You are on page 1of 53

ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

PHẦN 1: ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP
§1. MỆNH ĐỀ

Kiến thức cần nhớ:


- Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai.
-“Không P” là phủ định của P, kí hiệu là P . Khi P sai thì P đúng.

- Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu: P  Q . Mệnh
đề P  Q chỉ sai khi P đúng mà Q sai.

- Định lí là một mệnh đề đúng, dạng P  Q . Khi đó Q là điều kiện cần để có P còn
P là điều kiện đủ để có Q.
- Mệnh đề Q  P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q .

- Nếu P  Q và Q  P đúng thì P và Q là tương đương, kí hiệu P  Q

- Kí hiệu  đọc là“với mọi”, kí hiệu  đọc:“tồn tại” hay “có ít nhất một”

BÀI TẬP TỰ LUẬN


1.1. Các phát biểu sau có phải là mệnh đề không? Nếu là mệnh đề thì cho biết mệnh đề đúng
hay sai?
a) 2 là một số nguyên dương
b) Canada là một nước thuộc châu Âu phải không?
c) Chứng minh bằng phản chứng khó thật!
d) Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn.
1.2. Khẳng định “Phương trình x2+1=0 không có nghiệm thực.” là mệnh đề hay mệnh đề
chứa biến?
1.3. Tìm x để mệnh đề chứa biến sau là mệnh đề đúng:
a)“ x  1  x  5 ” b)“ 1  x  5 hoặc x  3 ”
1.4. Phát biểu bằng lời và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a)  x  : x2  0 b) x  : x2-x+1>0
c)  x  : 2x2+5x+2 = 0d) a  : a5 - a 5
1.5. Xét tính đúng sai của mệnh đề:
a) x2  1  x  1 b) x2  y 2  0  x  0 và y  0. c) x3  y3  0  x  y  0.
1.6. Phát biểu định lý sau bằng cách dùng khái niệm "điều kiện cần":
Nếu tứ giác là 1 hình thoi thì nó có 2 đường chéo vuông góc nhau.
1.7. Phát biểu định lý sau bằng cách dùng khái niệm "điều kiện đủ":
Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau thì nó là hình chữ nhật.

1
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

§2 TẬP HỢP
Kiến thức cần nhớ:
-Để chỉ x là một phần tử của tập hợp A, ta viết x  A (đọc x thuộc A).
- Tập hợp rỗng, kí hiệu là  tập hợp không chứa phần tử nào.
- Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp
con của B,viết A  B  (x : x  A  x  B).

Khi A  B và B  A ta nói A bằng B và viết là: A = B.

BÀI TẬP TỰ LUẬN


1.8. Liệt kê và tính số phần tử của các tập hợp sau
A= { x  x  4 } B= {x  Z| |x| < 3}

1.9. Xác định số phần tử và tính chất đặc trưng của các phần tử.
C={-3;-2;-1;0;1;2;3} D= {0;5;10;15;…;2020}
1.10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để phương
trình  x2  2x  6  3m  0 có nghiệm. Tính số phần tử của S
1.11. Mệnh đề x 2 x2 x 3 0 đúng hay sai? Vì sao?
1.12. Có bao nhiêu cách chọn 2 bạn trong 5 bạn A, B, C, D, E?

§3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP


Kiến thức cần nhớ:
I – GIAO CỦA HAI TẬP HỢP
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B.

Kí hiệu C A B (phần gạch chéo trong hình).


Vậy A B x |x A;x B

x A
x A B
x B

II – HỢP CỦA HAI TẬP HỢP


Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B

Kí hiệu C A B (phần gạch chéo trong hình).


Vậy A B x|x A hoaëc x B

x A
x A B
x B

2
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

III – HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP


Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B.

Kí hiệu C A\B

Vậy A\B A B x |x A;x B

x A
x A\B
x B

Khi B A thì A\B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C A B.

BÀI TẬP TỰ LUẬN


1.13. Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5}, B = {2;3;5;7}. Tính A  B, A\B, B\A và chứng minh
(A\B)  (B\A)  (A  B) = A  B.
1.14. Lớp có 20 bạn thích thể thao, 15 bạn thích văn nghệ, trong đó 12 bạn thích cả thể thao và
văn nghệ. Hỏi lớp đó có bao nhiêu bạn thích văn nghệ hoặc thể thao?
1.15. Trong một câu lạc bộ có 100 người, gồm 90 người chơi cầu lông, 80 người chơi bóng
bàn và 70 người chơi bóng đá. Hỏi trong đó có ít nhất bao nhiêu người chơi cả ba môn thể
thao trên?
1.16. Cho E={x |-3<x5},B={2k+1|k , k≤2},A={x :x3–4x=0}
Xác định A, B, E và chứng minh CEACEB = CE(AB)

3
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

§4 CÁC TẬP HỢP SỐ

Kiến thức cần nhớ:


 Tập hợp con của : *     . Trong đó:

: là tập hợp số tự nhiên không có số 0. : là tập hợp số tự nhiên.
: là tập hợp số nguyên. : là tập hợp số hữu tỷ.
 ( ; ) : là tập hợp số thực.
 Khoảng: a b
 (a; b)  x  axb :  – ////////// /////////// +
 (a; )  x  xa : –
////////// ( +

 (; b)  x  x  b : – ) ////////// +

 Đoạn: a; b  x  


a  x  b : –  ////////// ////////// +

 Nửa khoảng: a b
– ////////// //////////
 a; b   x  
+
axb :

  a; b  x  a  x  b : –  ////////// ////////// +

 a;    x  x  a : –  ////////// +

  ; b  x  x  b :
– ////////// ] +

BÀI TẬP TỰ LUẬN


1.17. Viết lại các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
A={ x  | x ≥ 3} B={ x  | x <8} C={ x  |1≤ x ≤ 4}
1.18. Viết lại dưới dạng nêu tính chất các phần tử của tập hợp:
E=(1;+) F=(; 6] G=(2; 3] H=[-3; 1]
1.19. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số
a) (;1)(0;+) b) (;1) (-4;0) c) [-3;1]\(0;+)
d) (0;+)\[-3;1] e) (0;+) [-3;1] f)  4 ; 0    3 ; 1

1.20. Xác định các tập hợp sau


a) (; 1/ 3 )(1 / 4 ;+) b)  3 ; 0 \ 3 ; 1 c) (0;3)  [1;5)

d)((1;2)(3;5))\(1;6] e) C ((3;+) (1;4)) f) C   ;3   0;4  

4
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

§5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ


Kiến thức cần nhớ:

Nếu a là số gần đúng của số đúng a và | a  a |  d  a  d  a  a  d thì ta gọi d là độ


chính xác, và viết là a  a  d .
Để quy tròn số gần đúng đến hàng k, ta dựa vào hàng liền trước. Nếu chữ số đó lớn
hơn hoặc bằng 5 ta cộng vào chữ số hàng k một đơn vị, nếu chữ số nhỏ hơn 5 ta giữ
nguyên chữ số hàng k.

BÀI TẬP TỰ LUẬN


1.21. Theo thống kê dân số Việt Nam ngày 1/4/2014 là 90493352 người. Làm tròn số dân trên
đến hàng triệu.
1.22. Khi tính diện tích hình tròn bán kính R  2 m, với độ chính xác đến hàng phần trăm tức
là lấy một số thập phân, một bạn làm tròn  thành 3,1, làm tròn 2 thành 1,4 và thay vào công
thức S   R2 , được diện tích S  6, 0 m2. Kết quả này có đúng không?
1.23. Chiều dài của cầu Phú Mỹ là L=2031,045m±0,01 (không kể đường dẫn). Viết số quy
tròn của chiều dài gần đúng (2031,045m).

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ÔN CHƯƠNG I

Câu 1. Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề?


A. Mùa thu Hà Nội đẹp quá! B. Bạn có đi học không?
C. Đề thi môn Toán khó quá! D. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
Câu 2. Câu nào sau đây không là mệnh đề?
A. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
B. 3  1 .
C. 4  5  1.
D. Bạn học giỏi quá!
Câu 3. Câu nào trong các câu sau không phải là mệnh đề?
A.  có phải là một số vô tỷ không?. B. 2  2  5 .
4
C. 2 là một số hữu tỷ. D.  2.
2
Câu 4. Cho các câu sau đây:
(I): “Phan-xi-păng là ngọn núi cao nhất Việt Nam”.

5
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

(II): “  2  9,86 ”.

(III): “Mệt quá!”.


(IV): “Chị ơi, mấy giờ rồi?”.
Hỏi có bao nhiêu câu là mệnh đề?
A. 1 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .
Câu 5. Mệnh đề: “Mọi động vật đều di chuyển” có mệnh đề phủ định là
A. Có ít nhất một động vật di chuyển. B. Mọi động vật đều đứng yên.
C. Có ít nhất một động vật không di chuyển. D. Mọi động vật đều không di chuyển.
Câu 6. Phủ định của mệnh đề " x  : 2 x 2  5 x  2  0" là
A. "x  : 2 x2  5x  2  0" . B. "x  : 2 x2  5x  2  0" .

C. "x  : 2 x 2  5x  2  0" . D. " x  : 2 x 2  5 x  2  0" .

Câu 7. Cho mệnh đề: “ x  , x 2  3x  5  0 ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là
A. x  , x 2  3x  5  0 . B. x  , x 2  3x  5  0 .

C. x  , x 2  3x  5  0 . D. x  , x 2  3x  5  0 .

Câu 8. 
Cho tập hợp A   3; 5 . Tập hợp C A bằng

 
A. ;  3   5;   .  B. ;  3     
5;   .


C. ;  3    5;   .   
D. ;  3   5;   . 
Câu 9. Tìm mệnh đề sai.
A. " x; x 2  2 x  3  0" . B. " x; x 2  x " .
1
C. " x; x 2  5 x  6  0" . D. " x; x  " .
x

Câu 10. Cho A  x   *


, x  10, x 3 . Chọn khẳng định đúng.
A. A có 4 phần tử. B. A có 3 phần tử. C. A có 5 phần tử. D. A có 2 phần tử.
Câu 11. Tập  ; 3   5; 2  bằng
A.  5; 3 . B.  ; 5 . C.  ; 2  . D.  3; 2  .

Câu 12. Cho tập hợp A  a, b, c, d  . Tập A có mấy tập con?
A. 15 . B. 12 . C. 16 . D. 10 .
Câu 13. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề: x  , x2  x  5  0 .
A. x  , x 2  x  5  0 . B. x  , x2  x  5  0 .

C. x  , x2  x  5  0 . D. x  , x 2  x  5  0 .

Câu 14. Hình vẽ sau đây (phần không bị gạch) là biểu diễn của tập hợp nào?
6
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

 
2 5
A.  ; 2   5;   . B.  ; 2    5;   . C.  ; 2   5;   . D.  ; 2  5;   .

Câu 15. Kết quả của  4;1   2;3 là


A.  2;1 B.  4;3 C.  4; 2 D. 1;3

Câu 16. Cho mệnh đề chứa biến P  x  :"3x  5  x 2 " với x là số thực. Mệnh đề nào sau đây là
đúng:
A. P  3 . B. P  4  . C. P 1 . D. P  5  .

Câu 17. Cho tập A  0; 2; 4;6;8 ; B  3; 4;5;6;7 . Tập A \ B là


A. 0;6;8 . B. 0; 2;8 . C. 3;6;7 . D. 0; 2 .

Câu 18. Cho định lí “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích chúng bằng nhau”. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích chúng bằng nhau.
B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau.
C. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau.
D. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích chúng bằng nhau.
Câu 19. Cho x là số tự nhiên. Phủ định của mệnh đề “ x chẵn, x 2  x là số chẵn” là mệnh đề:
A. x lẻ, x 2  x là số lẻ. B. x lẻ, x 2  x là số chẵn.
C. x lẻ, x 2  x là số lẻ. D. x chẵn, x 2  x là số lẻ.
Câu 20. Tập hợp nào sau đây có đúng một tập hợp con?
A.  . B. 1 . C.  . D. 1; .

Câu 21. Cho tập hợp P . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. P  P . B.   P . C. P   P . D. P  P .

Câu 22. Phần bù của  2;1 trong là


A.  ;1 . B.  ; 2   1;   . C.  ; 2  . D.  2;   .

Câu 23. Tập hợp nào sau đây có đúng hai tập hợp con?
A.  x;  . B.  x . C.  x; y;  . D.  x; y .

