50 de Thi HSG Toan 8

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
§Ò 1
Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:
a) 85 + 211 chia hÕt cho 17
b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44
Bµi 2:
x2 + x - 6
a) Rót gän biÓu thøc:
x 3 - 4 x 2 - 18 x + 9
1 1 1 yz xz xy
b) Cho x + y + z = 0( x, y, z �0) . TÝnh 2 + 2 + 2
x y z
Bµi 3:(3®)
Cho tam gi¸c ABC . LÊy çc ®iÓm D,E theo thø tù thuéc tia ®èi
cña çc tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña
BE vµ CD .Qua O vÏ ®êng th¼ng song song víi tia ph©n gi¸c cña
gãc A, ®êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh r»ng AB = CK.
Bµi 4 (1®).
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã):
M = 4x2 + 4x + 5
§¸p ¸n
Bµi 1 : (3®)
a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 +
1)=211.17
Râ rµng kÕt qu¶ trªn chia hÕt cho 17.
b) (1,5®) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc:
an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - ...- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ.
Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 - 1917.69 +...+ 6918)
= 88(1918 - 1917.69 + ...+ 6918) chia hÕt cho 44.
Bµi 2 : (3®)
a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – 6 = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3)
= (x+3)(x-2).
x – 4x – 18 x + 9 = x – 7x + 3x2 - 21x + 3x + 9
3 2 3 2
=(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9)

=x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3)
=(x+3)(x2 –7x +3)
x2 + x - 6 (x+3)(x-2) ( x - 2)
=> = (x+3)(x 2 -7x +3) = x 2 -7x +3 Víi ®iÒu kiÖn x � -1 ; x2 -7x
x - 4 x - 18 x + 9
3 2
+ 3 �0
b) (1,5®) V×
GV: Nguyễn -Cường 1
1 1 1 1 �1 1 �
+ + = 0 � = -� + �
x y z z �x y �
3
1 �1 1 � 1 �1 1 1 1 1 1 �
� 3 = - � + �� 3 = - � 3 + 3. 2 . + 3 . 2 + 3 �
z �x y � z �x x y x y y �
1 1 1 1 1 �1 1 � 1 1 1 1
� 3
+ 3 + 3 = -3 . . � + �� 3 + 3 + 3 = 3.
x y z x y �x y � x y z xyz
1 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy
Do ®ã : xyz( 3 + 3 + 3 )= 3
� 3 + 3 + 3 =3� 2 + 2 + 2 =3
x y z x y z x y z
Bµi 3 : (3®) A
Chøng minh :
VÏ h×nh b×nh hµnh K
ABMC ta cã AB = CM .
§Ó chøng minh AB = KC ta
B C
cÇn chøng minh KC = CM.
ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE
cã BC = CE (gt) => tam gi¸c
�=E
CBE c©n t¹i C => B � v×
1
gãc C1 lµ gãc ngoµi cña tam

D E
gi¸c BCE =>
�=B
C �+ E �= 1C
��B � mµ AC //
1 1 1 1
2 M
BM (ta vÏ) =>
� = CBM
C � �B� = 1 CBM
� � . Hoµn toµn t-
nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña CBM
1 1
2
¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCM . Trong tam gi¸c
BCM, OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña
gãc CMB
� , BMC
Mµ : BAC � lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO //
víi tia ph©n gi¸c cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn
song song víi OK => K,O,M th¼ng hµng.
� = 1 BMC
Ta l¹i cã : M � (cmt ); � � �M
A=M � =�A2 mµ � �1 (hai gãc ®ång vÞ)
A2 = K
1 1
2
� =M
=> K � � DCKM c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB =
1 1
CK (®pcm)
Bµi 4: (1®)

Ta cã M= 4x + 4x + 5 =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4
2
= (2x + 1)2 + 4.
V× (2x + 1)2 �0 =>(2x + 1)2 + 4 � 4  M � 4
1
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi x = -
2
-------------------------------------------------
®Ò 2
C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè: a1a 2 .. . a 8 tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a
vµ b sau:
a) a1a 2a 3 = ( a 7 a 8 ) ( )
2 3
b) a 4a 5a 6a 7 a 8 = a 7 a 8
C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( xm + xn + 1 ) chia hÕt cho x2 + x + 1.

khi vµ chØ khi ( mn – 2)  3.
¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x7 + x2 + 1.
C©u 3 . Gi¶i ph¬ng tr×nh:
 1 1 1 

 1.2.3 + 2.3.4 + ... + 2005.2006.2007 

  x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . +
2006.2007).
C©u 4 . Cho h×nh thang ABCD (®¸y lín CD). Gäi O lµ giao ®iÓm
cña AC vµ BD; çc ®êng kÎ tõ A vµ B lÇn lît song song víi BC vµ AD
c¾t çc ®êng chÐo BD vµ AC t¬ng øng ë F vµ E. Chøng minh:
EF // AB
b). AB2 = EF.CD.
c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña çc tam gi¸c
OAB; OCD; OAD Vµ OBC
Chøng minh: S1 . S2 = S3 . S4 .
C©u 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x 2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y +
45.
§¸p ¸n
C©u 1 . Ta cã a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3
(2).
Tõ (1) vµ (2) => 22  a7 a8  31
=> ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8  ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600.
 ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 4 . 25 . a4a5a6
do ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn
cã 3 kh¶ n¨ng:
a) . a7a8 = 24 => a1a2a3 . . . a8 lµ sè 57613824.
b) . a7a8 – 1 = 24 => a7a8 = 25 => sè ®ã lµ 62515625

c) . a7a8 = 26 => kh«ng tho¶ m·n
c©u 2 . §Æt m = 3k + r víi 0r 2 n = 3t + s víi

0 s 2
 xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr

+ xs + 1.
= xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1
ta thÊy: ( x 3k – 1)  ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 )  ( x2 + x +
1)
vËy: ( xm + xn + 1)  ( x2 + x + 1)
<=> ( xr + xs + 1)  ( x2 + x + 1) víi 0r;s 2
<=> r = 2 vµ s =1 => m = 3k + 2 vµ n =
3t + 1
r = 1 vµ s = 2 m = 3k + 1 vµ n =
3t + 2
<=> mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3(
3kt + k + 2t)
mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t =
3( 3kt + 2k + t)
=> (mn – 2)  3 §iÒu ph¶i chøng minh.
¸p dông: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12  3.
 ( x7 + x2 + 1)  ( x2 + x + 1)
 ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + 1
C©u 3 . Gi¶i PT:
 1 1 1 
 + .+  +  x = (1.2 + 2.3 +  + 2006.2007)
 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 
Nh©n 2 vÕ víi 6 ta ®îc:
 2 2 2 
3 + ++  x = 2 (1.2( 3 - 0) + 2.3( 4 - 1) +  + 2006.2007( 2008 - 2005)
 1`.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 
 1 1 1 1 1 
3 - + - +- x
 1.2 2.3 2.3 3 .4 2006.2007 
= 2 (1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 +  + 2006.2007.2008 - 2005.2006.2007)
 1 1  1003.1004.669
 3 - x = 2.2006.2007.2008  x =
 1.2 2006.2007  5.100.651
OE OA
C©u 4 .a) Do AE// BC => = A B
OB OC
O
K
E H
F
OF OB
BF// AD =
OA OD
MÆT kh¸c AB// CD ta l¹i cã
D A1B1 C
OA OB OE OF
= nªn = => EF // AB
OC OD OB OA
b). ABCA 1 vµ ABB1D lµ h×nh b×nh hµnh => A 1C = DB1 =
AB
EF AB
V× EF // AB // CD nªn = => AB 2 = EF.CD.
AB DC
1 1 1 1
c) Ta cã: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 =
2 2 2 2
OK.OD.
1 1
AH .OB AH .OD S1 S
S1 2 AH S3
=> = = ; = 2 = AH .CK => = 3 => S1.S2
S4 1 CK S2 1 S4 S2
CK .OB CK .OD
2 2
= S3.S4
C©u 5. A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45
= x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ 4
= ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + 4  4
Gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y
=1
x- y- 6 = 0 x=7
---------------------------------------------
®Ò 3
C©u 1: a. Rót gän biÓu thøc:
A= (2+1)(22+1)(24+1).......( 2256 + 1) + 1
b. NÕu x2=y2 + z2
Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2
x y z a b c
C©u 2: a. Cho + + =0 (1) vµ + + =2 (2)
a b c x y z
x2 y 2 z 2
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= 2 + 2 + 2
a b c
ab bc ca
b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B = + 2 2 2+ 2 2 2
a +b -c b +c -a c +a -b
2 2 2
C©u 3: T×m x , biÕt :

x·-1 x - 10 x - 19
+ + =3 (1)
2006 1997 1988
C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M  ®¬ng chÐo AC. Gäi E,F theo
thø tù lµ h×nh chiÕu cña M trªn AD, CD. Chøng minh r»ng:
a.BM  EF
b. Çc ®êng th¼ng BM, EF, CE ®ång quy.
C©u 5: Cho a,b, c, lµ çc sè d¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
1 1 1
P= (a+ b+ c) ( a + b + c ).
§¸p ¸n
C©u 1: a. ( 1,25 ®iÓm) Ta cã:
A= (2-1) (2+1) (22+1) ........ + 1
= (22-1)(22+1) ......... (2256+1)
= (24-1) (24+ 1) ......... (2256+1)
................
= [(2256)2 –1] + 1
= 2512
b, . ( 1 ®iÓm) Ta cã:
(5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y ) 2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –
16 z2 (*)
V× x2=y2 + z2  (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2
C©u 2: . ( 1,25 ®iÓm) a. Tõ (1)  bcx +acy + abz =0
x2 y 2 z 2  ab ac bc  x2 y 2 z 2  abz + acy + bcx 
Tõ (2)  a 2
+
b 2
+
c 2
+ 2
 + + 
 = 0  2
+ 2 + 2 = 4 - 2  = 4
 xy xz yz  a b c  xyz 
b. . ( 1,25 ®iÓm) Tõ a + b + c = 0  a + b = - c  a2 + b2 –c2 =

- 2ab
T¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac
ab bc ca 3
B= + +
- 2ab - 2bc - 2ca
=-
2
C©u 3: . ( 1,25 ®iÓm)
x·-2007 x - 2007 x - 2007
(1)  2006
+
1997
+
1988
=0
 x= 2007 A
C©u 4: a. ( 1,25 ®iÓm) Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM; B
H lµ giao ®iÓm cña EF vµ BM
 D EMB =DBKM ( gcg)
 Gãc MFE =KMB  BH  EF E M
K
b. ( 1,25 ®iÓm) D ADF = DBAE (cgc) AF  BE
H
T¬ng tù: CE  BF  BM; AF; CE
lµ çc ®êng cao cña DBEF  ®pcm

C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã: D F C
a a b b c c a b a c  b c
P=1+ + + +1+ + + +1 = 3 +  +  +  +  +  + 
b c a c a b b a c a c b
x y
MÆt kh¸c + 2
y x víi mäi x, y d¬ng.  P  3+2+2+2 =9
VËy P min = 9 khi a=b=c.
---------------------------------------
®Ò 4
Bµi 1 (3®):
1) Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x2 + 7x + 12
b) a10 + a5 + 1
x + 2 x + 4 x +6 x +8
2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: + = +
98 96 94 92
Bµi 2 (2®):
2 x 2 + 3x + 3
T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc P = cã gi¸ trÞ
2x -1
nguyªn
Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC )
1) KÎ ®êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
a) DABM ®ång d¹ng DACN
b) gãc AMN b»ng gãc ABC
2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung
®iÓm cña BC; F lµ trung ®iÓm cña AK.
Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc
BAC.
Bµi 4 (1®):
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
x 2 - 2 x + 2007
A= , ( x kh¸c 0)
2007 x 2
§¸p ¸n
Bµi 1 (3®):
1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®)
b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5
) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) =
(a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1 ) (1®)
2)
x+2 x+4 x+6 x+8
+ = +
98 96 94 92

x+2 x+4 x+6 x +8
( +1) + ( 96 + 1) = ( 94 + 1) + ( + 1) (0,5®)
98 92
1 1 1 1
 ( x + 100 )( 98 + 96 - 94 - 92 ) = 0 (0,25®)
1 1 1 1
V×: + - -  0
98 96 94 92
Do ®ã : x + 100 = 0  x = -100
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = -100 (0,25®)
Bµi 2 (2®):
2 x 2 + 3 x + 3 (2 x 2 - x) + (4 x - 2) + 5 5
P= = = x+2+ (0,5®)
2x - 1 2x - 1 2x - 1
x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn
5
®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th× 2x - 1
ph¶i nguyªn hay 2x - 1 lµ íc
nguyªn cña 5 (0,5®)
=> * 2x - 1 = 1 => x = 1
* 2x - 1 = -1 => x = 0
* 2x - 1 = 5 => x = 3
* 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®)
VËy x = 1;0;3;-2 th× P cã gi¸ trÞ
nguyªn. Khi ®ã çc gi¸ trÞ nguyªn cña
P lµ:
x = 1 => P = 8
x = 0 => P = -3
x = 3 => P = 6
x = -2 => P = -1 (0,5®)
Bµi 3 (4®):
1) a) chøng minh D ABM ®ång d¹ng D
CAN (1®)
AB AM
b) Tõ c©u a suy ra: =  D AMN ®ång d¹ng D ABC
AC AN
  AMN =  ABC ( hai gãc t¬ng øng) (1,25®)
2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H (0,25®)
 BAH =  CHA ( so le trong, AB // CH)
mµ  CAH =  BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®)
Suy ra:
 CHA =  CAH nªn D CAH c©n t¹i C
do ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5®)
BK = CA
VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm
KH
Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®êng trung b×nh cña tam
gi¸c KHA. Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm)(0,5®)
Bµi 4 (1®):
2007 x 2 - 2 x.2007 + 2007 2 x 2 - 2 x.2007 + 2007 2 2006 x 2
A= = +
2007 x 2 2007 x 2 2007 x 2
( x - 2007) 2 2006 2006
= + 
2007 x 2 2007 2007
2006
A min = 2007
khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®)
------------------------------------
®Ò 5
C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A =
 x2 6 1   10 - x 2 
 3 + +  :  x - 2 + 
 x - 4 x 6 - 3x x + 2   x+2 
a, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh .
b, Rót gän biÓu thøc A .
c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O
x 2 - 4x + 1 x 2 - 5x + 1
C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : +2=-
x +1 2x + 1
C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®êng
th¼ng vu«ng gãc víi nhau lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ
S.
1, Chøng minh D AQR vµ D APS lµ çc tam gi¸c c©n.
2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh
tø gi¸c AMHN lµ h×nh ch÷ nhËt.
3, Chøng minh P lµ trùc t©m D SQR.
4, MN lµ trung trùc cña AC.
5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng.
C©u 4 ( 1 ®iÓm):
2 x 2 + 3x + 3
Cho biÓu thøc A = 2x + 1
. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A
nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u 5 ( 1 ®iÓm)
a, Chøng minh r»ng x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y ) - 3xy.( x + y ) + z 3
3
1 1 1 yz xz xy
b, Cho + + = 0. TÝnh A= + +
x y z x2 y2 z 2

§¸p ¸n
C©u 1
a, x # 2 , x # -2 , x # 0
 x 2 1  6
b, A=  + + :
 x -4 2- x x+ 2 x+ 2
2
x - 2( x + 2 ) + x - 2 6
= ( x - 2)( x + 2) : x + 2
-6 x+2 1
= . =
( x - 2)( x + 2) 6 2-x
1
c, §Ó A > 0 th× 2- x
 0  2-x  0  x  2
1
C©u 2 . §KX§ : x  -1; x  -
2
x 2 - 4x + 1 x 2 - 5x + 1 x 2 - 3x + 2 x 2 - 3 x + 2
PT  +1+ +1 = 0  + =0
x +1 2x + 1 x +1 2x + 1
(
 x 2 - 3x + 2 )
 1
+
1 
( )
 = 0  x - 3x + 2 ( 3x + 2) = 0  ( x - 1)( x - 2 )( 3x + 2) = 0
2
 x + 1 2x + 1 
 x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3
C¶ 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ .
 2
VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S = 1;2;- 
 3
C©u 3:
1, D ADQ = D ABR v× chóng lµ hai
tam gi¸c vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh
vu«ng gãc) vµ DA=BD ( c¹nh h×nh
vu«ng). Suy ra AQ=AR, nªn D AQR lµ
tam gi¸c vu«ng c©n. Chøng minh tîng
tù ta cã: D ARP= D ADS
do ®ã AP = AS vµ D APS lµ tam gi¸c
c©n t¹i A.
2, AM vµ AN lµ ®êng trung tuyÕn cña
tam gi¸c vu«ng c©n AQR vµ APS nªn AN  SP vµ AM  RQ.
MÆt kh¸c : PAN = PAM = 450 nªn gãc MAN vu«ng. VËy tø gi¸c
AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt.
3, Theo gi¶ thiÕt: QA  RS, RC  SQ nªn QA vµ RC lµ hai ®êng cao
cña D SQR. VËy P lµ trùc t©m cña D SQR.
4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM =
1
2
QR.

1
Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM = 2
QR.
 MA = MC, nghÜa lµ M çch ®Òu A vµ C.
Chøng minh t¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c
vu«ng SCP, ta cã NA= NC, nghÜa lµ N çch ®Òu A vµ C. Hay MN lµ
trungtrùc cña AC
5, V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn B vµ D còng çch ®Òu A vµ C. Nãi
çch kh¸c, bèn ®iÓm M, N, B, D cïng çch ®Òu A vµ C nªn chóng
ph¶i n»m trªn ®êng trung trùc cña AC, nghÜa lµ chóng th¼ng
hµng.
C©u 4 . Ta cã §KX§ x  -1/2
2 2
A = (x + 1) + 2x + 1 v× x  Z nªn ®Ó A nguyªn th× 2x + 1
nguyªn
Hay 2x+1 lµ íc cña 2 . VËy :
2x+1 = 2  x=1/2 ( lo¹i )
2x+1 = 1  x = 0
2x+1 = -1  x = -1
2x +1 = -2  x = -3/2 ( lo¹i )
KL : Víi x = 0 , x= -1 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u 5. a, , Chøng minh x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y ) - 3xy.( x + y ) + z 3
3
BiÕn ®æi vÕ ph¶i ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

b, Ta cã a + b + c = 0 th×
a 3 + b 3 + c 3 = ( a + b ) - 3ab( a + b ) + c 3 = -c 3 - 3ab( - c ) + c 3 = 3abc
3
(v× a + b + c = 0 nªn a + b = -c )
1 1 1 1 1 1 3
Theo gi¶ thiÕt + + = 0.  3
+ 3 + 3 = .
x y z x y z xyz
yz xz xy xyz xyz xyz  1 1 1  3
khi ®ã A= 2
+ 2 + 2 = 3 + 3 + 3 = xyz 3 + 3 + 3  = xyz  =3
x y z x y z x y z  xyz
=====================
®Ò 6
Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc :
 x2 -1 1   4 1 - x4 
M=  4 - 2   x + 
 x - x + 1 x + 1 1+ x2
2
 
a) Rót gän
b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M .
Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn
4 x 3 - 3 x 2 + 2 x - 83
A=
x -3

Bµi 3 : 2 ®iÓm
Gi¶i ph¬ng tr×nh :
a) x2 - 2005x - 2006 = 0
b) x - 2 + x - 3 + 2 x - 8 = 9
Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh
BC . Qua E kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn
AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K . §êng th¼ng qua E song song víi
AB c¾t AI ë G . Chøng minh :
a) AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi .
b) D AEF ~ D CAF vµ AF2 = FK.FC
c) Khi E thay ®æi trªn BC chøng minh : EK = BE + DK vµ chu vi
tam gi¸c EKC kh«ng ®æi .
Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120
chia hÕt cho 24
§¸p ¸n
Bµi 1 :
( x 2 - 1)( x 2 + 1) - x 4 + x 2 - 1 4 x 4 -1 - x 4 + x 2 -1 x 2 - 2
a) M = ( x +1-x2) = = 2
( x - x + 1)( x + 1)
4 2 2
x 2 +1 x +1
3 3
b) BiÕn ®æi : M = 1 - . M bÐ nhÊt khi lín nhÊt  x2+1
x +1
2
x +1
2
bÐ nhÊt  x2 = 0  x = 0  M bÐ nhÊt = -2
4 4
Bµi 2 : BiÕn ®æi A = 4x2+9x+ 29 + x - 3  A  Z   Z  x-
x-3
3 lµ íc cña 4
 x-3 =  1 ;  2 ;  4  x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7
Bµi 3 : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = 0
 (x-2006)(x+1) = 0  x1 = -1 ; x2 = 2006
c) XÐt pt víi 4 kho¶ng sau :
x< 2 ; 2  x < 3 ; 3  x < 4 ; x  4
Råi suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 1 ; x = 5,5
Bµi 4 :
a) D ABE = D ADF (c.g.c)  AE = AF
D AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI  EF .
D IEG = D IEK (g.c.g)  IG = IK .
Tø gi¸c EGFK cã 2 ®êng chÐo c¾t
nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®êng vµ
vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi .
b) Ta cã :

KAF = ACF = 450 , gãc F chung
AF KF
D AKI ~ D CAF (g.g)  =  AF 2 = KF .CF
CF AF
d) Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi  KE = KF = KD+ DF = KD + BE
Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE =
2BC ( Kh«ng ®æi) .
Bµi 5 : BiÕn ®æi :
B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120
Suy ra B  24
================================
®Ò 7
C©u 1: ( 2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc:
 6x + 1 6 x - 1  x 2 - 36
A=  + . ( Víi x  0 ; x   6 )
 x - 6 x x + 6 x  12 x + 12
2 2 2
1) Rót gän biÓu thøc A

1
2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x= 9+4 5
C©u 2: ( 1 ®iÓm )
a) Chøng minh ®¼ng thøc: x2+y2+1  x.y + x + y ( víi mäi x ;y)
b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:
x-2
A=
x - x2 - x - 2
3
C©u 3: ( 4 ®iÓm )
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M
lµ ®iÓm ®èi xøng cña C qua P .
a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi?
b) Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB .
Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng.
c)Chøng minh r»ng tØ sè çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng
phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.
PD 9
d) Gi¶ sö CP  DB vµ CP = 2,4 cm,; =
PB 16
TÝnh çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
C©u 4 ( 2 ®iÓm )
Cho hai bÊt ph¬ng tr×nh:
3mx-2m > x+1 (1)
m-2x < 0 (2)
T×m m ®Ó hai bÊt ph¬ng tr×nh trªn cã cïng mét tËp nghiÖm.
§¸p ¸n
C©u 1 ( 2 ®iÓm )
1) ( 1 ®iÓm ) §K: x  0; x   6 )
 6x + 1 6 x - 1  ( x + 6)( x - 6) 6 x 2 + 36 x + x + 6 + 6 x 2 - 36 x - x + 6 1
A=  x( x - 6) + x( x + 6) . 12( x 2 + 1) = = . =
  x 12( x 2 + 1)
12( x 2 + 1) 1 1
= . =
x 12( x + 1) x
2
1 1
= = 9+4 5
2) A= x 1
9+4 5
C©u2: ( 2 ®iÓm )
1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1  x. y+x+y  x2+y2+1 - x. y-x-y  0
 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0  ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-
2y)  0
 (x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2 0
BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng.
2) (2 ®iÓm )
(1)  3mx-x>1+2m  (3m-1)x > 1+2m. (*)
+ XÐt 3m-1 =0 → m=1/3.
2
(*)  0x> 1+ 3  x  .
+ XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3.
1 + 2m
(*)  x> 3m - 1
+ XÐt 3m-1 < 0  3m <1 → m < 1/3
1 + 2m
(*)  x < 3m - 1
.
mµ ( 2 )  2x > m  x > m/2.
Hai bÊt ph¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm.
1 1
m    1
 3 m  m 

  3  3
+ 21 m m  2 
= 3m -5m-2=0 (m-2)(m+1 =0)
3m-1 2
 m-2 =0  m=2.
VËy : m=2.
C©u 3: (4 ®iÓm )
a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña
AC vµ BD.
→ AM //PO → tø gi¸c AMDB lµ h×nh
thang.
b) ( 1 ®iÓm ) Do AM// BD →
gãc OBA= gãc MAE ( ®ång vÞ )
XÐt tam gi¸c c©n OAB →
gãc OBA= gãc OAB
Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF → D AEI c©n ë I → gãc IAE = gãc
IEA
→ gãc FEA = gãc OAB → EF //AC .(1)
MÆt kh¸c IP lµ ®êng trung b×nh cña D MAC → IP // AC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra : E,F, P th¼ng hµng.
MF AD
c) (1 ®iÓm ) Do D MAF  D DBA ( g-g) → FA
=
AB
kh«ng ®æi.
PD 9 BD PB
d) NÕu =
PB 16

