NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10

THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2019 - 2020
(Đề thi có 01 trang) MÔN: TOÁN –THPT

NHÓM TOÁN VD – VDC

Thời gian: 120 phút

ĐỀ BÀI

Câu 1: (5,0 điểm) Cho hàm số y  m  2 x 2  2 m 1 x  m  2 ( m là tham số).

a) Biết đồ thị là một đường parabol có tung độ đỉnh bằng 3m . Xác định giá trị của m .
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 .

Câu 2: (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt
nhau tại điểm M , tọa độ điểm A(−2; −2), B(0; 4) và C (7;3) .
      
a) Tìm tọa độ điểm E để EA + EB + 2 EC = 0 và tìm giá trị nhỏ nhất của PA + PB + 2 PC

biết P là điểm di động trên trục hoành.

b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D

Câu 3: (5,0 điểm) Cho phương trình 2 x 3 + mx 2 + 2 x − m =x + 1 ( m là tham số).

a) Giải phương trình với m = −3 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh
BC , CA sao cho BM = a , CN = 2a .
 
a. Tìm giá trị của tích vô hướng AM ⋅ BC theo a .
b. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN . Tính độ dài PN
theo a .

Câu 5: (2,0 điểm) Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 5 + m ( m là tham số). Tìm m để giá trị lớn

nhất của hàm số đã cho trên đoạn  −2; 5  đạt giá trị nhỏ nhất.

----------------HẾT----------------

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10

THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2019 - 2020
(Đề thi có 01 trang) MÔN: TOÁN –THPT

NHÓM TOÁN VD – VDC

Thời gian: 120 phút

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (5,0 điểm). Cho hàm số y  m  2 x 2  2 m 1 x  m  2 ( m là tham số).

a) Biết đồ thị là một đường parabol có tung độ đỉnh bằng 3m . Xác định giá trị của m .
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 .
Lời giải:
a) Để đồ thị là một đường parabol thì m  2  0  m  2 .
2m  5
Đồ thị có tung độ đỉnh bằng 3m   3m  2m  5  3m m  2
m2
m  1

 3m  8m  5  0   5 tm .
2
m 
 3
m  1

Vậy  5.
m 
 3
b) Để hàm số nghịch biến trên ; 2 thì m  2 .
 m 1 
Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ; 
 m  2 
m 1
Ta được:  2  m 1  2 m  2do m  2  0 .
m2
 m 1  2 m  4  m  3
Vậy 2  m  3 .

Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhau tại
điểm M , tọa độ điểm A(−2; −2), B(0; 4) và C (7;3) .
      
a) Tìm tọa độ điểm E để EA + EB + 2 EC = 0 và tìm giá trị nhỏ nhất của PA + PB + 2 PC

biết P là điểm di động trên trục hoành.

b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D
.

Lời giải

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

NHÓM TOÁN VD – VDC

a) Ta gọi E ( x; y ) ,
  
EA = ( −2 − x; −2 − y ) ,EB = ( − x; 4 − y ) ,EC = ( 7 − x; 3 − y )

    −2 − x − x + 2 ( 7 − x ) = 0 x = 2

nên EA + EB + 2 EC =0 ⇔  ⇔ .
 −2 − y + 4 − y + 2 ( 3 − y ) =0  y = 3

Vậy E (2;3) .
   
Ta có: PA + PB + 2 PC= 4 PE= 4 PE .

  

Nên PA + PB + 2 PC đạt giá trị nhỏ nhất khi P là hình chiếu của E lên trục hoành.

Vậy P ( 2; 0 ) .
M ( a;b )
b) Gọi và D(c; d )
Diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC nên
4 S ∆MBC = S ∆MAB
1 1
⇔ 4. MH .BC = MK .DA
2 2
⇔ 4 MH .BC =
MK . AD
4BC MK
⇔ =.
AD MH
MK AD
Mà ABCD là hình thang nên = .
MH BC
AD 4 BC
Do đó = .
BC AD
 
Suy ra AD 2 = 4 BC ⇒ AD = 2 BC ⇒ AD = 2 BC .

 AD =(c + 2; d + 2) c =12
  ⇒ .
 BC= (7; −1) d = −4

Vậy D (12;−4 ) .

Câu 3: (5,0 điểm) Cho phương trình 2 x 3 + mx 2 + 2 x − m =x + 1 ( m là tham số).

a) Giải phương trình với m = −3 .
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

 x + 1 ≥ 0
Ta có phương trình đã cho ⇔  3 2 .
2 x + mx + 2 x − m = ( x + 1)
2

 x ≥ −1

NHÓM TOÁN VD – VDC

 x ≥ −1
⇔ 3 ⇔  ( *) .
2 x + ( m − 1) x − m − 1 =0
2
 ( x − 1) 
 2 x 2
+ ( m + 1) x + m + 1
 =
0

 x ≥ −1
a) Với m = −3 thì (*) ⇔ 
( x − 1) ( 2 x − 2 x − 2 ) =
2
0

 x ≥ −1
 x = 1
 x = 1
⇔  ⇒ .
1± 5 x = 1± 5

x=  2
  2
 1 ± 5 
Vậy tập nghiệm của phương trình S = 1; .
 2 
 x ≥ −1

b) Ta có (*) ⇔   x = 1 .
  2 x 2 + ( m + 1) x + m + 1 =0 (**)

