You are on page 1of 47

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014

ĐỀ THI SỐ 1
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2+ x 4 x2 2- x x2 - 3x
A=( - 2 - ):( )
2- x x -4 2+ x 2 x 2 - x3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
x y z a b c x2 y 2 z 2
b) Cho + + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
a b c x y z a b c
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của
C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Nội dung đáp án Điểm


Bài 1
a 2,0
2 2
3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 = 1,0
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5
= (x - 2)(3x - 1). 0,5
b 2,0
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5

Gv: Đỗ Hoài Nam 1 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
= (x - a)(ax - 1). 0,5
Bài 2: 5,0
g 3,0
ĐKXĐ :
�2 - x �0
�2
�x - 4 �0 �x �0
� � 1,0
�2 +�۹�x 0 �x 2
�x 2 - 3 x �0 �x �3
� �

�2 x - x �0
2 3

2 + x 4x2 2- x x2 - 3x (2 + x) 2 + 4 x 2 - (2 - x) 2 x 2 (2 - x)
A=( - - ):( )= . = 1,0
2 - x x 2 - 4 2 + x 2 x 2 - x3 (2 - x)(2 + x) x( x - 3)
4 x2 + 8x x(2 - x)
. = 0,5
(2 - x)(2 + x) x - 3
4 x( x + 2) x (2 - x ) 4x2
= = 0,25
(2 - x)(2 + x )( x - 3) x - 3
4x 2
Vậy với x �0, x ��2, x �3 thì A = . 0,25
x -3
h 1,0
2
4x
Với x �0, x �3, x ��2 : A > 0 � >0 0,25
x -3
� x-3> 0 0,25
� x > 3(TMDKXD) 0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25
i 1,0
x-7 = 4

x-7 = 4 � � 0,5
x - 7 = -4

�x = 11(TMDKXD)
�� 0,25
�x = 3( KTMDKXD)
121
Với x = 11 thì A = 0,25
2
Bài 3 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
� (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0
� 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5
Do : ( x - 1) 2 �0;( y - 3) 2 �0;( z + 1) 2 �0 0,5
Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25
b 2,5
a b c ayz+bxz+cxy
Từ : + + =0� =0 0,5
x y z xyz
� ayz + bxz + cxy = 0 0,25

Gv: Đỗ Hoài Nam 2 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
x y z x y z
Ta có : + + = 1 � ( + + )2 = 1 0,5
a b c a b c
2 2 2
x y z xy xz yz
� 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1 0,5
a b c ab ac bc
x 2
y 2
z 2
cxy + bxz + ayz
� 2 + 2 + 2 +2 =1 0,5
a b c abc
x2 y 2 z 2
� 2 + 2 + 2 = 1(dfcm) 0,25
a b c
Bài 4 6,0
H

B C
0,25
F
O

E
A
K
D

a 2,0
Ta có : BE ^ AC (gt); DF ^ AC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : DBEO = DDFO( g - c - g ) 0,5
=> BE = DF 0,25
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25
b 2,0
Ta có: �
ABC = � � = KDC
ADC � HBC � 0,5
Chứng minh : DCBH : DCDK ( g - g ) 1,0
CH CK
� = � CH .CD = CK .CB 0,5
CB CD
b, 1,75
Chứng minh : DAFD : DAKC ( g - g ) 0,25
AF AK
� = � AD. AK = AF . AC 0,25
AD AC
Chứng minh : DCFD : DAHC ( g - g ) 0,25
CF AH
� = 0,25
CD AC
CF AH
Mà : CD = AB � = � AB. AH = CF .AC 0,5
AB AC
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25

ĐỀ SỐ 2
Câu1.

Gv: Đỗ Hoài Nam 3 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
x4 + 4
( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) ( x + 5) - 24
b. Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
a b c a2 b2 c2
c. Cho + + = 1. Chứng minh rằng: + + =0
b + c c + a a+ b b+ c c + a a+ b

� x 2 1 �� 10 - x2 �
Câu2. Cho biểu thức: A = �2 + + x - 2+
�: � �
�x - 4 2 - x x + 2 �� x+2 �
a. Rút gọn biểu thức A.
1
b. Tính giá trị của A , Biết x = 2 .
c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ^ AB, MF ^ AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

Câu 4.
1 1 1
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: + + �9
a b c
b. Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu Đáp án Điểm
Câu 1 a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
(6 điểm) = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24


= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) (2 điểm)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
b. x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0 <=> (2 điểm)
(x 2
)
- x + 1 ( x - 5) ( x + 6) = 0 (*)
12 3
Vì x2 - x + 1 = (x - ) + >0 "x
2 4
 (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0
x - 5= 0
� x=5

 � � �
x
� + 6 = 0 x= -6

Gv: Đỗ Hoài Nam 4 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
a b c
c. Nhân cả 2 vế của: + + =1
b + c c + a a+ b
với a + b + c; rút gọn � đpcm (2 điểm)
� x 2 1 �� 10 - x2 �
Biểu thức: A = + +
�x2 - 4 2 - x x + 2 �� : x - 2 + �
� �� x+ 2 �
-1
a. Rút gọn được kq: A =
x- 2 (1.5 điểm)
1 1 -1
Câu 2 b. x = � x = hoặc x =
(6 điểm)
2 2 2

4 4
�A = hoặc A =
3 5 (1.5 điểm)
c. A < 0 � x > 2 (1.5 điểm)
-1
d. A �Z � �Z ... � x�{ 1;3} (1.5 điểm)
x- 2
HV + GT + KL

(1 điểm)

Câu 3 a. Chứng minh: AE = FM = DF


(6 điểm) � DAED = DDFC � đpcm (2 điểm)
b. DE, BF, CM là ba đường cao của DEFC � đpcm (2 điểm)
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
� ME + MF = a không đổi
� SAEMF = ME.MF lớn nhất � ME = MF (AEMF là hình vuông)
� M là trung điểm của BD. (1 điểm)

Gv: Đỗ Hoài Nam 5 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
�1 b c
�a = 1+ a + a

�1 a c
a. Từ: a + b + c = 1 � � = 1+ +
�b b b
�1 a b
�c = 1+ +
� c c
(1 điểm)
1 1 1 �a b � �a c � �b c �
Câu 4:
� + + = 3 + � + �+ � + �+ � + �
a b c �b a � �c a � �c b �
(2 điểm)
�3 + 2 + 2 + 2 = 9
1
Dấu bằng xảy ra � a = b = c =
3
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
 (a+ b) – ab = 1
 (a – 1).(b – 1) = 0
 a = 1 hoÆc b = 1 (1 điểm)
Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i)
Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i)
VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

§Ò thi SỐ 3
a 3 - 4a 2 - a + 4
C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=
a 3 - 7a 2 + 14a - 8
a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u 2 : (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c
lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .
C©u 3 : (2 ®iÓm)
1 1 1 1
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : + 2 + 2 =
x + 9 x + 20 x + 11 x + 30 x + 13x + 42 18
2

b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :


a b c
A= + + 3
b+c-a a +c -b a+b-c
C©u 4 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600
quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E .
Chøng minh :
Gv: Đỗ Hoài Nam 6 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
2
BC
a) BD.CE=
4
b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.
C©u 5 : (1 ®iÓm)
T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè
®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .
®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái
C©u 1 : (2 ®)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5
a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )
=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
Nªu §KX§ : a  1; a  2; a  4 0,25
a +1
Rót gän P= 0,25
a-2
a-2+3 3
b) (0,5®) P= = 1+ ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ íc cña 3,
a-2 a-2
mµ ¦(3)= { - 1;1;-3;3} 0,25
Tõ ®ã t×m ®îc a  { - 1;3;5} 0,25
C©u 2 : (2®)
a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . 0,25

Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2 + 2ab + b 2 ) - 3ab = 

=(a+b) (a + b) 2 - 3ab  0,5
V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;
 
Do vËy (a+b) (a + b) 2 - 3ab chia hÕt cho 9 0,25
b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5
Ta thÊy (x2+5x)2  0 nªn P=(x2+5x)2-36  -36 0,25
Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
Tõ ®ã ta t×m ®îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25
C©u 3 : (2®)
a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25
§KX§ : x  -4; x  -5; x  -6; x  -7 0,25

Gv: Đỗ Hoài Nam 7 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
Ph¬ng tr×nh trë thµnh :
1 1 1 1
+ + =
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18