Câu 24. Tập hợp nào sau đây chỉ gồm các số vô tỷ?
A. \ * . B. \ . C. \ . D. \ 0 .

Câu 25. Cho hai tập hợp X  1; 2; 4;7;9 và X  1;0;7;10 . Tập hợp X  Y có bao nhiêu
phần tử?
A. 9 . B. 7 . C. 8 . D. 10 .
7
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Câu 26. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ 2018 là số tự nhiên chẵn” là
A. 2018 là số chẵn. B. 2018 là số nguyên tố.
C. 2018 không là số tự nhiên chẵn. D. 2018 là số chính phương.

Câu 27. Cho hai tập hợp A   2;3 và B  1;   . Tìm A  B .


A. A  B   2;   . B. A  B  1;3 . C. A  B  1;3 . D. A  B  1;3 .

Câu 28. Cho A   x  | x  3 , B  0;1; 2;3 . Tập A  B bằng


A. 1; 2;3 . B. 3; 2; 1;0;1; 2;3 .

C. 0;1; 2 . D. 0;1; 2;3 .

Câu 29. Cho các tập hợp A , B , C được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình bên. Phần tô màu
xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây?

A. A  B  C . B.  A \ C    A \ B  . C.  A  B  \ C . D.  A  B  \ C .

Câu 30. Cho P  Q là mệnh đề đúng. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. P  Q sai. B. P  Q đúng. C. Q  P sai. D. P  Q sai.

Câu 31. Cho A , B là hai tập hợp bất kì. Phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới là tập hợp nào
sau đây?

A B

A. A  B . B. B \ A . C. A \ B . D. A  B .
Câu 32. Mệnh đề nào sau là mệnh đề sai?
A. x  : x2  0 . B. x  : x  x 2 C. n  : n2  n . D. n  thì n  2n .

Câu 33. Tập hợp A  x    x 1 x  2  x3  4x   0 có bao nhiêu phần tử?


A. 1 . B. 3 . C. 5 . D. 2 .
Câu 34. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp X   x  | 2 x 2  5 x  3  0 .
3  3
A. X  1 . B. X    . C. X  0 . D. X  1;  .
2  2

8
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

4 
Câu 35. Cho số thực a  0 . Điều kiện cần và đủ để  ;9a    ;     là
a 
2 3 2 3
A.   a  0 . B.   a  0 . C.   a  0 . D.   a  0 .
3 4 3 4

Câu 36. Cho A   ; m  1 ; B   1;   . Điều kiện để  A  B   là


A. m  1 . B. m  2 . C. m  0 . D. m  2 .

Câu 37. Cho m là một tham số thực và hai tập hợp A  1  2m; m  3 , B   x  | x  8  5m . Tất
cả các giá trị m để A  B   là
5 2 5 2 5
A. m  . B. m   . C. m  . D.   m  .
6 3 6 3 6

Câu 38. Cho A  x   


mx  3  mx  3 , B  x  
x 2  4  0 . Tìm m để B \ A  B .
3 3 3 3 3 3
A.   m  . B. m  . C.   m  . D. m   .
2 2 2 2 2 2

Câu 39. Cho hai tập A   0;5 ; B   2a;3a  1 , với a  1 . Tìm tất cả các giá trị của a để
A  B  .
 5  5
a  2 a  2 1 5 1 5
A.  . B.  . C.   a  . D.   a  .
a   1 a   1 3 2 3 2
 3  3

Câu 40. Lớp 10A có 7 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Lý, 6 học sinh giỏi Hoá, 3 học sinh
giỏi cả Toán và Lý, 4 học sinh giỏi cả Toán và Hoá, 2 học sinh giỏi cả Lý và Hoá, 1
học sinh giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hoá. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý,
Hoá ) của lớp 10A là
A. 9 . B. 18 . C. 10 . D. 28 .

9
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

§1: HÀM SỐ
Kiến thức cần nhớ:
1. Khái niệm. Cho tập hợp D  .
- Hàm số là quy tắc đặt mỗi số x  D tương ứng với một và chỉ một số thực y. Gọi x gọi là
biến số, y là hàm số của x, D là tập xác định.
- Đồ thị hàm số y  f ( x) là tập hợp tất cả các điểm M ( x; y ) với y  f ( x) và x  D. Nếu là 1
đường (thẳng,cong) thì y  f ( x) là phương trình đường đó

2. Sự biến thiên của hàm số. Cho hàm số f xác định tại mọi x(a;b).
f(x) nghịch biến (giảm) trên (a;b) nếu x1, x2   a; b  , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

f(x) đồng biến (tăng) trên (a;b) nếu x1, x2   a; b  , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .

3. Tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) (có tập xác định D).
+f(x) là hàm số lẻ  x  D :  x  D và f ( x)   f ( x) .

 Đồ thị nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

+f(x) là hàm số chẵn  x  D :  x  D và f ( x)  f ( x) .

 Đồ thị nhận Oy là trục đối xứng.

BÀI TẬP TỰ LUẬN


Vấn đề 1: Giá trị hàm số, đồ thị hàm số
2.1. Tính giá trị của hàm số y  f  x    x 4  x 2  3 tại x  1
1- x neáu x  0
2.2. Cho hàm số y = f(x) =  . Tính các giá trị của hàm số trên tại x =3; x =0;
x neáu x > 0
x =1
 2x  3
 khi x  0
2.3. Cho hàm số y = f(x) =  x  1 . Tính f(5), f(2), f(2)

 x  2 x khi x  0
2

m  1  x vôùi x < 2
2.4. Cho hàm số y = g( x )=  . Tìm m để g(3)=2g(0)
 x6 vôùi x  2
2.5. Đồ thị hàm số y  f  x  là đường cong ở hình bên.
a) Tính giá trị của hàm số tại x  0
b) Tìm tọa độ điểm thuộc đồ thị, có tung độ bằng 1

10
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Vấn đề 2: Tìm tập xác định của hàm số


2.6. Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y  x3  3x  2 b) y  3x  2 c) y  4 x  1  2 x  1

3x  1 4 x2  3 x  7 1
d) y  e) y  f) y  2  x  1
2 x  2 3x  2 x
2 x  4  x  1 x2
g) y  h) y  i) y  x  1
3x  6 x  6x  9
2 6  3x

2.7. Tìm tập xác định của các hàm số sau:


x3  3 x  2 3x  7 2 x
a) y  b) y  c) y 
x  3x  4
4 2
 x  2 x  1 x 2 x  6

2 3 x x x2  1
d) y  e) y  f) y 
1 x x 2   x  1
2
x6  x 2

2.8. * Tìm m để tập xác định của hàm số y  x  3m  1 chứa [0;2]


xm

Vấn đề 3: Xét sự biến thiên của hàm số


2.9. Xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng đã chỉ ra :
a) y  2 x  3 trên
b) y  2 x2  4 x  1 trên  ;1 và 1;  
4
c) y trên  0;  
x
x
d) y trên  ;7 
x7
e) y  2 x  6 trên  ;3
a
2.10. Cho hàm số y = f(x) = , với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến (tăng), nghịch
x2
biến trên các khoảng xác định của nó.
Vấn đề 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
2.11. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau :
a) y  3x 2 b) y   x3  4 x c) y   x2  6 x

d) y  6  2 x  6  2 x e) y  3  x  3  x f) y  x  2  x  2

4 2x x
g) y  h) y  i) y 
x x 9
2
3 x

11
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

x3  x  x4  x2  1 x2  4
j) y  k) y  l) y 
1 x  1 x 3x 1  3x

§ 2 : HÀM SỐ BẬC NHẤT


Kiến thức cần nhớ:

Hàm số TXĐ Tính chất Bảng biến thiên Điểm đặc Đồ thị
biệt
y
x  ( a  0)
 A
Hàm số bậc a0: hàm x
nhất số đồng y  A(0; b) B O
biến
y  ax  b   b 
B  ; 0 
( a  0)  a 
a0:
x 
hàm ( a  0)
số nghịch  A
biến y O
 B



Hàm chẵn. yb


Hàm số A(0; b) A
hằng y  b Không O

đổi.

Hàm số Hàm chẵn.


O(0; 0) y x
y x  Đồng biến x  0 1
trên ( ; 0)  A( 1;1) A B
x khi x  0
 và nghịch B(1;1) 1
x khi x  0 y O 1
biến 
(0; ). 

 b
ax  b khi x  
a
Đối với hàm số y  ax  b , (a  0) thì ta có: y  ax  b  
( ax  b) khi x   b
 a

Do đó để vẽ hàm số y  ax  b , ta sẽ vẽ hai đường thẳng y  ax  b và y  ax  b , rồi


xóa đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành Ox.

 Lưu ý: Cho hai đường thẳng d : y  ax  b và d : y  ax  b. Khi đó:
 d // d  a  a và b  b.  d  d  a.a  1.

12
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

 d  d  a  a và b  b.  d  d  a  a.
 Phương trình đường thẳng d qua A( xA ; yA ) và có hệ số góc k dạng
d : y  k.( x  xA )  yA .

BÀI TẬP TỰ LUẬN


2.12. Vẽ đồ thị các hàm số
a) y  2 b) y  2 x  6 c) y  2 x  6

2.13. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau:
a) y = 3x -2 và x = 5 b) y = -3x+2 và y = 4(x-3).
2.14. Xác định a, b để đồ thị của hàm số y = ax+b
a)qua M(1;3) và N(1;2) b)qua M(2;3)và song song d:y= 3x2
2.15. Viết phương trình đường thẳng qua điểm (4; -3) biết:
a) Qua gốc tọa độ b) có hệ số góc bằng 5
2.16. Siêu thị A thực hiện chương trình giảm giá cho khách hàng mua loại túi bột giặt như sau:
Nếu mua 1 túi thì được giảm 10000 đồng, 2 túi thì được giảm 20000 đồng so với giá niêm yết.
Nếu mua từ túi thứ 3 trở lên thì ngoài 2 túi đầu được giảm giá như trên, từ túi thứ 3 trở đi, mỗi
túi sẽ được giảm giá 20% so với giá niêm yết.
Siêu thị B lại có chương trình giảm giá cho loại túi bột giặt nêu trên là: Nếu mua từ 3 túi trở
lên thì sẽ giảm giá 15% cho mỗi túi. Bà Tư muốn mua ở siêu thị A nhưng phải với giá thấp
hơn siêu thị B. Hỏi bà Tư phải mua tối thiểu mấy túi biết ở 2 siêu thị, giá niêm yết đều là
150000 đồng và các chi phí khác như nhau?

2.17. Bảng giá cước taxi Mai Linh loại xe Kia Morning như sau: 10 ngàn đồng cho 0,6 km đầu
tiên, 13600 đồng/km cho đoạn tiếp theo nếu quãng đường đi hơn 0,6 km nhưng không quá 30
km và 11 ngàn đồng/km cho đoạn còn lại nếu quãng đường đi hơn 30 km
a)Lập hàm số f(x) biểu thị giá tiền (ngàn đồng) cho x km di chuyển

b)Tính quãng đường đi được nếu số tiền đi taxi đó là 594840 đồng

13
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

§ 3: HÀM SỐ BẬC HAI


Kiến thức cần nhớ:

Hàm số TXĐ Tính chất Bảng biến thiên Đồ thị

Đồ thị y  ax2 , (a  0) là 1 Khi a  0 : ( a  0) y


( P)
parabol ( P ) có: x  0 
x
y  ax2  Đỉnh O(0; 0). y  
O

( a  0)  Trục đối xứng: Oy. 0


 a  0 : bề lõm quay lên.
Khi a0: ( a  0) y
 a  0 : bề lõm quay O x
xuống. x  0 

0 ( P)
y



Đồ thị Khi a0: y


y  ax2  bx  c ,(a  0) ( a  0)
x  b
 
2a ( P)
là 1 parabol ( P) có:
 b   x
y  ax  bx  c
2  Đỉnh I   ;    O
 2a 4a  
y
( a  0) I
 Trục đối xứng: 

4a
b
x 
2a
Khi a0: y
 a  0 : bề lõm quay lên. ( a  0)
x  b I
 
 a  0 : bề lõm quay 2a x
O
xuống.

