Professional Documents
Culture Documents
ĐÁP ÁN
1A 2C 3C 4A 5A 6B 7A 8C 9A 10D 11D 12C
13C 14B 15D 16A 17D 18C 19A 20D 21B 22A 23D
7 5 3
A. . B. 1 . C. . D. .
2 2 2
Giải
2
1 2 1 2
x2 5 7
4x 1
1
đáp án A.
2
x 0 4
6x khi
Câu 2 . Cho hàm số y f (x )
a a 2x khi x 0
và I f (x )dx . Hỏi có tất cả bao nhiêu số
1
nguyên a để I 22 0 ?
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Giải
4
0 4 0 4
a 2x 2
Ta có: I f (x )dx f (x )dx 6x dx (a a x )dx 2x
2 2
ax 3
0
2 4a 8a 2 .
1 0 1 0
1 2
0
3 a
I 22 0 2 4a 8a 2 22 0 2a 2 a 6 0 a 2 a 1; 0;1;2 .
2
Vậy có 4 giá trị nguyên của a thỏa mãn đáp án C.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 1-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
1 2
Câu 3 (Đề Tham Khảo – 2018). Cho hàm số f (x ) xác định trên \ thỏa mãn f '(x ) ;
2 2x 1
f (0) 1 và f (1) 2 . Giá trị của biểu thức f (1) f (3) bằng
A. 4 ln15 . B. 2 ln15 . C. 3 ln15 . D. ln15 .
Giải
1
ln 2x 1 C 1 khi x ;
2 2dx 2
Cách 1: Từ f '(x ) f (x ) .
2x 1 2x 1 1
ln 2x 1 C 2 khi x ;
2
1
ln 2x 1 1 khi x ;
f (0) 1 0 C1 1 C 1 1
2
Ta có:
f (x ) .
f (1) 2 0 C 2 C 2 1
2 2
ln 2x 1 2 khi x ;
2
Khi đó: f (1) f (3) ln 3 1 ln 5 2 3 ln15 đáp án C.
0 0
2 1
0 0
f (0) f ( 1) f (x )
1
f '(x )dx 2x 1
dx ln 2x 1
1
ln (1)
3
Cách 2: Ta có 1 1 .
3
3 3
2 3
f (3) f (1) f (x ) f '(x )dx dx ln 2x 1 ln5 (2)
1
1 1
2x 1 1
Lấy (2) (1) , ta được: f (3) f (1) f (0) f (1) ln15 f (1) f (3) 3 ln15 đáp án C.
Câu 4. (Toán Học và Tuổi Trẻ - Số 6 – 2018) Cho hàm số f (x ) xác định trên \ 1 thỏa mãn
1
f '(x ) , f (0) 2017 , f (2) 2018 . Tính S f (3) f (1)
x 1
A. S 1 . B. S ln 2 . C. S ln 4035 . D. S 4 .
Giải
Lấy (2) (1) , ta được: f (3) f (1) f (0) f (2) 0 S f (3) f (1) f (2) f (0) 1
đáp án A.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 2-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
1
Câu 5. (Lục Ngạn – Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f (x ) xác định trên \ thỏa mãn
3
3 2
f '(x ) , f (0) 1 và f 2 . Giá trị của biểu thức f (1) f (3) bằng
3x 1 3
A. 3 5 ln 2 . B. 2 5 ln2 . C. 4 5 ln 2 . D. 2 5 ln 2 .
Giải
1
ln 3x 1 C 1 khi x ;
3 3dx 3
Cách 1: Từ f '(x ) f (x ) .
3x 1 3x 1 1
ln 3x 1 C 2 khi x ;
3
1
f (0) 1
ln 3x 1 1 khi x ;
0 C 1 1
C 1 1 f (x ) 3
Ta có:
2 .
f 2 0 C2 2 C2 2 1
ln 3x 1 2 khi x ;
3
3
Khi đó: f (1) f (3) ln 4 1 ln 8 2 3 ln 32 3 5 ln 2 đáp án A.
