Lần thứ 16

- Chứng minh x y z.
- sao cho: x 3  y3  2y2  1 Câu 4: (3 điểm) 0  u n  1  Cho dãy số u n  thỏa mãn điều kiện  1 .
- Trang 3 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Bạc Liêu SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU Câu 1.
- Chứng minh rằng.
- 0 Chứng minh rằng: f(x + y.
- Chứng minh .
- 2 điểm ) a) Chứng minh phương trình z 2  (x 2  1)(y 2  1.
- b) Chứng minh phương trình z 2  (x 2  1)(y 2  1.
- Trang 7 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Đồng Tháp Trường THPT TP.Cao Lãnh Câu 1.
- Trang 8 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Đồng Tháp Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu Câu 1.
- Chứng minh rằng .
- x y 2009 Câu 4 : (3 điểm) x n 1  x n2  6 Cho dãy số (x n ) xác định như sau : x 0  1, x1  5 , x n  2  (n = 0,1, 2.
- Trang 13 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Tiền Giang Trường THPT Trương Định Câu 1.
- Chứng minh rằng: ra.
- Chứng minh : N  2 n 2 Câu 6.
- Trang 17 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 ĐÁP ÁN Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Câu 1: (3.0 điểm.
- Từ 1 ta có  a  2 y  sin x  1 * Xét a  0 , hệ trở thành  2 2 2.
- Đáp số: a  2 Câu 2: (3.0 điểm) A ha z y M hc hb x B C Trang 18 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Gọi ha , hb , hc lần lượt là đường cao ABC kẻ từ A, B,C và S 1, S 2 , S 3 , S lần lượt là diện tích tam giác MBC , MCA, MAB, ABC .
- Ta có: S1 S2 S3 x y z S1  S 2  S 3  S.
- x  y  z  0.5 điểm  x  y  z  ha  hb  hc bc  ca  ab 0.5 điểm  x  y  z  b sin C  c sin A  a sin B  2R b2  c2 a 2  c2 a 2  b 2.
- M là trọng tâm tam giác đều ABC .0.5 điểm a  b  c a  b  c  Câu 3: (2.0 điểm.
- Ta có x 3  y 3  2y 2  1  y 3  x  y 3 Mặt khác x  y  1  y 3  2y 2  1  y  1.
- y y  3  0  y  3 hoặc y  0 Vậy nếu y  3 hoặc y  0 thì phương trình vô nghiệm 0.5 điểm 3 Với y  3  x  8  x  2 Với y  2  x 3  1  x  1 Với y  0  x  1 0.5 điểm Vậy phương trình có ba nghiệm 2.
- 0.5 điểm Câu 4: (3.0 điểm) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương un ;1  un 1 , ta có 1.
- Như vậy, dãy số un là dãy đơn điệu tăng 0.5 điểm Ngoài ra dãy số u  bị chặn bởi 1 .
- n 0.5 điểm  Tồn tại giới hạn lim un  a 0.5 điểm n.
- 4 , n Trang 19 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 1 n.
- 2 Câu 5: (3.0 điểm) Giá trị của n phải thỏa mãn việc khi phân tích n ! ra thừa số nguyên tố thì thừa số 5 xuất hiện 1987 lần.
- 5n n 0.5 điểm Thì h  5.
- điểm Ta có thể kết luận rằng n thỏa mãn h n  1987.
- Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 7960 0.5 điểm Câu 6: (3.0 điểm.
- ta có: 2 2.
- sin t 1 0.5 điểm 2.
- ta có: 2 2 f t.
- 0 2  0.5 điểm Trang 20 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 * Cho x  0, y  t.
- ta có.
- Từ 3 và 4 , ta có.
- sin t 0.5 điểm 2.
- Suy ra: f x  2008 cos x  2009 sin x 0.5 điểm Câu 7: (3.0 điểm.
- Ta tính được BC  2x sin 0.5 điểm 2  2x sin 2 .
- 2  ta có : x  2R 1 3 sin 2 3 0.5 điểm 1 BC 2 3 3x 4  V  3 .
- 600 0.5 điểm Đáp số.
- ta có: 3 3 3 x3 18 x x x 18 18 2 x  3.
- Ta chứng minh M.
- (0,5đ) Trang 22 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16.
- p ta có: a 2  1 mod p  (0,25đ) p 1 p 1 Suy ra a p1.
- (1đ) Trang 23 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trường hợp 2: Cây A bị chặt.
- x x 2x x x  R ta có: f  x.
- 2  3 Từ (1) ta có: f  0.
- ta có: (0,5đ) 3 x g  0.