9
=
16
=k → PD= 9k; PB = 16k.
Do ®ã CP2=PB. PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2.
PD = 9k =1,8
PB = 16 k = 3,2
DB=5
Tõ ®ã ta chøng minh ®îc BC2= BP. BD=16
Do ®ã : BC = 4 cm
CD = 3 cm
C©u4 ( 1 ®iÓm )
x-2 1 1
= 2 =
Ta cã A = ( x + x + 1)( x - 2) x + x + 1
2
1
(x + )2 +
3
2 4
1 2 3 1 1
VËy Amax  [ ( x+ 2
) + ]
4
min  x+ 2 = 0→x=- 2
4
Amax lµ 3
khi x = -1/2
========================
®Ò 8
Bµi1( 2.5 ®iÓm)

a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0
b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)
Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm).
x
Cho biÓu thøc: y = ( x + 2004) 2
; ( x>0)
T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã
Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm)
a, T×m tÊt c¶ çc sè nguyªn x tho¶ m·n ph¬ng tr×nh: :
( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330.
B, Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x - 6  3
Bµi 4: ( 3 ,5 ®iÓm) Cho gãc xoy vµ ®iÓm I n»m trong gãc ®ã. KÎ IC
vu«ng gãc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §êng th¼ng
kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b.
A, Chøng minh r»ng tÝch AC . DB kh«ng ®æi khi ®êng th¼ng qua I
thay ®æi.
CA OC 2
B, Chøng minh r»ng =
DB OB 2
8a 2
C, BiÕt SAOB = . TÝnh CA ; DB theo a.
3
§¸p ¸n
Bµi 1: 3 ®iÓm
a, TÝnh: Ta cã: a3 + a2c – abc + b2c + b3
= (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab
+b2)
= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi¶
thiÕt)
VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = 0 ( ®pCM)
b, 1,5 ®iÓm Ta cã:
bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)
= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)
= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)
(a-b)
= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]
= b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a)
= d(a-b)(a-c)(b-c)
1
Bµi 2: 2 §iÓm §Æt t = 2004 y
Bµi to¸n ®a vÒ t×m x ®Ó t bÐ nhÊt
( x + 2004) 2 x 2 + 2.2004 x + 20042
Ta cã t = =
2004 x 2004 x
x 2004 x 2 + 2004 2
= 2004
+2+
x
= +2 (1)
2004 x
Ta thÊy: Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d¬ng ta cã:
x 2 + 2004 2
2
x + 2004  2
2. 2004 .x  2 (2)
2004 x
DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004
Tõ (1) vµ (2) suy ra: t  4  VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t =
4 khi x =2004.
1 1
VËy ymax= =
2004t 8016
Khi x= 2004
Bµi 3: 2 §iÓm
a, Nh©n c¶ 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh víi 2.3.4 ta ®îc:
(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4
(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8
VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c 0 nªn çc thõa sè
ph¶I cïng dÊu ( + )hoÆc dÊu ( - ).
Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 . 10 . 9 . 8
(1)
Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8)
(2)
Tõ ph¬ng tr×nh (1)  12x -1 = 11  x = 1 ( tho¶ m·n)
-7
Tõ ph¬ng tr×nh (2)  12x -1 = - 8  x= 12 suy ra
x  Z.
VËy x=1 tho¶ m·n ph¬ng tr×nh.
b, Ta cã x - 6 < 3  -3 < x – 6 < 3  3< x < 9
VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: S = { x  R/ 3 <
x < 9}.
Bµi 4 : 3 §iÓm
Ta cã A chung ; AIC = ABI ( cÆp gãc ®ång vÞ)
D IAC ~ D BAO (gg).
AC IC AC AO
Suy ra: =  = (1)
AO BO IC BO
T¬ng tù: D BID ~ D BAO (gg)
OA OB OA ID
Suy ra: =  = (2)
ID BD OB BD

AC ID
Tõ (1) vµ(2) Suy ra: IC
=
BD
Hay AC. BD = IC . ID = a2
Suy ra: AC.BD = a2 kh«ng ®æi.
AC ID OA OA
b, Nh©n (1) víi (2) ta cã: . = .
IC BD OB OB
AC OA 2
mµ IC = ID ( theo gi¶ thiÕt) suy ra: =
BD OB 2
C, Theo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vu«ng ta cã;
1 8a 2
SAOB = 2
OA.OB mµ SAOB = ( gi¶ thiÕt)
3
8a 2 16a 2
Suy ra: OA.OB =  OA . OB =
3 3
16a 2
Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) =  a2 + a( CA + DB ) +
3
16a 2
CA . DB =
3
16a 2
Mµ CA . DB = a2 ( theo c©u a)  a(CA +DB) = - 2a2
3
16a 2 CA.DB = a 2
�
- 2a 2 �
 CA + DB + 3 10a 2 . VËy: � 10a 2
= CA
� + DB =
a 3 � 3
a
Gi¶i hÖ pt  CA = vµ DB = 3a
3
a
HoÆc CA = 3a vµ DB = 3
====================
®Ò 9
Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc :
x2 y2 x2y2
P= - -
( x + y) ( 1- y) ( x + y) ( 1+ x) ( x + 1) ( 1- y)
1.Rót gän P.
2.T×m çc cÆp sè (x;y) � Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3.
Bµi 2(2 ®iÓm). Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1 1 1 1 1
+ 2 + 2 + 2 =
x - 5x + 6 x - 7x + 12 x - 9x + 20 x - 11x + 30 8
2
Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc:
2x + 1
M=
x2 + 2

Bµi 4 (3 ®iÓm). Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi
E; F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña çc c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña
CE vµ DF.
1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF.
2.Chøng minh D MAD c©n.
3.TÝnh diÖn tÝch D MDC theo a.
Bµi 5(1 ®iÓm). Cho çc sè a; b; c tho¶ m·n : a + b + c =
3
.
2
3
Chøng minh r»ng : a 2 + b2 + c2 � .
4
§¸p ¸n
Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm)
MTC : ( x + y) ( x + 1) ( 1- y)
x2 ( 1+ x) - y2 ( 1- y) - x2y2 ( x + y) ( x + y) ( 1+ x) ( 1- y) ( x - y + xy)
1. P= =
( x + y) ( 1+ x) ( 1- y) ( x + y) ( 1+ x) ( 1- y)
P = x - y + xy .Víi x �-1; x �- y; y �1 th× gi¸ trÞ biÓu thøc ®îc x¸c

®Þnh.
2. §Ó P =3 � x - y + xy = 3 � x - y + xy - 1= 2
� ( x - 1) ( y + 1) = 2
Çc íc nguyªn cña 2 lµ : �1; �2.
Suy ra:
�x - 1= -1 �x = 0
� ��
�y + 1 = -2 �y = -3
�x - 1 = 1 �x = 2
� �� (lo¹i).
�y + 1 = 2 �y = 1
�x - 1 = 2 �x = 3
� ��
�y + 1 = 1 �y = 0
�x - 1= -2 �x = -1
� �� (lo¹i)
�y + 1 = -1 �y = -2
VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3.
Bµi 2.(2 ®iÓm) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:

�x �2
�x �3
�
�
�x �4
�x �5
�
�x �6
�
Ta cã :
x2 - 5x + 6 = ( x - 2) ( x - 3)
x2 - 7x + 12 = ( x - 3) ( x - 4)
x2 - 9x + 20 = ( x - 4) ( x - 5)
x2 - 11x + 30 = ( x - 5) ( x - 6)
Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi :
1 1 1 1 1
+ + + =
( x - 2) ( x - 3) ( x - 3) ( x - 4) ( x - 4) ( x - 5) ( x - 5) ( x - 6) 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
� - + - + - + - =
x- 3 x- 2 x- 4 x- 3 x- 5 x- 4 x- 6 x- 5 8
1 1 1 4 1
� - = � =
x- 6 x- 2 8 ( x - 6) ( x - 2) 8
� x2 - 8x - 20 = 0 � ( x - 10) ( x + 2) = 0
x = 10
�
�� tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh.
x = -2
�
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2.
Bµi 3.(2®iÓm)
M=
2x + 1+ x2 + 2- x2 - 2 x + 2 - x - 2x + 1
=
2 2
( )
x2 + 2 x2 + 2
M=
(x 2
)
+ 2 - ( x - 1)
2
= 1-
( x - 1)
2
x2 + 2 x2 + 2
M lín nhÊt khi ( 2 )

2
x- 1
nhá nhÊt.
x +2
nªn ( 2 ) nhá nhÊt khi ( x- 1) =

2
x- 1
V× ( x - 1) �0"x vµ
2
( x2 + 2 � )
0"x
2
x +2
0.
DÊu “=” x¶y ra khi x-1 = 0 � x = 1. VËy Mmax = 1 khi x = 1.
Bµi 4. . (3iÓm)
a. VBEC =VCFD (c.g .c ) � C�1 = D
�
1
�+ D
VCDF vu«ng t¹i C � F � = 900 � F
�+C� = 900 �VCMF vu«ng t¹i M
1 1 1 1
Hay CE  DF.

b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE. Ta cã :
VAEK =VBEC ( g.c.g ) � BC = AK
� AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M
1
� AM = KD = AD �VAMD c©n t¹i A
2
CD CM
c. VCMD : VFCD( g.g ) � =
FD FC
2 2
S �CD � �CD �
Do ®ã : VCMD = � �� SVCMD = � �.SVFCD
SVFCD �FD � �FD �
1 1
Mµ : SVFCD = CF .CD = CD 2 .
2 4
CD 2 1
VËy : SVCMD = . CD 2 . a d
2
FD 4 k
1
Trong VDCF theo Pitago ta cã :

�1 � 1 5 e
DF 2 = CD 2 + CF 2 = CD 2 + � BC 2 �= CD 2 + CD 2 = .CD 2 . m
�2 � 4 4
1 1
2
CD 1 1 1 b
SVMCD = . CD 2 = CD 2 = a 2 f c
Do ®ã : 5
CD 2 4 5 5
4
Bµi 5 (1®iÓm)
2
� 1� 1 1
Ta cã: �a2 - ��0 � a2 - a + �0 � a2 + �a
� 2� 4 4
1 1
T¬ng tù ta còng cã: b2 + �b ; c2 + �c
4 4
Céng vÕ víi vÕ çc bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®îc:
3 3 3
a2 + b2 + c2 + �a + b + c . V× a + b + c = nªn: a2 + b2 + c2 �
4 2 4
1
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = .
2
=========================
®Ò 10
C©u 1. (1,5®)
1 1 1 1
Rót gän biÓu thøc : A = + + +……….+
2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5)
C©u 2. (1,5®) T×m çc sè a, b, c sao cho :
§a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4)
7
C©u 3 . (2®) T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc
x - x +1
2
cã gi¸ trÞ nguyªn.

C©u 4. Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c .
Chøng minh r»ng: a + b2 + c2 < 2 (ab + ac + bc)
2
C©u 5 . Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc
t©m H, t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng
hµng.
§¸p ¸n
C©u 1.
1 1 1 1 1 1 1
A= ( - + - +…….+ - )
3 2 5 5 8 3n + 2 3n + 5
1 1 1 n +1
= ( - )=
3 2 3n + 5 6n + 10
C©u 2. Chia ®a thøc x4 + ax + b cho x2 – 4
®îc ®a thøc d suy ra a = 0 ; b = - 16.
7
C©u 3.
x - x +1
2  Z  x2 –x +1 = U(7)=  +
- 1,+- 7 
§a çc ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.
§¸p sè x =  -2,1,3 .
C©u 4. Tõ gi¶ thiÕt  a < b + c  a2 < ab + ac
Tng tù b2 < ab + bc
c2 < ca + cb
Céng hai vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®îc (®pcm)
C©u 5. trong tam gi¸c ABC H lµ trùc t©m, G lµ
Träng t©m, O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp
tam gi¸c.
GM 1
- ChØ ra ®îc � = OMG
= , HAG �
AG 2
OM 1
- ChØ ra = (B»ng çch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng
AH 2
minh CK = AH)
 V AHG : VMOG (c.g.c)
 H,G,O th¼ng hµng.
======================
®Ò 11
3 x 3 - 14 x 2 + 3x + 36
C©u 1:Cho biÓu thøc: A= 3
3x - 19 x 2 + 33x - 9
a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh.
b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0.
c, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 2:
( x + 16)( x + 9)
.a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= víi x>0.
x
.b, Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+1+: 2x-1+2x =3
C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn lît lµ çc
®iÓm thuéc çc c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC
=CM/CD =DN/DA= x.
.a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ çc ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn
tÝch mhá nhÊt.
.b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th×
tø gi¸c MNKL lµ h×nh ch÷ nhËt.
C©u 4: T×m d cña phÐp chia ®a thøc
x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1
§¸p ¸n
C©u1 (3®)
a.(1®)
( x - 3) 2 (3 x + 4)
Ta cã A= ( x - 3) 2 (3 x - 1) (0,5®)
VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x3,x1/3(0,5®)

3x + 4
b. Ta cã A= 3 x - 1 do ®ã A=0 <=> 3x +4=0 (0,5®)
<=> x=-4/3 tho· m·n ®k(0,25®)
VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0 (0,25®)
c. (1®)
3x + 4 5
Ta cã A= 3 x - 1 = 1+ 3x - 1
5
§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× 3x - 1
ph¶i nguyªn<=> 3x-1 lµ íc cña
5<=> 3x-11,5
=>x=-4/3;0;2/3;2
VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®)
C©u: 2: (3®)
a.(1,5®)
Ta cã
x 2 + 25 x + 144 144
A= =x+ x
+25 (0,5®)
x
144
Çc sè d¬ng x vµ x
Cã tÝch kh«ng ®æi nªn tæng nhá nhÊt khi vµ
144
chØ khi x = x
 x=12 (0,5®)
VËy Min A =49 <=> x=12(0,5®)
b.(1,5®)
TH1: nÕu x<-1 th× ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi :-x-1-
2x+1+2x=3=>x=-3<-1(lµ nghiÖm )(0,5®)
TH2: NÕu -1x<1/2 th× ta cã
x+1-2x+1+2x=3=> x=1>1/2(lo¹i )(0,25®)
TH3: NÕu x1/2ta cã
x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5<1/2 (lo¹i)(0,25®)
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho x=-3 (0,5®)
C©u 3: (3®)
C L D
M
K
D N B1
K1 A
Gäi S1,,S2, S3, S4 lÇn lît lµ diÖn tÝch tam gi¸c AKN,CLM,DMN vµ BKL.
KÎ BB1AD; KK1AD ta cã KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB
SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x)
SABD(0,5®)
T¬ng tù S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S
(0,25®)
T¬ng tù S3+S4= x(1-x)S
 S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®)
 SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-
1/2)2+1/2S1/2S(0,25®)
VËy SMNKL ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1/2S khi x=1/2 khi ®ã
M,N,K,L lÇn lît lµ trung ®iÓm çc c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®)
b.(1,5®)
 tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®)
 tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt khi BDAC (0,5®)
C©u 4: (1®)
Gäi Q(x) lµ th¬ng cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1
99 55 11
ta cã x +x +x +x+7=( x-1 )( x+1 ).Q(x)+ax+b(*)
trong ®ã ax+b lµ d cña phÐp chia trªn
Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b
Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7
VËy d cña phÐp chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 lµ 4x+7
==========================
®Ò 12
Bµi 1: (3®)
x 5 - 2 x 4 + 2 x 3 - 4 x 2 + 3x + 6
Cho ph©n thøc : M =
x 2 + 2x - 8
a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M
b) T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0
c) Rót gän M
Bµi 2: (2®)
a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai
trong ba sè Êy ta ®îc 242.
b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ
cña biÓu thøc B.
A = n3 + 2n2 - 3n + 2 ; B = n2 -n
Bµi 3: (2®)
a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc
1 1 1
M= + +
1 + x + xy 1 + y + yz 1 + z + zx
b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c
1 1 1 1 1 1
Chøng minh r»ng: + +  + +
a+b-c b+c -a c +a -b a b c
Bµi 4: (3®)
Cho tam gi¸c ABC, ba ®êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O.
Ba c¹nh AB, BC, CA tØ lÖ víi 4,7,5
a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm
b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm
AP BN CM
c) Chøng minh . .
PB NC MA
=1
§¸p ¸n
Bµi 1:
a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) 0  x 2 vµ x - 4
(0,5®)

TX§ =  x / x  Q; x  2; x  -4
0,2®
b) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1)
1,0®
= 0 khi x=2; x=  1.
0,2®
§Ó M= 0 Th× x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0

x2+ 2x- 8 0
0,5®
VËy ®Ó M = 0 th× x =  1.
0,3®
( x - 2)( x 2 + 3)( x 2 + 1) ( x 2 + 3)( x 2 - 1)
c) M = =
( x - 2)( x + 4) x+4
0,3®
Bµi 2:
a) Gäi x-1, x, x+1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta cã: x(x-1) + x(x+1) +
(x-1)(x+1) = 242 (0,2®)
Rót gän ®îc x2 = 81
0,5®
Do x lµ sè tù nhiªn nªn x = 9
0,2®
Ba sè tù nhiªn ph¶i t×m lµ 8,9,10
0,1®
b) (n3+2n2- 3n + 2):(n2-n) ®îc th¬ng n + 3 d 2
0,3®
Muèn chia hÕt ta ph¶i cã 2 n(n-1)  2 n
0,2®
Ta cã:
n 1 -1 2 -2
n-1 0 -2 1 -6
n(n- 0 2 2 -3
1)
lo¹i lo¹i
0,3®
VËy n = -1; n = 2
0,2®

Bµi 3:
a) V× xyz = 1 nªn x  0, y  0, z 0
0,2®
1 z z
= =
1 + x + xy z (1 + x + xy ) z + xz + 1
0,3®
1 xz xz
= =
1 + y + yz (1 + y + yz ) xz xz + 1 + z
0,3®
z xz 1
M = + +
z + xz + 1 xz + 1 + z 1 + z + xz
=1
0,2®
b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn
a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0
0,2®
1 1 4
+  víi x,y > 0
x y x+ y
1 1 4 2
+  =
a + b - c b + c - a 2b b
1 1 2
0,2® + 
b+c-a c+a-b c
0,2®
1 1 2
+ 
c+a-b a+b-c a
0,2®
Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®îc ®iÒu ph¶i
chøng minh.
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c
0,2®
Bµi 4: a) A
B C
N
NB AB
AN lµ ph©n gi¸c cña Â Nªn NC
=
AC
0,3®

AB BC AC AB 4
Theo gi¶ thiÕt ta cã 4
=
7
=
5
 =  Nªn
AC 5
NB 4 BC 9 5.BC
0,2® = 
NC 5
=  NC =
NC 5 9
= 10(cm)
0,5®
MC BC
b) BM lµ ph©n gi¸c cña B̂ nªn MA
=
BA
0,3®
AB BC AC BC 7
Theo gi¶ thiÕt ta cã: 4
=
7
=
5
 =
BA 4
0,2®
MC 7 MC - MA 3 3.11
Nªn = 
MA 4
=
MA + MC 11
 ac =
3
= 11(cm)
0,5®
c) V× AN,BM,CP lµ 3 ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC
BN AB MC BC AP AC
Nªn BC
= ; = ;
AC MA BA PB
=
AB
0,5®
BN MC AP AB BC AC
Do ®ã . .
BC MA PB
= . .
AC AB BC
=1
0,5®
========================
®Ò 13
C©u 1: ( 2,5 ®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a/. x2 – x – 6 (1 ®iÓm)
3 2
b/. x – x – 14x + 24 (1,5 ®iÓm)
C©u 2: ( 1 ®iÓm)
T×m GTNN cña : x2 + x + 1
C©u 3: ( 1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) M120 víi m, n � Z.
C©u 4: ( 1,5 ®iÓm)
Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi :
1+ a 1+ b
x= ; y=
1+ a + a2 1 + b + b2
C©u 5: ( 1,5 ®iÓm)
Gi¶i ph¬ng tr×nh: x - 1 + x + 2 + x - 3 = 14

C©u 6: ( 2,5 ®iÓm)
Trªn c¹nh AB ë phÝa trong h×nh vu«ng ABCD dùng tam gi¸c
AFB c©n , ®Ønh F cã gãc ®¸y lµ 150 . Chøng minh tam gi¸c CFD lµ
tam gi¸c ®Òu.
§¸p ¸n
C©u 1: a/. Ta cã: x – x – 6 = x – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)
2 2
= (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3)
( NÕu gi¶i b»ng çch kh¸c cho ®iÓm t¬ng ®¬ng )
b/. Ta cã: x = 2 lµ nghiÖm cña f(x) = x3 – x2 – 14x + 24
Do ®ã f(x) Mx – 2, ta cã: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12
VËy x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12)
Ta l¹i cã: x = 3 lµ nghiÖm cña x2 + x – 12
Nªn x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4)
Nh vËy: x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) .
C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + x + 1 (1 ®’)
1 2 3 3 1 2
Ta cã : x2 + x + 1 = ( x + ) + � VËy f(x) ®¹t GTNN khi ( x + ) = 0 Tøc x = -
2 4 4 2
1
2
C©u 3: Ta cã : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)
= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn
tiÕp trong ®ã cã Ýt nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét
sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5).
VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.
C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ
1 1+ a + a2 a2 1 1 1 1
= = 1+ = 1+ = 1+  1+ =
x 1+ a 1+ a 1+ a 1 1 1 1 y
2 2
+ +
a a a b2 b
1 1 1 1
V× a> b > 0 nªn 2  2 vµ  . VËy x < y.
a b a b
C©u 5: 1/. XÐt kho¶ng x < -2 ,ta cã: -3x + 2 = 14 � x = - 4.
2/. -2 �x < 1, ta cã : -x + 16 = 14 � x = 2. (lo¹i)
3/. 1 �x < 3, ta cã : x + 4 = 14 � x = 10 (lo¹i).
16
4/. x � 3 , ta cã: 3x –2 2 = 14 � x = VËy ph¬ng tr×nh trªn cã
3
16
nghiÖm lµ x = - 4 vµ x= .
3
C©u 6: ( 2,5 ®’) D I C
2
GV: Nguyễn -Cường 29 F 2

H
0
15 150
F F
A B
Dùng tam gi¸c c©n BIC nh tam gi¸c AFB cã gãc ®¸y 150 .
Suy ra : B�2 = 600 (1) .
Ta cã VAFB =VBIC (theo çch vÏ) nªn: FB = IB (2).
Tõ (1) vµ (2) suy ra : VFIB ®Òu .
§êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H . Ta cã: I�2 = 300 ( gãc ngoµi cña VCIB ).
� = 900 ( v×
Suy ra: H � = 600 ) Tam gi¸c ®Òu FIB nªn IH lµ trung
2 B
trùc cña FB hay CH lµ ®êng trung trùc cña VCFB . VËy VCFB c©n t¹i
C . Suy ra : CF = CB (3)
MÆt kh¸c : VDFC c©n t¹i F . Do ®ã: FD = FC (4).
Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).
VËy VDFC ®Òu.
Gi¶I b»ng ph¬ng ph¸p kh¸c ®óng cho ®iÓm t¬ng ®¬ng.
==============================
®Ò 14
C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc
f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x.
C©u 2 (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
(x+y+z)3 –x3-y3-z3.
C©u 3 (2 ®iÓm ) :
a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2 +x+1
b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3)
C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a2+b2+c2=ab+bc+ac
th× a=b=c
C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho
PAC = PBC. Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA.
Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM.
§¸p ¸n
Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x)

