Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt Chỉ cần qua câu nói "Algorithms+Data Structures = Program" c a Niklaus Wirth ta đã có thể thấy được tầm quan trọng c a các loại cấu trúc dữ liệu [data structures] trong giải các bài toán tin. ng dụng 1 cách thuần thục hiệu quả các loại cấu trúc sẽ đem đến những thuận lợi vô cùng lớn cho các lập trình viên. Ngoài những cấu trúc dữ liệu chuẩn, quen thuộc như array, record, queue,... còn có 1 số cấu trúc dữ liệu khác có hiệu quả đặc biệt trong 1 số dạng bài tập. Mặc dù vậy, tài liệu tiếng việt về những cấu trúc này lại khá ít, đặc biệt là Interval Tree, Binary Indexed Tree và Range minimum Query. Trong chuyên đề này sẽ đề cập tới 1 số loại cấu trúc thường xuyên được sử dụng: Interval tree, Binary Indexed Tree, Heap. I. Interval Tree. Interval Tree là 1 cấu trúc vô cùng hữu dụng, được sử dụng rất nhiều trong các bài toán về dãy số. Ngoài ra Interval Tree còn được sử dụng trong 1 số bài toán hình học. Có thể nói nếu nắm rõ Interval Tree bạn đã làm được 1 nửa số bài toán về dãy số rồi đấy!. Xin nói thêm thực ra Interval Tree tên gọi chính xác là Segment Tree nhưng cái tên Interval Tree được sử dụng nhiều hơn ở Việt Nam. Nếu tìm trong “Introduction to Algorithms 2nd Edition” thì bạn sẽ thấy 1 cấu trúc mang tên Interval tree nhưng với nội dung khác so với những gì sẽ được trình bày ở dưới đây. Ta sẽ xem xét 1 bài toán đơn giản sau để hiểu thế nào là cây Interval Tree: Bài toán: Cho 1 dãy số gồm N phần tử (N<=10000) ban đầu đều mang giá trị 0. Có 2 loại thao tác cơ bản: 1. INC i gtr: tăng giá trị phần tử th i lên gtr đơn vị. 2. GET L R: tìm và trả về tổng giá trị c a các phần tử từ L tới R. Trong file input có M<=100000 thao tác. Yêu cầu tương ng với mỗi thao tác GET đưa ra kết quả tương ng trong file output. Dữ liệu đảm bảo các kết quả trong phạm vi longint. Thuật toán đơn giản nhất cho bài toán này là làm thô thiển: với mỗi thao tác INC ta tăng giá trị c a A[i] và với mỗi thao tác GET tính lại tổng các số trong đoạn từ L tới R. Độ ph c tạp thuật toán là O(M*N) không thể chạy được với những test lớn. Vậy làm cách nào để cải tiến thuật toán? Ta có thể dùng Interval Tree để làm giảm độ ph c tạp c a phép lấy tổng. Nếu làm như trên, mỗi thao tác GET sẽ thực hiện trong O(N), nếu dùng Interval Tree thì độ ph c tạp chỉ còn là O(logN), bằng cách tính trước 1 số đoạn nhỏ trong đoạn [L,R] cần tính và khi tính tổng đoạn [L,R] chỉ cần tính tổng các đoạn nhỏ nằm trong nó. Cấu trúc cây Interval được sử dụng có thể mô tả như sau: - Gốc c a cây là nút lưu tổng (t c là quản lý) các đoạn trong khoảng từ 1..N - Xét 1 nút bất kì lưu tổng đoạn từ L..R + Nếu L=R nút này không có con + Nếu L<>R, nút này có 2 con: con trái lưu tổng đoạn từ L tới Mid và con phải lưu tổng đoạn từ Mid+1 tới R, trong đó Mid=(L+R) div 2. VD: nếu 1 cây interval tree c a 1 dãy có N=7 phần tử thì đồ thị miêu tả cây này sẽ có dạng: (số ghi tại mỗi nút là đoạn phần tử nó quản lý). 1 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt Khi đó thao tác GET đoạn U,V có thể viết đơn giản như sau: GET(U,V,L,R) {lấy tổng đoạn U..V, đang xét đoạn L..R} 1. if (VR) --> exit {ngoài đoạn U..V} 2. if (U>L) and (V>R) ---> result+=A[L..R]; exit {thuộc hoàn toàn trong đoạn U..V} 3. result+=GET(U,V,L,mid)+GET(U,V,mid+1..R); {đoạn đang xét giao với đoạn cần lấy tổng} Và gọi GET(U,V,1,n) với result khởi tạo bằng 0. Dễ thấy số lần thực hiện đệ quy nhỏ hơn O(2*logN) vì th tục GET này chỉ được gọi tiếp khi đoạn L..R giao và không thuộc đoạn U..V. Như vậy thao tác GET thay vì thực hiện trong O(N) nay đã có thể thực hiện trong O(logN). Còn thao tác INC thì sao? Rõ ràng thao tác INC không chỉ đơn giản là cập nhật lại phần tử th I như trước mà ta còn phải điều chỉnh cả cây Interval Tree sao cho đúng với mô tả. Để update lại cây Interval Tree với mỗi thao tác tăng giá trị phần tử th I ta phải tăng mỗi nút c a cây mà quản lý I lên 1 giá trị gtr. Hàm INC được viết lại: INC(i,gtr,L,R){xét nút L..R, cần tăng I lên gtr đơn vị} 1. if (L>i) or (R exit {khoảng đang xét không ch a i} 2. A[L..R]+=gtr{nút này có ch a I} 3. INC(i,gtr,L,mid) 4. INC(i,gtr,mid+1,R) Độ ph c tạp c a thao tác INC cũng không vượt quá O(2*logN) vì độ cao c a cây interval luôn nhỏ hơn logN. Như vậy độ ph c tạp c a thao tác INC mặc dù tăng từ O(1) lên O(logN) nhưng độ ph c tạp chung c a bài toán chỉ còn lại là O(MlogN) nhanh hơn hẳn so với thuật toán thô sơ ban đầu. (Lưu ý: đây chỉ là bài ví dụ, trên thực tế có những cách nhanh hơn để xử lý bài toán này mà không dùng tới interval tree). Qua ví dụ trên ta cũng có thể hiểu qua phần nào về cấu trúc và ý nghĩa sử dụng c a Interval tree: Gốc là nút lưu toàn bộ thông tin (mà trong ví dụ là tổng) từ 1 tới N, từ gốc thông tin 1 nút được chia nhỏ ra quản lý ở 2 nút con trái và phải cho tới khi mỗi nút chỉ lưu thông tin c a 1 phần tử. Lợi ích trong phương pháp sử dụng interval tree là với 1 số đoạn con ta có thể lấy trực tiếp được thông tin trong đoạn con đó mà không phải đi lấy thông tin trong từng phần tử nhỏ trong đoạn, việc này giúp giảm độ ph c tạp trong các thao tác từ O(N) xuống O(logN). 2 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt Tư tưởng c a Interval tree là dùng “chia để trị”: “chia” đoạn lớn thành các đoạn nhỏ hơn để có thể “trị” nhanh chóng. 