You are on page 1of 13

Hocmai.

vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam


Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN CHO BỞI HÀM NHIỀU CÔNG THỨC


VÀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN (PHẦN 1)
GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

ĐÁP ÁN
1A 2C 3C 4A 5A 6B 7A 8C 9A 10D 11D 12C
13C 14B 15D 16A 17D 18C 19A 20D 21B 22A 23D

LỜI GIẢI CHI TIẾT


(Để xem lời giải được dễ hiểu hãy chắc rằng bạn đã xem đầy đủ video bài giảng
của bài học này !)

3x 2 khi 0  x  1
Câu 1 (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018 ). Cho hàm số y  f (x )  
 . Tính

4  x khi 1  x  2


2

tích phân  f (x )dx .


0

7 5 3
A. . B. 1 . C. . D. .
2 2 2

Giải
2
1 2 1 2
 x2  5 7
 4x    1  
1

 f (x )dx   f (x )dx   3x dx   (4  x )dx  x


2 3
Ta có:
0 1 0 1
0  2  2 2
1

 đáp án A.


 2
x 0 4
6x khi
Câu 2 . Cho hàm số y  f (x )  

a  a 2x khi x 0
và I   f (x )dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số

 1

nguyên a để I  22  0 ?
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .

Giải
4
0 4 0 4
 a 2x 2 
Ta có: I   f (x )dx   f (x )dx   6x dx   (a  a x )dx  2x
2 2 
 ax  3
0
  2  4a  8a 2 .
1 0 1 0
1  2 
0

3 a
I  22  0  2  4a  8a 2  22  0  2a 2  a  6  0    a  2  a  1; 0;1;2 .
2
Vậy có 4 giá trị nguyên của a thỏa mãn  đáp án C.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 1-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

 1  2
Câu 3 (Đề Tham Khảo – 2018). Cho hàm số f (x ) xác định trên  \    thỏa mãn f '(x )  ;
 2  2x  1
f (0)  1 và f (1)  2 . Giá trị của biểu thức f (1)  f (3) bằng
A. 4  ln15 . B. 2  ln15 . C. 3  ln15 . D. ln15 .

Giải

  1

 ln 2x  1  C 1 khi x  ; 
2 2dx   2 
Cách 1: Từ f '(x )   f (x )     .
2x  1 2x  1  1 

 ln 2x  1  C 2 khi x   ; 

 2 



  1
  

ln 2x  1  1 khi x  ; 
f (0)  1  0  C1  1 C 1  1 
  2 
Ta có: 
     f (x )   .
 f (1)  2 0  C  2 C  2  1 

 
 2  2
 
ln 2x  1  2 khi x   ; 

 2 


Khi đó: f (1)  f (3)  ln 3  1  ln 5  2  3  ln15  đáp án C.

 0 0
2 1
 0 0



f (0)  f ( 1)  f (x )
 1
  f '(x )dx   2x  1
dx  ln 2x  1
1
 ln (1)
3
Cách 2: Ta có   1 1 .

 3
3 3
2 3

 f (3)  f (1)  f (x )   f '(x )dx  dx  ln 2x  1  ln5 (2)



1
1 1
2x  1 1

Lấy (2)  (1) , ta được: f (3)  f (1)  f (0)  f (1)  ln15  f (1)  f (3)  3  ln15  đáp án C.

Câu 4. (Toán Học và Tuổi Trẻ - Số 6 – 2018) Cho hàm số f (x ) xác định trên  \ 1 thỏa mãn
1
f '(x )  , f (0)  2017 , f (2)  2018 . Tính S  f (3)  f (1)
x 1
A. S  1 . B. S  ln 2 . C. S  ln 4035 . D. S  4 .

Giải

ln x  1  C 1 khi x  ;1


1 dx 

Cách 1: Từ f '(x )   f (x )    .
x 1 x 1  


ln x  1  C 2
khi x  1; 
f (0)  2017
 0  C  2017
 
C 1  2017 ln x  1  2017 khi x  ;1

Ta có: 
  
1
  
 f (x )   .

 f (2)  2018 
0  C  2018 
C  2018 
ln x  1  2018 khi x  1; 
  2  2


Khi đó: S  f (3)  f (1)  ln 2  2018  (ln 2  2017)  1  đáp án A.