 ( P)
4a
y
 

BÀI TẬP TỰ LUẬN


2.18. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau
a) y= x2 + 2 x 2 b) y= 2x2 + 6 x +3

c) y = x22x d) y = x2+2x+3
1
e) y = x2+2x2 f) y =  x2+2x-2
2

14
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

2.19. Vẽ đồ thị hàm số y = x-1 và y = x2-2x-1 trên cùng hệ trục toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm
của chúng bằng phép toán
2.20. *Vẽ đồ thị hàm số a) y = x22|x|-1 b) y = |x22x-1|
2.21. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y  x2  3x  2
b)Dựa vào (C), biện luận số nghiệm phương trình x2  3x  m  0
2.22. Xác định parapol y=2x2+bx+c, biết nó:
a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung tại điểm (0;4);

b) Có đỉnh I(1;2);

c) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(4;0);

d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1;2).

2.23. Xác định parapol y=ax24x+c, biết nó:


a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(2;3);

b) Có đỉnh I(2;1);

c) Có hoành độ đỉnh là 3 và đi qua điểm P(2;1);


d) Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành tại điểm M(3;0).
2.24. Tìm parapol y = ax2+bx+2 biết rằng parapol đó:
a) Đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8).
3
b) Đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x= .
4
c) Có đỉnh I(2;-2).
1
d) Đi qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ  .
4
2.25. Xác định parapol y=a x2+bx+c, biết nó:
a) Đi qua ba điểm A(0;1), B(1;1), C(1;1);
b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4).
c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12)

d) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x=2 và đi qua A(0;6).


2.26. Tìm hàm số bậc hai có đồ thị là đường cong ở hình vẽ sau:
2.27. Theo một nghiên cứu, thủ môn Ederson Moraes (sinh năm
1993, người Brazil) thực hiện một cú phát bóng theo quỹ đạo là parabol
(P): h  0,01x  0,7535 x trong đó h là độ cao của quả bóng so với mặt đất, x là khoảng cách theo
2

chiều ngang (tính bằng m) từ quả bóng đến vị trí đặt bóng.
Tìm độ cao lớn nhất của quả bóng khi được đá lên và khoảng cách từ quả bóng lúc chạm đất
đến vị trí đặt bóng (chiều dài quả phát bóng).
15
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II


x 5
2.28. Cho y  f  x   . Tìm tập xác định và tính f  1
2 x  6
2.29. Tìm tập xác định của hàm số:
2 x 2 x x  2  3  2x
a/ y  2 b/ y  c/ y 
x  x2 x 1 2 5 x

3x 2  x x 2  2x  3 x  2  3  2x
d/ y = e/ y = f/y=
x  x  x 1
2
2 5x x 1

2.30. Xét sự biến thiên của hàm số.


x 1
a/ y =x2 +4x1 trên (; 2) b/ y = trên (1; +)
x 1
1
c/ y = d/ y = 3  2x
x 1

2.31. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :


x4  x2  2
a/ y = b/ y = x2 c/ y = 3  x  3  x
x 2 1
3
2
x 1  x 1 x x
d/ y = x(x + 2x) e/ y = f/ y =
x 1  x 1 x2 1

1
2.32. Cho hàm số y =
x 1
a/ Tìm tập xác định của hàm số trên.
b/ CMR : Hàm số giảm trên tập xác định.
2.33. Tìm a, b, c biết (P) : y = ax2 + bx + c qua A(0; 2) và có đỉnh S(-1;1)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


Câu 1. Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu f  x  không là hàm số lẻ thì f  x  là hàm số chẵn.

B. Nếu f   x    f  x  , x  D thì f  x  là hàm số lẻ.

C. Đồ thị hàm số lẻ nhận trục tung làm trục đối xứng.


D. Nếu f  x  là hàm số lẻ thì f   x    f  x  , x  D .

Câu 2. Hàm số f  x    m  1 x  2m  2 là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi


A. m  1. B. m  1. C. m  1 . D. m  0 .

16
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

x2
Câu 3. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y 
x( x  1)
A. M  0; 1 . B. M  2;1 . C. M  2;0  . D. M 1;1 .

Câu 4. Hệ số góc của đồ thị hàm số y  2018x  2019 bằng


2019 2018
A.  . B. 2018 . C. 2019 . D.  .
2018 2019
2 x
Câu 5. Tập xác định của hàm số y  là
x2  4 x
A. \ 0;2;4 . B. \ 0;4 . C. \  0;4  . D. \ 0;4 .

Câu 6. Cho hàm số f  x   x 2  x . Khẳng định nào sau đây là đúng?


A. Đồ thị của hàm số f  x  đối xứng qua trục hoành.

B. Đồ thị của hàm số f  x  đối xứng qua gốc tọa độ.

C. f  x  là hàm số lẻ.

D. f  x  là hàm số chẵn.

1
Câu 7. Tìm tập xác định D của hàm số f  x   x  1  .
x
A. D  \ 0 . B. D  1;    . C. D  \ 1;0 . D.
D   1;    \ 0 .

1
Câu 8. Tìm tập xác định D của hàm số f  x   x  1  .
x
A. D  \ 0 . B. D  \ 1;0 . C. D   1;   \ 0 . D.
D   1;   .

Câu 9. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng y  2 x ?
2 1
A. y  x  5. B. y  1  2 x . C. y  x  3. D. y   2 x  2 .
2 2
Câu 10. Khẳng định nào về hàm số y  3x  5 là sai:
 5 
A. Hàm số đồng biến trên . B. Đồ thị cắt Ox tại   ;0  .
 3 
C. Đồ thị cắt Oy tại  0;5  . D. Hàm số nghịch biến trên .

Câu 11. Hàm số nào trong bốn phương án liệt kê ở A, B, C, D có đồ thị như hình bên:

17
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

y

x
O 1

A. y   x  2 . B. y  2 x  1 . C. y  x  1 . D. y   x  1 .

Câu 12. Một hàm số bậc nhất y  f  x  có f  –1  2 và f  2   –3 . Hàm số đó là


5 x  1 5 x  1
A. y  –2 x  3 . B. f  x   . C. y  2 x – 3 . D. f  x   .
3 3
x 1
Câu 13. Cho hàm số y  . Tìm tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số và có tung độ bằng 2 .
x 1
1 
A.  0; 2  . B.  ; 2  . C.  2; 2  . D.  1; 2  .
3 

 1
 x0
Câu 14. Cho hàm số: y   x  1 . Tập xác định của hàm số là tập hợp nào sau đây?
 x2 x0

A.  2;    . B. .

C. \ 1 . D.  x  \ x  1và x  2  .

x 1
Câu 15. Tập xác định của hàm số y  là
x3
A.  3;    . B. 1; +  . C.  1; 3   3;    . D. \ 3 .

Câu 16. Tập xác định của hàm số y  1  2 x  6  x là


 1  1   1 
A.  6;   . B.   ;   . C.   ;   . D.  6;   .
 2  2   2 
Câu 17. Cho hàm số f  x    m  2  x  1 . Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên ?;
nghịch biến trên ?
A. Với m  2 thì hàm số đồng biến trên ; m  2 thì hàm số nghịch biến trên .
B. Với m  2 thì hàm số đồng biến trên ; m  2 thì hàm số nghịch biến trên .
C. Với m  2 thì hàm số đồng biến trên ; m  2 thì hàm số nghịch biến trên .
D. Với m  2 thì hàm số đồng biến trên ; m  2 thì hàm số nghịch biến trên .
Câu 18. Tìm m để hàm số y   3  m  x  2 nghịch biến trên .
A. m  0 . B. m  3 . C. m  3 . D. m  3 .
Câu 19. Tìm m để hàm số y   2m  1 x  m  3 đồng biến trên .

18
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

1 1
A. m  . B. m  . C. m  3 . D. m  3 .
2 2

Câu 20. Hàm số f  x   ax  1  a đồng biến trên khi và chỉ khi


A. 0  a  1. B. a  1 . C. 0  a  1 . D. a  0 .
Câu 21. Hàm số nào sau đây có tập xác định là ?
3x
A. y  2 . B. y  x 2  2 x  1  3 .
x 4

2 x
C. y  x 2  x 2  1  3 . D. y  .
x2  4

Câu 22. Trục đối xứng của parabol y   x2  5x  3 là đường thẳng có phương trình
5 5 5 5
A. x  . B. x   . C. x   . D. x  .
4 2 4 2

Câu 23. Hàm số y  x 4  x 2  3 là


A. Hàm số vừa chẵn, vừa lẻ. B. Hàm số không chẵn, không lẻ.
C. Hàm số lẻ. D. Hàm số chẵn.

Câu 24. Cho hàm số bậc hai y  ax2  bx  c  a  0  có đồ thị  P  , đỉnh của  P  được xác định
bởi công thức nào?
 b   b  b    b 
A. I   ;  . B. I   ;  . C. I  ; . D. I   ;  .
 2a 4a   a 4a   a 4a   2a 2a 

Câu 25. Cho hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  . Khẳng định nào sau đây là sai?
b
A. Đồ thị của hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x   .
2a
B. Đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

 b 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;   .
 2a 

 b 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   .
 2a 

Câu 26. Parabol y   x 2  2 x  3 có phương trình trục đối xứng là


A. x  1 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  2 .

Câu 27. Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số y   x2  2 x  1 :
x  1  x  
  
y y
A. 2
B. 

19
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

x  1  x  
2 
y y
C.   D. 

Câu 28. Cho hàm số: y  x2  2 x  1, mệnh đề nào sai:


A. Đồ thị hàm số nhận I 1; 2  làm đỉnh. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng
 ;1 .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;   . D. Đồ thị hàm số có trục đối xứng: x  2 .

Câu 29. Parabol  P  : y  2 x 2  6 x  3 có hoành độ đỉnh là?


3 3
A. x  3 . B. x  . C. x   . D. x  3 .
2 2

Câu 30. Cho parabol  P  : y  3x 2  2 x  1 . Điểm nào sau đây là đỉnh của  P  ?
1 2  1 2   1 2 
A. I  0;1 . B. I  ;  . C. I  ;  . D. I  ;  .
3 3  3 3 3 3 

Câu 31. Tọa độ đỉnh I của parabol y  x 2  2 x  7 là


A. I  1; 4  . B. I 1; 6  . C. I 1; 4  . D. I  1; 6  .

Câu 32. Hàm số y   x 2  6 x  5 có


A. giá trị nhỏ nhất khi x  3 . B. giá trị lớn nhất khi x  3 .
C. giá trị lớn nhất khi x  3 . D. giá trị nhỏ nhất khi x  3 .
Câu 33. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Parabol y  2 x 2  4 x có bề lõm lên trên.

B. Hàm số y  2 x 2  4 x nghịch biến trên khoảng  ; 2  và đồng biến trên khoảng
 2;   .
C. Hàm số y  2 x 2  4 x nghịch biến trên khoảng  ;1 và đồng biến trên khoảng
1;   .
D. Trục đối xứng của parabol y  2 x 2  4 x là đường thẳng x  1 .

Câu 34. Nghiệm của phương trình x2 – 8x  5  0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ
thị hàm số:
A. y  x 2 và y  8 x  5 . B. y  x 2 và y  8 x  5 .

C. y  x 2 và y  8 x  5 . D. y  x 2 và y  8 x  5 .

20
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

1
Câu 35. Một chiếc cổng hình parabol có phương trình y   x 2 . Biết cổng có chiều rộng d  5
2
mét (như hình vẽ). Hãy tính chiều cao h của cổng.
y
O x

h
5m

A. h  4,45 mét. B. h  3,125 mét. C. h  4,125 mét. D. h  3,25 mét.

Câu 36. Cho hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  có đồ thị là parabol  P . Xét phương trình


ax 2  bx  c  0 1 . Chọn khẳng định sai:
A. Số giao điểm của parabol  P  với trục hoành là số nghiệm của phương trình 1 .

B. Số nghiệm của phương trình 1 là số giao điểm của parabol  P  với trục hoành.

C. Nghiệm của phương trình 1 là giao điểm của parabol  P  với trục hoành.

D. Nghiệm của phương trình 1 là hoành độ giao điểm của parabol  P  với trục
hoành.
Câu 37. Giao điểm của parabol  P  : y  x 2  3x  2 với đường thẳng y  x  1 là
A.  1; 2  ;  2;1 . B. 1;0  ;  3; 2  . C.  2;1 ;  0; 1 . D.  0; 1 ;  2; 3 .