1 câu hỏi khác được đặt ra là lưu trữ interval tree trong thực tế như thế nào, vì ta không thể hầu như không thể bỏ ra N^2 đoạn để lưu các đoạn từ L..R được, quá tốn bộ nhớ với N lớn. Câu trả lời là ta sẽ dùng 1 mảng 1 chiều để lưu trữ interval tree: Data for Interval Tree 1. Root lưu đoạn 1..N, được lưu trữ ở A[1]. 2. Nếu Node I lưu đoạn [L..R] và L 3. Thì Node 2*I lưu đoạn [L..mid] và Node 2*I+1 lưu đoạn [mid+1..R]. Độ cao c a interval tree luôn nhỏ hơn hoặc bằng logN. Như vậy bộ nhớ dùng cho interval tree là O(2^(logN+1). Trong thực tế có thể khai báo mảng O(N*3) hoặc O(N*4) là đ . (Tất nhiên cũng có thể dùng Linklist – danh sách động để lưu interval tree nhưng cách này tốn bộ nhớ hơn và không tiện bằng, không hay được dùng). Nhược điểm c a cách lưu này là ta không thể biết được đoạn [L..R] có được lưu trọn trong 1 nút không và nếu có thì nút đó là nút nào mà buộc phải lặp lại 1 quá trình với độ ph c tạp O(logN) từ gốc tới đoạn [L..R]. Các thông tin được lưu trong 1 node c a interval tree là thông tin tổng hợp c a đoạn mà nó quản lý, bởi vậy thông tin này phải là dạng tích luỹ được, ví dụ như tổng, hiệu, min hoặc max,... Từ sau đây ta gọi chung các thao tác sửa cây Interval là các thao tác UPDATE, các thao tác lấy thông tin từ cây là thao tác GET. ng dụng c a cây Interval tree đa dạng, phong phú vô cùng. Sau đây ta sẽ tìm hiểu một số ng dụng cơ bản và hay gặp nhất. Mỗi ví dụ sẽ mô tả 1 cách sử dụng interval tree tương đối khác nhau và thường gặp trong giải toán. Ví dụ 1. Các bài toán cơ bản ng dụng Interval Tree: a. Cho dãy số, có 1 số yêu cầu thuộc 2 loại thay đổi (tăng/gán lại) giá trị 1 phần tử hoặc tìm min, max các đoạn liên tiếp c a dãy số: mỗi nút interval tree sẽ lưu giá trị min/max các phần tử nó quản lý. b. Cho dãy số, có 1 số yêu cầu gán thuộc 2 loại lại giá trị c a 1 phần tử hoặc tìm tổng 1 số phần tử liên tiếp c a dãy. Bài toán tương tự như ví dụ. Ví dụ 2: POSTERS – AMPPZ 2001. Tóm tắt đề bài: Có N tấm poster chiều cao 1. Theo th tự các tấm poster được dán lên 1 đoạn tường cũng có chiều cao 1. Đoạn tường được xây bởi các viên gạch 1*1, đánh số từ trái sang phải bắt đầu từ 1. Các tấm poster sẽ ph 1 đoạn liên tiếp từ viên gạch Li tới viên gạch Ri, tấm poster được dán sau sẽ ph lên tấm poster được dán trước. Vì vậy, sau khi dán xong cả N tấm poster thì có thể có những tấm poster không thể được nhìn thấy. Yêu cầu: Đếm số loại poster khác nhau có thể nhìn thấy được từ ngoài vào. Input: Dòng đầu ghi N là số tấm poster. Trong N dòng tiếp theo mỗi dòng ch a 2 số Li và Ri thể hiện đầu trái và đầu phải c a tấm poster th i. Output: Duy nhất 1 dòng ghi số loại poster có thể nhìn thấy được. Giới hạn: N<=40000. Li,Ri<=10^9. Hướng dẫn: Bài toán có thể phát biểu 1 cách dễ hiểu như sau: Cho dãy số M phần tử, có 1 số thao tác tô màu các phần tử c a dãy số. Sau khi kết thúc chuỗi thao tác đếm số màu khác nhau c a dãy số trên. Với M nhỏ, ta 3 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt chỉ cần lưu lại được màu c a các phần tử sau đó xem có bao nhiêu màu khác nhau là được. Nhưng nếu xét trong bài toán POSTERS này, thì M c a chúng ta sẽ có thể lên tới giá trị 10^9. Do đó, ta phải làm nhỏ lại giá trị này. Bằng cách nào? Nhận xét với 2 ô mà giữa chúng không có đầu mút c a tấm poster nào thì chắc chắn màu sắc c a chúng giống nhau. Từ đó ta thực hiện trộn tất cả các đầu mút c a các đoạn, sắp xếp tăng dần chúng. Thay vì phải xét tất cả các ô (có thể lên tới 10^9 ô) ta chỉ cần xét các ô là đầu mút c a các đoạn, số lượng này chỉ khoảng 80000 số, hoàn toàn có thể lưu trữ được. Phương pháp ta vừa áp dụng còn được gọi là phương pháp “Rời rạc hoá”, ng dụng hiệu quả nhiều trong các bài toán khác nhau, nhất là khi sử dụng các cấu trúc dữ liệu đặc biệt. Ý nghĩa ch yếu là với 1 đoạn lớn các phần tử giống hệt nhau, không cần xét mọi phần tử mà chỉ xét 1 phần tử đại diện. Sau đây các bạn sẽ còn gặp nhiều bài toán sử dụng phương pháp này. Trở lại với bài toán c a chúng ta, bây giờ phải sửa đổi màu các phần tử trong 1 đoạn liên tiếp. Với giới hạn M còn 80000 ta vẫn không thể làm thô được, mà sẽ dùng interval tree. Vì cuối cùng cần màu c a mỗi phần tử nên cây interval được xây dựng phải bảo đảm điều kiện lấy được màu c a các phần tử. Có 2 hướng lưu trữ cây interval như sau: 1/ Tại mỗi nút lưu màu chung c a các phần tử nó quản lý, khởi tạo là màu 0. Chính xác hơn là mỗi nút lưu màu cuối cùng mà nó được sửa, kèm theo thời gian nó được sửa thành màu đó. Quá trình sửa màu vẫn diễn ra bình thường nhưng kết hợp thêm cập nhật thời gian. Màu c a 1 phần tử khi đó là màu c a nút quản lý nó mà màu được cập nhật muộn nhất. Dễ thấy giá trị đó đúng là màu c a phần tử đang xét. Để lấy màu ta chỉ cần đi từ gốc tới nút ch a duy nhất phần tử đó và chọn màu có thời gian lớn nhất. 2/ Cây Interval lưu không chính xác màu c a các nút mà chỉ lưu 1 cách gần đúng. 1 nút lưu màu nếu đó là màu chung c a tất cả các phần tử nó quản lý, ngược lại lưu giá trị (-1). Ta sẽ kết hợp quá trình sửa đúng lại màu ch o các phần tử vào trong quá trình cập nhật và lấy giá trị các phần tử. Trong quá trình cập nhật, xét tới nút nào thuộc trong đoạn được tô mới màu thì gán luôn giá trị nút đó bằng màu mới và kết thúc (tương tự như bình thường), những nút cha c a nút này được gán giá trị -1 (do màu các nút con c a nó không còn giống nhau). Trong quá trình lấy giá trị phần tử, nếu 1 nút cha mang giá trị dương thì nút con sẽ mang giá trị c a nút