Professional Documents
Culture Documents
ĐỀ BÀI
Câu 2: (4,0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt
nhau tại điểm M , tọa độ điểm A(−2; −2), B(0; 4) và C (7;3) .
a) Tìm tọa độ điểm E để EA + EB + 2 EC = 0 và tìm giá trị nhỏ nhất của PA + PB + 2 PC
b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D
Câu 4: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh
BC , CA sao cho BM = a , CN = 2a .
a. Tìm giá trị của tích vô hướng AM ⋅ BC theo a .
b. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN . Tính độ dài PN
theo a .
Câu 5: (2,0 điểm) Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 5 + m ( m là tham số). Tìm m để giá trị lớn
nhất của hàm số đã cho trên đoạn −2; 5 đạt giá trị nhỏ nhất.
----------------HẾT----------------
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN
Câu 2: Trong hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhau tại
điểm M , tọa độ điểm A(−2; −2), B(0; 4) và C (7;3) .
a) Tìm tọa độ điểm E để EA + EB + 2 EC = 0 và tìm giá trị nhỏ nhất của PA + PB + 2 PC
b) Biết diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC . Tìm tọa độ đỉnh D
.
Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN
Vậy E (2;3) .
Ta có: PA + PB + 2 PC= 4 PE= 4 PE .
Vậy P ( 2; 0 ) .
M ( a;b )
b) Gọi và D(c; d )
Diện tích hình thang ABCD gấp 3 lần diện tích tam giác MBC nên
4 S ∆MBC = S ∆MAB
1 1
⇔ 4. MH .BC = MK .DA
2 2
⇔ 4 MH .BC =
MK . AD
4BC MK
⇔ =.
AD MH
MK AD
Mà ABCD là hình thang nên = .
MH BC
AD 4 BC
Do đó = .
BC AD
Suy ra AD 2 = 4 BC ⇒ AD = 2 BC ⇒ AD = 2 BC .
AD =(c + 2; d + 2) c =12
⇒ .
BC= (7; −1) d = −4
Vậy D (12;−4 ) .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN
x + 1 ≥ 0
Ta có phương trình đã cho ⇔ 3 2 .
2 x + mx + 2 x − m = ( x + 1)
2
x ≥ −1
x ≥ −1
a) Với m = −3 thì (*) ⇔
( x − 1) ( 2 x − 2 x − 2 ) =
2
0
x ≥ −1
x = 1
x = 1
⇔ ⇒ .
1± 5 x = 1± 5
x= 2
2
1 ± 5
Vậy tập nghiệm của phương trình S = 1; .
2
x ≥ −1
b) Ta có (*) ⇔ x = 1 .
2 x 2 + ( m + 1) x + m + 1 =0 (**)
Xét phương trình (**) : 2 x 2 + ( m + 1) x + m + 1 =0
Có ∆= ( m + 1) − 8 ( m + 1=
) ( m + 1)( m − 7 ) .
2
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (**) có 2 nghiệm phân
biệt x1 , x2 khác 1 và −1 ≤ x1 < x2
∆= ( m + 1)( m − 7 ) > 0
2 m +1
2.1 + ( m + 1) .1 + m + 1 ≠ 0 x1 + x2 =
−
2 ).
⇔ (với
( x1 + 1) + ( x2 + 1) > 0 x x = m +1
x +1 . x +1 ≥ 0 1 2
(
1 ) ( 2 ) 2
( m + 1)( m − 7 ) > 0
m ∈ ( −∞; − 1) ∪ ( 7; + ∞ )
2m + 4 ≠ 0
m +1 m ≠ −2
⇔ − +2>0 ⇔ ⇔ m ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( −2; − 1) .
2 m < 3
m +1 m +1 2 ≥ 0 ( ld )
− +2≥0
2 2
Vậy m ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( −2; − 1) .
Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh BC , CA
sao cho BM = a , CN = 2a .
a. Tìm giá trị của tích vô hướng AM ⋅ BC theo a .
b. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN . Tính độ dài PN
theo a .
Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN
Câu 5: Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 5 + m ( m là tham số). Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm
Lời giải
Xét hàm số g ( x ) = x 4 − 4 x 2 + 5 + m trên đoạn −2; 5 .
Ta có g ( x ) = (x − 2) + m + 1 .
2 2
( )
2
Do −2 ≤ x ≤ 5 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 5 ⇒ −2 ≤ x 2 − 2 ≤ 3 ⇒ 0 ≤ x 2 − 2 ≤9
( )
Suy ra m + 1 ≤ x 2 − 2 + m + 1 ≤ 10 + m hay m + 1 ≤ g ( x ) ≤ m + 10, ∀x ∈ −2; 5
2
m ≥ −10
Trường hợp 2: m + 1 < 0 ≤ m + 10 ⇔ ⇔ −10 ≤ m < −1 ,
m < −1
( x ) max {m + 10; −m − 1} .
suy ra max f=
−2; 5
11 11
Nếu m + 10 > −m − 1 ⇔ m > − , suy ra max f ( x =
) m + 10 khi m ∈ − ; −1 .
2
−2; 5 2
11 11
Nếu m + 10 < −m − 1 ⇔ m < − , suy ra max f ( x ) =−m − 1 khi m ∈ −10; − .
2 −2; 5
2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN
11
−m − 1, m < − 2
Vậy: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn −2; 5 đạt giá trị nhỏ nhất khi
11 9
m = − khi đó max f ( x ) = .
2 −2; 5 2
----------------HẾT----------------
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5