0 0
3 1
0 0
f (0) f ( 1) f (x )
1
f '(x )dx 3x 1
dx ln 3x 1
1
ln (1)
4
Cách 2: Ta có
1 1
2 3 3
3
.
3
f (3) f f (x ) 2 f '(x )dx
3
dx ln 3x 1 2 ln8 (2)
3 3x 1
3 2 2 3
3 3
3
Lấy (2) (1) , ta được: f (3) f (1) f (0) f ln 32 f (1) f (3) 3 5 ln 2 đáp án A.
2
4
Câu 6. Cho hàm số f (x ) xác định trên \ 2;2) và thỏa mãn f '(x ) 2
; f (3) 0 ;
x 4
f (0) 1 và f (3) 2 . Tính giá trị biểu thức P f (4) f (1) f (4) .
3 5 5
A. P 3 ln . B. P 3 ln 3 . C. P 2 ln . D. P 2 ln .
25 3 3
Giải
x 2
ln C 1 khi x ; 2
x 2
4 4dx 4dx x 2
Từ f '(x ) f (x ) x
ln C 2 khi x 2;2 .
2
x 4 2
4 (x 2)(x 2)
x 2
x 2
ln C 3 khi x 2;
x 2
Ta có:
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 3-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
x 2
ln ln 5 khi x ; 2
f (3) 0 ln 5 C 0
C ln 5
x 2
1
f (0) 1
0 C 1
1
C 1
ln x 2
2 f (x ) 1 khi x 2;2 .
2
x 2
f (3) 2
1
C 2 ln 5
ln C 3 2 3 x 2
5
ln
2 ln 5 khi x 2;
x 2
1
Khi đó: P f (4) f (1) f (4) ln 3 ln 5 ln 3 1 ln 2 ln 5 3 ln 3 đáp án B.
3
Câu 7. (Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần 3 , Chuyên Thái Bình – Lần 6 – 2018).
1
Cho hàm số f (x ) xác định trên \ 2;1 thỏa mãn f '(x ) 2
, f (3) f (3) 0 và
x x 2
1
f (0) . Giá trị của biểu thức f (4) f (1) f (4) bằng
3
1 1 1 4 1 8
A. ln 2 . B. 1 ln 80 . C. 1 ln 2 ln . D. 1 ln .
3 3 3 5 3 5
Giải
1 x 1
ln C 1 khi x ; 2
3 x 2
1 dx dx 1 x 1
f '(x ) f (x ) x
ln C 2 khi x 2;1
2
x x 2 2
x 2 (x 1)(x 2)
3 x 2
1 x 1
ln C 3 khi x 1;
3 x 2
1 1 2 1
Ta có f (3) f (3) 0 ln 4 C 1 ln C 3 0 C 3 C 1 ln10 .
3 3 5 3
1 1 1 1 1 1
và f (0) ln C 2 C 2 ln 2
3 3 2 3 3 3
1 x 1
ln C 1 khi x ; 2
3 x 2
1 x 1 1 1
f (x )
ln ln 2 khi x 2;1 .
3 x 2 3 3
1 x 1 1
ln C 1 ln10 khi x 1;
3 x 2
3
1 5 1 1 1 1 1 1
Khi đó: f (4) f (1) f (4) ln C 1 ln 2 ln 2 ln C 1 ln10
3 2 3 3 3 3 2 3
1 1
ln 2 đáp án A.
3 3
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 4-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
Câu 8. (Sở Bắc Giang – 2018) Cho hàm số f (x ) xác định trên \ 1;1) và thỏa mãn
1
f '(x )
1
; f (3) f (3) 0 và f f 1 2 . Tính giá trị biểu thức P f (0) f (4) .
x2 1 2
2
3 3 1 3 1 3
A. P 2 ln . B. P 1 ln . C. P 1 ln . D. P ln .
5 5 2 5 2 5
Giải
1 x 1
ln C 1 khi x ; 1 1;
1 dx dx 2 x 1
f '(x ) 2 f (x ) 2
x 1 x 1 (x 1)(x 1) 1 x 1
ln C 2 khi x 1;1
2 x 1
1 1 1
Ta có f (3) f (3) 0 ln 2 C 1 ln C 1 0 C 1 0 .
