Chư 0 1 A 1 1 E A C 1 E C A 1 E E 8 Bài 1: Khái ni m ma tr n và các phép toán trên ma tr n

- Ta ký hiệu tập các ma trận là M(m, n.
- K) và mỗi ma trận thuộc M(m, n.
- Hai ma trận A.
- 1 2 3 Ví dụ: Ma trận A.
- Ký hiệu tập các ma trận vuông là M(n.
- K), với n là cấp của ma trận vuông.
- là ma trận vuông cấp hai và B.
- 4 5 7 là một ma trận vuông cấp 3.
- 7 8 9 Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1.
- Ma trận dòng: A.
- 1 2 3 4 và ma trận cột B.
- 0 0 0 Ma trận 0 cấp 2x3.
- Ma trận chéo cấp n có dạng  a11 0.
- Ma trận – Định thức  a11 a12.
- là ma trận tam giác trên  0 0 1 2.
- 1 2 0 là ma trận tam giác dưới.
- a2 n Giả sử ta có ma trận A.
- 6 1 Ma trận A.
- 5 6 7 8 thì ma trận chuyển vị của ma trận A là A.
- Ma trận – Định thức b) Định lý: Cho các ma trận A, B  M mxn ( K.
- Ví dụ: Ma trận A.
- 2 1 0 là một ma trận đối xứng cấp3.
- 2 0 1 2 Ma trận A.
- là ma trận đối xứng cấp 4.
- 4 2 0 3 Nếu ma trận vuông A thỏa AT.
- A thì A ma trận phản đối xứng.
- Ma trận B.
- là ma trận phản đối xứng.
- Ví dụ: Ma trận B.
- là ma trận bậc thang có ba dòng khác 0.
- Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B.
- Ma trận – Định thức  2 3 5.
- Ma trận – Định thức  1 0.
- Ma trận – Định thức ( A1 A2.
- A2T A1T 2.4 Lũy thừa ma trận: Ak  1 A.
- sẽ thành ma trận không.
- Một ma trận A  M (n.
- a1 A  a0 I n là đa thức của ma trận A.
- Ma trận – Định thức  8 0.
- a a  ta có định thức của ma trận A là detA hay |A|, được tính bằng det A.
- Ma trận – Định thức  a11 a12 a13.
- Ma trận – Định thức Ví dụ: 4 2 6  2.
- n 3.4 Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n.
- Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp k của A.
- Ví dụ: Xét ma trận A.
- Ma trận – Định thức A .
- Ma trận – Định thức .
- Ma trận – Định thức a b b.
- Ma trận – Định thức 1  a1b1.
- Ma trận – Định thức  sin(21 ) sin(1.
- Ma trận – Định thức 0 x y z x yz x y z 1 x y z x 0 z y xz y 0 z y 1 0 z y.
- Ma trận – Định thức Bài 3: Hạng của ma trận, cách tính hạng của ma trận.
- Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0.
- Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0.
- Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) và rank(A).
- Quy ước: Hạng của ma trận 0 bằng 0.
- Phép chuyển vị ma trận.
- 3.2 Tính chất 2: Nếu A là ma trận vuông cấp n thì.
- Ví dụ: Tính hạng của ma trận sau.
- 1 2 Xét ma trận tạo bởi hai dòng đầu A.
- 1 3 2 ma trận A và có detB = 1.
- ir } gọi là cột đánh dấu của ma trận A.
- Ma trận – Định thức  1 3 2 8.
- a2 n Xét ma trận A.
- Ma trận – Định thức am1  Ta nhân dòng (1) với a rồi cộng vào dòng (m).
- Khi đó ta nhận được ma trận A1.
- b3n Bước 2: Xét ma trận B.
- Tính hạng của ma trận A.
- Ma trận – Định thức  a 1 1.
- Nếu a = 1 thì ma trận C là ma trận bậc thang.
- Ma trận – Định thức Bài 4: Ma trận nghịch đảo.
- Cho ma trận A.
- A 2 n Ma trận A.
- 12 21 P được gọi là ma trận phụ hợp của M M O M.
- A nn ma trận A.
- Suy ra ma trận phụ hợp PA.
- Ma trận – Định thức 1 1 Nếu det A  0 thì A khả nghịch và A  PA .
- Tìm ma trận phụ hợp PA của A.
- b) Cho ma trận A.
- Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau.
- 1 1 1 0 Giải: Xét ma trận sau.
- Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là .
- Ma trận – Định thức  a11 x1  a12 x2.
- Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận  a 1 1 1.
- Ma trận – Định thức 1 (a  1) x1.
- Ma trận – Định thức  2 1.
- 1 2 Cho ma trận A.
- 6 8 4 Giải phương trình ma trận sau.
- Cho các ma trận A.
- Ma trận – Định thức a) 3A + 2B.
- Tính các tích của các ma trận sau.
- với A là các ma trận sau: k  1 1 1.
- Ma trận – Định thức b) Tr(AB.
- Ma trận – Định thức 1 2 3.
- d n 19) Tìm hạng của các ma trận sau.
- Ma trận – Định thức  0 4 10 1.
- Tìm hạng của các ma trận vuông cấp n sau đây.
- thì hạng các ma trận sau bằng 1.
- Ma trận – Định thức  1 a 1 1.
- K ) là một ma trận khả nghịch thì với mọi A  M (n