Câu 38. Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  c có trục đối xứng là đường thẳng x  1 . Khi đó 4a  2b
bằng
A. 1 . B. 0 . C. 1 . D. 2 .
2
Câu 39. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   bằng
x  5x  9
2

11 11 8 4
A. . B. . C. . D.
8 4 11 11
Câu 40. Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
y

O 1 x

A. y  2 x 2  3x  1 . B. y   x 2  3x  1 . C. y  2 x 2  3x  1 . D.

y  x 2  3x  1 .

Câu 41. Cho hàm số y  ax 2  bx  c có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Mệnh nào sau đây đúng?
21
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

O x

A. a  0 , b  0 , c  0 . B. a  0 , b  0 , c  0 .C. a  0 , b  0 , c  0 . D. a  0 , b  0 ,
Câu 42. Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  c,  a  0  có đồ thị như hình bên. Khi đó 2a  b  2c có
giá trị là
y

1
-1 O 2 3 x

-4

A. 9 . B. 9 . C. 6 . D. 6 .

Câu 43. Cho hàm số y   m  1 x 2  2  m  2  x  m  3  m  1  P  . Đỉnh của  P  là S  1; 2 


thì m bằng bao nhiêu:
3 2 1
A. . B. 0 . C. . D. .
2 3 3
Câu 44. Cho đường thẳng d : y  x  1 và Parabol  P  : y  x 2  x  2 . Biết rằng d cắt  P  tại hai
điểm phân biệt A , B . Khi đó diện tích tam giác OAB (với O là gốc hệ trục tọa độ)
bằng
3 5
A. 4 . B. 2 . C. . D. .
2 2

Câu 45. Tìm m để Parabol  P  : y  x 2  2  m  1 x  m 2  3 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ x1 , x2 sao cho x1.x2  1 .
A. m  2 . B. Không tồn tại m . C. m  2 . D. m  2 .
Câu 46. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng  10; 4  để đường thẳng
d : y    m  1 x  m  2 cắt Parabol  P  : y  x 2  x  2 tại hai điểm phân biệt cùng phía
với trục tung?
A. 6 . B. 5 . C. 7 . D. 8 .
Câu 47. Một của hàng buôn giày nhập một đôi với giá là 40 đôla. Cửa hàng ước tính rằng nếu
đôi giày được bán với giá x đôla thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 120  x  đôi. Hỏi
của hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất?
A. 80 USD. B. 160 USD. C. 40 USD. D. 240 USD.
Câu 48. Tìm m để hàm số y  x 2  2 x  2m  3 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn  2;5 bẳng 3 .

22
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

A. m  3 . B. m  9 . C. m  1. D. m  0 .
xm2
Câu 49. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y  xác định trên  1; 2  .
xm
m  1  m  1  m  1
A.  . B.  . C.  . D. 1  m  2 .
m  2 m  2 m  2

x  2m  3 3x  1
Câu 50. Tìm m để hàm số y   xác định trên khoảng  0;1 .
xm x  m  5

A. m  1;  . B. m   3;0 .
3
 2

C. m   3;0  0;1 . D. m   4;0  1;  .


3
 2

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH


§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
Kiến thức cần nhớ:
* Nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x) là số x0 thỏa f ( x0 )  g ( x0 ) .
Giải phương trình là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của PT đó.
*Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu cộng, trừ, nhân, chia 2 vế của PT với cùng 1 số, 1 biểu thức luôn khác 0 mà không
làm thay đổi điều kiện của PT thì có PT tương đương.
* Nếu mọi nghiệm của PT(1) đều là nghiệm của PT(2) thì ta nói PT(2) là PT hệ quả của
(1). Bình phương 2 vế của 1 PT ta được PT hệ quả.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
3.1. Tìm điều kiện của các phương trình
2x x  4 1 x 2x  3
a)  1 x b)  2 c)  x 1
x 4
2
x2 x  x  1 x
3.2. Giải các phương trình sau
a) x 2  1  x  4  1  x b) x  1  x  3 c) ( x2  4 x  3) x  3  0

2 x2 8 2 x2  x 1
d)  e)  6x  3
x 1 x 1 6x  3

§2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN


I. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 (1)
Kiến thức cần nhớ:
Nếu a  0 : Phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = b / a. .
Nếu a = 0, b = 0: phương trình (1) có tập nghiệm R.
Nếu a = 0, b  0 : phương trình (1) vô nghiệm.

23
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

BÀI TẬP TỰ LUẬN


3.3. Giải phương trình: 2  7  4t   5 1  2t   6  2  3t   8  0
3.4. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a/ 2mx + 3 = m  x b/ (m  1)(x + 2) + 1 = m2 c/ (m2  1)x = m3 + 1

d/ (m2 + m)x = m2  1 e/ m2(x + 1) = x + m f/ (2m2 + 3)x  4m = x + 1

3.5. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
mx  m  1 2(m  4)
a/ =3 b/ (m  2)  =0
x2 x 1
2 m 1 m
c/ =m d/ =
x 3 x 1 x  2
3.6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
a/ m(2x  1) + 5 + x = 0 b/ m2x  2m2x = m5 + 3m4  1 + 8mx
2 xm x2
c/ =m d/ =
x 1 x 1 x 1
3.7. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.
a/ m2(x  1) + 2mx = 3(m + x)  4 b/ (m2  m)x = 2(x + 2) + m2  5
mx xm x2
c/ =3 d/ + =2
x2 x 1 x
3.8. Tìm m để phương trình sau có tập hợp nghiệm là R
a/ m2(x  1)  4mx = 5m + 4 b/ m2x = 9x + 4m – 3 c/ m3x = mx + m2 
m
Tìm m để pt: (m2)x5 =0 a) nhận 1 là nghiệm b)có nghiệm duy nhất là số nguyên.
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Kiến thức cần nhớ:
- Dạng: ax2 + bx + c = 0 với a  0. (2) có   b2  4ac.
Nếu   0 thì (2) có nghiệm b   . Nếu   0 thì (2) vô nghiệm.
2a
b c
- Nếu x1 và x2 là nghiệm của (2) thì S  x1  x2  , P  x1.x2 
a a
(2) có nghiệm trái dấu  ac  0. (2) có 2 nghiệm dương  a  0,   0
 S  0, P  0
- Nếu hai số có tổng là S và tích là P với S  4P  0 thì hai số đó là nghiệm của phương
2

trình : X2 – SX + P = 0.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Vấn đề 1: Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c =0
3.9. Giải và biện luận phương trình bậc 2 :
a/ x2  (2m + 3)x + m2 = 0
b/ (m  2)x2  2mx + m + 1 = 0
c/ (m2  1)x2  2(m  2)x + 1 = 0
3.10. Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
24
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

a/ x2  2mx + m2  2m + 1 = 0
b/ (m  3)x2 + 2(3  m)x + m + 1 = 0
c/ (m + 1)x2  2(m  1)x + m  2 = 0
3.11. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
a) (m  1)x2  2mx + m  2 = 0
b) x2  (2m + 1)x + m + 1 = 0
c) (2  m)x2  2(m + 1)x + 4  m = 0
3.12. Tìm m để phương trình có nghiệm.
a/ x2 + 2(m + 1)x + m2  4m + 1 = 0
b*/ x2  (m + 2)x + m + 2 = 0
c/ (m + 1)x2  2(m  3)x + m + 6 = 0
3.13. Tìm m để (P): y = x2 3x và (d): y = 2x + m
a/ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. b/ tiếp xúc nhau.
Vấn đề 2: Định lý Viet
3.14. Định m để phương trình có 1 nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại (nếu có).
a) 2x2  (m + 3)x + m  1 = 0 ; x1 = 3
b) mx2  (m + 2)x + m  1 = 0 ; x1 = 2
c) (2m  1)x  4x + 4m  3 = 0
2
; x1 = 1
3.15. Định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện :
a) x2 + (m  1)x + m + 6 = 0 đk : x12 + x22 = 10
b) (m + 1)x2  2(m  1)x + m  2 = 0 đk : 4(x1 + x2) = 7x1x2
c) x  2(m  1)x + m  3m + 4 = 0
2 2
đk : x12 + x22 = 20
d) x2  2x  3m + 4 = 0 đk : x13  x23 = 20
e) x2  (m  2)x + m(m  3) = 0 đk : x1 + 2x2 = 1
f) x  (m + 3)x + 2(m + 2) = 0
2
đk : x1 = 2x2
1 1
g) 2x2  (m + 3)x + m  1 = 0 đk : + =3
x1 x2
h) x2  4x + m + 3 = 0 đk : x1  x2 = 2
i) x2  (2m -1)x + m2-1 = 0 đk : (x1-x2)2 = x1-3x2
3.16. Tìm m để (P): y = x cắt d: y = 2(m-1)x + m2 tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao
2

cho x1 x2 = -1
3.17. Định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
a) x2 + 5x + 3m  1 = 0
b) - 5x2  2(m  2)x + m  3 = 0
3.18. Định m để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.
a) x2  2(m + 1)x + m - 7 = 0
b) x2  2(m -1)x + m2 = 0
3.19. Định m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
a) x2  2(m + 1)x + m - 7 = 0
b) x2  2(m -1)x + m2 = 0
3.20. Định m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
25
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

a) x2  6x + m  2 = 0
b) 3x2  10x  3m + 1 = 0
Vấn đề 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu
3.21. Giải các phương trình sau:
x 2  3x  5 2x  1 x 1 1 2x 1
a)  1 b)  c) x  
2 3x  2 x  2 x 1 x 1
x 4
3.22. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
x2  x  m mx 2  8 x2  m
a) 0 b) 0 c) 1
x 1 xm x
Vấn đề 4: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
3.23. Giải các phương trình sau:
a/ 3x + 4 = x  2 b/ 6  x2 - 3x2  2 = 0 c/ x2  2x = 2x2  x  2
d/ x + 3 = 2x e) |2x3| +5 = x f) x2  4 +1 = 2x
Vấn đề 5: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
3.24. Giải các phương trình sau:
a/ 2 x  3  x  3 b/ x  1  3x  13  0
c/ x  1  2 x 2  3x  7 d/ 3x 2  4 x  4  2 2 x  5
e) x 2  7 x  10  3x  1 f/1  x 2  2 x  3  2 x

g) 2 x  4 x  9  5 h) 9  1  4 x  3x

i) 3x  12  5 x  6  2 j) x  5  9  2x  x

k) x 2  x  2 x 2  2 x  3 l) 2 x 2  8 x  12  x 2  4 x  6
Vấn đề 6: Phương trình bậc 4 trùng phương

3.25. Tìm m để phương trình x 4  (2m  4)x 2  m2  0 có 4 nghiệm phân biệt.


3.26. Tìm m để phương trình 2 x3  (m  2) x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt.
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Kiến thức cần nhớ:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:


1. Định nghĩa:
a1 x  b1 y  c1 (1)
Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ có dạng ( I ) :  với
a2 x  b2 y  c2 (2)

a12  b12  0

 2 
a2  b2  0
2

Cặp số ( xo ; yo ) đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của
hệ.
2. Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.

26
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

a1 b1 c b1 a c1
Ký hiệu: D   a1b2  a2 b1 , Dx  1  c1b2  c2 b1 , Dy  1  a1c2  a2 c1 .
a2 b2 c2 b2 a2 c2

Xét D Kết quả


Dx Dy
D0 Hệ có nghiệm duy nhất x  , y 
D D
Dx  0 hoặc Dy  0 Hệ vô nghiệm.
D0
Dx  Dy  0 Hệ có vô số nghiệm.
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
3. Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm ( x; y) của hệ ( I ) là tọa độ điểm M ( x; y ) thuộc cả 2 đường thẳng:
(d1 ) : a1x  b1 y  c1 và (d2 ) : a2 x  b2 y  c2 .

 Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất  (d1 ) và (d2 ) cắt nhau.