cha thay vì giá trị hiện thời c a nó, cập nhật lại màu cần diễn ra trước khi xét tới các nút con c a 1 nút. 2 cách lưu trên đều khá đơn giản và dễ hiểu (theo tôi cách đầu tiên dễ hiểu và dễ cài đặt hơn còn cách th 2 cần hiểu rõ bản chất và tư duy mạch lạc, nếu không sẽ dễ nhầm lẫn giá trị các nút, nhưng nếu cài tốt sẽ nhanh và đỡ tốn bộ nhớ hơn cách đầu). Bạn nên thử cài lại bài toán theo cả 2 cách đã nêu và chọn cách phù hợp nhất cho mình. Tương tự hãy ng dụng cây interval vào trường hợp tăng/giảm giá trị và tính tổng 1 số đoạn liên tiếp c a dãy số. Ví dụ 3. MARS Map – Baltic OI 2001. Trên mặt phẳng toạ độ có N hình chữ nhật, có toạ độ các đỉnh trong khoảng từ 0 tới 30000. Tính diện tích phần mặt phẳng mỗi điểm bị ph bởi ít nhất 1 hình chữ nhật. Dữ liệu   Dòng đầu tiên ch a 1 số nguyên duy nhất N (1 ≤ N ≤ 10000) là số bản đồ đã được vẽ. Mỗi dòng trong N dòng tiếp theo mô tả một bản đồ, bao gồm 4 số nguyên x1, y1, x2, y2 (0 ≤ x1< x2 ≤ 30000, 0 ≤ y1< y2 ≤ 30000), tương ng là tọa độ c a đỉnh dưới trái và đỉnh trên phải c a bản đồ. Mỗi bản đồ có dạng hình chữ nhật cạnh song song với trục tọa độ. 4 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt Kết qủa Gồm 1 số nguyên duy nhất cho biết tổng diện tích đã được vẽ bản đồ. Ví dụ Dữ liệu: 2 10 10 20 20 15 15 25 30 Kết qủa 225 Hướng dẫn: - Vì các toạ độ đều nguyên, nếu ta chia mặt phẳng thành lưới các ô vuông thì diện tích phần bị ph bởi các HCN chính là số ô vuông thuộc ít nhất 1 HCN. Như vậy ta chỉ cần đếm với mỗi cột dọc rộng 1 đơn vị có bao nhiêu ô vuông như vậy là được. - Số ô bị ph mỗi cột chỉ thay đổi khi các HCN ph nó thay đổi. Do đó nếu giữa 2 cột i,i+1 không có sự thay đổi về các HCN ph lên chúng thì số ô vuông bị ph ở 2 cột này là bằng nhau. Sự thay đổi này chỉ có khi có 1 cạnh c a 1 HCN hoàn toàn thuộc trên đường thẳng đ ng giữa 2 cột trên. Từ 2 nhận xét trên ta đi tới thuật toán sau: - B1: sắp xếp chỉ số vị trí các cạnh thẳng đ ng c a các HCN theo chiều tăng dần, những cột thuộc giữa 2 chỉ số liên tiếp sẽ có số ô bị ph bằng nhau, ta chỉ cần đếm lượng này rồi nhân với số lượng cột là được. Do đó chỉ xét 1 cột ngay sau vị trí 1 cạnh là đ . - B2: xét các cột từ trái sang phải, nếu lần đầu tiên gặp 1 HCN (gặp cạnh dọc trái c a nó) thì thêm đoạn mà nó ph ở cột tương ng, nếu đó là cạnh dọc phải c a HCN thì loại bỏ đoạn mà nó ph . Mỗi lần xét 1 cột đếm số lượng ô bị ph c a cột đó. Ta dùng interval tree cho quá trình này. Bài toán có thể được phát biểu lại như sau: Cho 1 dãy số có N số, có 1 số thao tác là tăng hoặc giảm 1 số phần tử liên tiếp c a dãy lên 1 đơn vị, sau mỗi thao tác hỏi dãy số có bao nhiêu số lớn hơn 0. Với giá trị max toạ độ = 30000 thì giá trị N trên có thể lên tới 30000, nếu giá trị này lớn hơn sẽ rất khó khăn trong lưu trữ. Nhưng ta cũng có thể áp dụng phương pháp rời rạc hoá các đoạn liên tiếp giống nhau. Khi đó N lớn nhất chỉ bằng số HCN, t c là 10000 mà thôi, bài toán lúc này khác 1 chút: mỗi phần tử kèm 1 hằng giá trị, tính tổng hằng giá trị các phần tử lớn hơn 0. Với cách phát biểu này bài toán đã trở nên gần gũi hơn và dễ dàng giải quyết hơn rất nhiều. Chỉ cần lưu kèm mỗi nút cây interval là số lượng phần tử dương nó quản lý. Phần còn lại c a bài toán xin nhường cho các bạn tự giải. Dạng mở rộng của interval tree: Ta đã thấy được s c mạnh c a Interval tree trong xử lý bài toán dãy số. Vậy nếu với 1 bảng số thì sao? Nếu coi dãy số là 1 đoạn thẳng (1 chiều) thì bảng số có thể coi như 1 HCN (2 chiều), có sự mở rộng thêm 1 chiều nữa so với dãy số. Như vậy thì hoàn toàn có thể dùng Interval Tree theo 1 cách nào đó để xử lý các bảng số. Cây Interval Tree khi đó thường được gọi là Interval Tree 2D – Cây interval tree 2 chiều. Nếu như Interval Tree chỉ có 1 cách biểu diễn thông dụng và được dùng (tới 99.9% các bài toán dùng cấu 5 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt trúc mô tả ở trên) thì lại có tới 2 cách hoàn toàn khác nhau để hiểu và biểu diễn Interval Tree 2D. Vậy thế nào là Interval Tree 2D? Xét ví dụ sau: Ví dụ 4: MATSUM - Al-Khawarizm 2006 Cho ma trận N*N. Ban đầu tất cả các ô c a ma trận đều mang giá trị 0. Các dòng đánh số từ 1 tới N từ trên xuống dưới, các cột được đánh số từ 1 tới N từ trái qua phải. Có 1 trình xử lý gồm 3 thao tác chính trên ma trận: 1. SET x y num : gán giá trị c a ô (x,y) giá trị num 2. SUM x1 y1 x2 y2 : Tính và in ra tổng giá trị các ô trong HCN ô trái dưới (x1,y1) và phải trên (x2,y2) (x1<=x2, y1<=y2). 3. END : kết thúc chương trình. Yêu cầu: viết chương trình đọc vào các lệnh c a trình xử lý, tính và đưa ra kết quả c a các thao tác SUM. Giới hạn: N<=1024. Định nghĩa HCN (x1,x2,y1,y2) là HCN giới hạn bởi 2 hàng x1,x2 và 2 cột y1,y2 Cách 1: Quản lý song song cả 2 chiều: Với Interval tree thì các đoạn được chia đôi chia đôi dần. Sử dụng tư tưởng này trong Interval Tree 2D thì ta chia đôi theo cả 2D-2direction hàng và cột. Mỗi nút interval tree sẽ quản lý 1 bảng HCN nhỏ trong bảng HCN ban đầu và được chia thành 4 nút con. VD: 1 hình chữ nhật được chia làm 4 hình nhỏ hơn: Hay nói cách khác 1 nút (x1,x2,y1,y2) có thể có tối đa 4 nút con là (x1,mx,y1,my), (x1,mx,my+1,y1), (mx+1,x2,y1,my), (mx+1,x2,my+1,y2) với mx=(x1+x2)/2;my=(y1+y2)/2. Cây này hoàn toàn tương tự Interval tree, ta chỉ cần quản lý theo 2 chiều, có thể dùng mảng 1 chiều hoặc 2 chiều để quản lý tuỳ ý. Áp dụng vào bài toán trên ta lưu