2 2 2
1 1 1 1 1
và f f 2 ln 3 C 2 ln C 2 2 C 2 1 .
2 2 2 2 3
1 x 1
ln khi x ; 1 1;
2 x 1 1 3
Suy ra: f (x ) P f (0) f (4) 1 ln đáp án C.
1 x 1 2 5
ln 1 khi x 1;1
2 x 1
Chú ý: Ở bài toán này đúng ra, ứng với 3 khoảng ; 1 , 1; , 1;1 ta phải chia f (x ) thành 3
trường với 3 hàm khác nhau (sai khác nhau các hằng số C 1,C 2,C 3 ). Nhưng vì điều kiện
f (3) f (3) 0 thể hiện tính “bình đẳng” giữa hai khoảng ; 1 , 1; nên ta có thể gộp hai
khoảng này thành 1 trường hợp. Vì vậy, ta chia thành 2 hàm tương ứng với các khoảng
; 1 1; và 1;1 như trong lời giải của bài toán. Nếu bài toán này ta chỉ cần thay điều
kiện f (3) f (3) 0 ta buộc ta phải chia f (x ) thành 3 trường với 3 hàm khác nhau ứng với từng
khoảng (giống như Câu 7).
Câu 9. (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f (x ) xác định trên \ 1;1) và thỏa mãn
1
f '(x )
2
; f (2) f (2) 0 và f f 1 2 . Tính f (3) f (0) f (4) được kết quả
x2 1 2
2
6 6 4 4
A. P 1 ln . B. P 1 ln . C. P 1 ln . D. P 1 ln .
5 5 5 5
Giải
x 1
ln C 1 khi x ; 1 1;
2 2dx 2dx
x 1
f '(x )
x2 1
f (x ) x 2
1
(x 1)(x 1) x 1
.
ln C 2 khi x 1;1
x 1
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 5-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
1
Ta có f (2) f (2) 0 ln 3 C 1 ln C1 0 C1 0 .
3
1 1 1
và f f 2 ln 3 C 2 ln C 2 2 C 2 1 .
2 2 3
x 1
ln khi x ; 1 1;
x 1
Suy ra: f (x )
x 1
ln 1 khi x 1;1
x 1
3 6
f (3) f (0) f (4) ln 2 1 ln 1 ln đáp án A.
5 5
Câu 10. (Chuyên Thái Bình – Lần 4 – 2018) Cho F (x ) là một nguyên hàm của hàm số
1
y với x \ k , k
. Biết F (0) 1 và F () 0 . Tính giá trị của biểu
1 sin 2x
4
11
thức P F F .
12 12
A. P 2 3 . B. P 0 . C. Không tồn tại. D. P 1 .
Giải
1 1 1
Cách 1: Biến đổi y . Khi đó:
1 sin 2x (sin x cos x)2
2
2 sin x
4
1 5
tan x C 1 khi x ; k 2
dx 2 4 4 4
F (x )
(với k ).
1 3
2
2 sin x
tan x C 2 khi x ; k 2
4
2
4 4 4
Ta có:
1
1
1
tan x 1 khi x 5 ; k 2
C 1 C 4
F (0) 1
2 2
2
2 F (x )
2
4 2 4
1 3
.
F ( ) 0 1 1 1
C1 0
C
tan x khi x ; k 2
2
1
2
2 4 2 4 4
11 1 1 1 7 1
Khi đó: P F F tan tan 1 đáp án D.
12 12 2 6 2 2 6 2
0
dx
0
F (0) F F (x ) (1)
12 1 sin 2x
12
Cách 2: Ta có
12
.
11
dx
F () F F (x ) 11 (2)
12 1 s in 2x
12 11
12
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 6-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
11
dx
0
dx
Lấy (2) (1) , ta được: F F F () F (0) 1 sin 2x
12 12 1 sin 2x
11
12 12
Casio 11 11
F F 1 0 F F 1 đáp án D.
