Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Chủ đề 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. TỌA ĐỘ ĐIỂM - VECTƠ
y
j
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng :
i
x'Ox : trục hoành
x'
y'Oy : trục tung
O : gốc toạ độ
i, j : véc tơ đơn vị ( i j 1 vaøi j )
x
O
y'
Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng
Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
1. Định nghĩa 1: Cho M mp(Oxy ) . Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo
y
bởi
hệ
thức
có
dạng
:
i
,
j
OM
xi
y j vôùi x,y .
Q
M
j
x'
Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
i
O
x
M(x;y)
Ký hiệu:
P
( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M )
y'
OM xi y j
x OP
vaøy=OQ
ñ/n
M ( x; y )
Ý nghĩa hình học:
y
M
Q
y
x'
x
x
O
P
y'
2. Định nghĩa 2: Cho a mp(Oxy ) . Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo
i, j bởi hệ thức có dạng : a a1 i a2 j vôùi a1 ,a 2 .
y
Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a .
e
Ký hiệu:
a ( a1; a2 )
2
a=(a1 ;a 2 )
Ý nghĩa hình học:
a a1 i a2 j
O
e1
x
P
y'
y
K
B2
B
A
A2
x'
ñ/ n
x'
a
H
x
O
A1
y'
a1 A1B1
vaø a 2 =A 2 B2
B1
199
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
Định lý 1:
Nếu A( x A ; y A ) vaøB(x B ; yB ) thì
AB ( xB x A ; yB y A )
B( x B ; y B )
A( x A ; y A )
Nếu a ( a1 ; a2 ) vaøb (b1; b2 ) thì
Định lý 2:
a
a b
* ab 1 1
a2 b2
* a b (a1 b1; a2 b2 )
* a b (a1 b1; a2 b2 )
( k )
* k .a (ka1; ka2 )
b
IV. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song
song .
Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:
Định lý 3 :
a
b
a
b
Định lý 4 :
Cho hai véc tơ a vaø b vôùi b 0
a cuøng phöông b !k sao cho a k .b
Nếu a 0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:
k > 0 khi a cùng hướng b
a
b
k < 0 khi a ngược hướng b
a
2
5
a b , b- a
k
5
2
B
b
A
C
A, B, C thaúng haøng AB cuøng phöông AC
(Điều kiện 3 điểm thẳng hàng )
Định lý 5: Cho hai véc tơ a ( a1 ; a2 ) vaøb (b1; b2 ) ta có :
a cuøng phöông b
a1.b2 a2 .b1 0
(Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ)
200
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
V. Tích vô hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:
b
b
O
a
a
y
a.b a . b .cos(a, b)
B
A
b
2 2
a a
x'
a b a.b 0
Định lý 6: Cho hai véc tơ a ( a1 ; a2 ) vaøb (b1; b2 ) ta có :
a.b a1b1 a2 b2
Định lý 7: Cho hai véc tơ a ( a1; a2 ) ta có :
a a12 a2 2
a
O
x
y'
(Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ)
(Công thức tính độ dài véc tơ )
Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ) vaøB(x B ; yB ) thì
AB ( xB x A )2 ( yB y A )2
(Công thức tính khoảng cách 2 điểm)
Định lý 9: Cho hai véc tơ a ( a1 ; a2 ) vaøb (b1; b2 ) ta có
ab
(Điều kiện vuông góc của 2 véc tơ)
a1b1 a2 b2 0
Định lý 10: Cho hai véc tơ a ( a1 ; a2 ) vaøb (b1; b2 ) ta có
a.b
a1b1 a2 b2
cos(a, b )
a.b
a12 a2 2 . b12 b2 2
(Công thức tính góc của 2 véc tơ)
VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như : MA k .MB
A
M
B
Định lý 11 : Nếu A( x A ; y A ) , B(x B ; yB ) và MA k .MB ( k 1 ) thì
x A k .x B
x M 1 k
y y A k .y B
M
1 k
201
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Đặc biệt :
HĐBM-TỔ TOÁN
x A xB
x M
2
M là trung điểm của AB
y y A yB
M
2
VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác :
x A x B xC
x G
3
1. G laøtroïng taâm tam giaùc ABC GA GB GC 0
y y A y B yC
G
3
AH BC
AH .BC 0
2. H laøtröïc taâm tam giaùc ABC
A
BH AC
BH . AC 0
AA' BC
C
3. A' laøchaân ñöôøng cao keûtöøA
B A'
'
BA cuøn g phöông BC
A
G
C
B
A
H
C
B
IA=IB
4. I laøtaâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC
IA=IC
A
I
AB
.DC
5. D laøchaân ñöôøn g phaân giaùc trong cuûa goùc A cuûa ABC DB
AC
AB
6. D' laøchaân ñöôøng phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc A cuûa ABC D ' B
.D 'C
AC
A
AB
.JD
7. J laøtaâm ñöôøng troøn noäi tieáp ABC JA
BD
C
B
A
C
D
B
J
C
B. ĐƯỜNG THẲNG
B
D
I. Các định nghĩa về VTCP và VTPT (PVT) của đường thẳng:
ñn a 0
a là VTCP của đường thẳng ( )
a coùgiaùsong song hoaëc truøng vôùi ( )
ñn n 0
n là VTPT của đường thẳng ( )
n coùgiaùvuoân g goùc vôùi ( )
a
n
()
a
* Chú ý:
Nếu đường thẳng ( ) có VTCP a ( a1 ; a2 ) thì có VTPT là n ( a2 ; a1 )
Nếu đường thẳng ( ) có VTPT n ( A; B ) thì có VTCP là a ( B; A)
( )
202
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
II. Phương trình đường thẳng :
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :
a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng ( ) qua M0(x0;y0) và nhận a ( a1 ; a2 ) làm
VTCP sẽ có :
y
a
M ( x; y )
x x0 t.a1
Phương trình tham số là : () :
y y0 t.a2
x
O
Phương trình chính tắc là : () :
M 0 ( x0 ; y 0 )
x x0 y y0
a1
a2
(t )
a1 , a2 0
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x 0;y0) và có VTPT n ( A; B ) là:
y
n
M ( x;x y )
O
( ) : A( x x 0 ) B( y y0 ) 0
M 0 ( x0 ; y 0 )
( A2 B 2 0 )
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng :
Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng ( ) có dạng :
y n ( A; B )
M 0 ( x0 ; y0 )
O
Chú ý:
Ax + By + C = 0
x
với A2 B 2 0
a ( B; A)
a ( B ; A )
Từ phương trình ( ):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được :
1. VTPT của ( ) là n ( A; B)
2. VTCP của ( ) là a ( B; A) hay a ( B; A)
3. M0 ( x0 ; y0 ) () Ax0 By0 C 0
Mệnh đề (3) được hiểu là :
Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó
nghiệm đúng phương trình của đường thẳng .
203
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng :
a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) :
( AB) :
x xA
y yA
x B x A yB y A
( AB ) : x x A
y
y
B( x B ; y B )
M ( x; y )
O
( AB ) : y y A
yA
xA
x
A( x A ; y A )
A( x A ; y A )
xB
y
A( x A ; y A )
B(x B ; y B )
yA yB
x
x
B( x B ; y B )
yB
b. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng ( ) cắt trục hoành tại điểm A(a;0) và trục tung tại
điểm B(0;b) với a, b 0 có dạng:
x y
1
a b
c. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x 0;y0) và có hệ số góc k:
Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng . Gọi (Ox , ) thì k tg được gọi là hệ số góc
của đường thẳng
y
Định lý 1: Phương trình đường thẳng qua M0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k là :
y
O
M ( x; y )
y0
O
x0
x
y - y 0 = k(x - x 0 )
x
(1)
Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuông góc
Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox là
x = x0
Chú ý 2: Nếu đường thẳng có phương trình y ax b thì hệ số góc của đường thẳng là k a
Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng 1 , 2 ta có :
1 // 2
1 2
k1 k 2
k1.k2 1
c. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đt cho trước:
i. Phöông trinh ñöôøng thaúng (1 ) //( ): Ax+By+C=0 coùdaïng: Ax+By+m1 =0
ii. Phöông trinh ñöôøng thaúng (1 ) (): Ax+By+C=0 coùdaïng: Bx-Ay+m 2 =0
204
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Chú ý: m1; m2 được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên 1; 2
1 : Ax By m1 0
y
: Ax By C 1 0
O
M1
1 : Bx Ay m2 0
y
x
x0
x
x0
O
M1
: Ax ByC1 0
III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
y
1
2
y
y
1
x
O
2
1 // 2
x
O
2
1 caét 2
Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
(1 ) : A1 x B1 y C1 0
O
1
x
1 2
(2 ) : A2 x B2 y C2 0
Vị trí tương đối của (1 ) vaø( 2 ) phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình :
A1 x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
hay
A1 x B1 y C1
A2 x B2 y C2
(1)
Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của ( 1 ) vaø( 2 )
Định lý 1:
i.