 Hệ ( I ) vô nghiệm  (d1 ) và (d2 ) song song với nhau.
 Hệ (I) có vô số nghiệm  (d1 ) và (d2 ) trùng nhau.
a1 b1 a1 b1 c1 a1 b1 c1
    
a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 c2

y y y
(d1 )
(d2 ) (d1 ) (d2 ) (d1 )
(d2 )
yo M

x x x
O xo O O

Nghiệm duy nhất Vô nghiệm Vô số nghiệm

HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN


a1 x  b1 y  c1 z  d1

Hệ có dạng: a2 x  b2 y  c2 z  d2  Một nghiệm của hệ là bộ 3 số (xo ; yo ; zo ) thỏa cả 3
a x  b y  c z  d
 3 3 3 3

phương trình của hệ. Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử
bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt
ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
BÀI TẬP TỰ LUẬN
3.27. Giải các hệ phương trình sau:
 x y
5 x  2 y  19 5( x 2  2 x)  4( y 2  2 y )  11  2  3 1
a)  b)  2 c) 
8 x  3 y  18 2( x  2 x)  7( y  2 y )  13 2x 3y
2
   22
3 2

27
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

2 1
 x  y  1  8  2 x  1  3y  1  3 x  2  2 y 1  7
d)  e)  f) 
5 x  1  4 y  14 2 x  2  5 y  1  11
3 2
  2
 x y  1

3 x  2  5 y  1  2 8x 2  3y 2  7
g)  h) 
5 x  2  7 y  1  12 2x  y  3
2 2

3.28. Giải các hệ phương trình sau:


 x yz 0 2 x  y  z  3
 
a) 3x  2 y  4 z  17 b)  x  2 y  z  6
 5 x  y  7 z  22 x  y  2z  7
 

 ax  by  6a  2
3.29. Tìm a, b để hệ phương trình  có nghiệm (-3; 2)
bx  2 y  4  9a
3.30. Tính diện tích của một tam giác vuông biết: nếu tăng mỗi cạnh góc vuông lên 2m thì
diện tích tăng 17m2; nếu giảm 1 cạnh góc vuông 3m và giảm cạnh góc vuông kia 1m thì diện
tích giảm 11m2.

§4.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN


Kiến thức cần nhớ:

HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI


ax  by  c
Dạng tổng quát:  2
(1)

dx  exy  fy  gx  hy  i
2
 (2)

 Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x) và
thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
 Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ không thay đổi và
trật tự các phương trình cũng không thay đổi.
 Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến.
Đặt S  x  y , P  xy.
Giải hệ với ẩn S, P với điều kiện có nghiệm ( x; y ) là S 2  4 P.

Tìm nghiệm ( x; y ) bằng cách thế vào phương trình X 2  SX  P  0.

 Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:


x2  y2  (x  y)2  2xy  S2  2P. x3  y3  (x  y)3  3xy(x  y)  S3  3SP.
( x  y)2  ( x  y)2  4xy  S2  4P.
x4  y4  (x2  y2 )2  2x2 y2  S4  4S2 P  2P2 .
x4  y4  x2 y2  (x2  xy  y2 )(x2  xy  y2 )  

28
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI



a1 x  b1 xy  c1 y  d1
2 2
 Dạng tổng quát:  (i)
a2 x  b2 xy  c2 y  d2
2 2


d2 ( a1 x  b1 xy  c1 y )  d1 .d2
2 2
(1)
 Phương pháp giải: (i)  
d1 ( a2 x  b2 xy  c2 y )  d1 .d2
2 2
 (2)

Lấy (1)  (2)  ( a1d2  a2 d1 )  x2  (b1d2  b2 d1 )  xy  (c1d2  c2 d1 )  y 2  0. Đây là phương trình


đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x, y.

BÀI TẬP TỰ LUẬN


3.31. Giải các hệ phương trình sau:
 x2  y 2  8  x 2 -xy  24
a)  b) 
x  2 y  4 2x-3y  1
( x  y ) 2  49  3x  2 y  36
c)  d) 
3x  4 y  84 ( x  2)( y  3)  18

3.32. Giải các hệ phương trình sau:


 x  xy  y  11 x  y  1
a)  2 b)  3
 x  y  xy  2( x  y )  31  x  y  61
2 3

 xy  x  y  5  x 2 y  y 2 x  30
c)  2 d)  3
x  y  x  y  8  x  y  35
2 3

 xy  x  y  3  x 2  y 2  x  y
e)  2 f ) 2
 x  y  x  y  xy  6  x  y  xy  7
2 2

3.33. Giải các hệ phương trình sau:


 y 2  3x  4 2 x 2  y 2  3x  4 2 x 2  y 2  3 xy  4
a)  2 b)  2 2 c) 
 x  3y  4 2 y  x  3 y  4 2 y  x  xy  9
2 2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


Câu 1. Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau:
5
A. Phương trình: 3x  5  0 có nghiệm là x   .
3
B. Phương trình: 0 x  7  0 vô nghiệm.
C. Phương trình: 0 x  0  0 có tập nghiệm .
D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 2. Hãy chỉ ra phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
1
A. x2. B.  x 2  4  0 . C. 2x  7  0 . D. x.  x  5   0 .
x

29
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Câu 3. Phương trình  m 2 – m  x  m – 3  0 là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi:
A. m  0 hoặc m  1. B. m  1 C. m  0 . D. m  0 và m  1.

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình x  1  x  2  x  3 là


A. x  3 . B. x  2 . C. x  1. D. x  3 .
Câu 5. Phương trình  m  1 x 2  3x  1  0 có nghiệm khi và chỉ khi
5 5 5 5
A. m   . B. m   . C. m   . D. m   , m  1.
4 4 4 4

Câu 6. Biết phương trình ax 2  bx  c  0 , (a  0) có hai nghiệm x1 , x2 . Khi đó:


 a  b  b  b
 x1  x2   b  x1  x2  a  x1  x2   2a  x1  x2   a
A.  . B.  . C.  . D.  .
x x  a x x  c x x  c x x  c
 1 2 c  1 2 a  1 2 2a  1 2 a

Câu 7. Với m bằng bao nhiêu thì phương trình mx  m  1  0 vô nghiệm?


A. m  0 . B. m  0 và m  1. C. m  1. D. m  1 .
Câu 8. Giá trị x  2 là điều kiện của phương trình nào sau đây?
1 1 1 1
A. x   2x 1 . B. x   x  2  0 . C. x   x  2 . D. x  0.
x2 x 4 x x2

Câu 9. Tìm m để phương trình  2m  2  x  m  2 có nghiệm duy nhất.


A. m  1. B. m  1 và m  2 . C. m  1. D. m  2 .
2 x  y  3  0
Câu 10. Tìm nghiệm của hệ phương trình  .
 x  4 y  2
 10 1   10 1 
A.  x; y    2;1 . B.  x; y    ; . C.  x; y     ;  . D.  x; y    2; 1 .
 7 7  7 7

2 3
 x  y  13

Câu 11. Hệ phương trình  có nghiệm là
 3  2  12
 x y
1 1 1 1 1 1 1 1
A. x  ; y   . B. x   ; y  . C. x  ; y  . D. x  ; y  .
2 3 2 3 2 3 2 3

Câu 12. Bộ  x; y; z    2;  1;1 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
 x  3 y  2 z  3 2 x  y  z  1 3x  y  z  1  x  y  z  2
   
A. 2 x  y  z  6 . B. 2 x  6 y  4 z  6 . C. x  y  z  2 . D. 2 x  y  z  6 .
5 x  2 y  3z  9 x  2 y  5 x  y  z  0 10 x  4 y  z  2
   

Câu 13. Phương trình x 2  2mx  2  m  0 có một nghiệm x  2 thì


A. m  1. B. m  1 . C. m  2 . D. m  2 .
Câu 14. Phương trình 3x  2 y  5  0 nhận cặp số nào sau đây là nghiệm
30
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

A.  2;  3 . B.  1;  1 . C.  3; 2  . D. 1;1 .

1 1
Câu 15. Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2  3x –10  0 . Giá trị của tổng 
x1 x2

3 10 3 10
A. . B.  . C.  . D. .
10 3 10 3
Câu 16. Tập hợp các giá trị của m để phương trình x2  mx  m  1  0 có hai nghiệm trái dấu?
A. 1;10  . B. 1;   . C. 1;   . D. 2  8;  .  
Câu 17. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: x2  2 x
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. Vô số.
Câu 18. Cho phương trình: x  2  2  x 1 . Tập hợp các nghiệm của phương trình 1 là tập
hợp nào sau đây?
A.  ; 2 . B. . C.  2;    . D. 0;1; 2 .

1 1
Câu 19. Số nghiệm của phương trình 2 x    x2  là
x 1 x 1
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 20. Giải phương trình 1  3x  3x  1  0 .

A.  ;   . B.   . C.  ;  . D.  ;   .
1 1 1 1
3  2  3 3 

Câu 21. Phương trình  m  1 x 2   2m  3 x  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt khi:


 1  1
m  m  1 1
A.  24 . B.  24 . C. m  . D. m  .
m  1  m  1 24 24

x 1
Câu 22. Số nghiệm của phương trình  là:
2 x 3 x 3
A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 3 .

x2 3
Câu 23. Điều kiện xác định của phương trình  là
x  2x
2
5 x
A. x  \ 0; 2 . B. x   2;5  \ 0 . C.  2;5 \ 0; 2 . D.  ;5  \ 0; 2 .

x4 2
Câu 24. Điều kiện xác định của phương trình  là
x 1
2
3 x
A. x   4;    . B. x   4;3 \ 1 . C. x   ;3 . D. x  \ 1 .

1 3  2x
Câu 25. Điều kiện xác định của phương trình x   là
2x  4 x

31
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

3 3
A. x  2 và x  . B. 2  x  .
2 2

 3
2  x 
C. x  2 và x  0 . D.  2.
 x  0

x2 1 3
Câu 26. Tập xác định của phương trình x   x  2 là
x 1
A. D   2;    . B. D   0;    \ 1 . C. D   0;    . D. D   0;    \ 1; 2 .

Câu 27. Giải phương trình 2 x2  8x  4  x  2 .


x  0
A. x  4 . B.  . C. x  4  2 2 . D. x  6 .
x  4

Câu 28. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x 2  3x  2  x  2
3
A. . B. 1 . C. 3 . D. 2 .
2

Câu 29. Số nghiệm của phương trình 3x  2  2 x  1 là


A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1 .

Câu 30. Số nghiệm nguyên dương của phương trình x  1  x  3 là


A. 0 . B. 1 . B. 2 . D. 3 .

Câu 31. Phương trình  x2  6 x  17  x2  x2  6 x có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 .

Câu 32. Phương trình 2 x  3  1 tương đương với phương trình nào dưới đây?
A.  x  3 2 x  3  x  3 . B.  x  4  2 x  3  x  4 .

C. x 2 x  3  x . D. x  3  2x  3  1 x  3 .

Câu 33. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  m  1 x 2  2mx  m  2  0 có hai
nghiệm trái dấu là
A. \ 1 . B.  2 :   . C.  2;1 . D.  2;1 .

Câu 34. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc  5;5 để phương trình x 2  4mx  m2  0 có hai
nghiệm âm phân biệt là
A. 5 . B. 6 . C. 10 . D. 11

Câu 35. Phương trình  x 2  5 x  4  x  3  0 có bao nhiêu nghiệm?


A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .

Câu 36. Phương trình 3x  2 x  2  1  x  2 có bao nhiêu nghiệm?


A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .

32
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

x  y  2
Câu 37. Cho hệ phương trình  . Tìm tất cả các giá trị của m để hệ trên có
 x y  xy  4m  2m
2 2 2

nghiệm.
 1   1
A.   ;1 . B. 1;   . C.  0; 2 . D.  ;   .
 2   2

xm 2m
Câu 38. Tập hợp các giá trị của m để phương trình x 1   có nghiệm là
x 1 x 1
1  1   1
A.  ;   . B. 1;   . C.  ;   . D.  ;  .
3  3   3

Câu 39. Phương trình  x 2  4 x  3 x  2  0 có bao nhiêu nghiệm?


A. 1 . B. 2 . C. 0 . D. 3 .
2 x  y  m  1
Câu 40. Cho hệ phương trình  . Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây để hệ
3x  y  4m  1
phương trình có nghiệm duy nhất  x0 ; y0  thỏa mãn 2 x0  3 y0  1 ?
A. m   5; 9  . B. m   5;1 . C. m   0; 3 . D. m   4;1 .

Câu 41. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình: x 2  3x  2  1  x là


A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 1 .

