[lovetoan.wordpress.com]Tuyển Tập Các Bài Toán Hình Học Qua Các Kì Thi Olympic [TAoM].pdf

- DE suy ra.
- Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác SRT .
- suy ra ( SRT ) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại S.
- suy ra DCP.
- Ta có CAEP.
- Do EAC  FBD  FAD suy ra AE là phân giác góc EAF .Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 4/69 TAoM – The art of Mathematics K1 M K2 C E X BAE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm thứ hai P.
- Suy ra P.
- I ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nộitiếp.
- Cho tam giác ABC có (O) là đường tròn ngoại tiếp.
- Cho tam giác ABC có ( I ) là đường tròn nội tiếp.
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC , chứng minh O, I , P thẳng hàng.
- Thay vào (1) ta có.
- suy ra H , I , P thẳng hàng.
- Ta có ( RS , BC.
- Từ đó ta có ( MD, BC.
- (China Team Selection Test 2017, Test 1, P5) Lời giải.Gọi ( I ) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Gọi P đối xứng với A ' quaD , ta có kết quả AP đi qua Q là điểm đối xứng với A ' qua I .Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 7/69 TAoM – The art of Mathematics Q D' E X F J I B A' D P CGọi T là tiếp điểm của DX và ( I.
- Ta có DT  DA.
- suy ra AT  TQ , vậy Q, T , P thẳng hàng.Gọi ( J ) là đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
- suy ra A, D.
- suy ra XD.
- 1 suy ra X.
- S  EI  FJ .Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 9/69 TAoM – The art of Mathematics Q P R I K O J A E F B SQ là điểm chính giữa cung AD của ( ADE ) suy ra PQ là phân giác trong góc APD .
- (China Team Selection Test 2018, P3, Test 1) Lời giải.Bổ đề: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O.
- Chứng minh KG đi qua điểm xuyên tâm đối của A đối với đường tròn (O)Bổ đề này bạn đọc tự chứng minh.Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 10/69 TAoM – The art of MathematicsQuay trở lại bài toán.
- ta có B ' C.
- Hai đường tròn ( BDF.
- (China Team Selection Test 2018, P1, Test 2) Lời giải.Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 11/69 TAoM – The art of Mathematics I E Q P Z B D M G C Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
- Vậy P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IYZ cố định.
- FKD  EKD hay KD là phân giác EKF .Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 19/69 TAoM – The art of Mathematics Lời giải 2.Gọi EF  BC  L , N  AP  BC , FB EA NCdễ thấy các đường thẳng AN , BE,CF đồng quy tại P .Theo định lí Ceva ta có.
- (HSG Quốc Gia, Ấn Độ, 2000)Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 20/69 TAoM – The art of Mathematics Lời giải.Kéo dài AP , AQ cắt BC lần lượt tại D, E .Từ MK AE ta có AEK  MKB .
- Chứng minh rằng nội tiếp đường tròn khivà chỉ khi thẳng hàng.
- Suy ra.
- Tương tự ta có.
- (1)Suy ra.
- ∠Mặc khác nội tiếp suy ra.
- ∠Suy ra.
- cắt đường tròn ngoại tiếp tại .
- Cho hai đường tròn cắt nhau tại .
- Ta có.
- .Mặt khác, ta có.
- Từ đây ta có thể suy ra.
- b, Gọi là giao điểm với tiếp tuyến của đường tròn thứ hai tại .Ta có.
- (1)Mặt khác, ta có.
- từ đây suy ra nội tiếp.
- là tiếp tuyến đường tròn nội tiếpđó tạia, Chứng minh rằngb, Chứng minh với là tâm đường nội tiếp và là trung điểm cạnh (HSGQG Hồng Kông 2008)Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 26/69 TAoM – The art of Mathematics Lời giải :a, Từ dữ kiện đề cho ta có .
- Gọi là tâm đường tròn bàng tiếp với đỉnh .Ta có thẳng hàng.
- (HSGQG Hồng Kông 2008)Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 27/69 TAoM – The art of Mathematics Lời giải :Ta gọi là trực tâm , ta sẽ chứng minh .Ta có ∠Mặt khác ta có.
- Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 29/69 TAoM – The art of MathematicsTừ đây ta có điều phải chứng minh.Theo ý trên vừa chứng minh, ta có.
- Mặt khác ta có.
- ∠Mặt khác, ta có.
- Từ đây, ta có nội tiếp.
- .Suy ra nằm trên .
- Cho có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là .
- Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp nằm trên đoạn thẳng .
- (Hồng Kông TST 2016 Vòng 3)Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 31/69 TAoM – The art of Mathematics Lời giải :Gọi là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh .Gọi lần lượt là tâm đường tròn .