12 12 12 12
Câu 11. Cho hàm số y f (x ) xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các điều kiện
1
f (x ) 0, x ; f '(x ) e x .f 2 (x ) , x và f (0) . Tính giá trị của f (ln 2) .
2
2 2 2 1
A. f (ln 2) . B. f (ln 2) . C. f (ln 2) . D. f (ln 2) .
9 9 3 3
Giải
ln 2 ln 2
f '(x ) f '(x )
e dx
x
Biến đổi: f '(x ) e .f (x ) 2 e x
2
dx x
f (x ) 0
f 2 (x ) 0
ln 2 ln 2
df (x ) ln 2 1 1 1 1 1
2
f (x )
e x
0
f (x ) 0
1
f (ln 2) f (0)
1
f (ln 2)
3 f (ln 2)
3
0
đáp án D.
Câu 12. Cho hàm số y f (x ) có đồ thị (C ) , xác định và liên tục trên thỏa mãn đồng thời các
1 1 1
df (x ) x 3 1 1 1 1 1 1 1
f 2 (x )
3
f (x ) 0
3
f (1) f (0)
3
f (1) 6 .
f (1) 6
0 0
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần lập là: y 36(x 1) 6 y 36x 30 đáp án C.
Câu 13. Cho hàm số y f (x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn 1;1 , thỏa mãn f (x ) 0, x
và f '(x ) 2f (x ) 0 . Biết f (1) 1 , tính f (1) .
A. f (1) e2 . B. f (1) e 3 . C. f (1) e 4 . D. f (1) 3 .
Giải
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 7-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
Biến đổi:
1 1 1
f '(x ) f '(x ) df (x ) 1
f '(x ) 2 f (x ) 0
f (x )
2 f (x )
dx 2dx f (x ) 4 ln f (x )
1
4
1 1 1
f (1) f (1)
ln 4 e 4 f (1) f (1).e 4 e 4 đáp án C.
f (1) f (1)
Câu 14. (Sở Yên Bái – 2018) Cho hàm số y f (x ) thỏa mãn f '(x ).f (x ) x 4 x 2 . Biết f (0) 2 .
Tính f 2 (2) .
313 332 324 323
A. f 2 (2) . B. f 2 (2) . C. f 2 (2) . D. f 2 (2) .
15 15 15 15
Giải
2 2 2 2
136 f 2 (x ) 136
f '(x ).f (x ) x x f '(x ).f (x )dx (x x )dx
4 2 4 2
f (x )df (x )
0 0 0
15 2 0 15
2
f (2) 4 136 332
f 2 (2) đáp án B.
2 15 15
Câu 15. (Sở Nam Định – Lần 2 – 2018) Cho hàm số f (x ) có đạo hàm liên tục trên (0; ) , biết
1
f '(x ) (2x 4)f 2 (x ) 0 và f (x ) 0, x ; f (2) . Tính f (1) f (2) f (3) .
15
7 11 11 7
A. . B. . C. . D. .
15 15 30 30
Giải
f '(x ) f '(x )
Biến đổi: f '(x ) (2x 4)f 2 (x ) 0 2
2x 4 2 dx 2x 4dx
f (x ) f (x )
df (x ) 1 1
2
f (x )
x 2 4x C
f (x )
x 2 4x C f (x ) 2
x 4x C
.
1 1 1 1
Với f (2) C 3 , suy ra: f (x ) 2 .
15 15 12 C x 4x 3
1 1 1 7
Khi đó: f (1) f (2) f (3) đáp án D.
8 15 24 30
Câu 16. Cho hàm số f (x ) xác định và liên tục trên . Biết f 6 (x ).f '(x ) 12x 13 và f (0) 2 .
Khi đó phương trình f (x ) 3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2 . B. 3 . C. 7 . D. 1 .
Giải
Từ f (x ).f '(x ) 12x 13 f (x ).f '(x )dx (12x 13)dx
6 6
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 8-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
f 7 (x ) f (0)2 2
f 6 (x )df (x ) 6x 2 13x C
7
6x 2 13x C C .