Câu 42. Cho phương trình  m  1 x  1   7m  5  x  m . Tất cả các giá trị thực của tham số m để
2

phương trình đã cho vô nghiệm là


A. m  2; m  3 . B. m  3 . C. m  1. D. m  2 .

Câu 43. Phương trình x 4  2mx 2   2m  1  0 (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
1 1
A. m  . B. m  và m  1. C. m  . D. m  1.
2 2
Câu 44. Tổng nghiệm bé nhất và lớn nhất của phương trình x  1  3x  3  4  2 x là
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 45. Tìm m để phương trình x 2  mx  m2  3  0 có hai nghiệm x1 , x2 là độ dài các cạnh góc
vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 2 là
A. m   0; 2  . B. m   3 . C. m   2;0  . D. m  .

Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x2  4 x  6  3m  0 có nghiệm thuộc
đoạn  1;3 .
2 11 11 2 2 11
A. m . B.  m . C. 1  m   . D.   m  1 .
3 3 3 3 3 3
Câu 47. Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x 2  2mx  m  2  0 có hai nghiệm
dương phân biệt là
A.  2;    . B.  ; 2  . C.  ; 1   2;    .D.  1; 2  .
33
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Câu 48. Giả sử phương trình 2 x 2  4mx  1  0 (với m là tham số) có hai nghiệm x1 , x2 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức T  x1  x2 .
2 2
A. min T  . B. min T  2 . C. min T  2 . D. min T  .
3 2

Câu 49. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho parabol  P  : y  x 2  4 x  m cắt Ox
tại hai điểm phân biệt A , B thỏa mãn OA  3OB . Tính tổng T các phần tử của S .
3
A. T  3 . B. T  15 . C. T  . D. T  9 .
2
Câu 50. Cho biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
 1   1  a 
2  x 2  2   3  x    2m  1  0 có nghiệm là S    ;   , với a , b là các số nguyên
 x   x  b 
a
dương và là phân số tối giản. Tính T  a  b .
b
A. T  13 . B. T  17 . C. T  49 . D. T  3 .

34
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

PHẦN 2: HÌNH HỌC

CHƯƠNG I: VECTƠ
§1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
Kiến thức cần nhớ:
Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ
Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương.
Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Với a và điểm O cho trước, vẽ được duy nhất điểm A sao cho OA  a
vectơ AA , là véctơ-không, kí hiệu 0, vectơ 0 có giá là mọi đường thẳng.

BÀI TẬP TỰ LUẬN

1.1. Cho hai điểm phân biệt A và B. Có bao nhiêu vectơ khác nhau và khác vectơ ?
1.2. Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì AB và AC cùng
hướng, trường hợp nào 2 vectơ đó ngược hướng.
1.3. Chứng minh: tứ giác ABCD là hình bình hành  AB  DC  AD  BC
1.4. Vectơ chỉ phương của đường thẳng là d là vectơ khác 0 và có giá là đường thẳng song
song với d hoặc trùng với d. Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB. Tìm tất cả các vectơ chỉ
phương của đường thẳng AB có 2 đầu mút là các đỉnh của hình thang đó.

§2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ


Kiến thức cần nhớ:
Định nghĩa: Tổng của a  AB và b  BC là AB  BC  AC.
Quy tắc: Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB  AD  AC.
Tính chất: a  0  a,    
a  b  b  a, a  b  c  a  b  c .

Vectơ cùng độ dài và ngược hướng với a gọi là vectơ đối của a.
Định nghĩa: Hiệu a  b  a  (b).
Hệ quả: Với 3 điểm O, A, B tùy ý ta có AB  OB  OA.
I là trung điểm của đoạn thẳng AB  IA  IB  0.
G là trọng tâm của tam giác ABC  GA  GB  GC  0.
BÀI TẬP TỰ LUẬN

1.5. Cho  ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC.
a) Tìm AM  AN ; MN  NC ; MN  PN ; BP  CP .

b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP .

35
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

1.6. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh


a) AB  CD  AD  CB b) AB  CD  AC  DB

c) OD  OC  AD  BC với O là trung điểm AB


1.7. Cho hình bình hành ABCD. M và N lần lượt là trung điểm BC, AD.
a) Tìm tổng NC  MC, AM  CD, AD  NC

b) Chứng minh rằng : AM  AN  AB  AD


1.8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Chứng minh
a/ DO  AO  AB b/ OD  OC  BC

c/ MA  MC  MB  MD (với M là 1 điểm tùy ý)


1.9. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng:
a) AC  DE  DC  CE  CB  AB b) AB  CD  EA  CB  ED
1.10. Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh
OC  OE và OD cùng phương, AB và EC cùng phương.

1.11. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh rằng:
OA  OB  OC  OD  OE  OF  0
 
1.12. ABC đều cạnh a. Tính độ dài của vectơ AB  AC
1.13. Cho hình thoi ABCD có BAD =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính | AB  AD |, | BA  BC |, | OB  DC |
1.14. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
   
a/ Tính  AB  AD  b/ Dựng u = AB  AC . Hãy tính u

1.15. Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính
 
| AB  AD |, | OA  CB |, | AB  DC |, | CD  DA |
1.16. Cho ABC. Tìm điểm M sao cho MA  MB  MC  0

§3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

Kiến thức cần nhớ:


Định nghĩa: Tích của số k  0 và vectơ a  0 là vectơ k a, cùng hướng với a nếu
k  0, ngược hướng với a nếu k  0 và có độ dài k a .

 
Tính chất: k a  b  ka  kb,  h  k  a  ha  ka,  
h ka   hk  a.

I là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA  MB  2MI , M .


G là trọng tâm của tam giác ABC  MA  MB  MC  3MG.
36
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Điều kiện cần và đủ để a và b cùng phương là có số k để a  kb.



Mọi vectơ đều x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ không cùng

phương a và b : x  ha  kb.
BÀI TẬP TỰ LUẬN

1.17. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC . Chứng minh AB + 2 AC =

3 AM và MA + MB + MC = 3 MG
1.18. Cho ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. Chứng minh rằng : AD + BE +
CF = 3 GH
1.19. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của
EF. M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng
a/ AD + BC = 2 EF b/ OA + OB + OC + OD = 0

c*/Tìm M thuộc AB sao cho MA  MB  MC  MD nhỏ nhất

1.20. Cho hình bình hành ABCD có E là trung điểm AD. Chứng minh
a/ EA + EB + 2 EC = 3 AB b/ EB + 2 EA + 4 ED = EC

1.21. Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N sao cho NC  2 NA . Gọi
K là trung điểm của MN. Chứng minh
1 1 1 1
a/ AK = AB + AC b/ KD = AB + AC
4 6 4 3

1.22. Cho ABC. Trên AB, AC lấy D, E sao cho AD  2DB, EC  3EA. Gọi M là trung điểm
DE và I là trung điểm BC. Chứng minh rằng:
1 1 1 3
a/ AM = AB + AC b/ MI = AB + AC
3 8 6 8

1.23. Cho ABC. Gọi N là điểm trên cạnh AC sao cho NA=2NC. Gọi M, K là trung điểm của
AB, MN. Phân tích AK theo AB và AC .
1.24. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài
sao cho 5JB = 2JC.
a) Tính AI , AJ theo AB, AC

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ

1.25. a) Cho AB  4 AD  5 AC . Chứng minh B, C, D thẳng hàng.


b) Cho 7 DE  3DM  4DI . Chứng minh E, M, I thẳng hàng.

1.26. Cho ABC. Lấy M, N, P sao cho MB  3MC, NA  3CN , PA  PB  0

37
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

 
a/ Hãy biểu thị AM , AN , AP theo AB và AC

b/ Chứng minh rằng : M, N, P thẳng hàng.

1.27. Cho ABC. Lấy D, M: 4 AD  3 AC ,7 BM  3BC , I là trung điểm BD


 
a/Phân tích AM theo AB và AC b/Chứng minh A,M,I thẳng hàng.

38
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

§4. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Kiến thức cần nhớ:


- Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ
đơn vị e , kí hiệu (O; e ).
- Hệ trục tọa độ Oxy gồm 2 trục (O; i ), (O; j ) vuông góc nhau.
- Mọi vectơ u đều phân tích được u  xi  y j , ta gọi cặp số  x; y  là tọa độ của u
trong đó x là hoành độ, y là tung độ, viết u  x; y  .
- Tọa độ điểm: M  x; y   OM  x; y  , vectơ AB  xB  xA ; y B  y A  .
- Cho u  x; y  , v  x '; y ' . u  v  x  x ' và y  y '. u  v   x  x '; y  y '
x A  xB y  yB
I là trung điểm của đoạn thẳng AB  xI  , yI  A
2 2
x  xB  xC y  yB  yC
G là trọng tâm của  ABC  xG  A , yG  A
3 3
BÀI TẬP TỰ LUẬN

1.28. Trong mặt phẳng Oxy, phân tích u  3;4  theo i và j

1.29. Tìm tọa độ u , biết: a) u =3 i 4 j b) u = j 2 i c) u = 3 i


  
1.30. Cho a =(2;4); b =(-3;1); c =(5;-2). Tìm vectơ:
      
a) n  24 a  14 c b) m  2 a 3 b 5 c

1.31. Cho hai điểm A(1;1), B(1;3)


a) Xác định tọa độ các vectơ AB, BA .

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho BM  (3;0) .

c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA  (1;1) .

1.32. Cho hai điểm A(1;-4), B(2;1), u  3;6 

a) Tìm A ' sao cho AA'  u b) Tìm B' sao cho AB '  2 AB
1.33. Cho hai điểm A(1;3), B(13;8)
a) Xác định tọa độ của và trung điểm I của đoạn AB.
b) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC.
c) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’.

1.34. Cho ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA
và AB. Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
  
1.35. Cho A(2;t2); B(t;-4); C(2t;4t); D(t2;-1). Xác định t để AB = CD

39
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

1.36. Cho a =(2; 1) ; b =( 3 ; 4) và c =(7; 2)


a) Tìm tọa độ của vectơ u = 2 a - 3 b + c
b) Tìm tọa độ của vectơ x thỏa x + a = b - c
c) Tìm các số m, n thỏa c = m a + n b
1.37. Cho biết các cặp véctơ sau cùng phương hay không cùng phương
a) = (1;2) và = (3;6) b) = (-1;4) và = (3;7)
1.38. Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương
a) =(2;3), =(4;x) b) =(0;5), =(3-x;7)
1.39. Biểu diễn véctơ theo và
 
a)(4;7),(2;1),(-3;4) b)(1;3), a = (1;1), b (2;3)

1.40. Cho A(1;1), B(1;3), C(2;0). Chứng minh A nằm giữa B,C.
1.41. Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để A, B, C thẳng hàng.
1.42. Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để C(7;x) thuộc đường thẳng AB.
1.43. Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh AB//CD.
1.44. Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2).
a) Chứng minh A,B,C là 3 đỉnh của 1 tam giác. Tìm trọng tâm  đó
b) Tìm D để A, B, D là 3 đỉnh của tam giác nhận C là trọng tâm.

1.45. Cho  ABC có A(1;1), B(5;3), C  Oy trọng tâm G  Ox. Tìm C.


1.46. Cho A(2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của AB và tọa độ điểm C sao cho tứ giác
OABC là hình bình hành, O là gốc tọa độ.
1.47. Cho A(1;3), B(2;4), C(0;1).
a) Tìm E để ABCE là hình bình hành.
b) Tìm I, K để ABIK là hình bình hành nhận C làm tâm.
1.48. Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 1). Tìm tọa độ điểm D biết ABCD hình thang có hai đáy là
BC, AD với BC = 2AD

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Véctơ có điểm đầu là A , điểm cuối là B được kí hiệu là


A. AB . B. AB . C. BA . D. AB .

Câu 2. Xét các mệnh đề sau


(I): Véc tơ – không là véc tơ có độ dài bằng 0 .
(II): Véc tơ – không là véc tơ có nhiều phương.
A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. (I) và (II) đúng. D. (I) và (II) sai.

