- Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất. - Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân. - Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm. - Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm. - Phương trình vi phân có xung và ứng dụng. - Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung. - Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung. - Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có xung. - Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thường có xung. - Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân thường. - Các định lý so sánh nghiệm của phương trình vi phân có xung. - Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung . - Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phân có xung. - Sử dụng phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm có xung. - Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm với xung. - hệ phương trình sai phân. - phương trình vi phân hàm, tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]).. - Tiêu chuẩn so sánh nghiệm cho phương trình vi phân thường. - Xét hệ phương trình sai phân thuần nhất (xem [5]):. - b(n), ta có:. - Xét hệ phương trình sai phân:. - Xét hệ phương trình sai phân (1.14):. - ρ, ta có V (u(k 1. - δ ta có ||u(k. - δ ta có. - ta có:. - Xét phương trình vi phân hàm:. - Ω, thì tồn tại nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t 0 , ϕ. - Ω, thì có duy nhất nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t 0 , ϕ).. - Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi hàm (1.18) bằng phương pháp từng bước.. - Theo bổ đề (1.2.1), nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:. - Như vây, nghiệm của phương trình trên [0,3] là. - Xét phương trình vi phân (1.18):. - Khi đó, phương trình (1.18) có nghiệm tầm thường. - Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t. - Nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) được gọi là ổn định đều khi t. - Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t. - Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t. - Giả sử phiếm hàm Lyapunov V (t , x) thoả mãn các điều kiện trên, ta chứng minh nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) là ổn định. - t ≤ t 1 ta có:. - Từ định lí trên ta có thể suy ra nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) là ổn định đều. - Do nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) là ổn định đều nên với H >. - 0 ta có:. - k ϕ k ta có:. - δ 0 ta có:. - δ ta có:. - Tức là ngiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình vi phân (1.18) là ổn định tiệm cận đều.. - Xét hệ phương trình vi phân:. - (1.21) Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định đều.. - Hay nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định đều.. - (1.23) Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định tiệm cận đều.. - δ , nghiệm của phương trình (1.18) thỏa mãn ||x t (t 0 , φ. - Xét phương trình vi phân hàm. - 1 ta có V (x(t − r(t. - Xét phương trình vi phân có xung (xem . - Xét phương trình vi phân có xung:. - Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân x. - 4 ) nghiệm của phương trình (2.3) là x(t. - 2 ) ta có:. - 2 ) nghiệm của phương trình (2.3) là x(t. - Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân tương ứng x(t. - (i) Phương trình vi phân. - Nghiệm của hệ phương trình vi phân với xung là một hàm:. - Kết hợp (2.5),và (2.6) ta được hệ phương trình vi phân có xung:. - Xét hệ phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu:. - Nghiệm của phương trình (2.8) là hàm. - R n ) là nghiệm của phương trình (2.8) khi và chỉ khi. - R n ) ta có:. - Xét phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:. - Xét hệ phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:. - Xét phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu:. - Tương tự xét hệ phương trình vi phân có xung với điều kiện ban. - (2.23) khi đó nghiệm tầm thường của phương trình (2.22) ổn định đều.. - δ , tồn tại t. - Xét phương trình vi phân có xung. - Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung. - Xét hệ phương trình vi phân có xung:. - Hệ (2.29) chính là phương trình vi phân u(t. - Ổn định bộ phận nghiệm của phương trình vi phân thường được V.V. - Sau đây chúng tôi xây dựng cho phương trình vi phân có xung. - Cho t 0 ∈ R , τ = const, xét hệ phương trình vi phân hàm có xung:. - 0( ρ 1 ≤ ρ ) sao cho x ∈ S( ρ 1 ) ta có J k (x. - R × PC, khi đó phương trình (2.31) có nghiệm x(t. - (H 3 ) theo định lý tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm thì phương trình (2.31) tồn tại nghiệm Φ 1 (t ) với t ≥ t 0 . - Theo định về tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm sẽ tồn tại nghiệm Φ 2 (t. - Theo định lý về tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm, tồn tại nghiệm Φ k+1 (t) trên [t k , t k+1 ) sao cho Φ k+1 (t. - Xét phương trình vi phân hàm có xung:. - Vậy nghiệm của hệ (2.33) phương trình trên [0,4) là:. - 0, phương trình (2.31) có nghiệm tầm thường . - ta có ||x(t , t 0 , ϕ. - t 0 + 2 (i + 1 )h = s i , t ∈ I i , ta có:. - Giả sử phương trình vi phân hàm có xung (2.31) có nghiệm x 1 (t. - 0 tồn tại η = η(ε. - Xét hệ phương trình vi phân hàm có xung sau:. - s ta có ||x(t + s. - 0 và (H.1.5.) nghiệm của hệ phương trình là:. - 0 là nghiệm cực đại của hệ phương trình:. - 0 là nghiệm cực tiểu của hệ phương trình:. - Ta có:. - Theo định lý ((2.4.5)) với ψ k (s. - *Dựa vào Phương pháp hàm Lyapunop dạng Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân hàm có xung