Xét phương trình (**) : 2 x 2 + ( m + 1) x + m + 1 =0
Có ∆= ( m + 1) − 8 ( m + 1=
) ( m + 1)( m − 7 ) .
2

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (**) có 2 nghiệm phân
biệt x1 , x2 khác 1 và −1 ≤ x1 < x2
∆= ( m + 1)( m − 7 ) > 0
 2  m +1
2.1 + ( m + 1) .1 + m + 1 ≠ 0  x1 + x2 =
−
2 ).
⇔ (với 
( x1 + 1) + ( x2 + 1) > 0 x x = m +1
 x +1 . x +1 ≥ 0  1 2
(
 1 ) ( 2 ) 2

( m + 1)( m − 7 ) > 0
 m ∈ ( −∞; − 1) ∪ ( 7; + ∞ )
 2m + 4 ≠ 0 
 m +1 m ≠ −2
⇔ − +2>0 ⇔ ⇔ m ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( −2; − 1) .
 2  m < 3
 m +1 m +1 2 ≥ 0 ( ld )
 − +2≥0 
 2 2
Vậy m ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( −2; − 1) .

Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh BC , CA
sao cho BM = a , CN = 2a .
 
a. Tìm giá trị của tích vô hướng AM ⋅ BC theo a .
b. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN . Tính độ dài PN
theo a .
Lời giải

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

NHÓM TOÁN VD – VDC

        
( )
a. Ta có AM ⋅ BC = AB + BM ⋅ BC = AB ⋅ BC + BM ⋅ BC
9 3
= 3a ⋅ 3a ⋅ cos120° + a ⋅ 3a ⋅ cos 0° =
− a 2 + 3a 2 = − a2 .
2 2
        1    
( )(
b. Ta có AM ⋅ PN = AB + BM AN − AP =  AB + BC  AN − AP
 3
)
( )
    1   1   1 1 1 1  1
= AB ⋅ AN − AB ⋅ AP + BC ⋅ AN − BC ⋅ AP = 3a ⋅ a ⋅ − 3a ⋅ x + ⋅ 3a ⋅ a ⋅ − ⋅ 3a ⋅ x  − 
3 3 2 3 2 3  2
5  5 
=2a 2 − ax =a  2a − x  .
2  2 
   5  4
Theo đề, vì AM ⊥ PN nên AM ⋅ PN = 0 ⇔ a  2a − x  = 0 ⇔ x = a .
 2  5

Câu 5: Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 5 + m ( m là tham số). Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm

số đã cho trên đoạn  −2; 5  đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải
Xét hàm số g ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 5 + m trên đoạn  −2; 5  .

Ta có g ( x ) = (x − 2) + m + 1 .
2 2

( )
2
Do −2 ≤ x ≤ 5 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 5 ⇒ −2 ≤ x 2 − 2 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x 2 − 2 ≤9

( )
Suy ra m + 1 ≤ x 2 − 2 + m + 1 ≤ 10 + m hay m + 1 ≤ g ( x ) ≤ m + 10, ∀x ∈  −2; 5 
2

Suy ra g ( x ) ∈ [ m + 1; m + 10] , ∀x ∈  −2; 5  .

 Trường hợp 1: 0 ≤ m + 1 ⇔ m ≥ −1 , suy ra max f ( x =

) m + 10 . −2; 5 
 

m ≥ −10
 Trường hợp 2: m + 1 < 0 ≤ m + 10 ⇔  ⇔ −10 ≤ m < −1 ,
m < −1
( x ) max {m + 10; −m − 1} .
suy ra max f=
 −2; 5 
 

11  11 
 Nếu m + 10 > −m − 1 ⇔ m > − , suy ra max f ( x =
) m + 10 khi m ∈  − ; −1 .
2  
 −2; 5   2 

11  11 
 Nếu m + 10 < −m − 1 ⇔ m < − , suy ra max f ( x ) =−m − 1 khi m ∈  −10; −  .
2  −2; 5 
   2

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

 Trường hợp 3: m + 10 < 0 ⇔ m < −10 , suy ra max f ( x ) =−m − 1 .

 −2; 5 
 

 11
−m − 1, m < − 2

NHÓM TOÁN VD – VDC

lại h ( m ) max
Tóm= = f ( x)  .
 −2; 5 
  m + 10, m ≥ − 11
 2
Suy ra được đồ thị của hàm số h ( m )

Vậy: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn  −2; 5  đạt giá trị nhỏ nhất khi
11 9
m = − khi đó max f ( x ) = .
2  −2; 5  2
 

----------------HẾT----------------

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5