1 1 1 1 1 1 1
- + - + - =
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18
1 1 1
- = 0,25
x + 4 x + 7 18
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Tõ ®ã t×m ®îc x=-13; x=2; 0,25
b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
y+z x+z x+ y
Tõ ®ã suy ra a= ;b = ;c = ; 0,5
2 2 2
y+z x+z x+ y 1 y x x z y z 
Thay vµo ta ®îc A= + + = ( + ) + ( + ) + ( + )  0,25
2x 2y 2z 2 x y z x z y 
1
Tõ ®ã suy ra A  (2 + 2 + 2) hay A  3 0,25
2
C©u 4 : (3 ®)
a) (1®)
Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ 1 = 120 0 - Mˆ 1

V× M̂ 2 =600 nªn ta cã : Mˆ 3 = 120 0 - Mˆ 1 y


A
Suy ra Dˆ 1 = Mˆ 3
x
Chøng minh DBMD ∾ DCEM (1) E 0,5
BD CM D 2
Suy ra = , tõ ®ã BD.CE=BM.CM 1
BM CE 2 3
B 1 C
BC BC 2 M
V× BM=CM= , nªn ta cã BD.CE= 0,5
2 4
BD MD
b) (1®) Tõ (1) suy ra = mµ BM=CM nªn ta cã
CM EM
BD MD
=
BM EM
Chøng minh DBMD ∾ DMED 0,5
Tõ ®ã suy ra Dˆ 1 = Dˆ 2 , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE
Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5
c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC
Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5
TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5

Gv: Đỗ Hoài Nam 8 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
C©u 5 : (1®)
Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z
(x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng )
Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25
Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25
z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®îc :
xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25
Tõ ®ã ta t×m ®îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25

ÑEÀ THI SOÁ 4


Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû
A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15

Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:
( x - a ) ( x - 10 ) + 1
phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân
Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x 4 - 3 x3 + ax + b chia
heát cho ña
thöùc B ( x ) = x 2 - 3 x + 4
Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc
AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng
goùc Hy.
Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng
Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng
1 1 1 1
P= 2
+ 2 + 4 + ... + <1
2 3 4 1002
Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm
Caâ Ñaùp aùn Bieåu
u ñieåm
Gv: Đỗ Hoài Nam 9 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
1 A = ( a + 1) ( a + 3) ( a + 5 ) ( a + 7 ) + 15
2ñ 0,5 ñ
( )(
= a 2 + 8a + 7 a 2 + 8a + 15 + 15 ) 0,5 ñ
0,5 ñ
=(a ) ( )
2
2
+ 8a + 22 a 2 + 8a + 120
0,5 ñ
=(a )
2
2
+ 8a + 11 - 1
=(a 2
+ 8a + 12 ) ( a 2
+ 8a + 10)
= ( a + 2) ( a + 6) ( a 2
+ 8a + 10 )
2 Giaû söû: ( x - a ) ( x - 10 ) + 1 = ( x - m ) ( x - n ) ;(m, n �Z ) 0,25 ñ
2ñ 0,25 ñ
� x 2 - ( a + 10 ) x + 10a + 1 = x 2 - ( m + n ) x + mn 0,25 ñ
� { m + n = a +10
m. n =10 a +1

Khöû a ta coù : 0,25 ñ


mn = 10( m + n – 10) + 1 0,25 ñ
� mn - 10m - 10n + 100 = 1
0,25 ñ
� m(n - 10) - 10n + 10) = 1 0,25 ñ
vì m,n nguyeân ta coù: { m -10 =1
n -10 =1 v { m -10=-1
n -10 =-1
0,25 ñ

suy ra a = 12 hoaëc a =8
3 Ta coù:
1ñ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 ñ
a - 3= 0 a =3
Ñeå A( x)MB ( x ) thì b + 4= 0 � b =-4 { { 0,5 ñ

4

0,25 ñ

0,25 ñ
0,25 ñ
Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng 0,25 ñ
� ; Hy phaân giaùc cuûa
Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB 0,25 ñ

goùc AHC �
maø AHB �
vaø AHC laø hai goùc keà buø neân 0,5 ñ
Hx vaø Hy vuoâng goùc

Hay DHE �
= 900 maët khaùc ADH � = 900 0,5 ñ
= AEH
Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1)
0,25 ñ

AHB 900

AHD = = = 450 0,25 ñ
2 2 0,25 ñ
Do � �
AHC 900
AHE = = = 450
2 2
��AHD = �
AHE
� (2)
Hay HA laø phaân giaùc DHE

Gv: Đỗ Hoài Nam 10 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng
5 1 1 1 1
2ñ P = 2 + 2 + 4 + ... +
2 3 4 100 2
1 1 1 1 0,5 ñ
= + + + ... +
2.2 3.3 4.4 100.100
0,5 ñ
1 1 1 1
< + + + ... +
1.2 2.3 3.4 99.100 0,5 ñ
1 1 1 1 1
= 1 - + - + ... + -
2 2 3 99 100 0,5 ñ
1 99
= 1- = <1
100 100

ĐỀ THI SỐ 5
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Bài 2: (2 điểm)

Giải phương trình:


x - 241 x - 220 x - 195 x - 166
+ + + = 10 .
17 19 21 23

Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
( 2009 - x ) + ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
19
= .
( 2009 - x ) - ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
49

Bài 4: (3 điểm)
2010x + 2680
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = .
x2 + 1
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: (4 điểm)
Gv: Đỗ Hoài Nam 11 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao
� = BFD,
cho: AFE � � = CDE,
BDF � � = AEF
CED � .
� = BAC
a) Chứng minh rằng: BDF � .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

Một lời giải:

Bài 1:
(�x + y + z ) - x 3 �
3
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = � -�
��
y3 + z 3 �

= ( y + z) �
(�x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x 2 �- y + z ) ( y 2 - yz + z 2 )
�(
2

= ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = 3 ( y + z ) �


x ( x + y) + z ( x + y) �
2
� �
= 3 ( x + y) ( y + z ) ( z + x ) .

x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x - x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 )


4 2
b)

= x ( x - 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x - x + 2010 ) .
2 2 2 2

Bài 2:
x - 241 x - 220 x - 195 x - 166
+ + + = 10
17 19 21 23
x - 241 x - 220 x - 195 x - 166
� -1+ -2+ -3+ -4=0
17 19 21 23
x - 258 x - 258 x - 258 x - 258
� + + + =0
17 19 21 23
�1 1 1 1 �
� ( x - 258) � + + + �= 0
�17 19 21 23 �
� x = 258
Bài 3:
( 2009 - x ) + ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
19
= .
( 2009 - x ) - ( 2009 - x ) ( x - 2010 ) + ( x - 2010 )
2 2
49
ĐKXĐ: x �2009; x �2010 .
Đặt a = x – 2010 (a �0), ta có hệ thức:
( a + 1) - ( a + 1) a + a 2 = 19
2
a 2 + a + 1 19
� =
( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 49 3a 2 + 3a + 1 49
2

� 49a 2 + 49a + 49 = 57a 2 + 57a + 19 � 8a 2 + 8a - 30 = 0

Gv: Đỗ Hoài Nam 12 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
� 3
�a=
2
� ( 2a + 1) - 42 = 0 � ( 2a - 3) ( 2a + 5 ) = 0 � �
2
(thoả ĐK)
� 5
a=-
� 2
4023 4015
Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK)
2 2
4023 4015
Vậy x = và x = là giá trị cần tìm.
2 2
Bài 4:
2010x + 2680
A=
x2 + 1
-335x 2 - 335 + 335x 2 + 2010x + 3015 335(x + 3) 2
= = -335 + �-335
x2 + 1 x2 + 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.