- Suy ra ui .u j  0 vì vậy ta có điều phải chứng minh.
- Ta có: (x  3y  4z  t) 2  27(x 2  y 2  z 2  t 2.
- Ta có: 1  MC.BC.sin MCB MI SMBC 2.
- (0,5đ) Câu 4: (3 điểm) 2 u 2n 1 Ta có : u n  2u n u n 1.
- x Ta có.
- a Ta có : u n 1  a  f (u n.
- f (a) Trang 26 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Theo định lí La-grăng : f (u n.
- Câu 5: (3 điểm) Do (1+x) n .(1  x) n  (1  x) 2n  (C0n ) 2  (C1n ) 2.
- zx  Ta có : f.
- Ta có chu vi tam giác XYZ là : P = XY+YZ+ZX P  x 2  (a  y) 2  a 2  a 2  y 2  z 2  (a  x) 2  a 2  (a  z) 2 (0,5.
- u 3  3u  1  Chứng minh g(u.
- (0,5đ) 2 9 Câu 2: (3 điểm) Cách 1 (phương pháp vectơ) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên ta có hệ thức sau.
- abc(a  b  c ) 0,5đ Trang 29 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 IA2 IB 2 IC 2.
- Ta có tổng tất cả các phần tử của tập A là: 1 + 3 + 5.
- 0,5đ Trang 32 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16.
- Tìm x để đoạn MN ngắn nhất Ta có: MN 2.
- Do đó ta có các trường hợp sau.
- +Áp dụng Erdoss ta có HA + HB + HC  2(HA1 + HB1 + HC1.
- HA' HB ' HC HA HB HC A Trang 34 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Bài 3.
- Ta có bn  bị chặn do an  bị chặn.
- 5 k  5 k  Ta có 1.
- Ta có c2 = 1 hay c.
- Theo định lý Ta-lét, ta có Trang 38 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 1 1  BH.AM BA.BM.sin ABM NB BH 2 SAMB 2.
- Rõ ràng a  b  1 thỏa mãn 2 a  1 b và 2 b  1 a 2) Với k  3 , giả sử a  b , ta có 3ab  2 a  2 b  1  5a  3b  5  b  1  3a  2 a  3  a  3 .
- Rõ ràng b  1, a  3 thỏa mãn 2 a  1 b và 2 b  1 a 3) Với k  1 , giả sử a  b , ta có ab  2 a  2 b  1  5a  b  5  b  1 hoặc b  3 hoặc b  5 + Với b  1 , đẳng thức ab  2 a  2 b  1 trở thành a  2 a  3 vô lý + Với b  3 , ta có 3a  2 a  6  1  a  7 .
- 3 điểm ) Ta có.
- 3 Trang 39 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Câu 5.
- nên khi x  7 ta có x  2 y  2z  2.
- 4 2) Nếu x = 4 , ta có 2( y – 2)(z – 2.
- Nếu x = 5 , ta có 3(y – 2)(z – 2.
- x 6  x x  x 1 (2) Ta có hàm số f ( x.
- sin B  cos B 2 sin 2 A  sin 2 C  2  sin A  cos C Theo định lý Cêva ta có MA HB DA MA HC DC b.
- 2 điểm ) Trang 42 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 a b c b 1 a c 1 b Ta có.
- z Ta có u .
- 3 điểm ) Trang 44 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0.
- Ta có : u12 u 22 cos 2 x.
- sin 2 z  cos 2 x.
- Ta có AB.
- AN  AB '.B ' C  AN 2 2 Tương tụ ta có: CA.
- 1890 Trang 46 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 z =1: ta có: 195 x  y.
- sin x cos x Đặt t  cos x  sin x thì t 2  1  2sin x cos x và t  2 Ta có g(t.
- t 2  2at  2a 2  1 t 2  2at  2a 2  1 Ta có : g’(x.
- 2  1  a  4 Trang 47 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 t  2 a  a 2  1 2 g'(t.
- theo tính chất b, ta có: 2 f (t.
- theo tính chất b, ta có: 2 2.
- 3 điểm ) Với k là số nguyên dương ta có: k.
- y =13 0,25 Vậy ta có các nghiệm nguyên tố của phương trình là: x = 2, y = 3 và x = 3, y = 13 0,25 Câu 2.
- Trang 50 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Gọi H là giao điểm của CK và AB, ta có CH < CK  CO Vì C nằm trong hình vuông nên CO  (độ dài nửa đường chéo hình vuông cạnh 1 là 2 2.
- đ) Trang 51 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 k Còn nếu k chẵn (k= 2m) thì k  1.
- 3  5  là số chẵn (0.25 đ) n Ta có