(1 ) //( 2 )
Heä(1) voânghieäm
ii. Heä(1) coùnghieäm duy nhaát (1 ) caét (2 )
iii. Heä(1) coùvoâsoánghieäm
Định lý 2:
(1 ) ( 2 )
Nếu A2 ; B2 ; C2 khác 0 thì
i.
(1 ) caét ( 2 )
ii. (1 ) // (2 )
iii. (1 ) ( 2 )
A1 B1
A 2 B2
A1 B1 C1
A 2 B2 C2
A1 B1 C1
A 2 B2 C2
205
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
IV. Góc giữa hai đường thẳng
1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành 4 góc. Số đo nhỏ nhất trong các số đo
của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi hai
đường thẳng a và b). Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là a, b
Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng 0 0
2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT
a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là u v v thì
u.v
cos a, b cos u, v
u.v
b) Nếu hai đường thẳng có VTPT lần lượt là n v n ' thì
n.n '
cos a, b cos n, n '
n . n'
Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
(1 ) : A1 x B1 y C1 0
(2 ) : A2 x B2 y C2 0
Gọi ( 0 0 90 0 ) là góc giữa (1 ) vaø( 2 ) ta có :
cos
Hệ quả:
A1 A2 B1B2
y
1
A12 B12 . A22 B22
x
O
2
( 1 ) ( 2 ) A1 A2 B1B2 0
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng () : Ax By C 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 )
Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng () được tính bởi công thức:
M0
y
d ( M 0 ; )
Ax0 By0 C
H
A2 B 2
O
x
( )
206
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
C. ĐƯỜNG TRÒN
I. Phương trình đường tròn:
1. Phương trình chính tắc:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là :
y
b
O
(C ) : ( x a )2 ( y b)2 R 2
I ( a; b)
R
a
M ( x; y )
x
(1)
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn
Đặc biệt: Khi I O thì (C ) : x 2 y 2 R 2
2. Phương trình tổng quát:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình :
x 2 y 2 2 ax 2 by c 0
với a2 b2 c 0
là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R a 2 b 2 c
II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn
(C ) : x 2 y 2 2 ax 2 by c 0 tại điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) là :
( ) : x0 x y0 y a( x x 0 ) b( y y0 ) c 0
VI. Các vấn đề có liên quan:
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:
(C )
(C )
I
I
R
R
H M
M H
Định lý:
() (C )
d(I;) > R
() tieáp xuùc (C) d(I;) = R
() caét (C)
d(I;) < R
M 0 ( x0 ; y0 )
(C)
( )
I(a;b)
(C )
I
R H
M
Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x 2 y 2 2ax 2by c 0 và đường thẳng : Ax By C 0 . Tọa độ giao điềm
(nếu có) của (C) và ( ) là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 y 2 2ax 2by c 0
(1)
(*)
(2)
Ax By C 0
Cách giải (*): Sử dụng phép thế
+ Rút x hoặc y từ (2) thay vào (1) để được phương trình 1 ẩn.
207
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
2. Vị trí tương đối của hai đường tròn :
C1
C2
I1
R1
R2
I2
C1
C1
I 1 R1
R2
I2
C2
C2
(C1 ) vaø(C2 ) khoâng caét nhau
I1
R1
R2
I2
I1I 2 > R1 R2
(C1 ) vaø(C2 ) caét nhau
R1 R2 < I1I 2 < R1 R2
(C1 ) vaø(C2 ) tieáp xuùc trong nhau
I1I 2 = R1 R2
C1
I1 I
2
C2
(C1 ) vaø(C2 ) tieáp xuùc ngoaøi nhau I1I 2 = R1 R2
Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x 2 y 2 2 ax 2 by c 0
và đường tròn C ' : x 2 y 2 2a ' x 2b ' y c ' 0 .
Tọa độ giao điểm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 y 2 2 ax 2by c 0
(1)
(*)
2
2
(2)
x y 2 a ' x 2b ' y c ' 0
Cách giải (*): Sử dụng phép cộng và phép thế.
+ Trừ vế với vế hai phương trình (1) và (2) để được phương trình 1 ẩn. Từ phương trình 1 ẩn tìm được rút x hoặc
y và thay vào (1) hoặc (2) để tiếp tục được phương trình 1 ẩn. Giải phương trình nầy ta sẽ được kết quả cần tìm.
D. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
I. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : x 2 y 3 0 và hai điểm A 1;1 , B 1; 2
1) Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A và song song với đường thẳng
2) Viết phương trình đường thẳng d 2 đi qua B và vuông góc với đường thẳng
3) Viết phương trình đường thẳng AB
3
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M ; 0 là trung điểm đoạn AC . Phương
2
trình các đường cao AH , BK lần lượt là 2 x y 2 0 và 3 x 4 y 13 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC .
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , đường thẳng BC có phương trình
x y 4 0 , điểm M 1; 1 là trung điểm của đoạn AD . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD ,
biết đường thẳng AB đi qua điểm E 1;1 .
208
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Điểm M 2; 0 là trung điểm của AB . Đường
trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình 7 x 2 y 3 0 và 6 x y 4 0 . Viết phương trình
đường thẳng AC .
C
900 . Phương trình các
Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD có B
đường thẳng AC và DC lần lượt là x 2 y 0 và x y 3 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang
3 3
ABCD , biết trung điểm cạnh AD là M ; .
2 2
4
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A0; 1; B 3; 0 ; C ;3
3
1) Tìm tọa độ điểm E sao cho AB BE
2) Tìm tọa độ điểm F sao cho AC CF
Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 1;1 và đường thẳng : x 2 y 6 0 . Tìm tọa độ điểm M trên
đường thẳng sao cho AM 5 .
Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 1; 2 và đường thẳng : x 2 y 1 0 . Tìm tọa độ điểm M trên
đường thẳng sao cho AM 2 2 .
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A 1; 2; B 2; 1 . Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn IA 4 và
IB 2 .
Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A 4;8; B 5; 4 và đường thẳng : 3x y 4 0
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng sao cho MA MB .
17 1
Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A0;1; B ; và đường thẳng : x 2 y 3 0
5
5
Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng sao cho MA AB .
Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 5; 4 và đường thẳng : 3 x y 4 0
Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua đường thẳng .
Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 2; 0 , B 1;1 và đường thẳng : x 3 y 3 0 .
1) Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua A và tạo với một góc 450 .
2) Viết phương trình đường thẳng d 2 đi qua A và cách B một khoảng bằng 2 2 .
209
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
II. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC PHẲNG
Bài 1. Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh AC sao cho AN
1
AC .
4
Chứng minh rằng tam giác DMN vuông tại N .
Gợi ý chứng minh
Lấy điểm phụ F là trung điểm của DI sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên CD sao cho CN 2 ND . Chứng
450 .
minh MAN
Gợi ý chứng minh
Cách 1: Chứng minh ADN ∽ AHM , từ đó sẽ suy ra được đpcm.
Cách 2: Tính độ dài ba cạnh của tam giác AMN theo a (cạnh hình vuông).
Áp dụng định lý Côsin vào tam giác AMN sẽ được đpcm.
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường chéo AC . Các điểm M , K
lần lượt là trung điểm của AH và DC . Chứng minh rằng BM KM .
