Nguy n Vn X

165. THI H C SINH GI I TON L P 10 VNH PHC (2002 - 2003) Cu 1 a. Gi i phng trnh
4 3 3x + 1 = 1 x .

x2 + y = m x 2 xy = n b. Tm n, m hai h phng trnh sau tng ng 2 (I ) , 2 ( II ) . y + x = m y xy = n Cu 2 Tm t t c cc c p s nguyn (x; y) th a mn 5x2 + 3y3 3 v 2x2 + 5y2 = 11(xy 143). Cu 3 Cho hai s th c dng a, b. Ch ng minh cc m nh sau tng ng (i) a + 1 > b ; x (ii) ax + > b v i m i x > 1. x-1 Cu 4 Cho tam gic nh n ABC (AB > AC) v i cc ng cao AD, BE, CF (D BC, E AC, F AB). ng th ng qua D song song v i EF c t AC, AB l n l t Q, R. G i P l giao i m c a EF v BC. Ch ng minh r ng: 1. Cc i m E, F, D v trung i m c a BC n m trn m t ng trn. 2. ng trn ngo i ti p PQR i qua trung i m c a BC.

166. THI H C SINH GI I TON L P 10 VNH PHC (2000 - 2001) 1 m 2m Cu 1 Tm cc gi tr c a tham s m phng trnh ( + 2 )( x m m) = 0 c x + m x m m x2 nghi m duy nh t khng m. Cu 2 Hy l p phng trnh trng phng c t ng cc bnh phng cc nghi m b ng 50 v tch cc nghi m b ng 144.
Cu 3 Cho x, y R th a mn x2 + xy + y2 = 1. Tm gi tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c F = x3y + xy3. Cu 4 Cho t gic ABCD, g i M l giao i m c a hai ng cho AC v BD. K hi u AB = c, BC = p, CD = q, DA = b, DB = a, DB = 3DM, AM = MC. a. Tnh p, q theo a, b, c. b. Ch ng minh r ng n u ABD + 1800 = 2 ADB th DBC = 2 BDC . Cu 5 Trn m t ph ng Oxy cho p i m Ak(k; rk ), k = 0, 1, 2, 3, , p 1; v i p l s nguyn t l n hn 3 v rk l s d trong php chia k2 cho p. Ch ng minh r ng trong cc i m Ak(k; rk ) khng c 3 i m no th ng hng, khng c 4 i m no l 4 nh c a m t hnh bnh hnh.

167. THI H C SINH GI I TON L P 10 VNH PHC (2001 - 2002)

Bi 1 Gi i phng trnh x 2 x 1 ( x 1) x + x 2 x = 0 .

ax 2 + bx + 1 = 0 Bi 2 Tm a, b h phng trnh 2 c nghi m. bx + ax + 1 = 0 Bi 3 Cho a, b, c l di 3 c nh m t tam gic. Ch ng minh r ng

thi HSG mn Ton

Trang 144

Nguy n Vn X Bi 4 Cho ABC, A = 50 , B = 600 , C = 700 , M l m t i m n m trn m t ph ng ch a tam gic, g i A1, B1, C1 tng ng l hnh chi u vung gc c a M trn BC, CA, AB. 1. Khi M trng v i tm I c a ng trn n i ti p ABC th A1, B1, C1 c l ba nh c a m t tam gic u khng? 2. Tm t t c cc i m M A1, B1, C1 l ba nh c a m t tam gic u. Bi 5 Trong cc vung c a m t b ng hnh vung kch th c 20022002, ng i ta ghi cc s th c sao cho: T ng cc s trong m t hnh ch th p ty c a b ng (hnh g m m t dng v m t c t) khng nh hn 2002. Hy tm gi tr nh nh t c th c c a t ng cc s trong b ng.
0

a +bc + b+ca + c +a b a + b + c .

168. THI HSG L P 10 VNH PHC (98 - 99) Cu 1 Gi i phng trnh x 2 + 4 x = x 2 6 x + 11 .

Cu 2 Ch ng minh r ng n 1 +
n n n n + 1 < 2, n N*. n n Cu 3 Gi i phng trnh x7 2x6 + 3x5 x4 x3 + 3x2 2x + 1 = 0. x 2 + 2 xy + 2 y 2 a (1) Cu 4 Tm a h b t phng trnh c nghi m duy nh t 2 . 2 x 4 xy y a (2) Cu 5 Gi s O l m t i m bn trong ABC, cc ng th ng OA, OB, OC l n l t c t cc c nh BC, CA, AB t i A, B, C. Tm qu tch i m O sao cho n

2 2 2 2 2 2 SOAC ' + SOBA' + SOCB ' = SOBC ' + SOCA' + SOAB ' .