7
Suy ra: f 7 (x ) 42x 2 91x 2 .
Từ f (x ) 3 f 7 (x ) 2187 42x 2 91x 2 2187 42x 2 91x 2185 0 (*) .
Phương trình (*) có 2 nghiệm (trái dấu) do ac 0 đáp án A.
1
Câu 17. Cho hàm số f (x ) 0 thỏa mãn điều kiện f '(x ) (2x 3).f 2 (x ) và f (0) . Biết rằng
2
a a
tổng f (1) f (2) ... f (2017) f (2018) với a ,b * và là phân số tối giản. Mệnh
b b
đề nào sau đây đúng?
a a
A. 1 . B. 1. C. a b 1010 . D. b a 3029 .
b b
Giải
f '(x ) f '(x )
Biến đổi: f '(x ) (2x 3).f 2 (x )
f 2 (x )
2x 3 f 2 (x )
dx (2x 3)dx
f (0) 1
1 1 2 C 2
x 2 3x C f (x ) 2
f (x ) x 3x C
1 1
f (x ) .
2
x 3x 2 (x 1)(x 2)
a
Khi đó: f (1) f (2) ... f (2017) f (2018)
b
1 1 1 1
...
2.3 3.4 2018.2019 2019.2020
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1009
... .
2 3 3 4 2018 2019 2019 2020 2 2020 2020
a 1009
Với điều kiện a, b thỏa mãn bài toán, suy ra:
b a 3029 đáp án D.
b 2020
Câu 18. (Chuyên Vinh – Lần 4 – 2017) Giả sử hàm số y f (x ) liên tục, nhận giá trị dương trên
(0; ) và thỏa mãn f (1) 1 , f (x ) f '(x ) 3x 1 , với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4 f (5) 5 . B. 2 f (5) 3 . C. 3 f (5) 4 . D. 1 f (5) 2 .
Giải
Cách 1: Với điều kiện của bài toán, ta có:
f '(x ) 1 f '(x ) dx
f (x ) f '(x ) 3x 1
f (x )
3x 1
f (x )
dx 3x 1
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 9-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
d f (x ) 1
1
2
2
3x 1 C
f (x )
3 3x 1
2 d 3x 1 ln f (x )
3
3x 1 C f (x ) e 3 .
4 2 4 4
C 4 3x 1
Khi đó f (1) 1 e 3 1 C f (x ) e 3 3
f (5) e 3 3, 79 3; 4 đáp án C.
3
dx
Chú ý: Các bạn có thể tính 3x 1
bằng cách đặt t 3x 1 .
f '(x ) 1
Cách 2: Với điều kiện của bài toán, ta có: f (x ) f '(x ) 3x 1
f (x ) 3x 1
5 5 5
f '(x ) 1 df (x ) 4 5 4 f (5) 4
dx ln f (x ) ln
1
f (x ) 1 3x 1 1
f (x ) 3 1 3 f (1) 3
4
f (5) f (1).e 3, 79 (3; 4) đáp án C.
3
Câu 19. (Quảng Xương I – Thanh Hóa – Lần 4 – 2018) Cho hàm số f (x ) xác định, có đạo hàm,
2 3
liên tục và đồng biến trên 1; 4 thỏa mãn x 2xf (x ) f '(x ) , x 1; 4 , f (1) . Giá trị f (4)
2
bằng:
391 361 381 371
A. . B. . C. . D. .
18 18 18 18
Giải
2
f '(x ) f '(x )
x
'(x )
2 2
Biến đổi: x 2xf (x ) f '(x ) x .(1 2 f (x )) f x
1 2 f (x ) 1 2 f (x )
4 4
f '(x ) 4
14 14 391
dx xdx 1 2 f (x ) 1 2 f (4) 2 f (4)
1 1 2 f (x ) 1
1 3 3 18
đáp án A.
4
f '(x ) 4
Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn I dx 1 2 f (x ) 1 2 f (4) 2 thì ta có
1 1 2 f (x ) 1
thể sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).