 0 0
dx 1
 0 0



f (0)  f ( 1)  f (x )
 1
  f '(x )dx   x 1
 ln x  1
 1
 ln (1)
2
Cách 2: Ta có   1 1
.

 3
3 3
dx 3

 f (3)  f (2)  f (x )   f '(x )dx   ln x  1  ln2 (2)



2
2 1
x 1 2

Lấy (2)  (1) , ta được: f (3)  f (1)  f (0)  f (2)  0  S  f (3)  f (1)  f (2)  f (0)  1
 đáp án A.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 2-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

 1 
Câu 5. (Lục Ngạn – Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f (x ) xác định trên  \   thỏa mãn
 3 

3 2
f '(x )  , f (0)  1 và f    2 . Giá trị của biểu thức f (1)  f (3) bằng
3x  1  3 

A. 3  5 ln 2 . B. 2  5 ln2 . C. 4  5 ln 2 . D. 2  5 ln 2 .

Giải

  1

ln 3x  1  C 1 khi x  ; 
3 3dx   3 
Cách 1: Từ f '(x )   f (x )     .
3x  1 3x  1  1 

ln 3x  1  C 2 khi x   ; 

 3 



  1


 f (0)  1  

ln 3x  1  1 khi x  ; 
 
0  C 1  1   
C 1  1  f (x )    3 
Ta có: 
  2     .
 f    2  0  C2  2 C2  2  1 

  
 
 
 
ln 3x  1  2 khi x   ; 
 3
 
 3 


Khi đó: f (1)  f (3)  ln 4  1  ln 8  2  3  ln 32  3  5 ln 2  đáp án A.

 0 0
3 1
 0 0



f (0)  f ( 1)  f (x )
 1
  f '(x )dx   3x  1
dx  ln 3x  1
1
 ln (1)
4

Cách 2: Ta có 
1 1
  2  3 3
3
.

  3
f (3)  f    f (x ) 2   f '(x )dx 
3
dx  ln 3x  1 2  ln8 (2)

  3  3x  1


3 2 2 3

 3 3

 3
Lấy (2)  (1) , ta được: f (3)  f (1)  f (0)  f    ln 32  f (1)  f (3)  3  5 ln 2  đáp án A.
 2 

4
Câu 6. Cho hàm số f (x ) xác định trên  \ 2;2) và thỏa mãn f '(x )  2
; f (3)  0 ;
x 4
f (0)  1 và f (3)  2 . Tính giá trị biểu thức P  f (4)  f (1)  f (4) .
3 5 5
A. P  3  ln . B. P  3  ln 3 . C. P  2  ln . D. P  2  ln .
25 3 3

Giải

 x 2

ln  C 1 khi x  ; 2

 x 2


4 4dx 4dx  x 2
Từ f '(x )   f (x )  x   
ln  C 2 khi x  2;2 .
2
x 4 2
4 (x  2)(x  2) 
 x 2


 x 2

ln  C 3 khi x  2; 


 x 2
Ta có:

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 3-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN


 x 2
 
ln  ln 5 khi x  ; 2

 
 f (3)  0 ln 5  C  0
 C   ln 5
  x 2
   1 

 f (0)  1  
 0  C  1  
1
C  1 
ln x 2
   2  f (x )    1 khi x  2;2 .

 

2

 
 x 2

 f (3)  2 
 1 
C  2  ln 5 

 ln  C 3  2  3 x 2
 5
 ln
  2  ln 5 khi x  2; 


 x 2
1
Khi đó: P  f (4)  f (1)  f (4)  ln 3  ln 5  ln 3  1  ln  2  ln 5  3  ln 3  đáp án B.
3

Câu 7. (Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần 3 , Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018).
1
Cho hàm số f (x ) xác định trên  \ 2;1 thỏa mãn f '(x )  2
, f (3)  f (3)  0 và
x x 2
1
f (0)  . Giá trị của biểu thức f (4)  f (1)  f (4) bằng
3
1 1 1 4 1 8
A.  ln 2 . B. 1  ln 80 . C. 1  ln 2  ln . D. 1  ln .
3 3 3 5 3 5

Giải

 1 x 1

 ln  C 1 khi x  ; 2

 3 x 2


1 dx dx 1 x 1
f '(x )   f (x )  x  
 ln  C 2 khi x  2;1
2
x x 2 2
x 2 (x  1)(x  2) 
 3 x 2