tại mỗi nút là tổng giá trị các ô mà HCN đó quản lý. Các hàm GET và UPDATE có thể viết hoàn toàn tương tự hàm với Interval tree, chỉ khác ở điểm từ 1 nút sẽ gọi tới 4 nút con thay vì 2. Độ ph c tạp thuật toán cho các thao tác trở thành O(LogM*logN) ch không phải là O(logN) nữa. Cách 2: Quản lý lần lượt theo từng chiều: Với bảng số M*N ta dùng M interval tree quản lý M hàng riêng rẽ (lớp cây T1). Tại nút (i,j) c a cây lưu hàng K sẽ lưu tổng các ô từ i tới j c a hàng K. Vì mỗi hàng đều có N cột nên số nút ở mỗi cây con này là bằng nhau. Giả sử có P nút con trong mỗi cây con này. Ta sử dụng lớp cây T2 gồm P cây interval nữa, mỗi cây sẽ quản lý M nút: cây th P sẽ quản lý nút th P c a M cây interval trước đó. Vậy giá trị các ô trong HCN sẽ được truy xuất như thế nào? Với 1 HCN (xL,xR,yL,yR) thì đầu tiên ta tìm các nút thuộc đoạn (yL,yR) thuộc lớp cây T1. Với mỗi nút đó truy xuất dữ liệu ở cây tương ng thuộc T2 và trong đoạn 6 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt từ xL tới xR. Quá trình UPDATE dữ liệu cũng tương tự. Độ ph c tạp thuật toán dạng này cũng là O(logM*logN) cho mỗi thao tác UPDATE và GET. 2 cách biểu diễn trên khác nhau nhưng có cùng độ ph c tạp khi xử lý. Yêu cầu tự viết các chương trình mô tả 2 dạng c a cây Interval Tree 2D. Bài tập tự giải: 1. CUTSEQ – Marathon 06-07. Cho số nguyên N và một dãy số nguyên a1, a2, …, aN. Nhiệm vụ c a bạn là phải cắt dãy số trên thành một số dãy số (giữ nguyên th tự) thỏa mãn: - Tổng c a mỗi dãy số không lớn hơn số nguyên M. - Tổng c a các số lớn nhất trong các dãy trên là nhỏ nhất. Input: Dòng đầu gồm 2 số nguyên N và M. Dòng th hai gồm N số nguyên c a dãy a1, a2, …, aN. Output: Gồm một số duy nhất là tổng c a các số lớn nhất trong các dãy số trên. Nếu không có cách cắt nào thỏa mãn hai điều kiện trên, in ra -1. Giới hạn: -1 ≤ N ≤ 100000. -0 ≤ ai ≤ 106. -M< 263. 2. The BUS – POI 2004. Tóm tắt đề bài: Cho lưới ô vuông M*N. Tại K nút (giao c a hàng và cột) c a lưới có 1 giá trị GT>0, các nút khác giá trị bằng 0. 1 đường đi từ ô (1,1) tới ô (M,N) c a lưới là đường đi thoả mãn các điều kiện sau: - Đi theo các cạnh c a lưới ô vuông, không đi theo các đường chéo. - Chỉ có thể đi từ nút (i,j) tới nút (i+1,j) hoặc nút (i,j+1). Giá trị c a đường đi là tổng giá trị c a các nút thuộc đường đi. Tìm đường đi có giá trị lớn nhất và đưa ra file output giá trị này. Input: dòng đầu tiên ghi 3 số nguyên M N K ý nghĩa trên. K dòng tiếp theo mỗi dòng ghi 3 số X Y GT ý nghĩa là nút (X,Y) có giá trị GT. Output: 1 dòng duy nhất ghi kết quả tìm được Giới hạn: -1<=M,N<=10^9. -K<=10^5 -Kết quả trong phạm vi longint. 3. POINTS and RECTANGES Trong mặt phẳng toạ độ cho N hình chữ nhật và M điểm. 1 điểm được gọi là thuộc 1 HCN nếu như điểm đó nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi HCN đó. Yêu cầu: liệt kê mọi điểm trong số M điểm đã cho mà thuộc ít nhất 1 HCN. Input: Dòng đầu ghi 2 số nguyên N M ý nghĩa như trên. 7 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt N dòng tiếp theo mỗi dòng ghi 4 số nguyên x1 y1 x2 y2 mô tả 1 HCN với đỉnh trái dưới (x1,y1) và phải trên (x2,y2). M dòng cuối cùng ghi toạ độ M điểm đã cho Output: Ghi ra mọi điểm thoả mãn (th tự bất kì). Giới hạn: 1<=M<=N<=20000. 4.Greatest sub sequence: Cho dãy số A gồm N phần tử (N<=50000,|Ai|<=15000). Hàm GSS c a 1 đoạn [x,y] được định nghĩa như sau: GSS(x,y)=GTLN(tổng Ai..Aj), với mọi x<=i<=j<=y. VD có dãy số {-1,2,3} thì GSS(1,2)=2, GSS(1,3)=3, GSS(2,3)=5,… Yêu cầu: tính giá trị hàm GSS c a 1 số đoạn cho trước. II. Binary Indexed Tree Trong những bài toán về dãy số, 1 cấu trúc dữ liệu thường được sử dụng thay thế cho interval tree là Binary Indexed Tree. Mặc dù vậy, cấu trúc c a 1 cây Binary Indexed Tree lại khác hoàn toàn với Interval Tree. Tuy gọi là “tree” nhưng có vẻ Binary Indexed Tree lại giống 1 rừng - gồm nhiều cây hơn là giống 1 cây. Cấu trúc c a Binary Indexed Tree được định nghĩa 1 cách đệ quy như sau: Binary Tree 1. i lẻ: cha[i]=i+1; 2. i chẵn: cha[i]=cha[i div 2]*2; Như vậy cha[i] không phụ thuộc vào số nút c a cây mà phụ thuộc trực tiếp vào giá trị I. Lưu ý với 1 cây N nút thì với i=1..N, cha[i]>n coi như cha[i] không tồn tại. Hình minh hoạ sau sẽ cho thấy rõ hơn cấu trúc c a 1 binary indexed tree: Cũng như trong interval tree, thông tin được lưu ở 1 nút binary indexed tree là thông tin c a nó và tất cả các nút con c a nó (các phần tử ở các nút này bị nó quản lý). Thông tin ở các nút được tích luỹ dần dần lên trên. Nhưng thay vì số nút rất nhiều như ở cây interval, ta chỉ cần dùng 1 mảng O(N) để lưu trữ toàn 8 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt bộ thông tin dữ liệu c a cây binary indexed tree. Cải thiện về bộ nhớ này giúp ích đáng kể trong môi trường bị hạn chế bộ nhớ, đặc biệt trong Turbo Pascal khi mà bộ nhớ chỉ là 64Kb. Thông thường sử dụng binary indexed tree chỉ sử dụng 2 lệnh cơ bản sau: 1. Từ nút I truy xuất tới nút cha[i]. 