Bài 5:
�=A
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E � = F$ = 90o ) C

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân


� .
giác của BAC
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất � AD nhỏ nhất D
F
� D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 6:
� = BFD
a) Đặt AFE � = w, BDF� = CDE � = a, CED� = AEF � = b.
� + b + w = 1800 (*)
Ta có BAC
A E B

Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O.
Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
A
� + OED
� OFD � + ODF
� = 90o (1) E
� � � F wb
Ta có OFD + w + OED + b + ODF + a = 270 (2)
o

(1) & (2) � a + b + w = 180o (**)


wO b
� = a = BDF
(*) & (**) � BAC � .
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
B� = b, C
�=w
� DAEF DDBF DDEC DABC a a
s

s
s

B D C

Gv: Đỗ Hoài Nam 13 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
�BD BA 5 � 5BF � 5BF � 5BF
= =
�BF BC 8 � BD = �BD = � BD =
8 8 8
� � � �
�CD CA 7 � 7CE � 7CE � 7CE
�� = = �� CD = CD =
�� �� CD =
�CE CB 8 � 8 � 8 � 8
�AE AB 5 �7AE = 5AF �
7(7 - CE) = 5(5 - BF) � 7CE - 5BF = 24
� = = � � �
�AF AC 7 � � �
� CD - BD = 3 (3)
Ta lại có CD + BD = 8 (4)
(3) & (4) � BD = 2,5

ĐỀ SỐ 6
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
x - 17 x - 21 x + 1
b) + + =4
1990 1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0

1 1 1
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0.
x y z
yz xz xy
Tính giá trị của biểu thức: A= 2 + 2 + 2
x + 2 yz y + 2 xz z + 2xy

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn
vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số
hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
HA' HB' HC'
a) Tính tổng + +
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
( AB + BC + CA ) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức AA' 2 + BB' 2 + CC' 2
đạt giá trị nhỏ nhất?

ĐÁP ÁN
 Bài 1(3 điểm):
a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )
c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )

 Bài 2(1,5 điểm):

Gv: Đỗ Hoài Nam 14 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
1 1 1 xy + yz + xz
+ + =0 = 0  xy + yz + xz = 0  yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x y z xyz
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

yz xz xy
Do đó: A = ( x - y)( x - z) + ( y - x )( y - z) + (z - x )(z - y) ( 0,25điểm )

Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

 Bài 3(1,5 điểm):


Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d  N, 0  a , b, c, d  9, a  0 (0,25điểm)

Ta có: abcd = k 2
với k, m  N, 31 < k < m < 100
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2
(0,25điểm)
abcd = k 2
 abcd + 1353 = m 2 (0,25điểm)

Do đó: m2–k2 = 1353
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
 m+k = 123 m+k = 41
hoặc
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 hoặc m = 37
 k = 56 k= 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)
Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
1
.HA'.BC
S 2 HA'
a) S HBC = = ;
1 AA'
ABC .AA'.BC
2
(0,25điểm)
S HC' S
HB'
Tương tự: S
HAB
= ;
HAC
=
ABC CC' S ABC BB'
(0,25điểm)
HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC
+ + = + + =1 (0,25điểm)
AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; = (0,5điểm )
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
. . = . . = . =1
IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm )
 BI .AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm )
c)Vẽ Cx ^ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)

Gv: Đỗ Hoài Nam 15 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,25điểm)
2 2 2
- D BAD vuông tại A nên: AB +AD = BD
 AB2 + AD2  (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2
4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2
4BB’2  (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2
(AB + BC + CA ) 2
 4 (0,25điểm)
AA'2 + BB'2 + CC'2
Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC
 AB = AC =BC  D ABC đều
Kết luận đúng (0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó

ĐỀ SỐ 7

Bài 1 (4 điểm)
 1 - x3  1 - x2
Cho biểu thức A =  - x  : với x khác -1 và 1.
 1- x  1- x - x + x
2 3

a, Rút gọn biểu thức A.


2
b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = -1 .
3
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 2 (3 điểm)
Cho ( a - b ) + ( b - c ) + ( c - a ) = 4.( a + b + c - ab - ac - bc ) .
2 2 2 2 2 2

Chứng minh rằng a = b = c .


Bài 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4
đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4 - 2a3 + 3a 2 - 4a + 5 .
Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo
thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và
song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
1 1 2
b, Chứng minh rằng + = .
AB CD MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
Gv: Đỗ Hoài Nam 16 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014

Đáp án
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì : 0,5đ
1- x - x + x
3 2
(1 - x )(1 + x)
A= 1- x
:
(1 + x )(1 - x + x 2 ) - x (1 + x)
(1 - x )(1 + x + x 2 - x) (1 - x )(1 + x) 0,5đ
= 1- x
:
(1 + x)(1 - 2 x + x 2 )
1
= (1 + x ) : (1 - x)
2 0,5đ

= (1 + x 2 )(1 - x) 0,5đ
b, (1 điểm)
2 5  5 2  5  0,25đ
Tại x = -1
3
= -
3
thì A = 1 + (- 3 )  - 1 - ( - 3 ) 
25 5 0,25đ
= (1 + )(1 + )
9 3
34 8 272 2 0,5đ
= . = = 10
9 3 27 27
c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 - x) < 0 (1) 0,25đ
Vì 1 + x 2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 - x < 0  x > 1 0,5đ
KL 0,25đ

Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được 0,5đ
a + b - 2ab + b + c - 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c - 4ab - 4ac - 4bc
2 2 2 2 2 2 2 2 2

Biến đổi để có (a 2 + b 2 - 2ab) + (b 2 + c 2 - 2bc) + (a 2 + c 2 - 2ac) = 0 0,5đ


Biến đổi để có (a - b) 2 + (b - c) 2 + (a - c) 2 = 0 (*) 0,5đ
Vì (a - b) 2  0 ; (b - c) 2  0 ; (a - c) 2  0 ; với mọi a, b, c 0,5đ
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a - b) 2 = 0 ; (b - c) 2 = 0 và (a - c) 2 =0; 0,5đ
Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ

Bài 3 (3 điểm)
0,5đ
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số
x
cần tìm là x + 11
(x là số nguyên khác -11)
x-7 0,5đ
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x + 15
(x khác -15)
x x + 15 0,5đ
Theo bài ra ta có phương trình =
x + 11 x - 7
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 1đ
5 0,5đ
Từ đó tìm được phân số -
6
Bài 4 (2 điểm)

Gv: Đỗ Hoài Nam 17 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
0,5đ
Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) - 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 - 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a - 1) 2 + 3 0,5đ
Vì a 2 + 2 > 0 "a và (a - 1) 2  0"a nên (a 2 + 2)(a - 1) 2  0"a do đó 0,5đ
(a + 2)( a - 1) + 3  3"a
2 2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a - 1 = 0  a = 1 0,25đ


KL 0,25đ
Bài 5 (3 điểm)

M N

A
D I C

a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ
b,(2điểm)
Tính được AD =
4 3
cm ; BD = 2AD =
8 3
cm
0,5đ
3 3
1 4 3
AM = 2 BD = cm
3

Tính được NI = AM =
4 3
cm
0,5đ
3

DC = BC =
8 3
cm , MN =
1
DC = 4 3 cm 0,5đ
3 2 3

Tính được AI =
8 3
cm
0,5đ
3

A B

Bài 6 (5 điểm) O
M N

D C
a, (1,5 điểm)
OM OD ON OC 0,5đ
Lập luận để có = , =
AB BD AB AC
OD OC 0,5đ
Lập luận để có =
DB AC

Gv: Đỗ Hoài Nam 18 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
OM ON 0,5đ
 =  OM = ON
AB AB
b, (1,5 điểm)
OM DM OM AM 0,5đ
Xét DABD để có = (1), xét DADC để có = (2)
AB AD DC AD
1 1 AM + DM AD
Từ (1) và (2)  OM.( AB + CD ) = AD
=
AD
=1
1 1 0,5đ
Chứng minh tương tự ON. ( AB + CD ) = 1
1 1 1 1 2 0,5đ
từ đó có (OM + ON). ( AB + CD ) = 2  AB + CD = MN
b, (2 điểm)
S AOB OB S BOC OB S S 0,5đ
= , =  AOB = BOC  S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC
Chứng minh được S AOD = S BOC 0,5đ
 S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2
0,5đ
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị 0,5đ
DT)

ĐỀ SỐ 8

Bài 1:
b2 + c 2 - a 2 a 2 - (b - c) 2
Cho x = ;y=
2bc (b + c) 2 - a 2
Tính giá trị P = x + y + xy
Bài 2:
Giải phương trình:
1
1 1 1
a, = +b+ (x là ẩn số)
a+b- x a x

(b - c)(1 + a) 2 (c - a )(1 + b) 2 (a - b )(1 + c ) 2


b, + + =0
x + a2 x + b2 x + c2
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Bài 3:
Xác định các số a, b biết:
(3 x + 1) a b
= +
( x + 1) 3
( x + 1) 3
( x + 1) 2
Bài 4: Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Bài 5:
Cho D ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C

ĐỀ SỐ 9
Bài 1: (2 điểm)
Gv: Đỗ Hoài Nam 19 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
� 2 �1 � 1 �1 �x - 1

Cho biểu thức: A = � 3 � + 1 +
� 2 �2 + 1 �: 3

(
� x + 1) �x � x + 2x + 1 �x � x

a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A<1
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):
x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với
E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE
lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H
cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì
k chia hết cho 6.

