Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Toán 12 – Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) SỰ T Hàm số NG GIAO CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Sự tương giao của hàm đa thức bậc ba thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phươngtại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. Bài 1. Cho hàm số y  x3  mx  2 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Giải PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành: x3  mx  2  0  m   x 2  Xét hàm số: f ( x )   x 2   f '( x)  2 x  2 x 2 x2  2 ( x  0) x 2 x 3  2 x2 Ta có bảng biến thiên: x   0 1  + f ( x) + 0 –  –3 f ( x)    Đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất  m  3 . Bài 2. Cho hàm số y  2 x3  3(m  1) x 2  6mx  2 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Giải y  6 x 2  6(m  1) x  6m ; y '  9(m  1)2  36m  9(m  1)2 . + Nếu m  1 thì y  0, x  hàm số đồng biến trên R  đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất  m  1 thoả mãn YCBT. + Nếu m  1 thì hàm số có các điểm cực trị x1, x2 ( x1, x2 là các nghiệm của PT y  0 )  x1  x2  m  1; x1x2  m . x 3 Lấy y chia cho y ta được: y    m 1 2  y  (m  1) x  2  m(m  1) . 6   PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y  (m  1)2 x  2  m(m  1) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất  yCÑ .yCT  0     (m  1)2 x1  2  m(m  1) . (m  1)2 x2  2  m(m  1)  0 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Toán 12 – Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số  (m  1)2 (m2  2m  2)  0  m2  2m  2  0 (vì m  1)  1  3  m  1  3 . Kết luận: 1  3  m  1  3 . Bài 3. Cho hàm số y  x 3  3m2 x  2m có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt. Giải Để (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị  y  0 có 2 nghiệm phân biệt  3x 2  3m2  0 có 2 nghiệm phân biệt  m  0 Khi đó y '  0  x  m . (Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt  yCĐ = 0 hoặc yCT = 0 Ta có: + y(m)  0  2m3  2m  0  m  0 (loại) + y(m)  0  2m3  2m  0  m  0  m  1 Vậy: m  1 Bài 4. Cho hàm số y  x3  6 x 2  9 x  6 có đồ thị là (C). Định m để đường thẳng (d ) : y  mx  2m  4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt. Giải PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x3  6 x 2  9 x  6  mx  2m  4 x  2  ( x  2)( x 2  4 x  1  m)  0   2  g( x )  x  4 x  1  m  0 (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt  PT g( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2  m  3 Bài 5. Cho hàm số: y  x3  (m  4) x2  (m2  4m  3) x  m2  3m (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ đều dương. Giải Để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ đều dương thì: x3  (m  4) x2  (m2  4m  3) x  m2  3m  0 phải có 3 nghiệm dương phân biệt.  ( x  1)  x 2  (m  3) x  m2  3m  0 phải có 3 nghiệm dương phân biệt.  x2  (m  3) x  m2  3m  0 phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Toán 12 – Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số   3m2  6m  9  0  1  m  3  b  3  m  0  1  m  0  a m  3 .      m m 0, 3 c   m 1 3 2     m  3m  0  a  m 2  2m  2  0  m  1  3  2 2 m m m      1 ( 3).1 3 0  Bài 6. Cho hàm số: y  x3  (2m  1) x2  (m  1) x  m  1 (Cm) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt, trong đó 2 điểm có hoành độ âm. Giải – Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình: x3  (2m  1) x2  (m 1) x  m  1  0  ( x 1)( x2  2mx  m 1)  0 phải có 3 nghiệm phân biệt.  x2  2mx  m  1  0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1. 2  m  '  m  m  1  0  2  m0 1  2m.1  m  1  0 m  0   x1  x2  0  2m  0 m  0    m  1 (T/m (1)) - Để 2 điểm có hoành độ âm ta phải có:  m  1  0 m  1  x1 x2  0 Đáp số: m < -1. Bài 7. Cho hàm số: y  x3  3x 2  4 (C). Tìm m để đường thẳng d đi qua I(-1, -2) với hệ số góc m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, I, B sao cho I là trung điểm AB. Giải d có phương trình: y = m(x + 1) – 2 - Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, I, B thì phương trình: x3  3x2  4  m( x  1)  2  x3  3x2  4  mx  m  2  0  ( x  1)( x2  2 x  m  2)  0 phải có 3 nghiệm phân biệt.  x2  2 x  m  2  0 (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1.  '  m  3  0 m  3    m  3 (1) 2 m  3 (1)  2(1)  m  2  0 Gọi A(x1; y1); B(x2; y2) (x1; x2 là nghiệm của (*)) Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Toán 12 – Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số  x1  x2  1  Để I(-1, -2) là trung điểm AB ta phải có:  2  y1  y2  2  2  x1  x2  2  x1  x2  2  x1  x2  2 2  2      m (2) m.0  0  y1  y2  4 m( x1  1)  2  m( x2  1)  2  4 m( x1  x2  2)  0 Kết hợp (1) và (2) => Đáp số: m > -3. 1 2 Bài 8. Cho hàm số: y  x3  mx 2  x  m  (Cm) 3 3 Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x12  x22  x32  15 Giải – Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thì phương trình: 1 3 2 x  mx 2  x  m   0  x3  3mx 2  3x  3m  2  0 3 3   x  1  x 2  1  3m  x  2  3m  0 phải có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3.  x2  1  3m  x  2  3m  0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1 (Chọn x3 = 1) 2  m    9m  6m  9  0  2   m  0 (*) 1  (1  3m).1  2  3m  0 m  0  - Ta có: x12  x22  x32  15  x12  x22  12  15  x12  x22  14   x1  x2   2 x1 x2  14 2   3m  1  2(2  3m)  14  9m2  9  m  1 (Thỏa mãn (*)) 2 Đáp số: m  1 . Bài 9. Cho hàm số: y  x3  3x2  4 (C). Gọi d là đường thằng đi qua điểm I(-1,0) và có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B sao cho AB = 2 2 Giải – Phương trình của d: y = m(x + 1) - Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I, A, B thì phương trình: x3  3x2  4  m( x  1)  x3  3x 2  mx  4  m  0  ( x  1)  x 2  4 x  4  m   0 phải có 3 nghiệm phân biệt.  x2  4 x  4  m  0 (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1. Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Khóa học Toán 12 – Môn Toán(Thầy Lê Bá Trần Phương) Hàm số  '  m  0 m  0 (1)   2 m  9 (1)  4(1)  4  m  0  9  m  0 Gọi A(x1; y1); B(x2; y2) (x1; x2 là nghiệm của (*)) Ta có: AB = 2 2  AB2 = 8  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  8  ( x1  x2 )2   m( x1  1)  m( x2  1)  8 2 2 2  (1  m2 )  x1  x2   8  (1  m2 )  x1  x2   4 x1 x2   8    (1  m2 ) 42  4(4  m)   8  4m3  4m  8  m3  m  2  0  (m  1)(m2  m  2)  0  m = 1 (Thỏa mãn (1)) Đáp số: m = 1 Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : ng Hocmai.vn - Trang | 5 -