2. Từ nút I truy xuất tới nút lớn nhất, nhỏ hơn I và không là con c a I, gọi là I’. Nếu căn c vào định nghĩa cha[i] ta có thể xác định 2 thông tin này trong O(logN) nhưng có 1 cách hiệu quả hơn nhiều: - Để truy xuất tới cha[i] ta dựa vào công th c đã được CM sau: cha[i]= i + i and (i xor (i-1)); Công th c trên là công th c thường được mọi người sử dụng nhưng có những công th c hiệu quả hơn: cha[i]= i + i and (-i) = i + i and (1+not i) - Để truy xuất tới nút đầu tiên không là con c a I ta dùng công th c: I’= i - i and (i xor (i-1)) = i – i and (-i) = i and (i-1); Các phép toán được dùng chỉ là +,- và các phép toán bit, thực hiện nhanh hơn nhiều so với các phép toán *,/… Đây cũng chính là điểm mạnh về tốc độ c a binary indexed tree so với interval tree. Vậy, 2 phép toán này được dùng để làm gì? Đơn giản có thể thấy việc truy xuất tới cha[i] là để cập nhật thông tin được lưu trữ. Và, ngược lại, lệnh th 2 chính là dùng để lấy thông tin. Dựa vào lệnh này ta có thể dễ dàng lấy được thông tin tổng hợp từ tất cả các nút từ 1 tới N: [thông tin 1..n]=A[n]+[thông tin 1..N’], trong đó A[n] là thông tin lưu trữ tại N, dấu “+” biểu hiện cho sự hợp thông tin, đôi khi có thể là phép nhân. Theo định nghĩa N’ thì công th c trên đúng. Ví dụ: [thông tin 1..15]=A[15]+A[14]+A[12]+A[8]. Độ ph c tạp trong mỗi lần lấy thông tin không vượt quá O(logN+1). Giới hạn c a Binary Indexed Tree chính là vì lệnh th 2 chỉ tác dụng lấy thông tin trong nửa khoảng đầu tiên là 1..I mà không cho lấy thông tin tổng hợp đoan I..J bất kì trong O(logN) trong trường hợp tổng quát. Do vậy tác dụng c a Binary indexed Tree cũng bị hạn chế hơn so với Interval tree. Binary Indexed Tree chỉ thực sự tuyệt vời trong các trường hợp sau: - Thông tin được lưu trữ phải có tính tích luỹ, như tổng, tích, giá trị min, max... - Thông tin sử dụng luôn nằm trong nửa khoảng, hoặc có tính cộng trừ nhân chia được (trong trường hợp này, thông tin có thể lấy trong các đoạn I..J bất kì trong O(logN) vì [thông tin (i..j)] = [thông tin (1..j)] – [thông tin (1..i)]). Lưu ý: - Binary Indexed Tree cũng có thể áp dụng đối với 1 tập hợp không cố định nhưng nếu với thông tin là tìm min/max thì độ ph c tạp trong quá trình cập nhật thông tin sẽ - Vẫn có thể lấy thông tin trong đoạn từ I..J bất kì trong các trường hợp còn lại nhưng với độ ph c tạp thuật toán cao hơn 1 chút, cỡ O((logN)^2) như sau: Dựa vào nhận xét: thông tin lưu tại I là thông tin các nút từ I’+1 tới I (theo định nghĩa I’). Do đó có thể viết 1 function tổng hợp thông tin đơn giản như sau: Tonghop(i,j) 1. J’=J and (J-1); 2. If (J’+1>=I) tonghop=A[j]+tonghop(I,J’) 3. otherwise tonghop=B[j]+tonghop(I,j-1). 9 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt Trong đó B[j] là thông tin “c a” J. Đôi khi cách làm này có thể thay thế cho 1 cách làm Interval tree với độ ph c tạp O(logN), thời gian chạy cũng không lâu hơn là mấy nhưng code ngắn và đơn giản. Ta cũng có thể kết hợp “Rời rạc hoá” trong sử dụng Binary Indexed Tree và mở rộng Binary Indexed Tree thành cây 2 chiều. Cách sử dụng “Rời rạc hoá” chắc đã không còn xa lạ nữa, ở đây xin nói thêm về Binary Indexed Tree 2D. Xét bài toán xử lý trên ma trận M*N. Chia ma trận M*N thành N dãy con, mỗi dãy con là 1 hàng. Dùng M binary indexed tree để lưu các dãy con này. Đây là tập cây đầu tiên(T1). Giá trị c a 1 nút là tổng số các ô nó quản lý. Sau đó sử dụng N binary indexed tree (tập T2) để quản lý M cây trên. Cây th I c a tập N cây T2 này sẽ quản lý tất cả các nút th I c a M cây thuộc tập T1. Khi đó, gặp 1 thao tác thay đổi, quá trình update lần lượt xảy ra trên tập cây T1 rồi tới tập cây T2. Giả sử update tại vị trí (U,V): Update_BIT2D(u,v) 1. Cập nhật nút V c a cây th U trong tập T1. 2. Cập nhật cây th V trong tập T2, nút bắt đầu là nút U. {qtrình này diễn ra như 1 cây bình thường} 3. t=v+v and (-v). {t=cha[v]} 4. Update_BIT2D(u,t) END Quá trình trên thực hiện trong O(logM*logN) vì có th tục gọi update cây V trong tập T2. Còn thao tác tính giá trị HCN trái dưới (1,1) và phải trên (u,v) cũng thực hiện trong O(logM*logN) như sau: Get2D(u,v) 1. GET+= giá trị nút U c a cây th V, tập T2 2. v=v-v and (-v). 3. GET+=GET_BIT2D(u,v) END Kết quả trả về trong biến GET. Như vậy: GET(x1,y1,x2,y2) = GET2D(x2,y2) - GET2D(x1,y2) - GET2D(x2,y1) + GET2D(x1,y1). Trong các bài toán sử dụng cây để lưu giá trị với ý nghĩa khác ta chỉ cần sửa 1 chút trong hàm GET (bước 1) và trong hàm cập nhật cây thuộc tập T2 là được. Vậy là ta đã biết về cách sử dụng Binary Indexed Tree 2D: hoàn toàn tương tự với cây Binary Indexed Tree bình thường, chỉ khác 1 chút trong quá trình xử lý 2 lớp cây lồng nhau. Qua những ý trên ta đã thấy được đặc điểm c a Binary Indexed Tree. Dựa vào đó cũng có thể thấy: mọi bài toán làm được bằng Binary Indexed Tree đều có thể làm được bằng Interval Tree (nhưng điều ngược lại trong 1 số trường hợp không đúng). Để hiểu rõ cấu trúc này hơn và quan trọng là ghi nhớ những công th c đã nêu, sau đây là 1 số bài tập ng dụng. Sau khi làm bằng Binary Indexed Tree, bạn hãy thử làm với Interval Tree để so sánh tốc độ và độ ph c tạp thuật toán. Bài tập tự giải: 0. The BUS (đã được nêu trong phần bài tập về interval tree) 1. DNT – Marathon 05-06 (IOIcamp.net) 10 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt Cho dãy số A1, A2,..., An. Một nghịch thế là 1 cặp số u,v sao cho: uAv. Yêu cầu: đếm số lượng nghịch thế c a dãy số đã cho. Input: Dòng đầu tiên ghi số N là số lượng số c a dãy số. N dòng tiếp theo lần lượt ghi giá trị c a các số thuộc dãy. Output: 1 số duy nhất là số lượng nghịch thế đếm được. Giới hạn: - 1<=N<=60000 - 0<=10^9 2. MOBILE PHONES - IOI 2001. Giả thiết một thế hệ th 4 điện thoại di động (mobile phone) có các trạm làm việc nằm trong vùng Tamperehoạt động như sau: Vùng hoạt động này được chia theo lưới ô