 1 x 1

 ln  C 3 khi x  1; 


 3 x 2
1 1 2 1
Ta có f (3)  f (3)  0  ln 4  C 1  ln  C 3  0  C 3  C 1  ln10 .
3 3 5 3
1 1 1 1 1 1
và f (0)   ln  C 2   C 2   ln 2
3 3 2 3 3 3

 1 x 1

 ln  C 1 khi x  ; 2

 3 x 2


1 x  1 1 1
 f (x )  
 ln   ln 2 khi x  2;1 .

 3 x 2 3 3


 1 x 1 1

 ln  C 1  ln10 khi x  1; 
3 x  2

 3
1 5  1 1 1  1 1 1 
Khi đó: f (4)  f (1)  f (4)   ln  C 1    ln 2   ln 2   ln  C 1  ln10
3 2   3 3 3   3 2 3 
1 1
  ln 2  đáp án A.
3 3

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 4-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

Câu 8. (Sở Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f (x ) xác định trên  \ 1;1) và thỏa mãn
 1   
f '(x ) 
1
; f (3)  f (3)  0 và f    f  1   2 . Tính giá trị biểu thức P  f (0)  f (4) .
x2 1  2  
 2 
3 3 1 3 1 3
A. P  2  ln . B. P  1  ln . C. P  1  ln . D. P  ln .
5 5 2 5 2 5

Giải

 1 x 1

 ln  C 1 khi x  ; 1  1; 
1 dx dx 2 x  1
f '(x )  2  f (x )   2  

x 1 x 1 (x  1)(x  1)  1 x 1

 ln  C 2 khi x  1;1

2 x  1


1 1 1
Ta có f (3)  f (3)  0  ln 2  C 1  ln  C 1  0  C 1  0 .
2 2 2
 1 1 1 1 1
và f    f    2  ln 3  C 2  ln  C 2  2  C 2  1 .
 2   2  2 2 3

 1 x 1

 ln khi x  ; 1  1; 

 2 x 1 1 3
Suy ra: f (x )    P  f (0)  f (4)  1  ln  đáp án C.
 1 x 1 2 5

 ln  1 khi x  1;1

 2 x 1


Chú ý: Ở bài toán này đúng ra, ứng với 3 khoảng ; 1 , 1; , 1;1 ta phải chia f (x ) thành 3
trường với 3 hàm khác nhau (sai khác nhau các hằng số C 1,C 2,C 3 ). Nhưng vì điều kiện
f (3)  f (3)  0 thể hiện tính “bình đẳng” giữa hai khoảng ; 1 , 1; nên ta có thể gộp hai
khoảng này thành 1 trường hợp. Vì vậy, ta chia thành 2 hàm tương ứng với các khoảng
; 1  1;  và 1;1 như trong lời giải của bài toán. Nếu bài toán này ta chỉ cần thay điều
kiện f (3)  f (3)  0 ta buộc ta phải chia f (x ) thành 3 trường với 3 hàm khác nhau ứng với từng
khoảng (giống như Câu 7).

Câu 9. (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f (x ) xác định trên  \ 1;1) và thỏa mãn
 1   
f '(x ) 
2
; f (2)  f (2)  0 và f    f  1   2 . Tính f (3)  f (0)  f (4) được kết quả
x2 1  2  
 2 
6 6 4 4
A. P  1  ln . B. P  1  ln . C. P  1  ln . D. P  1  ln .
5 5 5 5

Giải

 x 1

ln  C 1 khi x  ; 1  1; 
2 2dx 2dx 
 x 1
f '(x ) 
x2 1
 f (x )  x 2
1
 
(x  1)(x  1)  x 1
.

ln  C 2 khi x  1;1

 x 1

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 5-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

1
Ta có f (2)  f (2)  0  ln 3  C 1  ln  C1  0  C1  0 .
3
 1 1 1
và f    f    2  ln 3  C 2  ln  C 2  2  C 2  1 .
 2   2  3

 x 1

ln khi x  ; 1  1; 

 x 1
Suy ra: f (x )  
 x 1

ln  1 khi x  1;1

 x 1


3 6
 f (3)  f (0)  f (4)  ln 2  1  ln  1  ln  đáp án A.
5 5

Câu 10. (Chuyên Thái Bình – Lần 4 – 2018) Cho F (x ) là một nguyên hàm của hàm số
1  
 

y với x   \    k , k  
 . Biết F (0)  1 và F ()  0 . Tính giá trị của biểu
1  sin 2x 

 4 


  11 
thức P  F    F   .
 12   12 
A. P  2  3 . B. P  0 . C. Không tồn tại. D. P  1 .