Gợi ý chứng minh
Lấy điểm phụ E là trung điểm của BH sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.
210
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AB 3 AD và H là hình chiếu
vuông góc của B trên CD , M là trung điểm của HC . Chứng minh rằng AM BM .
Gợi ý chứng minh
Gọi N , I là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với BC với các đường thẳng CD, CA
Chứng minh tứ giác NAME là hình bình hành và E là trực tâm tam giác NBM sẽ suy ra được đpcm.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B
trên đường thẳng MD . Chứng minh rằng AN CN .
Gợi ý chứng minh
Tứ giác BCND và tứ giác ABCN nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán.
211
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A , D là trung điểm đoạn AB . I , E lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC , trọng tâm tam giác ADC và G là giao điểm của AI và CD . Chứng minh rằng DG IE .
Gợi ý chứng minh
Chứng minh G là trực tâm tam giác DEI
Bài 7. Cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Gọi I là giao điểm của
CM và DN . Chứng minh rằng AI AD .
Gợi ý chứng minh
Lấy điểm phụ P là trung điểm của DC sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.
Bài 8. Cho hình thang vuông ABCD
A D 90 và DC 2 AB , H là hình chiếu của D trên đường chéo
0
AC , M là trung điểm của đoạn thẳng HC . Chứng minh rằng BM MD .
Gợi ý chứng minh
212
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Lấy điểm phụ E là trung điểm của DH sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.
Bài 9. Cho hình thang vuông ABCD
A B 90 và BC 2 AD , H là hình chiếu vuông góc của điểm B trên
0
cạnh CD , M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh rằng AH MH .
Gợi ý chứng minh
Tứ giác BDHM và tứ giác AHMD nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán.
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, R , phân giác trong của góc A cắt BC tại D , tiếp tuyến tạI
A với đường tròn cắt BC tại E . Chứng minh tam giác ADE cân tại E .
Bài 11: Cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho
AN 3NC . Tính độ dài đoạn IN biết rằng MN 10 .
Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O, R , H là trực tâm tam giác, AH cắt BC tại K và cắt
đường tròn tại D . Chứng minh K là trung điểm của HD .
Bài 13: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O, R , M , N là chân các đường cao kẻ từ đỉnh B và C .
Gọi I , J lần lượt là giao điểm của BM , CN với đường tròn. Chứng minh AO IJ .
Bài 14: Cho hình vuông ABCD . M là một điểm tùy ý trên đường thẳng BD M B, M D , H , K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AD . Chứng minh rằng CM HK .
Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, R , K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, AK cắt đường
tròn O, R tại D . Chứng minh rằng DB DC DK
213
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
III. CÁC BÀI TOÁN THI CĐ - TSĐH NĂM 2014.
Bài 1. (CĐ)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(2;5) và đường thẳng (d ) : 3 x 4 y 1 0 . Viết phương trình
đường thẳng đi qua A và vuông góc với (d ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (d ) sao cho AM 5 .
Đáp án
Bài 2. (ĐH-K.D)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm
D(1; 1) . Đường thẳng AB có phương trình 3 x 2 y 9 0 , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC có phương trình x 2 y 7 0 . Viết phương trình đường thẳng BC .
Đáp án
Bài 3. (ĐH-K.B)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD . Điểm M (3; 0) là trung điểm của cạnh AB ,
4
điểm H (0; 1) l hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G ;3 là trọng tâm tam giác BCD . Tìm tọa độ
3
các điểm B và D .
Đáp án
214
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài 4. (ĐH-K.A)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là
điểm thuộc đoạn AC sao cho AN 3NC . Viết phương trình đường thẳng CD , biết rằng M (1; 2) và N (2; 1) .
Đáp án
215
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
VI. CÁC DẠNG TOÁN THI
Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán tổng quát: Tìm điểm M : ax by c 0 thỏa điều kiện cho trước.
Phương pháp 1
B1. Đặt tọa độ cho điểm M .
am c
bm c
,
0
hoặc
; m , a 0
M m;
b
M
a
b
B2. Khai thác tính chất hình học của điểm M .
+ Tính đối xứng
+ Khoảng cách
+ Góc
+ Quan hệ song song, vuông góc
+ Tính chất của điểm và đường đặc biệt trong tam giác.
+ Tam giác đồng dạng
+ Ba điểm thẳng hàng, hai vectơ cùng phương
Chuyển tính chất hình học sang phương trình với ẩn m . Giải phương trình tìm m M .
Phương pháp 2
B1. Xem điểm M là giao điểm của hai đường (đường thẳng, đường tròn).
B2. Lập phương trình các đường. Giải hệ tìm M .
Ví dụ 1. Cho điểm A 1;3 và đường thẳng có phương trình x 2y 2 0 . Dựng hình vuông ABCD sao cho
hai đỉnh B, C nằm trên và các tọa độ đỉnh C đều dương. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D.
Bài giải
Đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với có phương trình: 2x y m 0
A 1;3 2 3 m 0 m 1
Suy ra: d : 2x y 1 0
Suy ra: BC AB 1 4 5
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình: x 2y 2 x 0 B 0;1
2x y 1
y 1
Đặt C x 0 ; y 0 với x 0 , y0 0 , ta có:
x 2y 0 2 0
x 2y 0 2
C
02
02
2
2
BC 5
x 0 y 0 1 5
x 0 y 0 1 5
216
xy 22 hoặc xy 02 (loại). Suy ra: C 2; 2
x 2 1 0
x 1
D 1; 4
Do ABCD là hình vuông nên: CD BA
y 2 3 1
y 4
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Giải hệ này ta được:
0
0
0
0
Vậy B 0;1 , C 2; 2 , D 1; 4
D
D
D
D
HĐBM-TỔ TOÁN
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Biết A 1; 4 , B 1; 4 và đường thẳng BC đi
1
qua điểm I 2; . Tìm tọa độ đỉnh C.
2
Bài giải
Phương trình đường thẳng BC: 9x 2y 17 0
AB 2; 8
9c 17
Do C BC nên ta có thể đặt C c;
9c 25
, ta có
2
AC c 1; 2
9c 25
Theo giả thiết tam giác ABC vuông tại A nên: AB.AC 0 c 1 4.
0c3
2
Vậy C 3;5 .
9 3
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, I ; và tâm của hình chữ
2 2
nhật là M 3; 0 là trung điểm của cạnh AD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Bài giải
Do MI là đường trung bình của tam giác ABD nên AB 2MI 2
Vì SABCD AB.AD 12 nên AD
3 3
Đường thẳng AD qua M 3; 0 và nhận IM ; làm VTPT có phương trình là:
2 2
9 9
3 2
4 4
12
2 2 MA MD 2
AB
3
3
x 3 y 0 0 x y 3 0
2
2
Phương trình đường tròn tâm M bán kính R 2 là: x 3 y2 2
2
Tọa độ A và D là nghiệm của hệ phương trình:
x y 3 0
y 3 x
x2 x4
x 3 2 y 2 2 x 3 2 3 x 2 2 y 1 y 1
Suy ra: ta chọn A 2;1 , D 4; 1
Vì I là trung điểm của AC nên:
xy
C
C
2x I x A 9 2 7
C 7; 2
2y I y A 3 1 2
217
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
Vì I là trung điểm của BD nên:
xy
HĐBM-TỔ TOÁN
B
2x I x D 5
B 5; 4
2y I y D 4
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A 2;1 , B 5; 4 ,C 7; 2 , D 4; 1 .
B
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A 2; 4 , B 0; 2 và trọng tâm G thuộc đường thẳng
3x y 1 0 . Hãy tìm tọa độ của C biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 3.