vuông. Các ô vuông tạo thành một ma trận SxS với các hàng và cột được đánh số từ 0 đến S-1. Mỗi ô vuông ch a một trạm làm việc. Số lượng các điện thoại đang hoạt động (active) trong một ô vuông sẽ bị thay đổi khi người sử dụng điện thoại di chuyển từ ô này sang ô khác hoặc điện thoại chuyển chế độ bật/tắt. Theo thời gian, mỗi trạm làm việc sẽ báo cáo sự thay đổi số lượng điện thoại di động đang hoạt động trong khu vực kiểm soát c a mình. Hãy viết chương trìnhnhận các báo cáo đó và trả lời được các yêu cầu về tổng số điện thoại di động đang hoạt động trong một vùng không gian hình vuông cho trước. Input: Dòng đầu tiên ghi 0 S là kích thước bảng. Trong 1 số dòng sau, mỗi dòng thuộc 1 trong 3 dạng sau: - 1 X Y A : tăng thêm lượng A vào số điện thoại hoạt động trong ô vuông (x,y). A có thể là số âm - 2 L B R T : yêu cầu cho biết tổng số lượng máy điện thoai hoạt động trong vùng HCN góc trái dưới (L,B) và phải trên (R,T). Kết qủa Với mỗi chỉ thị loại 2, in ra một dòng gồm một số nguyên dương trả lời cho truy vấn tương ng. Giới hạn      1 ≤ S ≤ 1024 Giá trị c a một ô tại mọi thời điểm luôn thuộc phạm vi [0, 32767]. -32768 ≤ A ≤ 32767 Số chỉ thị thuộc phạm vi [3, 60002]. Tổng số điện thoại trên toàn bộ bảng không vượt quá 230. Ví dụ Dữ liệu 04 1123 20022 1112 1 1 2 -1 11 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt 21123 3 Kết qủa 3 4 3. TEAM SELECTION – Balkan OI 2004. Trong 1 cuộc thi lớn có N thí sinh tham gia. Cuộc thi này gồm 3 phần thi nhỏ. Tất cả N thí sinh đều tham gia và có điểm số ở cả 3 phần thi này, điểm số 2 thí sinh khác nhau trong 1 phần thi là khác nhau. Sau khi cuộc thi kết thúc, BTC muốn tìm ra các thí sinh giỏi nhất. Thí sinh giỏi nhất là thí sinh không kém hơn bất kì thí sinh nào khác. (Thí sinh A được coi là giỏi hơn thí sinh B nếu điểm số cả 3 phần thi đều cao hơn thí sinh B). Yêu cầu: cho biết điểm 3 phần thi c a N thí sinh, đếm số thí sinh được coi là giỏi nhất trong kì thi trên. Input: dòng đầu tiên ghi số N là số thí sinh tham dự. N dòng tiếp theo dòng th I ghi 3 số nguyên là điểm từng môn thi c a thí sinh th I. Output: 1 dòng duy nhất ghi kết quả tìm được. Giới hạn: N<=10000, điểm thi <= 10^9. III. Heap Có thể nói Heap là 1 cấu trúc hữu dụng vào bậc nhất trong giải toán. Heap là 1 cấu trúc khá quen thuộc, là 1 dạng Priority Queue (hàng đợi có độ ưu tiên), ng dụng to lớn trong nhiều dạng toán khác nhau. Vì vậy xin chỉ nói sơ qua về Heap: Heap thực chất là 1 cây cân bằng thoả mãn các điều kiện sau: - 1 nút chỉ có không quá 2 nút con. - Nút cha là nút lớn nhất, mọi nút con luôn có giá trị nhỏ hơn nút cha. Điều kiện quan hệ nhỏ hơn c a nút con so với nút cha có thể được quy định trước tuỳ theo bài toán, không nhất thiết phải là nhỏ hơn theo nghĩa toán học, ngay cả quan hệ "nút A<=> giá trị A>giá trị B" cũng hoàn toàn đúng. VD: Mặc dù được mô tả như 1 cây nhưng Heap lại có thể lưu trữ trong mảng, nút gốc là nút 1, nút con c a nút I là 2 nút 2*I và 2*I+1. Đặc điểm c a Heap: - Nút gốc luôn là nút lớn nhất [theo định nghĩa có trước] - Độ cao c a 1 nút luôn nhỏ hơn hoặc bằng O(logN) vì cây heap cân bằng. 12 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt ng dụng ch yếu c a heap là chỉ tìm min, max trong 1 tập hợp động, nghĩa là tập có thể thay đổi, thêm, bớt các phần tử. (nhưng như vậy đã là quá đ J) Các thao tác thường dùng trong xử lý HEAP: -Up_heap: nếu 1 nút lớn hơn cha c a nó thì di chuyển nó lên trên -Down_heap: nếu 1 phần tử nhỏ hơn 1 con c a nó thì di chuyển nó xuống dưới -Push: đưa 1 phần tử vào HEAP bằng cách thêm 1 nút vào cây và up_heap nút đó -Pop: loại 1 phần tử khỏi HEAP bằng cách chuyển nó xuống cuối heap và loại bỏ, sau đó chỉnh sửa lại heap sao cho thoả mãn các điều kiện c a HEAP. Sau đây là Code minh hoạ: biến top là số phần tử c a heap, A là mảng ch a heap, doicho(i,j) là th tục đổi chỗ 2 phần tử i và j c a heap. procedure Up_heap(i:longint); begin if (i=1) or (a[i]>a[i div 2]) then exit; {i div 2 là nút cha c a i} doicho(i,i div 2);{đổi chỗ 2 phần tử} up_heap(i div 2); end; procedure down_heap(i:longint); begin j:=i*2; if j>top then exit; if (ja[j-1]) then j:=j+1; {chọn nút lớn hơn trong 2 nút con} doicho(i,j); down_heap(j); end; procedure push(giatri:longint); begin inc(top); a[top]:=giatri;{mở rộng và thêm 1 phần tử vào tập} up_heap(top);{chỉnh lại heap cho thoả mãn điều kiện} end; procedure pop(vitri:longint); begin a[vitri]:=a[top]; dec(top);{loại 1 phần tử ra khỏi heap} {chỉnh lại heap, nếu phần tử bị loại luôn ở đầu heap có thể bỏ up_heap} up_heap(vitri); down_heap(vitri); end; 1 điểm đặc biệt lưu ý là trong quá trình đưa 1 phần tử ra khỏi heap tại vị trí bất kì phải thực hiện cả 2 quá trình up_heap và down_heap để đảm bảo Heap vẫn thoả mãn điều kiện đã cho. 13 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt Qua đoạn chương trình ta có thể thấy được các điều kiện c a HEAP vẫn được bảo tồn sau khi tập bị thay đổi. Heap được sử dụng trong thuật toán Dijkstra, Kruskal, Heap Sort nhằm giảm độ ph c tạp thuật toán. Heap còn có thể sử dụng trong các bài toán dãy số, QHĐ, đồ thị... Với những ví dụ sau ta sẽ thấy phần nào sự đa dạng và linh hoạt trong sử dụng Heap. Để thuận tiện ta gọi Heap-max là heap mà giá trị nút cha lớn hơn giá trị nút con (phần tử đạt max là gốc c a Heap) và Heap-min là heap mà giá trị nút cha nhỏ hơn giá trị nút con (phần tử đạt min là gốc c a heap). Bài toán 1: MEDIAN (phần tử trung vị). Đề bài: Phần tử trung vị c a 1 tập N phần tử là phần tử có giá trị đ ng th N div 2+1 với N lẻ và N div 2 hoặc N div 2+1 với N chẵn. Cho 1 tập hợp ban đầu rỗng. Trong file Input có M<=10000 thao tác thuộc 2 loại: 1. PUSH gtr đưa 1 phần tử giá trị gtr vào trong HEAP (gtr<=10^9). 