4 4 4 1
f '(x ) df (x ) 1 4
+) Vi phân: dx
2 1
1 2 f (x ) 2
d 1 2 f (x ) 1 2 f (x ) .
1 1 2 f (x ) 1 1 2 f (x ) 1
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 10-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
Câu 20. Cho f (x ) không âm thỏa mãn điều kiện f (x ).f '(x ) 2x f 2 (x ) 1 và f (0) 0 . Tổng giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y f (x ) trên 1; 3 là
A 22 . B. 4 11 3 . C. 20 2 . D. 3 11 3 .
Giải
Biến đổi:
f (x ).f '(x ) f (x ).f '(x )
f (x ).f '(x ) 2x f 2 (x ) 1 2x dx 2xdx f 2 (x ) 1 x 2 C
2 2
f (x ) 1 f (x ) 1
Với f (0) 0 1 C f 2 (x ) 1 x 2 1 f 2(x ) x 4 2x 2 g(x ) .
Ta có: g '(x ) 4x 3 4x 0, x 1;3 . Suy ra g(x ) đồng biến trên đoạn 1;3 .
min f (x ) 3
f (x )0
1;3
Suy ra g(1) g(x ) f 2 (x ) g(3) 3 f 2 (x ) 99 3 f (x ) 3 11
.
max f (x ) 3 11
1;3
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f (x ) trên 1; 3 là: 3 11 3 đáp án D.
f (x ).f '(x )
Chú ý: Nếu không nhìn được ra luôn dx f 2 (x ) 1 C thì ta có thể sử dụng kĩ thuật
2
f (x ) 1
vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một).
1
f (x ).f '(x ) f (x )df (x ) 1
+) Vi phân: f 2 (x ) 1
dx
f 2 (x ) 1
2 f 2 (x ) 1 2 d f 2 (x ) 1 f 2 (x ) 1 C .
Câu 21. (Chuyên Tuyên Quang – Lần 2 – 2018) Cho hàm số f (x ) có đạo hàm và đồng biến trên
1
Giải
f '(x )
2
f '(x ) f '(x )
Biến đổi: f '(x ) e f (x )
2
x
ex ex dx e x dx
f (x ) f (x ) f (x )
1 x x x
f (0)1
f (x ) df (x ) e dx 2 f (x ) 2e C C 0 f (x ) e f (x ) e x .
2 2 2 2
1 1
1
Suy ra: f (x )dx e xdx e x
0
e 1 đáp án B.
0 0
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 11-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
Câu 22. (Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 3 – 2018) Cho hàm số y f (x ) xác định và liên
tục trên \ 0 thỏa mãn x 2 f 2 (x ) (2x 1)f (x ) xf '(x ) 1 với x \ 0 và f (1) 2 .
2
Tính f (x )dx
1
1 3 ln 2 3 ln 2
A. ln 2 . B. ln 2 . C. 1 . D. .
2 2 2 2 2
Giải
Câu 23. (Sở Đà Nẵng – 2018) Cho hàm số f (x ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn 4; 8 và
2
8 f '(x ) 1 1
f (0) 0 với x 4; 8 . Biết rằng 4
dx 1 và f (4) , f (8) . Tính f (6) .
f (x ) 4 2
4
5 2 3 1
A. . B. . C. . D. .
8 3 8 3
Giải
8
8
f '(x )
8
df (x ) 1 1 1
f (8) f (4) 2 4 2 .
+) Xét f 2 (x )
dx f 2(x ) f (x )
4 4 4
2
8
f '(x )
+) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để f (x )
2
k dx 0 .
4
2
f '(x )
8
82
f '(x ) 8 8
2
1
8
f '(x ) 1 f '(x ) 1
6
f '(x ) 1
6
Suy ra k thì
2
f 2 (x ) 2 dx 0 f 2 (x ) 2 2
f (x )
dx dx
2 4
4 4
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 12-
Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen M – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng) CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
6 6
df (x ) 1 1 1 1 1
2
f (x )
dx 1
f (x ) 4
1
f (4) f (6)
1 4
f (6)
1 f (6) đáp án D.
3
4
b b
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 13-