Bài giải
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên:
1
1
SGAB SABC .3 1
3
3
Phương trình đường thẳng AB là:
x2 y4
x y2 0
2
2
Đặt G a; b , do G d : 3x y 1 0 nên 3a b 1 0 , ta có:
1
a 2 a 1
3a
b
1
3a
b
1
Tọa độ G là nghiệm của hệ:
a b 1
a b 3
1 b 2
b
2
1
1
SGAB 1 .AB.d G, AB 1 .2 2.d G, AB 1
2
2
1
d G, AB
2
a b2
1
2
2
a b 2 1
1 1
Suy ra: G ; hoặc G 1; 2
2 2
7
x C 3x G x A x B 2
1 1
7 9
Với G ; thì
C ;
9
2 2
2 2
y C 3y G y A y B
2
x 3x G x A x B 5
Với G 1; 2 thì C
C 5;0
y C 3y G y A y B 0
7 9
Vậy có hai điểm C thỏa đề bài là : C 5;0 và C ; .
2 2
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x y 1 0 và đường tròn C : x 2 y 2 2x 4y 0 .
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) mà qua đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến MA và MB với (C) (A,B là hai
60 0 .
tiếp điểm) sao cho AMB
218
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài giải
(C) có tâm I 1; 2 và bán kính R 5
600 AMI
1 AMB
300
Theo giả thiết: AMB
2
Tam giác AMI vuông tại A nên: s in300
Đặt M t; t 1 (d) , ta có:
IM 2 20 t 1 t 1 20 t 2 9 t 3
2
AI
IM 2AI 2R 2 5
IM
2
Vậy có hai điểm cần tìm là M1 3; 2 và M 2 3; 4 .
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 0; 2 và đường thẳng d : x 2y 2 0 . Tìm trên đường thẳng (d)
hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB 2BC .
Bài giải
Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra B là hình chiếu vuông góc của A trên (d)
Phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (d) là: 2x y m 0
A 0; 2 2 m 0 m 2
Suy ra: : 2x y 2 0
Đặt C 2t 2; t (d) , theo giả thiết ta có:
Với t 1 C 0;1
AB 2BC AB2 4BC 2
2
2
2
2
12 6
2
6
0 2 4 2t t
5 5
5
5
2
2t 12t 7 0
t 1
7
t 5
Với t
2
x 5
2 6
2x
y
2
Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:
B ;
x 2y 2
6
5 5
y
5
7
5 7
C ;
5
4 5
2 6 4 7
2 6
Vậy các điểm cần tìm là: B ; , C 0;1 hoặc B ; , C ; .
5 5
5 5 5 5
219
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng
d : 2 x y 5 0 và A 4;8 . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B trên
đường thẳng MD . Tìm tọa độ điểm B và C , biết rằng N 5; 4 .
Bài giải
Do C d nên C t ; 2t 5 . Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD , suy ra I là trung điểm của AC .
t 4 2t 3
Do đó: I
;
2
2
Tam giác BDN vuông tại N nên IN IB . Suy ra: IN IA
Do đó ta có phương trình:
t 4
t 4 2t 3
2t 3
4
4
8
t 1
5
2
2
2
2
2
2
2
2
Suy ra: C 1; 7
Do M đối xứng với B qua C nên CM CB . Mà CB AD và CM || AD nên tứ giác ACMD là hình bình
hành. Suy ra AC || DM . Theo giả thiết, BN DM , suy ra BN AC và CB CN . Vậy B là điểm đối xứng
của N qua AC
Đường thẳng AC có phương trình: 3x y 4 0 .
Đường thẳng BN qua N và vuông góc với AC nên có phương trình: x 3 y 17 0
Do đó: B 3a 17; a
Trung điểm của BN thuộc AC nên:
3a 17 5 a 4
3
4 0 a 7
2
2
Vậy B 4; 7 .
220
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau
và AD 3 BC . Đường thẳng BD có phương trình x 2 y 6 0 và tam giác ABD có trực tâm là H 3; 2 .
Tìm tọa độ các đỉnh C và D .
Bài giải
450
Gọi I là giao điểm của AC và BD IB IC . Mà IB IC nên IBC vuông cân tại I ICB
BH AD BH BC HBC vuông cân tại B I là trung điểm của đoạn thẳng HC
Do CH BD và trung điểm I của CH thuộc BD nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ
2 x 3 y 2 0
y 2
x 3
2
6 0
2
2
Do đó C 1;6
Ta có
IC IB BC 1
CH 10
ID 3 IC CD IC 2 ID 2 IC 10
5 2
ID ID AD 3
2
t 1
2
2
Do D 6 2t ; t và CD 5 2 suy ra: 7 2t t 6 50
t 7
Vậy D 4;1 hoặc D 8;7 .
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là
17 1
H ; , chân đường phân giác trong của góc A là D 5;3 và trung điểm của cạnh AB là M 0;1 . Tìm tọa
5
5
độ đỉnh C .
221
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài giải
Ta có H AH và AH HD nên AH có phương trình: x 2 y 3 0 . Do đó A 3 2 a; a
Do M là trung điểm của AB nên MA MH
a 3
Suy ra 3 2a a 1 13
1
a
5
2
2
Do A khác H nên A 3;3
Phương trình đường thẳng AD là y 3 0 . Gọi N là điểm đối xứng của M qua AD . Suy ra N AC và tọa
độ điểm N thỏa mãn hệ
1 y
2 3 0
N 0;5
1.x 0. y 1 0
Đường thẳng AC có phương trình 2 x 3 y 15 0
Đường thẳng BC có phương trình 2 x y 7 0
2 x y 7 0
Suy ra tọa độ điểm C thỏa mãn hệ
2 x 3 y 15 0
Do đó C 9;11 .
9 3
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có điểm M ; là trung điểm của cạnh
2 2
AB , điểm H 2; 4 và điểm I 1;1 lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC . Tìm tọa độ điểm C .
Bài giải
7 1
IM ; . Ta có M AB và AB IM nên đường thẳng AB có phương trình 7 x y 33 0
2 2
A AB A a;7 a 33 . Do M là trung điểm của AB nên B a 9; 7 a 30
a 4
Ta có AH HB AH .HB 0 a 2 9a 20 0
a 5
Với a 4 A 4;5 , B 5; 2 . Ta có BH AC nên đường thẳng AC có phương trình x 2 y 6 0
222
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
c 1
2
2
Do đó C 6 2c; c . Từ IC IA 7 2c c 1 25
c 5
Do C khác A , suy ra C 4;1
Với a 5 A 5; 2 , B 4;5 . Ta có BH AC nên đường thẳng AC có phương trình 2 x y 8 0
t 1
2
2
Do đó C t; 2 t 8 . Từ IC IA t 1 2t 7 25
c 5
Do C khác A , suy ra C 1;6 .
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn C : x 1 y 1 4 và đường thẳng
2
2
: y 3 0 . Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của C , các đỉnh N và P thuộc , đỉnh M và trung
điểm cạnh MN thuộc C . Tìm tọa độ điểm P .
Bài giải
Ta có tâm của C là I 1;1 . Đường thẳng IM vuông góc với nên có phương trình x 1 . Do đó M 1; a
Do M C nên a 1 4 . Suy ra a 1 hoặc a 3 . Mà M nên ta được M 1; 1
2
2
b 5
b 1
2
N N b;3 . Trung điểm MN thuộc C
1 1 1 4
b 3
2
Do đó N 5;3 hoặc N 3;3
P P c;3
+ Khi N 5;3 , từ MP IN suy ra c 1 . Do đó P 1;3
+ Khi N 3;3 , từ MP IN suy ra c 3 . Do đó P 3;3 .
Ví dụ 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N
11 1
là điểm trên cạnh CD sao cho CN 2 ND . Giả sử M ; và đường thẳng AN có phương trình
2 2
2 x y 3 0 . Tìm tọa độ điểm A .
Bài giải
Gọi H là giao điểm của AN và BD . Kẻ đường thẳng qua H và song song với AB , cắt AD và BC lần lượt
tại P và Q . Đặt HP x . Suy ra PD x, AP 3x và HQ 3 x . Ta có QC x , nên MQ x .
223
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Do đó AHP HMQ , suy ra AH HM
Hơn nữa, ta cũng có AH HM . Do đó AM 2 MH 2d M ,( AN )
3 10
2
A AN , suy ra A t; 2t 3 . Khi đó:
2
2
t 1
11
3 10
7
45
t 2t
t 2 5t 4 0
MA
2
2
2
2
t 4
Vậy A 1; 1 hoặc A 4;5 .