2. MEDIANtrả về giá trị c a phần tử trung vị c a tập hợp đó (nếu N chẵn trả về cả 2 giá trị). Yêu cầu: viết chương trình đưa ra file OUTPUT tương ng. Input: dòng đầu tiên ghi số M, M dòng tiếp theo ghi 1 trong 2 thao tác theo định dạng trên. Output: tương ng với mỗi thao tác MEDIAN trả về 1 (hoặc 2) giá trị tương ng. Thuật giải: Dùng 2 heap, 1 heap (HA) lưu các phần tử từ th 1 tới N div 2 và heap còn lại (HB) lưu các phần tử từ N div 2 +1 tới N sau khi đã sort lại tập thành tăng dần. HA là Heap-max còn HB là Heapmin. Như vậy phần tử trung vị luôn là gốc HB (N lẻ) hoặc gốc c a cả HA và HB (n chẵn). Thao tác MEDIAN do đó chỉ có độ ph c tạp O(1). Còn thao tác PUSH sẽ được làm trong O(logN) như sau: - Nếu gtr đưa vào nhỏ hơn hoặc bằng HA[1] đưa vào HA ngược lại đưa vào HB. Số phần tử N c a tập tăng lên 1. - Nếu HA có lớn hơn (/nhỏ hơn N) div 2 phần tử thì POP 1 phần tử từ HA (/HB) đưa vào heap còn lại. Sau quá trình trên thì HA và HB vẫn đảm bảo đúng theo định nghĩa ban đầu. Bài toán được giải quyết với độ ph c tạp O(MlogM). Bài toán 2: Lazy programmer – NEERC western subregion QF 2004. Tóm tắt đề bài: Có N công việc buộc phải hoàn thành trước thời gian D[i] (thời gian hiện tại là 0). N công việc này được giao cho 1 programmer lười biếng. Xét 1 công việc I, bình thường programmer này làm xong trong B[i] thời gian nhưng nếu được trả thêm c($) thì sẽ làm xong trong B[i]-c*A[i] (nếu c=B[i]/A[i] thì anh ta có thể làm xong ngay t c khắc, t=0). Tất nhiên c<=B[i]/A[i]. Tiền trả thêm này với từng công việc là độc lập với nhau. Yêu cầu: với các mảng D[], B[] và A[] cho trước tìm số tiền ít nhất phải trả thêm cho programmer để mọi công việc đều hoàn thành đúng hạn. Input: Dòng đầu tiên ghi số N. Dòng th I trong N dòng tiếp theo mỗi dòng ghi 3 số lần lượt là A[i], B[i] và D[i]. Output: tổng số tiền nhỏ nhất phải trả thêm (chính xác tới 2 c/s thập phân). Giới hạn: N<=10^5, 1<=A[i],B[i]<=10^4, 1<=D[i]<=10^9. Thuật giải: Nhận thấy nếu xét tới thời điểm T thì mọi công việc có D[i] Từ đó ta có thuật giải sau: 1. Sắp xếp tăng dần các công việc theo các giá trị D[] c a chúng 14 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt 2. Dùng 1 Heap-max lưu các công việc theo giá trị A[], 1 mảng C để lưu số tiền còn có thể trả thêm cho các công việc. Khởi tạo C[i]=B[i]/A[i]. Khi xét tới công việc I thì đưa I vào Heap. Khởi tạo tien=0; Giả sử tới công việc I thì không hoàn thành được trước D[i], cần trả thêm tiền để các công việc từ 1 tới I đều được hoàn thành đúng hạn. Ta chỉ cần trả thêm sao cho I được hoàn thành đúng D[i], giả sử đó là T. Chọn công việc đ ng đầu trong heap – có A[] đạt max, giả sử là j. Lưu ý thời gian làm 1 công việc luôn dương. Có các trường hợp xảy ra là: - C[j]*A[j]>T: C[j]-=T/A[j]; tien+=T/A[j];kết thúc xử lý công việc I. - C[j]*A[j]=T: loại bỏ j ra khỏi heap; tien+=C[j];kết thúc;{thời gian làm j đã = 0} - C[j]*A[j] Kết quả c a bài toán chính là “tien”. Công việc trên kết thúc với T=0 nên công việc I đã được hoàn thành đúng hạn. Mọi công việc trước I đều đã hoàn thành đúng hạn nay hoặc giữ nguyên thời gian làm hoặc được trả thêm tiền làm nên cũng luôn hoàn thành đúng hạn. Vì ta luôn chọn A[] tối ưu nên số tiền phải trả cũng tối ưu. Nhờ sử dụng Heap nên độ ph c tạp c a thuật toán là O(NlogN) (do mỗi công việc vào và ra khỏi Heap không quá 1 lần). Bài toán 3: Connection - 10th polish olimpiad in informatics, stage II. Tóm tắt đề bài: Cho 1 đồ thị vô hướng gồm N đỉnh và M cung. 1 đường đi từ a tới b là đường đi đi qua các cung c a đồ thị, có thể lặp lại các cung và đỉnh đã đi qua nhiều lần. Cần tìm độ dài đường đi ngắn th k từ a tới b cho trước. Yêu cầu: gồm 1 số câu hỏi, mỗi câu hỏi dạng a b k phải trả về giá trị đường đi ngắn th k từ a tới b. Input: Dòng đầu tiên ghi 2 số N M. Dòng th I trong M dòng tiếp theo mỗi dòng ghi 3 số “a b l” mô tả cung th I c a đồ thị là cung từ a tới b có độ dài l. Dòng th M+2 ch a T là số câu hỏi. Trong T dòng tiếp theo mỗi dòng ghi 3 số “a b k” mô tả 1 câu hỏi. Các số trong input là số nguyên. Output: T dòng, dòng th I là câu trả lời cho câu hỏi th I. Giới hạn: N<=100, M<=N^2-N (đồ thị không có cung nào từ a tới a, có không quá 1 cung từ a tới b bất kì), 1<=k<=100, 0<=500, T<=10000. Nếu từ a tới b có nhỏ hơn k đường (đôi 1 khác nhau) thì trả về giá trị -1. VD: nếu từ 1 tới 2 có 4 đường độ dài 2,4,4 và 5 thì k=1, kết quả =2; k=2,3 kết quả =4; k=4 kết quả = 5; k>4 kết quả = -1. Gợi ý thuật giải: Rõ ràng ta phải tính trước maxk=100 đường đi ngắn nhất từ a tới b. Làm sao để làm được điều đó? Với 1 đỉnh dùng thuật toán DIJKSTRA để tính maxk đường đi ngắn nhất tới tất cả các đỉnh còn lại. Giả sử đang xét tới đỉnh U, C[u,v,k] là đường đi ngắn th k từ u tới v. Với mỗi V <> U tính C[u,v,k] lần lượt với k từ 1 tới maxk (tính xong giá trị cũ rồi mới tính tới giá trị mới), k0[v] là giá trị k đang được tính c a v (khởi tạo k0[v]=1). Sau đây là các bước cơ bản c a thuật toán: CONNECTION(U) 1. Với v=1..N, v<>u: Tìm v: C[u,v,k0[v]] đạt GTNN, min=C[u,v,k0[v]]. 