ĐỀ SỐ 10

Bài 1: (3 điểm)
�1 3 �� x 2 1 �
Cho biểu thức A = � + 2 �: � +
�3 x - 3x ��27 - 3x
2
x +3�

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:


1 6y 2
a) = +
3 y 2 - 10 y + 3 9 y 2 - 1 1 - 3 y
x 3+ x � 6 - x �1
- �1- � .
b) 2 4 � 3 �2
x- = 3-
2 2
Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ,
6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h.
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?

Gv: Đỗ Hoài Nam 20 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật
AMPN ( M  AB và N AD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4).
Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.

ĐỀ SỐ 11

Bài 1: (2điểm)
3x 2 y - 1
a) Cho x - 2xy + 2y - 2x + 6y + 13 = 0 .Tính N =
2 2

4xy
b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số
dương: A = a 3 + b 3 + c3 - 3abc
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
�a - b b - c c - a � �c a b �
A=� + + �� + + �= 9
�c a b � �a - b b - c c - a �
Bài 3: (2 điểm)
Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng
đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với
vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h.
Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE
cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường
thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 6 + 3x 2 + 1 = y 4

ĐỀ SỐ 12

Bài 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c �0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011
Gv: Đỗ Hoài Nam 21 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
x +y +z
2 2 2
x y 2
z 2 2
Biết x,y,z thoả mãn: 2 = 2 + 2 + 2
a +b +c
2 2
a b c
Bài 3:
1 1 4
a, Cho a,b > 0, CMR: + �
a b a+b
b, Cho a,b,c,d > 0
a-d d -b b-c c-a
CMR: + + + �0
d +b b+c c+a a+d
Bài 4:
x 2 + xy + y 2
a, Tìm giá trị lớn nhất: E = 2 với x,y > 0
x - xy + y 2
x
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x + 1995) 2 với x > 0
Bài 5:
a, Tìm nghiệm �Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm �Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Bài 6:
Cho VABC M là một điểm � miền trong của VABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC;
A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’

ĐỀ SỐ 13

Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a(b + c) 2 (b - c) + b(c + a) 2 (c - a) + c(a + b) 2 (a - b)
1 1 1
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và a + b + c = 0
1 1 1
Rút gọn biểu thức: N = + 2 + 2
a + 2bc b + 2ca c + 2ab
2

Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = x 2 + y 2 - xy - x + y + 1
b) Giải phương trình: ( y - 4,5) 4 + ( y - 5,5) 4 - 1 = 0
Bài 3: (2điểm)
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người
đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp
người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km.
Tính quãng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông
góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.

Gv: Đỗ Hoài Nam 22 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x 2 + 5 y 2 = 345

§Ề SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x x - 3x + 4 x -2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:
a b 2c
A = + +
ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
ab
Tính: P=
4a - b 2
2

Bài 4 : (3điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường
thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối
xứng của M qua E F.
a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm
b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c) Tính : ANB + ACB = ?
d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của D ABC
để cho AEMF là hình vuông.
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.

§Ò SỐ 15

Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: ( a + b + c) 3 - a 3 - b 3 - c 3
2 x 3 - 7 x 2 - 12 x + 45
b) Rút gọn:
3 x 3 - 19 x 2 + 33x - 9
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: A = n 3 (n 2 - 7) 2 - 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A
hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước
trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy
bơm B.
Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước.

Gv: Đỗ Hoài Nam 23 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
b) Giải phương trình: 2 x + a - x - 2 a = 3a (a là hằng số).
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt
phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng
vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N.
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sánh hai tam giác ABC và INC.
c) Chứng minh: góc MIN = 900.
d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng số:
22499
 ..........
   9100
 ..........
   ...09
n-2 sè 9 n sè 0
là số chính phương. ( n  2 ).

Đề SỐ 16:
Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x 4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương
của một đa thức khác .
Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức :
 x2 6 1   10 - x 2 
P=  3 + +  :  x - 2 + 
 x - 4 x 6 - 3x x + 2   x + 2 
a) Rút gọn p .
3
b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 4
c) Với giá trị nào của x thì p = 7
d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên .
Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Câu 5 : ( 3ñieåm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần
lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75
(cm)
Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên
hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN
nhỏ nhất .

Gv: Đỗ Hoài Nam 24 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014

®Ò SỐ 17

Bµi 1: (2 ®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:
1. x 2 + 7 x + 6
2. x 4 + 2008 x2 + 2007 x + 2008
Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh:
1. x 2 - 3x + 2 + x - 1 = 0
2 2 2
� 1� � 1 � � 1 �
� 1�
2. �x + �= ( x + 4 )
2
8 �x + �+ 4 �x 2 + 2 �- 4 �x 2 + 2 �
� x� � x � � x � � x�
Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã:
1 1 1
(a+b+c)( a + b + c )  9
3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc
( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8) + 2008 cho ®a thøc x + 10 x + 21 .
2

Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng
cao AH (H�BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng
vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E.
1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh
®é dµi ®o¹n BE theo m = AB .
2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai
tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM
GB HD
3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: =
BC AH + HC
.

Bµi C© Néi dung §iÓm


u
1
1. 2,0
1.1 (0,75 ®iÓm)

Gv: Đỗ Hoài Nam 25 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
x + 7 x + 6 = x + x + 6 x + 6 = x ( x + 1) + 6 ( x + 1)
2 2 0.5
= ( x + 1) ( x + 6 ) 0,5
1.2 (1,25 ®iÓm)
x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 0,25
= x 4 + x 2 + 1 + 2007 ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + 1) - x 2 + 2007 ( x 2 + x + 1)
2

0,25
= ( x + x + 1) ( x - x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x - x + 2008 )
2 2 2 2 2
0,25
2. 2,0
2.1 x 2 - 3x + 2 + x - 1 = 0 (1)
+ NÕu x �1 : (1) � ( x - 1) = 0 � x = 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x �1 ).
2

+ NÕu x < 1: (1)


0,5
� x - 4 x + 3 = 0 � x - x - 3 ( x - 1) = 0 � ( x - 1) ( x - 3 ) = 0
2 2

� x = 1; x = 3 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1,


nªn bÞ lo¹i) 0,5
VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x = 1 .
2.2 � 1� �
2
1 � � 1 �
� 1�
2 2

�x + �= ( x + 4 ) (2)
2
8 �x + �+ 4 �x 2 + 2 �- 4 �x 2 + 2 �
� x� � x � � x � � x�
§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x �0
2
� 1 � � 2 1 �� � 2 1 �� 1� 2

�x + 2 �- �x + ��= ( x + 4 ) 0,25
2
(2) � 8 �x + �+ 4 �x + 2 ��
� x � � x �� � x � � x ��
2
� 1� � 1 �
� 8 �x + �- 8 �x 2 + 2 �= ( x + 4 ) � ( x + 4 ) = 16
2 2
0,5
� x� � x �
� x = 0 hay x = -8 vµ x �0 . 0,25
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x = -8
3 2.0
3.1 Ta cã:
1 1 1
a a b b c c 0,5
A= (a + b + c)( + + ) = 1 ++ + +1+ + + +1
b c a
b c a c a b
a b a c c b
=3 + ( + ) + ( + ) + ( + )
b a c a b c
x y
Mµ: y + x  2 (B§T C«-Si)
0,5
Do ®ã A  3 + 2 + 2 + 2 = 9. VËy A  9
3.2 Ta cã:
P ( x ) = ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 8 ) + 2008
= ( x 2 + 10 x + 16 ) ( x 2 + 10 x + 24 ) + 2008 0,5
§Æt t = x + 10 x + 21 (t �-3; t �-7) , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt l¹i:
2

P( x) = ( t - 5 ) ( t + 3 ) + 2008 = t 2 - 2t + 1993
Do ®ã khi chia t 2 - 2t + 1993 cho t ta cã sè d lµ 1993 0,5
4 4,0

Gv: Đỗ Hoài Nam 26 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ
BEC cã:
Gãc C chung.
CD CA
= (Hai tam gi¸c
CE CB
vu«ng CDE vµ CAB
®ång d¹ng) 1,0

Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).