Ví dụ 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD . Các đường thẳng AC và AD lần
1
lượt có phương trình là x 3 y 0 và x y 4 0 ; đường thẳng BD đi qua điểm M ;1 . Tìm tọa độ các
3
đỉnh hình chữ nhật ABCD .
Bài giải
x 3 y 0
Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ
A3;1
x y 4 0
Gọi N là điểm thuộc AC sao cho MN || AD .
4
Suy ra MN có phương trình là x y 0 .
3
4
x y 0
1
N 1;
Vì N thuộc AC , nên tọa độ điểm N thỏa mãn hệ
3
3
x 3 y 0
Đường trung trực của MN đi qua trung điểm của MN và vuông góc với AD , nên có phương trình là
x y 0
Gọi I và K lần lượt là giao điểm của với AC và AD .
x y 0
Suy ra tọa độ của điểm I thỏa mãn hệ
I 0; 0
x 3 y 0
x y 0
và tọa độ điểm K thỏa mãn hệ
K 2; 2
x y 4 0
AC 2 AI C 3; 1; AD 2 AK D 1;3
BC AD B 1; 3 .
Ví dụ 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : x y 2 0 và đường tròn
C : x 2 y 2 4 x 2 y 0 . Gọi I là tâm của C , M là điểm thuộc . Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB
đến C ( A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 .
Bài giải
Đường tròn C có tâm I 2;1 , bán kính IA 5
MBI
900 và MA MB
Tứ giác MAIB có MAI
224
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
S MAIB IA.MA MA 2 5 IM IA2 MA2 5
M , có tọa độ dạng M t ; t 2
t 2
2
2
MA 5 t 2 t 3 25 2t 2 2t 12 0
t 3
Vậy M 2; 4 hoặc M 3;1 .
Ví dụ 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 1) là trung điểm cạnh AC, điểm H (0; 3)
là chân đường cao kẻ từ A, điểm E (23; 2) thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C. Tìm tọa độ điểm B biết
điểm A thuộc đường thẳng d : 2 x 3 y 5 0 và điểm C có hoành độ dương.
Bài giải
x 1 3t
A(3a 1, 2a 1).
y 1 2t
A d : 2x 3 y 5 0
Vì M (2; 1) là trung điểm AC nên suy ra C (3 3a; 1 2a)
HA (3a 1; 2a 4)
HC (3 3a; 4 2a ).
a 1
Vì
AHC 900 nên HA.HC 0
19
a .
13
+ Với a 1 A(2; 3), C (6; 1) thỏa mãn.
19
18 51
C ; không thỏa mãn.
13
13 13
Với A(2; 3), C (6; 1) ta có phương trình CE : x 17 y 11 0, phương trình BC : x 3 y 9 0
+ Với a
3b 7 b 3
Suy ra B(3b 9; b) BC trung điểm AB là N
;
.
2
2
Mà N CE b 4 B (3; 4).
Ví dụ 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I (2; 1),
là x y 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng BC 8 5 và góc BAC
phương trình đường phân giác trong góc BAC
5
nhọn.
Bài giải
Vì AD là phân giác trong góc A nên AD cắt đường tròn (ABC) tại E là điểm chính giữa cung BC IE BC .
Vì E thuộc đường thẳng x y 0 và IE IA R E (0; 0).
Chọn n BC EI (2; 1) pt BC có dạng 2 x y m 0.
Từ giả thiết HC
4 5
3
IH IC 2 HC 2
5
5
225
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
d ( I , BC )
3
5
HĐBM-TỔ TOÁN
m 2
BC : 2 x y 2 0
| m5|
3
5
5
BC : 2 x y 8 0.
m 8
nhọn nên A và I phải cùng phía đối với BC, kiểm tra thấy BC : 2 x y 2 0 thỏa mãn.
Vì BAC
2 x y 2 0
8 6
8 6
B (0; 2), C ; hoặc B ; , C (0; 2) .
2
2
5 5
5 5
( x 2) ( y 1) 5
Từ hệ
Ví dụ 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao
kẻ từ B là x 3 y 18 0, phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng BC là 3x 19 y 279 0, đỉnh C
1350.
thuộc đường thẳng d : 2 x y 5 0. Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng BAC
Bài giải
B BH : x 3 y 18 B (3b 18; b ),
C d : y 2 x 5 C (c; 2c 5).
Từ giả thiết suy ra B đối xứng C qua đường trung trực
u .BC 0
: 3 x 19 y 279 0
trung ñieåm BC là M
60b 13c 357
b 4 B (6; 4)
10b 41c 409
c 9 C (9; 23).
AC BH chọn n AC u BH (3; 1) pt AC : 3 x y 4 0 A(a; 3a 4)
AB (6 a; 8 3a ), AC (9 a; 27 3a ).
1
Ta có A 1350 cos( AB , AC )
2
(9 a )(3 a )
| 9 a | a 2 6a 10
(6 a )(9 a ) (8 3a)(27 3a)
(6 a ) 2 (8 3a ) 2 . (9 a )2 (27 3a ) 2
1
2
3 a 9
1
a 4. Suy ra A(4; 8).
2
2
2
2(3 a ) a 6a 10
Ví dụ 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường
chéo AC : x y 1 0, điểm G(1; 4) là trọng tâm của tam giác ABC, điểm E (0; 3) thuộc đường cao kẻ từ D của
tam giác ACD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành đã cho biết rằng diện tích của tứ giác AGCD bằng 32 và
đỉnh A có tung độ dương.
Bài giải
Vì DE AC nên DE : x y 3 0 D t ; t 3 .
1
1
Ta có d G , AC d B, AC d D, AC
3
3
226
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
D 1; 4
t 1
1 2t 4
2 .
.
3
2
t 5 D 5; 2
Vì D và G nằm khác phía đối với AC nên D 1; 4 .
1 1 2. xB 1
Ta có GD 2GB
B 1; 8 BD : x 1.
4 4 2 yB 4
Vì A AC : x y 1 0 A a; a 1 .
1
Ta có S AGCD S AGC S ACD 1 S ABC S ABC S ABD .
3
3
3
4
4
A 5; 6 tm
a 5
1
Suy ra S ABD 24 .d A, BD .BD 24 a 1 .12 48
2
a 3 A 3; 2 ktm
Từ AD BC C 3; 2 .
Vậy A 5; 6 , B 1; 8 , C 3; 2 , D 1; 4 .
Ví dụ 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AD // BC, AD 2 BC , đỉnh B(4; 0),
phương trình đường chéo AC là 2 x y 3 0, trung điểm E của AD thuộc đường thẳng : x 2 y 10 0. Tìm tọa
độ các đỉnh còn lại của hình thang đã cho biết rằng cot
ADC 2.
Bài giải
Gọi I AC BE. Vì I AC I t ; 2t 3 . Ta thấy I là trung điểm của BE nên E 2t 4; 4t 6 .
Theo giả thiết E t 3 I 3; 3 , E 2; 6 .
.
Vì AD / / BC , AD 2 BC nên BCDE là hình bình hành. Suy ra
ADC IBC
cot
Từ cot IBC
ADC 2 cos IBC
2
.
5
Vì C AC C c; 2c 3 BI 1; 3 , BC c 4; 2c 3 . Ta có
cos IBC
c 1
2
5c 5
2
2
5
5
3c 22c 35 0
10. 5c 2 20c 25
7 5
Suy ra C 5; 7 hoặc C ; .`
3 3
c 5
.
c 7
3
Với C 5; 7 , ta thấy I là trung điểm của AC nên A 1; 1 , vì E là trung điểm của AD nên D 3; 13.
7 5
11 13 1 23
Với C ; , tương tự ta có A ; , D ; .
3 7
3 3 3 3
227
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
4
Ví dụ 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ; 1, trung điểm BC là M (1; 1),
3
phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B là x y 7 0. Tìm tọa độ A, B, C.