Ta cã : x4-3x2+3x2+ax+b: x2-3x+4.
= x2+1 d (a-3)x + b+4 (1 ®iÓm)
f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d b»ng kh«ng.
Tõ ®©y suy ra (1 ®iÓm ).
a-3=0 => a=3
b+4=0 => b=-4
Bµi 2 (2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
(x+y+2)3 –x3-y3-z3 =A
Ta cã : (x+y+z)3 –x3-y3-z3 = [(x+y+z)3-x3]-(y3+23).
¸p dông h»ng ®¼ng thøc 6 vµ 7.
A= ( x+y+z-x) [(x+x+z)2 + (x+y+z)x + x2) – (x+z)(y2-y2+z2)
(1 ®iÓm)
= (y+z)[x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+xy+xz+x2+x2-y2+yz-z2].
= (y+z) (3x2+3xy+3xz+3yz).
= 3(y+z) [x(x+y)+z((x+y)]
= 3(x+y) (y+z) ) (x+z) (1
®iÓm).
Bµi 3 : (2 ®iÓm ).
a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x2+x+1
1 3 3
Ta cã : x2+x+1 = (x+ 2 )2 + 
4 4
3 1 1
Gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4
khi (x+ 2 )2=0 Tøc x = - 2
(1 ®iÓm).
b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A= h(h+1) (h+2) (h+3)
(1 ®iÓm).
Ta cã : A= h(h+1) (h+2) (h+3)
= h(h+3) (h+2) (h+1)
= (h2+3h) (h2+3h+2)
§Æt : 3h+h2 =x
A= x(x+2) = x2+2x = x 2+2x+1-1
= (x+1)2-1  -1 Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ -1.
Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh.
Theo gi¶ thiÕt : a2+b2+c2 = ab+ac+bc.
Ta cã : a2+b2+c2 – ab-ac-bc = 0

Suy ra : (a -2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0
2
(1
®iÓm).
(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0
§iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi.
a-b = b-c = a-c = 0 Tøc lµ : a=b=c (1 ®iÓm).
Bµi 5 (2 ®iÓm) C
Gäi E lµ trung ®iÓm cña AP
F lµ trung ®iÓm cña BP K M
1
Ta cã : KE= 2 AP = EP P
1
FM = 2 BP =FP E F
A D B
Tø gi¸c DEPF lµ h×nh b×nh hµnh v× DE//BP, DF//AP

Do ®ã : ED=FM ; EK =EP=DF
Tõ çc tam gi¸c vu«ng APK; BPM ta suy ra.
KEP =2KAP ; MEP = 2MBP
DEPF lµ h×nh b×nh hµnh nªn DEP= DFP
Theo gi¶ thiÕt KAD = MBP nªn KEP = MFP
VËy DEK = DPM suy ra D DEK= D MFO (c.g.c)
Do ®ã : DK=OM
==========================
®Ò 15
C©u 1: (2®) T×m hai sè biÕt
a. HiÖu çc b×nh ph¬ng cña 2 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp b»ng
36
b. HiÖu çc b×nh ph¬ng cña 2 sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp b»ng 40
C©u 2: (1,5®) Sè nµo lín h¬n:
2
 2006 - 2005  2006 2 - 20055
  hay
 2006 + 2005  2006 2 + 20052
C©u 3: (1,5 ®) Gi¶i ph¬ng tr×nh
x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6
+ + + + + +6 = 0
1000 999 998 997 996 995
C©u 4: (1®) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh ax –b> bx+a
C©u 5: (2,5®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®-
êng th¼ng AK song song víi BC. Qua B vÏ ®êng th¼ng BI song song
víi AD. BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng:
a. EF song song víi AB
2
b. AB = CD.EF
C©u 6: (1,5®) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã hai ®êng chÐo,
c¾t nhau ë O . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam
gi¸c BOC lµ 169 cm2 vµ diÖn tÝch tam gi¸c AOD lµ 196 cm2.
§¸p ¸n
C©u 1: a. Gäi 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (x ch½n).
Ta cã: (x+2)2 -x2 =36 => x = 8.
VËy 2 sè cÇn t×m lµ 8 vµ 10.
b. Gäi 2 sè lÎ liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (xlÎ)
Ta cã (x+2)2 –x2 = 40 => x = 9
VËy 2 sè cÇn t×m lµ 9 vµ 11.
C©u 2: Theo tÝnh chÊt cña ph©n thøc ta cã:
2
 2006 - 2005  2006 - 2005 2006 - 2005 20062 - 20052
  = . 
 2006 + 2005  2006 + 2005 2006 + 2005 (2006 + 2005)2
2006 2 - 2005 2 2006 2 - 2005 2
= <
2006 2 + 2.2006.2005 + 2005 2 2006 2 + 2005 2
C©u 3: Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi:
x +1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
+1+ +1+ + +1+ +1+ +1 = 0
1000 999 998 997 996 995
x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001
 + + + + + =0
1000 999 998 997 996 995
1 1 1 1 1 1
 ( x + 1001)( + + + + + )=0
1000 999 998 997 996 995
 x=-1001.
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x=-1001.
a+b
C©u 4: * NÕu a> b th× x> a - b
a+b
* NÕu a<b th× x< a - b
* NÕu a=b th× 0x> 2b
+ NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b<0
+ V« nghiÖm nÕu b  0
C©u 5: A B
AE AB
a. DAEB vµ DKEB ®ång d¹ng (g.g)  EK = KD
AF AB
DAFB Vµ DCFI ®ång d¹ng (g.g)  = E F
FC CI
A£ AF
Mµ KD = CI = CD – AB  =  EF // KC K C
EK FC D I
VËy AF// AB
OK DE
b. DAEB Vµ DKED ®ång d¹ng, suy ra =
AB EB
KD + AB DE + EB DK + KC BD DC DB
 =  =  = (1)
AB EB AB EB AB EB
DB DI DB AB
Do EF// DI  EB = EF  EB = EF (2)
DC AB
Tõ (1) vµ (2)  AB = EF  AB 2 = DC.EF
C©u 6: Theo ®Ò bµi ta ph¶i tÝnh diÖn B C
tÝch tam gi¸c ABO, biÕt SBOC = 169 cm2
O
SAOD = 196 cm2
Ta nhËn thÊy SABD = SACD (v× cã chung ®¸y AD
A
vµ ®êng cao t¬ng øng b»ng nhau) D
Suy ra SABO = SCOD
Tõ c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ta rót ra r»ng: tû sè diÖn tÝch
hai tam gi¸c cã chung ®êng cao b»ng tû sè hai ®¸y t¬ng øng.
S AO S
Do ®ã: S
ABO
= = AOD => SABO.SCOD = SBOC.SAOD
BOC OC S COD
Mµ SABO = SCOD nªn: S2ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142
=> SABO = 13.14 = 182 (cm2)
================
®Ò 16
C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ
sè nguyªn.
2x3 + x2 + 2x + 5
A=
2x + 1
C©u 2(2®): Gi¶i ph¬ng tr×nh
x2 - 3|x| - 4 = 0
C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t¬ng øng çc
®iÓm P, Q, R. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång
qui lµ:
PB QC RA
. . =1
PC QA RB
C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu
thøc
M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2

C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
A = 3x2 + y2
§¸p ¸n
C©u 1
A nguyªn  2x+ 1 lµ íc cña 4
¦(4) = 1; 2; 4
Gi¶i ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn.
C©u 2: x2 - 3|x| - 4 = 0
 3|x| = x2 - 4
 3x =  (x2 - 4)
 x2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x2 + 3x - 4 = 0
Gi¶i 2 ph¬ng t×nh nµy ®îc S = -4; 4
C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8)
C©u 4: M = 18 khi a = b = …
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc...
Ta cã: A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- 1/4)2 + 1/4  A ≥ ¼
VËy Amin = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4.
=========================
®Ò 17
Bµi 1. Cho biÓu thøc:
x + 1 x - 1 x 2 - 4 x - 1 x + 2006
A= ( - + ).
x -1 x +1 x2 - 1 x
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh.
b) Rót gän biÓu thøc A.
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2:
2- x 1- x x
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2004
-1 = -
2005 2006
b) T×m a, b ®Ó: x3 + ax2 + 2x + b chia hÕt cho x2 + x + 1
Bµi 3.
Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M
kÎ çc ®êng th¼ng song song víi hai ®êng chÐo AC vµ BD. Çc ®-
êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC vµ AD lÇn lît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t
AC vµ BD t¹i I vµ J.
a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung
®iÓm cña EF.
b) Trong trêng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao
cho EJ = JI = IF.
Bµi 4. Cho a  4; ab  12. Chøng minh r»ng C = a + b  7
§¸p ¸n
Bµi 1:
 x  1
a) §iÒu kiÖn: 
x  0
( x + 1) 2 - ( x + 1) 2 + x 2 - 4 x - 1 x + 2006 x + 2006
b) A = (  =
x -1
2
x x
 x = 1
c) Ta cã: A nguyªn  (x + 2006) x  2006x  
 x = 2006
Do x =  1 kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x =  2006
Bµi 2.
2- x 1- x x
a) Ta cã: 2004
-1 = -
2005 2006
2-x 1- x x 2 - x 2004 1 - x 2005 x 2006
 +1 = +1- +1  + = + - +
2004 2005 2006 2004 2004 2005 2005 2006 2006
2006 - x 2006 - x 2006 - x 1 1 1
 = +  (2006 - x)( - - =0
2004 2005 2006 2004 2005 2006
 (2006 - x) = 0  x = 2006
D C
b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc,
E
a = 2 I J
råi tõ ®ã ta t×m ®îc:  F Q
b = 1 A
P
M B
Bµi 3.
FI FP DO
a) Ta cã: = = (1)
IE PM OB
EJ EQ CO
= = (2)
FJ QM OA
DO CO (3)
=
OB OA
FI EJ
Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra = hay FI.FJ = EI.EJ (4)
IE FJ
NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã:

IJ IJ IJ IJ
( FH - )( FH + ) = ( EH - )( EH + )  FH = EH
2 2 2 2
DO CO 1 FI 1
b) NÕu AB = 2CD th× OB = OA = 2 nªn theo (1) ta cã =
IE 2
suy ra: EF = FI + IE = 3FI. T¬ng tù tõ (2) vµ (3) ta cã EF = 3EJ.
EF
Do ®ã: FI = EJ = IJ = kh«ng liªn quan g× ®Õn vÞ trÝ cña M.
3
VËy M tuú ý trªn AB
3 1 3ab 1 3  12 1
Bµi 4. Ta cã: C = a + b = ( a + b) + a  2 + a2 + 4 = 7 (§PCM)
4 4 4 4 4 4
============================
®Ò 18
C©u 1:
1 m n
a. T×m sè m, n ®Ó: = +
x ( x - 1) x -1 x
b. Rót gän biÓu thøc:
1 1 1 1
M= + 2 + 2 + 2
a - 5a + 6 a - 7a + 12 a - 9a + 20 a - 11a + 30
2
C©u 2:
a. T×m sè nguyªn d¬ng n ®Ó n5 +1 chia hÕt cho n3 +1.
b. Gi¶i bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn.
C©u 3:
Cho tam gi¸c ABC, çc ®êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ
®êng trung trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG =
2HE vµ AG = 2HF.
C©u 4:
Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n:
a = 1969 + 1971 ; b = 2 1970
§¸p ¸n
C©u 1: (3®)
a. m =1 (0.75®); n = -1 (0.75®)
b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc
(¸p dông c©u a)
1 1 1
= - (0.25®)
a - 5a + 6 a - 3 a - 2
2
1 1 1
= - (0.25®)
a - 7a + 12 a - 4 a - 3
2
1 1 1
= - (0.25®)
a - 9a + 20 a - 5 a - 4
2

1 1 1
= - (0.25®)
a - 11a + 30 a - 6 a - 5
2
§æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®îc :

1 1 4
M= - = (0.5®)
a - 6 a - 2 ( a - 2).(a - 6)
C©u 2: (2.5®)
a. (1.5®)
BiÕn ®æi:
n5 + 1  n3 + 1  n2(n3 + 1) – (n2 –1)  n3 + 1 (0.5®)
 (n + 1) (n – 1)  (n + 1)(n2 - n + 1) (0.25®)
 n – 1  n2 – n + 1 (v× n + 1  0 ) (0.25®)
NÕu n = 1 th× ta ®îc 0 chia hÕt cho 1 (0.25®)
NÕu n > 1 th× n – 1 < n(n – 1) + 1 = n2 – n +1
Do ®ã kh«ng thÓ x¶y ra quan hÖ n – 1 chia hÕt cho n 2 – n +1 trªn
tËp hîp sè nguyªn d¬ng
VËy gi¸ trÞ duy nhÊt cña n t×m ®îc lµ 1 (0.25®)
2
b. n – 1  n – n +1
 n(n – 1)  n2 – n + 1
 n2 – n  n2 – n + 1
 ( n2 – n + 1) – 1  n2 – n + 1
 1  n2 – n + 1 (0.5®)
Cã hai trêng hîp:
n2 – n + 1 = 1  n(n – 1) = 0  n = 0 hoÆc n = 1
Çc gi¸ trÞ nµy ®Òu tho¶ m·n ®Ò bµi (0.25®)
n – n + 1 = - 1  n – n + 2 = 0 v« nghiÖm
2 2
VËy n = 0, n = 1 lµ hai sè ph¶i t×m (0.25®)

C©u 3: (3®) (H×nh *)
LÊy I ®èi xøng víi C qua H, kÎ AI vµ BI, ta cã HE lµ ®êng trung
b×nh cña DACI nªn HE//AI vµ HE = 1/2IA (1) (0.25®)
T¬ng tù trong DCBI : HF//IB vµ HF = 1/2IB (2) (0.25®)
Tõ BGAC vµ HEAC  BG//IA (3) (0.25®)
T¬ng tù AKBC vµ HFBC  AG//IB (4) (0.25®)
Tõ (3) vµ (4)  BIAG lµ h×nh b×nh hµnh (0.25®)
Do ®ã BG = IA vµ AG = IB (0.5®)
KÕt hîp víi kÕt qu¶ (1) vµ (2)  BG = 2HE vµ AG = 2HF (0.5®)

C©u 4: (1.5®) A
Ta cã: 19702 – 1 < 19702 D
 1969.1971 < 19702 I E
 2 1969.1971  2.1970 (*)
G H
(0.25®)
Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*) B K F C
ta cã:
H×nh
2.1970 + 2 1969.1971  4.1970
*
(0.25®)
 ( 1969 + 1971) 2  (2 1970 ) 2 (0.25®)
 1969 + 1971  2 1970 (0.25®)
VËy: 1969 + 1971  2 1970 (0.25®)
===============================
®Ò 19
Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc
 x2 6 1   10 - x 2 
A=  3 + +  :  x - 2 + 
 x - 4 x 6 - 3x x + 2   x+2 
a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A?
b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2
c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0
d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn
bµi 2 (2,5®)
x4 + x3 + x + 1
a. Cho P =
x 4 - x 3 + 2x 2 - x + 1
Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh
1 1 1 1 1
+ 2 + 2 + 2 =
x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30 8
2
Bµi 3 (1®)
27 - 12 x
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =
x2 + 9
Bµi 4 (3®)
Cho DABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn
lît lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB vµ AC
a. CMR: E, A, H th¼ng hµng

b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë
thµnh mét h×nh thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®-
îc kh«ng.
c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt?
Bµi 5 (1®)
Cho çc sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1
CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1)  8
§¸p ¸n
Bµi 1 (2,5®)
sau khi biÕn ®æi ta ®îc;
-6 x+2
A = ( x - 2)( x + 2)  6 0,5®
a. TX§ =  "x : x  2; x  0 0,25®
-1 1
Rót gän: A = = 0,25®
x-2 2-x
b. §Ó A = 2  x = 1,5 (tho· m·n ®iÒu kiÖn cña x) 0,5®
1
c. §Ó A < 0 th× 02- x0 x2 (Tho· m·n ®k cña x)
2-x
0,5®
d. §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) ph¶i lµ íc cña 2. Mµ ¦ (2) =
 - 1;-2;1;2
suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nhng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña
x 0,25®
VËy x = 1; x =3.; x=4 0,25®
Bµi 2 (2,5®)
x4 + x3 + x + 1
a. P = 1®
x 4 - x 3 + 2x 2 - x + 1
Tö: x4 + x3 + x + 1 = (x+1)2(x2- x + 1) 0,25®
MÉu: x4 - x3 + 2x2 -x +1 = (x2 + 1)(x2 -x + 1) 0,25®
Nªn mÉu sè (x2 + 1)(x2 -x + 1) kh¸c 0. Do ®ã kh«ng cÇn ®iÒu
kiÖn cña x 0,25®
( x + 1) 2 ( x 2 - x + 1) ( x + 1)
2
v× tö = ( x + 1) 2
VËy P =
(( x 2
+ 1) ( x - x + 1)
2
) =
x 2 + 1`
 0"x vµ mÉu x2 + 1
>0 víi mäi x 0,25®

Nªn P  0"x
1 1 1 1 1
b. Gi¶i PT: + 2 + 2 + 2 =
x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 3 8
2
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)
2
x + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)
x2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)
1 1 1 1
Trong ®ã x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2)( x + 3) = ( x + 2) - ( x + 3) ...
TX§ =  "x; x  -2;-3;-4;-5;-6 ph¬ng tr×nh trë thµnh:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - + - + - =
x+2 x+3 x+3 x+4 x+4 x+5 x+5 x+6 8
1 1 1
= - =
x+2 x+6 8
= 8( x + 6 - x - 2) = ( x + 2)( x + 6)
� 32 = x 2 + 8 x + 12
� x 2 + 8 x - 20 = 0 � x = 2; x = -10
VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10
Bµi 3 (1®)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc
27 - 12 x
A=
x2 + 9
( ) ( )
2
27 - 12 x x - 12 x + 36 - x + 9 x2 - 6
2 2
A= 2 = = 2 - 1 �-1
x +9 x2 + 9 x +9
A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 � ( x - 6 ) = 0 hay x =
2
A =
27 - 12 x
=
( ) (
4 x 2 + 36 - 4 x 2 + 12 x + 9 (
= 4- 2
)
2 x + 3)
2
�4 . A ®¹t GTLN lµ 4
x2 + 9 x2 + 9 x +9
3
( 2 x + 3)
2
=0�x=-
2
Bµi 4 (3®)
a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®êng trung trùc
cña ®oanh th¼ng EH
vËy gãc EAH = gãcIAH (1)
gãc FAD = gãcDAH (2)
céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH + gãc FAD = gãcDAH + gãcIAH
= 900 theo gi¶ thuyÕt
hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 90 0 + 900 = 1800. Do ®ã 3 ®iÓm
E, A, F th¼ng hµng
b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 90 0 (hai gãc nhän
tam gi¸c vu«ng)
Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng)
gãcCA = gãcHCA (tÝnh chÊt ®èi xøng)
suy ra gãc EBA + gãc FCA = 900

haygãc EBA + gãc FCA + gãc ABC + gãc ACB = 1800
suy ra gãc EBC + gãc FBC = 180 0 (hai gãc trong cïng phÝa
bï nhau)
do ®ã BE song song CF. Vậy tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang
0,75®
Muèn BEFC lµ h×nh thang vu«ng th× ph¶i cã gãc AHC = 90 0
) )
( E = F = 900 ) vËy H ph¶i lµ ch©n ®êng cao thuéc c¹nh huyÒn cña tam
gi¸c ABC
Muèn BEFC lµ h×nh b×nh hµnh th× BE = CF suy ra BM =
HC. VËy H ph¶i lµ trung ®iÓm cña BC………….. 0,25®
Muèn BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt th× BEFC ph¶i cã mét gãc
) )
vu«ng suy ra ( B = C = 450 ) ®iÒu nµy kh«ng x¶y ra v× tam gi¸c ABC
kh«ng phaØ lµ tam gi¸c vu«ng c©n…..0,25®
c.lÊy H bÊt kú thuéc BC gÇn B h¬n ta cã:
S DEHF = 2 SY AIDH dùng h×nh ch÷ nhËt HPQD b»ng AIHD
vËy Stam gi¸c EHF = Stø gi¸c ¶IPQ. Ta cã tam gi¸c HBI = tam gi¸c HMB
(g.c.g)
suy ra SDHBIS = SDHMB � SDEHF = SY ABMQ  S DABC
víi H gÇn C h¬n ta còng cã:Stø gi¸c ABMQ < Stam gi¸c ABC
khi H di chuyÓn trªn BC ta lu«n cã S EHF �S ABC . T¹i vÞ trÝ h lµ trung
®iÓm cña BC th× ta cã
SEHF = SABC. Do ®ã khi H lµ trung ®iÓm cña BC th× S EHF lµ lín
nhÊt.
Bµi 5 (1®) Cho çc sè d¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1
Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) �8
Do a, b, c lµ çc sè d¬ng nªn ta cã;
(a – 1)2 �0"a  0 � a 2 + 1 �2a � a 2 + 2a + 1 � ( a 2 + 1) �4a
2
(1) …………
0,25®
T¬ng tù (b + 1)2 �4b (2)………………0,25®
(c + 1)2 �4c (3) …………0,25®
Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã:
(b + 1)2(a – 1)2(c + 1)2 �64abc (v× abc = 1)
((b + 1)(a – 1)(c + 1))2 �64
(b + 1)(a – 1)(c + 1) �8…..0,25®
=======================================
®Ò 20
C©u I :(3®)
a) Ph©n tÝch çc ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
A = x3 +8x2 + 19x +12 . B = x3 +6x2 +11x +6 .
b) Rót gän ph©n thøc :
A x 3 + 8 x 2 + 19 x + 12
= 3 .
B x + 6 x 2 + 11x + 6
C©u II : (3®) .
1 ) Cho ph¬ng tr×nh Èn x.
x+a x-2
+ = 2.
x+2 x-a
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi a = 4.
b) T×m çc gi¸ trÞ cña a sao cho ph¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm
nghiÖm.
2 ) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau : 2x2 + 10x +19 > 0.
C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ngêi ta lÊy çc ®iÓm P vµ Q
theo thø tù trªn AB vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD.
Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O
lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.
a) Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ
trÝ cña K trªn IB.
b) Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I.
C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau :
yx2 +yx +y =1.
§¸p ¸n
Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) (1®)

B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) (1®)
A ( x + 1)( x + 3)( x + 4) x + 4
2) = = (1®)
B ( x + 1)( x + 2)( x + 3) x + 2
( x + a ) ( x - 2)
Bµi II :1) . Ph¬ng tr×nh + =2 (1)
( x + 2) ( x - a )
§iÒu kiÖn: x  -2 vµ x  a.
(1)  x2 – a2+ x2 – 4 = 2x2 + 2(2- a)x – 4a
 – a2 - 4 + 4a = 2(2- a)x
 - (a - 2)2 = 2(a - 2)x (*)
a) víi a =4 thay vµo (*) ta cã :
4 =4x  x=1 (1®)
b) . Thay x= -1 vµo (*) ta ®îc.
(a – 2 )2 + (a - 2)= 0
 (a - 2) (a – 2 + 2) = 0
a=2
 a=0 (1®)
2) . Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh :
2x2 + 10x + 19 > 0 (1)
BiÕn dæi vÕ tr¸i ta ®îc.
2x2 + 10x + 19 = 2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7
=2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7
= 2(x + 2)2 +2(x + 2) + 7
= (x + 3)2 + (x + 2)2 + 6 lu«n lín h¬n 0 víi mäi x
Nªn bÊt ph¬ng tr×nh (1) NghiÖm ®óng víi " x . (1®)
Bµi III .
AP // DQ
1
XÐt tam gi¸c IDQ cã . AP = 2
DQ
Theo ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ta cã : (0,75® )
IA AP 1
= =  2 IA = ID  AD = AI
ID AQ 2
Tam gi¸c BID lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B v× AO  DB vµ AO lµ ®-
êng trung
b×nh cña D BID
§iÓm K lµ trung ®iÓm cña IB. (Do DK lµ ®êng trung tuyÕn cña
D BID ) . (0,75®)
b). Víi B vµ D cè ®Þnh nªn ®o¹n DB cè ®Þnh.Suy ra trung
®iÓm O cè ®Þnh.
MÆt kh¸c AC BD , BI DB vµ vai trß cña A vµ C lµ nh nhau . Nªn quü
tÝch cña A lµ ®êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm
O.Quü tÝch cña ®iÓm I lµ ®êng th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi
BD trõ ®iÓm B. (1®)
1
§¶o: Víi A vµ I ch¹y trªn çc ®êng ®ã vµ AD = AI .Th× AP = 2
AB
1
vµ CQ = 3 CD.
IA AP 1
ThËt vËy : Do AP // DQ suy ra =
ID AQ 2
=  2 AP = DQ mµ AB = CD 
§PCM. (0,5®)
Bµi IV: y x2 + y x + y = 1 . (1)
NÕu ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x ,y > 0.
(1) y(x2 + x +1) = 1
 y= 1  y = 1 ,x= 0

x2 + x +1 =1
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh trªn lµ (x,y) = (0 ,1).
(1®)
===================================
®Ò 21
I. §Ò bµi:
1 1 1
Bµi 1:(2 ®iÓm) Cho A = 2 + 2 + 2
b + c -a
2 2
c + a - b a + b2 - c2
2 2
Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.
Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