� =�
Suy ra: BEC ADC = 1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H
theo gi¶ thiÕt).
Nªn �AEB = 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: 0,5
BE = AB 2 = m 2
4.2 BM 1 BE 1 AD
Ta cã: = � = � (do DBEC : DADC )
BC 2 BC 2 AC 0,5
mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)
BM 1 AD 1 AH 2 BH BH
nªn = � = � = = (do DABH : DCBA ) 0,5
BC 2 AC 2 AC AB 2 BE
Do ®ã DBHM : DBEC (c.g.c), suy ra:
� � �
BHM = BEC = 135 � AHM = 45
0 0
0,5
4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c
gãc BAC.
GB AB
Suy ra: = , mµ
GC AC
AB ED AH HD 0,5
= ( DABC : DDEC ) = ( ED // AH ) =
AC DC HC HC
GB HD GB HD GB HD 0,5
Do ®ã: = � = � =
GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC

Phßng GD & §T huyÖn Thêng TÝn


Trêng THCS V¨n Tù
Gv: Bïi ThÞ Thu HiÒn
®Ò SỐ 18
®Ò bµi:
Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:
� 2x - 3 2x - 8 3 �21 + 2 x - 8 x 2
P= � 2 + - �: +1
�4 x - 12 x + 5 13x - 2 x - 20 2 x - 1 � 4 x + 4 x - 3
2 2

a) Rót gän P
1
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x =
2
c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
d) T×m x ®Ó P > 0.
Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh:
15 x �1 1 �
a) - 1 = 12 � + �
x 2 + 3x - 4 �x + 4 3 x - 3 �
Gv: Đỗ Hoài Nam 27 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
148 - x 169 - x 186 - x 199 - x
b) + + + = 10
25 23 21 19
c) x-2 +3 =5
Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:
Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu
ngêi Êy t¨ng vËn tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh
kho¶ng c¸ch AB vµ vËn tèc dù ®Þnh ®i cña ngêi ®ã.
Bµi 4 (7 ®iÓm):
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ
®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm C qua P.
a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×?
b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh
EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.
c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng
phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P.
PD 9
d) Gi¶ sö CP ^ BD vµ CP = 2,4 cm, = . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh
PB 16
ch÷ nhËt ABCD.
Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho
2010
b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:
1 1 2
+ �
1 + x2 1 + y 2 1 + xy

иp ¸n vµ biÓu ®iÓm


Bµi 1: Ph©n tÝch:
4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)
13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3)
0,5®
1 5 -3 7
§iÒu kiÖn: x � ; x � ; x � ; x � ; x �4 0,5®
2 2 2 4
2x - 3
a) Rót gän P = 2®
2x - 5
1 1 -1
b) x = � x = hoÆc x =
2 2 2
1 1
+) x = �… P =
2 2

Gv: Đỗ Hoài Nam 28 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
-1 2
+) x = � …P = 1®
2 3
2x - 3 2
c) P = = 1+
2x - 5 x -5
Ta cã: 1 �Z
2
VËy P �Z khi �Z
x-5
� x–5 �¦(2)
Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – 5 = -2 � x = 3 (TM§K)
x – 5 = -1 � x = 4 (KTM§K)
x – 5 = 1 � x = 6 (TM§K)
x – 5 = 2 � x = 7 (TM§K)
KL: x � {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1®
2x - 3 2
d) P= = 1+ 0,25®
2x - 5 x -5
Ta cã: 1 > 0
2
§Ó P > 0 th× >0 � x–5>0 � x>5 0,5®
x -5
Víi x > 5 th× P > 0. 0,25
Bµi 2:
15 x �1 1 �
a) - 1 = 12 � + �
x 2 + 3x - 4 �x + 4 3 x - 3 �
15 x �1 1 �
� - 1 = 12 � + � §K: x �-4; x �1
( x + 4 ) ( x - 1) �x + 4 3 ( x - 1)



� 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)

� 3x.(x + 4) = 0
� 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0
+) 3x = 0 => x = 0 (TM§K)
+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K)
S = { 0} 1®
148 - x 169 - x 186 - x 199 - x
b) + + + = 10
25 23 21 19
148 - x � �
� 169 - x �� 186 - x �� 199 - x �
� � - 1�+ � - 2 �+ � - 3 �+ � - 4 �= 0
� 25 � � 23 � � 21 � � 19 �
�1 1 1 1�
� (123 – x) � + + + �= 0
�25 23 21 19 �

Gv: Đỗ Hoài Nam 29 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
�1 1 1 1�
Do � + + + �> 0
�25 23 21 19 �
Nªn 123 – x = 0 => x = 123
S = {123} 1®

c) x-2 +3 = 5
Ta cã: x - 2 �0"x => x-2 +3 >0

nªn x-2 +3 = x-2 +3


PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:
x-2 +3=5
� x-2 = 5 – 3
� x-2 =2
+) x - 2 = 2 => x = 4
+) x - 2 = -2 => x = 0
S = {0;4}

Bµi 3(2 ®)
Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0)
0,25®
VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ:
x 3x
= (km / h) 1
3
1 10 (3h20’ = 3 ( h) )
3
3
0,25®
VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:
3x
+ 5 ( km / h )
10
0,25®
Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:

�3x �
� + 5 .3 = x

�10 �
0,5®
� x =150
0,5®
VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km)
0,25®

Gv: Đỗ Hoài Nam 30 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
3.150
VËn tèc dù ®Þnh lµ: = 45 ( km / h )
10
Bµi 4(7®)
VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng 0,5®

D C
P

M
O
I F

E A B

a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.
 PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.
 AM//PO
� tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang.

b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ)
Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB
Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam
gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA.
Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1)

MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.

MF AD
c) DMAF : DDBA ( g - g ) nªn = kh«ng ®æi. (1®)
FA AB
PD 9 PD PB
d) NÕu = th× = = k � PD = 9k , PB = 16k
PB 16 9 16
CP PB
NÕu CP ^ BD th× DCBD : DDCP ( g - g ) � = 1®
PD CP
do ®ã CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2
PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm)
0,5d
BD = 5 (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16
0,5®
do ®ã BC = 4 (cm)

Gv: Đỗ Hoài Nam 31 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
CD = 3 (cm)
0,5®

Bµi 5:
a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1)
2010
2011 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.
1 1 2
b) + � (1)
1 + x2 1 + y2 1 + xy
�1 1 �� 1 1 �
�� 2 - +
�� 2 - ��0
� 1 + x 1 + xy � � 1 + y 1 + xy �
x ( y - x) y ( x - y)
� + �0
( 1 + x ) ( 1 + xy ) ( 1 + y ) ( 1 + xy )
2 2

( y - x ) ( xy - 1)
2

۳ 0 ( 2)
( 1 + x2 ) ( 1 + y 2 ) ( 1 + xy )
V× x �1; y �1 => xy �1 => xy - 1 �0
=> B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ x¶y ra khi x = y)

ĐỀ SỐ 19

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử


b) Tìm giá trị nguyên của x để A MB biết
A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .
c) Cho x + y = 1 và x y �0 . Chứng minh rằng
x y 2( x - y)
- 3 + 2 2 =0
y -1 x -1 x y + 3
3

Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:


a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6
b) + + = + +
2008 2007 2006 2005 2004 2003
Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
a) Chứng minh D EDF vuông cân

Gv: Đỗ Hoài Nam 32 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I
thẳng hàng.
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD
= AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm


Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 (0,25đ)
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ)
=(x–1)(x–2)2 (0,25đ)
A 10x 2 - 7x - 5 7
b) (0,75đ) Xét = = 5x + 4 + (0,25đ)
B 2x - 3 2x - 3
7
Với x �Z thì A MB khi �Z � 7 M( 2x – 3) (0,25đ)
2x - 3
Mà Ư(7) = { -1;1; -7;7} � x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A MB (0,25đ)
x y x -x-y +y
4 4

c) (1,5đ) Biến đổi 3 - 3 = 3


y - 1 x - 1 (y - 1)(x 3 - 1)

=
( x 4 - y4 ) - (x - y)
( do x + y = 1 � y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)
xy(y 2 + y + 1)(x 2 + x + 1)
( x - y ) ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) - (x - y)
= (0,25đ)
xy(x 2 y 2 + y 2 x + y 2 + yx 2 + xy + y + x 2 + x + 1)
( x - y ) (x 2 + y 2 - 1)
= (0,25đ)
xy �
� x 2 y 2 + xy(x + y) + x 2 + y 2 + xy + 2 � �
( x - y ) (x
- x + y 2 - y)
2
( x - y )  x(x - 1) + y(y - 1) 
= = (0,25đ)
x y + (x + y) + 2 �
xy �

2 2 2
� xy(x 2 y 2 + 3)
( x - y )  x(- y) + y( -x)  ( x - y ) (-2xy)
= = (0,25đ)
xy(x y + 3)
2 2
xy(x 2 y 2 + 3)
-2(x - y)
= Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
x 2 y2 + 3

Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)


(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x
y2 + 4y - 12 = 0  y2 + 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)
 (y + 6)(y - 2) = 0  y = - 6; y = 2 (0,25đ)
* x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)
* x2 + x = 2  x2 + x - 2 = 0  x2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)
 x(x + 2) – (x + 2) = 0  (x + 2)(x - 1) = 0  x = - 2; x = 1 (0,25đ)
Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1
x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x +1 x+2 x +3 x+4 x +5 x+6
b) (1,75đ) + + = + + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) + ( + 1)
2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003

x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009


 + + = + + 
2008 2007 2006 2005 2004 2003
x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009
+ + - - - =0 (0,25đ)
2008 2007 2006 2005 2004 2003

Gv: Đỗ Hoài Nam 33 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
1 1 1 1 1 1
 ( x + 2009)( + + - - - ) = 0 (0,5đ) Vì
1
<
1
; 1 < 1 ;
2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2005 2007 2004
1 1
<
2006 2003
1 1 1 1 1 1
Do đó : + + - - - <0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0  x = -2009
2008 2007 2006 2005 2004 2003
E I
2
Bài 3: (2 điểm) 1
1
a) (1đ) B C 2 F
Chứng minh D EDF vuông cân
Ta có D ADE = D CDF (c.g.c) � D EDF cân tại D
Mặt khác: D ADE = D CDF (c.g.c) � Eˆ 1 = Fˆ2 O
Mà Eˆ 1 + Eˆ 2 + Fˆ1 = 90 � Fˆ2 + Eˆ 2 + Fˆ1 = 90
0 0
A D
� EDF = 900. Vậy D EDF vuông cân
b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng
Theo tính chất đường chéo hình vuông � CO là trung trực BD
1
Mà D EDF vuông cân � DI = EF
2
1 B
Tương tự BI = EF � DI = BI
2
� I thuộc dường trung trực của DB � I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng
D

Bài 4: (2 điểm)
C
a) (1đ) A
DE có độ dài nhỏ nhất E
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với D ADE vuông tại A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ)
2 2 2
a a a
= 2(x – )2 + � (0,25đ)
4 2 2
a
Ta có DE nhỏ nhất � DE2 nhỏ nhất � x = (0,25đ)
2
a
� BD = AE = � D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)
2
b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
1 1 1 1
Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ)
2 2 2 2
1 AB AB 2
AB 2
1 AB 2 AB2 AB2
= – (AD – 22
.AD + )+ = – (AD – ) + � (0,25đ)
2 2 4 8 2 4 2 8
AB2 AB2 3
Vậy SBDEC = SABC – SADE � – = AB2 không đổi (0,25đ)
2 8 8
3
Do đó min SBDEC = AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)
8

Gv: Đỗ Hoài Nam 34 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
ĐỀ SỐ 20

Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:


a) x2 – y2 – 5x + 5y
b) 2x2 – 5x – 7

Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng:


4 x 2 - 16 A
=
x2 + 2 x
5x + 5
Bµi 3: Cho ph©n thøc:
2x 2 + 2x
a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh.
b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1.
x+2 1 2
Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : - =
x - 2 x x ( x - 2)
b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x-2)2 + 3

Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:
Mét tæ s¶n xuÊt lËp kÕ ho¹ch s¶n xuÊt, mçi ngµy s¶n xuÊt
®îc 50 s¶n phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã s¶n xuÊt ®îc 57
s¶n phÈm. Do ®ã ®· hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît
møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu
s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy.

Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao


AH vµ
trung tuyÕn AM.
a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA
b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ?
c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?

BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n


§¸p ¸n BiÓu
®iÓm
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) –
5(x – y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm)
b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) =
2x(x +1) – 7(x + 1)
= (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm)
Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm)
Gv: Đỗ Hoài Nam 35 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
A=
x (4 x 2 - 16 x[(2 x ) 2 - 4 2 x (2 x - 4)(2 x + 4) x.2( x - 2).2( x + 2)
= = = = 4( x - 2) = 4 x - 8
x + 2x
2
x + 2x
2
x ( x + 2) x ( x + 2)
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1)  0
 2x  0 vµ x + 1  0
 x  0 vµ x  -1 (1 ®iÓm)
b) Rót gän:
5x + 5 5( x + 1) 5
= = (0,5 ®iÓm)
2 x + 2 x 2 x ( x + 1) 2 x
2

5 5
2x
= 1  5 = 2x  x =
2
(0,25 ®iÓm)
5 5
V× 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x=
2
(0,25 ®iÓm)
Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x  0; x  2
x(x + 2) - (x - 2) 2
- Gi¶i: =  x2 + 2x – x +2 = 2;
x( x - 2) x( x - 2) 1®
 x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = { - 1}
b)  x2 – 9 < x2 + 4x + 7
 x2 – x2 – 4x < 7 + 9  - 4x < 16  x> - 4 1®
VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4
Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ : x ngµy
§iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1 0,5 ®
VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy)
- Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) 0,5 ®
- Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm)
Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13 0,5 ®
 57x – 57 – 50x = 13
 7x = 70 0,5 ®
 x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)
VËy: sè ngµy dù ®Þnh s¶n xuÊt lµ 10 ngµy. 1®
Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500
(s¶n phÈm)
Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã:
Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung
 ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) 1®
b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC
ta cã : BC = AB 2 + AC 2 = 15 2 + 20 2 = 625 = 25 (cm) 1®
AB AC BC 15 20 25
v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn = =
HB HA BA
hay = =
HB HA 15 1®

Gv: Đỗ Hoài Nam 36 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
20.05
 AH = = 12 (cm)
25
15.15
BH = 25
= 9 (cm) 1®
HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)
BC 25
c) HM = BM – BH = 2
- BH =
2
- 9 = 3,5(cm)

1 1
SAHM = 2
AH . HM = 2 . 12. 3,5 = 21 (cm2)

- VÏ ®óng h×nh: A

B H M 1®
C

ĐỀ SỐ 21
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
x - 17 x - 21 x + 1
b) + + =4
1990 1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0

1 1 1
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0.
x y z
yz xz xy
Tính giá trị của biểu thức: A= 2 + 2 + 2
x + 2 yz y + 2 xz z + 2xy

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn
vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số
hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. a)
HA' HB' HC'
Tính tổng + +
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc
AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.
(AB + BC + CA ) 2
c) Chứng minh rằng:  4.
AA'2 + BB'2 + CC'2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

 Bài 1(3 điểm):


a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )
b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )

Gv: Đỗ Hoài Nam 37 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (2x – 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm )
 (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
 2x = 23 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )

 Bài 2(1,5 điểm):


1 1 1 xy + yz + xz
+ + =0 = 0  xy + yz + xz = 0  yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x y z xyz
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

yz xz xy
Do đó: A = ( x - y)( x - z) + ( y - x )( y - z) + (z - x )(z - y) ( 0,25điểm )

Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )

 Bài 3(1,5 điểm):


Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d  N, 0  a , b, c, d  9, a  0 (0,25điểm)

Ta có: abcd = k 2
với k, m  N, 31 < k < m < 100
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2
(0,25điểm)
abcd = k 2
 abcd + 1353 = m 2 (0,25điểm)

Do đó: m2–k2 = 1353
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
 m+k = 123 m+k = 41
hoặc
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 hoặc m = 37
 k = 56 k= 4 (0,25điểm)
Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

 Bài 4 (4 điểm):

Vẽ hình đúng (0,25điểm)


1
.HA'.BC
S HBC 2 HA'
a) S = = ; (0,25điểm)
1 AA'
ABC .AA'.BC
2
S HAB HC' S HAC HB'
Tương tự: S = ; = (0,25điểm)
ABC CC' S ABC BB'
HA' HB' HC' S HBC S HAB S HAC
+ + = + + =1 (0,25điểm)
AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

Gv: Đỗ Hoài Nam 38 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; = (0,5điểm )
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
. . = . . = . =1
IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm )
 BI .AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm )
c)Vẽ Cx ^ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,25điểm)
- D BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
 AB2 + AD2  (BC+CD)2 (0,25điểm)
AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2
4CC’2  (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2
4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2
(AB + BC + CA) 2
 4 (0,25điểm)
AA'2 + BB'2 + CC'2
(Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC
 D ABC đều)

§Ò SỐ 22
C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó:
a, A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.
n 4 + 3n 3 + 2n 2 + 6n - 2
b, B = Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.
n2 + 2
c, D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n  2)
C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :
a b c
a, + +
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
=1 biÕt abc=1

b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2


a2 b2 c2 c b a
c, + +  + +
b2 c2 a2 b a c
C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
x - 214 x - 132 x - 54
a, 86
+
84
+
82
=6

b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng.
C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®-
êng chÐo.Qua 0 kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F.
a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.
1 1 2
b. Chøng minh: + =
AB CD EF
c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®êng th¼ng ®i qua
Kvµ chia ®«i diÖn tÝch tam gi¸c DEF.

