ®ã 1 giê vßi ®ã ch¶y ®îc bÓ
®iÓm x
) 4 0,5
1 giê vßi kh¸c ch¶y ra lîng níc b»ng bÓ.
5x
� 4 � 1
1 0,5
Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh � - �.5 =
�x 5 x � 8
Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m ®îc x = 8 (TM§K x>0) 1
VËy thêi gian ®Ó vßi ch¶y ®Çy bÓ lµ 8 giê. 0,5
Bµi 5 - VÏ h×nh ®óng 0,5
2 2 2
(4 E HÖ thøc a = b + bc <=> a = 0,25 b (b
®iÓm + c)
)
Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm0,25
E
c sao cho AE = c, suy ra CE = b + c.
� =E
Khi ®ã ABE � (do tam gi¸c ABE
A c
B c©n t¹i A) 0,5
� = ABE
BAC � +E � (gãc ngoµi tam gi¸c)
� = 2E
nªn A �. 0,5
b Theo gi¶ thiÕt A� = 2B � = ABC
� . VËy E �
a 1
Chøng minh ®îc D BCE D ACB
0,25
(g.g)
C
BC CE
suy ra = � BC 2 = AC.CE 0,25
AC BC
hay a2 = b (b + c)
ĐỀ THI SỐ 49
x- y 3x + y y - x x- y 3x + y x - y 1
A= - 2 g = + g
xy + y 2
x - xy x + y y ( x + y ) x ( x - y ) x + y
x- y 3x + y ( x - y ) x + ( 3x + y ) y 1
= + =
y ( x + y) x ( x + y) xy ( x + y )
1
( x + y) = ( x + y)
2
x 2 - xy + 3xy + y 2
= =
xy ( x + y ) xy ( x + y ) xy
2
(3 đ) 3x
+
x
+
3x
=0
x - 2 5 - x ( x - 2 ) ( x - 5)
* Tập xác định: x �2; x �5 0,5
1
GV: Nguyễn -Cường 131
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
3x x 3x 3x x 3x
+ + = 0� - + =0
x - 2 5- x ( x - 2) ( x - 5) x - 2 x - 5 ( x - 2) ( x - 5)
� 3x( x - 5) - x( x - 2) + 3x = 0 � 3x2 - 15x - x2 + 2x + 3x = 0
0,5
x = 0�TXÑ
�
� 2x2 - 10x = 0 � 2x( x - 5) = 0 � �
x - 5 = 0 � x = 5�TXÑ
�
Vaäy S = 0
3
(3 ñ) A = x3 - 3x 2 - 11x + 8 = x 2 + 2 x - 1 + 3 1
x-5 x -5
A �Z �
3
�Z � x - 5 = �1; �3
1
x -5
*x - 5 = �1 � x � 6; 4 0,5
*x - 5 = �3 � x � 8; 2 0,5
x � 2; 4;6;8
4
(3 Goïi soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 7 laø x (hoïc 0,25
ñ) sinh) (x > 0) 0,25
soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 8 laø 270 - x (hoïc
sinh)
1
Ta coù phöông trình:
3 60 3 3 1
4
.x =
100
( 270 - x) � .x = ( 270 - x)
4 5
3 810 - 3x 0,25
� .x = � 15x = 3240 - 12x � 27x = 3240
4 5 0,25
� x = 120 (Nhaä n)
Vaäy soá hoïc sinh cuûa khoái 7 laø 120 hoïc sinh, vaø
khoái 8 laø 270 – 120 = 150 hoïc sinh.
5
(4
ñ)
a/
a/ Keû BH DC
DH 2 = BD2 - BH 2 = 152 - 122 = 92
� DH = 9( m)
Xeùt tam giaùc BDH vaø tam giaùc EDB 1
� = DBE
BHD � = 1v�
� 1
� �� DBDH # DEDB
BDE chung �
BD DH BD2
� = � DE = = 25( m)
DE BD DH 1
b/
GV: Nguyễn -Cường 133
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
1
SABCD =
2
( AB + DC ) BH
1
= � DE � BH = �
1
12 = 150( m)
25�
0,5
2 2
0,5