1) (x+1)4 + (x+3)4 = 16
x - 1001 x - 1003 x - 1005 x - 1007
2) + + + =4
1006 1004 1002 1000
Bµi 3:(2 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè:

1 1 1 1
a = + + + ... + , n � Z+ kh«ng ph¶i lµ mét sè
1.2 2.3 3.4 n.(n+1)
nguyªn.
Bµi 4:(3 ®iÓm)

Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC,
CD vµ DA.
a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao?
b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng?
c) Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c
ABCD vµ MNPQ.
§¸p ¸n
Bµi 1:(2 ®iÓm) Ta cã: a + b + c = 0 � b + c = - a. 0.25

®iÓm
B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 = a2
� b2 + 2bc + c2 = a2 � b2 + c2 - a2 = -2bc
0.5 ®iÓm
T¬ng tù, ta cã: c2 + a2 - b2 = -2ca
a2 + b2 - c2 = -2ab 0.5
®iÓm

1 1 1 -(a+b+c)
� A= - - - = =0 (v× a + b + c = 0) 0.5
2bc 2ca 2ab 2abc
®iÓm
VËy A= 0. 0.25
®iÓm
Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

1) §Æt y = x + 2 ta ®îc ph¬ng tr×nh:
(y – 1)4 + (y +1)4 = 16 � 2y4 + 12y2 + 2 = 16
� y4 + 6y2 -7 = 0 0.5
®iÓm
§Æt z = y2 ta ®îc ph¬ng tr×nh: z2 + 6z – 7 = 0 cã hai nghiÖm
lµ
z1 = 1 vµ z2 = -7. 0.5
®iÓm
 y2 = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3.

 y2 = -7 kh«ng cã nghiÖm. 0.5
®iÓm
x - 1001 x - 1003 x - 1005 x - 1007
2) + + + =4
1006 1004 1002 1000
x - 1001 x - 1003 x - 1005 x - 1007
� -1 + -1+ -1+ -1 = 0
1006 1004 1002 1000
x - 2007 x - 2007 x - 2007 x - 2007
� + + + =0 0.5
1006 1004 1002 1000
®iÓm
�1 1 1 1 �
� ( x - 2007) � + + + �= 0 � ( x - 2007) = 0 0.5
1006 1004 1002 1000 �
�
®iÓm
�1 1 1 1 �
V× � + + + ��0 � x = 2007 0.5
1006 1004 1002 1000
� �
®iÓm
Bµi 3:(1,5 ®iÓm) Ta cã:

� 1 � �1 1 � �1 1 � �1 1 �
1 - �+ � - �+ � - �+ ... + � -
a= � �
� 2 � �2 3 � �3 4 � �n n+1 �
0,5®iÓm

1 n
= 1- =  1; 0.5
n+1 n+1
®iÓm
MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn
0.5 ®iÓm
Bµi 4:(3,5 ®iÓm)

VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt - kÕt luËn ®óng 0.5
®iÓm
b
m n
c
a
p
q
a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh

1 ®iÓm
b) MNPQ lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi AC = BD, AC  BD
1 ®iÓm
a2 a2
c) SABCD = ; SMNPQ = ; 0.5
2 4
®iÓm
SABCD
� =2 0.5
SMNPQ
®iÓm
=========================
®Ò 22
Bµi 1 (3 ®iÓm)
a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
A = x4– 14x3 + 71x2 – 154x +120
b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24
Bµi 2 ( 3 ®iÓm)
x2 + x + 1 x2 + x + 2 7
a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph¬ng tr×nh: + =
x2 + x + 2 x2 + x + 3 6

x2
b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B = víi x # 0
1 + x4
x2 - 5x + 6
Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P =
x 3 - 3 x 2 + 3x - 2
Bµi 4 ( 3 ®iÓm )
Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ
ME vu«ng gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E  AB ; F  AC )
a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB 2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF
kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M.
b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt.
c. Chøng tá ®êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua
mét ®iÓm cè ®Þnh
§¸p ¸n
Bµi 1: a. A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120
KÕt qu¶ ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) ( 2®iÓm )
b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)
=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)

Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A  24 (1 ®iÓm )
x2 + x + 1 x2 + x + 2 7
Bµi 2: a. + =
x2 + x + 2 x2 + x + 3 6
T×m ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x1 = 0; x2= -1 (1.5 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
x2
B= víi x # 0 gi¶i vµ t×m ®îc B max = 1/2 th× x =  1 (
1 + x4
1, 5 ®iÓm )
Bµi 3 Rót gän biÓu thøc:
x2 - 5x + 6 ( x - 2).( x - 3) x-3
P = x3 - 3x 2 + 3x - 2 = ( x - 2) ( x 2 - x + 1) = P = .
x - x +1
2 ( 1®iÓm )
Bµi 4: Gi¶i a. chøng minh ®îc

F C . BA + CA. BE = AB2 (0,5 ®iÓm )
+ Chøng minh ®îc chu vi tø gi¸c
MEAF = 2 AB
( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm )
b. Chøng tá ®îc M lµ trung ®iÓm BC
Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm )
c. Chøng tá ®îc ®êng th¼ng

MH  EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm )
Đề 23
Câu 1: (4đ)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( x2 -2x)(x2-2x-1) - 6
b, Cho x  Z chứng minh rằng x200 + x100 +1 x4 + x2 + 1
Câu 2: (2đ)
1 1 1
Cho x,y,z  0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + = 3
x y z
1 1 1
Tính giá trị của biểu thức P = 2 + 2 + 2
x y z
Câu 3: (3đ) Tìm x biết
a, 3x + 2 < 5x -4
x + 43 x + 46 x + 49 x + 52
b, + = +
57 54 51 48
Câu 4: (3đ)
a, Chứng minh rằng A = n3 + (n+1)3 +( n+2)3 9 với mọi n  N*
b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y z
P= + +
y+z z+x x+ y
Bài 5: (6đ)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H �BC). Trên tia HC
lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo m = AB .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và
BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
GB HD
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: =
BC AH + HC
.
Bài 6: (2 đ)
Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có
một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.
Đề 23
Câu1(4đ)
a,đặt a = x2 -2x thì x2 -2x -1 = a-1 .1đ
 A = (x+1)(x-3)(x2-2x+2) 1đ
b, A = x200 +x100 + 1= (x200-x2) + (x100-x4 )+ (x4+x2+1)
=x2(x198-1)+x4(x96-1) + (x4 +x2+1) = x2((x6)33-1)+x4((x6)16-1) + 1đ
(x4+x2=1)= x2(x6-1).B(x) +x4(x6-1).C(x) +(x4 +x2+1)
dễ thấy x6-1 =( x3-1)(x3+1)= (x+1)(x-1)(x4 +x2+1) x4 + x2 + 1
 A chia hết cho x4 + x2 + 1 1đ
Cau 2 :
(2đ 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Có ( x + y + z ) = 2 + 2 + 2 + 2( xy + xz + yz )
2
x y z 0.75đ
z+ y+x
( 3 )2 = p + 2 vậyP+2=3 0,75đ
xyz
suy ra P = 1 0.5đ
Câu 3: giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4 1đ

(3đ) làm đúng được x> 3 0.5đ
b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung 1đ
1 1 1 1
(x+100)( + - - )=0  S =  - 100
57 54 51 48 0.5đ
Câu 4: a, = n3+(n3+3n2+3n+1)+(n3+6n2+12n+8)
3đ =3n3+9n2+15n+9 = 3(n3+3n2+5n+3) 0.5đ
Đặt B= n3+3n2+5n+1 = n3+n2+ 2n2+2n + 3n+3
=n2(n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) 0,5đ
Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên
liên tiếp )
3(n+1) chia hết cho3  B chia hết cho 3  A =3B chia 0,5đ
hết cho 9
a+b+c
b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c  x+y+z = 2
-a+b+c a-b+c a+b-c
 x= ;y= ; z=
2 2 2
-a+b+c a-b+c a+b-c
P= + + = 0.5đ
2a 2b 2c

1 b c a c a b
(-1 + + - 1 + + - 1 + + ) =
2 a a b b c c
1 b a c a b c 3
(-3 + ( + ) + ( + ) + ( + )) 
2 a b a c c b 2
3 1đ
Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c  x=y=z
2
Câu 5: + Hai tam giác

(2đ) ADC và BEC có:
Góc C chung. 0,25 đ
CD CA
= 0,25 đ
(Hai tam
CE CB
giác vuông CDE và
CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 0,25 đ

Suy ra:  BEC= ADC = 135 0 (vì tam giác AHD vuông cân tại H 0,5 đ
theo giả thiết).
Nên AEB = 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. 0,25 đ
Suy ra: BE = AB 2 = m 2 0,5 đ
b) BM 1 BE 1 AD
= � = � (do DBEC ~ DADC ) 0,5đ
Ta có:
2đ BC 2 BC 2 AC
mà AD = AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BM 1 AD 1 AH 2 BH BH
nên = � = � = = (do ABH Đồng 1đ
BC 2 AC 2 AC AB 2 BE
dạng CBA)
Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c)
suy ra: BHM = BEC = 1350  AHM = 45 0 0,5đ

C) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác
2đ góc BAC.
GB AB
Suyra: = ,
GC AC
AB ED AH HD 1đ
vì DABC ~ DDEC nên AC = = = (DE//AH)
DC HC HC
GB HD GB HD GB HD
Do đó: = � = � = 1đ
GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC
Câu 6 Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1) 1đ
Vì p là số nguyên tố nên:
Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn) 0,5đ
2
Hoặc: a +a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1
Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố)
chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác. 0,5đ

Đề 24
Câu 1: (4điểm)
x 2 x - 3y
a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= +
y-2 x-6
1 1 1 3
b. Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c  0. Chứng minh : 3 + 3 + 3 =
a b c abc
Câu 2: (3điểm)
x 2 y2 z2 x 2 + y2 + z2
a. Tìm x,y,x biết : + + =
2 3 4 5
b.Giải phương trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9
Câu 3: (3điểm)
a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với a Z
b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi x Z+
Câu 4: (2điểm)
Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :
Câu 5: (6 điểm)
cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H
AH ' BH CH
a)tính tổng : + +
AA' BB' CC '
Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC;
AIB(M  AC;N  AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM
( AB + BC + CA) 2
c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức :
AA' 2 + B ' B 2 + C ' C 2
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 6(2điểm)
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì
(1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ.
……………..Hết…………………….
Đề 24
Bài Nội dung điểm

Bài1 0,5đ
a) 3y-x=6  x=3y-6
2đ
Thay vào ta có A=4 1,5đ
Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c  0.  ab + ac + bc = 0 

b)
2đ ab + ac + bc
=0
abc
1 1 1
 + + =0
a b c 1đ
1 1 1
Đặt : = x; = y; = z
a b c
chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì: 1đ
x3+y3+z3=3xyz  đpcm
Bài x 2 y2 z2 x 2 + y2 + z2
2: . : + + =
2 3 4 5
a) 1đ
1,5đ
x 2 x 2 y2 y2 z2 z2
 - + - + - =0
2 5 3 5 4 5
0,5đ
3x 2 2 y 2 z 2
 + + =0x=y=z
10 15 20
b) .phươngtrình:
1,5đ
2x(8x-1)2(4x-1)=9  (64x - 16 x + 1)(8x - 2 x ) = 9
2 2
0,25đ
 (64 x 2 - 16x + 1)(64 x 2 - 16x ) = 72
đặt :64x2-16x+0,5=k
0,5đ
Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72  k = 72,25  k  8,5
2
0,25đ
-1 1
Với k=8,5 Ta có x= ;x =
4 2
0,25đ
Với k=-8,5 phương trình vô nghiệm

0,25đ
Vậy phương trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2
Bài 3 , có: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5)

a) 0, 75đ
= a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)
1.5đ
vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên
0,25đ
tiếp nên30 (2)
5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết
0,25đ
cho 30
Từ (1); (2) suy rađpcm 0,25đ
b)
1.5đ b,Từ bài toán trên ta có: x5-x5  x5-x+2 chia 5 dư 2 0,75đ
 x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương
nào có tận cùng là 2hoặc 7) Vậy: 0,5đ
x5-x+2 không thế là số chính phương với mọi x Z + 0,25đ
Câu4  b  c  a   c b 2 1  a2 
2đ đặt A=  a +  b +  c +  = ab + + +   c + 
 ac  ba  bc   b ac a 2  bc 
a 2 c2 a b2 b c 1 1đ
= abc + + + 2 + + 2 + 2 + =
c b b a c a abc
0,5đ
 1   a 2 c   c2 b   b2 a 
 abc + + + + + + + 
 abc   c a 2   b c 2   a b 2  0,5đ
1
tacó x+  2"x >0 Nên A  8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
x

câu 5
a)
1
( BA'+ A' C ). AH
AH 2 S + S AHC
Ta có : A' A = 1
= AHB (1)
S ABC
AH .BC
2
BH S AHB + S BHC 1đ
Tương Tự: BB ' = S ABC
(2)
CH S + S AHC
== CHB (3)
CC S ABC 0,25 đ
AH ' BH CH 2( S AHB + S BHC + S CHA )
Từ (1); (2); (3) ta có: AA' + BB' + CC ' = =2 0,25 đ
S ABC
b.
0,5 đ
b) áp d ụng tính chất đường phân giác vào các tam giácABC,
ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; = suy ra
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC AB. AC
. . = . . = . = =1
IC NB MA AC BI AI AC BI AC . AB 0,75 đ
c)  BI . AN .CM = BN .IC. AM
c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 0,75 đ
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD 0,5 đ
- D BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2  (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 0,5 đ
4CC’2  (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2
4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 0,25 đ
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2
(AB + BC + CA ) 2 0,25 đ
4
 AA'2 + BB'2 + CC'2 0,25 đ
(Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB=BC 0,25 đ
Tức tam giác ABCđều 0,25 đ
0,25 đ
2 2
Câu6 có 1+a =ab+ac+bc+a =(a+c)(a+b) 1đ
2đ Tương tự 1+b2 =(a+b)(b+c)
1+c2=(b+c)(a+c) 0,5đ

 (1 + a )(1 + b )(1 + c 2 ) =  ( a + b )( a + c )( b + c )  đpcm 0,5đ
2 2 2
Đề 25
Bài 1: (5 điểm)
� 2 �1 � 1 �1 �� x - 1
Cho biểu thức: A = � 3 � + 1 +
� 2 � 2 + 1 ��: 3
�( x + 1) � x � x + 2x + 1 � x �� x
a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A<1
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
Bài 2:
(3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Bài 3 (4 điểm):
a) Giải phương trình:
1 6y 2
= +
3 y - 10 y + 3 9 y - 1 1 - 3 y
2 2
b) Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 4 (6 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối
D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối
của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G,
H cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 5: (2 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6+3x2+1=y3
Đề 25
BÀI NỘI DUNG

Bài 1  2x x2 +1  x -1 1đ

A=  + : ĐKXĐX  {0;1;-1}
a)  ( x + 1) .x
2 2
( x + 1) 2 x 2  x 3
( x + 1) 2 x 3 0,5đ
A= ( x - 1)( x + 1) 2 x 2
x
A= x - 1 0,5đ
-1
Tacó:1-A= x - 1 >0 khi x-1<0 suy ra x<1
b) 1đ
Kết hợp với điều kiện xác định ta có:A<1 khi:x<1 và x≠0;-1
1 0,5đ
A= 1+ x - 1
c)
Vì x nguyên nên x-1 nguyên để A là số nguyên thì x-1là ước của
1 1đ
Hoặc x-1=1 suy ra x=2
Hoặc x-1=-1 suy ra x=0 (loai)
Vởy x=2 là giá trị cần tìm 0,5đ
Bài 2: Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a2+b2+c2=1

Nếu abc >0 ta có:A=abc+a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1 0,5đ
A=(a+b+c+1)2+abc  0 (1) 0,5đ
Nếu: abc<0 ta có:
A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc 0,5đ
Biến đổi được :A=( 1+a)(1+b)(1+c) +(-abc) 0;5đ
Vì ì a2+b2+c2=1nên -1  a; b; c  1 nên (1+a)(1+b)(1+c)  0
Và -abc  0 nên A  0 (2) 0,5đ
Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)  0 0,5đ
Bài 3: Biến đổi phương trình về: 1 -2 0,75đ

=
a) (3 y - 1)( y - 3) (3 y - 1)(3 y + 1)
1 -1
Đkxđ: y  {3; 3 ; 3 } 0,25đ
 3y+1=-2y+6
0,5đ
 y=1(thoả mãn) vậyphương trình có nghiệm duy nhất y=1
b) 0,5đ
Từ giả thiết chỉ ra: 14x2-28x +70 chia hết cho x2+bx+c 0,75đ
 (x2-2x+5 ) (x2+bx+c) mà b; c là các số nguyên nên b=-2;
0,75đ
c=5 0,5đ
Khi đó P(1) =12-2.1+5 =4
Bài 4: Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số 0,5đ
1/2 E
Từ đó chứng A B
minh:CK=ED (1) 0,5đ

EB=BC (2)
BED = BCK =1350 (3)
C
từ: (1);(2);(3)suy ra: D
I
DBED = DBCK (cg .c ) 1đ
 EBD = CBK G
K
 DBK = 90 0 0,5đ
H
b)
Chứng minh tứ giác DEKM là hinhchữ
M
nhật
Suy ra tam giác CKM vuông cân tại M  0,5đ
H là trung điểm củaCM
AI//DM (cùng vuông góc với DE) HI//DM (T/c đường trung 0,5đ
bình) nên A; ;I;H thẳng hàng (1)
Các tam giác CIH; CHK vuông cân tại Cvà H nên KH= CI =DI 0,5đ
Mà DI//KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành 0,25đ
Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật 0,25đ
Do đó EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK 0,25đ
vậy: G  IH (2) 0.5đ
Tử (1); (2) ta có A;I;G;H thẳng hàng 0,25đ
0,5đ
Bài 5: Với x≠ 0 ta có 3x4>0; 3x2>0 ta có 0,5đ
(x2)3 <y3<(x+1)3 nên phương trình vô nghiệm 1,0đ
Với x=0 ta có y3=1 suy ra y=1 0,25đ
Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1) 0, 25đ
ĐỀ THI SỐ 26
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Cho biểu thức :
2+ x 4x2 2- x x 2 - 3x
A=( - 2 - ):( )
2- x x -4 2+ x 2 x 2 - x3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
x y z a b c x2 y 2 z 2
b) Cho + + = 1 + +
và x y z = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
a b c a b c

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình
chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án Điểm

Bài 1
a 2,0
2 2
3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 = 1,0
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5
= (x - 2)(3x - 1). 0,5
b 2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5
= (x - a)(ax - 1). 0,5
Bài 2: 5,0
a 3,0
ĐKXĐ :
�2 - x �0
�2
�x - 4 �0 �x �0
� � 1,0
�2 +�۹�x 0 �x 2
�x 2 - 3 x �0 �x �3
� �
�
�2 x - x �0
2 3
2 + x 4x2 2- x x 2 - 3x (2 + x) 2 + 4 x 2 - (2 - x ) 2 x 2 (2 - x)
A=( - 2 - ):( 2 ) = . = 1,0
2 - x x - 4 2 + x 2 x - x3 (2 - x)(2 + x) x ( x - 3)
4 x2 + 8x x(2 - x)
. = 0,5
(2 - x)(2 + x) x - 3
4 x( x + 2) x (2 - x) 4x2
= = 0,25
(2 - x)(2 + x )( x - 3) x - 3
4x 2
Vậy với x �0, x ��2, x �3 thì A = . 0,25
x -3
b 1,0
2
4x
Với x �0, x �3, x ��2 : A  0 � 0 0,25
x -3
� x-3 0 0,25
� x  3(TMDKXD) 0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25
c 1,0
x-7 = 4
�
x-7 = 4 � � 0,5
x - 7 = -4
�
�x = 11(TMDKXD)
�� 0,25
�x = 3( KTMDKXD)
121
Với x = 11 thì A = 0,25
2
Bài 3 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
� (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0
� 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5
Do : ( x - 1) 2 �0;( y - 3) 2 �0;( z + 1) 2 �0 0,5
Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25
b 2,5
a b c ayz+bxz+cxy
Từ : + + =0� =0 0,5
x y z xyz
� ayz + bxz + cxy = 0 0,25
x y z x y z
Ta có : + + = 1 � ( + + )2 = 1 0,5
a b c a b c
2 2 2
x y z xy xz yz
� 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1 0,5
a b c ab ac bc
x 2
y 2
z 2
cxy + bxz + ayz
� 2 + 2 + 2 +2 =1 0,5
a b c abc
x2 y 2 z 2
� 2 + 2 + 2 = 1(dfcm) 0,25
a b c
Bài 4 6,0
H
B C
0,25
F
O
E
A
K
D
a 2,0
Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : DBEO = DDFO( g - c - g ) 0,5
=> BE = DF 0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25
b 2,0
Ta có: �
ABC = � � = KDC
ADC � HBC � 0,5
Chứng minh : DCBH : DCDK ( g - g ) 1,0
CH CK
� = � CH .CD = CK .CB 0,5
CB CD
b, 1,75
Chứng minh : DAFD : DAKC ( g - g ) 0,25
AF AK
� = � AD. AK = AF . AC 0,25
AD AC
Chứng minh : DCFD : DAHC ( g - g ) 0,25
CF AH
� = 0,25
CD AC
CF AH
Mà : CD = AB � = � AB. AH = CF .AC 0,5
AB AC
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25
ĐỀ SỐ 27
Câu1.
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
x4 + 4
( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) - 24
b. Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
a b c a2 b2 c2
c. Cho + + = 1. Chứng minh rằng: + + =0
b+ c c + a a+ b b + c c + a a+ b
� x 2 1 �� 10 - x2 �
Câu2. Cho biểu thức: A = �2 + + �: �x - 2+ �
�x - 4 2 - x x + 2 �� x+ 2 �
a. Rút gọn biểu thức A.
1
b. Tính giá trị của A , Biết x = 2 .
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME 
AB, MF  AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.