Gv: Đỗ Hoài Nam 39 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014

C©u Néi dung bµi gi¶i §iÓ


m
a, (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) 0,5
§Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1  n=2 khi 0,5
®ã A=5
2 0,5
b, (2®iÓm) B=n2+3n-
n +2
2

B cã gi¸ trÞ nguyªn  2  n2+2 0,5


C©u n2+2 lµ íc tù nhiªn cña 2 0,5
1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n 0,5
(5®iÓ HoÆc n +2=2 
2
n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ
m) nguyªn. 0,5
c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n- 0,5
1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1)  ( n 2 - 4) + 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2) 0,5
(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5sè tù 0,5
nhiªn liªn tiÕp)
Vµ 5 n(n-1)(n+1 5 VËy D chia 5 d 2
Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng
ph¶i sè chÝnh ph¬ng
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph-
¬ng
a b c
a, (1®iÓm) + +
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
=

ac abc c
+ + 0,5
abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1
2

ac abc c abc + ac + 1
= 1 + ac + c + c + 1 + ac + ac + c + 1 = abc + ac + 1 = 1 0,5

b, (2®iÓm) a+b+c=0  a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0


 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) 0.5
 a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8
abc(a+b+c) V× a+b+c=0 0.5
C©u  a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) 0.5
2 MÆt kh¸c
(5®iÓ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . 0.5
m) V× a+b+c=0

2(ab+ac+bc) =2(a b +a2c2+b2c2) (2)
2 2 2

Tõ (1)vµ(2)  a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0,5

Gv: Đỗ Hoài Nam 40 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
0,5
c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x +y 
2 2
0,5
2xy DÊu b»ng khi x=y
a2 b2 a b a a2 c2 a c c
+ 2  2. . = 2. ; + 2  2. . = 2. ;
b 2
c b c c b 2
a b a b 0,5
2 2
c b c b b
2
+ 2  2. . = 2.
a c a c a
Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:
a 2 b2 c2 a c b a 2 b2 c2 a c b
2( + + )  2( + + )  + +  + +
b2 c2 a 2 c b a b2 c2 a 2 c b a

x - 214 x - 132 x - 54
a, (2®iÓm) 86
+
84
+
82
= -6
x - 214 x - 132 x - 54
 ( - 1) + ( - 2) + ( - 3) = 0 1,0
86 84 82
x - 300 x - 300 x - 300
 + + =0 0,5
86 84 82
 1 1 1 
 (x-300)  + + =0  x-300=0  x=300 VËy S =
 86 84 82  0,5
{ 300}
b, (2®iÓm) 2x(8x-1) 2(4x-1)=9
 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9  (64x2-16x+1)(64x2-16x) 0,5
C©u = 72 0,5
3 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72
(5®iÓ  k2=72,25  k=± 8,5 0,5
m) Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0  (2x-1)
1 -1 0,5
(4x+1)=0;  x= 2 ; x = 4
Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0  (8x-
1)2+8=0 v« nghiÖm.
 1 - 1
VËy S =  2 , 
4 
 0,5
c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0  (x2+2x+1)-
(y2+4y+4)-7=0 0,5
 (x+1)2-(y+2)2=7  (x-y-1)(x+y+3) =7 V×
x,y nguyªn d¬ng
Nªn x+y+3>x-y-1>0  x+y+3=7 vµ x-y-1=1
 x=3 ; y=1
Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt
(x,y)=(3;1)

Gv: Đỗ Hoài Nam 41 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
a,(1®iÓm) V× AB//CD  S DAB=S CBA
A B 0,5
(cïng ®¸y vµ cïng ®êng cao) 0,5
 S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O
E F
Hay SAOD = SBOC I
M 0,5
N
C
D 1,0

0,5

EO AO 1,0
b, (2®iÓm) V× EO//DC  DC
=
AC
MÆt kh¸c AB//DC
C©u
AB AO AB AO AB AO EO AB
4  =  =  =  = 1,0
DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC
(5®iÓ EF AB AB + DC 2 1 1 2
m)  =  =  + =
2 DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF
c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N
 DF) +KÎ ®êng th¼ng KN lµ ®êng th¼ng ph¶i dùng
Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN
lµ I th× SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2)  SDEKN=SKFN.

KIẾM TIỀN QUA MẠNG VIỆT NAM


Quý thầy cô và bạn hãy dành thêm một chút thời gian để đọc bài giới thiệu sau của tôi và hãy tri ân
người đăng tài liệu này bằng cách dùng Email và mã số người giới thiệu của tôi theo hướng dẫn sau.
Nó sẽ mang lại lợi ích cho chính thầy cô và các bạn, đồng thời tri ân được với người giới thiệu mình:

Kính chào quý thầy cô và các bạn.


Lời đầu tiên cho phép tôi được gửi tới quý thầy cô và các bạn lời chúc tốt đẹp nhất. Khi thầy cô và
các bạn đọc bài viết này nghĩa là thầy cô và các bạn đã có thiên hướng làm kinh doanh
Nghề giáo là một nghề cao quý, được xã hội coi trọng và tôn vinh. Tuy nhiên, có lẽ cũng như tôi thấy
rằng đồng lương của mình quá hạn hẹp. Nếu không phải môn học chính, và nếu không có dạy thêm, liệu
rằng tiền lương có đủ cho những nhu cầu của thầy cô. Còn các bạn sinh viên…với bao nhiêu thứ phải trang
trải, tiền gia đình gửi, hay đi gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ?
Bản thân tôi cũng là một giáo viên dạy môn TOÁN vì vậy thầy cô sẽ hiểu tiền lương mỗi tháng thu về
sẽ được bao nhiêu. Vậy làm cách nào để kiếm thêm cho mình 4, 5 triệu mỗi tháng ngoài tiền lương.
Thực tế tôi thấy rằng thời gian thầy cô và các bạn lướt web trong một ngày cũng tương đối nhiều.
Ngoài mục đích kiếm tìm thông tin phục vụ chuyên môn, các thầy cô và các bạn còn sưu tầm, tìm hiểu thêm
rất nhiều lĩnh vực khác. Vậy tại sao chúng ta không bỏ ra mỗi ngày 5 đến 10 phút lướt web để kiếm cho
mình 4, 5 triệu mỗi tháng.
Điều này là có thể?. Thầy cô và các bạn hãy tin vào điều đó. Tất nhiên mọi thứ đều có giá của nó. Để quý
thầy cô và các bạn nhận được 4, 5 triệu mỗi tháng, cần đòi hỏi ở thầy cô và các bạn sự kiên trì, chịu khó và
Gv: Đỗ Hoài Nam 42 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
biết sử dụng máy tính một chút. Vậy thực chất của việc này là việc gì và làm như thế nào? Quý thầy cô và
các bạn hãy đọc bài viết của tôi, và nếu có hứng thú thì hãy bắt tay vào công việc ngay thôi.
Thầy cô chắc đã nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng. Chắc chắn là có. Tuy nhiên trên internet
hiện nay có nhiều trang Web kiếm tiền không uy tín
( đó là những trang web nước ngoài, những trang web trả thù lao rất cao...). Nếu là web nước ngoài thì
chúng ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn về mặt ngôn ngữ, những web trả thù lao rất cao đều không uy tín, chúng
ta hãy nhận những gì tương xứng với công lao của chúng ta, đó là sự thật.
Ở Việt Nam trang web thật sự uy tín đó là : http://satavina.com .Lúc đầu bản thân tôi cũng thấy
không chắc chắn lắm về cách kiếm tiền này. Nhưng giờ tôi đã hoàn toàn tin tưởng, đơn giản vì tôi đã được
nhận tiền từ công ty.( thầy cô và các bạn cứ tích lũy được 50.000 thôi và yêu cầu satavina thanh toán bằng
cách nạp thẻ điện thoại là sẽ tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm được chẳng bao nhiêu, nhưng sau
đó số tiền kiếm được sẽ tăng lên. Có thể thầy cô và các bạn sẽ nói: đó là vớ vẩn, chẳng ai tự nhiên mang tiền
cho mình. Đúng chẳng ai cho không thầy cô và các bạn tiền đâu, chúng ta phải làm việc, chúng ta phải
mang về lợi nhuận cho họ. Khi chúng ta đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa là mang về doanh thu
cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm thì chúng ta cũng phải có cháo mà ăn chứ, không thì ai dại gì mà làm
việc cho họ.