- Ta có đượcMặt khác ta cóTương tự ta có :Nên ta có điều này :Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 32/69 TAoM – The art of MathematicsTheo định lý đảo Menelaus cho với 3 điểm .
- (2)Từ (1), (2) ta có là tâm đường tròn nội tiếp .
- Suy ra .
- Tươngtự ta có ∠ .Suy ra nội tiếp, và là đường kính của đường tròn .
- (CHKMO 2018)Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 33/69 TAoM – The art of Mathematics Lời giải :Đặt .Ta có .Suy raTheo đề bài, ta có .
- .Ta có.
- ∠Mặt khác, ta cóTuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 34/69 TAoM – The art of Mathematics ∠Mặt khác, ta có thể biến đỗi thành.
- Cho với là trực tâm tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp .
- Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp .
- Cho có tâm đường tròn nội tiếp .
- (Hồng Kông TST 2018 vòng 4) Lời giải :Gọi và lần lượt là đường tròn tâm bán kính bằng .Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 36/69 TAoM – The art of MathematicsTheo định lý 9 điểm đường tròn Euler, ta có nằm trên đường tròn.
- (1)Mặt khác ta có.
- Tuyển tập các bài toán hình học từ kì thi HSG Quốc Gia MexicoCâu 1 Cho đường tròn (O.
- r ) và đường tròn (O.
- Kẻ OH  CDTuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 37/69 TAoM – The art of Mathematics Ta có: OBC  90.
- đpcm.Câu 3: Cho đường tròn (O.
- r) là đường tròn ngoại tiếp tam giác PAB .
- là E ' .Ta có: XAM  CBA  CPM suy ra tứ giác AXPC là hình bình hành.Suy ra MAX đồng dạng MPC .Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 39/69 TAoM – The art of Mathematics Mặt khác: CBD  XAC  CPE.
- AP DP PR Ta có.
- Gọi đường tròn(O.
- SR r (HSG Quốc Gia, Mexico , 2012, ngày 1) Lời giải.Từ (O) kẻ OX  PS .Ta có: RPQ  XOP (XPO  90).Mặt khác: XOP  XOS ( OSP cân có đường cao OX ).Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 41/69 TAoM – The art of MathematicsSuy ra: RPQ  XOS .
- Đường tròn ( B.
- 2 2Do đó: D, H , E thẳng hàng (đpcm).Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 42/69 TAoM – The art of MathematicsCâu 7: Cho đường tròn (O) và đường tròn (O.
- Trên đường tròn (O) lấy điểmB sao cho tiếp tuyến từ B của đường tròn (O) cắt đường tròn (O.
- Kẻ đường tròn ( D.
- Chứng minh ABC AQP .Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 43/69 TAoM – The art of Mathematics (HSG Quốc Gia, Mexico , 2009, ngày 1) Lời giải.Kẻ đường kính AX của đường tròn ( D.
- Suy ra DNH  DBH  90 .Câu 10: Cho tam giác ABC , nội tiếp đường tròn (O.
- Suy ra: BJ JC.
- Suy ra KL BC (Ta-lét).
- PX RX Ta có: PED  PBC  FCY , (do tứ giác BCEP nội tiếp và CD AB ) (1) Lại có: CFY  AFD  APD  PDE (2) Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 48/69 TAoM – The art of Mathematics CY FY CFTừ (1) và (2) suy ra: YCF PED  g  g.
- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O.
- Từ đây suy ra.
- Cho tam giác ABC với I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
- Cho tam giác ABC thỏa mãn C  2B và  O  là đường tròn ngoại tiếp ABC.
- B C D Q R Cách 2: Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 59/69 TAoM – The art of Mathematics O E F I B C D A' Từ PBF  PCE và PFB  180  PFA  180  PEA  PEC ta có PFB PEC.
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
- (do A khác Pnên P ' khác trung điểm EF )Tương tự ta có Q thành Q.
- Nên 3 đường tròn ( IDP.
- Theo Thales ta có.
- (HSG Quốc Gia, Canada, 2016) Lời giải.Tuyển tập các bài toán hình học từ các kì thi HSG QG trên thế giới Trang 65/69 TAoM – The art of Mathematics O E X Q H P A F M BGọi X , K là giao của PM với (O) ngoại tiếp ABC ( X nằm cùng nửa mặt phẳng với C bờAB ).Ta có bài toán quen thuộc: (O) và ( AHB ) đối xứng với nhau qua AB.
- Suy ra ảnh của Q là Y .
- Từ đây ta có P , H , Y thẳng hàng.
- Ta có RP  RQ.
- (3)Từ (2) và (3) ta có EQ  ER

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt