September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 1/ 19



CH 1: Kch thch dao ng bng va chm

I. PHNG PHP
+ Vt m chuyn ng vi vn tc v
0
n va chm vo vt M ang ng yn.
+ Va chm n hi:

=
+
=

+ =
+ =
0
0
2 2 2
0
0
1
1
1
2
v
m
M
m
M
v
v
m
M
V
MV mv mv
MV mv mv

+ Va chm mm: ( )
0 0
1
1
v
m
M
V V M m mv
+
= + =
II. BI TON MU
Bi 1: Cho mt h dao ng nh hnh v bn. L xo c
khi lng khng ng k, cng ( ) m N k / 30 = . Vt
( ) g M 200 = c th trt khng ma st trn mt phng
nm ngang. H ang trng thi cn bng, dng mt vt
( ) g m 100 = bn vo M theo phng nm ngang vi vn
tc ( ) s m v / 3
0
= . Sau va chm hai vt dnh vo nhau v cng dao ng iu ho. Xc nh vn tc ca h
ngay sau va chm. Vit phng trnh dao ng ca h. Chn trc to Ox trng vi phng dao ng,
gc to O l v tr cn bng, chiu dng ca trc cng chiu vi chiu ca
0
v

. Gc thi gian l lc va
chm.
Gii
+ Va chm mm:
( ) ( ) ( ) s cm s m v
m
M
V V M m mv / 100 / 1
1
1
0 0
= =
+
= + = : chm va sau ngay ca h tc Vn
Trng i hc s phm Tp.HCM
---
CC CHUYN
TRONG K THI I HC 2013

September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 2/ 19
+ Tn s gc ca h dao ng iu ho: ) / ( 10
1 , 0 2 , 0
30
s rad
m M
k
=
+
=
+
= e .
+ Phng trnh dao ng c dng: ( ) + = t A x 10 sin , vn tc: ( ) + = t A v 10 cos 10 .
+ Thay vo iu kin u:
( )

=
=
=
=
=
s / cm v
x
t
t
t
100
0
0
0
0

0 =
10 =

100 =
0 =

) cm ( A
cos A
sin A
10

+ Vy phng trnh dao ng l: ( ) cm t sin x 10 10 = .
S: ( ) s / cm V 100 = , ( ) cm t sin x 10 10 = .
Bi 2: Mt con lc l xo, gm l xo c khi lng
khng ng k v c cng ( ) m N k / 50 = , vt M
c khi lng ( ) g 200 , dao ng iu ho trn mt
phng nm ngang vi bin ( ) cm A 4
0
= . . Gi s M ang dao ng th c mt vt m c khi lng
( ) g 50 bn vo M theo phng ngang vi vn tc ( ) s m v / 2 2
0
= , gi thit l va chm khng n hi v
xy ra ti thi im l xo c di ln nht. Sau va chm hai vt gn cht vo nhau v cng dao ng
iu ho.
1) Tnh ng nng v th nng ca h dao ng ti thi im ngay sau va chm.
2) Tnh c nng dao ng ca h sau va chm, t suy ra bin dao ng ca h.
Gii;
+ V va chm xy ra ti thi im l xo c di ln nht nn vn tc ca M ngay trc lc va chm bng
khng. Gi V l vn tc ca h ( ) m M + ngay sau va chm. S dng nh lut bo ton ng lng, ta c:
( ) ( ) s m v
m
M
V V m M mv / 2 4 , 0 2 2 .
05 , 0
2 , 0
1
1
1
1
0 0
=
+
=
+
= + =
1) ng nng ca h ngay sau va chm:
( ) ( )( )
( ) J
V m M
E
d
04 , 0
2
2 4 , 0 05 , 0 2 , 0
2
2
2
=
+
=
+
=
+ Ti thi im vt c li ( ) ( ) m cm A x 04 , 0 4
0
= = = nn th nng n hi:
( ) J
kx
E
t
04 , 0
2
04 , 0 . 50
2
2 2
= = =
2) C nng dao ng ca h sau va chm: ( ) J E E E
t d
08 , 0 = + =
+ Mt khc: ( ) ( ) cm m
k
E
A
kA
E 2 4 2 04 , 0
50
08 , 0 . 2 2
2
2
= = = = =
S: 1) ( ) J E E
d t
04 , 0 = = ; 2) ( ) J E 08 , 0 = ; ( ) cm A 2 4 =
Bi 3: Mt con lc l xo, gm l xo, c cng ( ) m N k / 50 = v vt nng ( ) g M 500 = dao ng iu
ho vi bin
0
A dc theo trc Ox trn mt phng nm ngang. H ang dao ng th mt vt
( ) g m
3
500
= bn vo M theo phng nm ngang vi vn tc ( ) s m v / 1
0
= . Gi thit va chm l hon ton
n hi v xy ra vo thi im l xo c chiu di nh nht. Sau khi va chm vt M dao ng iu ho
lm cho l xo c chiu di cc i v cc tiu ln lt l ( ) cm l 100
max
= v ( ) cm l
mim
80 = . Cho
( )
2
/ 10 s m g = .
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 3/ 19
1) Tm vn tc ca cc vt ngay sau va chm.
2) Xc nh bin dao ng trc va chm.
Gii
1) Vo thi im va chm l xo c chiu di nh nht nn vn tc ca vt M ngay trc va chm bng
khng. Gi v V, ln lt l vn tc ca vt M v m ngay sau va chm. V va chm l hon ton n hi
nn s dng nh lut bo ton ng lng v bo ton nng lng, ta c:

( )
( )

=
+

=
+

=
=
+
=
+
=

+ =
+ =
s / m , . v
m
M
m
M
v
s / m , . v
m
M
V
MV mv mv
MV mv mv
5 0 1
3 1
3 1
1
1
5 0 1
3 1
2
1
2
2 2 2
0
0
2 2 2
0
0

2) Ti thi im ngay sau va chm vt dao ng c li v vn tc ln lt l
0
A x + = ( ) s / m V 3 = nn
th nng n hi v ng nng lc l:
( )

= = =
= = =
J
MV
E
A
A kx
E
d
t
0625 , 0
2
5 , 0 . 5 , 0
2
. 25
2
. 50
2
2 2
2
0
2
0
2

+ Bin dao ng iu ho sau va chm ( ) ( ) m cm
l l
A 1 , 0 10
2
80 100
min max
= =

= =
2
-
nn c nng dao
ng: ( ) J
kA
E 25 , 0
2
1 , 0 . 50
2
2 2
= = = .
+ M 25 0 0625 0 25
2
0
, , A . E E E
d t
= + = + ( ) ( ) cm m , A
,
A 3 5 3 05 0
25
1875 0
0
2
0
= = =
S: 1) ( ) ( ) s m v s m V / 5 , 0 ; / 5 , 0 = = ; 2) ( ) cm A 3 5
0
=
Bi 4: Cho mt h dao ng nh hnh v bn. L xo c
khi lng khng ng k, cng cha bit. Vt
( ) g M 400 = c th trt khng ma st trn mt phng
nm ngang. H ang trng thi cn bng, dng mt vt
( ) g m 100 = bn vo M theo phng nm ngang vi vn
tc ( ) s m v / 625 , 3
0
= . Va chm l hon ton n hi. Sau
khi va chm vt M dao ng iu ho. Chiu di cc i v cc tiu ca l xo ln lt l ( ) cm l 109
max
=
v ( ) cm l
mim
80 = .
1. Tm chu k dao ng ca vt M v cng k ca l xo.
2. t mt vt ( ) g m 225
0
= ln trn vt M, h gm 2 vt ( ) M m +
0
ang ng yn. Vn dng vt
( ) g m 100 = bn vo vi cng vn tc ( ) s m v / 625 , 3
0
= , va chm l hon ton n hi. Sau va chm ta
thy c hai vt cng dao ng iu ho. Vit phng trnh dao ng ca h ( ) M m +
0
. Chn trc Ox nh
hnh v, gc to v tr cn bng v gc thi gian l lc bt u va chm.
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 4/ 19
3. Cho bit h s ma st gia
0
m v M l 0,4. Hi vn tc
0
v ca vt m phi nh hn mt gi tr bng bao
nhiu vt
0
m vn ng yn (khng b trt) trn vt M trong khi h dao ng. Cho ( )
2
/ 10 s m g = .
Gii
1. Bin dao ng ( ) cm
l l
A 5 , 14
2
80 109
min max
=

= =
2
-

+ V va chm l hon ton n hi nn vn tc ca M sau va chm tnh theo cng thc:

+ =
+ =
2 2 2
0
0
MV mv mv
MV mv mv
( ) ( ) s / cm s / m , , v
m
M
V 145 45 1 625 3
4 1
2
1
2
0
= =
+
=
+
= (y chnh l vn tc cc
i ca dao ng iu ho).
+ Sau va chm vt dao ng iu ho theo phng trnh li ( ) e + = t A x sin , v phng trnh vn tc:
( ) e e + = t A v cos
+ Vy vn tc cc i ca dao ng iu ho:
( )
( )
( ) s rad
cm
s cm
A
V
V A v / 10
5 , 14
/ 145
max
= = = = = e e .
+ Chu k dao ng: ( ) s T 628 , 0
5
2
~ = =
t
e
t
.
+ cng ca l xo: ( ) m N M k / 40 10 . 4 , 0 .
2 2
= = = e .
2. Tng t cu 1) vn tc ca h ( ) M m +
0
ngay sau va chm tnh theo cng thc:
( ) ( )
( ) ( ) s cm s m v
m
m M
V / 200 / 2 25 , 7
1 , 0
625 , 0
1
2
1
2
'
0
0
= =
+
=
+
+
= (y chnh l vn tc cc i ca dao
ng iu ho).
+ Tn s gc ca dao ng: ) / ( 8
225 , 0 4 , 0
40
0
s rad
m M
k
=
+
=
+
= e .
+ Phng trnh dao ng c dng: ( ) + = t A x 8 sin , vn tc: ( ) + = t A v 8 cos 8 .
+ Vn tc cc i ca dao ng iu ho:
( )
( )
( ) cm
cm
s cm V
A V A v 25
8
/ 200 '
'
max
= = = = =
e
e
+ Pha ban u c xc nh t iu kin u:
( )

=
=
=
=
=
s cm v
x
t
t
t
/ 200
0
0
0
0
t

=
=

1 cos
0 sin

+ Vy phng trnh dao ng l: ( ) ( ) cm t x t + = 8 sin 25 .
3. Dng vt m bn vo h ( ) M m +
0
vi vn tc v
0
, va chm l hon ton n hi th vn tc ca h
( ) M m +
0
ngay sau va chm l:
( )
( ) s m
v
v v
m
m M
V /
29
8
25 , 6 1
2
1
2
'
0
0 0
0
=
+
=
+
+
= (y chnh l vn tc cc
i ca dao ng iu ho:
29
'
'
0
max
v V
A V A v = = = =
e
e ).
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 5/ 19
+ Vy phng trnh dao ng iu ho c dng: ( ) + = t
v
x 8 sin
29
0
, v gia tc ca h l:
( ) ( ) e e + = + = = t
v
t A x a 8 sin
29
64
sin ' '
0 2
. Do gia tc cc i:
29
64
0
max
v
a = .
+ Vt m
0
t trn vt M chuyn ng vi gia tc a, nn n chu tc dng lc c ln:
29
64
0 0
max 0
v m
F a m F
qt qt
= = .
+ vt m
0
lun ng yn trn M th lc ma st trt g m F
ms 0
= ln hn hoc bng lc cc i, tc l:
29
64
10 8 0
0
0 0
v
. , a g a m g m
max max
> > > ( ) s / m , v 625 3
8
29
0
= s .
+ Vy vt m
0
ng yn (khng b trt) trn vt M trong khi h dao ng th vn tc v
0
ca vt m phi
tho mn: ( ) s m v / 625 , 3
8
29
0
0
= s s .
S: 1) ( ) s T 628 , 0
5
~ =
t
; ( ) m N k / 40 = ;
2) ( ) ( ) cm t x t + = 8 sin 25 ;
3) ( ) s m v / 625 , 3
8
29
0
0
= s s
Bi 5: Mt vt nng c khi lng ( ) g M 600 = , c t pha trn mt l xo
thng ng c cng ( ) m N k / 200 = nh hnh v. Khi ang v tr cn
bng, th vt ( ) g m 200 = t cao ( ) cm h 6 = so vi M. Coi va chm l
hon ton mm, ly ( ) 10 ; / 10
2 2
= = t s m g .
1) Tnh vn tc ca m ngay trc khi va chm v vn tc ca hai vt ngay sau
va chm.
2) Sau va chm hai vt cng dao ng iu ho.
Gii:
1) Vn tc ca vt m ngay trc lc va chm: ( ) s / m , , . . gh v 3 2 0 06 0 10 2 2
0
t = = =
( ) s / cm v 3 20
0
t = (hng xung di).
+ H ( ) m M + lc va chm c th coi l h kn, theo nh lut bo ton ng lng (theo gi thit va chm
hon ton mm): ( )V M m mv + =
0
. Suy ra, vn tc ca hai vt ngay sau va chm:
( ) s cm v
m
M
V / 3 5
1
1
0
t =
+
= (hng xung di).
2) Ti VTCB c ca M, l xo nn mt on: ( ) ( ) cm m
k
Mg
3 03 , 0
200
10 . 6 , 0
= = = = A
+ Ti VTCB mi ca h sau va chm, l xo nn mt on:
( )
( ) ( ) cm m
k
g M m
4 04 , 0
200
10 . 8 , 0
' = = =
+
= A .
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 6/ 19
+ Suy ra: ( ) cm l l OC 1 3 4 ' = = A A =
+ Chn h to Ox nh hnh v, gc O trng vi v tr cn bng mi ca h ( ) m M + sau va chm. Do
, ngay sau va chm h c to v vn tc ln lt l:
( ) ( ) s cm V v cm x / 3 5 , 1
1 1
t + = = = .
+ Sau va chm h dao ng iu ho xung quanh VTCB mi O vi tn s gc:
( )
( ) s rad
m M
k
/ 5
2 , 0 6 , 0
200
t e =
+
=
+
= .
+ Bin dao ng: ( )
( )
( )
( ) cm
v
x A 2
5
3 5
1
2
2
2
2
2
1 2
1
= + = + =
t
t
e

S: 1) ( ) s m v / 3 20
0
t = , ( ) s cm V / 3 5t = , 2) ( ) cm A 2 =
Bi 6: (H Kinh t quc dn - 2001) Con lc l xo gm vt nng
( ) g M 300 = , l xo c cng ( ) m N k / 200 = lng vo mt trc thng
ng nh hnh v. Khi ang v tr cn bng, th vt ( ) g m 200 = t
cao ( ) cm h 75 , 3 = so vi M. Coi ma st khng ng k, ly
( )
2
/ 10 s m g = , va chm l hon ton mm.
1. Tnh vn tc ca m ngay trc khi va chm v vn tc ca hai vt
ngay sau va chm.
2. Sau va chm hai vt cng dao ng iu ho. Ly 0 = t l lc ngay
sau va chm. Vit phng trnh dao ng ca hai vt trong h to
OX nh hnh v, gc O trng vi v tr cn bng mi C ca h
( ) m M + sau va chm.
3. Vit phng trnh dao ng ca hai vt trong h to ox nh hnh
v, gc O l v tr cn bng c ca M trc va chm. Gc thi gian nh
c.
Gii:
1) Vn tc ca vt m ngay trc lc va chm: ( ) s m gh v /
2
3
10 . 75 , 3 . 10 . 2 2
2
0
= = =

(hng xung
di). H ( ) m M + lc va chm c th coi l h kn, theo nh lut bo ton ng lng (theo gi thit va
chm hon ton mm): ( )V M m mv + =
0
. Suy ra, vn tc ca hai vt ngay sau va chm:
( ) ( ) s / cm s / m v
m
M
V 3 20
5
3
1
1
0
= =
+
= (hng xung di).
2) Ti VTCB c ca M (v tr O), l xo nn mt on: ( ) ( ) cm m
k
Mg
5 , 1 015 , 0
200
10 . 3 , 0
0
= = = = A
+ Ti VTCB mi C ca h sau va chm, l xo nn mt on:
( )
( ) ( ) cm m
k
g M m
5 , 2 025 , 0
200
10 . 5 , 0
= = =
+
= A .
+ Suy ra: ( ) cm l l OC 1 5 , 1 5 , 2
0
= = A A = , do ( ) cm x X 1 + = (1)
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 7/ 19
+ Sau va chm h dao ng iu ho xung quanh VTCB mi C O vi tn s gc:
( )
( ) s rad
m M
k
/ 20
2 , 0 3 , 0
200
=
+
=
+
= e .
+ Phng trnh dao ng: ( ) + = t A X 20 sin , vn tc: ( ) + = = t A X V 20 cos 20 '
+ Chn 0 = t lc va chm, nn:
( )
( )

=
= =
=
=
s / cm V
cm OC X
t
t
3 20
1
0
0

( )

t
=
=

=
>

=
=

6
5
2
3
1
0
1
3 20 20
1
cm A
tg
sin
A
cos A
sin A

+ Suy ra, li ca vt trong h to OX l: ( ) cm t X |
.
|

\
|
+ =
6
5
20 sin 2
t
.
3) Theo (1) ta c phng trnh dao ng ca vt trong h to Ox l:
( ) cm t x hay X x 1
6
5
20 sin 2 , 1 |
.
|

\
|
+ = =
t
.
S: 1) ( ) s m v /
2
3
0
= , ( ) s cm V / 3 20 = , 2) ( ) cm t X |
.
|

\
|
+ =
6
5
20 sin 2
t
,
3) ( ) cm t x 1
6
5
20 sin 2 |
.
|

\
|
+ =
t



III. BI TON T LUYN

Bi 7: Mt qu cu khi lng ( ) kg M 2 = , gn trn mt l xo thng ng c
cng ( ) m N k / 400 = . Mt vt nh ( ) kg m 4 , 0 = ri t do t cao ( ) m h 8 , 1 =
xung va chm n hi vi M (xem hnh v). Sau va chm vt M dao ng iu ho.
Ly ( )
2
/ 10 s m g = .
a) Tnh vn tc ca m ngay trc khi va chm v vn tc ca cc vt
ngay sau va chm.
b) Vit phng trnh dao ng ca vt M, chn gc ta v tr
cn bng ca vt, chiu dng hng thng ng trn xung, gc
thi gian l lc ngay sau va chm.
S: a) ( ) s m v / 6
0
= ; ( ) ( ) s m v s m V / 4 ; / 2 = = ; b)
( ) cm t x 20 sin 10 =

September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 8/ 19
Bi 8: Mt qu cu khi lng ( ) g M 200 = , gn trn mt l xo thng ng c cng ( ) m N k / 20 = .
Mt vt nh ( ) g m 100 = ri t do t cao ( ) cm h 45 = xung va chm n hi vi M (xem hnh v).
Sau va chm vt M dao ng iu ho. Ly ( )
2
/ 10 s m g = .
a) Tnh vn tc ca m ngay trc khi va chm.
b) Tnh vn tc ca hai vt ngay sau va chm.
c) Vit phng trnh dao ng ca vt M, chn gc ta v tr cn bng ca vt, chiu dng hng
thng ng trn xung, gc thi gian l lc ngay sau va chm. Gi s M

khng b nhc ln trong khi M

dao ng. Gc thi gian l lc va chm.
d) Khi lng M

phi tho mn iu kin g n khng b nhc ln trong khi M dao ng.

S: a) ( ) s m v / 3
0
= ; b) ( ) s m V / 2 = ; c) ( ) cm t x 10 sin 20 = ;
d) ( ) g M
d
200 >
Bi 9: (H Ngoi thng tp.HcM - 2001) Mt ci a khi lng ( ) g M 900 = , t
trn mt l xo thng ng c cng ( ) m N k / 25 = . Mt vt nh ( ) g m 100 = ri
xung vn tc ban u t cao ( ) cm h 20 = (so vi a) xung a ri dnh vo a
(hnh v). Sau va chm hai vt dao ng iu ho.
a) Tnh vn tc ca m ngay trc khi va chm v vn tc ca hai vt ngay sau va chm.
b) V tr cn bng mi cch v tr cn bng c mt khong bao nhiu?
c) Vit phng trnh dao ng ca hai vt, chn gc ta v tr cn bng ca hai vt,
chiu dng hng thng ng t tn xung, gc thi gian l lc bt u va chm. Cho
( )
2
/ 10 s m g = .
S: a) ( ) s m v / 2
0
= , ( ) s m V / 2 , 0 = , b) 4 (cm), c) ( ) cm t x |
.
|

\
|
=
4
5 sin 2 4
t

Bi 10: (H Ngoi Thng - 99) Cho mt h dao ng nh hnh v. L xo c khi lng khng ng k,
cng k. Vt ( ) g M 400 = c th trt khng ma st trn mt phng nm ngang. H ang trng thi
cn bng, dng mt vt ( ) g m 100 = bn vo M theo phng nm ngang vi vn tc ( ) s m v / 1
0
= . Va
chm l hon ton n hi. Sau khi va chm vt M dao ng iu ho. Chiu di cc i v cc tiu ca l
xo ln lt l ( ) cm 28 v ( ) cm 20 .


1) Tm chu k dao ng ca vt M v cng k ca l xo.
2) t mt vt ( ) g m 100
0
= ln trn vt M, h gm hai vt
( ) M m +
0
ang ng yn. Vn dng vt m bn vo vi cng
vn tc ( ) s m v / 1
0
= , va chm l hon ton n hi. Sau va
chm ta thy c hai vt cng dao ng iu ho. Vit phng
trnh dao ng ca h ( ) M m +
0
. Chn gc to v tr cn
bng, chiu dng ca trc cng chiu vi
0
v

v gc thi gian l lc bt u va chm.

3. Cho bit h s ma st gia
0
m v M l 0,4. Hi vn tc
0
v ca vt m phi nh hn mt gi tr bng bao
nhiu vt
0
m vn ng yn (khng b trt) trn vt M trong khi h dao ng. Cho ( )
2
/ 10 s m g = .
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 9/ 19
S: 1) ( ) ( ) m N k s T / 40 ,
5
= =
t
, 2) ( ) cm t x 94 , 8 sin 73 , 3 = , 3) ( ) s m v / 34 , 1
0
s





September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 10/ 19



CH 2: CHNG MINH MT VT DAO
NG IU HA


I. PHNG PHP:
CCH 1: Dng phng php ng lc hc:
- Chn phng, chiu chuyn ng.
- Xc nh cc lc tc dng vo vt.
- nh v tr cn bng (ti c bao nhiu lc tc dng, ln ca cc lc tng hp ti ).
- Xt v tr c dch chuyn x bt k (k t v tr cn bng): x k F =

- p dng nh lut II Newton thit lp phng trnh chuyn ng:
- kx = ma = mx x = - e
2
x x = Acos(e t + ) l nghim v
m
k
= e
- Kt lun v suy ra kt qu

CCH 2: Dng nh lut bo ton c nng ( xt F
ms
khng ng k)
E

+ E
t
= E = const
- Ly o hm hai v theo t (ch x = v = a; x = v)
- Bin i a n phng trnh; x = - e
2
x
II. CC DNG TON:
Bi 1: (Dao ng iu ha - 3 im: HSG BSCL An Giang 2008 2009, THPT chuyn TNH)
T im A trong lng mt ci chn trn M t trn mt sn phng nm ngang, ngi ta th mt vt
m nh (hnh v). Vt m chuyn ng trong mt phng thng ng, n B th quay li. B qua ma st
gia chn M v m.
a. Tm thi gian m chuyn ng t A n B. Bit A cch im gia I ca chn mt khong rt
ngn so vi bn knh R. Chn ng yn.
b. Tnh h s ma st ngh gia chn v sn.
Gii
a. Ta c: ma p N = +
* Chiu ln phng tip tuyn:
sin
t
x
ma P mg
R
o = ~ (0,25)

" 2
0 x x e + = Vi:
2
g
R
e = (0,25)
T cho thy m dao ng iu ho, thi gian i t A n B l
1
2
chu k dao ng.
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 11/ 19

2
T R
t
g
t A = = (0,25)
b. Chn ng yn nn:
'
0
M M msn
P N N F + + + = (1)
* Chiu (1) ln phng Oy:
'
cos 0
M M
P N N o + = Vi N
'
= N (2) (0,25)
gc lch o, m c:
( )
2 2
2 2
0 0
cos cos
cos cos
2 2
mV mV
N mg N mg
R R
mV mV
mgh mgh mgR
o o
o o

= = +

+ = =


(0,25)
( )
0
3cos 2cos N mg o o = (3) (0,25)
T (2) v (3) ta c: ( )
0
cos 3cos 2cos
M
N Mg mg o o o = + (4) (0,25)
* Chiu (1) ln Ox:
'
sin 0 sin
msn msn
N F N F N o o = = s (0,25)

max
min
( sin ) sin
( )
M M
N N
N N
o o
> > (0,25)
( )
( )
0
0
sin 3cos 2cos sin
cos 3cos 2cos
M
N mg
N Mg mg
o o o o
o o o
=

= +

o
0
b; o s o
0
(0,25)
( )
min
max
sin ;( )
M
N N o khi o = o
0
(0,25)
Vy:
( )
2
sin 2
2 cos
m
M m
o

o
>
+
(0,25)


Cu 2 (HSG Tnh Thanh Ha 2009):
a.Xc nh li ti thi im m ng nng bng 4 ln th nng ca mt dao ng
t iu ho, bit rng bin dao ng l 4cm.
b. Cho h dao ng hnh bn. Cc l xo c phng thng ng
v c cng k
1
v k
2
. B qua khi lng rng rc v cc l xo. B qua ma st.
Xc nh cng tng ng ca h khi m thc hin dao ng iu ho theo
phng thng ng.
p n:
a. + W
d
= 4W
t
=> W
t
=
2
1
10
kA (0,5 )
+ Hay
2
1
2
kx =
2
1
10
kA => x =
5
A
~ 1,8cm. (0,5 )
b. + Lc ko v l lc cng F ca dy treo m. Ta c F = F
2
=
1
2
F
(1) (0,5 )
+ Khi l xo k
1
gin mt on Al
1
v l xo k
2
gin mt on Al
2
th
h l xo gin mt on Al

= Al
2
+ 2Al
1
(2) (0,5 )
m
I
M
A
N
M
F
msn
P
M

N
'
N
O
O
y
x
o
k
1



k
2

m
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 12/ 19
+ Ngoi ra, t (1) c: Al

=
F
k
; Al
1
=
1
2F
k
; Al
2
=
2
F
k
(3) (0,5 )
+ Thay (3) vo (2) c:
1 2
2 1 2 1
4
4
k k F F F
k
k k k k k
= + =
+
(0,5 )
Cu 3 (SGD Hu Giang ngh - HSG BSCL 16 2008 - 2009):Mt con lc n c chiu di l thc
hin dao ng iu ho trn mt chic xe ang ln t do xung dc khng ma st. Dc nghing mt gc o
so vi phng nm ngang.
a) Chng minh rng: V tr cn bng ca con lc l v tr c dy treo vung gc vi mt dc.
b) Tm biu thc tnh chu k dao ng ca con lc.
p dng bng s l =1,73 m; o =30
0
; g = 9,8 m/s
2
.

p n


+ Gia tc chuyn ng xung dc ca xe l a = gsino.
Xt h quy chiu gn vi xe
+ Tc dng ln con lc ti mt thi im no c 3 lc:
Trng lng P,
lc qun tnh F
v sc cng T ca dy treo.




0,5

0,25

0,25


Ti v tr cn bng
Ta c: 0 T F P = + +


+ Chiu phng trnh trn xung phng OX song song vi mt dc ta c:
Psino - F + T
X
= 0
M F = ma = mgsino
suy ra T
X
= 0.
iu ny chng t v tr cn bng dy treo con lc vung gc vi Ox


0,25

0,25

0,25
0,25

+ V tr cn bng nh trn th trng lc biu kin ca con lc l
P' = Pcoso. Tc l gia tc biu kin l g' = gcoso.

0,5
+ Vy chu k dao ng ca con lc s l
T = 2t
'
l
g
= 2t
cos
l
g o
~ 2,83 (s).


0,5
Cu 4 (SGD ng Thp HSG Tnh 2008 2009, THPT Cao Lnh ngh):
Mt l xo c cng k = 54N/m, mt u c nh, u kia
gn vt M = 240g ang ng yn trn mt phng nm ngang nh H3.
Bi khi lng m = 10g bay vi vn tc V
0
= 10m/s theo phng ngang
n va chm vi M. B qua ma st, cho va chm l n hi xuyn tm.
Vit phng trnh dao ng ca M sau va chm. Chn gc ta l v
tr cn bng ca M, chiu dng l chiu va chm, gc thi gian l lc
T
F
P
o
x
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 13/ 19
va chm.
p n
- L BT ng lng : mV
0
= mV
0
+ MV
m(V
0
V
0
) = MV (1) (0,5 )
- L BT ng nng :
2
1
mV
0
2
=
2
1
mV
0

2
+
2
1
MV
2

m(V
0
2
V
0

2
) = MV
2
(2) (0,5 )
T (1) v (2) V
0
+ V
0
= V
V
0
= V V
0
(3)
Th (3) vo (1) 2mV
0
= (m + M )V
V =
M m
mV
+
0
2
= 0,8 m/s (0,5 )
Ta c : s rad
m
k
/ 15 = = e (0,25 )
V = V
max
= eA A = 5,3 cm. (0,5 )
Chn t = 0 khi x = 0 v v > 0 = -
2
t
(0,5 )
Phng trnh dao ng l : x = 5,3 cos ( 15t -
2
t
) (cm). ( 0,25 )

Bi 5 (HSG Tha Thin Hu 2007 - 2008):
Cho c h gm hai vt c khi lng m
1
v m
2
c ni vi
nhau bng mt l xo rt nh c cng k, chiu di t nhin l
0
.
H c t trn mt mt phng ngang trn nhn. Mt lc F
khng i c phng nm ngang (dc theo trc ca l xo) bt
u tc dng vo vt m
2
nh hnh v.
a, Chng t cc vt dao ng iu ho. Tnh bin v chu k dao ng ca mi vt.
b, Tnh khong cch cc i v khong cch cc tiu gia hai vt trong qu trnh dao ng.
p n:
- Xt trong h quy chiu gn vi khi tm G ca c h.
- Gia tc ca khi tm:
G
1 2
F
a =
m + m

- Gi O
1
v O
2
ln lt l v tr ca m
1
v m
2
khi l xo trng thi t nhin :
O
1
O
2
= l
0
;
- V tr O
1
v O
2
ln lt cch G nhng on l
1
v l
2
, tho mn iu kin :
m
1
l
1
= m
2
l
2
= m
2
(l
0
- l
1
) l
1
=
2 0
1 2
m l
m + m
; l
2
=
1 0
1 2
m l
m + m
.
- Ta coi h trn gm : vt m
1
gn vo mt u l xo c chiu di l
1
, u kia ca l
1
c
gn c nh vo G v vt m
2
gn vo mt u ca l xo c chiu di l
2
, u kia ca l
2
c gn c nh vo G.
- cng ca cc l xo l
1
v l
2
:
1 2
1
2
k(m + m )
k =
m
v
1 2
2
1
k(m + m )
k =
m
;












0,5

F
m
m
1
2
k

September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 14/ 19
* Phng trnh dao ng ca cc vt:
Chn cc trc to cho mi vt gn vi khi tm G ca c h nh trn hnh v.
- Vt m
1
:
1 1
qt dh 1 1
F - F = ma
hay
1
1 1 1 1
1 2
m F
- k x = m x
m + m
''


1 1
1 1
1 1 2 1
k m F
x + (x - ) = 0
m (m +m )k
''

t :
2 1
1
1
k
=
m
;
1
1 1
1 2 1
m F
X = x -
(m + m )k

2
1 1 1
X + X = 0
''
(*): vt m
1
dao ng iu
ho. Nghim phng trnh (*) c dng :
1 1 1 1
X = Asin ( t + )
- Vt m
2
:
2 2
qt dh 2 2
F - F - F = m a hay
2
2 2 2 2
1 2
m F
F - - k x = m x
m + m
''
.
t :
2 2
2
2
k
=
m
;
1
2 2
1 2 2
m F
X = x -
(m + m )k

2
2 2 2
X + X = 0
''
: vt m
2
dao ng iu
ho. Nghim phng trnh (*) c dng :
2 2 2 2
X = A sin ( t + )
* Chu k dao ng ca cc vt:
- Vt m
1
:
1 2
1
1 1 2
m m 2
T = = 2
(m + m )k
;
- Vt m
2
:
1 2
2
2 1 2
m m 2
T = = 2
(m + m )k
.
* Bin dao ng ca cc vt:
- Vt m
1
:
1 2
1 1 1 1 2
1 2
m m F
x = + A sin( t + )
(m + m ) k


1 1 1 1 1
v = A cos( t + )
Khi t = 0
1 2
1 2
1 2
m m F
A =
(m + m ) k

x
1
= 0
1
/ 2 t =
v
1
= 0
- Vt m
2
:
2
1
2 2 2 2 2
1 2
m F
x = + A sin( t + )
(m + m ) k


2 2 2 2 2
v = A cos( t + )
Khi t = 0
2
1
2 2
1 2
m F
A =
(m + m ) k

x
2
= 0
2
/ 2 t =
v
2
= 0
b, Khong cch cc i v cc tiu gia hai vt trong qu trnh dao ng : Hai vt dao
ng cng pha trn hai trc to cng phng ngc chiu nn
l
max
= l
0
+ 2(A
1
+ A
2
) = l
0
+ 2
1
1 2
m F
(m + m )k
;








0,5







0,25





0,25






0,5







0,5






F
m m
1 2
O O
1
2
F
F
F
F
qt1
qt2 dh1
dh2
x x
1 2

September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 15/ 19
l
min
= l
0

0,5
Bi 6 (HSG 2009 - 2010 ): Mt con lc n gm mt bi nh c m = 100g treo vo dy di l =
1,57m ti ni c gia tc trng trng g = 9,81m/s
2
. Ko con lc khi v tr cn bng gc o
0
=
0,10 rad ri th nh cho n dao ng. B qua ma st v khi lng ca dy.
a/ Chng minh rng nng lng dao ng ca con lc t l vi bnh phng bin gc o
0

ca n v tm gi tr ca nng lng ?
b/ Tm ng nng v th nng ca con lc khi gc lch ca n l o = o
0
/ 2 ?
Hng dn:
Dng nh lut bo ton c nng v php tnh gn ng tnh c c nng E = mglo
0
2
/ 2
- Thay s tm c E = 7,7.10
-3
J
- T E
t
= mglo
2
/ 2 vi o = o
0
/ 2 = 0,05 rad E
t
= 1,93. 10
-3
J
- T E = E
d
+ E
t
E
d
= 5,77. 10
-3
J

Bi 7(Tnh Thi Nguyn HSG 2009 - 2010 ): Mt con lc gm qu cu kim loi khi lng m = 0,1kg
c treo vo mt im A c nh bng mt on dy mnh c di l = 5m. a qu cu ra khi v tr
cn bng (sang phi) n khi dy treo nghing vi phng thng ng mt gc
0
= 9
0
ri bung cho n
dao ng t do khng vn tc u.
Ly g =
2
= 10m/s
2
.
a/ Tnh chu k dao ng T ca con lc, vit phng trnh dao ng ca con lc. Chn gc ta l v
tr cn bng, chiu dng hng sang phi, gc thi gian l lc con lc i qua v tr cn bng ln th hai.
b/ Tch in cho qu cu vi in tch q ri t con lc trong in trng u nm ngang c E =
10
5
V/m. Con lc dao ng nh vi chu k T= x.T. Tnh q theo x? Bin lun.

Hng dn:
a/ Phng trnh dao ng:
0
cos( t ) o = o e +
Phng trnh vn tc:
0
l. v sin( t ) = eo e +
+ Ta c:
g 10
2(rad / s)
l 5
e= = = => 4, 44
2 2
T
2
~
t t
= =
e
(s)
+ Bin gc
0
0
9
9 (rad)
180 20
t t
o = = =
+ Chn gc thi gian l lc vt qua VTCB ln 2: x
0
= 0, v
0
> 0
t = 0 ta c:
0
cos 0 cos 0
2
t
o = o = = = m v
0
> 0 => = -
2
t

Vy phng trnh: .cos( 2.t )(rad)
20 2
t t
o =
( C th vit ptd di dng
0 0 0
s s sin( t ) .l = e + = o vi s )
b/ T = x.T =>
2
l l g
2 x.2 g'
g' g x
t = t = m ( )
2
2
2 2 2
qE
g' g a g
m
= + = +
| |
|
\ .

September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 16/ 19
2 2
2
2 2 2
4 4 2
g qE 1 qE mg
g g 1 q 1 x
x m x m x E
= + = =
| | | | | |
| | |
\ . \ . \ .

Thay s:
5
4
2
10
q 1 x (C).
x

= Bin lun: Bi ton c nghim khi x < 1.

Bi 8(Tnh Thanh Ha HSG 2010 - 2011 ): Mt con lc l xo c treo thng ng gm vt nng
khi lng m = 1kg, l xo nh c cng k = 100N/m. t gi B nm ngang vt m l xo c
chiu di t nhin. Cho gi B chuyn ng i xung vi gia tc a = 2m/s
2
khng vn tc ban u.
a. Tnh thi gian t khi gi B bt u chuyn ng cho n khi vt ri gi B.
b. Chn trc ta c phng thng ng, chiu dng hng xung, gc ta ti v tr cn
bng ca vt, gc thi gian l lc vt ri gi B. Vit phng trnh dao ng iu ha ca vt.

Hng dn:
a. Tm thi gian
- Khi vt VTCB l xo gin:
mg
= = 0,1 m
k
l
Tn s ca dao ng:
k
= = 10 rad/s
m

- Vt m:
dh
P + N + F = ma .
Chiu ln Ox: mg - N - k l A = ma
Khi vt ri gi th N = 0, gia tc ca vt a = 2 m/s
2

- Suy ra:

2
m(g - a) at
= =
k 2
2m(g - a)
t = = 0,283 s
ka
l

b. Vit phng trnh
- Qung ng vt i c cho n khi ri gi l
2
at
S = = 0,08 m
2

Ta ban u ca vt l: x
0
= 0,08 - 0,1 = - 0,02 m = -2 cm
Vn tc ca vt khi ri gi l: v
0
= at = 40 2 cm/s
- Bin ca dao ng:
2
2 0
0 2
v
A x
e
= + = 6 cm
Ti t = 0 th 6cos = -2 v v > 0 suy ra = -1,91 rad
Phng trnh dao ng: x = 6cos(10t - 1,91) (cm)

Bi 9(Tnh Thanh Ha HSG 2009 - 2010 ): Mt con lc n c treo vo trn mt toa ca on tu
ho. Khi tu ng yn, con lc dao ng b vi chu k T. Tnh chu k dao ng b ca con lc khi on tu
ny chuyn ng vi tc khng i v trn mt ng ray nm trn mt phng nm ngang c dng mt
cung trn bn knh cong R. Cho bit gia tc trng trng l g; bn knh cong R l rt ln so vi chiu di
con lc v khong cch gia hai thanh ray. B qua mi s mt mt nng lng.
Hng dn:
m

k

P

N
F
dh

B



O

x
0,5
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 17/ 19
R
lt
a

' g

o
3 im
Khi tu ng yn, chu k dao ng b ca con lc l
g
2 T
l
=
Khi tu chuyn ng, chu k dao ng b ca con lc l
' g
2 T'
l
=
Trong g' l gia tc trng trng biu kin:
lt
lt
a g
m
F
g ' g

+ = + =
Vi
R
v
sin . R
v
a
2 2
lt
~
+
=
o l
do l c th b qua so vi R
Trn hnh v ta c
lt
a g

nn
R
v R g
R
v
g a g g'
4 2 2
2
4
2 2
lt
2
+
= + = + =
Vy suy ra
4
2 2 4
R g v
gR
g'
g
T
T'
+
= =
4
2 2 4
R g v
gR T
T'
+
=









0,5


0,5

0,5

0,5


0,5


0,5

Bi 10(Tnh ng Nai HSG 2010 - 2011 ): Cho c h gm hai vt nh c khi lng m
1
= m
2
= m =
100 g c ni vi nhau bng mt l xo rt nh c cng k = 150 N/m; chiu di t nhin l
0
=
50 cm . H c t trn mt mt phng ngang trn nhn ( hnh v ). Ban u l xo khng dn ;
m
2
ta vo tng trn v h vt ang ng yn th mt vin n c khi lng m / 2 bay vi vn
tc
0
V ( V
0
= 1,5 m/s ) dc theo trc ca l xo n
ghim vo vt m
1

a) Tnh khong thi gian m
2
tip xc vi tng
k t lc vin n ghim vo m
1
v tnh vn tc ca
khi tm ca h khi m
2
ri khi tng
b) Sau khi h vt ri khi tng, tnh chiu di cc i v cc tiu ca l xo trong qu trnh
h vt ni trn chuyn ng
Hng dn:
Cu a Ni dung 2,00
K t lc va chm, m
2
tip xc vi tng trong sut thi gian l xo b nn
Trong sut thi gian ny h vt ( m
1
+ m /2) dao ng iu ha vi chu k

1
/ 2
2t
+
=
m m
T
k

0,25
0,25

0,25
Vy khong thi gian cn tm l :
1
/ 2
0,1
2
t
+
A = = ~
m m T
t s
k


0,25
Vn tc ca h ( m
1
+ m /2) ngay sau va chm c xc nh bi
m
1
m
2
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 18/ 19

0
0 0 0
3
2 2 3
m m V
V v v = =

0,25
Khi vt m
2
bt u ri khi tng, theo nh lut bo ton nng lng
th tc ca h ( m
1
+ m /2) cng l
0
v .
Vn tc ca khi tm ca h c xc nh bi :

( ) ( )
1 2 1 0
/ 2 / 2
G
m m m V m m v + + = +

0
0,3 /
5
G
V
V m s = =



0,25

0,25

0,25
Cu b Ni dung
Gn h quy chiu vo khi tm ca h , trong h quy chiu ny ta c
( )
1 1 2 2
/ 2 0 m m v m v + + =
Trong
1
v v
2
v ln lt l vn tc ca ( m
1
+ m /2) v m
2

Vy hai vt ( m
1
+ m /2) v m
2
lun chuyn ng ngc chiu nhau v
khi vn tc ca vt ny trit tiu th vn tc ca vt kia cng trit tiu.
Lc ny chiu di ca l xo hoc cc i hoc cc tiu.
bin dng ca l xo lc ny c tnh bi :
( )( ) ( )
2 2
2
1 0 2
1 1 1
/ 2
2 2 2
G G
k l m m v V m V A = + +
( )( ) ( )
2 2
2
1 0 2
1 1 1
/ 2
2 2 2
G G
k l m m v V m V A = + +
0
1
15
m
l V cm
k
A = =

Vy chiu di cc i ca l xo l
max 0
51 l l l cm = + A =
V chiu di cc tiu ca l xo l
min 0
49 l l l cm = A =





Bi 11(Tnh Thi Nguyn HSG 2010 - 2011 ):
Con lc l xo nh hnh v. Vt nh khi lng m = 200g, l xo l
tng c cng k = 1N/cm, gc = 30
0
. Ly g = 10m/s
2
.
a/ Chn trc ta nh hnh v, gc ta trng vi v tr cn
bng. Vit phng trnh dao ng. Bit ti thi im ban u l xo b
dn 2cm v vt c vn tc v
0
= 10 15 cm/s hng theo chiu dng.
b/ Ti thi im t
1
l xo khng bin dng. Hi ti t
2
= t
1
+
5 4
t
s, vt c ta bao nhiu?
c/ Tnh tc trung bnh ca m trong khong thi gian t = t
2
- t
1
.

Hng dn:
m
x

O
September 27, 2012 [ CHUYN : KCH THCH DAO NG BNG VA CHM]

Trang 19/ 19
a/ Ti VTCB
l
sin g
m
k
A
o
= = e
=> l = 1cm, = 5 10 rad/s, T = s
5 5
t
.
Bin : A =
2
0 2
v
x |
.
|

\
|
e
+ => A = 2cm v
3
t
= .
Vy: x = 2cos(10 5t
3
t
)cm.
b/ Ti t
1
vt M c vn tc v
1
, sau t =
5 4
t
= 1,25T.
- vt K (nu v
1
> 0) => ta x
2
= 3 cm.
- vt N (nu v
1
< 0) => ta x
2
= - 3 cm.
c/ Qung ng m i c: - Nu v
1
<0 => s
1
= 11 3 => v
tb
= 26,4m/s.
- Nu v
1
>0 => s
2
= 9 3 + => v
tb
= 30,6m/s.
0,25

0,25



0,25

0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

Bi 12(Tnh Gia Lai HSG 2008 - 2009 ): Mt vt dao ng iu ho, lc vt v tr M c to x
1

= 3cm th vn tc l 8(cm/s); lc vt v tr N c to x
2
= 4cm th c vn tc l 6(cm/s). Tnh
bin dao ng v chu k dao ng ca vt.
Hng dn:

Tham kho thm cc ti liu lin quan n con lc n.
+ p dng h thc c lp:
2
2
2
v
A x
e
= + , c:

0,25
+Ti M:
1
1
2 2
2 2
2 2
8
3
v
A x
e e
= + = + (1)

0,5
+Ti N:
2
2
2 2 2
2 2 2
6
4
v
A x
e e
= + = + (2)

0,5
+Gii h (1) v (2) c:
A = 5 cm v
2 2
2( / ) 3,14( )
2
rad s T s
t t
e t
e
= = = = =

0,75
O -1
x
M
N
K
K'