40
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Câu 3. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:


A. 0 cùng hướng với mọi vectơ. B. 0 cùng phương với mọi vectơ.

C. AA  0 . D. AB  0 .

Câu 4. Cho ba điểm A , B , C phân biệt. Có tất cả bao nhiêu véctơ khác véctơ – không có điểm
đầu, điểm cuối là hai điểm trong ba điểm A , B , C ?
A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
Câu 5. Hai vectơ có cùng độ dài và ngược hướng gọi là
A. Hai vectơ cùng hướng. B. Hai vectơ cùng phương.
C. Hai vectơ đối nhau. D. Hai vectơ bằng nhau.
Câu 6. Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, trong đó điểm N nằm giữa hai điểm M và P . Khi
đó các cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?
A. MP và PN . B. MN và PN . C. NM và NP . D. MN và MP .

Câu 7. Cho AB khác 0 và cho điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa AB  CD ?


A. Vô số. B. 1 điểm. C. 2 điểm. D. Không có điểm nào.
Câu 8. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây
sai?
A. BA  CD . B. AB  CD . C. OA  OC . D. AO  OC .

Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai?


A. G là trọng tâm ABC thì GA  GB  GC  0 .

B. Ba điểm A , B , C bất kì thì AC  AB  BC .

C. I là trung điểm AB thì MI  MA  MB với mọi điểm M .

D. ABCD là hình bình hành thì AC  AB  AD .

Câu 10. Cho u  DC  AB  BD với 4 điểm bất kì A , B , C , D . Chọn khẳng định đúng?
A. u  0 . B. u  2DC . C. u  AC . D. u  BC .
Câu 11. Cho hình bình hành ABCD , đẳng thức véctơ nào sau đây đúng?
A. CD  CB  CA . B. AB  AC  AD . C. BA  BD  BC . D. CD  AD  AC .
Câu 12. Cho tam giác đều ABC cạnh a , mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AC  BC . B. AC  a . C. AB  AC . D. AB  a .

Câu 13. Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của hai đường chéo. Khẳng định nào sau
đây là khẳng định sai?
A. IA  IC  0 . B. AB  AD  AC . C. AB  DC . D. AC  BD .

Câu 14. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Ba vectơ bằng vectơ BA là
A. OF , DE , OC . B. CA , OF , DE . C. OF , DE , CO . D. OF , ED , OC .

41
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Câu 15. Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. AB  AC  DA . B. AO  AC  BO . C. AO  BO  CD . D. AO  BO  BD .

Câu 16. Tổng MN  PQ  RN  NP  QR bằng


A. MR . B. MN . C. MP . D. MQ .

Câu 17. Cho 4 điểm bất kì A , B , C , O . Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. OA  OB  BA . B. OA  CA  CO . C. AB  AC  BC . D. AB  OB  OA .
Câu 18. Cho I là trung điểm của đoạn MN ? Mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. IM  IN  0 . B. MN  2 NI .

C. MI  NI  IM  IN . D. AM  AN  2 AI .

Câu 19. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Độ dài AD  AB bằng
a 2 a 3
A. 2a B. . C. . D. a 2 .
2 2

Câu 20. Cho các điểm A , B , C , D và số thực k . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AB  k CD  AB  kCD . B. AB  kCD  AB  kCD .

C. AB  kCD  AB  k CD . D. AB  kCD  AB  kCD .

Câu 21. Cho ABC có trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AG  AB  AC . B. AG  2 AB  AC .  
C. AG 
1
3

AB  AC .  D. AG 
2
3

AB  AC . 
Câu 22. Cho 4 điểm A , B , C , D . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; O là trung
điểm của IJ . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. IJ 
1
2
AD  BC .  B. AB  CD  AD  CB .

C. IJ 
1
2
AC  BD .  D. OA  OB  OC  OD  0 .

Câu 23. Cho tam giác ABC . Điểm M thỏa mãn AB  AC  2 AM . Chọn khẳng định đúng.
A. M là trọng tâm tam giác. B. M là trung điểm của BC .
C. M trùng với B hoặc C . D. M trùng với A .

Câu 24. Véctơ tổng MN  PQ  RN  NP  QR bằng


A. MR . B. MN . C. PR . D. MP .
Câu 25. Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Khi đó:
1 1 1 1
A. AG  AB  AC . B. AG  AB  AC .
2 2 3 3

42
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

1 1 2 2
C. AG  AB  AC . D. AG  AB  AC .
3 2 3 3

Câu 26. Cho tam giác ABC đều có cạnh AB  5 , H là trung điểm của BC . Tính CA  HC .
5 3 5 7 5 7
A. CA  HC  . B. CA  HC  5 . C. CA  HC  . D. CA  HC  .
2 4 2

Câu 27. Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn IA  2IB . Biểu diễn IC theo các vectơ AB ,
AC .
2 2
A. IC  2 AB  AC . B. IC  2 AB  AC . C. IC   AB  AC . D. IC  AB  AC .
3 3

Câu 28. Cho tam giác OAB vuông cân tại O , cạnh OA  4 . Tính 2OA  OB .
A. 2OA  OB  4 . B. Đáp án khác. C. 2OA  OB  12 . D. 2OA  OB  4 5 .

Câu 29. Cho tam giác đều ABC cạnh 2a có G là trọng tâm. Khi đó AB  GC là
a 3 2a 3 4a 3 2a
A. . B. . C. . D. .
3 3 3 3
Câu 30. Cho ABC . Gọi M , N là các điểm thỏa mãn: MA  MB  0 , 2 NA  3NC  0 và
BC  k BP . Tìm k để ba điểm M , N , P thẳng hàng.
1 2 3
A. k  . B. k  3 . C. k  . D. k  .
3 3 5

Câu 31. Cho tam giác ABC , M và N là hai điểm thỏa mãn: BM  BC  2 AB , CN  xAC  BC .
Xác định x để A , M , N thẳng hàng.
1 1
A. 3. B.  . C. 2. D.  .
3 2

Câu 32. Cho hai điểm A  3;1 và B 1;  3 . Tọa độ của vectơ AB là
A.  2;  2  . B.  1;  1 . C.  4;  4  . D.  4; 4  .

Câu 33. Trong hệ tọa độ Oxy, cho a   3; 4  , b   1; 2  . Tìm tọa độ của a  b .
A. a  b   4; 6  . B. a  b   2; 2  . C. a  b   4;6  . D. a  b   3; 8 .

Câu 34. Cho a  1; 2  và b   3; 4  . Vectơ m  2a  3b có toạ độ là


A. m  10; 12  . B. m  11; 16  . C. m  12; 15  . D. m  13; 14  .

Câu 35. Trong mặt phẳng Oxy , cho A  x1 ; y1  và B  x2 ; y2  . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng
AB là
x y x y   x1  x2 y1  y2 
A. I  1 1 ; 2 2  . B. I  ; .
 2 2   3 3 

43
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

 x2  x1 y2  y1   x1  x2 y1  y2 
C. I  ; . D. I  ; .
 2 2   2 2 

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 5  và B  4;1 . Tọa độ trung
điểm I của đoạn thẳng AB là
A. I 1;3 . B. I  1; 3 . C. I  3; 2  . D. I  3; 2  .

Câu 37. Cho tam giác ABC với A  2;3 , B  4; 1 , trọng tâm của tam giác là G  2; 1 . Tọa độ
đỉnh C là
A.  6;  4  . B.  6;  3 . C.  4;  5  . D.  2; 1 .

Câu 38. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ a  2i  3 j , b  i  2 j . Khi đó tọa độ vectơ
a  b là
A.  2; 1 . B. 1; 2  . C. 1;  5  . D.  2;  3 .

Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  3;  1 , B  1; 2  và I 1;  1 . Tìm tọa độ điểm C để
I là trọng tâm tam giác ABC .
A. C 1;  4  . B. C 1; 0  . C. C 1; 4  . D. C  9;  4  .

Câu 40. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A 1;3 , B  2;1 và C  0; 3 . Vectơ
AB  AC có tọa độ là
A.  4;8  . B. 1;1 . C.  1;  1 . D.  4;  8  .

Câu 41. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho A  2;5  , B 1; 1 . Tìm toạ độ M sao cho
MA  2MB .
A. M 1;0  . B. M  0;  1 . C. M  1;0  . D. M  0;1 .

Câu 42. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm N  5; 3 , P 1;0  và M tùy ý. Khi đó MN  MP
có tọa độ là
A.  4;3  . B.  4;1 . C.  4; 3 . D.  4;3 .

Câu 43. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A  2;3 , B  0; 4  , C  5; 4  .
Toạ độ đỉnh D là:
A.  3; 5  . B.  3; 7  . 
C. 3; 2 .  D.  7; 2 .
 
1
Câu 44. Cho A  3;  2  , B  5; 4  và C  ; 0  . Ta có AB  xAC thì giá trị x là
3 
A. x  3 . B. x  3 . C. x  2 . D. x  2 .
Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A  2;  2  ; B  5;  4  . Tìm tọa độ trọng tâm
G của OAB .
 7  7 2  3 
A. G   ;1 . B. G  ;  . C. G 1;  2  . D. G   ;  3 
 2  3 3  2 

44
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Câu 46. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC vuông tại A có B 1;  3 và C 1; 2  . Tìm tọa độ
điểm H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của ABC , biết AB  3 , AC  4 .
A. H 1;  . B. H 1;   . C. H 1;   . D. H 1;  .
24 6 24 6
 5   5   5   5

Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ điểm N trên cạnh BC của tam giác ABC có
A 1; 2  , B  2;3 , C  1; 2  sao cho S ABN  3S ANC là
1 3  1 3 1 1  1 1
A.  ;  . B.   ;   . C.  ;   . D.   ;  .
4 4  4 4 3 3  3 3

Câu 48. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC có A  3; 4  , B  2;1 , C  1; 2  . Cho
M  x; y  trên đoạn thẳng BC sao cho S ABC  4S ABM . Khi đó x 2  y 2 bằng
13 3 3 5
A. . B. . C.  . D. .
8 2 2 2

Câu 49. Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 3 , B  3; 4  . Tìm tọa độ điểm M trên trục
hoành sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất.
 18   17 
A. M  ;0  . B. M  4;0  . C. M  3;0  . D. M  ;0  .
7   7 

Câu 50. Cho M  1;  2  , N  3; 2  , P  4;  1 . Tìm E trên Ox sao cho EM  EN  EP nhỏ nhất.
A. E  4;0  . B. E  3;0  . C. E 1; 0  . D. E  2;0 

CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ & ỨNG DỤNG


Bài 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC TỪ 00 ĐẾN 1800

Kiến thức cần nhớ:


Với mỗi góc  [00;1800], xác định điểm M  x0 ; y0  trên đường tròn đơn vị sao cho
xOM   . cos  x0 ,sin   y0  1  cos  ,sin   1
sin 
tan    tan  xác định khi cos  0    900.
cos
cos 0 0
cot    cot  xác định khi sin   0    0 ,180 .
sin 
  
Tính chất: sin 1800    sin  ,cos 1800    cos 
 
Góc giữa hai vectơ a và b , kí hiệu a, b là AIB
với A, B là các điểm xác định bởi IA  a, IB  b, I bất kỳ.

45
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Bài 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Kiến thức cần nhớ:

Định nghĩa: Tích vô hướng của a và b là một số: a.b  a . b .cos  a, b 

Nhận xét: a  b  a.b  0.

Biểu thức tọa độ: a  x; y  , b  x '; y' thì a.b  x.x ' y.y'.