Giải
1 1 1
Cách 1: Biến đổi y    . Khi đó:
1  sin 2x (sin x  cos x)2 
2  
2 sin x  
 4 


 1    5  

 tan x    C 1 khi x   ;    k 2
dx 2  4   4 4 
F (x )   
 (với k   ).
    1      3 
2
2 sin x     
tan x    C 2 khi x   ;   k 2
 4  
2

  4   4 4 
Ta có:

    
1




 1 

1
tan x     1 khi x   5 ;     k 2
  C  1 C   4 
F (0)  1  
  2 2

 2
 2  F (x ) 
2

 4  2  4
      1   3 
.
F ( )  0  1  1  1 

 
  C1  0 
C  
 tan x    khi x   ;   k 2

2
 
 1
 2 
 2  4  2  4 4 


  11   1  1 1 7 1 
Khi đó: P  F    F     tan     tan    1  đáp án D.
 12   12   2 6 2   2 6 2 

    0
dx

  0
F (0)  F    F (x )    (1)

 12  1  sin 2x
   
12 

Cách 2: Ta có 

 12
.

  11  

dx
F ()  F    F (x ) 11   (2)

  12  1  s in 2x


12 11

 12

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 6-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

  11  
dx
0
dx
Lấy (2)  (1) , ta được: F    F    F ()  F (0)   1  sin 2x  
 12   12  1  sin 2x
11 

12 12
Casio   11    11 
 F    F    1  0  F    F    1  đáp án D.
 12   12   12   12 

Câu 11. Cho hàm số y  f (x ) xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện
1
f (x )  0, x   ; f '(x )  e x .f 2 (x ) , x   và f (0)  . Tính giá trị của f (ln 2) .
2
2 2 2 1
A. f (ln 2)  . B. f (ln 2)   . C. f (ln 2)  . D. f (ln 2)  .
9 9 3 3

Giải
ln 2 ln 2
f '(x ) f '(x )
  e dx
x
Biến đổi: f '(x )  e .f (x )  2  e x 
2
dx  x

f (x ) 0
f 2 (x ) 0

ln 2 ln 2
df (x ) ln 2 1 1 1 1 1
  2
f (x )
 e x
0

f (x ) 0
 1  
f (ln 2) f (0)
1
f (ln 2)
 3  f (ln 2) 
3
0

 đáp án D.

Câu 12. Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị (C ) , xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các

điều kiện f (x )  0, x   ; f '(x )  x .f (x ) , x   và f (0)  2 . Phương trình tiếp tuyến tại


2

điểm có hoành độ x  1 của đồ thị (C ) là

A. y  6x  30 . B. y  6x  30 . C. y  36x  30 . D. y  36x  42 .


Giải
1 1
f '(x ) f '(x )
Biến đổi: f '(x )  x .f (x )  2
2
 x2    x dx
2
dx 
f (x ) 0
f 2 (x ) 0

1 1 1
df (x ) x 3 1 1 1 1 1 1 1
  f 2 (x )

3

f (x ) 0
 
3

f (1) f (0)
 
3
  f (1)  6 .
f (1) 6
0 0

Từ f '(x )  x .f (x )  f '(1)  1.f (1)  36 .


2 2

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần lập là: y  36(x  1)  6  y  36x  30  đáp án C.

Câu 13. Cho hàm số y  f (x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn 1;1 , thỏa mãn f (x )  0, x  
và f '(x )  2f (x )  0 . Biết f (1)  1 , tính f (1) .
A. f (1)  e2 . B. f (1)  e 3 . C. f (1)  e 4 . D. f (1)  3 .