1 1 1
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: + + �9
a b c
b. Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu Đáp án Điểm
a. x + 4 = x + 4x + 4 - 4x2
4 4 2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2

= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52 (2
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) điểm)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
Câu 1 b. x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0 <=>
(6 điểm)
( )
x2 - x + 1 ( x - 5) ( x + 6) = 0 (*)
1 3
Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0 "x
2 4
 (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0
�x - 5= 0 �x=5
 � �� (2
�x + 6= 0 � x= -6 điểm)
a b c
c. Nhân cả 2 vế của: + + =1
b + c c + a a+ b (2
với a + b + c; rút gọn � đpcm điểm)
� x 2 1 �� 10 - x2 �
Biểu thức: A = + +
�x2 - 4 2 - x x + 2 �� : x - 2 + �
� �� x+ 2 �
-1 (1.5
a. Rút gọn được kq: A =
x- 2 điểm)
1 1 -1
b. x = � x = hoặc x =
Câu 2 2 2 2
(6 điểm)
4 4 (1.5
�A = hoặc A =
3 5 điểm)
c. A  0 � x  2 (1.5
điểm)
-1 (1.5
d. A �Z � �Z ... � x� 1;3
x- 2 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
HV + GT + KL
(1
điểm)
a. Chứng minh: AE = FM = DF (2
Câu 3 � DAED = DDFC � đpcm điểm)
(6 điểm)
b. DE, BF, CM là ba đường cao của DEFC � đpcm (2
điểm)
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
� ME + MF = a không đổi
� SAEMF = ME.MF lớn nhất � ME = MF (AEMF là hình
vuông) (1
� M là trung điểm của BD. điểm)
�1 b c
�a = 1+ +
a a
�
�1 a c
a. Từ: a + b + c = 1 � � = 1+ +
�b b b
�1 a b
Câu 4: �c = 1+ c + c
�
(2 điểm) (1
điểm)
1 1 1 �a b � �a c � �b c �
� + + = 3 + � + �+ � + �+ � + �
a b c �b a � �c a � �c b �
�3 + 2 + 2 + 2 = 9
1
Dấu bằng xảy ra � a = b = c =
3
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab =
a2002 + b2002
 (a+ b) – ab = 1
 (a – 1).(b – 1) = 0
(1
 a = 1 hoÆc b = 1
điểm
Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0
)
(lo¹i)
Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0
(lo¹i)
VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
§Ò thi SỐ 28
a 3 - 4a 2 - a + 4
C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=
a 3 - 7a 2 + 14a - 8
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u 2 : (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt
cho 3 th× tæng çc lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.
b) T×m çc gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt ®ã .
C©u 3 : (2 ®iÓm)
1 1 1 1
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : + 2 + 2 =
x + 9 x + 20 x + 11 x + 30 x + 13x + 42 18
2
b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :

a b c
A= + +
b+c-a a +c -b a+b-c
3
C©u 4 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc
xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n
c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh :
BC 2
a) BD.CE=
4
b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña çc gãc BDE vµ CED.
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.
C©u 5 : (1 ®iÓm)
T×m tÊt c¶ çc tam gi¸c vu«ng cã sè ®o çc c¹nh lµ çc sè
nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .
®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái
C©u 1 : (2 ®)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)

=(a-1)(a+1)(a-4)
0,5
a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) -
7a( a-2 )
=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)
0,5
Nªu §KX§ : a  1; a  2; a  4
0,25
a +1
Rót gän P= a - 2
0,25
a-2+3 3
b) (0,5®) P= a-2
= 1+
a-2
; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ íc cña 3,
mµ ¦(3)=  - 1;1;-3;3
0,25
Tõ ®ã t×m ®îc a   - 1;3;5
0,25
C©u 2 : (2®)
a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .
0,25
Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2 + 2ab + b 2 ) - 3ab =
=(a+b) (a + b) 2 - 3ab 0,5
V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;
Do vËy (a+b) (a + b) 2 - 3ab chia hÕt cho 9 0,25
b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36
0,5
Ta thÊy (x2+5x)2  0 nªn P=(x2+5x)2-36  -36 0,25
Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
Tõ ®ã ta t×m ®îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25
C©u 3 : (2®)
a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
2
x +11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25
§KX§ : x  -4; x  -5; x  -6; x  -7 0,25
Ph¬ng tr×nh trë thµnh :
1 1 1 1
+ + =
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18
1 1 1 1 1 1 1
- + - + - =
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18
1 1 1
- =
x + 4 x + 7 18
0,25
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Tõ ®ã t×m ®îc x=-13; x=2; 0,25
b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
y+z x+z x+ y
Tõ ®ã suy ra a= 2
;b =
2
;c =
2
; 0,5
y+z x+z x+ y 1 y x x z y z 
Thay vµo ta ®îc A= 2x
+
2y
+
2z
= ( + ) + ( + ) + ( + ) 
2 x y z x z y 
0,25
1
Tõ ®ã suy ra A  2 (2 + 2 + 2) hay A  3 0,25
C©u 4 : (3 ®)
a) (1®)
Trong tam gi¸c BDM ta cã : ˆ = 120 0 - Mˆ
D1 1
V× M̂ 2 =600 nªn ta cã : Mˆ 3 = 120 0 - Mˆ 1 y

A
Suy ra ˆ =M
D ˆ
1 3
x
E
Chøng minh DBMD ∾ DCEM (1) 0,5
D 2
BD CM 1
Suy ra BM
=
CE
, tõ ®ã BD.CE=BM.CM 2 3
B 1 C
M
BC BC 2
V× BM=CM= 2
, nªn ta cã BD.CE= 0,5
4
BD MD
b) (1®) Tõ (1) suy ra CM
=
EM
mµ BM=CM nªn ta cã
BD MD
=
BM EM
Chøng minh DBMD ∾ DMED 0,5

Tõ ®ã suy ra ˆ =D
D ˆ , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE
1 2
Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED

0,5
c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC
Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5
TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5
C©u 5 : (1®)
Gäi çc c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn
lµ z
(x, y, z lµ çc sè nguyªn d¬ng )
Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25
Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2
0,25
z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®îc :
xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25
Tõ ®ã ta t×m ®îc çc gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25
ÑEÀ THI SOÁ 29

Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû
A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15
Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:
( x - a ) ( x - 10 ) + 1

phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc
heä soá nguyeân
Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) =
x 4 - 3x 3 + ax + b chia heát cho ña
thöùc B( x) = x 2 - 3x + 4
Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc
Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD
vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.
Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng
Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng
1 1 1 1
P= 2
+ 2 + 4 + ... + 1
2 3 4 1002
Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm
Caâ Ñaùp aùn Bieåu
u ñieåm
1 A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15
2ñ ( )(
= a 2 + 8a + 7 a 2 + 8a + 15 + 15 ) 0,5 ñ
0,5 ñ
=(a ) ( )
2
2
+ 8a + 22 a 2 + 8a + 120 0,5 ñ
0,5 ñ
=(a )
2
2
+ 8a + 11 - 1
=(a 2
+ 8a + 12 ) ( a 2
+ 8a + 10)
= ( a + 2) ( a + 6) ( a 2
+ 8a + 10 )
2 Giaû söû: ( x - a ) ( x - 10 ) + 1 = ( x - m ) ( x - n ) ;(m, n �Z ) 0,25
2ñ � x 2 - ( a + 10 ) x + 10a + 1 = x 2 - ( m + n ) x + mn ñ
0,25
�  m + n = a +10
m.n =10 a +1 ñ
Khöû a ta coù : 0,25
mn = 10( m + n – 10) + 1 ñ
� mn - 10m - 10n + 100 = 1
� m(n - 10) - 10n + 10) = 1
vì m,n nguyeân ta coù:  n -10=1 v  n-10=-1 0,25
m -10 =1 m -10 =-1
ñ
suy ra a = 12 hoaëc a =8
0,25
ñ
0,25
ñ
0,25
ñ
0,25
ñ
3 Ta coù:
1ñ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 ñ
Ñeå A( x)MB( x) thì  b+ 4=0 �  b =-4 0,5 ñ
a - 3= 0 a =3
4
3ñ
0,25
ñ
Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng

� ; Hy phaân giaùc
Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB 0,25
�
cuûa goùc AHC �
maø AHB �
vaø AHC laø hai goùc keà ñ
buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc 0,25
�
Hay DHE �
= 900 maët khaùc ADH �
= AEH = 900 ñ
Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1) 0,25
�
AHB 900
ñ
�
AHD = = = 450 0,25
2 2
� ñ
Do � AHC 900
AHE = = = 450 0,5 ñ
2 2
��AHD = �
AHE 0,5 ñ
Hay HA laø phaân giaùc DHE� (2)
Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 0,25
ñ
0,25
ñ
0,25
ñ
5 P=
1 1 1
+ 2 + 4 + ... +
1
2ñ 2
2 3 4 100 2
=
1
+
1
+
1
+ ... +
1 0,5 ñ
2.2 3.3 4.4 100.100

1
+
1
+
1
+ ... +
1 0,5 ñ
1.2 2.3 3.4 99.100
1 1 1
= 1 - + - + ... + -
1 1 0,5 ñ
2 2 3 99 100
1 99 0,5 ñ
= 1- = 1
100 100

ĐỀ THI SỐ 30
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:

x - 241 x - 220 x - 195 x - 166
+ + + = 10 .
17 19 21 23
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
( 2009 - x ) + ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
19
= .
( 2009 - x ) - ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
49
Bài 4: (3 điểm)
2010x + 2680
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
x2 + 1
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA,
� = BFD,
AB sao cho: AFE � � = CDE,
BDF � � = AEF
CED � .
� = BAC
a) Chứng minh rằng: BDF � .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
Một lời giải:
Bài 1:
(�x + y + z ) - x 3 �
3
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = � �
-�
y3 + z 3 �
� �

= ( y + z) �
(�x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x 2 �- ( y + z ) ( y 2 - yz + z 2 )
2
�
= ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = 3 ( y + z ) �

x ( x + y) + z ( x + y) �
2
� �
= 3( x + y) ( y + z) ( z + x ) .
x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x - x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 )

4 2
b)
= x ( x - 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x - x + 2010 ) .
2 2 2 2
x - 241 x - 220 x - 195 x - 166

Bài 2: + + + = 10
17 19 21 23
x - 241 x - 220 x - 195 x - 166
� -1+ -2+ -3+ -4=0
17 19 21 23
x - 258 x - 258 x - 258 x - 258
� + + + =0
17 19 21 23
�1 1 1 1 �
� ( x - 258 ) � + + + �= 0
�17 19 21 23 �
� x = 258
Bài 3:
( 2009 - x ) + ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
19
= .
( 2009 - x ) - ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
49
ĐKXĐ: x �2009; x �2010 .
Đặt a = x – 2010 (a �0), ta có hệ thức:
( a + 1) - ( a + 1) a + a 2 = 19
2
a 2 + a + 1 19
� =
( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 49 3a 2 + 3a + 1 49
2
� 49a 2 + 49a + 49 = 57a 2 + 57a + 19 � 8a 2 + 8a - 30 = 0

� 3
� a=
2
� ( 2a + 1) - 4 = 0 � ( 2a - 3) ( 2a + 5 ) = 0 � �
2 2
(thoả ĐK)
� 5
a=-
� 2
4023 4015
Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK)
2 2
4023 4015
Vậy x = và x = là giá trị cần tìm.
2 2
Bài 4:
2010x + 2680
A=
x2 + 1
-335x 2 - 335 + 335x 2 + 2010x + 3015 335(x + 3) 2
= = -335 + �-335
x2 + 1 x2 + 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.
C
Bài 5:
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E�=A � = F$ = 90o )
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân
� .
giác của BAC
D
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF F
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

3AD + 4EF nhỏ nhất � AD nhỏ nhất
� D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
A E B
Bài 6:
� = BFD
a) Đặt AFE � = w, BDF � = CDE� = a, CED � = AEF � = b.
� + b + w = 1800 (*)
Ta có BAC
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại
O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
A
� + OED
� OFD � + ODF� = 90o (1) E
� + w + OED
Ta có OFD � + b + ODF� + a = 270 (2)
o
F w b
(1) & (2) � a + b + w = 180o (**)
wO b
� = a = BDF
(*) & (**) � BAC � .
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
B� = b, C
�=w
� DAEF DDBF DDEC DABC a a
s
s
s
� B D C
�BD BA 5 � 5BF � 5BF � 5BF

=
�BF BC 8 � = BD = �BD = �BD =
8 8 8
� � � �
�CD CA 7 � 7CE � 7CE � 7CE
� = = �� CD = �� CD = �� CD =
�CE CB 8 � 8 � 8 � 8
�AE AB 5 �7AE = 5AF � 7(7 - CE) = 5(5 - BF) � 7CE - 5BF = 24
� = = � � �
�AF AC 7 � � �
� CD - BD = 3 (3)
Ta lại có CD + BD = 8 (4)
(3) & (4) � BD = 2,5
ĐỀ SỐ 31
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
x - 17 x - 21 x + 1
b) + + =4
1990 1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
1 1 1
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0.
x y z

yz xz xy
Tính giá trị của biểu thức: A= + 2 + 2
x + 2 yz y + 2 xz z + 2xy
2
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm
1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị
vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số
chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực
tâm.
HA' HB' HC'
a) Tính tổng + +
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
( AB + BC + CA ) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức AA' 2 + BB' 2 + CC' 2
đạt giá trị nhỏ nhất?
ĐÁP ÁN
 Bài 1(3 điểm):
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )
 Bài 2(1,5 điểm):

1 1 1 xy + yz + xz
+ + =0 = 0  xy + yz + xz = 0  yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x y z xyz
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
yz xz xy
Do đó: A = ( x - y)( x - z) + ( y - x )( y - z) + (z - x )(z - y) ( 0,25điểm )
Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )
 Bài 3(1,5 điểm):

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d  N, 0  a , b, c, d  9, a  0 (0,25điểm)
Ta có: abcd = k 2
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 với k, m  N, 31  k  m  100
abcd = k 2
 abcd + 1353 = m 2 (0,25điểm) (0,25điểm)

Do đó: m2–k2 = 1353
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
(0,25điểm)
 m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 hoặc m–k = 33
m = 67 m = 37
 hoặc
k = 56 k= 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng abcd = 3136
(0,25điểm)
Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
1
.HA'.BC
S 2 HA'
a) S HBC = = ;
1 AA'
ABC .AA'.BC
2
(0,25điểm)
S HC' S HB'
Tương tự: S
HAB
= ;
HAC
=
ABC CC' S ABC BB'
(0,25điểm)
HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC
+ + = + + =1 (0,25điểm)
AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; = (0,5điểm )
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
. . = . . = . =1
IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm )
 BI .AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm )
c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
(0,25điểm)
(0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD
(0,25điểm)
 AB2 + AD2  (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2
4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
4BB’2  (AB+BC)2 – AC2
(AB + BC + CA ) 2
4 (0,25điểm)
 AA'2 + BB'2 + CC'2
Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC
 AB = AC =BC  D ABC đều
Kết luận đúng (0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó
ĐỀ SỐ 32
Bài 1 (4 điểm)
 1 - x3  1 - x2
Cho biểu thức A =  - x  : với x khác -1 và 1.
 1- x  1- x - x + x
2 3
a, Rút gọn biểu thức A.

2
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = -1 .
3
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 2 (3 điểm)
Cho ( a - b ) + ( b - c ) + ( c - a ) = 4.( a + b + c - ab - ac - bc ) .
2 2 2 2 2 2
Chứng minh rằng a = b = c .

Bài 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu
lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4 - 2a3 + 3a 2 - 4a + 5 .
Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi
M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng
qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
1 1 2
b, Chứng minh rằng + = .
AB CD MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
Đáp án
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ
1- x - x + x
3 2
(1 - x )(1 + x)
A= 1- x
:
(1 + x )(1 - x + x 2 ) - x (1 + x)
(1 - x )(1 + x + x 2 - x ) (1 - x )(1 + x) 0,5đ
= 1- x
:
(1 + x)(1 - 2 x + x 2 )
1
= (1 + x ) : (1 - x)
2 0,5đ
= (1 + x 2 )(1 - x) 0,5đ
b, (1 điểm)

2 5  5 2  5  0,25đ
Tại x = -1
3
= -
3
thì A = 1 + (- 3 )  - 1 - ( - 3 ) 
25 5 0,25đ
= (1 + )(1 + )
9 3
34 8 272 2 0,5đ
= . = = 10
9 3 27 27
c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 - x)  0 (1) 0,25đ
Vì 1 + x 2  0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 - x  0  x  1 0,5đ
KL 0,25đ
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ
a + b - 2ab + b + c - 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c - 4ab - 4ac - 4bc
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Biến đổi để có (a 2 + b 2 - 2ac) + (b 2 + c 2 - 2bc) + (a 2 + c 2 - 2ac) = 0 0,5đ

Biến đổi để có (a - b) 2 + (b - c) 2 + (a - c) 2 = 0 (*) 0,5đ
Vì (a - b) 2  0 ; (b - c) 2  0 ; (a - c) 2  0 ; với mọi a, b, c 0,5đ
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a - b) 2 = 0 ; (b - c) 2 = 0 và (a - c) 2 =0; 0,5đ
Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ
Bài 3 (3 điểm)
0,5đ
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11.
x
Phân số cần tìm là x + 11
(x là số nguyên khác -11)
x-7 0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x + 15
(x khác -15)
x x + 15 0,5đ
Theo bài ra ta có phương trình =
x + 11 x - 7
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 1đ
5 0,5đ
Từ đó tìm được phân số -
6
Bài 4 (2 điểm)
0,5đ
Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) - 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 - 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a - 1) 2 + 3 0,5đ
Vì a 2 + 2  0 "a và (a - 1) 2  0"a nên (a 2 + 2)(a - 1) 2  0"a do đó 0,5đ
(a + 2)( a - 1) + 3  3"a
2 2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a - 1 = 0 Ba = 1 0,25đ

KL 0,25đ
Bài 5 (3 điểm)
M N
A
D I C
a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ
b,(2điểm)
Tính được AD =
4 3
cm ; BD = 2AD =
8 3
cm
0,5đ
3 3
1 4 3
AM = 2 BD = cm
3
Tính được NI = AM =
4 3
cm
0,5đ
3
DC = BC =
8 3
cm , MN =
1
DC = 4 3 cm 0,5đ
3 2 3
Tính được AI =
8 3
cm
0,5đ
3
A B
Bài 6 (5 điểm) O
M N
D C
a, (1,5 điểm)
OM OD ON OC 0,5đ
Lập luận để có = , =
AB BD AB AC
OD OC 0,5đ
Lập luận để có =
DB AC
OM ON 0,5đ
 =  OM = ON
AB AB
b, (1,5 điểm)
OM DM OM AM 0,5đ
Xét DABD để có = (1), xét DADC để có = (2)
AB AD DC AD
1 1 AM + DM AD
Từ (1) và (2)  OM.( AB + CD ) = AD
=
AD
=1
1 1 0,5đ
Chứng minh tương tự ON. ( AB + CD ) = 1
1 1 1 1 2 0,5đ
từ đó có (OM + ON). ( AB + CD ) = 2  AB + CD = MN
b, (2 điểm)
S AOB OB S OB S S 0,5đ
= , S
BOC
=  AOB = BOC  S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
S AOD OD DOC OD S AOD S DOC
Chứng minh được S AOD = S BOC 0,5đ
 S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2 0,5đ
Thay số để có 2008 .2009 = (SAOD)  SAOD = 2008.2009
2 2 2
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị 0,5đ

DT)
ĐỀ SỐ 33
§Ò thi häc sinh giái líp 8
C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó:

a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.
n 4 + 3n 3 + 2n 2 + 6n - 2
b, B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.
n2 + 2
c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n  2)
C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :
a b c
a, + +
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
=1 biÕt abc=1
b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2

a2 b2 c2 c b a
c, + +  + +
b2 c2 a2 b a c
C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:
x - 214 x - 132 x - 54
a, 86
+
84
+
82
=6
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng.
C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm
hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i
E,c¾t BCt¹i F.
a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c
BOC.
1 1 2
b. Chøng minh: + =
AB CD EF
c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu çch dùng ®êng th¼ng ®i
qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.
C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓ

m
a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) 0,5
§Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1  n=2 khi ®ã 0,5
A=5

b, (2®iÓm) B=n2+3n-
2 0,5
n +2
2
B cã gi¸ trÞ nguyªn  2  n2+2 0,5

C©u n2+2 lµ íc tù nhiªn cña 2 0,5
1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n 0,5
(5®iÓ HoÆc n +2=2 
2
n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ
m) nguyªn. 0,5
c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1) 0,5
(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1) ( n 2 - 4) + 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2) 0,5
(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5sè tù nhiªn 0,5
liªn tiÕp)
Vµ 5 n(n-1)(n+1 5 VËy D chia 5 d 2
Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng ph¶i
sè chÝnh ph¬ng
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph¬ng
a b c
a, (1®iÓm) + +
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
=
ac abc c
+ + 0,5
abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1
2
ac abc c abc + ac + 1
= 1 + ac + c + c + 1 + ac + ac + c + 1 = abc + ac + 1 = 1 0,5
b, (2®iÓm) a+b+c=0  a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 

a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) 0.5
 a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc
(a+b+c) V× a+b+c=0 0.5
C©u  a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) 0.5
2 MÆt kh¸c
(5®iÓ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . 0.5
m) V× a+b+c=0
 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)
(2)
Tõ (1)vµ(2)  a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0,5
0,5
c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2  2xy 0,5
DÊu b»ng khi x=y
a2 b2 a b a a2 c2 a c c
2
+ 2  2. . = 2. ; 2
+ 2  2. . = 2. ; 0,5
b c b c c b a b a b
2 2
c b c b b
2
+ 2  2. . = 2.
a c a c a
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
a 2 b2 c2 a c b a 2 b2 c2 a c b
2( + + )  2( + + )  + +  + +
b2 c2 a 2 c b a b2 c2 a 2 c b a

x - 214 x - 132 x - 54
a, (2®iÓm) 86
+
84
+
82
=6
x - 214 x - 132 x - 54
 ( - 1) + ( - 2) + ( - 3) = 0 1,0
86 84 82
x - 300 x - 300 x - 300
 + + =0 0,5
86 84 82
 1 1 1 
 (x-300)  + +  = 0  x-300=0  x=300 VËy S =
 86 84 82  0,5
 300
b, (2®iÓm) 2x(8x-1) 2(4x-1)=9
 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9  (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 0,5
C©u 72 0,5
3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 
(5®iÓ k2=72,25  k=± 8,5 0,5
m) Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0  (2x-1)
1 -1 0,5
(4x+1)=0;  x= 2 ; x = 4
Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0  (8x-
1)2+8=0 v« nghiÖm.
 1 - 1
VËy S =  2 , 
4 
 0,5
c, (1®iÓm) x -y +2x-4y-10 = 0  (x2+2x+1)-
2 2
(y2+4y+4)-7=0 0,5
 (x+1)2-(y+2)2=7  (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y
nguyªn d¬ng
Nªn x+y+3>x-y-1>0  x+y+3=7 vµ x-y-1=1
 x=3 ; y=1
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt
(x,y)=(3;1)

a,(1®iÓm) V× AB//CD  S DAB=S CBA 0,5
(cïng ®¸y vµ cïng ®êng cao) A B
 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB 0,5
Hay SAOD = SBOC K O
E F
I
M
N
C 0,5
D
b, (2®iÓm) V× EO//DC 
EO
=
AO
MÆt kh¸c AB//DC 1,0
C©u DC AC
AB AO AB AO AB AO EO AB
4  =  =  =  = 0,5
DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC
(5®iÓ EF AB AB + DC 2 1 1 2
m)  =  =  + = 1,0
2 DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF
c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N 
DF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I 1,0
th× SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2)  SDEKN=SKFN.
ĐỀ SỐ 34
x 3 - 3x x+4
C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A = - 2 + 3
x +1 x - x +1 x +1
a) Rót gän biÓu thøc A
b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d¬ng víi mäi x ≠
-1
C©u 2(4.0 ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a) x - 3 x + 2 + x - 1 = 0
2
2 2 2
1 � �2 1 � �2 1 � � 1�
b) 8 � �x + �= ( x + 4 )
2
�x + �+ 4 �x + 2 �- 4 �x + 2 �
� x � x� x
� x
� �
� �
C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1.

x y 2 ( xy - 2 )
Chøng minh r»ng: + 3 - 2 2 =0
y -1 x -1 x y + 3
3
C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x  Q th× gi¸
trÞ cña ®a thøc :
M = ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 16 lµ b×nh ph¬ng cña mét sè
h÷u tØ.
C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB),
®êng cao AH (H �BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD =
HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.
4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng.
TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m = AB .
5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai
tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc
AHM
GB HD
6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: =
BC AH + HC
.
----------------------------------------------
HÕt-------------------------------------------------
Híng dÉn chÊm to¸n 8

C© Néi dung §iÓm
u
1
x 3 - 3x x+4 1®iÓ
- Rót gän: A = - 2 + 3 =
x +1 x - x +1 x +1
m
( )
x x 2 - x + 1 - ( x + 1) ( 3 - 3x ) + x + 4
a
( x + 1) ( x 2 - x + 1)
1®iÓ
=
(
x3 + 2 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1) x + x + 1
2
)
=
x2 + x + 1
= m
( ) ( )
( x + 1) x 2 - x + 1 ( x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1
b � 1� 3
2
�x + �+
x + x +1
2
� 2� 4 1®iÓ
Víi mäi x ≠ - 1 th× A = 2 = 2
x - x +1 � 1� 3
�x - �+ m
� 2� 4
2 2
� 1� 3 � 1� 3
V× �x + �+  0; �x - �+  0, "x �-1 � A  0, "x �-1
� 2� 4 � 2� 4

1®iÓ
m
2
* Víi x 1 (*)  x - 1  0  x - 1 = x - 1 ta cã ph¬ng tr×nh
1®iÓ
x2 -3x + 2 + x-1 = 0 � x 2 - 2 x + 1 = 0 � ( x - 1) = 0 � x = 1
2
m
( Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn *)
* Víi x< 1 (**)  x - 1  0  x - 1 = 1 - x ta cã ph¬ng
a tr×nh
x2 -3x + 2 + 1 - x = 0 � x - 4 x + 3 = 0 � ( x - 1) ( x - 3) = 0
2
+ x - 1 = 0 � x = 1 ( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)

+ x - 3 = 0 � x = 3 ( Kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn **)
1®iÓ
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : x = 1
m
* §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1) 0.5®i
2
� 1 � � 2 1 �� 2 1 �� 1� 2
� Óm
�x + 2 �- �x + ��= ( x + 4 )
2
* pt � 8 �x + �+ 4 �x + 2 ��
� x � � x �� x � � x ��
�2 1 � �2 1 �� 2 1 �� 1� 2
�
�x + 2 �- �x + ��= ( x + 4 )
2
� 8 �x + 2 + 2 �+ 4 �x + 2 ��
� x � � x �� x � � x �� 1®iÓ
b
� 16 = ( x + 4 ) � x ( x + 8 ) = 0 � x = 0 hoÆc x = -8 m
2
So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph¬ng

tr×nh lµ x = - 8
0.5®i
Óm
3 Ta cã y - 1 = ( y - 1) ( y + y + 1) = - x ( y + y + 1) v× xy  0  x, y  0 
3 2 2
1®iÓ
x, y  0  y-1 0 vµ x-1  0
x -1
m
� = 2
y -1 y + y + 1
3
y -1
x 3 - 1 = ( x - 1) ( x 2 - x + 1) = - y ( x 2 - x + 1) � = 2
x -1 x + x +1
3
x y -1 -1
� + 3 = 2 + 2
y -1 x -1 y + y + 1 x + x + 1
3
1®iÓ

