Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Pn Ank Tên gọi Số các hoán vị của n phần tử Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử Diễn giải Permutation Arrangement Cnk P(A) lim un lim f ( x ) Số các tổ hợp chập k của n phần tử Combinatory Xác suất của biến cố A Giới hạn của dãy số (un) Probability Limit Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới x0 lim f ( x ) Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới âm vô cực lim f ( x ) Giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới dương vô cực lim f ( x ) Giới hạn bên phải của hàm số f(x) khi x dần tới x0 lim f ( x ) Giới hạn bên trái của hàm số f(x) khi x dần tới x0 y' hoặc f'(x) y'' hoặc f''(x) y(n) hoặc f(n)(x) dy hoặc df(x) n(A) hoặc A Đ ĐO Tv Đạo hàm của hàm số y = f(x) Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) Vi phân của hàm số y = f(x) Số phần tử hữu hạn của tập A x x 0 x   x   x  x0 x  x0 Phép đối xứng trục  Phép đối xứng tâm O  Phép tịnh tiến theo vectơ v Q( O , ) Phép quay tâm O, góc quay  V( I ,k ) Phép vị tự tâm I, tỉ số k (  ) hoặc mp(  ) A  ( ) A  ( ) d  ( ) d  (  ) = {M} (  )  ( ) =  S.ABCD ABC.A'B'C' d(A,(  )) d(,(  )) d((  ),()) Gv soạn: Trần Duy Diễn Mặt phẳng  Điểm A thuộc mp(  ) hay A nằm trên (  ) hay (  ) chứa A hay (  ) qua A Điểm A không thuộc (  ) hay A không nằm trên (  ) hay (  ) không chứa A hay (  ) không đi qua A d chứa trong mặt phẳng (  ) d cắt mặt phẳng (  ) tại M mp(  ) cắt mp() theo giao tuyến  Hình chóp Hình lăng trụ tam giác Khoảng cách từ A đến mp(  ) Khoảng giữa đường thẳng  và mp() Khoảng giữa hai mp(  ) và mp() Differenttial Đối xứng Đối xứng Tịnh tiến Quay Tịnh tiến S là đỉnh, ABCD là mặt đáy Distance from A to (  ) Trang 1 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PT LƯỢNG GIÁC ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Các giá trị lượng giác của cung (góc)  :  sin luôn xác định  R và: sin( + k2) = sin cos luôn xác định  R và: cos( + k2) = cos.  - 1  sin  1 ( tức là sin 1). - 1  cos  1 ( tức là cos  1).   k và: tan( + k) = tan 2 cot xác định khi   k và: cot( + k) = cot.  Dấu của các giá trị lượng giác của góc :  tan xác định khi   Góc phần tư Giá trị LG sin cos tan cot 2. Đường tròn lượng giác và các giá trị lượng giác đặc biệt: 1200 3. Công thức lượng giác cơ bản:  sin2 + cos2 = 1 1   1  tan 2   (   k , k  Z). 2 2 cos  1  1  cot 2   (  k, k  Z). sin 2  sin(-) = - sin sin( - ) = sin cos(-) = cos cos( - ) = - cos tan(-) = - tan tan( - ) = - tan cot(-) = - cot cot( - ) = - cot  -1 3 2  2 2  + + + + + - + + + - 2250 2400 quan đặc biệt: sin( cos( tan( 2  2  2  2 450 300 1 2  1 2  2 2 2 2 3 2 1  2 - ) và  - ) = cos - ) = sin - ) = cot 00 Trục cos 3600 3300 3150 3  2 -1  600 O 2100 Cung phụ: ( 900 1 2 1800 cot( 3000 2700 Cung hơn kém : ( + ) và  sin( + ) = - sin cos( + ) = - cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot - ) = tan 5. Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: Công thức nhân đôi: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb sin2a = 2sinacosa cos(a + b) = cosacosb - sinasinb cos2a = cos2a - sin2a sin(a - b) = sinacosb - cosasinb = 2 cos2a - 1 sin(a + b) = sinacosb + cosasinb = 1 - 2sin2a Gv soạn: Trần Duy Diễn IV 1 2 , k  Z). 2 4. Giá trị lượng giác của các cung có liên Cung đối:(-) và  Cung bù:( - ) và  III 3 2 2 2 1500  tan.cot = 1 (   k II Trục sin 1 1350  I Công thức hạ bậc: 1  cos 2a cos2 a  2 1  cos 2a sin2 a  2 Trang 2 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng tan( a  b )  tan a  tanb 1 m tan atanb tan 2 a  Công thức biến tích thành tổng: 1 cosacosb = [cos(a -b) + cos(a + b)] 2 1 sinasinb = [cos(a - b) - cos(a + b)] 2 1 sinacosb = [sin(a - b) + sin(a + b)] 2  Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin3a  Công thức sina + cosa: sina + cosa = 2 sin(a + sina + cosa = 2 cos(a -  Ghi chú: Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 2tana 1  tan 2 a tan 2 a  1  cos 2a 1  cos 2a Công thức biến đổi tổng thành tích: uv uv cosu + cosv = 2cos cos 2 2 uv uv cosu - cosv = -2sin sin 2 2 uv uv cos sinu + sinv = 2sin 2 2 uv uv sinu - sinu = 2cos sin 2 2 cos3a = 4cos3a - 3cosa  4  4  ) sina - cosa = ) sina - cosa = - 2 cos(a + 2 sin(a - 4 )  4 ) ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 3 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Hàm số y  sin x  Tập xác định: D  R  Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1  sin x  1 x  R    3  Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (  k 2 ;  k 2 ) , nghịch biến trên mỗi khoảng (  k 2 ;  k 2 ) . 2 2 2 2  Hàm số y  sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.  Hàm số y  sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .  Đồ thị hàm số y  sin x . y - -5 -3 2 - -2 -3 3 2 O 1   2 2 2 2 3 5 x 2 2 2. Hàm số y  cos x  Tập xác định: D  R  Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1  cos x  1 x  R  Hàm số y  cos x nghịch biến trên mỗi khoảng ( k 2 ;   k 2 ) , đồng biến trên mỗi khoảng (  k 2 ; k 2 )  Hàm số y  cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.  Hàm số y  cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T  2 .  Đồ thị hàm số y  cos x . Đồ thị hàm số y  cos x bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x   theo véc tơ v  (  ;0) . 2 y - -5 -3 2 - -2 -3 1  2 2 3 O  2 2 2 3 5 x 2 3. Hàm số y  tan x     Tập xác định : D  R \   k , k  Z   2   Tập giá trị:  Là hàm số lẻ  Là hàm số tuần hoàn với chu kì T        Hàm đồng biến trên mỗi khoảng    k ;  k  2  2   Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x   Đồ thị Gv soạn: Trần Duy Diễn  2  k , k  Z làm một đường tiệm cận. Trang 4 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 y - -2  -5  -3 2 2 -  2 2 5 3  2 2 2 x O 4. Hàm số y  cot x  Tập xác định : D  R \ k , k  Z      Tập giá trị: Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T   Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng  k ;   k   Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k , k  Z làm một đường tiệm cận.  Đồ thị y - -2 -5 -3 2 2 -  2 2 5 3  2 2 2 x O  MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH: 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Ví dụ áp dụng: (Tìm đk xác định hoặc tập xác định HSLG) 1  3cos x f ( x)  Dạng 1: y  xác định khi g ( x )  0 và a) Đk xác định của hàm số y  sin x là g ( x) sinx  0  x  k  g ( x) tồn tại; b) Đk xác định của hàm số y  tan 2 x là  Dạng 2: y = f ( x) xác định khi f ( x )  0 ;   k cos 2 x  0  2 x   k   x   f ( x)  Dạng 3: y  xác định khi g ( x )  0 . 2 4 2 g ( x) c) Đk xác định của hàm số y  cos x là x  0  Lưu í: d) Hàm số y  cot 2x có  sin u ( x )  0  u ( x )  k , k  Z    Điều kiện xđ là: sin 2 x  0  2 x  k x  k   cos u ( x)  0  u ( x)   k , k  Z . 2 2     Tập xác định là D  R \  k ; k  Z   2  BÀI TẬP MẪU Tìm tập xác định của các hàm số : 2   1) y  2) y  tan  3x   sin 2 x  1 6  3) y = tan2x + cot3x 4) y 1  sin x 1  sin x HD: áp dụng công thức giải 1 số phương trình LG đặc biệt: * sin u * sin u * sin u 0 u 1 u kp p 2 1 u Gv soạn: Trần Duy Diễn k 2p p 2 k 2p cos u 0 u p 2 cos u 1 u k 2p cos u 1 u kp p k 2p tan u 0 u kp tan u 1 u p 4 tan u 1 u kp p 4 kp Trang 5 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11   4   HD: 1) ĐK: sin 2 x  1  0 ...................................................................................... TXĐ: D  R \    k    2 2) Đs: D  R \   k  3  9    3) Đs: D  R \   k ; k  2 3 4 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT: Ghi nhớ:           2 cos  x    4  4      sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x    4  4  sin x  cos x  2 sin  x  1  sin x  1 , 1  cos x  1 2 2 0  sin x  1 , 0  cos x  1 sin 2 x sin x.cos x  2 2 sin x.cos 2  2 sin x.cos x  x 2 4  2 sin 2 x 4 BÀI TẬP MẪU Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 2) 1) y  2 sin x  3 y 2 4  3 cos 2 x 5 Giải: 1) Ta có: 1  sin x  1  2  2 sin x  2  2  3  2 sin x  3  2  3  1  y  5 Vậy: Giá trị nhỏ nhất của hàm số là miny=1 đạt được khi : sin x  1  x   Giá trị lớn nhất cùa hàm số là maxy = 5 đạt được khi : sin x  1  x   2  2  k 2 ,  k 2 , k  Z kZ 2) Ta có: 0  cos 2 2 x  1  0  3 cos 2 2 x  3  0  3 cos 2 x  3  4  4  3 cos 2 x  3  4  4 5  2 4  3cos 2 x 5  1 5  4 5 y 1 5 Vậy: Giá trị lớn nhất của hàm số là maxy = 4/5 đạt được khi :    2 cos 2 x  0  cos 2 x  0  2 x   k  x   k , 2 4 2 kZ Giá trị nhỏ nhất cùa hàm số là min y = 1/5 đạt được khi  x  k  cos 2 x  1 2 x  k 2 2  cos 2 x  1  cos 2 x  1   2 x    k 2   x    k ,  2 BÀI TẬP TỰ LÀM Gv soạn: Trần Duy Diễn kZ Trang 6 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :   1) y  3sin 2 x  5 2) y  7  2 cos( x  ) 3) y  2 cos(3 x  )  3 4 3 2 2 6) y  2 cos x  1 7) y  1  4sin 2 x 5) y  sin x  4sin x  5 4) y  4 sin x  3  1 2 8) y  1  2cos x  cos x  Bài giải HS tự làm: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số: 2 - sin x 1  cos x  a) y = ; b) y = b) y = tan( x  ) ; sin x 3 cos x Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: a) y = 2 cos x - 3; b) y = 3 - 2sinx. d) y = 1  sin( x 2 ) - 1; e) y = 4sin x . Gv soạn: Trần Duy Diễn c) y = cot( x   6 c) y = 2cos(x + );  3 d) y = 1  cos x . 1  cos x ) + 3; Trang 7 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng BÀI LÀM Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Câu 1: Điều kiện xác định của hàm số y  Gv soạn: Trần Duy Diễn 1  sin x là cos x Trang 8 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng A. x   2  k 2 B. x   2  k Câu 2: Điều kiện xác định của hàm số y  A. x   2  k B. x  k 2 Câu 3: Điều kiện xác định của hàm số y  A. x  k 2 B. x  k Câu 4: Điều kiện xác định của hàm số y  A. x   2  k 2 B. x  k 2 Câu 5: Điều kiện xác định của hàm số y  B. x  A. x  k 2  3  k 2 Câu 6: Điều kiện xác định của hàm số y  A. x   2  k B. x  k 2 C. x   1  3cos x là sin x C. x  2sin x  1 là 1  cos x C. x  1  sin x là sin x  1 C. x  tan x là: cos x  1  2 Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  k 2 D. x  k k 2  2 D. x  k  k D. x  3  k 2 2 C. 𝐷 = ℝ\ + 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ cot x là: cos x D. x  k C. x  k + 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ D. 𝐷 = ℝ\ + 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ B. 𝐷 = ℝ\ Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số 𝑦 = cot 2𝑥 + A. 𝐷 = ℝ\ C. 𝐷 = ℝ\ + 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ Câu 11: Khẳng định nào sau đây là đúng A. cos x  1  x   2  k  D. x  D. x   4  2  k 5  k 12 2 + 𝑘 , 𝑘𝜖ℤ : + 𝑘 , 𝑘𝜖ℤ + 𝑘 , 𝑘𝜖ℤ + 𝑘 , 𝑘𝜖ℤ B. cos x  0  x   2  k   k 2 2 2 Câu 12: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: A. cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = + 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ B. cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋, 𝑘𝜖ℤ C. cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘2𝜋, 𝑘𝜖ℤ D. cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ Câu 13: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3sin x  5 lần lượt là: C. cos x  1  x   Gv soạn: Trần Duy Diễn  k 2 D. 𝐷 = ℝ\  k 2    x  2  k D.   x    k  3    x   k C.  2  x  k 2 B. 𝐷 = ℝ\ 2 D. x    k 2 Câu 7: Điều kiện xác định của hàm số y  tan 2 x là  k   k  A. x  B. x   k C. x   . 4 2 2 4 2   Câu 8: Điều kiện xác định của hàm số y  tan  2x   là 3   k 5   k A. x   B. x  C. x   k 6 2 12 2 Câu 9: Tìm tập xác định của hàm số 𝑦 = tan 2𝑥 + : A. 𝐷 = ℝ\  D. cos x  0  x  Trang 9 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng A. 8 và  2 B. 2 và 8 C. 5 và 2 Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 D. 5 và 3 Câu 14: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3cosx  5 lần lượt là: B. 2 và 8 C. 8 và  2 D. 5 và 3 A. 5 và 2 Câu 15: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 2 cos 𝑥 + + 3 lần lượt : A. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 5, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 1 B. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 5, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = −1 C. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 3, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 1 D. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 5, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 3 Câu 16: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = 2 sin 𝑥 + + 3 lần lượt : A. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 5, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = −1 B. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 5, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 1 C. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 3, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 1 D. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 5, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 3  Câu 17: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  7  2cos( x  ) lần lượt là: 4 A. 2 và 7 B. 2 và 2 C. 5 và 9 D. 4 và 7  Câu 18: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  7  2sin( x  ) lần lượt là: 4 A. 2 và 7 B. 2 và 2 C. 4 và 7 D. 5 và 9 Câu 19: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3  1 lần lượt là: A. 2 và 2 B. 2 và 4 C. 4 2 và 8 D. 4 2  1 và 7 Câu 20: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 cosx  3  1 lần lượt là: A. 2 và 2 B. 4 2 1 và 7 Câu 21. Giá trị nhỏ nhất của hàm số B. 8 A. 20 Câu 22. Giá trị nhỏ nhất của hàm số B. 0 A. 20 Câu 23. Giá trị lớn nhất của hàm số A. 2 B. 5 Câu 24. Giá trị lớn nhất của hàm số B. 2 A. 5 C. 4 2 và 8 D. 2 v à 4 2 y  sin x  4sin x  5 là: 2 C. 0 D. 9 C. 8 D. 9 C. 0 D. 3 y  cos x  4cosx  5 là: 2 y   cos x  2cos x 1 là: 2 y   sin x  2sin x 1 là: C. 0 D. 3 s inx  2 cos x  1 Câu 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y  s inx+cosx+2 A.–3 B. – 2 C. 1 D. 0 c osx  2 sin x  1 Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y  c osx+sinx+2 A.–3 B. 1 C. – 2 D. 0 Câu 27. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = √1 + 3𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 lần lượt là: A. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 1, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 0 B. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 2, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 1 C. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 3, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 1 D. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 2, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 0 Câu 28. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 𝑦 = √1 + 3𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 lần lượt là: A. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 2, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 0 B. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 2, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 1 C. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 3, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 1 D. 𝑚𝑎𝑥𝑦 = 1, 𝑚𝑖𝑛𝑦 = 0 Ghi chú: .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 10 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = a: Xét phương trình sinx = a (a  R) (1) Trường hợp a > 1 hay a   1;1 : phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp a  1 hay a   1;1 : đưa PT về dạng   M'  x    k 2 sin x  sin    (k  Z )  x      k 2  3 a) sin x  sin ; b) sinx = 1 ; 2 c) sin2x = 1; 1 B M a K A' -1  x  arcsin a  k 2  sinx = a   (kZ )  x    arcsin a  k 2  Ví dụ: Giải các phương trình sau: Giải: sin 1 A O coâsin -1 B' d) sin(x + 450) = - 2 . 2 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... * Chú ý: Tổng quát ta có   sin u  sin v  u  v  k 2   u    v  k 2 ( hay sin u  sin  0 )  ( hay u  0  k 3600 ) ( hay u  1800  0  k 3600 ) ( k Z )  sinu = a (-1  a  1)  u  arcsina  k 2 sinu  a [ hayu  arcsina  k 3600 ]   ( k Z )  u    arcsina  k 2 [ hayu  1800  arcsina  k3600 ] (sinu  a )  Đặc biệt: sinu = 1  u =  + k2, k  Z 2 sinu = -1  u = -  + k2, k  Z sinu = 0  u = k, k  Z. 2 2. Phương trình cosx = a: Xét phương trình cosx = a (a  R) (2) Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 11 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Trường hợp a > 1 hay a   1;1 : phương trình (1) vô nghiệm sin Trường hợp a  1 hay a   1;1 : đưa PT về dạng   1  x    k 2 cosx = cos    (kZ )  x    k 2   x  arccos a  k 2 cosx = a   (k  Z )  x   arccos a  k 2 A' -1 B M O 1 A a H coâsin M' -1 B' Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) cosx = cos  ; b) cos3x = - 6 Giải: 2 ; 2 c) cosx = 1 ; 3 d) cos(x + 600) = 2 . 2 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... * Chú ý: Tổng quát ta có  u    k 2  cos u  cos   0 ( hay cos u  cos  )  u    k 2 ( hayu 0  k 3600 ) ( k Z ) ( hayu  0  k 3600 ) (-1  a  1)  cosu) = a  u( x )  arccos a  k 2 cos u  a  ( hay cos u  a )  u( x )   arccos a  k 2 cosu = 1  u = k2, k  Z cosu = -1  u =  + k2, k  Z cosu = 0  u =  + k, k  Z.  Đặc biệt: 3. Phương trình tanx = a: tanx = a 2 a) tanx = tan  ; 5  x =  + k, k  Z [ hay x =  0 + k1800, k  Z]  x = arctana + k, k  Z [x = arctana + k1800, k  Z] tanx = tan  tanx = a Ví dụ: Giải các phương trình sau: Giải: ( hay u  arccos a  k 3600 ) ( k Z ) ( hay u   arccos a  k 3600 ) b) tan2x = - 1; 3 c) tan(3x + 150) = 3 ; ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn d) tan(2x - 450) = 3 ; 3 ..................................................................................................................... Trang 12 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... * Chú ý: tanu = tana  tanu = a tanu = a   u = a + k, k  Z u = arctana + k, k  Z [ hay u = arctana + k1800, k  Z]  Tổng quát: tanu = tanv  u) = v + k, k  Z.  Đặc biệt: tanu = 0  u = k, k  Z. 4. Phương trình cotx = a: cotx = cot   x =  + k, k  Z cotx = a cotx = a  x = acrcota + k, k  Z Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) cot2x = cot 2  ; 7 [ hay u =  0 + k1800, k  Z] b) cot3x = -2; [hay x =  0 + k1800, k  Z] [hay x = acrcota + k1800, k  Z] c) cot(2x - 100) = Giải: 1 3 . ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... * Chú ý:  cotu = a cotu = cot   u =  + k, k  Z cotu = a  u = acrcota + k, k  Z [ hay u = 0 + k1800, k  Z] [ hay u = acrcota + k1800, k  Z]  u = v + k, k  Z. cotu = 0  u =  + k, k  Z.  Tổng quát: cotu = cotv  Đặc biệt:  Ghi chú: 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 13 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Giải các phương trình sau: a) sin(x + 2) = 1 ; b) sin3x = 1; c) sin( 2 x   ) = - 1 ; d) sin(x + 200) = - 3 3 3 2 3 . 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Giải các phương trình sau: a) cos(x - 1) = 2 ; 3 3x  c) cos(  ) = - 1 ; 2 4 2 b) cos3x = cos120; d) cos22x = 1 . 4 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 14 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Bài 3: Giải phương trình 2 cos 2 x  0 . 1  sin 2 x ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4: Giải các phương trình sau: a) tan(x - 150) = 3 ; 3 b) cot(3x - 1) = - 3; c) cos2x.tanx = 0; d) sin3x.cotx = 0. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 5: Giải các phương trình sau: a) sin3x - cos5x = 0; b) tan3x.tanx = 1. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho: a) sin2x =  1 với 0 < x < ; b) cos(x - 5) = c) tan(2x - 150) = 1 với -1800 < x< 900; d) cot3x = 2 1 3 3 với - < x < ; 2 với   < x < 0. 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 15 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI VÀ TỰ LÀM 1   Bài 1. Giải phương trình sin  2 x     3 2     x   4  k A.   x  5  k   12  x  B.  x     k 4 5  k 12    x  4  k C.   x    k  12 Lời giải:    2 x  3   6  k2     Phương trình  sin  2 x    sin       3   6 2 x        k2  3 6   Bài 2. Giải phương trình cos 3x  150   x  25 0  k .120 0 A.  0 0  x   15  k .120    x   4  k , k   x  5  k  12 3 2  x  5 0  k .120 0 B.     x   4  k 2 D.  x    k   12 2 0 0  x  15  k .120  x  25 0  k .120 0 C.  0 0  x  15  k .120  x  5 0  k .120 0 D.  0 0  x   15  k .120 Lời giải: 0 0 Phương trình  cos(3x  15 )  cos30 1 2 Bài 3. Giải phương trình sin(4x  )   1  x   8  k 2 A.  , k   x   k  4 2  x  C.  x   1 1 1   arcsin  k 8 4 3 2 , k 1  1 1    arcsin  k 4 8 4 3 2  3 x  15 0  30 0  k .360 0  x  5 0  k .120 0 , k     0 0 0 0 0  3 x  15   30  k .360  x   15  k .120 1 3   x   1  1 arcsin 1  k   8 4 3 2 , k B.    1 1 1   x    arcsin  k  4 8 4 3 2  1 1 1   x   8  4 arcsin 3  k 2 D.  , k  x    1 arcsin 1  k   4 4 3 2 Lời giải: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 16 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng  4x  Phương trình   4x   Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  1 1  x   1  1 arcsin 1  k   arcsin  k 2   8 4 3 2 , k 2 3    1 1 1  1 1    arcsin  k 2   x    arcsin  k  2 3 4 8 4 3 2 Bài 4. Giải phương trình sin(2 x  1)  cos(2  x )  x  A.  x     2  k 2 2  1 k 2   6 3 3  x  B.  x     3  k 2 2  1 k 2   6 3 3  x  C.  x     3  k 2 2  1 k 2   6 3 3  x  D.  x     k 2 2  1 k 2   6 3 3 Bài 5. Giải phương trình 2cos x 2  0 A. x     k2 6 B. x   Bài 6. Giải phương trình 2 cot   k2 5 2x 3 C. x     k2 3 D. x     k2 4  3 A. x  5 3 3  k ( k  ) arc cot 2 2 2 B. x  3 5 3  k ( k  ) arc cot 2 2 2 C. x  3 3 3 arc cot  k ( k  ) 2 7 2 D. x  3 3 3 arc cot  k ( k  ) 2 2 2 Lời giải: Phương trình  cot 2x  3 3 2x 3 3 3 3   arc cot  k   x  arc cot  k ( k  ) . 2 3 2 2 2 2  3 Bài 7. Giải phương trình sin(4x  )    x    k / 2  8  A.   7 x  k / 2  24 B. x  1 2   k, k  3 Bài 8. Giải phương trình cot(4 x  20 0 )  A. C. x    k, k  5 D. x  k  , k  1 3 x  300  k.450 , k  B. x  200  k.900 , k  C. x  350  k.900 , k  D. x  200  k.450 , k  Bài 9. Giải phương trình sin 2 x  2 cos 2 x  0 1 3 A. x  arctan2  k 1 k B. x  arctan2  2 3 3 1 2 C. x  arctan2  k 3 1 2 D. x  arctan2  k 2 Bài 10. Giải phương trình tan 2 x  tan x A. x  1  k, k  2 Bài 11. Giải phương trình Gv soạn: Trần Duy Diễn  2 B. x  k , k  C. x    k, k  3 D. x  k  , k  3 tan2x  3  0 Trang 17 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng  6 A. x   k Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  3 B. x   k C. x    k 6 D. x    k 2 Bài 12. Giải phương trình cos 2 x  sin 2 x  0    x  2  k A.  k   x  arctan 1  k   3    x  2  k C.  k   x  arctan 1  k   5     x  2  k B.  k   x  arctan 1  k   4      x  2  k D.  k   x  arctan 1  k   2  Lời giải: Phương trình c o s 2 x  2 sin x c o s x  0  cos x  0  cos x(cos x  2 sin x )  0     2 sin x  cos x    cos x  0  x  2  k  .   tan x  1 1  x  arctan  k   2  2 Bài 13. Giải phương trình sin(2 x  1)  cos(3 x  1)  0    x  2  2  k 2 A.  x    k 2  10 5    x  2  2  k 2 B.   x     k 2  10 5    x  2  3  k 2 C.   x     k 2  10 5    x  2  6  k 2 D.  x    k 2  10 5 Lời giải:      x  2  2  k 2  3 x  1  2  2 x  1  k 2   Phương trình  cos(3x  1)  sin(2x  1)  cos   2x  1    2  3x  1     2x  1  k 2  x     k 2   2 10 5  4  3 Bài 14. Giải phương trình sin(4x  )  sin(2x  )  0 7  k   x  72  3 A.  k   x    k  24   x  B.  x   7  k  72 3 k  11  2 k 24   x  C.  x   7  k  72 3 k   11  k 4  x  C.  x     50   20   x  D.  x   7  k  72 3 k   11  k 24   5 Bài 15. Giải phương trình cos7x  sin(2x  )  0   k 2  x  50  5 A.   x     k  20 5  3 k 2  x   50  5 B.   x     k  20 5 k 2 5 k 5  3 k 2  x  50  5 D.   x     k  20 5  4 2 2 Bài 16. Giải phương trình sin 2x  cos (x  ) Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 18 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng  x  A.  x     k 4 k   k  2 3  Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11    x  4  2k B.  k   x    k  12 3     x   4  k C.  k   x    k  12 3     x  4  k D.  k   x    k  12 3  Lời giải:   1  cos  2 x   2 1  cos 4 x      cos 4 x  sin( 2 x)  cos 4 x  cos   2 x   PT  2 2 2     x  4  k   x    k  12 3 Bài 17. Giải phương trình sin 2 x  cos 2 4 x  1  x  A.  x   k 13 k   k 15  x  B.  x    k 23 k   k 25   x  C.  x   k 3 k  k 5   x  D.  x   k 33 k   k 35  Bài 18. Giải phương trình sin 2 x  3sin 4 x  0 k  x  2 A.  k   x   1 arccos   1   k  6  3    k  x  2 C.  k  x   7 arccos   1   k  6  2     k  x  2 B.  k  x   5 arccos   1   k  6  2      k  x  2 D.  k  x   1 arccos   1   k  6  2     k  x  4 B.  k  x   1 arccos   3   k  5 2  3     k  x  4 D.  k   x   1 arccos   3   k  5 2  4     Bài 19. Giải phương trình 6 sin 4 x  5sin 8 x  0 k  x  4 A.  k  x  1 arccos   3   k  5 2  4    k  x  1  4 C.  k   x   1 arccos   3   k  5 2  4    Bài 20. Giải phương trình A. x    k,  k  4    cos 2x 0 1  sin 2x B. x  3  k,  k  14  C. x  3  2k,  k  4 3  k,  k  4  D. x    x  D.  x    Bài 21. Giải phương trình cot 2 x.sin 3x  0  x  A.  x     k 4 2 k  2 k 3 Gv soạn: Trần Duy Diễn   x  B.  x     k 3 2 k  2 k 3   x  C.  x     k 4 k  k 3   k 4 2 k  k 3  Trang 19 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Bài 22. Giải phương trình tan 3x  tan 4 x A. x    m  m  2  B. x  2  m  m   C. x  2 m  m   D. x  m  m   §3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at + b = 0 trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác. Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 2sinx - 3 = 0; Giải: b) 5cosx + 3 = 0; c) 3 tanx + 1 = 0; d) 3 cotx - 3 = 0. ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... II - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at2 + bt + c = 0 trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác. Cách giải: Đặt ẩn phụ (điều kiện cho ẩn phụ nếu có), giải phương trình theo ẩn phụ rồi đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ: Giải phương trình sau: a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0; d) 2cos2x – 5sinx = 0; Giải: b) 2sin2 x + sinx – 1 = 0 ; e) 2sin2 x + 3cosx – 3 = 0 ; c) tan2x – 2 3 tanx + 3 = 0. ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 20 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX: 1. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx: asinx + bcosx = a 2  b 2 sin(x + 𝛼) với cos𝛼 = a 2 a b b và sin𝛼 = 2 2 a  b2 2. Phương trình dạng asinx + bcosx = c: Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) ( a2 + b2 > 0) o Nếu a = 0, b ≠ 0 (hoặc a ≠ 0, b = 0) thì (1) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. o Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì:  Chia cả 2 vế PT(1) cho a 2  b 2 , ta được PT:  PT tương đương với: co s .sinx + sin  .cosx = ( với cos𝛼 = a a 2 a b c a2  b2 và sin𝛼 = a2  b2 c .  PT tương đương với: sin  x    = 2 a  b2 2 b sinx + b a2  b2 2 a b 2 cosx = c 2 a  b2 ) Đây là PT bậc nhất đối với hàm sin nên đã biết cách giải Ví dụ 1: Giải phương các phương trình: a) sinx + 3 cosx = 1. b) sinx – 3 cosx = 1. c) 3 sinx + cosx = 2. d) 6 cosx – 2 sinx = 2. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 21 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ...................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 2: Giải phương trình a) 3sinx + 4cosx = 5. Giải: b) 3sin3x - 4cos3x = 5. ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chú: ............................................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Giải các phương trình sau: a) sin2x - sinx = 0; b) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0; c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0. ............................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Giải các phương trình sau: a) cosx - 3 sinx = 2 ; c) 2sinx + 2cosx - 2 = 0; Gv soạn: Trần Duy Diễn b) 3 sin3x - cos3x = 2 ; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0. Trang 22 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 3: Giải các phương trình sau: a) 2sin2x + 2 sin4x = 0; b) sin 2 x x  2 cos  2  0 ; 2 2 c) tanx - 2cotx + 1 = 0. ............................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0; 1 c) sin2x + sin2x - 2cos2x = ; 2 b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2; d) 2cos2x - 3 3 sin2x - 4sin2x = -4. ............................................................................................................................................................................................................................................................ Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 23 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 5: Giải các phương trình sau: a) tan(2x + 1).tan(3x - 1) = 1; b) tanx + tan(x +  4 ) = 1. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải các phương trình sau: a) cosxcos5x = cos2xcos4x; c) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x; b) sin2x + sin4x = sin6x; d) (sinx – cosx)2 – ( 2 + 1)(sinx – cosx) + 2 = 0. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 24 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Giải các phương trình sau: a) sinx + 3 cosx = 2sin(2x + b) cos3x - sinx =  ); 6 3 (cosx - sin3x); b) 2sinx(cosx - 1) = c) 3 cosx - sinx = 3 cos2x; 2 (sin3x - cos3x). .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Câu 1: Phương trình √3 tan 𝑥 + 3 = 0 có nghiệm là: B. 𝑥 = − + 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ A. 𝑥 = + 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ C. 𝑥 = + 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ Câu 2: Phương trình lượng giác: 2 cos x  2  0 có nghiệm là:  3 5     x  4  k 2  x  4  k 2  x  4  k 2 B.  A.  C.   x  3  k 2  x  3  k 2  x  5  k 2     4 4 4 Câu 3: Phương trình lượng giác: 3 tan x  3  0 có nghiệm là:    B. x   k C. x   k 2 A. x   k 6 3 3 Câu 4: Phương trình lượng giác: 2 cos x  2  0 có nghiệm là:  3 5     x  4  k 2  x  4  k 2  x  4  k 2 A.  B.  C.   x  3  k 2  x  3  k 2  x  5  k 2    4 4 4 Gv soạn: Trần Duy Diễn D. 𝑥 = − + 𝑘𝜋, 𝑘𝜖ℤ    x  4  k 2 D.   x    k 2  4 D. Vô nghiệm    x  4  k 2 D.   x    k 2  4 Trang 25 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 5: Phương trình lượng giác: 2cot x  3  0 có nghiệm là:    x  6  k 2 3  A.  B. x  arc cot  k C. x   k 2 6  x    k 2  6 D. x   3  k Câu 6: Phương trình lượng giác: 3.tan x  3  0 có nghiệm là:     B. x    k 2 C. x   k D. x    k A. x   k 3 3 6 3 Câu 7: Khẳng định nào sau đây là sai  B. sin x  0  x  k A. sin x  1  x    k 2 2  D. sin x  1  x   k 2 C. sin x  0  x  k 2 2 1 Câu 8: Nghiệm của phương trình cosx = – là: 2  2   A. x    k 2 B. x   C. x    k 2 D. x    k  k 2 3 3 6 6 Câu 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm: A. sin x + 3 = 0 B. 2cos2 x  cos x  1  0 C. tan x + 3 = 0 D. 3sin x – 2 = 0  2x  Câu 10: Phương trình: sin   600   0 có nghiệm là:  3   C. x   k A. x  450o  k 270o B. x  k D. x  90o  k 270o 3 x Câu 11: Giải phương trình lượng giác: 2 cos  3  0 có nghiệm là: 2 5 5 5 5 A. x   B. x   C. x   D. x    k 2  k 2  k 4  k 4 3 6 6 3   Câu 12: ố nghiệm của phương trình: sin  x    1 với   x  5 là: 4  A. 1 B. 0 C. 2 D. 3   Câu 13: Số nghiệm của phương trình: 2 cos  x    1 với 0  x  2 là: 3  A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 2 Câu 14: Giải phương trình: tan x  3 có nghiệm là:    B. x    k C. vô nghiệm D. x   k A. x    k 3 3 3 1 có bao nhiêu nghiệm thỏa: 0  x   Câu 15: Phương trình: sin 2x  2 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Câu 16: Phương trình lượng giác: 3.tan x  3  0 có nghiệm là:     B. x    k 2 C. x   k D. x    k A. x   k 3 3 6 3 Câu 17: Phương trình cos 4𝑥 = cos có nghiệm là: A. 𝑥 = + 𝑘2𝜋 𝑥 = − + 𝑘2𝜋 Câu 18: Phương trình sin Gv soạn: Trần Duy Diễn B. 𝑥= 𝑥=− + 𝑘2𝜋 + 𝑘2𝜋 C. = − có nghiệm là: 𝑥 = +𝑘 𝑥 =− +𝑘 D. 𝑥= 𝑥=− +𝑘 +𝑘 Trang 26 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng A. 𝑥= 𝑥=− + 𝑘10𝜋 + 𝑘10𝜋 B. 𝑥=− 𝑥= Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 + 𝑘10𝜋 C. + 𝑘10𝜋 𝑥=− 𝑥=− + 𝑘10𝜋 + 𝑘10𝜋 D. 𝑥= 𝑥= + 𝑘10𝜋 + 𝑘10𝜋 𝑘𝜖ℤ Câu 19: Phương trình 2sin(2 x  400 )  3 có số nghiệm thuộc (1800 ;1800 ) là A. 2 B. 4 C. 6 D. 7  Câu 20 : Nghiệm của phương trình 2sin(4x – ) – 1 = 0 là: 3   7    A. x  k ; x    k 2 B. x   k ; x  C. x  k 2 ; x   k 2 D. x    k 2 ; x  k k 8 2 24 2 2 2 Câu 21 : Nghiệm của pt 2.cos2x = –2 là:   A. x  k 2 C. x    k 2 D. x   k 2 B. x   k  2 2 Câu 22: Nghiệm của phương trình 2 cos 2x + 1 = 0 là:  p p p 2p 2p 2p A. - + k 2p; - + k 2p B. - + k 2p; D.   k + k 2p C. + k 2p; + k 2p 3 3 3 6 3 3 3 1 Câu 23 : Nghiệm của phương trình sinx = là: 2    A. x   k 2 B. x   k  C. x   k 2 D. x  k  6 6 3 Câu 24 : Nghiệm của phương trình sin3x = sinx là:     A. x  k ; x   k B. x   k  C. x  k 2  D. x   k ; x  k 2 4 2 2 2 Câu 25 : Nghiệm của phương trình cos3x = cosx là:    D. x  k ; x   k 2 A. x  k 2 B. x  k 2 ; x   k 2 C. x  k 2 2 2 Câu 26: Nghiêm của pt 2.sinx.cosx = 1 là:   A. x  k 2 C. x  k . D. x  k  B. x   k  4 2 Câu 27: Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:        k  D. x  k 2 ; x   k 2 A. x  k ; x  k B. x   k ; x   k C. x  k  ; x  4 2 8 2 4 2 Câu 28: Nghiệm của phương trình cosx = 1 là:   A. x  k 2 B. x   k 2 C. x  k  D. x   k  2 2 p Câu 29: Cho x = + k 2p là nghiệm của phương trình nào sau đây: 3 A. 2 cos x - 3 = 0 C. 2 cos x + 3 = 0 B. 2 sin x + 3 = 0 Câu 30 : Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm: A. 3 sin x = 1 B. tan 3x = 2 Câu 31: Nghiệm của pt sinx + A. x  5  k 6 Câu 32: Cho x = B. x    3 C. cot 5x = 3 3  0 là: 2  k 2 C. x   6  k 2 D. cos 2x = D. x   D. 2 sin x - 3 = 0 p 3 2  k 2 3 p + k 2p là nghiệm của phương trình nào sau đây: 3 A. 2 cos x + 3 = 0 B. 2 cos x - 3 = 0 C. 2 sin x + 3 = 0 D. 2 sin x - 3 = 0 Câu 33: Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1). Pt nào sau đây tương đương với pt (1) A. sin5x = 0 B. cos4x = 0 C. sin4x = 0 D. cos3x = 0 2 Câu 34: Phương trình cos x  2 cos x  1  0 có nghiệm là: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 27 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  B. x  k 2 , k  Z C. x  k , k  Z  k 2 , k  Z 2 Câu 35: Nghiệm dương lớn nhất của phương trình : sin2 x - 4sinx + 3 = 0 là : A. x  A.  B.  C.  D. x    k 2 , k  Z D.  4 6 2 3 Câu 36: Phương trình 4sin2x – 5sinx + 1 = 0 có nghiệm là   1 1 B. x   k ; x  arcsin  k 2 ; x    arcsin  k 2 ; k  Z A. x   k 2 ; k  Z 2 2 4 4  1  1 1 C. x   k ; x  arcsin  k 2 ; k  Z D. x   k 2 ; x  arcsin  k 2 ; x    arcsin  k 2 ; k  Z 2 4 2 4 4  1 Câu 37: Phương trình sin( x  )   có nghiệm là 3 2          x  6  k 2  x  2  k 2  x  6  k x   k 2  A.  C. B.  D. 3    x  3  k 2  x  11  k 2  x  3  k  x    k 2    6 2 2 Câu 38: Phương trình 2sin 2 x  sin x  3  0 có nghiệm là: π π π A. kπ B.  kπ C.  k 2π D.   k 2π 2 2 6 Câu 39: Phương trình cos x  3 sin x  3 có nghiệm là: 2     x   3  k 2  x  2  k 2  x  300  k1800  C. x   k D.  B.  A.  0 0 3  x  90  k180  x  4  k 2  x    k 2   6 3 3 Câu 40: Phương trình: cos 2 2 x  cos 2 x   0 có nghiệm là : 4 2    A. x   B. x    k C. x    k D. x    k 2  k 3 3 6 6 Câu 41: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng  0;   là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 Câu 42: Nghiệm của phương trình lượng giác : sin x  2sin x  0 có nghiệm là :   B. x  k C. x   k D. x   k 2 A. x  k 2 2 2 2 Câu 43: Nghiệm dương bé nhất của phương trình : 2sin x  5sin x  3  0 là   3 5 D. x  A. x  B. x  C. x  6 2 2 6 Câu 44: Điều kiện để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm là  m  4 A.  B. m  4 C. m  4 D. 4  m  4 m  4 Câu 45: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là :    x  k 2  x  4  k 2  A. x  k 2 B.  D.  C. x   k 2  x    k 2 4  x     k 2 2   4 Câu 46: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là :  m  4 A. m  4 B. 4  m  4 C. m  34 D.  m  4 Câu 47: Nghiệm của phương trình lượng giác: cos2 x  cos x  0 thỏa điều kiện 0  x   là : Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 28 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng A. x   Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 B. x = 0 2 C. x   D. x   2 Câu 48: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2sin 2 x  3sin x  1  0 thỏa điều kiện 0  x  A. x   B. x  3  2 C. x     6 D. x  5 6  2 là : Câu 49: Nghiệm của phương trình: sin x. 2 cos x  3  0 là :  x  k  x  k  x  k 2    A. B. C.  D. x    k 2     x    k 2  x    k  x    k 2 6 6 6 3    Câu 50: Phương trình: 3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau đây :  1    1  1     A. sin  3x     B. sin  3x     C. sin  3x     D. sin  3x    6 2 6 6 6 2 6 2     Bài 51. Giải phương trình  x  k A.  k   x    k 3  3 sin 2 x  cos 2 x  1  0  x  k B.  k   x  2  2 k 3     x  2 k C.  k   x  2  2 k 3    x  k D.  k   x  2  k 3   Bài 52. Giải phương trình sin 3x  3 cos 3x  2 cos 5x 5 k 5 k    x  48  5  x  48  4 A.  B.   x   5  k  x   5  2 k     12 12 5 k   x  48  4 C.   x   5  k   12 2 5 k   x  48  4 D.   x   5  k  12 Bài 53. Giải phương trình sin 3x  3 cos 3x  2 cos 5x 5 k 5 k    x  48  5  x  48  4 B.  A.   x   5  k  x   5  2 k    12 12 5 k   x  48  4 C.   x   5  k   12 2 5 k   x  48  4 D.   x   5  k  12 Bài 54. Cho phương trình sin x(sin x  2cos x)  2 khẳng định nào sao đây là đúng? A. Có 1 nghiệm B. Vô nghiệm Bài 55. Giải phương trình   2  x   10  k 5 A.   x  7   k 2  54 9 C. Có 4 nghiệm D. Có 2 họ nghiệm 3(sin 2 x  cos7 x)  sin 7 x  cos 2 x   3  x  10  k 5 B.  x  7  k   54 3      x  10  k 5 C.  x  7  k   54 9   2  x  10  k 5 D.   x  7   k 2  54 9  Bài 56. Giải phương trình 4 sin4 x  cos4 x  3 sin 4x  2   k x  4  7 A.   x     k  12 7 Bài 57. Giải phương trình Gv soạn: Trần Duy Diễn   k x  4  5 B.   x     k  12 5   k x  4  3 C.   x     k  12 3   k x  4  2 D.   x     k  12 2 1  cos x  cos 2x  cos 3x 2  (3  3 sin x) 3 2 cos2 x  cos x  1 Trang 29 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng A. x     k , x    k  ,  k  2 6 C. x     k 3, x    k 3,  k  2 6 Bài 58. Giải phương trình Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  B. x      k 2 , x    k 2 ,  k  2 6    D. x    k 2, x    k 2,  k  2 6  cos x  2 sin x.cos x  3 2 cos2 x  sin x  1 A. x  5 k   ,k 18 3 B. x  5 k 2  ,k 18 3 C. x  5 k 4  ,k 18 3 D. x  5 k 5  ,k 18 3 Bài 59. Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2  sin x  cos x  cos x  3  cos 2 x A. Có 1 họ nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Có 1 nghiệm duy nhất Bài 60. Giải phương trình 2 sin 2 x  5 sin x  3  0  A. x    k  k  2  C. x    k 3  k  2  1 B. x    k   k  2 2   D. x    k 2  k  2    Bài 61. Giải phương trình cos 2x  5sin x  3  0 . 7   k  k  A. x    k, x  6 6   7  k 4  k  C. x    k 4, x  6 6  7   k 3  k  B. x    k 3, x  6 6   7  k 2  k  D. x    k 2, x  6 6  Ghi chú: ............................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................. ......................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 30 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 CHƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Tập hợp:  Tập rỗng:  là tập hợp không chứa phần tử nào.  A = B A ⊂ B và B ⊂ A  Tập con:  Tính chất: a) A  A với mọi tập hợp A. B b) Nếu A  B và B  C thì A  C. A c)   A với mọi tập hợp A.  Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* là các tập hợp số A  B ( x : x  A  x  B ) không có phần tử 0.  Số tập con của tập có n phần tử là 2n. 2. Các phép toán trên tập hợp: Giao Hợp Phần bù Hiệu B A B  A  B ={xx  A và x  B} A A A B  A  B ={xx  A hoặc x  B} B  A\ B ={xx  A và x  B} Khi B  A thì A\B gọi là phần bù của B trong A, x  A B x  A x  A kí hiệu C A .  x A B    x A\ B    x  B x  B x  B 3. Dấu hiệu chia hết:  Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.  Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.  Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.  Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9. số có ba chữ số 4. Số và chữ số:  x A B   Ghi chú: 128 chữ số ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 1. QUY TẮC ĐẾM Số phần tử hữu hạn của tập hợp A được kí hiệu n(A) hoặc A. a) Nếu A = {a, b, c} thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n(A) = 3 hoặc A = 3. b) Nếu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và B = {2, 4, 6, 8} thì A\ B = {1, 3, 5, 7}. - Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9. - Số phần tử của tập hợp B là n(B) = 4. - Số phần tử của tập hợp A\B là n(A\B) = 5. I- Quy tắc cộng: Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện (không trùng với bất kì cách nào của hàng động thứ nhất) thì công việc đó có ................ cách thực hiện. * Chú ý:  Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.  Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau. Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì n(A  B) = .................................. II- Quy tắc nhân: Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. * Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp. B Ví dụ 1: Một mạng đường đi giữa các thành phố A, B, C, D như sau: 4 2 A D (Số giữa hai địa điểm chỉ số con đường đi giữa hai địa điểm đó) Gv soạn: Trần Duy Diễn 2 C 3 Trang 31 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Giải: Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D mà chỉ đi qua các thành phố chỉ 1 lần ? ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm: a) 3 chữ số; b) 3 chữ số khác nhau. b) là số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5? Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 9? Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Có bao nhiêu số điện thoại gồm 9 chữ số.  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên gồm: a) Một chữ số? b) Hai chữ số? c) Hai chữ số khác nhau? Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 32 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100? ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường (như hình vẽ). 3 A Hỏi: 2 B 3 C D a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần? b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rối quay lại A mà qua B và C chỉ 2 lần? ............................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 4: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây? ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 5: Lớp 11CB1 có 20 nam và 24 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp 3 người gồm một lớp trưởng nam, một lớp phó nam và một lớp phó nữ. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 33 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá ba chữ số khác nhau? ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. I- HOÁN VỊ: §2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP  Có bao nhiêu cách sắp xếp ba bạn A, B, C vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi. 1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một ................................................................ * Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. 2. Số các hoán vị: Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: Pn = ................................................................ Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, các chữ số được lấy từ tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... II- CHỈNH HỢP:  Có bao nhiêu cách chọn hai bạn giữ chức vụ bí thư và phó bí thư chi đoàn trong số 3 bạn đắc cử ban chấp hành. 1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. 2. Số các chỉnh hợp: Kí hiệu Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1  k  n). Ta có: Ank = ............................................. * Chú ý: a) Với quy ước 0! = 1, ta có: Ank = n! (1  k  n)(n, k  N) (n  k )! b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử. Vì vậy Pn = Ann .  Ví dụ: Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này? Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... III- TỔ HỢP: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 34 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  Trong mặt phẳng cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D (không có ba điểm nào thẳng hàng). Liệt kê tất cả các đoạn thẳng được tạo thành từ các điểm đó? 1. Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. * Chú ý: Vì tập  (0 phần tử) là tập con của tập A nên ta có điều kiện 0  k  n. 2. Số các tổ hợp: Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có: C nk  n! (0  k  n) (n, k  N) k!(n  k )! Ví dụ: Một tổ gồm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi: a) Có tất cả bao nhiêu cách lập? b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có ba nam, hai nữ. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 3. Tính chất của các số Cnk : a) Tính chất 1: Cnk  Cnn k (0  k  n) Ví dụ: C73  C74 b) Tính chất 2: Cnk11  Cnk1  Cnk (1 k < n) - Công thức Pascal Ví dụ: C73  C74  C84 Ví dụ: Chứng minh rằng, với 2  k  n - 2, ta có: Cnk  Cnk22  2Cnk21  Cnk2 . Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 35 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi: a) Có tất cả bao nhiêu số? b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ? c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000? .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................................................................\ .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)? .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 4: Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 36 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Bài 5: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 6: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu: a) Các bông hoa khác nhau? b) Các bông hoa như nhau? .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 7: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó? .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 đại biểu vào một bàn hình tròn? .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 người trực lớp a) Một cách tùy ý; b) Có đúng một nữ; c) Có ít nhất một nữ; d) Có nhiều nhất hai nữ. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó phong trào: a) Một cách tuỳ ý; b) Lớp trưởng là nữ; Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 37 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng c) Có đúng một nữ; Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 d) Có ít nhất một nữ. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 38 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §3. NHỊ THỨC NEWTON I - CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:  Khai triển hằng đẳng thức và viết lại các hệ số dưới dạng tổ hợp chập k của 3 phần tử? Trong khai triển đó thành phần nào là số hạng? thành phần nào là hệ số của số hạng? (a + b)2 = ………………………………………………………………..…………………… (a + b)3 = ………………………………………………………………..…………………… (a + b)4 = ………………………………………………………………..…………………… (a + b)5 = ………………………………………………………………..…………………… ………………………………………………………………..……………………………………………………………….. Tổng quát: ( a  b )n  C n0 a n  C n1 a n 1b  C n2 a n  2b 2  ...  Cnk a n  k b k  ...  C n 1 n ab n 1  C nn b n ( so hang tong quat ) ( Nhị thức Newton ) Hệ quả:  Với a = b = 1, ta có: (1 + 1)n = 2n = Cn0  Cn1  ...  Cnn  Với a = 1, b = -1, ta có: (1 - 1)n = 0n = Cn0  Cn1  ...  (1)k Cnk  ...  (1)n Cnn * Chú ý: Vế phải trong khai triển nhị thức NewTon: a) Số các hạng tử là n + 1; b) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0 = b0 = 1). c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. Ví dụ 1: Khai triển biểu thức (x + y)6. Giải: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví dụ 2: Khai triển biểu thức (2x - 3)4. Giải: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với n  4, ta có: Cn0  Cn2  Cn4  ...  Cn1  Cn3  ...  2 n1 . Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... II - TAM GIÁC PASCAL: n = 0 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 1 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 2 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 3 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 4 ........................................................................................................................................................................................................................................ n = 5 ........................................................................................................................................................................................................................................ Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 39 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 n = 6 ........................................................................................................................................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton: a) (a + b)5; b) (a - 2 )6; c) (x - 1 13 ) . x .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức (x + 2 6 ). x2 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Từ khai triển biểu thức (3x - 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 4: Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 - 3x)n là 90. Tìm n ? .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 5: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của ( x 3  1 8 ). x .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 40 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển (x + 2 10 ) , mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần. x .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Trong khai triển của (1 + ax)n ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2. Hãy tìm a và b. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. §4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I - PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU:  Khi gieo một con súc sắc 1 lần, em có biết trước kết quả không? Hãy liệt kê các kết quả có thể có của việc gieo một con súc sắc 1 lần? 1. Phép thử: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các ......................... có thể có của phép thử đó. 2. Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là ............................. ...........................của phép thử và kí hiệu là . Ví dụ: Mô tả không gian mẫu của các phép thử sau: a) Gieo một đồng tiền 1 lần; b) Gieo một đồng tiền 2 lần; c) Gieo một con súc sắc 2 lần. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... II - BIẾN CỐ:  Hãy gieo một đồng tiền hai lần, mô tả không gian mẫu. Xét sự kiện A: "Kết quả của hai lần gieo là như nhau", hãy viết lại sự kiện A theo kiểu liệt kê các phần tử của tập hợp A là tập hợp các khả năng có thể xảy ra của sự kiện trên? Em hãy cho thêm một vài sự kiện khác?  Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 41 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 * Chú ý: i) Các biến cố thường được kí hiệu bởi các chữ in hoa A, B, C,... Khi nói: "cho các biến cố A, B, C" (mà không nói gì thêm) thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử. ii) Các biến cố thường được cho bởi mệnh đề mô tả biến cố hoặc mệnh đề xác định tập con của không gian mẫu. Ví dụ: Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định biến cố A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn" bằng mệnh đề mô tả tập con; c) Xác định biến cố B = {(2, 4), (1, 3)} bằng mệnh đề. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Hãy nêu những đặc điểm khác nhau về sự tồn tại của hai biến cố A: "Con súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm" và B: "Con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không vượt quá 6" khi thực hiện phép thử gieo một con súc sắc 1 lần?  Tập  được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được gọi là biến cố chắc chắn. * Chú ý: Biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của tập A (hay thuận lợi cho A). III - PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ: a) Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A, k/h là A . b) Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử. Ta có:  Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B; A  B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra.  Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B (còn được viết tắt là A.B); A  B xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.  Nếu A  B =  thì ta nói A và B xung khắc; A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra. Kí hiệu Ngôn ngữ biến cố A là biến cố A⊂  A là biến cố ....................... A= A là biến cố .................... A= C là biến cố "......................" C=AB C là biến cố "....................." C=AB A và B ........................ AB= A và B ........................ B= A Ví dụ: Xét phép thử gieo một đồng tiền hai lần với các biến cố A: "kết quả của hai lần gieo là như nhau", B: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp", C: "Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp" và D: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp". a) Xác định các biến cố A, C, D dưới dạng mệnh đề mô tả tập hợp. b) Xác định các biến cố C  D và A  D. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 42 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng ..................................................................................................................... Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .....................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Gieo một con súc sắc hai lần. a) Mô tả không gian mẫu. b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề: A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}; B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}; C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Kí hiệu Ak là biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2. a) Hãy biểu diễn các biến cố A: "Không ai bắn trúng", B: "Cả hai đều bắn trúng", C: "Có đúng một người bắn trúng" và D: "Có ít nhất một người bắn trúng" qua các biến cố A1, A2 b) Chứng tỏ rằng A = D ; B và C xung khắc. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại. a) Mô tả không gian mẫu; b) Xác định các biến cố A: "Số lần gieo không vượt quá ba" và B: "Số lần gieo là bốn". ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 43 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 4: Gieo một đồng tiền ba lần. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định các biến cố A: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp", B: "Mặt sấp xảy ra đúng một lần" và C: "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần". ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 5: Một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải. a) Mô tả không gian mẫu. b) Xác định các biến cố A: "Chữ số sau lớn hơn chữ số trước", B: "Chữ số trước gấp đôi chữ số sau" và C: "Hai chữ số bằng nhau". ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Gieo một đồng tiền, sau đó gieo một con súc sắc. Quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N) của đồng tiền và số chấm suất hiện trên con súc sắc. a) Xây dựng không gian mẫu. b) Xác định các biến cố: A: "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm", B: "Đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con súc sắc xuất hiện mặt lẻ chấm" và C: "Mặt 6 chấm xuất hiện". ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 44 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Bài 2: Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ. a) Mô tả không gian mẫu. b) Kí hiệu A, B, C là các biến cố A: "Lấy được thẻ màu đỏ", B: "Lấy được thẻ màu trắng" và C: "Lấy được thẻ ghi số chẵn". Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. §5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I - ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT:  Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất một lần. Mô tả không gian mẫu và cho biết khả năng xuất hiện của mỗi mặt là bao nhiêu? Khả năng xuất hiện của biến cố A: "Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ" là bao nhiêu?. 1. Định nghĩa: Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng n( A) xuất hiện. Ta gọi tỉ số là ......................................của biến cố A, kí hiệu là P(A). n() P(A) = ............................ * Chú ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) A: "Mặt sấp xuất hiện hai lần"; b) B: "Mặt sấp xuất hiện đúng một lần"; c) C: "Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần". Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 2: Gieo ngẫu nhiên một một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố: a) A: "Mặt chẵn xuất hiện"; b) B: "Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3"; c) C: "Xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn 3". Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 45 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 3: Gieo ngẫu nhiên một một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau: a) A: "Số chấm trong hai lần gieo bằng nhau"; b) B: "Tổng số chấm bằng 8". Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... II - TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT: 1. Định lí: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó:  P() = .........., P() = ..............  …..  P(A)  ..............., với mọi biến cố A.  Nếu A và B xung khắc, thì P(A  B) = ....................................... (công thức cộng xác suất) Hệ quả: Với mọi biến cố A, ta có: P( A ) = ........................................... 2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng, hai quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Hãy tính xác suất sao cho hai quả đó: a) Khác màu; b) Cùng màu. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 2: Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tính xác suất của các biến cố sau: a) A: "Nhận được quả cầu ghi số chẵn"; b) B: "Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 3"; c) A  B; d) C: "Nhận được quả cầu ghi số không chia hết cho 6". Giải: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 46 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... III - CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT: Ví dụ: Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ hai có con súc sắc (đều cân đối, đồng chất). Xét phép thử "Bạn thứ nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo con súc sắc". a) Mô tả không gian mẫu của phép thử này. b) Tính xác suất của các biến cố sau: A: "Đồng tiền xuất hiện mặt sấp"; B: "Con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm"; C: "Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ". c) Chứng tỏ P(A.B) = P(A).P(B); P(A.C) = P(A).P(C). Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 47 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng BÀI TẬP RÈN LUYỆN Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. a) Hãy mô tả không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: "Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10" B: "Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần". c) Tính P(A), P(B). ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình x2 + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho: a) Phương trình có nghiệm; b) Phương trình vô nghiệm; c) Phương trình có nghiệm nguyên. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho: a) Cả bốn con đều là át; b) Được ít nhất một con át; c) Được hai con át và hai con K. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 48 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 4: Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc chon được tạo thành một đôi. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm. a) Hãy mô tả không gian mẫu. b) Xác định các biến cố sau: A: "Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8"; B: "Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp". c) Tính P(A), P(B). ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho: a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau; b) Nữ ngồi đối diện nhau. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu: A là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng" và B là biến cố: "Quả lấy từ hộp thứ hai trắng". a) Xét xem A và B có độc lập không. b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu. c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 49 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. * ÔN TẬP CHƯƠNG II * BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho: a) Các chữ số có thể giống nhau; b) Các chữ số khác nhau. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho: a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau; b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 50 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 4: Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho: a) Bốn quả lấy ra cùng màu; b) Có ít nhất một quả màu trắng. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào sáu cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên thẻ đó là: a) Cạnh của lục giác; b) Đường chéo của lục giác; c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 6: Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho: a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn; b) Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 51 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Trong khai triển (x + a)3(x - b)6, hệ số của x7 là - 9 và không có số hạng chứa x8. Tìm a và b. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Biết rằng hệ số của xn - 2 trong khai triển (x - 1 n ) bằng 31. Tìm n. 4 ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ÔN CHƯƠNG II PHẦN TỰ RÈN LUYỆN VỀ XÁC SUẤT: Câu 1: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì n() là bao nhiêu? A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 Câu 2: Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là? A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 Câu 3: Gieo một con súc sắc 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là? A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 Câu 4: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp” A. P ( A)  1 2 B. P( A)  1 2 B. P( A)  1 2 B. P( A)  3 8 C. P ( A)  3 8 C. P ( A)  3 8 C. P ( A)  7 8 D. P ( A)  7 8 D. P ( A)  7 8 D. P ( A)  1 4 Câu 5: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ kết qủa của 3 lần gieo là như nhau” A. P ( A)  1 4 Câu6: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp” A. P ( A)  1 4 Câu 7: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp” Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 52 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng A. P ( A)  1 2 B. P( A)  3 8 C. P ( A)  7 8 Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 D. P ( A)  1 4 Câu 8: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. A. 1 15 B. 1 15 B. 1 15 B. 7 15 C. 7 15 C. 8 15 C. 8 15 D. 8 15 D. 7 15 D. 1 5 Câu 9: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn không có nữ nào cả. A. 1 5 Câu 10: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có ít nhất một nữ. A. 1 5 Câu 11: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ. B. 1 15 B. 1 560 B. 1 560 B. 1 560 B. 2 7 B. 2 7 B. 7 15 C. 1 16 C. 1 16 C. 1 16 C. 8 15 D. 1 28 D. 1 28 D. 9 40 D. 1 5 Câu 12: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ. A. 143 280 Câu 13: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi không đỏ. A. 143 280 Câu 14: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ. A. 143 280 Câu15: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóA. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra thuộc 3 môn khác nhau. A. 1 21 C. 1 21 C. 1 21 C. 37 42 D. 37 42 D. 37 42 D. 5 42 Câu 16: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra đều là môn toán. A. 5 42 Câu 17: Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là toán. 2 7 PHẦN TỔNG HỢP: A. B. 5 42 Câu 18. Có 5 bi xanh, 3 bi đỏ. Lấy 3 bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy được 3 bi đủ hai màu? A. 15 B. C83 C. 40 D. 45 Câu 19. Có 7 vé số, trong đó có 3 vé trúng. Một học sinh mua 3 vé. Hỏi có bao nhiêu cách mua được ít nhất 1 vé trúng. A. 31 B. 29 C. C37 D. Một số khác Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 53 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 20.Có 4 trai, 3 gái bầu một ban đại diện ba người. Hỏi có bao nhiêu ban đại diện có ít nhất 2 trai? A. 18 B. 22 C. 35 D. Một số khác Câu 21.Có 7 vé số, trong đó có 3 vé trúng. Một học sinh mua 3 vé. Hỏi có bao nhiêu cách mua được 2 vé trúng. A. 18 B. 3 C. 12 D. Một số khác Câu 22.Một học sinh có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách vật lý, 2 quyển sách sinh vật. Muốn xếp những sách này thành một hàng ngang thì có bao nhiêu cách? A. 4! 3! 2! B. 8! C. 4. 3. 2. D. 4! 3! 2! 3! Câu 23.Có ba cặp vợ chồng (a; a’), (b; b’), (c; c’). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 người này thành một vòng tròn sao cho vợ phải đứng cạnh chồng? A. 2! 2! 2! 2! B. 2! 2! 2! C. 2! 2! 2! 3! D. Một kết quả khác Câu 24.Chia 7 cái kẹo khác nhau cho hai anh em sao cho anh hơn em một cái kẹo. Hỏi có bao nhiêu cách chia? A. C47 .C37 B. C47 C. 4 . 3 D. Một số khác 3 x 2 Câu 25.Giải phương trình: Ax  Cx  14x A. x = 4 B. x = 6 C. x = 5 D. Một số khác Câu 26.Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? A. 1200 B. 1000 C. 1800 D. 200 6 2 4 Câu 27. Hệ só của x trong phép khai triển (1 – x ) bằng công thức Newton là: A. C34 B.  C34 C. C24 D. Một số khác 6 2 4 Câu 28 Số hạng có chứa y trong phép khai triển (x – 2y ) là: A. 32xy 6 B. 24x 2 y 6 C. 32xy 6 D. Một số khác Phần ôn tập tổng hợp: Câu 1: Hệ số của x6 trong khai triển (2-3x)10 là: C106 .24.(3)6 B. C106 .26.(3)4 C. A. Câu 2: Hệ số của x5 trong khai triển (2x+3)8 là: 3 3 5 3 5 3 B. C8 .2 .3 A. C8 .2 .3 Câu 3: Hệ số của x7 trong khai triển (x+2)10 là: 3 7 3 A. C10 2 B. C10  Câu 4: Hệ số của x8 trong khai triển x  2 A. C10 2 6 B. C10 4 2 A. 5  2 6 5 3 5 D. C10 2 3 7 3 là: D. C10 2 C. C10  10 6 2 10 C106 26 C. C10 D. C. C10 D. C10 2 2  6 là: C106 là: B. C10 .2 2 4 D. C8 .2 .3 4  8 6 3 3 10 Câu 6: Hệ số của x12 trong khai triển 2 x  x A. C10 5 C. C10 2  Câu 5: Hệ số của x12 trong khai triển x  x B. D. C10 .2 .3 C. C8 .2 .3 6 C108 C104 .26.(3)4 8 2 2 8 13 1  Câu 7: Hệ số của x7 trong khai triển  x   là: x  4 4 B. C13 A. C13 C. C13 D. C13 3 3 9 1   Câu 8: Số hạng của x trong khai triển  x   là: 2x   1 3 3 1 3 3 B. .C9 x A.  .C9 x 8 8 8  3 1 4 Câu 9: Số hạng của x trong khai triển  x   là: x  3 Gv soạn: Trần Duy Diễn C. C9 x 3 3 D. C9 x 3 3 Trang 54 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng A. C8 x 5 B. C8 x 4 4 4 Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 C. C x 5 8 4 D. C83 x 4 40 31 Câu 10: Số hạng của x A. C40 x 37 31 1  trong khai triển  x  2  là: x   3 31 2 31 B. C40 x C. C40 x D. C40 x 4 31 6  2 2 Câu 11: Số hạng không chứa x trong khai triển  x   là: x  4 2 2 2 4 4 B. 2 C6 C. 2 C6 A. 2 C6 D. 2 C6 2 4 10 1  Câu 12: Số hạng không chứa x trong khai triển  x   là: x  4 5 5 A. C10 B. C10 C. C10 D. C10 4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ÔN HỌC KÌ 1 – ĐẠI SỐ TỔ HỢP & XÁC SUẤT 1. PHẦN HOÁN VỊ – TỔ HỢP – CHỈNH HỢP Câu 1. Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau là A. N = 100 B. N = 120 C. N = 90 D. N = 135 Câu 2. Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Số biển số xe trong đó có hai chữ cái khác nhau và 4 số đôi một khác nhau . A. 3276000 B. 136500 C. 172600 D. 5690 Câu 3: Có 5 nam và 7 nữ. Có bao nhiêu cách xếp một hàng dọc sao cho các bạn nữ kề nhau và bạn đầu tiên là bạn nữ: A. 1 209 600 B. 3 628 800 C. 604 800 D. 1 814 400 Câu 4: Trong không gian cho 10 điểm phân biệt trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng. Từ các điểm trên ta lập được bao nhiêu vectơ khác nhau, không kể vectơ-không? B. 60 C. 100 D. 90 A. 20 Câu 5: Đề kiểm tra tập trung môn toán khối 11 của một trường THPT gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh tham gia kiểm tra phải thực hiện hai đề gồm một đề tự luận và một đề trắc nghiệm, trong đó loại đề tự luận có 12 đề, loại đề trắc nghiệm có 15 đề. Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu các chọn đề kiểm tra? A. 27 B. 165 C. 180 D. 12 Câu 6. Cho 5 điểm phân biệt và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đoạn thẳng và số tam giác tạo thành từ 5 điểm đó lần lượt là A. 20 và 10 B. 10 và 10 C. 10 và 20 D. 20 và 20 Câu 7. Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi, có bao nhiêu cách lấy được 4 viên bi cùng màu? A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 Câu 8. Có bao nhiêu cách chọn 4 bông hoa từ 10 bông khác màu để cắm vào 4 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm một bông) A. 5040 cách B. 210 cách C. 24 cách D. 120 cách 1 x 2 Câu 9. Tìm x biết Ax .Cx  24 ta có A. x = 3 B. x = 2 C. x = 4 D. x = 5 Câu 10. Một lớp học có 20 nam 15 nữ cần chọn ra 5 người đại diện cho lớp đi tham quan . Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho phải có ít nhất một nữ A. 309128 cách B. 3003 cách C. 72675 cách D. 4845 cách Câu 11: Trong một hộp bi có 15 viên bi màu vàng, 10 viên bi màu xanh, 8 viên bi màu vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 viên bi với 3 màu khác nhau từ hộp bi trên ? A. 2400 B. 1200 C. 33 D. 15 Câu 12: Một nhóm học sinh gồm 12 học sinh trong đó có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh trên một trên chiếc ghế dài sao cho 5 học sinh nam phải ngồi gần nhau. A. 4833400 B. 4883400 C. 4838400 D. 4383400 Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 55 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 3 n Câu 13. Tìm số tự nhiên n thỏa A = 20n A. n = 5 B. n = 6 C. n = 10 D. n = 12 3 2 Câu 14. Tìm số tự nhiên n thỏa An  5An = 2(n + 15) A. n = 2 B. n = 4 C. n = 3 D. n = 5 Câu 15: Cho hai đường thẳng song song, trên a lấy 10 điểm phân biệt, trên b lấy 13 điểm phân biệt. Từ các điểm trên vẽ được bao nhiêu hình thang: A. 212 520 B. 14 040 C. 8 855 D. 3 510. Câu 16: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau: A. 900. B. 1000. C. 90 000. D. 27 216 Câu 17: Một đội xây dựng gồm 3 kỹ sư, 7 công nhân lập một tổ công tác gồm 5 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác gồm 1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân tổ viên. A. 120 B. 360 C. 420 D. 240 Câu 18: Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 2, 3 không đứng cạnh nhau? A. 120 B. 96 C. 48 D. 72 Câu 19. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập số các số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 5 là A. 1260 B. 1360 C. 1460 D. 1560 Câu 20. Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau là A. N = 560 B. N = 540 C. N = 960 D. N = 900 Câu 21. Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau là A. N = 1800 B. N = 6300 C. N = 5400 D. N = 8100 Câu 22: Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21 đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ? 12 12 7 7 A. 3C 36 B. 3C 36 C. 3C 21 D. C 21 C 155 C 155 C 147 C 105 Câu 23: Giá trị của số tự nhiên n thỏa mãn C n2 + An2 = 9n là: B. 6 C. 9 D. 8 A. 7 Câu 24: Tổng tất cả số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ {1,2,3,4,5} là: A. 3 333 300 B. 3 999 960 C. 2 666 640 D. 3 199 980 Câu 25: Tổng các tập con (không tính tập rỗng) của một tập hợp có n phần tử là: A. 2 n B. 2n - 1 C. 2n + 1 D. 2n - 1 Câu 26: Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn ba học sinh tham gia vệ sinh lớp, có bao nhiêu cách chọn sao cho nhiều nhất có 1 học sinh nam: A. 2625 B. 455 C. 2300 D. 3080 Câu 27: Một hộp đựng 8 bi xanh, 5 bi đỏ, 3 bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ: A. 280 B. 400 C. 40 D. 320 Câu 28. Cho 20 câu hỏi, trong đó có 8 câu lý thuyết và 12 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi sao cho trong mỗi đề thi phải gồm 5 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 2 câu lý thuyết và 2 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi? A. 8965 B. 8569 C. 9856 D. 9658 Câu 29. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Tính số cách chọn, nếu trong 4 người có ít nhất một em nam. A. 90025 B. 32500 C. 31500 D. 92500 Câu 30. Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Số cách chọn là A. 4615200 B. 4561200 C. 4651200 D. 4156200 Câu 31. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ, các bông hoa xem như đôi một khác nhau, chọn ra một bó hoa gồm 7 bông, số cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ là A. N = 112 B. N = 150 C. N = 120 D. N = 115 Câu 32. Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Số tam giác có 3 đỉnh trùng với 3 đỉnh của đa giác là Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 56 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 A. N = 455 B. N = 235 C. N = 525 D. N = 425 Câu 33. Cho hai đường thẳng song song d, Δ. Trên d lấy 17 điểm phân biệt, trên Δ lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã cho. A. 5950 B. 9550 C. 9050 D. 5590 Câu 34. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Số giao điểm là A. n(n – 1)/2 B. n(n + 1)/2 C. n(n + 2)/3 D. n(n + 3)/4 Câu 35. Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng đi qua 2 trong 10 điểm trên là A. N = 45 B. N = 90 C. N = 80 D. N = 72 Câu 36: Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3? B. 108 số C. 36 số D. 228 số A. 144 số Câu 37. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Số phần tử của X không bắt đầu bằng chữ số 1 là A. N = 45 B. N = 90 C. N = 60 D. N = 96 Câu 38. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Số phần tử của X không bắt đầu bằng 345 là A. N = 120 B. N = 116 C. N = 112 D. N = 118 Câu 39. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Tìm tổng tất cả các số của X. A. 99990 B. 88880 C. 33330 D. 66660 Câu 40. Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên theo từng môn? A. 103680 B. 831600 C. 3326400 D. 1663200 Câu 41. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần là A. 5880 B. 3210 C. 1080 D. 4320 2. PHẦN XÁC SUẤT Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng A. P (A) = 1 - n(A) n(W) B. P (A) = n(W) n(A) C. P (A) = n(A) n(B ) D. P (A) = n(A) n(W) Câu 2: Một hộp đựng 7 bi trắng, 6 bi đen, 3 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 bi, xác suất 3 bi lấy ra khác màu nhau là: A. 1 560 B. 1 4 B. 1 4 B. 1 16 C. 1 8 C. 1 8 C. 9 40 D. 7 8 D. 7 8 D. 143 280 Câu 3: Gieo một đồng xu lần lượt 3 lần. Xác suất lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt sấp là: A. 1 2 Câu 4: Gieo một đồng xu lần lượt 3 lần. Xác suất ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là: A. 1 2 Câu 5.Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất.Tính xác suất tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. A. P = 1/3 B. P = 1/6 C. P = 1/12 D. P = 1/4 Câu 6. Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất có đúng 3 đồng xu ngửa. A. P = 1/16 B. P = 1/4 C. P = 11/16 D. P = 1/6 Câu 7. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn khác phái. A. P = 7/15 B. P = 1/2 C. P = 8/15 D. P = 3/5 Câu 8. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để không có học sinh trung bình. A. P = 2/145 B. P = 18/29 C. P = 25/58 D. P = 253/580 Câu 9. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất tổng số chấm của hai lần gieo là số lẻ. A. P = 1/2 B. P = 3/5 C. P = 3/7 D. P = 5/9 Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 57 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 10: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần thì n() là bao nhiêu? B. 4 B.6 C.8 D.16 B. 1 B.2 C.4 D.8 B. 6 B.12 C.18 D.36 Câu 11: Gieo một đồng tiền liên tiếp 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là? Câu 12: Gieo một con súc sắc 2 lần. Số phần tử của không gian mẫu là? Câu 13: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp” A. P ( A)  1 2 B. P( A)  3 8 C. P ( A)  7 8 D. P ( A)  1 4 Câu 14: Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp” B. P ( A)  1 2 B. P( A)  3 8 C. P ( A)  7 8 D. P ( A)  1 4 Câu 15: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ. A. 1 560 B. 1 16 C. 1 16 C. 1 28 D. 1 28 D. 143 280 Câu 16: Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất lấy được cả 3 viên bi không đỏ. B. 1 560 B. 143 280 Câu 17. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất tích số chấm hai lần là số lẻ. A. P = 1/3 B. P = 1/2 C. P = 1/4 D. P = 1/5 Câu 18: Một tổ học sinh có 7 nam, 3 nữ. Chọn 2 học sinh trực nhật, xác suất 2 bạn được chọn đều là nữ là: A. 1 15 B. 14 15 C. 8 15 D. 7 15 Câu 19: Trên giá sách có 4 quyển Toán, 3 quyển Lý, 2 quyển Hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách, xác suất ba quyển đó có ít nhất một quyển Lý là: A. 5 21 B. 16 21 C. 5 12 D. 7 12 Câu 20. Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi, xác suất lấy được 4 viên bi cùng màu là A. P = 1/33 B. P = 2/33 C. P = 1/11 D. P = 2/11 Câu 21. Sắp xếp ngẫu nhiên 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Xác suất để hai bạn A và E ngồi cạnh nhau là A. P = 1/5 B. P = 1/4 C. P = 2/5 D. P = 3/10 Câu 22. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh. A. P = 1/2 B. P = 1/3 C. P = 1/4 D. P = 1/5 Câu 23. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. A. P = 11/36 B. P = 1/3 C. P = 1/6 D. P = 5/18 Câu 24. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc X. Tính xác suất số đó là số lẻ. A. P = 9/14 B. P = 5/7 C. P = 4/7 D. P = 11/14 Câu 25. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất có ít nhất một lần số chấm từ 5 trở lên. A. P = 1/2 B. P = 3/5 C. P = 3/7 D. P = 5/9 Câu 26: Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có ít nhất một nữ. C. 1 15 B. 8 15 C. 7 15 D. 1 5 Câu 27: Gieo 1 con súc sắc 2 lần. Xác suất của biến cố A sao cho tổng số chấm trong 2 lần bằng 8 là. 1 13 1 5 B. 36 C. 6 D. 36 A. 3 Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 58 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 28: Có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trực nhật. Tính xác suất sao cho có cả nam và nữ. 5 1 41 10 A. B. C. D. 21 42 42 21 Câu 29: Cho tập X ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Gọi A là tập hợp các tập con khác rỗng của X. Từ A chọn một tập hợp, xác suất tập đó có số phần tử là chẵn là: A. 1 2 B. 1 2 D. 45 1024 C. 1 35 C. 170 371 D. 1 70 D. 511 1023 Câu 30: Một nhóm bạn có 4 nam và 4 nữ. Các bạn ngồi ngẫu nhiên vào bàn tròn, xác suất để các bạn nam nữ ngồi xen kẽ nhau là: A. 1 4 Câu 31: Có 3 bác sĩ và 7 y tá. Lập một tổ công tác gồm 5 người. Tính xác suất để lập tổ công tác gồm 1 bác sĩ làm tổ trưởng, 1 y tá làm tổ phó và 3 y tá làm tổ viên là. 1 10 1 20 A. B. C. D. 12 21 14 21 Câu 32. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc X. Tính xác suất số đó chia hết cho 5. A. P = 2/5 B. P = 1/5 C. P = 1/7 D. P = 2/7 Câu 33. Một xạ thủ A có xác suất bắn trúng bia mục tiêu là 0,7. Giả sử xạ thủ này bắn 3 lần. Tính xác suất để xạ thủ A bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần. A. P = 0,973 B. P = 0,997 C. P = 0,987 D. P = 0,975 CHƯƠNG III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Tính chất chia chất của một tổng:  Nếu tất cả các số hạng trong một tổng chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.  Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó. 2. Tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên dương: a, b  Q, m, n  Z+, ta có: am = am – n a0 = 1 a1 = a am.an = am + n an a an ( ) n  n (b ≠ 0) (am)n = am.n (ab)n = anbn b b 3. Tính chất của bất đẳng thức:  a < b a + c < b + c;  Với c > 0 thì a < b ac < bc;  Với c > 0 thì a < b ac > bc; + 2n + 1 2n + 1  Với n  Z thì a < b a <b ;  Với n  Z+ thì 0 < a < b  a2n < b2n; a  b 0  a  b   a + c < b + d;   ac < bd; c  d 0  c  d  Với a > 0 thì a < b a < b; a<b 3 a < 3 b , a  R.  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 59 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC  Xét mệnh đề chứa biến dạng P(n) ="3n < n + 100" và Q(n) = "2n > n" với n  N*. a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b) Với mọi n  N * thì P(n), Q(n) đúng hay sai? I – PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC: Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. II – VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n  N* thì 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Chứng minh rằng với n  N* thì 1 + 2 + 3 + ... + n = n( n  1) 2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n  N* thì n3 - n chia hết cho 3. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Cho hai số 3n và 8n với n  N*. So sánh 3n với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5 và sau đó dự đoán kết quả rồi chứng minh. * Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n  p (p là một số tự nhiên) thì: Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k  p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 60 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Chứng minh rằng với n  N*, ta có các đẳng thức: n(3n  1) a) 2 + 5 + 8 +…+ 3n – 1 = ; 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 1 1 1 1 2n 1 b)    ...  n  n ; 2 4 8 2 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... c) 12 + 22 + 32 +…+ n2 = n(n  1)(2n  1) . 6 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Cho tổng Sn = 1 1 1 n   ...   với n  N*. 1.2 2.3 n(n  1) n  1 a) Tính S1, S2, S3. b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 61 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 3: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n  3) . 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4: Chứng minh rằng với n  N*, ta có: a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3; b) 4 n + 15n – 1 chia hết cho 9; c) n3 + 11n chia hết cho 6; ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... §2. DÃY SỐ I – ĐỊNH NGHĨA:  Cho hàm số f(n) = 1 , n  N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5). 2n  1 1. Định nghĩa dãy số: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u: N*  R n  u(n). Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un,…, trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. Ví du: Chỉ ra số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau: a) Dãy số tự nhiên lẻ; b) Dãy số chính phương. Giải: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 62 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m} với m N* được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…, um, trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối. Ví dụ: a) -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có: u1 = ....... và ...... = 13. 1 1 1 1 1 b) , , , , là dãy số hữu hạn có: u1 = ......., u5 = ........ 2 4 8 16 32 II – CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ: 1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát: 3n Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = (-1)n. n Ta có: u5 = .................................................... Dạng khai triển: ........................................................................................................ Ví dụ 2: Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số cho bởi công thức un = Giải: n . n 1 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau: a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ; b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1. 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: Ví dụ: Số  là số thập phân vô hạn không tuần hoàn: 3,141 592 653 589... Lập dãy số (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số  với sai số tuyệt đối 10-n, ta có: u1 = 3,1; u2 = 3,14; u3 = ..............; u4 = .......................; u5 = ................................. 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: Ví du: Viết 10 số hạng đầu của dãy số (un) được xác định như sau: u1  u2  1  (Fibonacci)  un  un 1  un2 vôùi n  3 Giải: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................  Hãy cho một dãy số khác bằng phương pháp truy hồi. III – BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ: Ví dụ: Các số hạng của dãy số cho bởi công thức un = 0 1 n 1 được biễu diễn trên trục số như sau: n 5 4 3 4 3 2 2 u2 u1 u4 u3 u(n) IV – DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 63 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng  Cho các dãy số (un) và (vn) với un = 1  1 n Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 , vn = 5n - 1 .Tính un+1 và vn+1, chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, n  N*. 1. Dãy số tăng, dãy số giảm:  Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n  N*.  Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n  N*.  Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = 2n – 1 là dãy số tăng. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ: Dãy số (un) với un = Giải: n là dãy số giảm. 3n ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... * Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un) với un =  3 , tức là dãy số: 3, 9, -27, 81,… không tăng và cũng không giảm. n  Chứng minh các bất đẳng thức n 1 và n 2  1  1, n  N * .  2n n2  1 2 2. Dãy số bị chặn:  Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M, n  N*.  Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m, n  N*.  Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m  un  M , n  N*. Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un = Giải: n bị chặn. n 1 2 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 64 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức: 2n  1 n a) un = n ; b) un = n ; 2 1 2 1 n  1 c) un = 1   ;  n d) un = n 2 n 1 . ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Cho dãy số (un), biết: u1 = -1, un+1 = un + 3 với n  1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 3: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết: 1 a) un =  2 ; n c) un = (-1)n(2n + 1); n 1 ; n 1 2n  1 d) un = . 5n  2 b) un = ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 65 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? 1 a) un = 2n2 – 1; b) un = ; n(n  2) 1 c) un = 2 ; d) un = sinn + cosn. 2n  1 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 5: Dãy số (un) cho bởi: u1 = 3, un+1 = 1  un2 , n  1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho dãy số (un) với un = n2 - 4n + 3. a) Viết công thức truy hồi của dãy số; b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới; c) Tính tổng n số hạng của dãy đã cho. u1  1  . Bài 2: Dãy số (un) được xác định bởi công thức  3 un1  un  n vôùi n  1 a) Tìm công thức số hạng tổng quát; b) Tính số hạng thứ 100 của dãy số. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 66 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng §3. CẤP SỐ CỘNG Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là -1, 3, 7, 11. Từ đó chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy đã cho theo quy luật đó. I – ĐỊNH NGHĨA:  Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.  Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.  Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: un+1 = un + d với n  N*  Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: 1, -3, -7, -11, -15. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Cho (un) là một cấp số cộng có sáu số hạng với u1 =  1 3 , d = 3. Viết dạng khai triển của nó. II – SỐ HẠNG TỔNG QUÁT:  Hai bạn chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện ở hình bên. Hỏi nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp? 1 tầng 2 tầng 3 tầng Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n – 1)d với n  2 Ví dụ: Cho cấp số cộng (un), biết u1 = -5, d = 3. a) Tìm u15. b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu? c) Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 trên trục số. Nhận xét vị trí của mỗi điểm u2, u3, u4 so với hai điểm liền kề. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG: Định lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u u uk = k 1 k 1 với k  2 2 IV – TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG: Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 +…+ un. Khi đó: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 67 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 n(u1  un ) 2 * Chú ý: Vì un = u1 + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết: n(n  1) d Sn = nu1 + 2 Ví dụ: Cho dãy số (un) với un = 3n – 1. a) Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1 và d. b) Tính tổng của 50 số hạng đầu. c) Biết Sn = 260, tìm n. Giải: Sn = ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết: u  u  u  10 u  u3  8 a)  1 3 5 ; b)  7 . u1  u6  17 u2 .u7  75 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 68 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại? b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống: u1 -2 3 2 d -4 4 27 -5 un 55 n 20 15 Sn 120 7 17 12 72 -205 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 3: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ? ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó. 7  3n n a) un = 5 – 2n; b) un =  1 ; c) un = 3n ; d) un = . 2 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 5: Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm. a) Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân. b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Chứng minh rằng ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 69 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng 1 , b c 1 , c a 1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. a b Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Có thể cómột tam giác mà số đo các cạnh và chu vi của nó lập thành một cấp số cộng được không? ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 70 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng §4. CẤP SỐ NHÂN Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  Hãy tìm ra một quy luật của dãy số: 2, 4, 8, 16, 32, 64 và viết tiếp 5 số hạng tiếp theo của dãy theo quy luật đó. Nhận xét một cách tổng quát mối quan hệ giữa một số hạng và số hạng đứng trước nó trong dãy. I – ĐỊNH NGHĨA:  Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.  Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.  Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un 1  un .q với n  N*. * Đặc biệt: Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0,…,0,… Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1,…, u1,… Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0,… Ví dụ: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: -4, 1, Giải: 1 1 1 , , . 4 16 64 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Nếu ô thứ nhất trên bàn cờ vua đặt 1 hạt thóc, ô thứ hai đặt 2 hạt, ô thứ ba đặt 4 hạt,... Hãy tính xem ô thứ 11 có mấy hạt? II – SỐ HẠNG TỔNG QUÁT: Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un  u1.q n 1 với n  2 1 Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, q =  . 2 a) Tính u7; Giải: b) Hỏi 3 là số hạng thứ mấy? 256 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 2: Tế bào E.Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. a) Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào? b) Nếu có 105 tế bào thì sau hai giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào? Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 71 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và q =  Từ đó nhận xét tổng quát từ kết quả trên. 1 2 .Viết năm số hạng đầu của dãy và so sánh u22 với tích u1 .u3 , u32 với tích u2 .u 4 ; III – TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN: Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: uk2  uk 1.uk 1 (hay uk  uk 1.uk 1 ) với k  2 .  Nếu ô thứ nhất trên bàn cờ vua đặt 1 hạt thóc, ô thứ hai đặt 2 hạt, ô thứ ba đặt 4 hạt,... Hãy tổng số hạt thóc ở 11 ô đầu. IV– TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN: Định lí: Cho cấp số nhân (un) với công bội q  1. Đặt Sn  u1  u2  ...  un . Khi đó: u1 (1  q n ) 1 q * Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1, u1, u1,…, u1,… Khi đó Sn = n.u1. Ví dụ: Cho cấp số nhân (un), biết u1 = 2, u3 = 18. Tính tổng của mười số hạng đầu tiên. Giải: Sn  ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Tính tổng S = 1   Ghi chú: 1 1 1  2  ...  n 3 3 3 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho cấp số nhân (un) với công bội q. a) Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q? 2 8 b) Biết q = , u4 = . Tìm u1? 3 21 Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 72 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 c) Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy? ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết: a) u3 = 3 và u5 = 27. b) u4 – u2 = 25 và u3 – u1 = 50. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 3: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 3 5 1 Bài 4: Chứng minh các dãy số ( .2 n ) , ( n ) , (( ) n ) là các cấp số nhân. 5 2 2 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 5: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 6: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2. Từ hình vuông C2 lại làm tiếp như trên, ta nhận được Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 73 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 dãy các hình vuông C1, C2, C3, …, Cn,… Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho dãy số (un) với un = 22n + 1. a) Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân. nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số; b) Lập công thức truy hồi của dãy số; c) Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này? ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành một cấp số nhân. Biết tổng của số hạng đầu và cuối là 37, tổng của hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. * ÔN TẬP CHƯƠNG III * BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM BÀI DÃY SỐ * Mức độ nhận biết: 2n . Chọn khẳng định sai. n2 1 4 3 8 A. u1  1. B. u 2  . C. u 3  . D. u 4  . 5 5 9  u 3  . Chọn khẳng định đúng. Câu 2: Cho dãy số  u n  xác định bởi  1  u n 1  2u n  1 Câu 1: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  A. u 2  5. B. u 3  5. C. u 4  7. D. u 5  9. Câu 3: Cho 3 dãy số: (I): 1, 2, 3, 4, 5; (II): 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100; (III): 1, 2, 3, 4, 5,...100,.... Chọn khẳng định đúng. A. Dãy số (I) và (II) là các dãy số hữu hạn. B. Dãy số (I) và (III) là các dãy số hữu hạn. C. Dãy số (II) và (III) là các dãy số hữu hạn. D. Chỉ có dãy số (III) hữu hạn. Câu 4: Khi sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh bài toán 2n  2n  1, n  N* , n  3 thì trong bước 1 ta kiểm tra với giá trị n bằng mấy? A.n=1. B.n=2. C.n=3. D.n=4. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 74 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Câu 5: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 2n  5 7 . Số hạng thứ n của dãy số là . Tìm n? 5n  4 12 C. n=1. D .n=2. A. n=8. B. n=9. * Mức độ thông hiểu: Câu 6: Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có 3n  2n  7n ? C. n  4. D.Mọi giá trị n. A.Không có n. B. 0  n  3. Câu 7: Cho dãy số  u n  bị chặn trên bởi số M, chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. n  N* , u n  M. B. n  N* , u n  M. C. n  N* , u n  M. D. n  N* , u n  M. A. n  N* , u n  m. B. n  N* , u n  m. C. n  N* , u n  m. D. n  N* , u n  m. Câu 8: Cho dãy số  u n  bị chặn dưới bởi số m, chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? Câu 9: Chọn dãy số bị chặn trên bởi 0 trong các dãy số  u n  cho bằng công thức số hạng tổng quát sau: A. u n  n  1. B. u n  n  1. C. u n  n 2 . D. u n  3  2n. 1 *  n , n  2k, k  N Câu 10: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n   . Chọn khẳng định sai.  n  1 , n  2k  1, k  N*  n 2 3 4 1 B. u 4  . C. u 5  . D. u 6  . A. u 3  . 3 4 5 6 2 Câu 11: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  n  8n  15 . Có bao nhiêu số hạng của dãy số nhận giá trị 0? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1 1 1 1 Câu 12: Cho dãy số 1, , , ,..., ,... , chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 2 3 4 n A. Dãy số tăng và bị chặn. B. Dãy số giảm và bị chặn. C. Dãy số không đổi. D. Dãy số hữu hạn. n Câu 13: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  (1) .n , chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. Dãy số  u n  tăng . C. Dãy số  u n  hữu hạn. B. Dãy số  u n  giảm. D. Dãy số  u n  không đơn điệu. u  9 Câu 14: Cho dãy số  u n  xác định bởi  1 . Tính tổng 5 số hạng đầu tiên của dãy số.  u n 1   u n  10 A. -11 . B. 29. C. 19. D. 9. n Câu 15: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  (3) . Tính tích 4 số hạng đầu tiên của dãy số. A. 310 . B. 310 . C. 324 . D. 324 . * Mức độ vận dụng thấp: n 2  3n  7 Câu 16: Cho dãy số (un ) xác định bởi un  . Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. n1 A. 4. B. 2. C. 1. D. Không có. Câu 17: Cho dãy số  u n  xác định bởi un  n  n2  1 . Chọn khẳng định đúng. A. Dãy số  u n  là dãy số tăng. C. Dãy số  u n  không tăng. Câu 18: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  A. Dãy số  u n  là dãy số tăng. Gv soạn: Trần Duy Diễn B. Dãy số  u n  là dãy số giảm. D. Dãy số  u n  không giảm. n . Chọn khẳng định sai. n 3 B. Dãy số  u n  là dãy số giảm. Trang 75 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 C. Dãy số  u n  bị chặn dưới bởi -1. Câu 19: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  A. Dãy số  u n  là dãy số vô hạn. C. Dãy số  u n  là dãy số giảm. D. Dãy số  u n  bị chặn trên bởi 0. n 1 . Chọn khẳng định sai. 2n  1 B. Dãy số  u n  là dãy số bị chặn. D. Dãy số  u n  là dãy số tăng. Câu 20: Để chứng minh mệnh đề: "n  N* , n 2  2n M 2" là sai có 3 bạn học sinh đã làm như sau: HS1: thử giá trị n=1 cho kết quả 3 không chia hết cho 2 nên mệnh đề sai. HS2: k  N* xét các trường hợp n=2k, n=2k+1 đều cho kết quả không chia hết cho 2. HS3:sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề sai. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Chỉ có HS1 làm đúng. B.Cả HS1 và HS2 đều làm đúng. C.Cả HS1 và HS3 đều làm đúng. D.Cả HS2 và HS3 đều làm đúng. Câu 21: Cho dãy số  u n  tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của dãy khi chia cho 5 đều dư 2. Tìm số hạng tổng quát của  u n  A. u n  (1) n (5n  2). B. u n  5n. C. u n  5n  2. D. u n  5n  2. 1 1 1 Câu 22: Xét dãy số  u n  cho bởi 1,  , ,  ,... . Tìm số hạng tổng quát của dãy số? 2 3 4 1 1 1 1 D. u n  (1) n . B. u n   . C. u n  (1) n 1 . A. u n  . n n n n n 1  (1) Câu 23: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  . Tìm số hạng u 2n 1 của dãy số. n 2 2 1 . B. u 2n 1  C. u 2n 1  0. D. u 2n 1  . A. u 2n 1  . n 2n  1 n  u a  Câu 24: Cho dãy số  u n  xác định bởi  1 , a là hằng số khác 0. Tìm số hạng tổng quát của dãy số?  u n 1  u n  a A. u n  na. B. u n  (n  1)a. C. u n  (n  1)a. D. u n  2na. u  1 . Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Câu 25: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  1 un  2un1  3, n  2 A. un  2 n  1. B. un  2 n1  3. C. un  2 n1  3. D. u n  2n  3. *Mức độ vận dụng cao: u  2 . Chọn khẳng định đúng. Câu 26: Cho dãy số  u n  xác định bởi  1 un  3un1  2, n  2 A. Dãy số  u n  không đơn điệu và bị chặn trên. B. Dãy số  u n  không đơn điệu và bị chặn dưới. C. Dãy số  u n  tăng và không bị chặn trên. D. Dãy số  u n  giảm và không bị chặn dưới. u1  2, u2  3 Câu 27: Cho dãy số  u n  xác định bởi  . Chọn khẳng định đúng. un1  un  un1 , n  2 A. Dãy số  u n  tăng và bị chặn trên. B. Dãy số  u n  giảm và bị chặn dưới. C. Dãy số  u n  không tăng và bị chặn. D. Dãy số  u n  không giảm và bị chặn. Câu 28: Khi chứng minh bài toán: "n  N ,1  2  3  4  ...  