Bài giải
Từ tính chất trọng tâm ta có MA 3MG A(2; 1).
B BH : y x 7 B(b, b 7).
Vì M (1; 1) là trung điểm BC nên C (2 b; b 5). Suy ra AC (b; b 6).
BH AC nên u BH . AC 0 b (b 6) 0 b 3.
Suy ra B(3; 4), C (1; 2).
Ví dụ 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC . Đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B, trung
tuyến kẻ từ C lần lượt nằm trên các đường thẳng có phương trình x y 6 0, x 2 y 1 0, x 1 0 . Tìm tọa độ
A, B, C.
Bài giải
x 2 y 1 0
suy ra trọng tâm G(1; 1).
x 1 0
Từ hệ
A AH , B BM , C CN A(a; 6 a ), B(2b 1; b ), C (1; c).
a (2b 1) 1 3 a 2b 3
Do G (1; 1) là trọng tâm nên
(6 a ) b c 3
a b c 3
(1)
Ta có u AH (1; 1), BC (2 2b; c b). Vì AH BC nên u AH .BC 0
2 2b c b 0 b c 2
Từ (1) và (2) suy ra a 5, b 1, c 3. Suy ra A(5; 1), B(3; 1), C (1; 3).
(2)
Ví dụ 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, phương trình BC : 2 x y 7 0,
đường thẳng AC đi qua điểm M (1; 1), điểm A nằm trên đường thẳng : x 4 y 6 0. Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hoành độ dương.
Bài giải
Vì A : x 4 y 6 0 A(4 a 6; a ) MA( 4a 5; a 1).
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên
ACB 450.
Do đó cos( MA, u BC )
1
2
( 4a 5) 2(a 1)
( 4a 5) ( a 1) . 5
2
2
1
2
228
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
A( 2; 2)
a 2
14 16
13a 42a 32 0
A ; ( ktm )
a 16
13 13 13
2
Vậy A(2; 2). Suy ra AC : x 3 y 4 0, AB : 3x y 8 0. Từ đó ta có B (3; 1), C (5; 3).
Ví dụ 23: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn
(C): x 2 y 2 2 x 4 y 1 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết điểm M (0;1) là trung điểm cạnh AB và điểm A
có hoành độ dương.
Bài giải
Đường tròn (C) có tâm I (1; 2), bán kính IA 2.
Ta có IM (1; 1), IM AB suy ra phương trình đường thẳng AB : x y 1 0.
A AB A( a; a 1). Khi đó
IA 2 (a 1) 2 ( a 1) 2 4 a 2 1 a 1 (do a 0) . Suy ra A(1; 2); B (1; 0).
Ta có IA (2; 0), IA BC suy ra phương trình BC : x 1 0, phương trình AI : y 2 0.
Gọi N là giao điểm của AI và BC. Suy ra N (1; 2) và N là trung điểm BC. Suy ra C (1; 4).
Ví dụ 24: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC; phương trình các đường thẳng chứa đường cao và
đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt là x 2 y 13 0 và 13x 6 y 9 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I (5 ; 1).
Bài giải
Ta có A(3; 8). Gọi M là trung điểm BC IM // AH .
Ta suy ra pt IM : x 2 y 7 0. Suy ra tọa độ M thỏa mãn
x 2 y 7 0
M (3; 5).
13 x 6 y 9 0
Pt đường thẳng BC : 2( x 3) y 5 0 2 x y 11 0. B BC B(a; 11 2 a ).
a 4
.
Khi đó IA IB a 2 6a 8 0
a 2
Từ đó suy ra B(4; 3), C (2; 7) hoặc B(2; 7), C (4; 3).
Ví dụ 25: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 1); đường cao từ đỉnh A có phương
trình 2 x y 1 0 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x 2 y 1 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện
tích tam giác ABC bằng 6.
229
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài giải
1 3
5 5
Tọa độ chân đường cao H ( ; ).
Đường thẳng d đi qua G và song song BC có pt d : x 2 y 3 0. d AH I I ( ; ). Ta có
1 7
5 5
HA 3HI A(1; 3).
d ( A, BC )
6
5
. Suy ra BC
2 S ABC
2 5.
d ( A, BC )
Gọi M là trung điểm BC. Khi đó MA 3MG M (1; 0).
Gọi B( x1;
x1 1
). Khi đó MB 5 ( x1 1) 2 4
2
+ Với x1 3 B (3; 1) C ( 1; 1).
x1 3
x 1.
1
+ Với x1 1 B (1;1) C (3; 1).
Suy ra A(1; 3), B(3; 1), C (1; 1) hoặc A(1; 3), B(1; 1), C (3; 1).
Ví dụ 26: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD có đáy lớn CD = 3AB, C(–3; –3), trung điểm của AD là
M(3; 1). Tìm tọa độ đỉnh B biết SBCD = 18, AB =
10 và đỉnh D có hoành độ nguyên dương.
Bài giải
Gọi n = (A; B) là vectơ pháp tuyến của CD (A2 + B2 > 0)
Ta có CD: A(x + 3) + B(y + 3) = 0 Ax + By + 3A + 3B = 0.
Ta có: SBCD = SACD = 18
2SACD
36
6 10
3 10
d(A; CD) =
d(M; CD) =
CD
5
5
3 10
3A B 3A 3B 3 10
5 6A 4B 3 10 A2 B2
2
2
5
A B
25(36A2 + 48AB + 16B2) = 90(A2 + B2)
810A2 + 1200AB + 310B2 = 0 A
B
31B
hay A
.
3
27
B
: Chọn B = –3 A = 1 (CD): x – 3y – 6 = 0 D(3d + 6; d)
3
Ta có: CD2 = 90 (3d + 9)2 + (d + 3)2 = 90 (d + 3)2 = 9 d = 0 hay d = –6
D(6; 0) (nhận) hay D(–12; –6) (loại). Vậy D(6; 0) A(0; 2)
1
Ta có AB DC (3; 1) B(–3; 1).
3
31B
: Chọn B = –27 A = 31 CD: 31x – 27y + 12 = 0
* A
27
* A
729
31d 12
31d 93
2
2
2
D d;
(loại)
CD (d 3)
90 (d 3)
27
169
27
Vậy B(–3; 1).
2
230
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Ví dụ 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 , đường thẳng AB
có phương trình 3x 4 y 1 0 , đường thẳng BD có phương trình 2 x y 3 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C , D.
Bài giải
Điểm B là giao giữa AB và BD B 1; 1
S ABCD AB. AD 22 (1) . Đường thẳng AB có vtpt n1 3;4 , AC có vtpt n2 2; 1
n1 . n2
2
11 AD (2)
tan ABD
cos ABD cos n1 ; n2
2 AB
n1 n2 5 5
từ (1),(2) AD 11 , AB 2 (3)
D BB D a;2a 3 , AD d D; AB
11a 11
5
(4) . Từ (3) & (4) suy ra
11a 11 55 a 6 , a 4
3 1 7
a 6 D 6;9 . Do AD AB AD : 4 x 3 y 3 0 A ; , I ;4 trung điểm của BD . C đối xứng A
5 5
38 39
;
5 5
2
qua I C
a 4 D(4; 11) tương tự trên ta tính được A ;
5
5
13
11
28 49
& C ; .
5
5
Ví dụ 28: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực
tâm H 1;0 , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K 0;2 , trung điểm cạnh AB là M 3;1 .
Bài giải
Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận HK 1;2 làm véc tơ pháp tuyến và AC qua K 0;2
nên AC : 1 x 0 2 y 2 0 AC : x 2 y 4 0 BK : 2 x y 2 0
Gọi A 2a 4; a AC , B b;2 2b BK mặt khác M 3;1 là trung điểm AB nên ta có hệ
2a 4 b 6
2 a b 10 a 4 A 4;4
a 2 2b 2 a 2b 0
b 2
B 2; 2
AB qua A 4; 4 và có AB 2; 6 AB : 3 x y 8 0
BC qua B 2; 2 và vuông góc với AH nên nhận HA 3;4 làm véc tơ pháp tuyến
BC : 3 x 2 4 y 2 0 BC : 3 x 4 y 2 0 .