Vậy chúng ta sẽ làm như thế nào đây. Thầy cô và các bạn làm như này nhé:
1/ Satavina.com là công ty như thế nào:
Đó là công ty cổ phần hoạt động trong nhiều lĩnh vực, trụ sở tại tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231-233 Lê
Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP. Hồ Chí Minh.
GPKD số 0310332710 - do Sở Kế Hoạch và Đầu Tư TP.HCM cấp. Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT do Sở
Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận 1 Thành Phố HCM.
Khi thầy cô là thành viên của công ty, thầy cô sẽ được hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo và
xem video quảng cáo( tiền này được trích ra từ tiền thuê quảng cáo của các công ty quảng cáo thuê trên
satavina)
2/ Các bước đăng kí là thành viên và cách kiếm tiền:
Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm như sau:
Bước 1:
Nhập địa chỉ web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, không nên dùng trình
duyệt explorer)
Giao diện như sau:

Để nhanh chóng quý thầy cô và các bạn có thể coppy


đường linh sau:
Gv: Đỗ Hoài Nam 43 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309

( Thầy cô và các bạn chỉ điền thông tin của mình là được. Tuy nhiên, chức năng đăng kí thành viên mới chỉ
được mở vài lần trong ngày. Mục đích là để thầy cô và các bạn tìm hiểu kĩ về công ty trước khi giới thiệu
bạn bè )

Bước 2:
Click chuột vào mục Đăng kí, góc trên bên phải( có thể sẽ không có giao diện ở bước 3 vì thời gian
đăng kí không liên tục trong cả ngày, thầy cô và các bạn phải thật kiên trì).
Bước 3:
Nếu có giao diện hiện ra. thầy cô khai báo các thông tin:

Thầy cô khai báo cụ thể các mục như sau:


Gv: Đỗ Hoài Nam 44 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
+ Mail người giới thiệu( là mail của tôi, tôi đã là thành viên chính thức):
hoangngocc2tmy@gmail.com
+ Mã số người giới thiệu( Nhập chính xác) : 66309
Hoặc quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:
http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309

+ Địa chỉ mail: đây là địa chỉ mail của thầy cô và các bạn. Khai báo địa chỉ thật để còn vào đó kích hoạt tài
khoản nếu sai thầy cô và các bạn không thể là thành viên chính thức.
+ Nhập lại địa chỉ mail:.....
+ Mật khẩu đăng nhập: nhập mật khẩu khi đăng nhập trang web satavina.com
+ Các thông tin ở mục:
Thông tin chủ tài khoản: thầy cô và các bạn phải nhập chính xác tuyệt đối, vì thông tin này chỉ được nhập
1 lần duy nhất, không sửa được. Thông tin này liên quan đến việc giao dịch sau này. Sai sẽ không giao dịch
được.
+ Nhập mã xác nhận: nhập các chữ, số có bên cạnh vào ô trống
+ Click vào mục: tôi đã đọc kĩ hướng dẫn.....
+ Click vào: ĐĂNG KÍ
Sau khi đăng kí web sẽ thông báo thành công hay không. Nếu thành công thầy cô và các bạn vào hòm thư
đã khai báo để kích hoạt tài khoản. Khi thành công quý thầy cô và các bạn vào web sẽ có đầy đủ thông tin
về công ty satavina và cách thức kiếm tiền. Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina sẽ mang lại cho thầy cô. Hãy
bắt tay vào việc đăng kí, chúng ta không mất gì, chỉ mất một chút thời gian trong ngày mà thôi.
Kính chúc quý thầy cô và các bạn thành công.
Nếu quý thầy cô có thắc mắc gì trong quá trình tích lũy tiền của mình hãy gọi trực tiếp hoặc mail cho
tôi:

Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người


giới thiệu: hoangngocc2tmy@gmail.com
Mã số người giới thiệu: 66309
Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:
http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309

2/ Cách thức satavina tính điểm quy ra tiền cho thầy cô và các bạn:
+ Điểm của thầy cô và các bạn được tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo và xem video quảng cáo.
Nếu chỉ tích lũy điểm từ chính chỉ các thầy cô và các bạn thì 1 tháng chỉ được khoảng 1tr.Nhưng để tăng
điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè của thầy cô và các bạn.
3/ Cách thức phát triển mạng lưới:
- Xem 1 quảng cáo video: 10 điểm/giây. (có hơn 10 video quảng cáo, mỗi video trung bình 1 phút)
- Đọc 1 tin quảng cáo: 10 điểm/giây. (hơn 5 tin quảng cáo)
_Trả lời 1 phiếu khảo sát.:100,000 điểm / 1 bài.
_Viết bài....
Trong 1 ngày bạn chỉ cần dành ít nhất 5 phút xem quảng cáo, bạn có thể kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm,
như vậy bạn sẽ kiếm được 300đồng .
- Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi là Mức 1 của bạn), 10 người này cũng dành 5 phút xem
quảng cáo mỗi ngày, công ty cũng chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày.
- Cũng tương tự như vậy 10 Mức 1 của bạn giới thiệu mỗi người 10 người thì bạn có 100 người (gọi là mức
2 của bạn), công ty cũng chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày.
- Tương tự như vậy, công ty chi trả đến Mức 5 của bạn theo sơ đồ sau :
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn được 3.000đồng/ngày
→ 90.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn được 30.000đồng/ngày
→ 900.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn được 300.000đồng/ngày
Gv: Đỗ Hoài Nam 45 Trường THCS Tằng Loỏng
Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014
→ 9.000.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn được 3.000.000đồng/ngày
→ 90.000.000 đồng/tháng.
- Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn được 30.000.000đồng/ngày
→ 900.000.000 đồng/tháng.
Tuy nhiên thầy cô và các bạn không nên mơ đạt đến mức 5. Chỉ cần cố gắng để 1tháng được 1=>10 triệu là
quá ổn rồi.
Như vậy thầy cô và các bạn thấy satavina không cho không thầy cô và các bạn tiền đúng không. Vậy hãy
đăng kí và giới thiệu mạng lưới của mình ngay đi.
Lưu ý: Chỉ khi thầy cô và các bạn là thành viên chính thức thì thầy cô và các bạn mới được phép giới thiệu
người khác.
Hãy giới thiệu đến người khác là bạn bè thầy cô và các bạn như tôi đã giới thiệu và hãy quan tâm đến
những người mà bạn đã giới thiệu và chăm sóc họ( khi là thành viên thầy cô và các bạn sẽ có mã số
riêng).Khi giới thiệu bạn bè hãy thay nội dung ở mục thông tin người giới thiệu là thông tin của thầy cô và
các bạn. Chúc quý thầy cô và các bạn thành công và có thể kiếm được 1 khoản tiền cho riêng mình.
Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người giới
thiệu: hoangngocc2tmy@gmail.com
Mã số người giới thiệu: 66309
Quý thầy cô và các bạn có thể coppy Link giới thiệu trực tiếp:

http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309

Website: http://violet.vn/nguyentuc2thanhmy

HÃY KIÊN NHẪN


BẠN SẼ THÀNH
CÔNG
Chúc bạn thành công!

Gv: Đỗ Hoài Nam 46 Trường THCS Tằng Loỏng


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8A1 Năm học: 2013-2014

Gv: Đỗ Hoài Nam 47 Trường THCS Tằng Loỏng

You might also like