2n  (2n  1)  n  1" có 3 bạn học sinh đã làm như sau: HS1: thử giá trị n=1 vào từng vế được, VT=1  2  3  4  2.1  (2.1  1)  1 , VP=2, suy ra không chứng minh được bài toán. * Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 76 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 HS2: tính tổng vế trái bằng cách chia cặp -2+3, -4+5,…-2n+(2n+1); từ đó suy ra kết quả. HS3:sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh bài toán. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A. Chỉ có HS3 làm đúng. B.Cả HS1 và HS2 đều làm đúng. C.Cả HS1 và HS3 đều làm đúng. D.Cả HS2 và HS3 đều làm đúng. n.a  2 Câu 29: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  . Tìm tất cả các giá trị của a để  u n  là dãy số tăng? n 1 C. a  2. D.Mọi giá trị a. A. Không có a. B. a  2 Câu 30: Cho dãy số  u n  xác định bởi u n  3 cos n  sin n bị chặn dưới bởi m và bị chặn trên bởi M. Để tìm m, M thì có 3 HS đã cho 3 kết quả như sau: HS1: m  1  3, M  1  3. HS2: m  1  3, M  1  3. HS3: m  2, M  2. Hỏi HS nào có kết quả đúng? A. Chỉ có HS2 làm đúng. B.Cả HS1 và HS2 đều làm đúng. C.Cả HS1 và HS3 đều làm đúng. D.Cả HS2 và HS3 đều làm đúng. BÀI CẤP SỐ CỘNG * Mức độ nhận biết: Câu 1: Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? 1 1 1 1 3 3 4 B. , , , ,... C. 1, 3, 5,…(2n+1),… D. 1, 4, 9, 25. A. 1, , , ,... 2 4 8 2 2 4 5 Câu 2: Cho cấp số cộng  u n  có công sai d, chọn khẳng định đúng. A. u n  d  nu1. B. u n  u1  nd. C. u n  d  (n  1)u1. D. u n  u1  (n  1)d. A. u10  29 B. u10  21 . C. u10  32 . D. u10  23 . A. d=2. B. d=-2. C. d  Câu 3: Cho cấp số cộng  u n  với u1  2, d  3 . Chọn khẳng định đúng. Câu 4: Cho cấp số cộng  u n  với u 7  16, d  3 . Tìm u1 . A. 34. B. 2. C. -2. D. -34. Câu 5: Cho cấp số cộng  u n  với u10  23, u1  5 . Tìm công sai d của cấp số cộng. 28 . 9 * Mức độ thông hiểu: Câu 6: Trong các dãy số  u n  sau, dãy số nào là cấp số cộng? A. u n  n 2  3. B. u n  2n  1 C. u n  (1)n n. Câu 7: Trong các dãy số  u n  sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? D. d   28 . 9 D. u n  2n  5.  u1  3 u  2  u  1 u  1 A.  B.  1 C.  1 D.  1 2  u n 1  u n  5  u n 1  3u n  2  u n 1  u n  2n  u n 1  2(u n )  1 Câu 8: Cho cấp số cộng  u n  với u 3  16, d  3 . Tìm u11 ? A. 50. B. 46. C. 40. D. 11. Câu 9: Cho cấp số cộng  u n  với u 2  6, d  2 . Tìm tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng? A. -1. B. -10. C. -50. D. -5. Câu 10: Cho cấp số cộng  u n  với u1  4, u 4  5 . Tìm tổng 7 số hạng đầu của cấp số cộng? A. 35. B. 5. C. -15. D. -3. Câu 11: Tìm m để 3 số -2, 3, m-7 theo thứ tự đó tạo thành một cấp số cộng? A. m=11. B. m=15. C. m=9. D. m=5. Câu 12: Tìm m để 3 số 5+m, 7+2m, m+17 theo thứ tự đó tạo thành một cấp số cộng? A. m=4. B. m=2. C. m=5. D. m=3. Câu 13: Ba góc của một tam giác tạo thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Tìm ba góc nhọn của tam giác đó. A. 30o , 60o ,90o. B. 40o , 60o ,80o. C. 20o , 60o ,100o. D. 35o , 60o ,85o. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 77 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 14: Ba góc của một tam giác vuông tạo thành một cấp số cộng. Tìm 2 góc nhọn của tam giác đó. B. 35o ,55o. C. 10o ,80o. D. 30o , 60o. A. 20o , 70o. Câu 15: Cho cấp số cộng có 4 số hạng khác nhau, chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. u1  u 4  u 2  u 3 . B. u1  u 3  2u 2 . C. u 2  u 4  2u 3 . D. u1  u 3  u 2  u 4 . * Mức độ vận dụng thấp: Câu 16: Cho cấp số cộng  u n  có u 3  u 24  48 . Tính tổng 26 số hạng đầu của cấp số cộng? A. 528 . B. 576. C. 624. D. 1248.  u  u 4  32 . Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng? Câu 17: Cho cấp số cộng  u n  thỏa mãn  6 u  u  90 5 3  u  33 u  3  u  3  u  33 B.  1 A.  1 C.  1 D.  1 . . . . d  4 d  16 d  4 d  16 u  u 3  8 . Tìm u1 và d của  u n  . Câu 18: Cho cấp số cộng  u n  có u1 , d  0 và thỏa mãn  7  u 2 .u 7  75  u  17  u  17  u  17 u  3 B.  1 C.  1 D.  1 A.  1 . . . . d  2 d  2 d  2  d  2 Câu 19: Cho hai số -3 và 23, xen giữa hai số đó có n số hạng để tất cả số hạng đó tạo thành cấp số cộng có công sai d=2. Tìm n. A. n=12. B. n=13. C. n=14. D. n=15. Câu 20: Cho cấp số cộng có 100 số hạng, công sai bằng -2. Nếu tổng của 100 số hạng đó triệt tiêu thì số hạng đầu của cấp số đó bằng bao nhiêu? B. u1  99. C. u1  99. D. u1  100. A. u1  0. Câu 21: Cho cấp số cộng  u n  có công sai d, chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.  u n  là dãy số không tăng khi d  0. C.  u n  là một dãy số tăng khi d  0. B.  u n  là dãy số không giảm khi d  0. D.  u n  là dãy số giảm khi d  0. Câu 22: Cho cấp số cộng  u n  có công sai d, chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. A.  u n  bị chặn dưới khi d  0. C.  u n  bị chặn trên khi d  0. B.  u n  bị chặn khi d  0. D.  u n  bị chặn khi d  0. Câu 23: Cho cấp số cộng  u n  . Chọn khẳng định đúng. A. u15  u 85  2u 50 . C. u10 .u 80  u 45 . B. u 20  u 80  2(u10  u 40 ). D. u 90 .u180  2u135 . Câu 24: Cho cấp số cộng  u n  có công sai d  0 . Chọn khẳng định sai. u101  u1 . 100 S D. u1  u 80  80 . C. 2u119  u120  u118 . 40 Câu 25: Tìm bốn số hạng tăng dần của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 . B. 2, 4,6,8. C. 1, 4,6,9. D. 1, 4,7,8. A. 1, 5,6,8. *Mức độ vận dụng cao: Câu 26: Cho cấp số cộng (un ) có tổng n số hạng đấu tiên là Sn  5n  2n2 .Tìm công sai của cấp số cộng. A. 7. B. -4. C. 2. D. -1. Câu 27: Tìm số tự nhiên n biết (2n  4)  (2n  1)  (2n  2)  ...  (5n  4)  776. A. 15. B. 14. C. 13. D. Không có n. Câu 28: Cho hai cấp số cộng (un ) : -1, 1, 3, 5, 7,...và (vm ) : 6, 11, 16, 21, 26,... Hỏi trong 102 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng giống nhau? A. Không có. B. Vô số. C. 50. D. 20. A. u 45  u 75  u 30  u 80 . Gv soạn: Trần Duy Diễn B. d  Trang 78 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 u  3u3  u2  21 Câu 29: Cho cấp số cộng (un ) thỏa:  5 .Tính S  u4  u5  ...  u30 .  3u7  2u4  34 A. S  1286. B. S  1276. C. S  1242. D. S  1222. Câu 30: Cho một cấp số cộng (un ) có u1  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính S 1 1 1   ...  u49 u50 u1 u2 u2 u3 A. S  9 . 246 B. S  4 . 23 C. S  245 . 246 D. S  49 . 246 BÀI CẤP SỐ NHÂN * Mức độ nhận biết: Câu 1: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? 1 ,.... 2 Câu 2: Cho cấp số nhân  u n  có công bội q  1 , chọn khẳng định đúng. 1 1 1 1 , 2 , 3 , 4 ....     A. 1, 2, 4, 6, 8... B. 3, 32 , 33 ,.... C. 4, 2, 1, D. A. u n  u1.q n 1. B. u n  u1  (n  1)q. C. u n  q  (n  1)u1. D. u n  u1.q n . Câu 3: Cho cấp số nhân  u n  có công bội q  1 , chọn khẳng định đúng. A. u n  u n 1.q n , n  N* , n  2. B. u n  u n 1.q, n  N* , n  2. C. u n 1  u n .q n , n  N* . D. u n 1  u n  q, n  N*. Câu 4: Cho cấp số nhân  u n  với u1  3, q  2 . Tìm u 6 . A. u 6  486. B. u 6  96. C. u 6  162. Câu 5: Cho cấp số nhân  u n  với u 5  162, q  3 . Tìm u1 . D. u 6  192. . 2 2 . B. 2. C. -2. D.  . 3 3 * Mức độ thông hiểu: Câu 6: Trong các dãy số  u n  cho bởi công thức số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân? A. A. u n  2n 2  3. B. u n  42n 1. C. u n  1  2n 1. D. u n  n  4. Câu 7: Trong các dãy số  u n  cho bởi các công thức sau đây, dãy số nào là cấp số nhân?  u1  1  u  1  u 1  3 C. A.  1 B.  . . .  2  u n 1  2u n  3  u n 1  u n  2  u n 1  3(u n )  2 Câu 8: Cho cấp số nhân  u n  với u 3  12, q  2 . Tìm u10 ? A. 118098. B. 39366. C. 3072. Câu 9: Cho cấp số nhân  u n  với u1  2, u 4  54 . Tìm u8 ? A. u 8  384. B. u 8  384. C. u 8  4374. u  2 D.  1 .  u n 1  u n  n D. 1536. D. u 8  4374. Câu 10: Cho cấp số nhân  u n  với u1  2, u 4  16 . Tìm tổng 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân? A. 4098. B. -4098. C. -4094. D. 1366. Câu 11: Cho cấp số nhân  u n  với q  2, u 4  24 . Tìm tổng 12 số hạng đầu của cấp số nhân? A. -4095. B. 4097. C. 4095. D. -4097. Câu 12: Tìm m để ba số -3, 3, m+6 theo thứ tự đó tạo thành một cấp số nhân? A. m  9. B. m  3. C. m  9. D. m  3. Câu 13: Tìm số tự nhiên m để ba số m  9, m  3, 4m  9 theo thứ tự đó tạo thành một cấp số nhân? A. m  10. B. m  3. C. m  3. D. m  10. Câu 14: Cho cấp số nhân  u n  với u1  3 , S9  1533 . Tìm q? B. q  3. C. q  2. A. q  3. Câu 15: Cho cấp số nhân  u n  với u1  4, q  2 , Sn  1364 . Tìm n? Gv soạn: Trần Duy Diễn D. q  2. Trang 79 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng A. Không có n. * Mức độ vận dụng thấp: B. n  8. C. n  9. Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 D. n  10. 1 1 , u 2   , u n  3125 . Tìm n? 25 5 B. n  7. C. n  8. D. n  9. A. n  6. n 1 n Câu 17: Tính tổng S  2  4  8  16  ...  (1) .2 ? 2 2 2 2 n 1 n n n 1 A. S  1   2   . B. S    2   1 . C. S  1   2  . D. S    2   1 .     3 3 3 3 1 1 1 1 Câu 18: Tính tổng S  1   2  3  ...  n ? 3 3 3 3 n 1 n n n 1   3  1  3  1  3  1  3  1  A. S  1     . B. S     1 . C. S  1     . D. S     1 . 2   3   2  3  2   3   2  3    Câu 16: Cho cấp số nhân  u n  với u1   u  u 2  36 Câu 19: Cho cấp số nhân  u n  thỏa mãn  4 . Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân?  u 5  u 3  72 u  4 u  6 u  6 u  9 A.  1 B.  1 C.  1 D.  1 . . . . q  2 q  2 q  3 q  3 u1  u 2  u 3  u 4  u 5  11  . Tìm u1 và d của  u n  ? Câu 20: Cho cấp số nhân  u n  có u1 , q  N và thỏa mãn  82   u u  1 5 11 81 1   81 1 u1    u1  11    u1   u1  11 A.  C.  . . B.  D.  11 . 11 . q  3 q  3 q  1 q  1   3 3 Câu 21: Cho cấp số nhân  u n  có các số hạng dương, chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A.  u n  là dãy số tăng khi q  1. . C.  u n  là dãy số giảm khi q  1. B.  u n  là dãy số tăng khi q  1. D.  u n  là dãy số giảm khi q  1. Câu 22: Cho cấp số nhân  u n  có công bội q và u1  0 , chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A.  u n  bị chặn dưới khi q  1. B.  u n  bị chặn khi 0  q  1. C.  u n  bị chặn khi q  1. D.  u n  bị chặn q. A. B. u k .u k 3  u k 1.u k 4 , k  N*. Câu 23: Cho cấp số nhân  u n  có các số hạng âm, chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? u k .u k  2   u k 1 , k  N*. D. u k 1.u k  4  u k  2 .u k 3 , k  N. C. u k 1.u k  3  u k  2 , k  N. Câu 24: Viết 6 số hạng xen giữa các số -2 và 256 để được một cấp số nhân có 8 số hạng. B. 8,16, 32,64, 128, 256. A. 2, 4, 8,16, 32, 64. C. 4, 8,16, 32, 64, 128. D. 4,8, 16,32, 64,128. Câu 25: Giải phương trình 2  4  8  ...  x  1022. B. x  10. C. x  512. D. x  1024. A. x  9. GHI CHÚ: .....……………. .................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 80 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Vectơ: a) Các định nghĩa:  Độ dài vectơ AB kí hiệu AB bằng độ dài đoạn thẳng caùc caëp vectô cuøng phöông AB.  Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.  Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.  Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng   và cùng độ dài. Vectơ đối của vectơ a kí hiệu là - a; vectơ đối hai vectô ñoái nhau của MNlà NM nên ta có  MN NM.      Hai vectơ a và b cùng phương k  R: a = k b .    a  b  a .b  0  Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: B A a AB AD AC u v b v =- a = 2b 1 3 u  Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: AB BC  AC AB AC  CB C D hai vectô baèng nhau  A, B, C thẳng hàng AB kAC, k  R   I là trung điểm AB IA  IB  0  G là trọng tâm ABC GA  GB  GC  b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:   Cho hai vectơ u= (u1; u2), v = (v1; v2), ta có:    u  v = (u1 + v1; u2 + v2)    u  v = (u1 - v1; u2 - v2)   k u = (ku1; ku2)    u .v = u1v1 + u2v2 Cho uuu hai điểm A(xA; yA), B(xB;yB), ta có:  A B = (xB - xA; yB - yA)  0   u  u12  u 22    u1  v1 u 2  v 2  uv  AB = AB xA  xB yA ; 2 x  x B  xC  Tọa độ trọng tâm ABC: G( A 3  Tọa độ trung điểm của AB: I( 2. Đường thẳng trong mặt phẳng:  yB ) 2 y  y B  yC ) ; A 3  ñi qua M(x 0 ; y 0 )  x  x 0  at là :  .  Phương trình tham số của đường thẳng :  coù VTCP u  (a; b)  y  y 0  bt  ñi qua M(x 0 ; y 0 )  Phương trình tổng quát của đường thẳng :  là: A(x - x0) + B(y - y0) = 0. coù VTPT n  (A; B)  Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n  ( A; B ) .    Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  ( a; b ) thì d có một vectơ pháp tuyến n  (  b; a ) . Nếu đường   thẳng  có vectơ pháp tuyến n= (A; B) thì  có một vectơ chỉ phương là u  (  B ; A ) .  Đường thẳng song song đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng: Ax + By + C1 = 0 (C ≠ C1).  Đường thẳng vuông góc đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng: -Bx + Ay + C2 = 0. 3. Đường tròn: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 81 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  taâm I (a; b)  Đường tròn (C):  có phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. baùn kính R 2  Phương trình x + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0. Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R = a2  b2  c .  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 82 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §1. PHÉP BIẾN HÌNH  Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d. Dựng được bao nhiêu điểm M' như thế? ĐỊNH NGHĨA: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. Nếu  là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu ' = F() là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi điểm M thuộc . Khi đó ta nói F biến hình  thành hình ', hay hình ' là ảnh của hình  qua phép biến hình F. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.  Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì sao?  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... GHI CHÚ ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 83 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §2. PHÉP TỊNH TIẾN I- ĐỊNH NGHĨA:  Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành   điểm M' sao cho MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v . v    Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là Tv , v được gọi là vectơ tịnh tiến.   Vậy: Tv ( M )  M '  MM '  v M' M  Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất.  Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau. Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D. v C H' B H D  Phép tịnh tiến theo vectơ v biến hình H thành hình H'  Ví dụ: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép tịnh theo vectơ v A E M v N v A d I B II- TÍNH CHẤT: C Tv ( M )  M ' thì .....................................và từ đó suy ra .......................  ( N )  N' T  v Tính chất 1: Nếu  Hay phép tịnh tiến bảo toàn ............................. giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành ............................ bằng nó, biến đường thẳng thành ............................ song song hoặc trùng với nó, biến tia thành ............, biến góc thành ............. có cùng số đo, biến tam giác thành ........................... bằng nó, biến đường tròn thành ......................... có cùng ......................... III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (a; b), với mỗi điểm M(x; y). Gọi M'(x'; y') là ảnh của M qua  phép tịnh tiến theo vectơ v , khi đó:  x'  x  a (biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv )  y  y  b '    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến  Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = (2; 3), M(3; -1) và đường thẳng d có phương trình 3x - 5y + 3 = 0. Tìm tọa độ ảnh của điểm M và PT đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến Giải: Tv Tv . ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 84 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = (2; -1), A(4; 3) và đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0. Tìm tọa độ ảnh của điểm A và PT đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv . Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh  của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2; 3). Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 85 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản:  Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = (2; -1), điểm M(3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho: a) A = Tv (M) ; b) M = Tv (A). ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................  Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v = (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0.  a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ v .  b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo v .  c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v . ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9. Tìm ảnh của (C)  qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2; 5). ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 86 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD . Bài 5: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác đinh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ Bài 6: Chứng minh rằng: M' = AG AG biến D thành A. Tv (M)  M  Tv (M' ) . Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế. BÀI LÀM ........................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 87 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Bài tập tự làm:  Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho v = (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0, đường thẳng d1 có phương trình 2x - 3y - 5 = 0. a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua Tv .  b) Tìm tọa độ của w có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tw . Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d'. Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................ .............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 88 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §5. PHÉP QUAY I- ĐỊNH NGHĨA: Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α. Dùng kí hiệu để mô tả định nghĩa: ................................................................... M'  Điểm O được gọi là ......... quay còn α được gọi là ....................... của phép quay đó.  Phép quay tâm O góc α thường được kí hiệu là ...................... O α M * Nhận xét: M' 1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với ................. ...................................................... α O M' M Chiều quay dương 2) Với k là số nguyên ta luôn có:  Phép quay Q(O; 2k) là phép đồng nhất.  Phép quay Q(O; (2k + 1)) là phép đối xứng tâm O. α O M Chiều quay âm M' M O  Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Tìm ảnh của A, B qua phép quay tâm O, góc quay -900. Chứng minh AB = A'B'. II - TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. C' Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. R I B' A' B O C R I' O A Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 600. Giải: Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(3; 0), B(0; 4), C(3; 4). Hãy tìm tọa độ các điểm A', B', C' là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O góc 900. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 89 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M(-2; 0), N(0; -3), P(-3; 4). Hãy tìm tọa độ các điểm M', N', P' là ảnh của M, N, P qua phép quay tâm O góc – 900. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O. a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 900. b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 90 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 900. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-3; 4) và đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + 1 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc - 900. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 900. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB. a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200. b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Bài tập nâng cao: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 91 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF. a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 600. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AF và EC. Chứng minh BMN đều. Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho ABC là tam giác đều. GHI CHÚ ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 92 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §5. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH: Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì ……………... * Nhận xét: 1) Các phép:…………………………………………………………………….. đều là các phép dời hình. 2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép ……………….. Ví dụ: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm B góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ AB . A C B  Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép đối xứng qua đường thẳng BD. II- TÍNH CHẤT: Phép dời hình biến: 1) Ba điểm thẳng hàng thành …………………………… và bảo toàn ………………… giữa các điểm; 2) Đường thẳng thành ………………, tia thành …….., đoạn thẳng thành đoạn thẳng …………………; 3) Tam giác thành …………………………., góc thành ………………………….; A' 4) Đường tròn thành đường tròn có ……………………… B' A I' H' * Chú ý: O' G' a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, I O tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của G tam giác ABC tương ứng thành……………… …………… H B C C' ……………………………………………………………… ……………………………………….. của tam giác A'B'C'. b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác ………, biến đỉnh thành ……..., biến cạnh thành ……... Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 600 và phép tịnh tiến theo vectơ OE . A B F E O Giải: C D ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 93 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH. III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU: Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.  Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3). a) Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc -900. b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc -900 và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A1B1C1. Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.  Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v =(3; 1) và đường thẳng d: 2x - y = 0. Tìm ảnh của d qua phép dời  hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ v . ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 94 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................................................................................................ ......................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. §6. PHÉP VỊ TỰ I- ĐỊNH NGHĨA: Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho được gọi là phép .............................................. Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là .................... M Ví dụ: O * Nhận xét: Phép vị tự tâm O tỉ số .......... OM'  k.OM M' Phép vị tự tâm O tỉ số ..........  Cho tam giác ABC. Gọi E và F tương ứng là trung điểm AB và AC. Tìm một phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F. 1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. 3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự. 2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất. 4) M' = V(O,k)(M) ⟺ M = V II- TÍNH CHẤT: 1 (O , ) k (M' ) .  Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' Thì ....................................................................................... M' M O Gv soạn: Trần Duy Diễn N N' Trang 95 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng  Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm ............. ....................... và bảo toàn .................... giữa các điểm; b) Biến đường thẳng thành ......................... song song hoặc trùng với nó, biến tia thành ......, biến đoạn thẳng thành ......................................; c) Biến tam giác thành tam giác .......................... với nó, biến góc thành ..............................; d) Biến đường tròn bán kính R thành ............................ bán kính .......................... Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 A A' B A' Với I = (a;b), M (x;y), M’ (x’;y’) thì B B' A' A R' R 𝑉( ; ) (𝑀) = 𝑀′ ⇔ Đặc biệt: 𝑉( C I C C' I I Biểu thức tọa độ của phép vị tự: C' A B' O O' 𝑥′ = 𝑘𝑥 + (1 − 𝑘)𝑎 𝑦′ = 𝑘𝑦 + (1 − 𝑘)𝑏 ; ) (𝑀) = 𝑀′ ⇔ 𝑥′ = 𝑘𝑥 𝑦′ = 𝑘𝑦  Cho tam giác ABC có A', B', C' theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Ví dụ 1: Cho các điểm A(1; 3), B(5; -2), C(-4; 3). Tìm ảnh của các điểm đó qua phép vị tự tâm O tỉ số 2. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 2: Cho A(-2; 3), B( 3; -3), C(-5; -1). Tìm ảnh của các điểm đó qua phép vị tự tâm O tỉ số - 2. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 3: Cho đường tròn (x + 3)2 + (y - 1)2 = 25. Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số 3. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = - 3. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 96 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(2; - 3), đường thẳng (d): 3x + 2y - 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình (x - 3)2 + (y + 1)2 = 9. a) Hãy tìm tọa độ M’ là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 ? b) Viết phương trình đường thẳng (d’), đường tròn (C') lần lượt là ảnh của (d), (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H, tỉ số 1 . 2 ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. GHI CHÚ ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 97 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bảng tóm tắt phép vị tự và phép đồng dạng: PHÉP VỊ TỰ VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Nội dung Phép vị tự tâm O, tỉ số k: V(O;k) Định nghĩa Tính chất đặc trưng Biểu thức tọa độ 𝑉( ; ) (𝑀) 𝑉( ; ) (𝑀) = 𝑀′ ⃗ ⃗ ⇔ 𝑀′𝑁′ = 𝑘𝑀𝑁 𝑉( ; ) (𝑁) = 𝑁′ 𝑀′𝑁′ = |𝑘|𝑀𝑁 Với I = (a;b), M (x;y), M’ (x’;y’) thì 𝑥′ = 𝑘𝑥 + (1 − 𝑘)𝑎 𝑉( ; ) (𝑀) = 𝑀′ ⇔ ; 𝑦′ = 𝑘𝑦 + (1 − 𝑘)𝑏 𝐹(𝑀) = 𝑀′ ⇔ M’N’=k.MN 𝐹(𝑁) = 𝑁′ 𝐹(𝑀) = 𝑀′ ⇔ M’N’=k.MN 𝐹(𝑁) = 𝑁′ 𝑥′ = 𝑘𝑥 𝑦′ = 𝑘𝑦 1. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm. 2. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. 3. Bảo toàn độ lớn của góc. 4. Biến hình H thành hình H’ đồng dạng với nó (Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính |𝑘|R,…) Lưu ý: 𝑉( Các tính chất bất biến = 𝑀′ ⇔ 𝑂𝑀′⃗ = 𝑘𝑂𝑀⃗ Phép đồng dạng F tỉ số k (k>0) ; ) (𝑀) = 𝑀′ ⇔ 2. Bài tập trắc nghiệm I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu 1: Trong mp(Oxy) cho M(−2;4). Tìm tọa độ ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2? A. (4;8) B. (−8;4) C. (4; −8) D. (−4;−8) Câu 2: Trong mp Oxy cho N(−2;4). Tìm tọa độ ảnh của điểm N qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2. A. (4; 8) B. (−8; 4) C. (4; −8) D. (−4; 8) Câu 3: Cho A(3;2). Ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −1 là A. (−3;2) B. (2;3) C. (−3;−2) D. (2;−3) Câu 4: Cho B(3;2). Ảnh của B qua phép vị tự tâm O tỉ số k = - 2 là A. (−6; -4) uu uu B. (6; 4) C. (−4;−6) D. (4; −6) Câu 5: Cho IB  2 IC . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. V I;2 (C )  B B. V I ;2 (B)  C C. V I ;2 ( B)  C D. V I ;2 (C)  B uuu uuu Câu 6: Cho AB   2 AC . Khẳng định nào sau đây là đúng? B. V A;2 (B)  C C. V A;2 (B)  C D. V A;2 (C)  B A. V A;2 (C)  B Câu 7: Trong măt phẳng Oxy cho điểm M(3; - 4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = –1 biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau? A. (–3; 4) B. (–2; –5) C. ( 2; –3) D. (3; 4) Câu 8: Trong măt phẳng Oxy cho điểm P(- 5; - 3). Phép vị tự tâm O tỉ số k = –3 biến điểm P thành điểm nào trong các điểm sau? A. (–8; - 6) B. (–2; 0) C. ( 15; 9 ) D. ( - 15; - 9 ) Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 98 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 9: Phép vị tự tâm O tỉ số k (k  0) biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho: uuuu uuuuu kOM  OM' OM kOM' C. OM  kOM' 1 Câu 10: Phép vị tự tâm O tỉ số (k  0) biến mỗi điểm M thành điểm M’ k A. sao cho: uuuu 1 uuuu A. OM'  OM k B. D. OM'  OM uuuu 1 uuuuu B. OM  OM' k uuuuu uuuu C. OM  kOM' D. OM'  kOM Câu 11: Cho hai hình vuông (H) và (H’) như hình vẽ bên. (H’) là ảnh của (H) qua phép vị tự tâm I tỉ số k bằng A. 2. B. 1/2. C. 2. I (H) (H) D. 3. Câu 12: Cho hai hình vuông (H) và (H’) như hình vẽ bên. (H’) là ảnh của (H) qua phép vị tự tâm I tỉ số k bằng A. 2. B. 1/2. C. 2. D. 3. II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU Câu 13: Chọn câu đúng: I A. Qua phép vị tự có tỉ số k  1, mọi đường thẳng biến thành chính nó B. Qua phép vị tự có tỉ số k  0, đoạn thẳng biến thành đoạn thẳng bằng nó C. Qua phép vị tự có tỉ số k  ± 1, tam giác biến thành tam giác bằng nó D. Qua phép vị tự V(O, 1) đường tròn tâm O sẽ biến thành chính nó. Câu 14: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’và N’ thì: A. M' N'  k MNvà M’N’ = –kMN (H) (H) M' N'  k MNvà M’N’ = kMN D. M ' N' // MN và M’N’ = 1 MN B. C. M ' N '  k MN và M’N’ = kMN 2 Câu 15: Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và đường tròn tâm O bán kính R. Để đường tròn (O) biến thành chính đường tròn (O). Tất cả các số k phải chọn là: A. 1 B. R C. 1 và –1 D. –R Câu 16: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho phép vị tự tâm I(2; 3) tỉ số k = –2 biến điểm M(–7;2) thành M/ có tọa độ là: A. (–10; 2) B. (20; 5) C. (18; 2) D. (–10; 5) Câu 17. Phép vị tự tâm I  1;2  tỉ số 3 biến điểm A 4;1 thành điểm A. 16;1 B. 14;1 C.  6;5 D. 14; 1 Câu 18. Phép vị tự tâm I  3;1 tỉ số 2 biến điểm A  4;1 thành điểm A.  5; 1 B. 11;1 C.  5;1 D.  11; 1 Câu 19. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 3). Tìm tọa độ điểm N là ảnh của M qua phép vị tự tâm I(–1; 2) tỉ số k = –2. A. (4; 2) B. (3; 4) C. (- 5; 0) D. (3; 0) Câu 20. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm M(–5; 6) và N(4; 12). Tìm tọa độ điểm I sao cho M = V(I; –2)(N). A. (1; 10) B. (–2; 8) C. (–1; 9) D. (0; 9) Câu 21: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho hai điểm M(4; 6) và M/(–3; 5). Phép vị tự tâm I tỉ số k 1 = biến điểm M thành M/. Khi đó tọa độ điểm I là: 2 Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 99 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 A. I(–4; 10) B. I(11; 1) C. I(1; 11) D. I(–10; 4) Câu 22: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. Cho ba điểm I(–2; –1), M(1; 5) và M/(–1; 1). Giả sử V phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M/. Khi đó giá trị của k là: 1 1 A. B. C. 3 D. 4 3 4 Câu 23: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng d có phương trình x + y = . Ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến đường thẳng d thành đường thẳng có phương trình nào trong các phương trình sau? A. x + y B. x + y C. 2x + y + 3 = 0 D. x - y = = = Câu 24:Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? A. 2x + y + 3 = 0 B. 2x + y – 6 = 0 C. 4x – 2y – 3 = 0 D. 4x + 2y – 5 = 0 Câu 25: Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = – 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? A. 2x + 2y = 0 B. 2x + 2y – 4 = 0 C. x + y + 4 = 0 D. x + y – 4 = 0 Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x + y – 4 = 0. Viết phường trình của đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 3. A. 6x + 3y – 4 = 0 B. 2x + y – 12 = 0 C. 2x + 3y – 4 = 0 D. 6x + y – 4 = 0 2 2 Câu 27. Phép vị tự tâm O 0;0 tỉ số k = - 3 biến đường tròn  C  :  x  1   y  1  1 thành đường tròn có phương trình : 2 2 2 2 2 2 2 2 A.  x  3    y  3   9 B.  x  3    y  3   3 C.  x  1   y  11  25 D.  x  1   y  11  25 Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = – 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau? A. (x + 2)2 + (y + 4)2 = 8 B. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 4 C. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 16 D. (x + 2)2 + (y + 4)2 = 16 Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)2 + (y – 1)2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau? A. (x –1)2 + (y – 1)2 = 8 B. (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 C. (x – 2)2 + (y – 2)2 = 16 D. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 16 Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau? A. (x –1)2 + (y – 1)2 = 8 B. (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 2 2 C. (x + 2) + (y + 2) = 4 D. (x + 2)2 + (y + 2)2 = 16 GHI CHÚ ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. I- ĐỊNH NGHĨA: §7. PHÉP ĐỒNG DẠNG B Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của chúng ta luôn có ......................... M A B' N C C' N' M' A' * Nhận xét: a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số ................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 100 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số ........................ c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép ......................tỉ số .... II- TÍNH CHẤT: Phép đồng dạng tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ……………………………….và bảo toàn …………… giữa các điểm ấy; b) Biến đường thẳng thành …………………, biến tia thành ……, biến đoạn thẳng thành ………..……….; c) Biến tam giác thành tam giác ……………………….với nó, biến góc thành góc ……………… nó; d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính …………………... * Chú ý: a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành ………………………………….. ……………………………………………………………………………………………..của tam giác A'B'C'. b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành ………………, biến đỉnh thành …….., biến cạnh thành ………  Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đồng dạng F có được từ việc thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm I tỉ số quay tâm I góc quay 900. Nhận xét hai tam giác trên. 1 và phép 2 I B A C III- HÌNH ĐỒNG DẠNG: Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập tự luận: Bài 1: Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số 1 và phép đối xứng qua đường thẳng trung trực BC. 2 ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 101 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm AD, BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 . ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC. ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Bài tập trắc nghiệm * Mức độ nhận biết: Câu 1: Phép vị tự tâm O tỉ số k (k  0) biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho: uuuu uuuuu A. OM   1 OM ' k uuuuu uuuu B. O M '  k O M uuuu uuuuu C. O M  k O M ' uuuuu uuuu D. MM '  k OM Câu 2: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’và N’ thì: A. M' N'  k MNvà M’N’ = –kMN C. M ' N '  k MN và M’N’ = kMN B. M' N'  k MNvà M’N’ = kMN D. M' N' // MNvà M’N’ = 1 MN 2 Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phép vị tự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm. B. Phép vị tự là một phép dời hình. C. Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. D. Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. Câu 4 : Có bao nhiêu phép đồng dạng? A. Một. B. Bốn. C. Năm. D. Vô số. Câu 5: Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phép vị tự là một phép đồng dạng. B. Phép dời hình là một phép đồng dạng. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 102 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 C. Phép vị tự tỉ số k là một phép đồng dạng tỉ số k. D. Có ít nhất một phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. * Mức độ thông hiểu: Câu 6: Chọn câu đúng: A. Qua phép vị tự có tỉ số k  1, đường thẳng đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó. B. Qua phép vị tự có tỉ số k  0, đường tròn đi qua tâm vị tự sẽ biến thành chính nó. C. Qua phép vị tự có tỉ số k  1, không có đường tròn nào biến thành chính nó. D. Qua phép vị tự V(O; 1) đường tròn tâm O sẽ biến thành chính nó. Câu 7: Phép biến hình nào sau đây không có tính chất: “ Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nó” A. Phép tịnh tiến. B. Phép quay. C. Phép đối xứng tâm. D. Phép vị tự. Câu 8: Trong măt phẳng Oxy cho điểm M(–2; 4). Phép vị tự tâm O tỉ số k = –2 biến điểm M thành điểm nào trong các điểm sau? A. (–3; 4) B. (–4; –8) C. (4; –8) D. (4; 8) Câu 9: Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và đường tròn tâm O bán kính R. Để đường tròn (O) biến thành chính đường tròn (O) thì k phải chọn bằng: A. 1 B. R C. 1 hoặc –1 D. –R Câu 10: Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng tỉ số A. k = 1 B. k = –1 C. k = 0 D. k = 3 Câu 11: Các phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó có thể kể ra là: A. Phép vị tự. B. Phép đồng dạng, phép vị tự. C. Phép đồng dạng, phép dời hình, phép vị tự. D. Phép dời dình, phép vị tự. Câu 12: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai? A. Phép dời là phép đồng dạng tỉ số k = 1 B. Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. C. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k D. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc. Câu 13: Trong măt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? A. 2x + y + 3 = 0 B. 2x + y – 6 = 0 C. 4x – 2y – 3 = 0 D. 4x + 2y – 5 = 0 Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4. Phép vị tự tâm O tỉ số k = – 2 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau? A. (x – 2)2 + (y – 4)2 = 16 B. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 4 C. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 16 D. (x + 2)2 + (y + 4)2 = 16 Câu 15: Trong măt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x – 3 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = -1 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau? A. y - 3 = 0 B. x+3= 0 C. x – y = 0 D. x – 6 = 0 Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 103 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 * ÔN TẬP CHƯƠNG I * MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC PHÉP BIẾN HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH Phép dời hình Phép tịnh tiến Phép ĐX trục Phép đồng dạng tỉ số k k=1 Phép quay 𝑸(𝑶;( ) ) 𝑸(𝑶;𝒌𝟐𝝅) 𝒌=𝟏 Phép ĐX tâm Phép vị tự 𝒌 = −𝟏 Phép đồng nhất 𝑻𝟎⃗ TÓM TẮT CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG A. CÁC PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng Phép tịnh tiến: T→𝒖 Phép quay: Q(O;𝜶) ĐO trục: Đd Nội dung Định nghĩa Tính chất đặc trưng 𝑇 ⃗ (𝑀) = 𝑀′ ⇔ 𝑀′𝑁′⃗ = 𝑢⃗ 𝑇 → (𝑀) = 𝑀′ 𝑇 → (𝑁) = 𝑁′ Biểu thức tọa độ Các tính chất bất biến 1. 2. 3. 4. 5. ⇒𝑀′𝑁′⃗= 𝑀𝑁⃗ Với 𝑢⃗ = (a;b), M (x;y), M’ (x’;y’) thì 𝑥′ = 𝑥 + 𝑎 𝑦′ = 𝑦 + 𝑏 Đd(M) = M’: d là trung trực của MM’ ĐO(M) = M’: O là trung điểm của MM’ Đ (𝑀) = 𝑀′ Đ (𝑁) = 𝑁′ Đ (𝑀) = 𝑀′ Đ (𝑁) = 𝑁′ ⇒𝑀′𝑁′⃗ = −𝑀𝑁⃗ ⇒M’N’= MN Đối xứng trục 𝑥′ = 𝑥 + Ox: 𝑦′ = −𝑦 + Oy: 𝑥′ = −𝑥 𝑦′ = 𝑦 Đối xứng tâm 𝑥′ = −𝑥 + O (0;0): 𝑦′ = −𝑦 + I (a;b): 𝑥′ = 2𝑎 − 𝑥 𝑦′ = 2𝑏 − 𝑦 Q(O;𝛼) (M) = M’ 𝑂𝑀′ = 𝑂𝑀 ⇔ (𝑂𝑀, 𝑂𝑀′) = 𝛼 Q( 𝑄( ; ) (M) = M′ ; ) (𝑁) = 𝑁′ 𝑀′𝑁′ = 𝑀𝑁 ⇒ (𝑀𝑁, 𝑀′𝑁′) = 𝛼 Quay 𝑄( ; ) : 𝑥′ = −𝑦 𝑦′ = 𝑥 Quay 𝑄( ; ): 𝑥′ = 𝑦 𝑦′ = −𝑥 Bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì. Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Bảo toàn tính song song giữa 2 đường thẳng. Bảo toàn độ lớn của góc. Biến hình H thành hình H’ bằng nó (Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính,…) B. PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 104 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Nội dung Định nghĩa Tính chất đặc trưng Phép vị tự tâm O, tỉ số k: V(O;k) 𝑉( 𝑉( 𝑉( ; ) (𝑀) ; ) (𝑀) ; Phép đồng dạng F tỉ số k (k>0) 𝐹(𝑀) = 𝑀′ ⇔ M’N’=k.MN 𝐹(𝑁) = 𝑁′ = 𝑀′ ⇔ 𝑂𝑀′⃗ = 𝑘𝑂𝑀⃗ = 𝑀′ ⃗ ⃗ ⇔ 𝑀′𝑁′ = 𝑘𝑀𝑁 𝑀′𝑁′ = |𝑘|𝑀𝑁 ) (𝑁) = 𝑁′ Với I = (a;b), M (x;y), M’ (x’;y’) thì 𝑥′ = 𝑘𝑥 + (1 − 𝑘)𝑎 𝑉( ; ) (𝑀) = 𝑀′ ⇔ ; 𝑦′ = 𝑘𝑦 + (1 − 𝑘)𝑏 Biểu thức tọa độ Các tính chất bất biến Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 5. 6. 7. 8. 𝐹(𝑀) = 𝑀′ ⇔ M’N’=k.MN 𝐹(𝑁) = 𝑁′ 𝑥′ = 𝑘𝑥 𝑦′ = 𝑘𝑦 Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm. Bảo toàn tính song song của 2 dường thẳng. Bảo toàn độ lớn của góc. Biến hình H thành hình H’ đồng dạng với nó. (Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |𝑘|R,…) GHI CHÚ Lưu ý: 𝑉( ; ) (𝑀) = 𝑀′ ⇔ ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ĐỀ ÔN SỐ 1 Câu 1: Phép vị tự tâm O với tỉ số k (k  0) là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho: uuuu 1 uuuu uuuu uuuu uuuu uuuu C. OM’ = kOM D. OM '  OM A. OM  kOM ' B. OM '  kOM k . Câu 2: Cho hình vuông ABCD tâm O như hình bên. Hãy cho biết phép quay nào trong các phép quay dưới đây biến tam giác OAD thành tam giác ODC? C. Q O ;90 D. Q O ;45 Q O ;90o Q O;45o       A.  B.  Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 2 x  4 y  1  0. Phép vị tự tâm O tỉ số 2 biến đường thẳng d thành đường thẳng d ', phương trình đường thẳng d’ là: A. x + 2y -1 = 0 B. x - 2y + 1 = 0 C. 2x + 4y + 7 = 0 D. 3x + 6y + 5 = 0 Câu 4: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A. Phép vị tự với tỉ số k > 0 là một phép đồng dạng. B. Phép vị tự là một phép đồng dạng. C. Phép vị tự với tỉ số k  1 không phải là phép dời hình. D. Phép vị tự với tỉ số k > 0 biến góc có số đo  thành góc có số đo k . Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, một phép vị tự với tỉ số k biến điểm M thành điểm M ’, điểm N thành điểm uuuu uuuuuu N’. Biết MN  (2; 1);M ' N '  (4; 2) . Tỉ số k của phép vị tự này bằng: 1 1  D. 2 C. 2 A. 2 B. 2 Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ O xy , cho điểm I(1; 2) . Phép vị tự V(I,3) biến điểm M( 3; 2) thành điểm M’ có o o tọa độ là: A. ( 11;10) B. (6; 8) C. (11; 10) D. ( 6; 2) Câu 7: Cho ABC , đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Biết AH  4, HB  2, HC  8. Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC. Phép biến hình F có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình nào sau đây? Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 105 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 1 A. Phép đối xứng tâm H và phép vị tự tâm H tỉ số k  . 2 uuu B. Phép tịnh tiến theo vectơ BA và phép vị tự tâm H tỉ số k  2. C. Phép vị tự tâm H tỉ số  2 và phép quay tâm H góc quay 900. D. Phép vị tự tâm H tỉ số  2 và phép quay tâm H góc quay 90 0. Câu 8: Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến Tuuu biến: DA A. B thành C B. A thành D C. C thành B D. C thành A Câu 9: Cho đường tròn  C  có đường kính AB,  là tiếp tuyến của đường tròn  C  biết  song song với uuu AB. Phép tịnh tiến theo vectơ A B biến  thành  ' thì ta có: A.  ' vuông góc với AB tại A B.  ' song song với  C.  ' trùng với  D.  ' vuông góc với AB tại B Câu 10: Cho đa giác đều ABCDE tâm O như hình bên. Hãy cho biết phép quay Q O;144o biến tam giác OAB thành tam giác   nào dưới đây? C. OBC D. OCD A. OAE B. OED Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm A 1;3 qua phép quay tâm O góc quay  9 0 o là điểm nào trong các điểm dưới đây? M  3;1 P  3;1 A. N  3; 1 D. Q  3; 1 B. C.  Câu 12: Trong mp Oxy cho v   2;0  và điểm M  1;1 . Điểm M ' nào là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo  vectơ v? A. M ' 3;1 B. M ' 1;1 D. M ' 3;1 C. M '(1;  1) uuu Câu 13: Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O , phép tịnh tiến theo A B biến: A. E thành F B. F thành O C. C thành O D. B thành A Câu 14: Phép tịnh tiến theo vectơ nào biến đường thẳng d : x  3 y  5  0 thành chính nó?     A. v  (2;6) B. v  (3; 1) C. v  (1; 3) D. v  (3; 1) u Câu 15: Cho v  1;5  và điểm M '  4;2 . Biết M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tvu . Điểm M có tọa độ là A.  3;7  B.  5; 3 C.  3;5 D.  4;10  Câu 16: Trong mặt phẳng tọa độ O xy , cho điểm A( 2;5) . Phép vị tự V(O,3) biến điểm A thành điểm A’ có tọa độ là: A. ( 6;15) B. (15;6) C. ( 15;6) D. ( 6; 15) Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm M  2; 1 qua phép quay tâm O góc quay 9 0 o là điểm nào trong các điểm dưới đây? A. D 1; 2 B. B 1;2 C. C  2; 1 D. A 2;1  Câu 18: Ảnh của đường thẳng d : x  y  4  0 qua phép tịnh tiến theo v   2;0  là A. x  y  2  0 B. 2 x  y  1  0 C. 2 x  2 y  3  0 D. x  y  2  0 Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  d  : x  y  1  0 là ảnh của đường thẳng    qua phép Q O ;90o .   Phương trình của đường thẳng    là: B. x  y  2  0 C. x  y  1  0 A. x  y  1  0 Câu 20: Cho tam giác ABC đều tâm O như hình bên. Hãy cho biết phép quay nào trong các phép quay dưới đây biến tam giác OAB thành tam giác OBC? A. Q O ;60   o Gv soạn: Trần Duy Diễn B. Q O;120o   C. Q O ;120   o D. x  y  2  0 D. Q O ;60o   Trang 106 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ĐỀ ÔN SỐ 2 Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng ? Một B. Không có C. Vô số D. Hai Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d cho trước thành chính nó ? Có vô số phép . B. Không có phép nào Có một phép duy nhất . D. Chỉ có hai phép d Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình 2 x  y  1  0 . Để phép tịnh tiến theo   vecto v biến d thành chính nó thì v phải là vecto nào trong các vecto sau ?     A. v   1; 2  B. v   2;1 C. v   2; 1 D. v  1; 2  C©u 4 Cho hai đường thẳng song song d và d ' . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' ? A. Chỉ có hai phép B. Có một phép duy nhất . C. Có vô số phép . D. Không có phép nào C©u 5 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  : x  y  4  0 . Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào có thể biến thành  qua một phép đối xứng tâm ? B. 2 x  2 y  3  0 C. 2 x  2 y  1  0 D. x  y  1  0 A. 2 x  y  4  0 C©u 6 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  2; 4  . Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k  2 biến M thành điểm C©u 1 A. C©u 2 A. C. C©u 3 nào trong các điểm sau ? A. B  4; 8  B. C  4; 8  C. A  8; 4  D. D  4;8  C©u 7 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  : x  2 . Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào là ảnh của  qua phép đối xứng tâm O ? B. x  2 C. x  2 D. y  2 A. y  2 C©u 8 Hợp thành của hai phép tịnh tiến Tu và Tv là một phép đồng nhất khi và chỉ khi     A. Hai vecto u và v ngược hướng B. Hai vecto u và v vuông góc với nhau       C. u  v  0 D. u  v  0 C©u 9 Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng ? A. Vô số B. Hai C. Không có D. Một C©u 10 Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó ? A. Một B. Vô số C. Hai D. Không có C©u 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A  3;2  thành điểm A '  2;3 thì nó biến điểm B  2;5  thành B. Điểm B '(5;2) C. Điểm B '(1;1) D. Điểm B '(1;6) A. Điểm B '(5;5) C©u 12 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  2;3 . Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua A. C©u 13 A. B. C. D. C©u 14 A. B. C. D. C©u 15 phép đối xứng qua trục Ox ? A  3;2  B. D  2;3 C. B  2; 3 D. C  3; 2  Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó . Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó . Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó . Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là đường tròn Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường tròn đồng tâm. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm hai đường thẳng vuông góc. Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng . Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  2;3 . Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng x  y  0 ? B. C  3; 2  A. A  3;2  Gv soạn: Trần Duy Diễn C. B  2; 3 D. D  2;3 Trang 107 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 C©u 16 Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d ' . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' ? A. Không có phép nào B. Có một phép duy nhất . C. Chỉ có hai phép D. Có vô số phép . C©u 17 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm I 1; 2  và M  3; 1 . Trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I ? B  1;3 B. B  1;5  C. A  2;1 D. D  5; 4  A.  C©u 18 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A  2; 5  . Phép tịnh tiến theo vecto v 1; 2  biến A thành điểm nào trong các điểm sau ? A. B  3;1 B. C  3; 3  C. E  1;7  D. D 1; 7  C©u 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị hàm số y  tan x . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đó thành chính nó ? A. Chỉ có hai phép B. Có một phép duy nhất . C. Không có phép nào D. Có vô số phép .   C©u 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vecto u  3; 1 . Phép tịnh tiến theo vecto u biến điểm M (1; 4) A. C©u 21 A. B. C. D. C©u 22 thành Điểm M '(2;3) B. Điểm M '(4; 5) C. Điểm M '(4;5) D. Điểm M '(3; 4) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? Có một phép tịnh tiến theo vecto khác không biến mọi điểm thành chính nó . Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó . Có một phép đối xứng tâm biến mọi điểm thành chính nó . Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  2;3 . Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục Oy ? B. B  2; 3 C. D  2;3 D. C  3; 2  A. A  3;2  C©u 23 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M 1;1 . Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O , góc 450 ? A. A  1;1 B. C  2;0  C. B 1;0  D.  D 0; 2  C©u 24 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A  4;5  . Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm sau qua phép  tịnh tiến theo vecto v  2;1 ? A. C©u 25 A. B. C. D. B  3;1 B. D  4;7  C. E  2; 4  D. C 1;6  Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến . Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng tâm . Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 108 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Hình học phẳng ( cấp 2 đã học ): a) Định lí Talet( Thales): b) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a, b: A b a a M N a // b a caét b C B MN// BC AM  AN AB a b AC c) Một số tính chất thường sử dụng: Tính chất bắc cầu:  Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau. 2. Một số hình hình học không gian hay gặp: Lăng trụ đứng Hình chóp đều A' S Hình hộp chữ nhật B D C B' C' B' A b ab C' D' A' B C C A B A D  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 109 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG ----- oOo -----  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Hình học phẳng ( cấp 2 đã học ): a) Định lí Talet( Thales): b) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a, b: A b a a M a b N a // b a caét b C B MN// BC AM AN  AB AC c) Một số tính chất thường sử dụng: Tính chất bắc cầu:  Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau. 2. Một số hình hình học không gian hay gặp: Lăng trụ đứng Hình chóp đều A' S Hình hộp chữ nhật B D C B' C' B' A b ab C' D' A' B C C A B A D  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 110 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I - KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU: 1. Mặt phẳng: Mặt phẳng là một đối tượng của toán học. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.  Để biểu diễn tả mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt P phẳng vào một góc của hình biểu diễn. α  Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc "( )". Ví dụ mặt phẳng (P)  viết tắt mp(P) hay (P); mặt phẳng (  )  viết tắt mp(  ) hay (  );.... 2. Điểm thuộc mặt phẳng: Cho điểm A và mặt phẳng (  ) A A   Điểm A thuộc mặt phẳng (  ) ta nói A nằm ……(  ) hay (  ) …… A hoặc (  ) ……… điểm A.  Kí hiệu: A  (  ).   Điểm A không thuộc mặt phẳng (a) ta nói A nằm ………. (  ) hay (  ) ……………. A hoặc (  ) không …………. điểm A.  Kí hiệu: A  (  ). 3. Hình biểu diễn của một hình không gian: Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian. Hình biểu diễn được vẽ dựa vào các quy tắc:  Hình biểu diễn của đường thẳng là …………………….., của đoạn là …………………..;  Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng ………………….., của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng ……………………..;  Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa các điểm và đường thẳng;  Dùng nét vẽ liền "______" để biểu diễn cho đường ………………….. và nét đứt đoạn "- - - -" biểu diễn cho đường bị ………………….. Ví dụ: Vẽ hình biểu diễn của một hình lập phương, hình kim tự tháp Giải: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... II - CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN: Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng d có hai điểm thuộc mp(a) thì khi đó mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mp(a) ta nói d chứa trong (nằm trong) mp(a) hay mp(a) chứ d và kí hiệu d  (a) hay (a)  d.  Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc phần kéo dài của đoạn BC. Hãy cho biết M có thuộc mp(ABC) không? và đường thẳng AM có nằm trong mp(ABC) không?. Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng. Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 111 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng   d Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung của hai mặt phẳng phân biệt (  ) và () được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (  ) và () và kí hiệu là: d = (  )  () giao tuyeán cuûa hai maët phaúng  Hình vẽ bên cạnh đúng hay sai? vì sao?. A  Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S. B C M K L P Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. III- CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG: 1. Ba cách xác định mặt phẳng: a) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng. Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C kí hiệu là: mp(ABC) hoặc (ABC) B  A C b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó. A Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d, khi đó ta xác d định được mặt phẳng, kí hiệu là:  mp(A, d) hay (A, d) c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau. b Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Khi đó hai đường thẳng a a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là:  mp(a, b) hay (a, b), hoặc mp(b, a) hay (b, a). 2. Một số bài toán cơ bản: a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD lồi có các cặp cạnh đối không song song nằm trên mp(  ) và điểm S không nằm trên (  ). Hãy xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a) (SAB) và mặt phẳng (SBD), b) (SCD) và (SBC) c) (SBD) và (SAC). d) (SAD) và (SBC) Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 112 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 2: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho AM AN  1 và  2 . Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt phẳng (ABD), BM NC (ACD), (ABC) và (BCD). Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Phương pháp:.......................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 113 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 b) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng: Ví dụ 3: Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD). Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Phương pháp:................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... IV- HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN:  Trong mặt phẳng (  ) cho đa giác lồi A1 A2 ...An . Lấy điểm S nằm ngoài (  ). Lần lượt nối S với các đỉnh A1 A2 ...An ta được n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,…, SAn A1 . Hình gồm đa giác A1 A2 ...An và n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , …, SAn A1 gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A1A2...An. Ta gọi S là đỉnh và đa giác A1 A2 ...An là mặt đáy. Các tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , …, SAn A1 được gọi là các mặt bên; các đoạn SA1, SA2 ,..., SAn là các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,… ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................  Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD. Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện. Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện. Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện. Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện. Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó. * Đặt biệt: Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều. Ví du 4: Hãy vẽ hình chóp S.ABC, S.ABCD: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 114 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................  Hãy kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp S.ABCD (hình vẽ trên)?. Ví du 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp và giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... * Các bước giải bài toán hình học không gian: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 115 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh AB và CD không song song; O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD. Hãy tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a) (SAB) và (SBD), (SBC) và (ABCD)? b) (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD) ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Cho hình chóp S. ABCD, với đáy là tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song. Hãy xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a) (SAC) và mặt phẳng (ABCD), b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) d) (SBD) và (SAC). ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 116 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD). .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC). c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC). d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM). ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 117 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (  ) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (  ) và M là trung điểm của đoạn SC. a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB). b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD, BC. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD). b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và(DMN). .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. GHI CHÚ ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu mặt phẳng chứa tất cả các đỉnh ABC? A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Câu 2: Trong không gian cho bốn điểm không đồng phẳng, có thể xác định nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó? A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 118 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 3: Trong mặt phẳng (P), cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm S không thuộc mp(P). Có mấy mặt phẳng tạo bởi S và hai trong bốn điểm nói trên? A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 4: Cho 5 điểm A, B, C, D, E trong đó không có 4 điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao mặt phẳng tạo bởi 3 trong 5 điểm đã cho? A. 10 B. 12 C. 8 D. 14 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? Một mặt phẳng xác định bởi: A. Ba điểm không hàng B. Một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó C. Hai đường thẳng cắt nhau D. Hai đường thẳng phân biệt Câu 6: Tính số cạnh bé nhất mà một hình chóp có thể có. A A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 Câu 7: Cho hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. A ∈ (ABC) B. N ∈ (ABC) C. AN ⊄ (ABC) D. Hai mặt phẳng (ABC) và (NCA) trùng nhau N Câu 8: Cho ABC có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai? B C A. A ∈ (ABC) B. G ∈ (ABC) C. AG ⊄ (ABC) D. (ABC)  (ABG) .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của BCD. M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. (ABN)  (MNG) B. G ∉ (ABN) C. A ∈ (MNB) D. B ∈ (MNG) .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. (MNO)  (SBD) B. AOMN là một tứ diện C. DOMN là một tứ diện D. COMN là một tứ diện .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 11 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của (P) với các đường thẳng tương ứng AB, BC, CA. Cùng với một điểm G nằm ngoài (P), ba điểm D, E, F sẽ xác định được bao nhiêu mặt phẳng? A. 1 B. 2 C. 3 D. Vô số .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 12: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh AB và CD không song song; O là giao điểm của hai đờng thẳng AC và BD. Khi đó Giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 119 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng (SBD), (SAB) và (SCD) lần lượt là: A. SA và SI B. SO và SI C. SB và SO D. SD và SO Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 S A I Câu 13: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và BC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABI) và (BCD) là: A. AI B. AJ C. BI D. DJ D B O .............................................................................................................................................................................................................................................................. C .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N , P, Q lần lượt là trung điểm AD, BC, AB và CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là: A. SD B. SO C. SP D. SQ .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Mặt phẳng (𝜶) qua MN cắt AD, BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng? A. I, A, C B. I, B, D C. I, A, B D. I, C, D .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 16 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm tùy ý trên hai cạnh AB và CD; I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Điểm K∈ BD sao cho BK > KD. IK cắt CD tại E, EI cắt AN tại F, EJ cắt BN tại G; FG cắt MN tại O. Đường thẳng MN cắt (IJK) tại điểm nào sau đây? A. F B. G C. O D. Một điểm khác .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD, với ABCD là tứ giác lồi. Cắt hình chóp bằng một mặt phẳng (P) tuỳ ý. Thiết diện nhận được không bao giờ có thể là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác D. Lục giác .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB và SD. Thiết diện của mặt phẳng (AIJ) với hình chóp là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác D. Lục giác .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD. Giả sử AB cắt CD tại I, AC cắt BD tại J. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là: A. SI B. SJ C. SA D. SD .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 120 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của BC, DC và SB. Thiết diện của mặt phẳng (MNK) với hình chóp là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác D. Lục giác .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 21: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC , CD và G, H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của ∆ACD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MBD) và (ABN) là: A. Đường thẳng MN B. Đường thẳng AM C. Đường thẳng BG D. Đường thẳng AH .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của SC. Khi đó giao điểm của BC với mặt phẳng (ADM) là: A. Giao điểm của BC và SD B. Giao điểm của BC và MD C. Giao điểm của BC và MA D. Giao điểm của BC và AD .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của BC, DC và SB. Giao điểm của MN và mặt phẳng (SAK) là: A. Giao điểm của MN và AK B. Giao điểm của MN và SK C. Giao điểm của MN và AD D. Giao điểm của MN và AB .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 24 : Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm bên trong ∆ BCD, M∈ AD, N∈ AC; BO cắt CD tại E, MN cắt AE tại I và cắt CD tại F; OA cắt BI tại K. Hãy chọn kết luận sai. A. MN cắt (AOB) tại I B. MN cắt (BCD) tại F C. BF là giao tuyến của (AOB) và (BMN) D. AO cắt (BMN) tại K .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 25: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Khi đó giao điểm của BJ và mặt phẳng (ADI) là: A. Giao điểm của BJ và AD B. Giao điểm của BJ và DI C. Giao điểm của BJ và AC D. Giao điểm của BJ và AI .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 26: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC; M, N là hai điểm bất kỳ trên hai cạnh AB và AC. MD cắt BI tại E; CI cắt DN tại F; IJ cắt EF tại K; MN cắt BC tại H. Kết luận nào sau đây sai? A. IJ là giao tuyến của(IBC) và (JAD) B. EF là giao tuyến của(IBC) và (DMN) C. K là giao điểm IJ và mặt phẳng(BND) D. Bốn điểm E, K, F, H thẳng hàng .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 121 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là tứ giác lồi có hai cạnh AD và BC cắt nhau tại E. Gọi I, J là hai điểm tùy ý trên hai cạnh AD và SB; AC cắt BD tại O; DJ cắt SO tại K; BI cắt AC tại P; SP cắt IJ tại L; EJ cắt SC tại M. Kết luận nào sau đây sai? A. SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) B. M∉ (AJD) C. K là giao điểm của DJ và (SAC) D. L là giao điểm của IJ và (SAC) .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 28: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD; M là một điểm tùy ý trên cạnh AB, N là một điểm tùy ý trên cạnh BC( sao cho ON cắt BD). BO cắt CD tại E; AO cắt ME tại L; NO cắt BD tại F; cắt CD tại I; MF cắt AD tại K. Kết luận nào sau đây sai? A. L là giao điểm AO và mặt phẳng (MNF) B. L là giao điểm ME và mặt phẳng (AIN) C. K là giao điểm AD và mặt phẳng (MNI) D. I là giao điểm CD và mặt phẳng (MNF) .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 29: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của ABC và ABD. Diện tích của thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng (BGG’) là: a 2 11 a 2 11 a 2 11 a 2 11 A. B. C. D. 3 6 8 16 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. A Câu 30: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Cắt tứ diện bởi mặt phẳng (GCD) thì diện tích của thiết diện là: a2 3 a2 2 B. A. 2 4 2 2 B a 2 a 3 C. D. 6 4 G C ĐÁP ÁN D 1D 2B 3A 4A 5D 6C 7C 8C 9B 10B 11A 12B 13C 14B 15B 16C 17D 18B 19A 20C 21C 22D HƯỚNG DẪN 23D 24C 25B 26C 27B 28A 29D 30B Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 122 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Câu 28: Ta có L = AO ∩ ME ME ⊄ (MNF). Nên L không phải là giao điểm AO và mặt phẳng (MNF) ⇒A. sai L =ME ∩ AO AO ⊂(AIN). Nên L là giao điểm ME và mặt phẳng (AIN) ⇒B. đúng Ta có K = AD ∩ MF MF ⊂(MNI). Nên là giao điểm AD và mặt phẳng (MNI) ⇒ C. đúng Ta có I = CD ∩ NO NO ⊂(MNF). Nên I là giao điểm CD và mặt phẳng (MNF) ⇒ D. đúng Vậy chỉ có A. sai Câu 29: Kéo dài BG cắt AC tại M, BG' cắt AD tại N. Ta có thiết diện là tam giác BMN Ta có BM = BN = a√𝟑 ∕2 Gọi I là trung điểm MN, ta có MN = 𝒂/𝟐 IB2 = BM2 - IM2 = 11a2/16 ⇒ IB = a √𝟏𝟏 ∕ 𝟒 Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 A M L B D O K N C E A N G' M G B D Diện tích △ECD là: S = (𝑴𝑵 × 𝑰𝑩)/𝟐 = a2√𝟏𝟏 ∕16 Câu 30: Kéo dài CG cắt AB tại E. Ta có thiết diện là tam giác ECD Ta có CE = DE = a√𝟑/𝟐 Gọi I là trung điểm CD, ta có IE2 = ED2 - ID2 = 2a2/4 ⇒ IE = a√𝟐/𝟐 Diện tích △ECD là: S = (𝑪𝑫 × 𝑰𝑬)/𝟐 = a2√𝟐 ∕4 I F C A E B G D C  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 123 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §2. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng, có ba khả năng xảy ra: i) a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b ………………… tại M và kí hiệu là a  b = {M}. Ta có thể viết a  b = M. ii) a và b không có điểm chung. Ta nói a và b ……………….. với nhau và kí hiệu là ……………. iii) a trùng b, kí hiệu là ……………... b a a  b a b   a // b ab=M ab Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó a ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b. A I B b  D a và b chéo nhau C  Hãy chỉ ra tất cả các cặp đường thẳng chéo nhau trong tứ diện ABCD. II- TÍNH CHẤT: Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có ............................... đường thẳng song song với ....................................... * Nhận xét: M d' Hai đường thẳng song song a và b xác định một d mặt phẳng, kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b)   Cho hai mặt phẳng (  ) và ( ) cắt nhau. Một mặt phẳng () cắt (  ) và ( ) lần lượt theo giao tuyến a và b. Chứng minh rằng khi a và b cắt nhau tại I thì I là điểm chung của (  ) và ( )  Định lí 2: (về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc ………………………….hoặc đôi một ……………………………. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) ……………………………….. với hai đường thẳng đó. I  a    a b c b  d   d   d1 d2 d2 d   d1 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng a) (SAD) và (SBC). b) (SAB) và (SCD). Giải: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 124 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD. (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng tứ giác IJNM là hình thang. Nếu M là trung điểm của AC thì tứ giác IJNM là hình gì? Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................................................................................................... ..................................................................................................................... .................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì ………………………….. Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.    a c b Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 125 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB // CD ). Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng a) (SAD) và (SBC). b) (SAB) và (SCD). c) (SAC) và (SBD). .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy. b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 126 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây: a) PR song song với AC. b) PR cắt AC. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD và G là trung điểm của cạnh MN. a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N. c) Chứng minh GA = 3GA’. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 2. GHI CHÚ: .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 127 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ: A. Song song với hai đường thẳng đó B. Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó C. Trùng với một trong hai đường thẳng đó D. Cắt một trong hai đường thẳng đó Câu 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau B. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau C. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung D. Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau Câu 3: Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến ấy A. Đôi một cắt nhau B. Đồng quy C. Hoặc đồng quy hoặc đôi một song song D. Đôi một song song Câu 4: Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung B. Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song C. Hai đường thẳng song song với nhau khi chúng ở trên cùng một mặt phẳng. D. Khi hai đường thẳng ở trên hai mặt phẳng thì hai đường thẳng đó chéo nhau. Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Khi đó: A. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau B. Hai đường thẳng AB và CD song song C. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau hoặc chéo nhau D. Hai đường thẳng AB và CD chéo nhau ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Đường thẳng nào sau đây không song song với đường thẳng MN? A. AB B. CD C. PQ D. SC ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 7: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Một đường thẳng c song song với b . Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và c ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 8. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về hai đường thẳng AD và BC? A. Có thể song song hoặc cắt nhau C. Song song nhau B. D. Cắt nhau Chéo nhau. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 128 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. CM và AB cắt nhau B. CM và BD cắt nhau C. CM và SB cắt nhau D. CM và AO cắt nhau ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 10: Cho t฀ di฀n ABCD. G฀i M, N, P, Q, R, S l฀n l฀t là trung đi฀m c฀a các c฀nh AB, BC, CD, DA, AC và BD. Trong các m฀nh đ฀ sau m฀nh đ฀ nào đúng? A. Hai đ฀฀ng th฀ng RS và PQ c฀t nhau. B. Hai đ฀฀ng th฀ng NR và PQ song song v฀i nhau. C. Hai đ฀฀ng th฀ng MN và PQ song song v฀i nhau. D. Hai đ฀฀ng th฀ng RS và MP chéo nhau. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 11: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Xét hai đường thẳng p, q mà mỗi đường đều cắt cả a và b. Trường hợp nào sau đây không thể xảy ra: A. p cắt q B. p  q C. p // q D. p và q chéo nhau ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 12: Cho hình chóp A.BCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB, CD, AD, BC. Các điểm nào sau đây không cùng thuộc một mặt phẳng? A. M, P, R, A B. M, R, S, N C. P, Q, R, S D. M, P, Q, N ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 13. Cho đường thẳng a và điểm M không thuộc a . Xét hai đường thẳng phân biệt qua M và không có điểm chung với a . Khi đó A. Cả hai đường thẳng đó đều song song với a. B. Cả hai đường thẳng đó đều chéo với a. C. Có ít nhất mộ đường thẳng song song với a. D. Có ít nhất mộ đường thẳng chéo với a. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 14. Cho hình bình hành ABCD . Qua đỉnh A , kẻ đường thẳng a song song với BD và qua đỉnh C kẻ đường thẳng b không song song với BD . Khi đó A. Hai đường thẳng a và b chéo nhau. Gv soạn: Trần Duy Diễn B. Hai đường thẳng a và b cắt nhau. Trang 129 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 C. Hai đường thẳng a và b không có điểm chung. D. Nếu a và b không chéo nhau thì cắt nhau. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 15. Cho tứ diện ABCD . Gọi G và E l'ần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABC . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Đường thẳng GE song song với CD. B. GE cắt CD. C. GE và CD chéo nhau. D. GE cắt (ACD). ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là: A. Đường thẳng d đi qua S và d // CD B. Đường thẳng d đi qua S và d // BC C. Đường thẳng SO D. Đường thẳng SA ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng? A. d qua S và song song với BC B. d qua S và song song với DC C. d qua S và song song với AB D. d qua S và song song với BD. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 18. Cho tứ diện ABCD. I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng : A. qua I và song song với AB B. qua J và song song với BD C. qua G và song song với CD D. qua G và song song với BC . ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA , SB , SC , SD . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào không song song với IJ ? A. EF B. DC C. AD D. AB ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 130 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 20. Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB và AC. Mp(𝜶) qua MN và song song với CD cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là đa giác (T). Khẳng định nào sau đây đúng? A. (T) là hình chữ nhật B. (T) là tam giác C. (T) là hình thoi D. (T) là hình thang ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(IBC) là: A. Tam giác IBC B. Hình thang IJBC (J là trung điểm SD) C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB ) D. Tứ giác IBCD . ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 22: Cho t฀ di฀n ABCD các đi฀m M, N l฀n l฀฀t là trung đi฀m BC và BD. G฀i d là giao tuy฀n c฀a hai mp (AMN) và (ACD). Khi đó ta có: A. d//BC B. d//MD C. d//CN D. d//CD ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành. ฀i฀m M thu฀c c฀nh SC sao cho SM=3MC , N là giao đi฀m c฀a SD và (MAB). Khi đó t฀ giác ABMN: A. không có c฀p c฀nh nào song song B. là hình vuông C. là hình thang D. là hình bình hành không có góc vuông ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có AD cắt BC tại E. Gọi M là trung điểm của SA, N là giao điểm của SD và (BCM). Khi đó ta có: A. MN,DC,AB đồng quy B. MN//AD C. M,N,E thẳng hàng D. MN cắt SB ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mp() qua AB và cắt cạnh SC tại M, cắt cạnh SD tại N sao cho SM/MC = SN/ND . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. MN//CD B. MN cắt BC C. MN cắt CD D. MN // SA ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 131 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 26: Cho tứ iện ABCD, M là trung điểm của AB, N là điểm trên AC mà AN = 1 AC , P là điểm trên đoạn 4 2 AD . Gọi E là giao điểm của MP và BD, F là giao điểm của MN và BC. Khi đó giao tuyến của 3 (BCD) và (CMP) là : A. CE B. NE C. MF D. CP AD mà AP = ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC. Mặt phẳng(MNP) cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Kết luận nào sau đây sai? A. EF // MN B. SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) C. (SBC) và (SAD) cắt nhau theo giao tuyến đi qua S và song song với BC D. (SMN) và (SBD) cắt nhau theo giao tuyến đi qua S và song song với AC ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB và T là giao điểm của CK và DH. Một điểm M di động trên cạnh BC. Mặt phẳng(MHK) cắt AD tại N. Pháp biểu nào sau đây sai? A. MN // HK B. HN // SD C. Giao điểm của MK và HN di động trên một đường thẳng cố định ST D. ST// BC// AD ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 29: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC; K là một điểm trên cạnh BD sao cho BK = 3 KD. Mặt phẳng(IJK) cắt đoạn AD tại L. Độ dài đoạn thẳng IL bằng kết quả nào sau đây? 𝒂√𝟑 A. 𝟒 B. 𝒂√𝟓 𝟒 C. 𝒂√𝟔 𝟒 D. 𝒂√𝟕 𝟒 ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 30: (11/68) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a√𝟑. Mặt phẳng (𝜶) chứa đoạn thẳng MN, song song với AB và CD. Mặt phẳng (𝜶) cắt AC tại P, cắt BD tại Q. Thiết diện MNPQ tạo bởi (𝜶) và tứ diện ABCD có diện tích là số nào? A. 𝒂𝟐 √𝟑 𝟐 B. 𝒂𝟐 √𝟑 𝟑 C. 𝒂𝟐 √𝟑 𝟒 D. 𝒂𝟐 √𝟑 𝟓 ............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 132 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ĐÁP ÁN 1B 2C 3C 4A 5D 6D 7B 8D 9D 10C 11C 12A 13D 14D 15A 16A 17A 18C 19C 20B 21B 22D 23C 24C 25A 26A 27D 28B 29D 30A HƯỚNG DẪN Câu 28: A Vì HK// AB ⇒(MHK)∩ (ABCD) = MN và MN//AB//HK. Do M là điểm bất kỳ nên MK không song song với SC, cũng như vậy HN không song song với SD L Nên B. là phát biểu sai. I Do AD//BC ⇒(SAD) ∩(SBC) = Sx đi qua S và B Sx // AD//BC. D K J MK cắt HN tại I thì I ∈ Sx. Khi M → C; N →D thì I→T và ST//AD//BC C Vậy chỉ có B. sai A Câu 29: IJ // AB ⇒(IJK) cắt AD tại L thì LK // AB // IJ. Do KB = 3KD ⇒ AL = 3LD⇒ AL = 3a/4. N P Trong 𝚫AIL có IL = AI + AL - 2 AI.AL.cos60 = 7a ∕16 2 2 2 0 2 B M ⇒IL = a√𝟕 ∕4 Câu 30: I Do (α) // AB // CD, nên gọi P, Q lần lượt là trung điểm AC và BD ta có thiết diện là tứ giác MPNQ. Ta có AB = CD = 2a ⇒MPNQ là hình thoi cạnh a. x ⇒ SMPNQ = 2. a √𝟑 ∕4 = a √𝟑 ∕2 Gv soạn: Trần Duy Diễn C S T K H MN = a√𝟑 nên hai tam giác MPQ và NPQ đều cạnh a 2 D S Q D 2 A C A B Trang 133 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (  ). Tùy theo số điểm chung của d và (  ), ta có ba trường hợp: d  d và (  ) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (  ) hay ………………………… và kí hiệu là: ……………. hay ………………….   d và (  ) có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (  ) ……………….tại M và kí hiệu là: d  (  ) = {M} hay d  (  ) = M d M   d và (  ) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, d …………………………… (  ) hay (  ) chứa d và kí  hiệu: d  (  ) hay (  )  d II- TÍNH CHẤT: Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (  ) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (  ) thì d ……………… với (  ). d  d ................................................................................................................................................................................. d' ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................   Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (  ): ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ………..................................................................................................................................................................................................................................................  Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mp(BCD) không? Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (  ). Nếu mặt phẳng (  ) chứa a và cắt (  ) theo giao tuyến b thì b …………… với a.  ................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................. a b  ................................................................................................................................................................................. Ví du 1: Cho hình chóp S.ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC. CMR: a) MN// (ABC) b) MP// (ABC) c) BC // (MNP) Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 134 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví du 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi (  ) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Xác định thiết diện tạo bởi (  ) và tứ diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì? Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng ……………….. với đường thẳng đó. .................................................................................................................................................................................  d' d ................................................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................................................  Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và ………… ……………………… với đường thẳng kia.  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. CMR: a) MN// (ABCD) b) NP// (ABCD) c) AC // (MNPQ) ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 135 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (a) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD. a) Tìm giao tuyến của (  ) với các mặt của tứ diện. b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (  ) là hình gì? ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (  ) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì? ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 4: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD). ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD). Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 136 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (  ) với hình chóp S.ABCD nếu (  ) qua M và đồng thời song song với SC và AD. GHI CHÚ ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và song song với b ? A. không có. B. 1. C. 2. D. vô số. Câu 2: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Nếu mặt phẳng (P) cắt a thì cũng cắt b. B. Nếu mặt phẳng (P) song song với a thì cũng song song với b. C. Nếu mặt phẳng (P) song song với a thì (P) hoặc song song với b hoặc mặt phẳng (P) chứa b D. Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a thì cũng có thể chứa đường thẳng b. Câu 3: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Khi đó, số đường thẳng phân biệt nằm trong (P) và song song với a có thể là: A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Câu 4: Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và một điểm A không thuộc b. Qua A ta kẻ một đường thẳng a song song với b thì: A. a nằm trên mặt phẳng (P) B. a song song với mặt phẳng (P) C. a cắt (P) D. Cả ba câu trên đều sai Câu 5. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (𝜶). Khi đó A. Mọi đường thẳng nằm trong (𝛼 ) đều song song với a. B. Mọi đường thẳng nằm trong (a) đều chéo với a. C. Có vô số đường thẳng nằm trong (a) và song song với a. D. Có duy nhất một đường thẳng nằm trong (a) và song song với a. Câu 6: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến b và đường thẳng a // b. Câu nào dưới đây là câu sai? A. Ta có a // (Q) và a // (P) B. Nếu a ∈ (Q) thì a // (P) C. Nếu a ∈ (P) thì a // (Q) D. Có thể xảy ra trờng hợp a // (Q) đồng thời a // (P) Câu 7. Cho đường thẳng a nằm trong mp(𝜶) và đường thẳng b ∉(𝜶). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Nếu b // (𝜶) thì b // a B. Nếu b cắt (𝜶 ) thì b cắt a C. Nếu b // a thì b // (𝜶 ) D. Nếu b cắt (𝜶) và mp(P) chứa b thì giao tuyến của (𝜶) và (P) là đường thẳng cắt cả a và b. Câu 8. Cho hai đường thẳng a, b phân biệt cùng song song với một mặt phẳng. Khi đó: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 137 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 A. a và b song song với nhau. B. a và b chéo nhau. C. a và b cắt nhau. D. Chưa kết luận được vị trí tương đối của a và b. Câu 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Tồn tại hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau. B. Một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm nào chung thì song song với nhau C. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau D. Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D' lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Một mặt phẳng (P) thay đổi qua A’ và song song với AC luôn đi qua một đường thẳng cố định là A. Đường thẳng A’B’ B. Đường thẳng A’D’ C. Đường thẳng A’C’ D. Đường thẳng A’B ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 11. Cho tứ diện ABCD và M là điểm nằm trong tam giác ABC, mp(P) qua M và song song với AB và CD. Thiết diện của ABCD cắt bởi mp(P) là: A. Tam giác B. Hình chữ nhật C. Hình vuông D. Hình bình hành ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 12. Xét thiết diện đi qua một điểm M thuộc đoạn thẳng AB (không trùng với A, B) của tứ diện ABCD và song song với các đường thẳng AC, BD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Thiết diện là một tam giác. B. Thiết diện là một tứ giác. C. Thiết diện là một hình bình hành. D. Thiết diện là một ngũ giác. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. MN//mp(ABCD) B. MN//mp(SAB) C. MN//mp(SCD) D. MN//mp(SBC) ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm lây trên cạnh SA (M không trùng với S và A). Mp (𝜶) qua ba điểm M, B, C cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình: A. Tam giác B. Hình thang C. Hình bình hành D. Hình chữ nhật ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 138 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mp(ABC) là: A. d cắt (ABC) B. d (ABC) C. d không song song (ABC) D. d //(ABC) ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC. Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp(BCD) là: A. MN nằm trong (BCD) B. MN không song song (BCD) C. MN//(BCD) D. MN cắt (BCD) ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 17: Cho hình chóp S.ABC, gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng(𝛼)qua M song song với SB và AC, thiết diện tạo bởi (𝛼) và hình chóp là hình gì? A. Hình bình hành B. Tam giác C. Hình thang D. Tứ giác. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD, gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng(𝛼)qua M song song với SB và AD, thiết diện tạo bởi (𝛼) và hình chóp là hình gì? A. Hình thang B. Hình bình hành C. Ngũ giác D. Tứ giác. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang, đáy lớn AB, gọi M, N, P là trung điểm SA, AD, BC. Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? A. Hình thang B. Hình bình hành C. Ngũ giác D. Tam giác. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 20: Cho biết câu trả lời nào của bài toán sau đây là sai ? Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, E là trung điểm CB, I là giao điểm của AE và BD. Khi đó IG sẽ song song với mặt phẳng nào dưới đây? A. ( SAC) B. ( SBC). C. ( SCD) D. (SAD). ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 139 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua O, song song với AB và SC là hình gì? A. Hình vuông B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Hình thang ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA là hình gì? B. Tam giác C. Tứ giác D. Ngũ giác A. Lục giác ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mp (a) qua BD và song song với SA, mp (a) cắt SC tại K. Chọn khẳng định đúng : A. SK = 2 KC B. SK = 3 KC C. SK = KC 𝟏 D. SK =𝟐 KC. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi M,N,Plần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và SC . Khi đó mặt phẳng(MNP)không có điểm chung với cạnh nào sau đây? A. SB . B. SC C. SD . D. SA. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AB. Điểm M là trung điểm CD. Mp (α) qua M và song song với BC và SA, mp (α) cắt AB tại N và cắt SB tại P. Nói gì về thiết diện của mp (a) và S.ABCD ? A. là một hình bình hành B. là một hình thang có đáy lớn là MN C. là tam giác MNP D. là một hình thang có đáy nhỏ là NP ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 26: Cho hình chóp S.ABC. M là điểm thuộc miền trong của tam giác SAB. Gọi () là mp đi qua M và song song với SA và BC. Thiết diện tao bởi mp() và hình chóp là: A. Hình thang B. Hình tam giác C. Hình bình hành D. Hình vuông ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 140 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) đồng thời song song với AC và SB lần lượt cắt các cạnh SA, AB, BC, SC, SD và BD tại M, N, E, F, I, J. Khi đó ta có: A. MN // (SCD) B. EF // (SAD) C. NF // (SAD) D. IJ // (SAB) ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 28: Cho tứ diện ABCD có AB =a, CD = b, AC = c và AB vuông góc với CD. Trên AC ta lấy điểm M sao cho AM= x (0<x<c), mặt phẳng () qua M và song song với AB và CD, cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, P, Q. Đáp án đúng nhất thiết diện MNPQ là hình gì? D. Hình thoi. A. Hình thang vuông. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 29: Cho tứ diện ABCD có AB =a, CD = b, AC = c và AB vuông góc với CD. Trên AC ta lấy điểm M sao cho AM= x (0<x<c), mặt phẳng () qua M và song song với AB và CD, cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, P, Q. Tính theo a, b, c và x diện tích thiết diện MNPQ. A. B. (c-x)x C. (c-x)x D. (c-x)x (c-x)x ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Câu 30: Cho tứ diện ABCD có AB =a, CD = b, AC = c và AB vuông góc với CD. Trên AC ta lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x < c), mặt phẳng () qua M và song song với AB, CD, cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, P, Q. Diện tích thiết diện MNPQ lớn nhất khi nào? A. M trùng với A. B. M là trung điểm AC. C. M trùng với C. D. Kết luận khác. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ĐÁP ÁN 1B 2C 3D 4B 5C 6A 7C 8D 9C 10C 11D 12C 13A 14B 15D 16C 17A 18A 19A 20D 21D 22D 23C 24D 25B 26A 27D 28B 29C 30B HƯỚNG DẪN: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 141 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 Câu 28: Do () qua M và song song với A AB, CD. Nên vẽ MN // AB, MQ// CD, NP // CD. Khi đó PQ // AB. Do đó MN // PQ, NP //MQ ⇒ Thiết diện Q MNPQ là hình bình hành. M Ta lại có AB⊥ CD⇒ MN⊥ MQ ⇒ Thiết B diện MNPQ là hình chữ nhật. Câu 29: Theo câu 28 ta có MN // AB, nên ta có ⇒ MN = a MQ // CD, nên ta có ⇒ N 𝐌𝐍 = 𝐂𝐌 = 𝐜 𝐱 𝐜 𝐌𝐐 = 𝐀𝐌 = 𝐱 𝐀𝐁 (𝐜 𝐱) 𝐂𝐃 𝐂𝐀 𝐀𝐂 (𝐜 𝐱) 𝐛𝐱 𝐜 . Câu 30: Theo câu 29 ta có SMNPQ = MN.MQ = 𝐚𝐛 𝐜𝟐 𝐜 = 𝐜 Max SMNPQ = 𝐚𝐛 𝟒 𝐚𝐛 𝐜𝟐 ⇒ MQ = 𝐛𝐱 𝐜 (c-x)x A (c-x)x Theo BĐT cauchy ta có (c-x).x ≤ SMNPQ = MN.MQ = C 𝐜 Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: SMNPQ = MN.MQ = a D P 𝐚𝐛 (c-x)x 𝐜𝟐 ≤ ( 𝐚𝐛 𝟒 𝐜 𝐱 𝐗 2 ) 𝟐 khi x = c - x ⇔ x = Khi đó M là trung điểm AC = 𝐂𝟐 𝟒 Q 𝐜 𝟐 M B P D N C Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 142 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 §4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I- ĐỊNH NGHĨA: Hai mặt phẳng (a), () được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Khi đó ta kí hiệu: (a) // () hay () // (a). II- TÍNH CHẤT   Định lí 1: Nếu mặt phẳng (a) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng () thì (a) song song với (). ...........................................................................................................................................................................  a b M ........................................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................................   Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng (a) qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (BCA)?  Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................... Ví du 1: Cho hình chóp S.ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SC. CMR: a) (MNP)// (ABC) b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, AC. CMR: (MIJ) // (SBC) Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví du 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. CMR: Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 143 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 a) MNPQ là hình bình hành và (MNPQ) // (ABCD) b) (MNO) // (SCD) c) (OPQ) // (SAB) Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Ví du 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (DBC) Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 144 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng ..................................................................................................................... Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 ..................................................................................................................... A Định lí 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng () thì trong () có một đường thẳng song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng (a) song song với ().   d   Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (a). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (a) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (a).  A  Ví dụ: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác ngoài của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB. Chứng minh: a) Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC); b) Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng. Giải: ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... .....................................................................................................................  Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. III- ĐỊNH LÍ TA-LÉT (THALÈS): Gv soạn: Trần Duy Diễn b a A'  A a   B' b  B Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau. Trang 145 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Định lí 4 (Định lí Ta-lét): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Nếu d và d' là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (a), (), () lần lượt tại các điểm A, B, C và A', B', C' thì: AB BC CA   A' B' B' C ' C ' A' Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 d P d' A' A B B' Q C C' R IV- HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP: Cho hai mặt phẳng song song (a) và (a'). Trên (a) cho đa giác lồi A1 A2 ...An . Qua các đỉnh A1, A2 ,..., An ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (a') lần lượt tại A'1 , A'2 ,..., A'n .  Hình gồm hai đa giác A1, A2 ,..., An , A'1 , A'2 ,..., A'n và các hình bình hành A1 A'1 A'2 A2 , A2 A'2 A'3 A3 ,..., An A'n A'1 A1 được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu là A1 A2 ...An . A'1 A'2 ...A'n . A'1 A'5 A'4 A'3 A'2  Hai đa giác A1, A2 ,..., An và A'1 , A'2 ,..., A'n được gọi là hai mặt đáy của ' hình lăng trụ.  Các đoạn thẳng A1 A'1 , A2 A'2 ,..., An A'n được gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ. A5 A1  Các hình bình hành A1 A'1 A'2 A2 , A2 A'2 A'3 A3 ,..., An A'n A'1 A1 được gọi A2  là các mặt bên của hình lăng trụ.  Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ. * Nhận xét: + Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau. + Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành. + Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.  Hình lăng trụ được gọi tên dựa vào tên của đa giác đáy: "lăng trụ" ghép với "tên đa giác đáy". ................................................... ................................................... ................................................... A4 A3 ................................................... V- HÌNH CHÓP CỤT: Định nghĩa: Cho hình chóp S. A1, A2 ,..., An ; một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh SA1, SA2 ,..., SAn lần lượt tại A'1 , A'2 ,..., A'n . Hình tạo bởi thiết diện A'1 A'2 ...A'n và đáy A1 A2 ...An của hình chóp cùng với các tứ giác A'1 A'2 A2 A1, A'2 A'3 A3 A2 ,..., A'n A'1 A1 An gọi là hình chóp cụt.  Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện A'1 A'2 ...A'n gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. Các tứ giác A'1 A'2 A2 A1, A'2 A'3 A3 A2 ,..., A'n A'1 A1 An gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. Các đoạn thẳng A1 A'1 , A2 A'2 ,..., An A'n gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 146 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 S  Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác…, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,… * Tính chất:  Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.  Các mặt bên là những hình thang.  Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm. A'1 A'2 A'5 A'4 A2 A3 A1 A5 P A'3 A4  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’. a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’. b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M. c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’). d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau. b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C. c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau. d) Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho. ............................................................................................................................................................................................................................................................. Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 147 Trường TH, THCS, THPT Đinh Tiên Hoàng Tài liệu hướng dẫn tự soạn môn Toán lớp 11 .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M' và N'. Chứng minh: a) (ADF) // (BCE); b) M'N' // DF; c) (DEF) // (MM'N'N) và MN // (DEF). ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD // BC, AD = 2BC. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE. I là một điểm di động trên cạnh AC khác với A và C. Qua I, ta vẽ mặt phẳng (a) song song với (SBE). Tìm thiết diện tạo bới (a) và hình chóp S.ABCD. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................................................................................................................  Ghi chú: ................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................... Gv soạn: Trần Duy Diễn Trang 148