�x 2 + x + 1 + y 2 + y + 1 � � ( x + y ) - 2 xy + ( x + y ) + 2
2
� m
= -� 2 �= - � �
�( x + x + 1) ( y 2 + y + 1) � �x 2 y 2 + ( x + y ) 2 - 2 xy + xy ( x + y ) + xy + ( x + y ) + 1 �
� � � �
4 - 2 xy x y 2 ( xy - 2 )
=- 2 2 � 3 + 3 - 2 2 =0
x y +3 y -1 x -1 x y + 3
1®iÓ
m
Ta cã: M = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 16 1®iÓ
2 2
§Æt a = x2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + m
8a + 16 = ( a+ 4)2 1®iÓ
4
M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm) m
1®iÓ
m
5
a + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:
Gãc C chung.
CD CA
= (Hai tam gi¸c vu«ng CDE vµ
CE CB
CAB ®ång d¹ng)
1.5®i
Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).
� =�
Suy ra: BEC ADC = 1350 (v× tam gi¸c Óm
AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn �
AEB = 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra:
1®iÓ
BE = AB 2 = m 2
m
BM 1 BE 1 AD
Ta cã: = � = � (do DBEC : DADC )
BC 2 BC 2 AC 1.5®i
mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H)
BM 1 AD 1 AH 2 BH BH Óm
nªn = � = � = = (do DABH : DCBA )
b BC 2 AC 2 AC AB 2 BE
�
Do ®ã DBHM : DBEC (c.g.c), suy ra: BHM � = 1350 � �
= BEC AHM = 450
1®iÓ
m

Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc 1®iÓ
BAC.
GB AB AB ED AH HD m
c Suy ra: = , mµ = ( DABC : DDEC ) = ( ED // AH ) =
GC AC AC DC HC HC
GB HD GB HD GB HD
Do ®ã: = � = � =
ĐỀ SỐ 35
 x2 6 1   10 - x 2 
Bài 1: Cho biểu thức: M =  x 3 - 4 x + 6 - 3x + x + 2  :  x - 2 +
x+2

   
a. Rút gọn M
b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt.
Bài 2: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
b. Cho các số x,y,z thỏa mãn đồng thời:
x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 3 + y 3 + z 3 = 1.
Tính tổng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011
Bµi 3:
1 1 1 1
a. Gi¶i ph¬ng tr×nh: + 2 + 2 =
x + 9 x + 20
2
x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
b. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn:

x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1).
Bài 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã çc ®êng cao AD,BE,CF c¾t nhau
t¹i H.
HD HE HF
a. TÝnh tæng: + +
AD BE CF
b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2
c. Chøng minh: H çch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF.
d. Trªn çc ®o¹n HB,HC lÊy çc ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN.
Chøng minh ®êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét
®iÓm cè ®Þnh.
Híng dÉn chÊm m«n to¸n 8
Bµi Néi dung §iÓm

1 a  x 2
6 1   x2 6 1 
 3 + +  =  - + 
 x - 4 x 6 - 3x x + 2   x( x - 2)( x + 2) 3( x - 2) x + 2  0,5
x - 2( x + 2) + ( x - 2)
=
( x + 2)( x - 2)
-6
= 0,5
( x + 2)( x - 2)

 x - 2 +
10 - x 2 
 =
( x + 2)( x - 2) + (10 - x 2 )
 x+2  x+2
6 0,5
=
x+2
-6 x+2 1
� M= . =
( x - 2)( x + 2) 6 2- x 0,5
b + NÕu x �2 th× M �0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN. 0,5

+ VËy x �2, khi ®ã M cã c¶ Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d-
¬ng, nªn M muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) ph¶i 0,5
lµ GTNN, 0,5
Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d¬ng � 2 – x = 1 � x = 1. 0,5
VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1.
2 a A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + 0,5
c2 - a2 + 2bc) 0,5
= �(b - c ) 2 - a 2 �
� ��
�(b + c ) 2 - a 2 �
� 0,5
= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
b Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác) 0,5
T¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) 0,5
>0 0,5
Vậy A< 0
3 a A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 0,5
2)2 + 2010
Do (x-y)2  0 ; (y - 2)2  0
Nên:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010  2010 0,5
Dấu ''='' x¶y ra  x – y = 0 và y – 2 = 0  x = y = 0,5
2.
Vậy GTNN của A là 2010 t¹i x = y =2

b Ta có: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z
+ x) 0,5
kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z
+ x) = 0
� Một trong các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + 0,5
x) phải bằng 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k : x + y + z = 1 � 0,5
z = 1, l¹i kết hợp với đ/k : x 2 + y 2 + z 2 = 1 � x = y =
0.
Vậy trong 3 số x,y,z phải có 2 số bằng 0 và 1 số
bằng 1,
S = x 2009 + y 2010 + z 2011 = 1
Nên tổng S luôn có giá trị bằng 1.
4 a Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§:

 x �-4; -5; -6; -7 )
1 1 1 1 0,5
+ + =
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18
1 1 1 1 1 1 1 0,5
�( - )+( - )+( - )=
x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18
1 1 0,5
� - = 1 � (x + 4)(x +7) = 54
x+4 x+7 18
� (x + 13)(x – 2) = 0 � x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa 0,5
m·n §KX§)
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: S =  -13; 2

b + Ph¬ng tr×nh ®îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x 2 + 1) 0,25
= (2y + 1) 2
+ Ta chøng minh (x + 1) vµ (x 2 + 1) nguyªn tè cïng
nhau !
V× nÕu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) th× d ph¶i lµ sè lÎ
(v× 2y+1 lÎ) 0,25
�x + x Md 2
�x + 1Md � �x + 1Md
� �2 � �x 2 + 1Md � � � 2 Md mµ d lÎ nªn d =
�x + 1Md �x + 1Md �x - 1Md
�
1. 0,25
+ Nªn muèn (x + 1)(x 2 + 1) lµ sè chÝnh ph¬ng
Th× (x+1) vµ (x 2 + 1) ®Òu ph¶i lµ sè chÝnh ph-
¬ng 0,25
�x 2 + 1 = k 2 �k = 1
§Æt: � � (k + x)(k – x) = 1 � � hoÆc
�x + 1 = t �x = 0
2
�k = -1
�
�x = 0
+ Víi x = 0 th× (2y + 1) 2 = 1 � y = 0 hoÆc y = -1.
(Tháa m·n pt)
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: (x;y) =
 (0;0), (0; -1)
5 A
E
F
H
M
K
I
B
N
D
0,5
C

a HD S ( HBC ) 0,5
Tríc hÕt chøng minh: =
AD S ( ABC )
HE S ( HCA) HF S ( HAB )
= =
0,5
T¬ng tù cã: ;
BE S ( ABC ) CF S ( ABC )
HD HE HF S ( HBC ) + S ( HCA) + S ( HAB ) 0,5
Nªn + + =
AD BE CF S ( ABC )
HD HE HF 0,5
� + + =1
AD BE CF
b Tríc hªt chøng minh D BDH ~ D BEC 0,5
� BH.BE = BD.BC 0,5
Vµ D CDH ~ D CFB � CH.CF = CD.CB. 0,5
� BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 0,5
(®pcm)
c Tríc hÕt chøng minh: D AEF ~ D ABC � � AEF = �
ABC
� = CBA
Vµ D CDE ~ D CAB � CED � 0,5
� � �
AEF = CED mµ EB  AC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña
gãc DEF. 0,5
T¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña çc gãc EDF vµ
DFE. 0,5
VËy H lµ giao ®iÓm çc ®êng ph©n gi¸c cña tam
gi¸c DEF
nªn H çch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF
(®pcm)
d Gäi O lµ giao ®iÓm cña çc ®êng trung trùc cña
hai ®o¹n MN vµ HC, ta cã D OMH = D ONC (c.c.c) � 0,25
�
OHM � .(1)
= OCN
MÆt kh¸c ta còng cã D OCH c©n t¹i O nªn: 0,25
� = OCH
OHC � .(2)
� = OHB
Tõ (1) vµ (2) ta cã: OHC � � HO lµ ph©n gi¸c cña O,2
gãc BHC 5
VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ 0,25
ph©n gi¸c cña gãc BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh.
Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét
®iÓm cè ®Þnh lµ O.
ĐỀ SỐ 36
Bài 1: (3,5đ)a, Với giá trị nào của n thì ( n + 5) ( n + 6 ) M6n với n �N .
b, CMR với n �N thì: n5 - nM30 .
n + 13
c, Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản.
n-2
Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, 4a b - ( a + b - c )
2 2 2 2 2
b, x5 + x + 1
c, ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) + 1
Bài 3: (3đ) Giải phương trình:
a, x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0
1 1 1 1
b, + 2 + 2 =
x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 9
2
c, ( x - 2 ) + ( x - 3) = 1
4 4
Bài 4: (3,5đ)a/ Tìm đa thức dư trong phép chia

1 + x + x19 + x20 + x2010 cho 1 – x2
b/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số
1
táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả.
3
Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả?
Bài 5: (4,5đ)
Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu
của C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng:
a, AB.AE + AD.AF = AC2
b, D FCE D ABC.
Bài 6: (2,5đ) Dựng hình thoi biết Â = 300 và tổng hai đường chéo bằng 5cm.
(Chỉ cần phân tích, nêu cách dựng và dựng hình).
**************-The end-**************
Bài Phần Nội dung Điểm
1 Ta có: (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30
= n(n – 1) + 30 + 12n M6n
a �n ( n - 1) M3 �n = 3 �n = 3k + 1 1
� n ( n + 1) + 30M6n � � ��
30M3
� �n 30
� n = 1; 3; 6; 10; 15; 30
b CMR: với n �N thì: n5 - n M30 1,5
Ta có 30 = 2.3.5
n5 - n = n ( n 4 - 1) = ( n - 1) n ( n + 1) ( n 2 + 1)
n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích
( n - 1) n ( n + 1) M6
ta chứng minh n - n = n ( n - 1) ( n + 1) M5
5 2 2
Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k � 1 hoặc n = 5k �

2
1, Nếu n = 5k thì n5 - nM5
2, Nếu n = 5k � 1 thì n 2 - 1M5 � n5 - n M5
3, Nếu n = 5k � 2 thì n 2 + 1M5 � n5 - nM5

n + 13 15
= 1+ tối giản � ( 15; n - 2 ) = 1
n-2 n-2
c � n �3k + 2 1
� n – 2 3 và n – 2 5 � �
M M � n �3k + 5
4 a 2b 2 - ( a 2 + b 2 - c 2 )
2
= ( 2ab ) - ( a 2 + b 2 - c 2 )
2 2
a = ( 2ab - a 2 - b 2 + c 2 ) ( 2ab + a 2 + b 2 - c 2 ) 1
=� c 2 - ( a - b ) ��( a + b ) - c2 �
2 2
� ��
= ( a + b + c) ( a + b - c) ( c + a - b) ( c - a + b)
x5 + x + 1 = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 x + 1
2 b = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + 1(x2 + x + 1) 1
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) + 1
= ( x + 1) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x + 3) + 1
= ( x2 + 5x + 4) ( x 2 + 5x + 6) + 1
c 1
( x + 5x + 5 ) - 1�
=�
�
2
( x + 5 x + 5 ) + 1�
�
��
2
�+ 1
= ( x 2 + 5 x + 5) - 1 + 1 = ( x 2 + 5x + 5)
2 2
x4 – 30x2 + 31x – 30 = 0
� x 4 + x - 30 ( x 2 - x + 1) = 0
� x ( x 3 + 1) - 30 ( x 2 - x + 1) = 0
� x ( x + 1) ( x 2 - x + 1) - 30 ( x 2 - x + 1) = 0
� ( x 2 - x + 1) ( x 2 + x - 30 ) = 0
3 a � 2 2
� 1
� 1� 3
� x + x - 30 = 0 �
2
vìx - x + 1 = �x - �+  0 �
� � 2� 4 �
� �
� x + 6 x - 5 x - 30 = 0
2
�x = -6
� ( x + 6) ( x - 5) = 0 � �
�x = 5
Vậy S =  -6;5
b 1
+ 2
1
+ 2
1
=
1
x + 4 x + 3 x + 8 x + 15 x + 12 x + 35 9
2
1 1 1 1
� 2 + 2 + 2 =
x + 3x + x + 3 x + 5x + 3x + 15 x + 7 x + 5x + 35 9
1 1 1 1
� + + =
( x + 1) ( x + 3) ( x + 3) ( x + 5) ( x + 5 ) ( x + 7 ) 9
ĐKXĐ: x �-1; -3; -5; -7
Phương trình trên có thể viết:
1�
�1 1 ��1 1 ��1 1 � � 1
�
� - �+ � - �+ � - �= 9
�
�x + 1 x + 3 � �x + 3 x + 5 � �x + 5 x + 7 �
2� �
1�1 1 �1 6 1
� � - �= � =
2 �x + 1 x + 7 � 9 2 ( x + 1) ( x + 7 ) 9
� ( x + 1) ( x + 7 ) = 27 � x 2 + 8 x - 20 = 0
� x 2 + 8 x + 16 = 36 � ( x + 4 ) = 62
2
�x + 4 = 6 �x = 2
�� (TM ĐKXĐ)
�x + 4 = -6 �x = -10
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10
ĐỀ SỐ 37
Bµi 1 (4 ®iÓm)
 1 - x3  1 - x2
Cho biÓu thøc A =  - x  : víi x kh¸c -1 vµ 1.
 1- x  1- x - x + x
2 3
a, Rót gän biÓu thøc A.

2
b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x = -1
3
.
c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0.
Bµi 2 (3 ®iÓm)
Cho ( a - b ) 2 + ( b - c ) 2 + ( c - a ) 2 = 4.( a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc ) .
Chøng minh r»ng a = b = c .
Bµi 3 (3 ®iÓm)
Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh.
Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7
®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®îc ph©n sè nghÞch ®¶o
cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã.
Bµi 4 (2 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a 4 - 2a3 + 3a 2 - 4a + 5 .
Bµi 5 (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 60 0, ph©n gi¸c
BD. Gäi M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD.
a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh.
b, Cho AB = 4cm. TÝnh çc c¹nh cña tø gi¸c AMNI.
Bµi 6 (5 ®iÓm)
H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i O.
§êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t çc c¹nh bªn AD, BC
theo thø tù ë M vµ N.
a, Chøng minh r»ng OM = ON.
1 1 2
b, Chøng minh r»ng + =
AB CD MN
.
c, BiÕt SAOB= 20082 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 20092 (®¬n vÞ
diÖn tÝch). TÝnh SABCD.

híng dÉn chÊm thi häc sinh giái
Bµi 1( 4 ®iÓm )
a, ( 2 ®iÓm )
Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× : 0,5
1- x - x + x (1 - x )(1 + x) ®
3 2
A= 1- x
:
(1 + x )(1 - x + x 2 ) - x (1 + x)
(1 - x )(1 + x + x 2 - x ) (1 - x )(1 + x) 0,5
= 1- x
:
(1 + x)(1 - 2 x + x 2 ) ®
= (1 + x 2 ) :
1 0,5
(1 - x)
®
= (1 + x 2 )(1 - x) 0,5
KL ®
b, (1 ®iÓm)
2 5  5 2  5  0,25
T¹i x = -1 = - th× A = 1 + (- 3 )  - 1 - ( - 3 ) 
3 3 ®
= (1 +
25 5
)(1 + ) 0,25
9 3 ®
=
34 8 272
. = = 10
2 0,5
9 3 27 27 ®
KL
c, (1®iÓm)
Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A<0 khi vµ chØ khi (1 + x 2 )(1 - x)  0 (1) 0,25
®
V× 1 + x 2  0 víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi 1 - x  0  x  1 0,5
KL ®
0,25
®
Bµi 2 (3 ®iÓm)
BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®îc 0,5
a + b - 2ab + b + c - 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c - 4ab - 4ac - 4bc
2 2 2 2 2 2 2 2 2
®
BiÕn ®æi ®Ó cã (a 2 + b 2 - 2ac) + (b 2 + c 2 - 2bc) + (a 2 + c 2 - 2ac) = 0 0,5
®
BiÕn ®æi ®Ó cã (a - b) 2 + (b - c) 2 + (a - c) 2 = 0 (*) 0,5
®
V× (a - b) 2  0 ; (b - c) 2  0 ; (a - c) 2  0 ; víi mäi a, b, c 0,5
nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi (a - b) 2 = 0 ; (b - c) 2 = 0 vµ (a - c) 2 = 0 ; ®
0,5
®
Tõ ®ã suy ra a = b = c 0,5
®
Bµi 3 (3 ®iÓm)
0,5
Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè
®
x
cÇn t×m lµ x+11. Ph©n sè cÇn t×m lµ x + 11
(x lµ sè nguyªn
kh¸c -11)
Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®îc 0,5
x-7 ®
ph©n sè x + 15
(x kh¸c -15)
x x + 15 0,5
Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh x + 11
= x-7
®
Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m ®îc x= -5 (tho¶ m·n) 1®
Tõ ®ã t×m ®îc ph©n sè -
5 0,5
6 ®
KL
Bµi 4 (2 ®iÓm)
0,5
BiÕn ®æi ®Ó cã A= a 2 (a 2 + 2) - 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3 ®
= (a 2 + 2)(a 2 - 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a - 1) 2 + 3 0,5
®
V× a 2 + 2  0 "a vµ ( a - 1) 2  0"a nªn (a 2 + 2)(a - 1) 2  0"a do ®ã 0,5
(a + 2)( a - 1) + 3  3"a
2 2
®
DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi a - 1 = 0  a = 1 0,25
®
KL 0,25
®
Bµi 5 (3 ®iÓm)
B
M N
A
D I C
a,(1 ®iÓm)
Chøng minh ®îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang 0,5
®
Chøng minh ®îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh 0,5
thang c©n ®
b,(2®iÓm)
TÝnh ®îc AD = 4 3
cm ; BD = 2AD = 8 3
cm 0,5
3 3 ®
1
AM = BD = 4 3 cm
2 3

TÝnh ®îc NI = AM =
4 3
cm 0,5
3 ®
DC = BC =
8 3
cm , MN =
1
DC = 4 3 cm 0,5
3 2 3 ®
TÝnh ®îc AI =
8 3
cm 0,5
3 ®
Bµi 6 (5 ®iÓm)
A B
O N
M
D C
a, (1,5 ®iÓm)
LËp luËn ®Ó cã
OM
=
OD
,
ON OC
= 0,5
AB BD AB AC ®
LËp luËn ®Ó cã
OD OC
= 0,5
DB AC ®

OM
=
ON
 OM = ON 0,5
AB AB ®
b, (1,5 ®iÓm)
XÐt DABD ®Ó cã
OM
=
DM
(1), xÐt DADC ®Ó cã
OM
=
AM 0,5
AB AD DC AD ®
(2)
1 1 AM + DM AD
Tõ (1) vµ (2)  OM.( AB + CD ) = AD
=
AD
=1
Chøng minh t¬ng tù

1 1
ON. ( AB + CD ) = 1 0,5
®
tõ ®ã cã (OM + ON). ( AB + CD ) = 2 
1 1 1
+
1
=
2 0,5
AB CD MN ®
b, (2 ®iÓm)
S AOB
=
OB BOC
=
S OB
 AOB = BOC 
S S 0,5
, S S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
S AOD OD DOC OD S AOD S DOC ®
Chøng minh ®îc S AOD = S BOC 0,5
®
 S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2 0,5
Thay sè ®Ó cã 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009 ®
Do ®ã SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 0,5
= 40172 (®¬n vÞ DT) ®
ĐỀ SỐ 38
Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng:

a) Víi mäi a �Z , nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× a 6 - b 6
chia hÕt cho 9
b) Với mọi n �N thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.
Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm)
1 1 1 1
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: + 2 + 2 =
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
2
b) Tìm các số x, y, z biết :

x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
và x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010
Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng:
1 1 1
Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: + + �a + b + c
a b c
th× ta có bất đẳng thức a + b + c �3abc
Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a2
+ 25b2
Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ
trung ®iÓm cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t
AB t¹i E. Chøng minh:
a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.
NC NB
b) = +1
AN AB
ĐÁP ÁN
Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm)
Vì a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k �Z )
NÕu a = 3k+1 th× a2 = (3k+1)2 = 9k2+ 6k +1 chia 3 d 1.
NÕu a = 3k+2 th× a2 = (3k+2)2 = 9k2+ 12k + 4 chia 3 d 1.
VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a2 chia 3 d 1.(1)
T¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b 2 chia 3 d 1.
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã a2-b2M3 (3)
(0,5 ®)
Ta cã a6-b6 = (a2-b2)[(a2)2+a2b2+(b2)2] = (a2-b2)[( a2)2 - 2a2b2+
(b2)2+3a2b2]
= (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2]
Theo c/m trªn a2-b2M3 => (a2-b2)2 M3 mµ 3a2b2 M3 víi mäi a �Z
nªn (a2-b2)2+ 3a2b2 M3 (4)
Tõ (3) vµ (4) suy ra (a2-b2) [(a2-b2)2+ 3a2b2] M3.3 hay a6-b6 M9 (0,5
®)
b) (1,0 ®iÓm)
Ta cần chứng minh: n5 – n M10
* Chứng minh : n5 - n M2

n – n = n(n – 1)(n + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) M2
5 2 2
(0,25 ®)
(vì với n � N ta có n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp)
* Chứng minh: n5 – n M5
n5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5)
= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) M5
( Vì với n N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích của năm số nguyên liên tiếp
�
nên chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 ) M5 với mọi n �N ) (0,5 ®)
Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n M2.5 tức là n5 – n M10
Suy ra n5 và n có chữ số tận cũng giống nhau. (0,25 ®)
Bµi 2. a) 1,0 ®iÓm
x2+ 9x + 20 = (x+4)(x+5)
x2+ 11x + 30 = (x+5)(x+6)
x2+ 13x + 42 = (x+6)(x+7)
§KX§ : x �-4; x �-5; x �-6; x �-7
1 1 1 1
+ 2 + 2 =
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18
2
1 1 1 1
� + + =
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 (0,5 ®)
1 1 1
� - =
( x + 4) ( x + 7) 18
=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7)
=> (x+13)(x-2) = 0
(0,25 ®)
=> x = -13 hoÆc x = 2 ( Tháa m·n §KX§)

VËy PT ®· cho cã hai nghiÖm lµ x1=-13; x2=2
(0,25 ®)
b) 1,0 ®iÓm
Ta cã x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
� 2x2 +2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0
� (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0
(0,25 ®)
�x- y= 0
� � x = y = z � x2009 = y2009 = z2009 (1) (0,25
��y- z= 0
�z- x = 0
�
®)
Theo bµi ra ta cã x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z2009 = 32010 � z2009 = 32009 � z = 3
(0,25 ®)
Vậy x = y = z = 3
(0,25 ®)
Bµi 3. Chứng minh rằng:

1 1 1
Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: + + �a + b + c
a b c
th× ta có bất đẳng thức a + b + c �3abc
1 1 1 bc + ca + ab
Ta cã + + �a + b + c � �a + b + c
a b c abc
� ab + bc + ca �(a + b + c )abc (*)(v× a,b,c > 0 nªn
abc>0)
Mµ a 2 + b 2 �2ab; c 2 + b 2 �2cb ; a 2 + c 2 �2ac nªn céng theo vÕ 3 bÊt ®¼ng
thøc nµy ta ®îc 2(a 2 + b 2 + c 2 ) �2(ab + bc + ca ) � a 2 + b2 + c 2 �ab + bc + ca) (1)
L¹i cã (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) 2 �3(ab + bc + ca ) (**)
Tõ (*) vµ(**) ta cã (a + b + c)2 �3abc(a + b + c)
� a + b + c �3abc (V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0)
Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
4a2 + 25b2
§Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y)2
=(6a – 5b)2 = 1
¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho hai sè 3x vµ y ta cã:
1 1
(3x + y)2  (x2 + y2)(9 + 1) => x2 + y2  10
Hay 4a2 + 25b2  10
.
3 1
DÊu b»ng xÈy ra <=> = <=> 3y = x <=> - 15 b = 2a <=>
x y
6a = - 45b (2)
1 3
Tõ (1) vµ (2) => b=-
50
; a=
20
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm
cña AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E.
Chøng minh:
a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.
NC NB
b) = +1
AN AB
a) D ANC vu«ng t¹i N (v× MN
1
=AM = ACC)
F2
M
CNM + MNA = 1v
N
A E B
BAN + NAC = 1v
Mµ MNA = NAC => CNM = BAN
MÆt kh¸c CNM = BNE (®®)
=>BNE = BAN
=> D BNE  D BAN
b) Trªn tia ®èi tia MN lÊy ®iÓm F sao cho FM = MN.