Giải

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 7-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

Biến đổi:
1 1 1
f '(x ) f '(x ) df (x ) 1
f '(x )  2 f (x )  0 
f (x )
 2   f (x )
dx  2dx   f (x )   4  ln f (x )
1
 4
1 1 1

f (1) f (1)
 ln  4   e 4  f (1)  f (1).e 4  e 4  đáp án C.
f (1) f (1)

Câu 14. (Sở Yên Bái – 2018) Cho hàm số y  f (x ) thỏa mãn f '(x ).f (x )  x 4  x 2 . Biết f (0)  2 .
Tính f 2 (2) .
313 332 324 323
A. f 2 (2)  . B. f 2 (2)  . C. f 2 (2)  . D. f 2 (2)  .
15 15 15 15

Giải
2 2 2 2
136 f 2 (x ) 136
f '(x ).f (x )  x  x   f '(x ).f (x )dx   (x  x )dx 
4 2 4 2
f (x )df (x )   
0 0 0
15 2 0 15
2
f (2)  4 136 332
   f 2 (2)   đáp án B.
2 15 15

Câu 15. (Sở Nam Định – Lần 2 – 2018) Cho hàm số f (x ) có đạo hàm liên tục trên (0; ) , biết
1
f '(x )  (2x  4)f 2 (x )  0 và f (x )  0, x   ; f (2)  . Tính f (1)  f (2)  f (3) .
15
7 11 11 7
A. . B. . C. . D. .
15 15 30 30

Giải

f '(x ) f '(x )
Biến đổi: f '(x )  (2x  4)f 2 (x )  0  2
 2x  4   2 dx  2x  4dx
f (x ) f (x )
df (x ) 1 1
  2
f (x )
 x 2  4x  C  
f (x )
 x 2  4x  C  f (x )  2
x  4x  C
.

1 1 1 1
Với f (2)     C  3 , suy ra: f (x )  2 .
15 15 12  C x  4x  3
1 1 1 7
Khi đó: f (1)  f (2)  f (3)      đáp án D.
8 15 24 30

Câu 16. Cho hàm số f (x ) xác định và liên tục trên  . Biết f 6 (x ).f '(x )  12x  13 và f (0)  2 .
Khi đó phương trình f (x )  3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 . B. 3 . C. 7 . D. 1 .

Giải
Từ f (x ).f '(x )  12x  13   f (x ).f '(x )dx   (12x  13)dx
6 6

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 8-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

f 7 (x ) f (0)2 2
  f 6 (x )df (x )  6x 2  13x  C 
7
 6x 2  13x  C C  .
7
Suy ra: f 7 (x )  42x 2  91x  2 .
Từ f (x )  3  f 7 (x )  2187  42x 2  91x  2  2187  42x 2  91x  2185  0 (*) .
Phương trình (*) có 2 nghiệm (trái dấu) do ac  0  đáp án A.

1
Câu 17. Cho hàm số f (x )  0 thỏa mãn điều kiện f '(x )  (2x  3).f 2 (x ) và f (0)   . Biết rằng
2
a a
tổng f (1)  f (2)  ...  f (2017)  f (2018)  với a  ,b   * và là phân số tối giản. Mệnh
b b
đề nào sau đây đúng?
a a
A.  1 . B.  1. C. a  b  1010 . D. b  a  3029 .
b b

Giải
f '(x ) f '(x )
Biến đổi: f '(x )  (2x  3).f 2 (x ) 
f 2 (x )
 2x  3   f 2 (x )
dx   (2x  3)dx

f (0) 1
1 1 2 C  2
  x 2  3x  C  f (x )   2 
f (x ) x  3x  C
1 1
 f (x )    .
2
x  3x  2 (x  1)(x  2)
a
Khi đó:  f (1)  f (2)  ...  f (2017)  f (2018)
b
 1 1 1 1 
    ...  
 2.3 3.4 2018.2019 2019.2020 
1 1 1 1 1 1 1 1  1 1  1009
      ...           .
 2 3 3 4 2018 2019 2019 2020   2 2020  2020

a  1009
Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra: 
  b  a  3029  đáp án D.

b  2020

Câu 18. (Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017) Giả sử hàm số y  f (x ) liên tục, nhận giá trị dương trên
(0; ) và thỏa mãn f (1)  1 , f (x )  f '(x ) 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4  f (5)  5 . B. 2  f (5)  3 . C. 3  f (5)  4 . D. 1  f (5)  2 .