2. Xác nhận C[u,v,k0[v]] là đường cần tìm, K0[v]++. 3. Với các v’ mà có đường từ v tới v’ (dài L) tạo thêm 1 đường từ u tới v’ độ dài L’=min+L, cập nhật đường đi từ U tới V. End; Các bước 1 và 3 là c a thuật toán Dijkstra thông thường. Vì các giá trị min chỉ được xét 1 lần nên với mọi đường đi mới từ U tới V’ ta đều phải lưu trữ lại, nhưng, do chỉ cần tìm maxk đường ngắn nhất nên ta cũng chỉ cần lưu trữ lại maxk-k0[v’] đường. 15 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt bước 3 viết rõ ràng như sau: 3.Update(v’,L’) 3.1. Tìm đường dài nhất trong các đường đã lưu. 3.2. Nếu đường này ngắn hơn L’ kết thúc. 3.3. Loại bỏ đường này. 3.4. Lưu trữ đường dài L’. Tập các đường được lưu trữ với 1 đỉnh V là tập động, ta dùng 1 heap-max để lưu trữ tập các đường này. Lúc đó trong bước 1 thì C[u,v,k0[v]] phải chọn là min c a tập trên. Có thể kết hợp 1 heap-min để tìm nhanh C[u,v,k0[v]]. Cách này cài đặt ph c tạp và đòi hỏi phải hiểu rõ về heap. 1 cách khác đơn giản hơn là luôn cập nhật C[u,v,k0[v]] trong mỗi bước tìm được đường mới: 3.Update(v’,L’) 1.2.3.4 {các bước này như cũ} 5. Nếu (L’ C[u,v,k0[v]]=L’. Nhưng khi đó trong bước 2 c a thuật toán ban đầu cần bổ sung như sau: 2.a/ Xác nhận..., K0[v]++. b/Nếu K0[v] Độ ph c tạp c a chương trình CONNECTION là O(N*K*logK). Phải gọi N lần chương trình này nên độ ph c tạp c a thuật toán là O(N^2*K*logK). Lưu ý không nên dùng thuật toán Dijkstra kết hợp cấu trúc heap trong bài toán này vì đồ thị đã cho là 1 đồ thị dày. Nhận xét: đây là 1 bài hay và khó ng dụng heap, điểm quan trọng là nhận ra cách xây dựng lần lượt các đường ngắn nhất từ nhỏ tới lớn và ng dụng heap vào trong quá trình này. Qua 1 vài ví dụ trên các bạn có thể thấy phần nào ng dụng c a heap đa dạng trong các bài toán như thế nào. Nhưng chắc không khỏi có bạn thốt lên “HEAP cũng chỉ có vậy, quá đơn giản, c tìm min/max thì dùng thôi”. Đó là do thuật giải đã được tôi nêu rất kĩ nên đơn giản, nhưng để nghĩ được ra cách ng dụng heap không dễ dàng như vậy. 1 số bài toán luyện tập sau sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn: 1. Lightest language – POI VI, stage III. Cho trước 1 Tập Akgồm k chữ cái đầu tiên c a bảng chữ cái (2<=k<=26). Mỗi chữ cái trong tập Ak có 1 khối lượng cho trước. Khối lượng c a 1 từ bằng tổng khối lượng các chữ cái trong từ đó. 1 “language” c a tập Ak là 1 tập hữu hạn các từ được xây dựng chỉ bởi các chữ cái trong tập A, có khối lượng bằng tổng khối lượng các từ thuộc nó. Ta nói 1 “language” là “prefixless” nếu như với mọi cặp từ u,v trong “language” đó thì u không là tiền tố c a v (u là tiền tố c a v nếu tồn tại s sao cho v=u+s với ‘+’ là phép hợp xâu). Yêu cầu: Tìm khối lượng nhỏ nhất có thể c a 1 “language” gồm đúng N từ và là 1 “prefixless” c a tập Ak cho trước. (N<=10000). Input: Dòng đầu tiên ghi 2 số N và K. Trong K dòng tiếp theo mỗi dòng ghi khối lượng c a mỗi chữ cái trong tập Ak, theo th tự từ điển bắt đầu từ “a”. Output: Duy nhất 1 dòng ghi ra khối lượng nhỏ nhất có thể c a 1 ngôn ngữ thoả những điều kiện trên. Ví dụ: Input 32 2 16 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt 5 Output 16 (với input trên, ngôn ngữ được chọn là L={ab,aba,b} 2. Promotion - VII Polish Olympiad In Informatics 2000, stage III Cho 1 tập hợp A gồm các số tự nhiên. Ban đầu tập A là tập rỗng. Trong N ngày, người ta lần lượt làm các công việc sau: a/ Thêm vào tập A 1 số các số tự nhiên. b/ Lưu lại hiệu giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất c a tập A. c/ Loại bỏ 2 số lớn nhất và nhỏ nhất ra khỏi tập A. Yêu cầu: cho biết danh sách các số được thêm vào mỗi ngày, tính tổng các số được lưu lại sau mỗi ngày. Biết trong tập A trước bước b luôn có ít nhất 2 số. Input: Dòng đầu tiên ghi số N. Trong N dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi theo định dạng sau: số đầu tiên là số lượng số được thêm vào, sau đó lần lượt là giá trị các số được thêm vào. Output: 1 số duy nhất là tổng các số được lưu lại VD: Input: 5 3123 211 4 10 5 5 1 0 12 Output: 19 Gợi ý: 1 heap-min và 1 heap-max c a cùng 1 tập động, cái khó c a bài toán nằm trong kĩ năng cài đặt 2 heap c a cùng 1 tập. Ngoài dùng heap có thể dùng Interval Tree hoặc Binary Indexed Tree. 3. BirthDay – thi vòng 2 TH, dựa trên bài thi IOI 2005. SN Byteman đã tới! Cậu đã mời được N-1 người bạn c a mình tới dự tiệc SN. Cha mẹ cậu cũng đã chuẩn bị 1 cái bàn tròn lớn dành cho N đ a trẻ. Cha mẹ c a Byteman cũng biết 1 số đ a trẻ sẽ gây ồn ào, ầm ĩ nếu chúng ngồi cạnh nhau. Do đó, những đ a trẻ cần được sắp xếp lại. Bắt đầu từ Byteman, bọn trẻ được đánh số từ 1 tới N. Th tự mới c a chúng là 1 hoán vị (p1,p2,..pn) c a N số tự nhiên đầu tiên – nghĩa là sau khi xếp lại đ a trẻ p(i) ngồi giữa đ a trẻ p(i-1) và đ a trẻ p(i+1), đ a trẻ p(n) ngồi cạnh đ a trẻ p(1) và p(n-1). Để xếp lại, 1 đ a trẻ cần di chuyển 1 số bước qua trái hoặc qua phải về vị trí phù hợp. Cha mẹ c a byteman muốn những đ a trẻ di chuyển càng ít càng tốt - t c là tổng độ dài di chuyển c a N đ a trẻ đạt GTNN. Tìm giá trị này. Input: Dòng đầu ghi số N, dòng tiếp theo ghi N số là th tự mới c a bọn trẻ Output: số bước di chuyển ít nhất thoả mãn VD: Input: 5 17 Các cấu trúc dữ liệu đặc biệt 15432 Output: 6 Ngoài HEAP ra còn có 1 số loại Priority Queue khác như Biominal Heap Priority Queue hay Fibonacci heap... nhưng rất ph c tạp, các bạn có thể tìm hiểu thêm ở các tài liệu khác 18