Tø gi¸c ANCF lµ h×nh ch÷ nhËt (v× cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau
vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng)
=> CE // AF => AFB = ENB (®ång vÞ) => D BAN  D BFA =>
FA BF NC FN + NB NC AB + NB NC NB
=
AN BA
=
AN
=
AB
=
AN
=
AB
= =
AN AB
+1 (§pcm)
CN AC AN
Çch kh¸c: b) Ta cã: D ACN  D EAN => AN = EA = EN (1)
AN BA BE NB
D BNE  D BAN => = (2) va = (3) . Tõ (1) vµ (2) => BN
NE BN BN AB
= AE
CN AC CN AB AE + EB EB EB
Tõ = = = = = 1+ = 1+ ( 4)
AN EA AN AE AE AE BN
CN NB
Tõ (3) vµ (4) => = 1+ (§pcm)
AN AB
§Ề SỐ 39
Bµi 1: (2 ®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:
1. x 2 + 7 x + 6
2. x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008
Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh:
1. x 2 - 3x + 2 + x - 1 = 0
2 2 2
� 1� � 1 � � 1 �
� 1�
2. �x + �= ( x + 4 )
2
8 �x + �+ 4 �x 2 + 2 �- 4 �x 2 + 2 �
� x� � x � � x � � x�
Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ çc sè dư¬ng ,ta cã:
1 1 1
(a+b+c)( a + b + c )  9
3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc
( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8) + 2008 cho ®a thøc x 2 + 10 x + 21 .

Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB),
®êng cao AH (H �BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD =
HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.
1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng.
TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m = AB .
2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng
hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña
gãc AHM
GB HD
3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: =
BC AH + HC
.
Bµ C Néi dung §iÓm

i ©u
1
1. 2,0
1. (0,75 ®iÓm)
1

x + 7 x + 6 = x + x + 6 x + 6 = x ( x + 1) + 6 ( x + 1)
2 2
0.5
= ( x + 1) ( x + 6 )
0,5
1.2 (1,25 ®iÓm)
x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 0,25
= x 4 + x 2 + 1 + 2007 ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + 1) - x 2 + 2007 ( x 2 + x + 1)
2
0,25
= ( x + x + 1) ( x - x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x - x + 2008 )
2 2 2 2 2
0,25
2. 2,0
2.1 x 2 - 3x + 2 + x - 1 = 0 (1)
+ NÕu x �1 : (1) � ( x - 1) = 0 � x = 1 (tháa m·n
2
®iÒu kiÖn x �1 ).
+ NÕu x  1: (1)
� x 2 - 4 x + 3 = 0 � x 2 - x - 3 ( x - 1) = 0 � ( x - 1) ( x - 3 ) = 0 0,5
� x = 1; x = 3 (c¶ hai ®Òu
kh«ng bÐ h¬n 1, nªn bÞ lo¹i)
VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt 0,5
lµ x = 1 .
2.2 � 1� �
2
1 � � 1 �
� 1�
2 2
�x + �= ( x + 4 ) (2)
2
8 �x + �+ 4 �x 2 + 2 �- 4 �x 2 + 2 �
� x� � x � � x � � x�
§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x �0
2
� 2 1 �� 1� 2
� 0,25
� 1 � � 2 1 ��
�x + 2 �- �x + ��= ( x + 4 )
2
(2) � 8 �x + �+ 4 �x + 2 ��
� x � � x �� x � � x ��
2
� 1� � 1 �
� 8 �x + �- 8 �x 2 + 2 �= ( x + 4 ) � ( x + 4 ) = 16
2 2 0,5
� x� � x �
� x = 0 hay x = -8 vµ x �0 . 0,25
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x = -8
3 2.0
3.1 Ta cã:
1 1 1 a a b
A= (a + b + c)( a + b + c ) = 1 + b + c + a + 1 + c + a + b + 1
b c c 0,5
a b a c c b
= 3 + ( b + a ) + ( c + a ) + (b + c )
x y
Mµ: + 2 (B§T C«-Si)
y x
Do ®ã A  3 + 2 + 2 + 2 = 9. VËy A  9 0,5
3.2 Ta cã: 0,5

P ( x ) = ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 2008
= ( x 2 + 10 x + 16 ) ( x 2 + 10 x + 24 ) + 2008
§Æt t = x 2 + 10 x + 21 (t �-3; t �-7) , biÓu thøc P(x) ®îc 0,5
viÕt l¹i:
P( x) = ( t - 5 ) ( t + 3) + 2008 = t 2 - 2t + 1993

Do ®ã khi chia t 2 - 2t + 1993 cho t ta cã sè d lµ
1993
4 4,0
4.1 + Hai tam
gi¸c ADC vµ
BEC cã:
Gãc C
chung.
CD CA
= (Hai
CE CB 1,0
tam gi¸c vu«ng CDE vµ CAB ®ång d¹ng)
Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).

� =�
Suy ra: BEC ADC = 1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng
c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt).
Nªn �AEB = 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n 0,5
t¹i A. Suy ra: BE = AB 2 = m 2
4.2 BM 1 BE 1 AD
= � = � (do DBEC : DADC )
Ta cã:
BC 2 BC 2 AC 0,5
mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)
BM 1 AD 1 AH 2 BH BH
nªn = � = � = = (do
BC 2 AC 2 AC AB 2 BE 0,5
DABH : DCBA )
Do ®ã DBHM : DBEC (c.g.c), suy ra:
�
BHM � = 135 � �
= BEC 0
AHM = 45 0
0,5
4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn
lµ ph©n gi¸c gãc BAC.
GB AB
Suy ra: = , mµ
GC AC
AB ED AH HD 0,5
= ( DABC : DDEC ) = ( ED // AH ) =
AC DC HC HC
GB HD
=
GB
=
HD GB
=
HD 0,5
Do ®ã: � �
®Ò SỐ 40
®Ò bµi:
Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:
� 2x - 3 2x - 8 3 �21 + 2 x - 8 x 2
P= � 2 + - �: +1
�4 x - 12 x + 5 13 x - 2 x 2
- 20 2 x - 1 � 4 x 2
+ 4 x - 3
a) Rót gän P
1
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x =
2
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
d) T×m x ®Ó P > 0.
Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh:
15 x �1 1 �
a) - 1 = 12 � + �
x 2 + 3x - 4 �x + 4 3x - 3 �
148 - x 169 - x 186 - x 199 - x
b) + + + = 10
25 23 21 19
c) x-2 +3 =5
Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh:
Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót.
NÕu ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20
phót. TÝnh kho¶ng çch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã.
Bµi 4 (7 ®iÓm):
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M
lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P.
a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×?
b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng
minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.
c) Chøng minh r»ng tØ sè çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF
kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.
PD 9
d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, = . TÝnh çc c¹nh cña
PB 16
h×nh ch÷ nhËt ABCD.
Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt
cho 2010
b) Cho x, y, z lµ çc sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh
r»ng:
1 1 2
+ �
1 + x2 1 + y2 1 + xy
Đ¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm

Bµi 1: Ph©n tÝch:
4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3)
0,5®
1 5 -3 7
§iÒu kiÖn: x � ; x � ; x � ; x � ; x �4 0,5®
2 2 2 4
2x - 3
a) Rót gän P =
2x - 5
2®
1 1 -1
b) x = � x= hoÆc x =
2 2 2
1 1
+) x = �… P =
2 2
-1 2
+) x = � …P =
2 3
1®
2x - 3 2
c) P = = 1+
2x - 5 x -5
Ta cã: 1 �Z
2
VËy P �Z khi �Z
x-5
� x – 5 �¦(2)
Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – 5 = -2 � x = 3 (TM§K)
x – 5 = -1 � x = 4 (KTM§K)
x – 5 = 1 � x = 6 (TM§K)
x – 5 = 2 � x = 7 (TM§K)
KL: x �{3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
1®
2x - 3 2
d) P = = 1+
2x - 5 x -5
0,25®
Ta cã: 1 > 0
2
§Ó P > 0 th× >0 � x–5>0 � x>5
x-5
0,5®
Víi x > 5 th× P > 0.
0,25
Bµi 2:
15 x �1 1 �
a) - 1 = 12 � + �
x 2 + 3x - 4 �x + 4 3x - 3 �
15 x �1 1 �
�
( x + 4 ) ( x - 1)
- 1 = 12 � +
�x + 4 3 ( x - 1) � §K: x �-4; x �1
�
� �
� 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)
…
� 3x.(x + 4) = 0
� 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TM§K)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K)
S = { 0}
1®
148 - x 169 - x 186 - x 199 - x
b) + + + = 10
25 23 21 19
148 - x � �
� 169 - x �� 186 - x �� 199 - x �
� � - 1�+ � - 2 �+ � - 3 �+ � - 4 �= 0
� 25 � � 23 � � 21 � � 19 �
�1 1 1 1�
� (123 – x) � + + + �= 0
�25 23 21 19 �
�1 1 1 1�
Do � + + + �> 0
�25 23 21 19 �
Nªn 123 – x = 0 => x = 123
S = {123}
1®
c) x-2 +3 =5
Ta cã: x - 2 �0"x => x-2 +3 > 0
nªn x-2 +3 = x-2 +3
PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:
x-2 +3= 5
� x-2 = 5 – 3
� x-2 = 2
+) x - 2 = 2 => x = 4
+) x - 2 = -2 => x = 0
S = {0;4}
1®
Bµi 3(2 ®)
Gäi kho¶ng çch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0)
0,25®
VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ:
x 3x
= (km / h) 1
3
1 10 (3h20’ = 3 ( h) )
3
3
0,25®
VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:
3x
+ 5 ( km / h )
10
0,25®
Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:
�3x �
� + 5 .3 = x
�
�10 �
0,5®
� x =150
0,5®
VËy kho¶ng çch gi÷a A vµ B lµ 150 (km)
0,25®
3.150
VËn tèc dù ®Þnh lµ: = 45 ( km / h )
10 D C
Bµi 4(7®)
VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng P
0,5® M
O
I F
E A B
a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
 PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.
 AM//PO
� tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang.
1®
b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ)
Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB
Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th×
tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA.
Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1)
1®
MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.
1®
MF AD
c) DMAF : DDBA ( g - g ) nªn = kh«ng ®æi.
FA AB
(1®)
PD 9 PD PB
d) NÕu = th× = = k � PD = 9k , PB = 16k
PB 16 9 16
CP PB
NÕu CP  BD th× DCBD : DDCP ( g - g ) � = 1®
PD CP
do ®ã CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm)
0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16
0,5®
do ®ã BC = 4 (cm)
CD = 3 (cm)
0,5®
Bµi 5:
a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1)
2010
2011 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2)
1®
Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.
1 1 2
b) + � (1)
1 + x2 1 + y 2 1 + xy
�1 1 �� 1 1 �
�� 2 - +
�� 2 - ��0
� 1 + x 1 + xy �� 1 + y 1 + xy �
x ( y - x) y ( x - y)
� + �0
( 1 + x 2
)( 1 + xy ) ( 1 + y 2
)( 1 + xy )
( y - x ) ( xy - 1)
2
۳ 0 ( 2)
( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) ( 1 + xy )
V× x �1; y �1 => xy �1 => xy - 1 �0
=> B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y)
1®
ĐỀ SỐ 41

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên của x để A MB biết
A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
c) Cho x + y = 1 và x y �0 . Chứng minh rằng
x y 2( x - y)
- + =0
y 3 - 1 x3 - 1 x 2 y 2 + 3
Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:
a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6
b) + + = + +
2008 2007 2006 2005 2004 2003
Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy
F sao cho AE = CF
a) Chứng minh D EDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF.
Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển
trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm

Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4
(0,25đ)
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ)
=(x–1)(x–2)2 (0,25đ)
A 10x 2 - 7x - 5 7
b) (0,75đ) Xét B
=
2x - 3
= 5x + 4 +
2x - 3
(0,25đ)
7
Với x � Z thì A MB khi � Z � 7 M( 2x – 3) (0,25đ)
2x - 3
Mà Ư(7) =  -1;1; -7;7 � x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A MB (0,25đ)
x y x -x-y +y 4 4
c) (1,5đ) Biến đổi - 3 = (y3 - 1)(x 3 - 1)

y -1 x -13
=
( x - y ) - (x - y)
4 4
( do x + y = 1 � y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)
xy(y 2 + y + 1)(x 2 + x + 1)
( x - y ) ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) - (x - y)
= (0,25đ)
xy(x 2 y 2 + y 2 x + y 2 + yx 2 + xy + y + x 2 + x + 1)
( x - y ) (x
+ y 2 - 1)
2
= x 2 y 2 + xy(x + y) + x 2 + y 2 + xy + 2 �
xy �
(0,25đ)
� �
( x - y ) (x
- x + y 2 - y)
2
( x - y )  x(x - 1) + y(y - 1) 
= x y + (x + y) + 2 �
xy �2 2 2 = xy(x 2 y 2 + 3)
(0,25đ)
� �
( x - y )  x(- y) + y( -x)  ( x - y ) (-2xy)
= = (0,25đ)
xy(x y + 3)
2 2
xy(x 2 y 2 + 3)

-2(x - y)
= Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
x 2 y2 + 3
Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)

(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x
y2 + 4y - 12 = 0  y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)
 (y + 6)(y - 2) = 0  y = - 6; y = 2 (0,25đ)
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)
* x2 + x = 2  x2 + x - 2 = 0  x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)
 x(x + 2) – (x + 2) = 0  (x + 2)(x - 1) = 0  x = - 2; x = 1 (0,25đ)
Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1
x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6
b) (1,75đ) + + = + + 
2008 2007 2006 2005 2004 2003
x +1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6
( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1)
2008 2007 2006 2005 2004 2003
x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009
 + + = + + 
2008 2007 2006 2005 2004 2003
x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009
2008
+
2007
+
2006
-
2005
-
2004
-
2003
=0 (0,25đ)
1 1 1 1 1 1
 ( x + 2009)( + + - - - ) = 0 (0,5đ) Vì 1

1
; 1  1 ;
2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2005 2007 2004
1 1

2006 2003
1 1 1 1 1 1
Do đó : 2008 + 2007 + 2006 - 2005 - 2004 - 2003  0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0  x
= -2009 E 2 I
1
Bài 3: (2 điểm) 1
2
a) (1đ) B C F
Chứng minh D EDF vuông cân
Ta có D ADE = D CDF (c.g.c) � D EDF cân tại D
Mặt khác: D ADE = D CDF (c.g.c) � Eˆ 1 = Fˆ2
O
Mà Eˆ 1 + Eˆ 2 + Fˆ1 = 900 � Fˆ2 + Eˆ 2 + Fˆ1 = 900 A D
� EDF = 900. Vậy D EDF vuông cân
b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng
Theo tính chất đường chéo hình vuông � CO là trung trực BD
1
Mà D EDF vuông cân � DI = EF
2
1 B
Tương tự BI = EF � DI = BI
2
� I thuộc dường trung trực của DB � I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng D
Bài 4: (2 điểm) C
A
a) (1đ) E
DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với D ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)
2 2 2
a 2 a a
= 2(x – ) + � (0,25đ)
4 2 2
a
Ta có DE nhỏ nhất � DE2 nhỏ nhất � x = (0,25đ)
2
a
� BD = AE = � D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)
2
b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
1 1 1 1
Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ)
2 2 2 2
1 2 AB AB 2
AB 2
1 AB 2 AB2 AB2
= – (AD – 2 .AD + )+ = – (AD – ) + � (0,25đ)
2 2 4 8 2 4 2 8
AB 2
AB 2
3
Vậy SBDEC = SABC – SADE � – = AB2 không đổi
2 8 8
(0,25đ)
3
Do đó min SBDEC = AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)
8
ĐỀ SỐ 42
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

a) x2 – y2 – 5x + 5y
b) 2x2 – 5x – 7
Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng:

4 x 2 - 16 A
=
x2 + 2 x
5x + 5
Bµi 3: Cho ph©n thøc:
2x 2 + 2x
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c
®Þnh.
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1.
x+2 1 2
Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : - =
x - 2 x x ( x - 2)
b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3
Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng çch lËp ph¬ng tr×nh:
Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy
s¶n xuÊt ®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n
xuÊt ®îc 57 s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch
mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ
ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao
nhiªu ngµy.
Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng

cao AH vµ
trung tuyÕn AM.
a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA
b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ?
c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?
BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n

§¸p ¸n BiÓu
®iÓm
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) –
5(x – y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm)
b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) =
2x(x +1) – 7(x + 1)
= (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm)
Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm)
A=
x (4 x 2 - 16 x[(2 x ) 2 - 4 2 x (2 x - 4)(2 x + 4) x.2( x - 2).2( x + 2)
= = = = 4( x - 2) = 4 x - 8
x + 2x
2
x + 2x
2
x ( x + 2) x ( x + 2)
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1)  0
 2x  0 vµ x + 1  0
 x  0 vµ x  -1 (1 ®iÓm)
b) Rót gän:
5x + 5 5( x + 1) 5
= = (0,5 ®iÓm)
2 x + 2 x 2 x ( x + 1) 2 x
2
5 5
2x
= 1  5 = 2x  x =
2
(0,25 ®iÓm)
5 5
V× 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x=
2
(0,25 ®iÓm)
Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x  0; x  2
x(x + 2) - (x - 2) 2
- Gi¶i: =  x2 + 2x – x +2 = 2;
x( x - 2) x( x - 2) 1®
 x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S =  - 1
b)  x2 – 9 < x2 + 4x + 7
 x2 – x2 – 4x < 7 + 9  - 4x < 16  x> - 4 1®
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4
Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy 0,5 ®
§iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1
VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy) 0,5 ®
- Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm)
- Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) 0,5 ®
Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13
 57x – 57 – 50x = 13  7x = 70 0,5 ®
 x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n
xuÊt lµ 10 ngµy. 1®
Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500
(s¶n phÈm)
Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: 1®
Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung
 ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) 1®
b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC
ta cã : BC = AB 2 + AC 2 = 15 2 + 20 2 = 625 = 25 (cm) 1®
AB AC BC 15 20 25
v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn = =
HB HA BA
hay = =
HB HA 15
20.05
 AH = = 12 (cm)
25
15.15 1®
BH = 25
= 9 (cm)
HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)
BC 25
c) HM = BM – BH = 2
- BH =
2
- 9 = 3,5(cm)
1 1
SAHM = 2
AH . HM = 2 . 12. 3,5 = 21 (cm2) 1®
- VÏ ®óng h×nh: A
1®
B H M
C
ĐỀ SỐ 43
a) x2 – 4x + 4 = 25
x - 17 x - 21 x + 1
b) + + =4
1990 1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0

1 1 1
x y z
yz xz xy
Tính giá trị của biểu thức: A= 2 + 2 + 2
x + 2 yz y + 2 xz z + 2xy
chính phương.
HA' HB' HC'
tâm. a) Tính tổng + +
AA' BB' CC'
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
(AB + BC + CA) 2
c) Chứng minh rằng:  4.
AA'2 + BB'2 + CC'2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )
 Bài 2(1,5 điểm):

1 1 1 xy + yz + xz
x y z xyz
yz xz xy
 Bài 3(1,5 điểm):

Ta có: abcd = k 2
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 với k, m  N, 31  k  m  100
abcd = k 2
(0,25điểm)
 abcd + 1353 = m 2 (0,25điểm)

2 2
Do đó: m –k = 1353
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
(0,25điểm)
 m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 hoặc m–k = 33
m = 67 m = 37
 hoặc
k = 56 k= 4 (0,25điểm)
(0,25điểm)
 Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
1
.HA'.BC
S HBC 2 HA'
a) S = = ;
1 AA'
ABC .AA'.BC
2
(0,25điểm)
S HC' S HB'
Tương tự: S
HAB
= ;
HAC
=
ABC CC' S ABC BB'
(0,25điểm)
+ + = + + =1 (0,25điểm)
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; = (0,5điểm )
IC AC NB BI MA AI
. . = . . = . =1
(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)
 AB2 + AD2  (BC+CD)2
(0,25điểm)
AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2
4CC’2  (BC+AC)2 – AB2
4BB’2  (AB+BC)2 – AC2
(0,25điểm)
(AB + BC + CA ) 2
4 (0,25điểm)
 AA'2 + BB'2 + CC'2
(Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC
 D ABC đều)
§Ò SỐ 44
C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó:

a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.
n 4 + 3n 3 + 2n 2 + 6n - 2
b, B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.
n2 + 2
c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n  2)
C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :
a b c
a, + +
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
=1 biÕt abc=1
b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2

a2 b2 c2 c b a
c, + +  + +
b2 c2 a2 b a c
C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:
x - 214 x - 132 x - 54
a, 86
+
84
+
82
=6
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng.
C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm
hai ®êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i
E,c¾t BCt¹i F.
a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c
BOC.
1 1 2
b. Chøng minh: + =
AB CD EF
c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu çch dùng ®êng th¼ng ®i
qua Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.
C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓ

m
a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) 0,5
§Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1  n=2 khi 0,5
®ã A=5

b, (2®iÓm) B=n 2+3n-
2 0,5
n +2
2
B cã gi¸ trÞ nguyªn  2  n2+2 0,5

C©u n2+2 lµ íc tù nhiªn cña 2 0,5
1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n 0,5
(5®iÓ HoÆc n +2=2 
2
n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ
m) nguyªn. 0,5
c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n- 0,5
1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1) ( n 2 - 4) + 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2) 0,5
(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5sè tù 0,5
nhiªn liªn tiÕp)
Vµ 5 n(n-1)(n+1 5 VËy D chia 5 d 2
Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng
ph¶i sè chÝnh ph¬ng
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph-
¬ng
a b c
a, (1®iÓm) + +
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
=
ac abc c
+ + 0,5
abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1
2
ac abc c abc + ac + 1
= 1 + ac + c + c + 1 + ac + ac + c + 1 = abc + ac + 1 = 1 0,5
b, (2®iÓm) a+b+c=0  a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0

 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) 0.5
 a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8
abc(a+b+c) V× a+b+c=0 0.5
C©u  a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) 0.5
2 MÆt kh¸c
(5®iÓ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . 0.5
m) V× a+b+c=0

2(ab+ac+bc) =2(a b +a2c2+b2c2) (2)
2 2 2
Tõ (1)vµ(2)  a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0,5

0,5
c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x2+y2  0,5
2xy DÊu b»ng khi x=y
a2 b2 a b a a2 c2 a c c
2
+ 2  2. . = 2. ; 2
+ 2  2. . = 2. ; 0,5
b c b c c b a b a b
2 2
c b c b b
2
+ 2  2. . = 2.
a c a c a
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
a 2 b2 c2 a c b a 2 b2 c2 a c b
2( + + )  2( + + )  + +  + +
b2 c2 a 2 c b a b2 c2 a 2 c b a
x - 214 x - 132 x - 54
a, (2®iÓm) 86
+
84
+
82
=6
x - 214 x - 132 x - 54
 ( - 1) + ( - 2) + ( - 3) = 0 1,0
86 84 82
x - 300 x - 300 x - 300
 + + =0 0,5
86 84 82
 1 1 1 
 (x-300)  + +  = 0  x-300=0  x=300 VËy S =
 86 84 82  0,5
 300
b, (2®iÓm) 2x(8x-1) 2(4x-1)=9
 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9  (64x2-16x+1)(64x2-16x) 0,5
C©u = 72 0,5
3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72
(5®iÓ  k2=72,25  k=± 8,5 0,5
m) Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0  (2x-1)
1 -1 0,5
(4x+1)=0;  x= 2 ; x = 4
Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0  (8x-
1)2+8=0 v« nghiÖm.
 1 - 1
VËy S =  2 , 
4 
 0,5
c, (1®iÓm) x -y +2x-4y-10 = 0  (x2+2x+1)-
2 2
(y2+4y+4)-7=0 0,5
 (x+1)2-(y+2)2=7  (x-y-1)(x+y+3) =7 V×
x,y nguyªn d¬ng
Nªn x+y+3>x-y-1>0  x+y+3=7 vµ x-y-1=1
 x=3 ; y=1
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt
(x,y)=(3;1)

a,(1®iÓm) V× AB//CD  S DAB=S A CBA B 0,5
(cïng ®¸y vµ cïng ®êng cao) 0,5

 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O
E F
Hay SAOD = SBOC I
M 0,5
N
C
D 1,0
0,5
EO AO
b, (2®iÓm) V× EO//DC  DC
=
AC
MÆt kh¸c AB//DC 1,0
C©u
AB AO AB AO AB AO EO AB
4  =  =  =  = 1,0
DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC
(5®iÓ EF AB AB + DC 2 1 1 2
m)  =  =  + =
2 DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF
c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N
 DF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN
lµ I th× SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2)  SDEKN=SKFN.
ĐỀ THI SỐ 45
Bµi 1: (1.5®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö

a) x2 – xz – 9y2 + 3yz.
b) 4x4 + 4x3 – x2 - x.
Bµi 2: (2.5®) Cho biÓu thøc.
x 2 + 3x 3 1 6x
P=( + 2 ): ( x -3 - )
x + 3x + 9 x + 27
3 2
x +9 x - 3 x + 9 x - 27
3 2
a) Rót gän P.
b) Víi x > 0 th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo?
c) T×m çc gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 3: (1.5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh.
a) x3 – 3x2 + 4 = 0
 1  1  1   1  31
b) 1 + .1 +
1 .3  
1 +
2.4 
...1 +
3 .5  
=
x ( x + 2)  16

Bµi 4: (1®) Gi¶i ph¬ng tr×nh.