Giải
Cách 1: Với điều kiện của bài toán, ta có:
f '(x ) 1 f '(x ) dx
f (x )  f '(x ) 3x  1 
f (x )

3x  1
  f (x )
dx   3x  1

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 9-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

d  f (x ) 1 
1
2
2
3x 1 C
  f (x )

3   3x  1  
2 d 3x  1  ln f (x ) 
3
3x  1  C  f (x )  e 3 .

4 2 4 4
C 4 3x 1
Khi đó f (1)  1  e 3 1 C    f (x )  e 3 3
 f (5)  e 3  3, 79  3; 4  đáp án C.
3
dx
Chú ý: Các bạn có thể tính  3x  1
bằng cách đặt t  3x  1 .

f '(x ) 1
Cách 2: Với điều kiện của bài toán, ta có: f (x )  f '(x ) 3x  1  
f (x ) 3x  1
5 5 5
f '(x ) 1 df (x ) 4 5 4 f (5) 4
 dx       ln f (x )   ln 
1
f (x ) 1 3x  1 1
f (x ) 3 1 3 f (1) 3
4
 f (5)  f (1).e  3, 79  (3; 4)  đáp án C.
3

Câu 19. (Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần 4 – 2018) Cho hàm số f (x ) xác định, có đạo hàm,
2 3
liên tục và đồng biến trên 1; 4 thỏa mãn x  2xf (x )   f '(x ) , x  1; 4 , f (1)  . Giá trị f (4)
2
bằng:
391 361 381 371
A. . B. . C. . D. .
18 18 18 18

Giải

2
 f '(x ) f '(x )
   x 
'(x )  
2 2
Biến đổi: x  2xf (x )   f '(x )  x .(1  2 f (x ))  f  x
   1  2 f (x ) 1  2 f (x )
4 4
f '(x ) 4
14 14 391
 dx   xdx  1  2 f (x )   1  2 f (4)  2   f (4) 
1 1  2 f (x ) 1
1 3 3 18

 đáp án A.
4
f '(x ) 4
Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn I   dx  1  2 f (x )  1  2 f (4)  2 thì ta có
1 1  2 f (x ) 1

thể sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).
4 4 4 1
f '(x ) df (x ) 1  4
+) Vi phân:  dx    
2 1
1  2 f (x ) 2
d 1  2 f (x )  1  2 f (x ) .
1 1  2 f (x ) 1 1  2 f (x ) 1

+) Đổi biến: Đặt t  1  2f (x )  t 2  1  2 f (x )  tdt  f '(x )dx

với x  1  t  1  2f (1)  2 ; x  4  t  1  2f (4) .


12 f (4) 12 f (4)
tdt 12 f (4)
Khi đó I   t
  dt  t
2
 1  2 f (4)  2 .
2 2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 10-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

Câu 20. Cho f (x ) không âm thỏa mãn điều kiện f (x ).f '(x )  2x f 2 (x )  1 và f (0)  0 . Tổng giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f (x ) trên 1; 3 là
 
A 22 . B. 4 11  3 . C. 20  2 . D. 3 11  3 .

Giải
Biến đổi:
f (x ).f '(x ) f (x ).f '(x )
f (x ).f '(x )  2x f 2 (x )  1   2x   dx   2xdx  f 2 (x )  1  x 2  C
2 2
f (x )  1 f (x )  1
Với f (0)  0  1  C  f 2 (x )  1  x 2  1  f 2(x )  x 4  2x 2  g(x ) .
Ta có: g '(x )  4x 3  4x  0, x  1;3 . Suy ra g(x ) đồng biến trên đoạn 1;3  .

min f (x )  3
f (x )0 
 1;3
Suy ra g(1)  g(x )  f 2 (x )  g(3)  3  f 2 (x )  99  3  f (x )  3 11  
 .

max f (x )  3 11

  
 1;3
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f (x ) trên 1; 3 là: 3 11  3  đáp án D.
f (x ).f '(x )
Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn  dx  f 2 (x )  1  C thì ta có thể sử dụng kĩ thuật
2
f (x )  1
vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).
1
f (x ).f '(x ) f (x )df (x ) 1
   

+) Vi phân:  f 2 (x )  1
dx  
f 2 (x )  1

2  f 2 (x )  1 2 d f 2 (x )  1  f 2 (x )  1  C .

+) Đổi biến: Đặt t  f 2 (x )  1  t 2  f 2(x )  1  tdt  f (x ).f '(x )dx .


f (x ).f '(x ) tdt
Suy ra:  f 2 (x )  1
dx  
t
  dt  t  C  f 2 (x )  1  C

Câu 21. (Chuyên Tuyên Quang – Lần 2 – 2018) Cho hàm số f (x ) có đạo hàm và đồng biến trên
1

 thỏa mãn f (0)  1 và  f '(x )  e f (x ) , x   . Tính tích phân


2
 f (x )dx
x
bằng
0
2
A. e  2 . B. e  1 . C. e  2 . D. e 2  1 .

Giải

 f '(x )
2
f '(x ) f '(x )
Biến đổi:  f '(x )  e f (x ) 
2
x
 ex   ex   dx   e x dx
f (x ) f (x ) f (x )
1 x x x

f (0)1
  f (x ) df (x )   e dx  2 f (x )  2e  C C  0  f (x )  e  f (x )  e x .
2 2 2 2

1 1
1
Suy ra:  f (x )dx   e xdx  e x
0
 e  1  đáp án B.
0 0

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 11-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

Câu 22. (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2018) Cho hàm số y  f (x ) xác định và liên
tục trên  \ 0 thỏa mãn x 2 f 2 (x )  (2x  1)f (x )  xf '(x )  1 với x   \ 0 và f (1)  2 .
2

Tính  f (x )dx
1

1 3 ln 2 3 ln 2
A.   ln 2 . B.   ln 2 . C. 1  . D.   .
2 2 2 2 2

Giải

Biến đổi: x 2 f 2 (x )  2xf (x )  1  f (x )  xf '(x )  xf (x )  1  f (x )  xf '(x ) (*) .


2

Đặt h(x )  xf (x )  1  h '(x )  f (x )  x.f '(x ) , khi đó (*) có dạng:


h '(x ) h '(x) dh(x) 1
h 2 (x )  h '(x)  2
 1   2 dx   dx   h (x )  x  C   h(x )  x  C .
2
h (x ) h (x )
1 1 f (1)2 1
 h(x )    xf (x )  1    2  1   C  0.
x C x C 1 C
1 1 1
Khi đó xf (x )  1    f (x )   2  .
x x x
2
2 2
 1 1 1  1
Suy ra:  f (x )dx    2  dx    ln x     ln 2  đáp án A.
1 1
 x x   x  1 2

Câu 23. (Sở Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số f (x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4; 8 và
2
8  f '(x ) 1 1
 
f (0)  0 với x  4; 8 . Biết rằng  4
dx  1 và f (4)  , f (8)  . Tính f (6) .
 f (x ) 4 2
4
 
5 2 3 1
A. . B. . C. . D. .
8 3 8 3

Giải

8
8
f '(x )
8
df (x ) 1  1 1 
 f (8) f (4)  2  4  2 .

+) Xét  f 2 (x )
dx   f 2(x ) f (x )
    
4 4 4

2
8
 f '(x ) 

+) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để   f (x )
2
 k  dx 0 .

4

2
 f '(x )
8
 82
 f '(x ) 8 8

Ta có:   2  k  dx    dx  2k f '(x ) dx  k 2 dx  1  4k  4k 2  (2k  1)2 .


 f (x )   f (x )
4  f 2 (x ) 
4 4
  4 4

2
1
8
 f '(x ) 1  f '(x ) 1
6
f '(x ) 1
6

Suy ra k   thì
2  
 f 2 (x )  2  dx 0  f 2 (x )  2   2
f (x )
dx   dx
2 4
4 4

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 12-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN

6 6
df (x ) 1 1 1 1 1
  2
f (x )
dx  1  
f (x ) 4
1 
f (4) f (6)
1 4
f (6)
 1  f (6)   đáp án D.
3
4

b b

 f (x )dx  0 không được phép suy ra f (x )  0 , nhưng  f


2k
Chú ý: (x )dx  0  f (x )  0 .
a a

Giáo viên : Nguyễn Thanh Tùng


Nguồn : Hocmai.vn
Fb: facebook.com/ThayTungToan

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 13-

You might also like