Độ dài vectơ: a  x 2  y 2 Độ dài: AB   x B  x B 2   yB  yB 2

x.x ' y.y'


Góc giữa 2 vectơ : cos  a,b   a.b 
a.b x  y2 . x '2  y'2
2

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Vấn đề 1: Định nghĩa tích vô hướng của hai vector

2.1. Cho ABC vuông tại A có AB = 3a, AC = 4a. Tính AB . AC , CA . AB , CB . CA , AB . BC


2.2. Cho ABC biết AB = 2; AC = 3 và Â = 120o. Tính AB.AC
2.3. Cho ABC có AB = 5, BC = 8, AC = 7
a/ Tính AB.AC rồi suy ra góc A
b/ Tính CA.CB
c/ Gọi D là điểm trên cạnh CA thỏa CD = 3. Tính CD.CB , AD.AB
2.4. Cho ABC đều có cạnh bằng a và I là trung điểm BC. Tính : AB.AI , AC.BC , AI.BC ,
AI.CA
2.5. ABC có AB= 2 ,BC= 4 ;AC= 3, G là trọng tâm. Tính AG.BC
2.6. Cho hình vuông ABCD cạnh a.
a/ Tính AB.AC
b/ Tính AB.BD
 
c/ Tính AB  AD . BD  BC 
d/ Tính  AC  AB .  2AD  AB
2.1. Cho ABC có AC=2 ; BC= 4 ; AB= 3 ; có AD là phân giác trong
a) Tính AD theo AB và AC b) Tính AD

Vấn đề 2: Sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng


2.2. Cho a =(1/2; -5) và b =(k; -4). Tìm k để:
a) a cùng phương b b) a vuông góc b c) a  b
2.3. Cho a = (4; 3), b = (1; 7)
a/ Tính a.b
46
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

b/ Tính góc giữa 2 vectơ a và b


2.4. Cho a =(-2; 3) ; b =(4; 1)
a/ Tính cos của góc hợp bởi a và b , a và j .

b/ Tìm số m và n sao cho ma  nb vuông góc a  b

c/ Tìm d biết a . d = 4 và b . d = -2

2.5. Trong mp Oxy cho A(1; 5), B(1; 1), C(3; 4)


a/ Chứng minh rằng: ABC vuông tại A
b/ Tính BA.BC
c/ Tính cos B
2.6. Trong mp Oxy cho A(3; 1), B(1; 3), C(3; 5)
a/ Chứng minh ABC vuông. b/ Tính AB.AC và cosA
2.7. Cho ABC với A (-4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2).
a/ ABC là tam giác gì? Tính diện tích ABC
b/ Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm.
2.8. Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1).
a) Chứng minh ABC vuông b)Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp
2.9. Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6)
a/ Tìm M  x’Ox để tam giác ABM cân tại M
b/ Tìm N  y’Oy để tam giác ABN vuông tại N
c/ Xác định H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm
d/ Xác định C thỏa 3AC  4BC  2AB
e/ Tìm G sao cho O là trọng tâm tam giác ABG
f/ Xác định I  x’Ox để IA  IB  IN đạt giá trị nhỏ nhất
2.10. Cho A(-2;1) và B(4;5)
a/ Tìm M  x’Ox để tam giác ABM vuông tại M
b/ Tìm C để OACB là hình bình hành
2.11. Cho ABC có A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2)
a/ Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành
c/ Tìm điểm M  trục x’Ox để tam giác ABM vuông tại B
d/ Tam giác ABC là tam giác gì ?
e/ Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
2.12. Cho hai điểm A (-3;2) B(4;3) tìm toạ độ của
a/ Điểm M  Ox sao cho  MAB vuông tại M
b/ Điểm N  Oy sao cho NA = NB
c/ Điểm K  Oy sao cho 3 điểm A,K,B thẳng hàng
d/ Điểm C sao cho  ABC vuông cân tại C
2.13. Cho 3 điểm A (-1;1) B(3;1), C(2;4)
47
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

a/ Tính chu vi và diện tích  ABC


b/ Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Tìm toạ độ A’
c/ Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp  ABC. Từ đó, chứng
minh 3 điểm I, H, thẳng hàng.
2.14. Cho A (-1 ; -1) và B (5; 6)
a/ Tìm C y’Oy để A, B, C là 3 đỉnh của tam giác vuông tại C.
b/ Tìm D thuộc trục x’Ox để tam giác ABD cân tại M.
c/ Tìm điểm C sao cho  ABC vuông cân tại C

Bài 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC


Kiến thức cần nhớ: ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
ĐL cosin: a2  b2  c2  2bc.cosA  cosA  ?
Độ dài trung tuyến hạ từ A: b2  c 2 a2
ma  
2 4
a b c
ĐL sin:    2R
sin A sin B sin C
R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Diện tích tam giác:
1 1 abc abc
S  a.ha  ca sin B   p(p a)(p b)(p c)  pr với p 
2 2 4R 2
Nếu A  90 như hình vẽ bên thì :
0

b2  a.b ', c2  a.c ', a2  b2  c2


1 1 1
h2  b '.c ', bc  ah,  
h2 b2 c 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN

Vấn đề 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông


2.15. ABC vuông tại C có AB = 16; BC = 9. Tính độ đường cao BH.
2.16. ABC cân tại A có đường caoAH, BK.Biết BC=4,AH=2. Tính BK
2.17. Cho hình thang ABCD vuông tại A và có 2 đáy AD=3a, CB=4a. Góc BDC  900. Tính
AB và CD.
Vấn đề 2: Định lí cosin
2.18. Cho ABC có a= 7, b = 8, cosC = 11/4. Tính c = AB
2.19. Cho CDE có CD = 6, DE = 7, góc D bằng 600. Tính cạnh CE.
2.20. Cho ABC có a = 5, b = 6, c = 3. Trên đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho
BM = 2, BK = 2. Tính MK.

Vấn đề 3: Định lí sin


4 3
2.21. Cho ABC có c = 7, a = 8, sinA = Tính góc C.
7
2.22. Cho AMI có A  600 , I  750 , MI  2m. Tính AM.
2.23. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều cạnh a.
2.24. Cho ABC có A = 600, hc= 3 , R = 5. Tính a, b, c.

Vấn đề 4: Độ dài trung tuyến


48
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

2.25. Cho ABC có AB = 6 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm. Tính ma.


2.26. Hình thoi ABCD có cạnh 5, BD= 6, M là trung điểm AD. Tính CM
Vấn đề 5: Chu vi, diện tích
2.27. Tính chu vi và diện tích của ABC có a = 5, b = 6, c=7.

2.28. Tính diện tích của ABC biết BC = 8, CA = 5, C  600
2.29. Cho ABC nhọn có b = 4, c = 3, S= 3 3 . Tính cạnh a.
Vấn đề 6: Bán kính đường tròn nội tiếp r, ngoại tiếp R
2.30. Cho ABC có AB = 2, BC = 3, CA = 4. Tính R, r
2.31. Cho ABC có AB = 3, AC = 7, góc B bằng 1200. Tính R, r.
Vấn đề 7: Bài tập tổng hợp
2.32. ABC có a  2 3; b  2 2; c  6  2. Tính góc C, diện tích S và ma

2.33. Tam giác ABC có cạnh a = 8, b = 5, C  600
a) Tính cạnh c, góc A và chiều cao ha của tam giác ABC
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC.
2.34. Cho tam giác ABC. Tính ha, R, r nếu biết :
AC= 8, AB= 5, A = 600. b)BC= 6 , AC= 2, AB= 1  3

Vấn đề 8: Mô hình hóa thực tiễn


2.35. Hai lực cùng độ lớn 10N, hợp góc 600, cùng tác dụng vào một vật. Tính cường độ của
lực tổng hợp.
2.36. Một con tàu theo lộ trình sẽ đi từ A đến B, tuy nhiên lại đi lệch qua một bên thành từ A
đến C. Do đó khi đến C tàu chuyển hướng xoay 1 góc 600 và đi thêm 10 km nữa đế đến vị trí
B. Nếu đi theo đúng lộ trình từ A đến B sẽ ít hơn 4 km. Hỏi tàu đã đi bao nhiêu km?

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


Câu 1. Cho tam giác ABC đều. Giá trị sin BC, AC là 
1 1 3 3
A. . B.  . C.  . D. .
2 2 2 2


Câu 2. Cho tam giác ABC với A  60 . Tính tổng AB, BC  BC, CA .   
A. 120 . B. 360 . C. 270 . D. 240 .


Câu 3. Cho ba vectơ a , b , c thỏa mãn a  1 , b  2 , a  b  3 . Tính a  2b . 2a  b .  
A. 6 . B. 8 . C. 4 . D. 0 .
Câu 4. Cho tam giác ABC vuông tại A , có số đo góc B là 60 và AB  a . Kết quả nào sau
đây là sai?
A. AC.CB  3 2.a . B. AB.BC  a2 . C. AB. AC  0 . .  3.a2 .
D. CACB

Câu 5. Cho hai véc tơ a   1;1 ; b   2; 0  . Góc giữa hai véc tơ a , b là


A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 135 .

49
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

Câu 6. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai vector u  2i  j và v  3i  2 j . Tính u.v ta
được
A. 6 B. 2 C. 4 D. 4
Câu 7.  
Trong mặt phẳng O, i, j cho 3 điểm A  3;6  , B  x; 2  , C  2; y  . Tính OA.BC

A. OA.BC  3x  6 y  12 B. OA.BC  3x  6 y  18


C. OA.BC  3x  6 y  12 D. OA.BC  0
Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy cho A 1;2  , B  4;1 , C  5;4  . Tính BAC
A. 600 B. 450 C. 900 D. Đáp án khác
Câu 9. Cho hai điểm A  3;2  , B  4;3 tìm điểm M thuộc trục Ox và có hoành độ dương
để tam giác MAB vuông tại M
A. M  7;0  B. M  5;0  C. M  3;0  D. M  9;0 
 11 7 
Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A  2;3 , I  ;  , B là điểm đối xứng với A
 2 2
qua I. Giả sử C là điểm có tạo độ  5; y  . Tìm y để tam giác ABC là tam giác vuông tại C
A. y  0; y  7 B. y  0; y  5 C. y  5; y  7 D. y  5

Câu 11. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết A 1;3 , B  2; 2  , C  3;1 .
Tính cosin góc A của tam giác.
2 1 2 1
A. cos A  . B. cos A  . C. cos A   . D. cos A   .
17 17 17 17

Câu 12. Cho tam giác ABC có A  5;3 , B  2;  1 , C  1;5  . Tìm tọa độ trực tâm H của tam
giác ABC .
A. H  3; 2  . B. H  3;  2  . C. H  3; 2  . D. H  3;  2  .

Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A  2; 1 và B  2;1 . Tìm điểm M
thuộc tia Ox sao cho tam giác ABM vuông tại M .
A. M  
5;0 . B. M  
3;0 và M  3;0 . 

C. M  5;0 .  
D. M  5;0 và M   
5;0 .

Câu 14. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 1;3 , B  1;  1 , C 1;1 . Đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I  a; b  . Giá trị a  b bằng
A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 3 .

Câu 15. Cho tam giác ABC có B  120 , cạnh AC  2 3 cm . Bán kính R của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC bằng

50
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

A. R  2 cm . B. R  4 cm . C. R  1 cm . D. R  3 cm .

Câu 16. Nếu tam giác ABC có a 2  b2  c2 thì:


A. A là góc tù. B. A là góc vuông. C. A là góc nhọn. D. A là góc nhỏ
nhất.

Câu 17. Cho hình bình hành ABCD có AB  a , BC  a 2 và BAD  45 . Diện tích của
hình bình hành ABCD là
A. 2a 2 . B. a 2 2 . C. a 2 3 . D. a 2 .

Câu 18. Một tam giác có ba cạnh là 52 , 56 , 60 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
đó là
65
A. . B. 40 . C. 32,5 . D. 65,8 .
4

Câu 19. Tam giác ABC có a  8; b  7; c  5 . Diện tích của tam giác ABC bằng
A. 5 3 . B. 8 3 . C. 10 3 . D. 12 3 .

Câu 20. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB  2 , BC  3 , CA  4 . Tính góc ABC
(chọn kết quả gần đúng nhất).
A. 60 . B. 10429 . C. 7531 . D. 120 .
Câu 21. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB  2 , BC  5 , CA  6 . Tính độ dài
đường trung tuyến MA , với M là trung điểm của BC .
15 55 110
A. . B. . C. . D. 55 .
2 2 2

Câu 22. Tam giác ABC vuông tại A có AC  6 cm , BC  10 cm . Đường tròn nội tiếp tam
giác đó có bán kính r là
A. 1 cm . B. 2 cm . C. 2 cm . D. 3 cm .
Câu 23. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R  4 cm có diện tích là
A. 12 3 cm 2 . B. 13 2 cm2 . C. 13 cm2 . D. 15 cm2

Câu 24. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy.
Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60 .
Biết CA  200  m  , CB  180  m  . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 228  m  . B. 20 91  m  . C. 112  m  . D. 168  m  .

Câu 25. Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai
điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB  12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để
đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h  1,3m . Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1 ,
B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc DA1C1  49
và DB1C1  35 . Tính chiều cao CD của tháp.

51
ĐỀ CƯƠNG HKI TOÁN 10 – NH:2021 - 2022 TRƯỜNG THPT NGUYỄN KHUYẾN - Q10

A. 22, 77 m . B. 21, 47 m . C. 20, 47 m . D. 21,77 m .

52

You might also like