231
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng.
Yêu cầu
1) Nắm vững chắc tất cả các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
2) Đặc biệt lưu ý dạng thường sử dụng sau:
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT n ( A; B ) là:
y
n
M ( x; y )
x
O
() : A( x x 0 ) B( y y0 ) 0
M 0 ( x0 ; y 0 )
( A2 B 2 0 )
Ví dụ 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết
A 1; 6 và hai đường trung tuyến nằm trên hai đường thẳng có phương trình là x 2y 1 0,3x y 2 0 .
Bài giải
Do tọa độ điểm A không nghiệm đúng các phương trình đã cho nên ta có thể giả sử rằng:
Phương trình trung tuyến BM là: x 2y 1 0
Phương trình trung tuyến CN là: 3x y 2 0
b6
Đặt B 2b 1; b , do N là trung điểm AB nên : N b;
2
b6
b6
N b;
2 0 b 2
CN 3b
2
2
Suy ra: B 3; 2
c 1 3c 4
;
Đặt C c;3c 2 , do M là trung điểm AC nên : M
2
2
c 1
3c 4
c 1 3c 4
M
;
2.
1 0 c 1
BM
2
2
2
2
Suy ra: C 1; 5
Vậy phương trình AB, BC, AC là:
AB : 11x 2y 1 0
BC : 7x 4y 13 0 .
AC : 2x y 8 0
232
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 6; 2 và đường tròn (C) có phương trình x 1 y 2 5
2
2
Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 10 .
Bài giải
Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 và bán kính R 5
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB, ta có:
IH 2 IA 2 AH 2 R 2
AB2
10 5
10
5 IH
4
4 2
2
Đường thẳng (d) đi qua M và có VTPT n a; b có dạng:
Đường thẳng (d) thỏa đề bài khi:
a x 6 b y 2 0 ax by 6a 2b 0
a 2b 6a 2b
d I;(d) IH
a b
2
+ Với b 3a ta được d : x 3y 0
2
10
9a 2 b 2 b 3a
2
+ Với b 3a ta được d : x 3y 12 0 .
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD : x y 0 , đường cao
CH : 2x y 3 0 , cạnh AC qua M 0; 1 ,
AB 2AM . Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
Bài giải
Gọi N là điểm đối xứng của M qua AD. Suy ra: N tia AB
Mặt khác ta có: AN AM AB 2AN N là trung điểm của AB
Do MN AD nên phương trình MN là: x y m1 0
M 0; 1 MN 1 m1 0 m1 1
Suy ra: MN : x y 1 0
Vì K là trung điểm của MN nên:
1
x
2 K 1 ; 1
Gọi K MN AD , tọa độ K là nghiệm của hệ pt: x y 1
xy0
1
2 2
y
2
xy
N
N
2x K x M 1
N 1; 0
2y K y M 0
Do AB CH nên phương trình AB là: x 2y m 2 0
N 1;0 AB 1 m 2 0 m2 1
233
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Suy ra: AB : x 2y 1 0
Vì A AB AD nên tọa độ A là nghiệm của hệ pt: x 2y 1 x 1 A 1;1
xy0
y 1
Suy ra: AC : 2x y 1 0
1
1
Vì C AC CH nên tọa độ C là nghiệm của hệ pt: 2x y 1 x 2 C ; 2
2x y 3
2
y 2
Do N là trung điểm của AB
xy
B
2x N x A 3
B 3; 1
2y N y A 1
Phương trình cạnh BC: BC : 2x 5y 11 0 .
B
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh A 1; 2 . Trung tuyến CM : 5x 7y 20 0 và
đường cao BH : 5x 2y 4 0 . Viết phương trình các cạnh AC và BC.
Bài giải
Do AC BH nên phương trình AC là: 2x 5y m 0
A 1; 2 AC 2 10 m 0 m 8
Suy ra: AC : 2x 5y 8 0
5x2x 7y5y 820 xy 04 C 4; 0
Do C AC CM nên tọa độ C là nghiệm của hệ pt:
Đặt B a; b , do B BH nên: 5a 2b 4 0
1 a 2 b
;
Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ M là : M
2
2
1 a
2b
1 a 2 b
7.
20 0 5a 7b 31 0
;
Do M
CM 5.
2
2
2
2
Tọa độ M là nghiệm của hệ: 5a 2b 4 a 2 B 2;3
5a 7b 31
b3
Phương trình cạnh BC là: BC : 3x 2y 12 0 .
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x 2 y 2 4 x 2 y 15 0. Gọi I là tâm đường tròn
(C ). Đường thẳng đi qua M (1; 3) cắt (C ) tại hai điểm A và B. Viết phương trình đường thẳng biết tam
giác IAB có diện tích bằng 8 và cạnh AB là cạnh lớn nhất.
234
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài giải
Đường tròn (C) có tâm I (2; 1), bán kính R 2 5. Gọi H là trung điểm AB. Đặt AH x (0 x 2 5 ).
Khi đó ta có
x 4
1
IH . AB 8 x 20 x 2 8
2
x 2 (ktm vì AB IA)
nên AH 4 IH 2.
Pt đường thẳng qua M: a ( x 1) b( y 3) 0 ( a 2 b 2 0)
ax by 3b a 0.
Ta có d ( I , AB) IH 2
| a 2b |
a2 b2
2 a (3a 4b) 0 a 0 a
* Với a 0 ta có pt : y 3 0.
* Với a
4
b.
3
4
b. Chọn b 3 ta có a 4 . Suy ra pt : 4 x 3 y 5 0.
3
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là y 3 0 và 4 x 3 y 5 0.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng
d :2 x 5 y 1 0 , cạnh AB nằm trên đường thẳng d :12 x y 23 0 . Viết phương trình đường thẳng AC
biết nó đi qua điểm M 3;1 .
Bài giải
VTPT của BC : nBC 2; 5 , VTPT của AB : n AB 12; 1 ,
VTPT của AC : nAC a; b , a 2 b 2 0 . Ta có
ABC
ACB 900
cos
ABC cos
ACB cos n AB , nBC cos nBC , nCA
n .n
n .n
2a 5b
145
AB BC CA BC
9 a 2 100ab 96b 2 0
2
2
n AB . nBC
nCA . nBC
5
a b
a 12b 0 9a 8b 0
+ Với a 12b 0 Chọn a 12, b 1 thì nCA 12; 1 AB AC ( loại)
+ Với 9a 8b 0 Chọn a 8, b 9 nên AC : 8 x 3 9 y 1 0
Vậy AC : 8 x 9 y 33 0 .
Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn T : x 2 y 2 x 9 y 18 0 và hai điểm
A 4;1 , B 3; 1 . Gọi C , D là hai điểm thuộc T sao cho ABCD là một hình bình hành. Viết phương trình
đường thẳng CD .
235
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài giải
1
9 10
Ta có T : x x
nên T có tâm
2
2
4
AB 1; 2 , AB 5 , và AB : 2 x y 7 0 .
2
2
10
1 9
I ; bán kính R
2
2 2
Đường thẳng CD AB CD : 2 x y m 0 ( điều kiện m 7 )
2m 7
Khoảng cách từ I đến CD là h
2 5
5 2m 7
và CD 2 R h 2
2
20
2
2
2
m 6
5 2m 7
2
5 2m 7 25
thỏa mãn
Ta có CD AB 2
2
20
m 1
2
+ m 6 pt CD : 2 x y 6 0
+ m 1 pt CD : 2 x y 1 0
Có hai đường thẳng thỏa mãn : 2 x y 6 0; 2 x y 1 0 .
Dạng 3: Viết phương trình đường tròn.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B (4; 1) và đường thẳng : 3 x 4 y 5 0. Viết
phương trình đường tròn đi qua A, B và cắt tại C, D sao cho CD 6.
Bài giải
Giả sử (C) có tâm I (a; b), bán kính R 0.