Cho 3 sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng nhá h¬n 2.

Chøng minh r»ng 3 sè a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång
thêi lín h¬n 1.
Bµi 5: (3.5®)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh
AC, tõ C vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O.
Chøng minh r»ng:
a) OA.OB = OC.OH
b) OHA cã sè ®o kh«ng ®æi.
c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi.
BiÓu ®iÓm vµ ®¸p ¸n to¸n 8
Bµi 1: (1.5®)
C©u a: (0.57®)
= (x2 - 9y2) – (xz - 3yz) 0.25®
= (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y) 0.25®
= (x - 3y)(x + 3y - z) 0.25®
C©u b: (0.75®)
= x(4x3 + 4x2 – x – 1) 0.25®
= x 4 x 2 ( x + 1) - ( x + 1)  0.25®
= x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25®
Bµi 2: (2.5®)
C©u a: 1®
 x( x + 3) 3   1 6x 
P=  2 + 2 : -  0.25®
 ( x + 9)( x + 3) x + 9   x - 3 ( x - 3)( x + 9) 
2
x+3 x 2 + 9 - 6x
= : 0.25®
x 2 + 9 ( x - 3) ( x 2 + 9 )
x + 3 ( x - 3) ( x 2 + 9 )
= . 0.25®
x2 + 9 ( x - 3) 2
x+3
= 0.25®
x -3
C©u b: (0.75®)
x+3
P=  Px - 3P = x + 3 0.25®
x -3
(P – 1)x = 3(P + 1)
3( P + 1)
x=
P -1
3( P + 1) P +1
Ta cã: x > 0  x = 0 0
P -1 P -1
 P + 1  0

 P -1 0  P 1
P +1 0 P 1

P -1 0
VËy kh«ng nhËn gi¸ trÞ tõ -1 ®Õn 1. 0.25®
C©u c: 0.75® §KX§: x  3
x+3 x -3+ 6 6
P= = = 1+ 0.25®
x -3 x -3 x -3
P nhËn gi¸ trÞ nguyªn  x - 30  ¦ (6) =   1;2;3;6

Tõ ®ã t×m ®îc x   4;2;5;1;6;0;9;-3 0.25®
KÕt hîp víi §/C x  3 ; x  z ta ®îc.
x   4;2;5;1;6;0;9 0.25®
VËy x   4;2;5;1;6;0;9 th× P nguyªn.
Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1.5®)
C©u a: (0.75®)
- §a ®îc vÒ d¹ng tÝch: (x + 1)(x - 2)2 = 0 0.50®
 x =1

x = 2
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1; x = 2 0.25®

C©u b: (0.75®) §K: x  N*n
2 2 32 4 2 ( x + 1) 2 31
- §a vÒ d¹ng . . ...
1.3 2.4 3.5 x ( x + 2) 16
= 0.25®

2( x + 1) 31
 = 0.25®
x+2 16
Tõ ®ã  t×m ®îc x = 30 (t/m x  N*)

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 30 0.25®
Bµi 4: (1®)
Gi¶ sö a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1
 abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1) 0.25®
v× 0 < a < 2 nªn 2 – a > 0.
Do a + (2 – a) = 2 kh«ng ®æi, suy ra a(2 – a) lín nhÊt.
 a=2–a  a=1
T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt  b = 1
c(2 – c) lín nhÊt  c = 1
VËy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c)  1.1.1 = 1 (2)
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c =1 0.25®
(1)vµ (2) m©u thuÈn nhau.
Do ®ã 3 sè a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ
®ång thêi lín h¬n 1 0.25®
Bµi 5: (3.5®) C
K
H
M
O B
A
C©u a: (1®)
Chøng minh: D B0H D C0A (g.g) 0.5®
0B 0H 0A.0B = 0C.0H 0.25®
 = 
0C 0A
C©u b: (1.25®)
0B 0H
0C
=
0A
(suy ra tõ D B0H D C0A)
0 A 0H
 = 0.25®
0C 0B

- Chøng minh D 0HA D 0BC (c.g.c) 0.25®
 OHA = OBC (kh«ng ®æi)
C©u c: (1.25®)
VÏ MK  BC
BM BK
- D BKM D BHC (g.g)  =
BC BH
 BM.BH = BC.BK (1)

0.5®
D CKM D CAB (g.g) 0.25®
CM CK
 =  CM.CA = BC.CK (2) 0.25®
CB CA
- Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc:

- BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK
= BC . (BK + CK) = BC 2 (kh«ng ®æi)
0.25®
ĐỀ THI SỐ 46
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Cho biểu thức :
2+ x 4x2 2- x x 2 - 3x
A=( - 2 - ):( )
2- x x -4 2+ x 2 x 2 - x3
d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
e) Tìm giá trị của x để A > 0?
f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
x y z a b c x2 y 2 z 2
d) Cho + + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
a b c x y z a b c

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình
chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
d) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
e) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
f) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án Điểm

Bài 1
a 2,0
2 2
3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 = 1,0
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5
= (x - 2)(3x - 1). 0,5
b 2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5
= (x - a)(ax - 1). 0,5
Bài 2: 5,0
a 3,0
ĐKXĐ :
�2 - x �0
�2
�x - 4 �0 �x �0
� � 1,0
�2 +�۹�x 0 �x 2
�x 2 - 3 x �0 �x �3
� �
�
�2 x - x �0
2 3
2 + x 4x2 2- x x 2 - 3x (2 + x) 2 + 4 x 2 - (2 - x ) 2 x 2 (2 - x)
A=( - 2 - ):( 2 ) = . = 1,0
2 - x x - 4 2 + x 2 x - x3 (2 - x)(2 + x) x ( x - 3)
4 x2 + 8x x(2 - x)
. = 0,5
(2 - x)(2 + x) x - 3
4 x( x + 2) x (2 - x) 4x2
= = 0,25
(2 - x)(2 + x )( x - 3) x - 3
4x 2
Vậy với x �0, x ��2, x �3 thì A = . 0,25
x -3
b 1,0
2
4x
Với x �0, x �3, x ��2 : A  0 � 0 0,25
x -3
� x-3 0 0,25
� x  3(TMDKXD) 0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25
c 1,0
x-7 = 4
�
x-7 = 4 � � 0,5
x - 7 = -4
�
�x = 11(TMDKXD)
�� 0,25
�x = 3( KTMDKXD)
121
Với x = 11 thì A = 0,25
2
Bài 3 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
� (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0
� 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5
Do : ( x - 1) 2 �0;( y - 3) 2 �0;( z + 1) 2 �0 0,5
Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25
b 2,5
a b c ayz+bxz+cxy
Từ : + + =0� =0 0,5
x y z xyz
� ayz + bxz + cxy = 0 0,25
x y z x y z
Ta có : + + = 1 � ( + + )2 = 1 0,5
a b c a b c
2 2 2
x y z xy xz yz
� 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1 0,5
a b c ab ac bc
x 2
y 2
z 2
cxy + bxz + ayz
� 2 + 2 + 2 +2 =1 0,5
a b c abc
x2 y 2 z 2
� 2 + 2 + 2 = 1(dfcm) 0,25
a b c
Bài 4 6,0
H
B C
0,25
F
O
E
A
K
D
a 2,0
Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : DBEO = DDFO( g - c - g ) 0,5
=> BE = DF 0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25
b 2,0
Ta có: �
ABC = � � = KDC
ADC � HBC � 0,5
Chứng minh : DCBH : DCDK ( g - g ) 1,0
CH CK
� = � CH .CD = CK .CB 0,5
CB CD
b, 1,75
Chứng minh : DAFD : DAKC ( g - g ) 0,25
AF AK
� = � AD. AK = AF . AC 0,25
AD AC
Chứng minh : DCFD : DAHC ( g - g ) 0,25
CF AH
� = 0,25
CD AC
CF AH
Mà : CD = AB � = � AB. AH = CF .AC 0,5
AB AC
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25
ĐỀ THI SỐ 47

a) x2 – 4x + 4 = 25
x - 17 x - 21 x + 1
b) + + =4
1990 1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
1 1 1
x y z
yz xz xy
Tính giá trị của biểu thức: A= 2 + 2 + 2
x + 2 yz y + 2 xz z + 2xy
chính phương.
HA' HB' HC'
tâm. a) Tính tổng + +
AA' BB' CC'
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
(AB + BC + CA ) 2
c) Chứng minh rằng:  4.
AA'2 + BB'2 + CC'2

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )
 Bài 2(1,5 điểm):

1 1 1 xy + yz + xz
x y z xyz
yz xz xy
 Bài 3(1,5 điểm):

Ta có: abcd = k 2
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2 với k, m  N, 31  k  m  100
abcd = k 2
 abcd + 1353 = m 2 (0,25điểm) (0,25điểm)

Do đó: m2–k2 = 1353
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
(0,25điểm)
 m+k = 123hoặc m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 hoặc m = 37
 k = 56 k= 4 (0,25điểm)
(0,25điểm)
 Bài 4 (4 điểm):

Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
1
.HA'.BC
S HBC 2 HA'
a) S = = ;
1 AA'
ABC .AA'.BC
2
(0,25điểm)
S HC' S HB'
Tương tự: S
HAB
= ;
HAC
=
ABC CC' S ABC BB'
(0,25điểm)
+ + = + + =1 (0,25điểm)
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; = (0,5điểm )
IC AC NB BI MA AI
. . = . . = . =1
(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)
 AB2 + AD2  (BC+CD)2
(0,25điểm)
AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2
4CC’2  (BC+AC)2 – AB2
4BB’2  (AB+BC)2 – AC2
(0,25điểm)
(AB + BC + CA ) 2
4 (0,25điểm)
 AA'2 + BB'2 + CC'2
(Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC
 D ABC đều)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu
đó.
ĐỀ THI SỐ 48
Bµi 1: (6 ®iÓm)
Gi¶i çc ph¬ng tr×nh sau:
a, 2(x + 5) - x2 - 5x = 0
1 2x - 3
b, +2=
x -1 1- x
c, |x - 4| + |x - 9| = 5
Bµi 2: (4 ®iÓm)
x -1 x +1
Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh x +  - (m - 2) x víi m lµ h»ng sè.
m m
Bµi 3: (3 ®iÓm)
Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét
trong çc ®êng cao cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®êng cao thø
hai.
Bµi 4: (3 ®iÓm)
Mét vßi níc ch¶y vµo mét bÓ kh«ng cã níc. Cïng lóc ®ã mét vßi
4
níc kh¸c ch¶y tõ bÓ ra. Mçi giê lîng níc ch¶y ra b»ng lîng níc ch¶y
5
1
vµo. Sau 5 giê níc trong bÓ ®¹t tíi dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ
8
kh«ng cã níc mµ chØ më vßi ch¶y vµo th× bao l©u bÓ ®Çy?
Bµi 5: (4 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã A � = 2B� . Gäi BC = a, AC = b, AB = c. Chøng minh
2 2
hÖ thøc a = b + bc.
ĐÁP ÁN
Bµi S¬ lîc lêi gi¶i §iÓ
m
Bµi 1 a, §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch. 1
(6 Gi¶i ®îc x = -5 hoÆc x = 2 1
®iÓm b, §KX§: x �1. 0,5
) Víi x �1 ta cã
1 3 - 2x 1
+2= � 1 + 2( x - 1) = 3 - 2 x � 4 x = 4 � x = 1
x -1 x -1 0,5
Ta thÊy x = 1 kh«ng tháa m·n §KX§. VËy ph¬ng
tr×nh v« nghiÖm.
�x - 4 v�
i x �4
c, NhËn xÐt |x - 4| = � vµ |x - 9| =
�4 - x v�
i x <4 0,5
�x - 9 v�
i x �9
� 0,5
9 - x v�
� i x <9
- Víi x < 4 ta cã |x - 4| = 4 - x; |x - 9| = 9 - x nªn ph-
¬ng tr×nh cã d¹ng 0,5
4 - x + 9 - x = 5 <=> -2x = -8 <=> x = 4 (kh«ng
tháa m·n) 0,5
- Víi 4 � x < 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = 9 - x nªn
ph¬ng tr×nh cã d¹ng x - 4 + 9 - x = 5 <=> 5 = 5
(lu«n ®óng)
- Víi x � 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nªn ph-
¬ng tr×nh cã d¹ng
x - 4 + x - 9 = 5 <=> 2x = 18 <=> x =9 (tháa
m·n)
VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ S =  x |4 �x �9
Bµi 2 x -1 x +1 2
x+  - (m - 2) x � ( m - 1) x  (1)
(4 m m m 1
®iÓm) - NÕu m < 1 vµ m � 0 th× m - 1 < 0. Khi ®ã (1)
2 0,5
�x
m(m - 1)
2 0,5
- NÕu m > 1 th× m - 1 > 0. Khi ®ã (1) � x 
m(m - 1)
- NÕu m = 1 th× m - 1 = 0. Khi ®ã (1) � 0x < 2 0,5
(lu«n ®óng víi mäi x).
KÕt luËn:
- Víi m < 1 vµ m � 0 th× tËp nghiÖm lµ S = 0,5
� 2 �
�x | x  �
� m( m - 1) 0,25
- Víi m = 0 th× biÓu thøc v« nghÜa.
� 2 � 0,5
- Víi m > 1 th× tËp nghiÖm lµ S = �x | x  � 0,25
� m(m - 1)
- Víi m = 1 th× S = R
Bµi 3 - VÏ h×nh:
(3 A 8cm B 0,5
®iÓm
)
6cm
D H C
Gi¶ sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã AB = 8cm, AD =

6cm vµ cã mét ®êng cao dµi 5cm .
V× 5 < 6 vµ 5 < 8 nªn cã thÓ x¶y ra hai trêng
hîp:
1
AH = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 =
20
6.AK => AK = (cm)
3
AK = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 1
15 0,5
6.5 => AH = (cm)
4
20 15
VËy ®êng cao thø hai cã ®é dµi lµ cm hoÆc
3 4
cm
Bµi 4 Gäi thêi gian vßi níc ch¶y ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0 0,5
(3 1
Khi ®ã 1 giê vßi ®ã ch¶y ®îc bÓ
®iÓm x
) 4 0,5
1 giê vßi kh¸c ch¶y ra lîng níc b»ng bÓ.
5x
� 4 � 1
1 0,5
Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh � - �.5 =
�x 5 x � 8
Gi¶i ph¬ng tr×nh t×m ®îc x = 8 (TM§K x>0) 1
VËy thêi gian ®Ó vßi ch¶y ®Çy bÓ lµ 8 giê. 0,5
Bµi 5 - VÏ h×nh ®óng 0,5
2 2 2
(4 E HÖ thøc a = b + bc <=> a = 0,25 b (b
®iÓm + c)
)
Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm0,25
E
c sao cho AE = c, suy ra CE = b + c.
� =E
Khi ®ã ABE � (do tam gi¸c ABE
A c
B c©n t¹i A) 0,5
� = ABE
BAC � +E � (gãc ngoµi tam gi¸c)
� = 2E
nªn A �. 0,5
b Theo gi¶ thiÕt A� = 2B � = ABC
� . VËy E �
a 1
Chøng minh ®îc D BCE D ACB
0,25
(g.g)
C
BC CE
suy ra = � BC 2 = AC.CE 0,25
AC BC
hay a2 = b (b + c)
ĐỀ THI SỐ 49
Baøi 1: ( 3 ñieåm ) Rút gọn biểu thức

x- y 3x + y y - x
A= - 2 g
xy + y 2
x - xy x + y
Baøi 2: ( 3 ñieåm ) Giải phương trình
3x x 3x
+ + =0
x - 2 5 - x ( x - 2 ) ( x - 5)
Baøi 3: ( 3 ñieåm ) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số
nguyên

x - 3 x - 11x + 8
3 2
A=
x -5
Baøi 4: ( 3 ñieåm )
3
Số học sinh tiên tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng số
4
học sinh tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số
học sinh tiên tiến của mỗi khối?
Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC,
CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.
a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật?
c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?
Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC  BD,
BD=15(m).
a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh
2
BD = DE.DH. Từ đó tính độ dài DE.
b/ Tính diện tích hình thang ABCD.
ÑAÙP AÙN VAØ THANG ÑIEÅM CHAÁM

Ba Ñaùp aùn Ñie
øi åm
1
(3 x- y 3x + y y - x
A= - 2 g
đ) xy + y 2
x - xy x + y
* Điều kiện: x �0; y �0; x ��y
x- y 3x + y y - x x- y 3x + y x - y 1
A= - 2 g = + g
xy + y 2
x - xy x + y y ( x + y ) x ( x - y ) x + y
x- y 3x + y ( x - y ) x + ( 3x + y ) y 1
= + =
y ( x + y) x ( x + y) xy ( x + y )
1
( x + y) = ( x + y)
2
x 2 - xy + 3xy + y 2
= =
xy ( x + y ) xy ( x + y ) xy
2
(3 đ) 3x
+
x
+
3x
=0
x - 2 5 - x ( x - 2 ) ( x - 5)
* Tập xác định: x �2; x �5 0,5
1
3x x 3x 3x x 3x
+ + = 0� - + =0
x - 2 5- x ( x - 2) ( x - 5) x - 2 x - 5 ( x - 2) ( x - 5)
� 3x( x - 5) - x( x - 2) + 3x = 0 � 3x2 - 15x - x2 + 2x + 3x = 0
0,5
x = 0�TXÑ
�
� 2x2 - 10x = 0 � 2x( x - 5) = 0 � �
x - 5 = 0 � x = 5�TXÑ
�
Vaäy S =  0
3
(3 ñ) A = x3 - 3x 2 - 11x + 8 = x 2 + 2 x - 1 + 3 1
x-5 x -5
A �Z �
3
�Z � x - 5 = �1; �3
1
x -5
*x - 5 = �1 � x � 6; 4 0,5
*x - 5 = �3 � x � 8; 2 0,5
x � 2; 4;6;8
4
(3 Goïi soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 7 laø x (hoïc 0,25
ñ) sinh) (x > 0) 0,25
soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 8 laø 270 - x (hoïc
sinh)
1
Ta coù phöông trình:
3 60 3 3 1
4
.x =
100
( 270 - x) � .x = ( 270 - x)
4 5
3 810 - 3x 0,25
� .x = � 15x = 3240 - 12x � 27x = 3240
4 5 0,25
� x = 120 (Nhaä n)
Vaäy soá hoïc sinh cuûa khoái 7 laø 120 hoïc sinh, vaø
khoái 8 laø 270 – 120 = 150 hoïc sinh.
5
(4
ñ)
a/

1 � 1
MN / / DF ; MN = DF �
2 �
�� MN / / PQ; MN = PQ . Vaäy MNPQlaø
1 0,5
PQ / / DF ; PQ = DF �
2 �
hình bình haønh.
b/ Giaû söû MNPQ laø hình chöû nhaät thì MP = NQ 1
Maø
AC �
MP = AF =
2 �
�
�� AC = AB
AB �
NQ = AD =
2 �
Vaäy tam giaùc ABC caân taïi A thì MNPQ laø hình chöû
nhaät.
** Hoaëc:
MN  MQ� 0,5
�
MN / / BC �� AE  BC; ñoà i EB = EC
ngthôø
�
MQ / / AE � 1
Neâ
ntamgiaù
c ABC caâ
ntaïi A.
c/ Giaû söû MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ
BC AE 1
MN = MQ � = � AE = BC
4 2 2
Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A thì MNPQ laø hình
thoi.
MP  NQ � AC  AB
** Hoaëc: Vaä
ytamgiaù
c ABC vuoâ
ngtaïi A
6
(4
ñ
a/ Keû BH  DC
DH 2 = BD2 - BH 2 = 152 - 122 = 92
� DH = 9( m)
Xeùt tam giaùc BDH vaø tam giaùc EDB 1
� = DBE
BHD � = 1v�
� 1
� �� DBDH # DEDB
BDE chung �
BD DH BD2
� = � DE = = 25( m)
DE BD DH 1
b/
1
SABCD =
2
( AB + DC ) BH
1
= � DE � BH = �
1
12 = 150( m)
25�
0,5
2 2
0,5

50 de Thi HSG Toan 8

Uploaded by

Document Information

Original Title

Copyright

Available Formats

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Copyright:

Available Formats

50 de Thi HSG Toan 8

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

=(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9)

gãc C1 lµ gãc ngoµi cña tam

GV: Nguyễn -Cường 2

C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( xm + xn + 1 ) chia hÕt cho x2 + x + 1.

GV: Nguyễn -Cường 3

c©u 2 . §Æt m = 3k + r víi 0r 2 n = 3t + s víi

 xm + xn + 1 = x3k+r + x3t+s + 1 = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr

C©u 3: T×m x , biÕt :

b. . ( 1,25 ®iÓm) Tõ a + b + c = 0  a + b = - c  a2 + b2 –c2 =

GV: Nguyễn -Cường 6

GV: Nguyễn -Cường 7

GV: Nguyễn -Cường 9

GV: Nguyễn -Cường 10

BiÕn ®æi vÕ ph¶i ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh.

GV: Nguyễn -Cường 11

GV: Nguyễn -Cường 12

1) Rót gän biÓu thøc A

GV: Nguyễn -Cường 15

GV: Nguyễn -Cường 17

GV: Nguyễn -Cường 18

P = x - y + xy .Víi x �-1; x �- y; y �1 th× gi¸ trÞ biÓu thøc ®îc x¸c

GV: Nguyễn -Cường 19

M lín nhÊt khi ( 2 )

nªn ( 2 ) nhá nhÊt khi ( x- 1) =

GV: Nguyễn -Cường 20

Trong VDCF theo Pitago ta cã :

cã gi¸ trÞ nguyªn.

VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x3,x1/3(0,5®)

GV: Nguyễn -Cường 25

§Ó M= 0 Th× x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0

GV: Nguyễn -Cường 26

GV: Nguyễn -Cường 27

GV: Nguyễn -Cường 28

GV: Nguyễn -Cường 29 F 2

Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x)

GV: Nguyễn -Cường 31

Tø gi¸c DEPF lµ h×nh b×nh hµnh v× DE//BP, DF//AP

GV: Nguyễn -Cường 34

GV: Nguyễn -Cường 36

GV: Nguyễn -Cường 37

§æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®îc :

VËy n = 0, n = 1 lµ hai sè ph¶i t×m (0.25®)

GV: Nguyễn -Cường 38

GV: Nguyễn -Cường 39

>0 víi mäi x 0,25®

GV: Nguyễn -Cường 41

Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) (1®)

GV: Nguyễn -Cường 44

Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

Bµi 3:(2 ®iÓm) Chøng minh r»ng sè:

Bµi 4:(3 ®iÓm)

Bµi 1:(2 ®iÓm) Ta cã: a + b + c = 0 � b + c = - a. 0.25

GV: Nguyễn -Cường 45

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:

 y2 = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3.

Bµi 3:(1,5 ®iÓm) Ta cã:

GV: Nguyễn -Cường 46

Bµi 4:(3,5 ®iÓm)

a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh

GV: Nguyễn -Cường 47

=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)