Vì (C) đi qua A, B nên IA IB R
(a 1)2 (b 2) 2 (a 4)2 (b 1) 2 R
b 3a 6
I (a; 3a 6)
2
2
R 10a 50a 65
R 10a 50a 65
Kẻ IH CD tại H. Khi đó CH 3, IH d ( I , )
R IC CH 2 IH 2 9
9a 29
5
(9a 29)2
25
Từ (1) và (2) suy ra 10a 2 50 a 65 9
(1)
(2)
(9a 29) 2
169 a 2 728a 559 0
25
I (1; 3), R 5
a 1
43 51
5 61
a 43
I ; , R
13
13
13 13
43
51 1525
Suy ra (C ) : ( x 1) ( y 3) 25 hoặc (C ) : x y
.
13
13
169
2
2
2
2
236
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 5 x 2 y 19 0 và đường tròn
(C ) : x 2 y 2 4 x 2 y 0. Từ một điểm M nằm trên đường thẳng kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C ) (A
và B là hai tiếp điểm). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết rằng AB 10 .
Bài giải
Đường tròn (C) có tâm I (2; 1), bán kính R 5. Gọi H MI AB. Ta có AH
1
10
AB
.
2
2
Trong tam giác vuông MAI (tại A) với đường cao AH ta có
1
1
1
1
4 1
2
AM 5 MI 10 .
2
2
2
10 5
AH
AI
AM
AM
Ta có : 5x 2y 19 0 :
x 5 y 3
M (5 2m; 3 5m)
2
5
Khi đó MI 10 (3 2m) 2 ( 2 5m) 2 10 29m 2 32m 3 0 m 1 hoặc m
Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB là đường tròn đường kính MI.
5
2
3
.
29
1
2
+ Với m 1 ta có M (3; 2). Khi đó pt đường tròn ngoại tiếp AMB là x y .
+ Với m
2
2
5
2
197
101
5
3
139 72
;
ta có M
.
y
. Khi đó pt đt ngoại tiếp AMB là x
29
58
58
2
29 29
2
2
Ví dụ 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 1; 2 ; B 3; 4 và đường thẳng d : y 3 0. ,Viết phương trình
600 .
đường tròn C đi qua hai điểm A, B và cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M , N sao cho MAN
Bài giải
Gọi C : x 2 y 2 2ax 2by c 0 (đk a 2 b 2 c 0)
A 1; 2 C
5 2 a 4b c 0
b 5 a
25 6a 8b c 0 c 15 2a
B 3; 4 C
Vậy C có tâm I a; a 5 , bán kính R a 2 5 a 15 2a 2 a 2 4a 5
2
C cắt đường thẳng
600 . Suy ra
d tại hai điểm phân biệt M , N sao cho MAN
1200 I MN
I NM
300 hạ IH d IH d I , d 1 R
MIN
2
2a
1
2 a 2 4 a 5 a 2 4a 3 0 a 1 a 3
2
+ Khi a 1 ta có đường tròn C : x 2 y 2 2 x 8 y 13 0 ( loại do I , A khác phía đường thẳng d )
237
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
+ Khi a 3 C : x 2 y 2 6 x 4 y 9 0 C : x 3 y 2 4 (t/ mãn).
2
HĐBM-TỔ TOÁN
2
Ví dụ 4:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai đường tròn C1 : x 2 y 2 10 x 0 ,
C2 : x 2 y 2 4 x 2 y 20 0 . Viết phương trình đường tròn C đi qua các giao điểm của C1 , C2 và có tâm
nằm trên đường thẳng d : x 6 y 6 0 .
Bài giải
Toạ độ giao điểm của C1 và C2 là nghiệm của hệ phương trình
2
x 2 y 2 10 x 0
x 2 y 2 10 x 0
50 x 3 x 2 0
2
2
7 x y 10 0
x y 4 x 2 y 20 0
y 7 x 10
A1 1 ; 3
x 1 , x 2
x 1 y 3
vậy 2 giao điểm của C1 và C2 là
y 7 x 10
x 2 y 4
A2 2;4
Trung điểm A của A1 A2 có toạ độ A ; , ta có A1 A2 1;7 đường thẳng qua A vuông góc với A1 A2 có phương
2 2
3 1
trình : 1. x 7. y 0 : x 7 y 5 0
2
2
3
1
x 7 y 5 0 x 12
x 6 y 6 0 y 1
Toạ độ tâm I của hai đường tròn cần tìm là nghiệm của hệ
I 12; 1 . Đường tròn cần tìm có bán kính R IA2
2 12 2 4 12
Vậy đường tròn cần tìm có phương trình C : x 12 2 y 1 2 125 .
5 5
IV. BÀI TẬP
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các
1
cạnh AB và CD . Biết rằng M ; 2 và đường thẳng BN có phương trình 2 x 9 y 34 0 . Tìm tọa độ các
2
điểm A, B biết rằng điểm B có hoành độ âm.
Kết quả:
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có AC 2 BD . Biết đường thẳng AC có
phương trình 2 x y 1 0 , đỉnh A 3;5 và điểm B thuộc đường thẳng (d ) : x y 1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh
B, C , D của hình thoi ABCD .
Kết quả:
238
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 30 và hai điểm
M (1; 4), N (4; 1) lần lượt nằm trên hai đường thẳng AB, AD . Phương trình đường chéo AC là 7 x 4 y 13 0 .
Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết hai điểm A và D đều có hoành độ âm.
Kết quả: A 1;5, B 5; 2 , C 3; 2 , D 3;1
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là
điểm trên cạnh AC sao cho AN
1
AC ; điểm N thuộc đường thẳng 3 x y 4 0 , phương trình đường thẳng
4
MD : x 1 0 . Xác định tọa độ đỉnh A của hình vuông ABCD , biết khoảng cách từ A đến đường thẳng MD
bằng 4 và điểm N có hoành độ âm.
Kết quả: A 3;1 hoặc A 3; 0
Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S = 12, giao điểm của hai đường cho là
9 3
I ; , trung điểm của cạnh BC là M(3; 0) và hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm C. Xác định toạ độ các
2 2
đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
Kết quả:
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD và CD 2 AB . Gọi H là
chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC . Biết tọa độ đỉnh B(5; 6) , phương trình
đường thẳng ( DH ) : 2 x y 0 , phương trình đường thẳng ( DM ) : x 3 y 5 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình
thang ABCD .
Kết quả: A 1;6 , B 5; 6 , C 9; 2 , D 1; 2
3 1
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm cạnh BC , N ;
2 2
là điểm trên cạnh AC sao cho AN
1
4
AC , giao điểm của AC và DM là I 1; . Xác định tọa độ các đỉnh
4
3
của hình vuông ABCD
Kết quả: A 3; 0 , C 3; 2 , B 1; 4 , D 1; 2 hoặc A 3;0 , C 3; 2 , B 1; 2 , D 1; 4
4
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I (3;3) và AC 2 BD . Điểm M 2;
3
13
thuộc đường thẳng AB , N 3; thuộc đường thẳng CD . Viết phương trình đường chéo BD , biết đỉnh B có
3
hoành độ nhỏ hơn 3.
Kết quả: 7 x y 18 0
239
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG
HĐBM-TỔ TOÁN
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi M là điểm trên cạnh AC sao
4
cho AB 3 AM . Đường tròn tâm I (1; 1) đường kính BC cắt BM tại D , đường thẳng BC đi qua N ;0 ,
3
phương trình đường thẳng CD : x 3 y 6 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm C có hoành độ
dương.
Kết quả: C 3; 1 , B 2; 2 , A 2; 1
Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M (1;3) là trung điểm của cạnh BC ,
1
3 1
N ; là điểm trên cạnh AC sao cho AN AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết
4
2 2
D nằm trên đường thẳng (d ) : x y 3 0
Kết quả: D 1; 2 , A 3; 0 , B 1; 4 , C 3; 2
Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa đường trung tuyến
kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình l 3 x 5 y 8 0, x y 4 0 . Đường thẳng qua A
vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D 4; 2 . Viết
phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.
Kết quả: AB : 3 x y 4 0; AC : y1 0
--------------------------------Hết----------------------------------
240