169. THI HSG L P 10 VNH PHC (97 98) Cu 1 (1.5 i m) Gi i phng trnh (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9. Cu 2 (2.0 i m) Tm c p s (x; y) th a mn phng trnh x2 + y2 + 6x 3y 2xy + 7 = 0 sao cho y t gi tr l n nh t. 4 Cu 3 (2.0 i m) Cho x0 l nghi m th c c a PT x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0. Ch ng minh a 2 + b 2 . 5 Cu 4 (2.0 i m) Cho ng trn bn knh R v n i m b t k trn m t ph ng ch a ng trn
(nN*).Ch ng minh r ng trn ng trn cho c th tm c i m M sao cho t ng kho ng cch t M n n i m ni trn khng nh hn nR. Cu 5 (2.5 i m) Trn cc c nh BC, CA, AB c a ABC l n l t l y cc i m D, E, K sao cho
BD CE AK 1 = = = . G i A = CK AD, B = BE AD, C = CK BE. BC CA AB 1997 a. Hy xc nh tr ng tm DEK. b. Tm tr ng tm ABC.

thi HSG mn Ton

Trang 145

Nguy n Vn X

170. THI HSG L P 10 VNH PH (96 97) 2 x y 2 y + 1 > 0 Cu 1 Tm nghi m nguyn c a h b t phng trnh 2 x + y 1 < 5 . y 1
Cu 2 Tm gi tr nh nh t c a bi u th c A = x100 10x10 + 2005, v i xR. Cu 3 Tm nghi m t nhin c a phng trnh 3 2 = 1930 . Cu 4 Cho tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c v i cc h s dng v a + b + c = 1. Ch ng minh r ng v i m i s nguyn dng k th f(x) [f(
(2k )

x )](2

k)

v i m i x 0.

Cu 5 Trn cc c nh c a ABC ta d ng v pha ngoi c a tam gic cc hnh vung BCDE, ACFG, BAHK. Gi s P, Q th a mn FCDP v EBKQ l cc hnh bnh hnh. Hy cc nh hnh d ng c a PAQ.

171. THI HSG L P 10 VNH PH (nm h c 95 96) thi ngy 09 01 1996. Th sinh cc tr ng b ng A lm t t c cc cu, k c cu 5, th sinh cc tr ng b ng B ch lm cc cu 1, 2, 3, 4, khng ph i lm cu 5.
Cu 1 Ch ng minh r ng 3 378 + 142884 + 1 + 3 378 142884 + 1 = 9. Cu 2 Tm t t c cc gi tr nguyn c a a, b a th c x4 + ax3 + 10x2 + bx + 9 l bnh phng c a m t tam th c b c hai v i h s nguyn. Cu 3 Trong ABC nh n v khng u, ta k ng cao AH, trung tuy n BM, phn gic CL. Ba ng ny c t nhau t o thnh PQR. Ch ng minh r ng PQR khng th l tam gic u.

x +1 + y + 2 = m c nghi m duy nh t. Cu 4 Tm m h phng trnh x + y = 3m Cu 5 Ch ng minh r ng di n tch c a m t hnh bnh hnh b t k n m trong m t tam gic khng l n hn n a di n tch c a tam gic .

172. THI HSG L P 10 VNH PH (nm h c 94 95) thi ngy 06 01 1995. Cu 1 Gi s phng trnh ax2 + bx + c = 0 c nghi m, tam th c b c hai ( x) = x 2 + x + c nghi m v kho ng cc nghi m c a tam th c ( x) ch a kho ng (0; 2). Ch ng minh r ng phng trnh sau c nghi m: a (0) x2 + b (1) x + c (2) = 0. a b c Cu 2 Ch ng minh n u + + = 0, k > l > m > 0, km l 2 th tam th c f(x) = ax2 + bx + c c k l m nghi m thu c kho ng (0; 1). Cu 3 Ch ng minh phng trnh x4 y4 = z2 khng c nghi m nguyn dng. Cu 4 Cho ABC c s o cc c nh l a1 , a2 , a3 v di n tch l S. Ch ng minh r ng v i m i s dng
b t k p1 , p2 , p3 ta lun c
thi HSG mn Ton Trang 146

Nguy n Vn X p3 p1 p2 2 2 a12 + a2 + a3 2 3.S . p2 + p3 p3 + p1 p1 + p2 Cu 5 Cho ABC, qua i m M n m trong tam gic ta d ng ba o n th ng MA1, MB1, MC1 tng ng vung gc v i BC, CA, AB v h ng ra pha ngoi tam gic, di ba o n th ng MA1, MB1, MC1 tng ng t l v i di ba c nh BC, CA, AB. Ch ng minh r ng MA1 i qua trung i m c a B1C1.

173. THI HSG L P 10 VNH PH (nm h c 93 94) thi ngy 11 01 1994.

Cu 1 V i cc s cho tr c n N, n 2, a R, a > 0, hy tm gi tr l n nh t c a t ng r ng xi 0 (i = 1, n ) v

xi yi +1 , bi t i =1

n 1

xi = a. i =1

Cu 2 Cho hai parabol (P1) y = x2 v (P2) y = - x2 + 2x + 4. 1 Tm t a giao i m M, N c a (P1) v (P2). 2 Qua M d ng ng th ng 1 c t (P1) v (P2) l n l t E, F ( khc M), qua N d ng ng th ng 2 c t (P1) v (P2) l n l t C, D ( khc N), ch ng minh r ng CE // DF. Cu 3 K hi u A = a1a2 ...a20 l s nguyn dng c 20 ch s . Hai ng i chi m t tr chi nh sau: Ng i th nh t i n vo ch s u tin a1 b i m t trong nm ch s 1, 2, 3, 4, 5. Ng i th hai i n ti p vo ch s a2 b i m t trong nm ch s ni trn. R i ti p l i n ng i th nh t i n vo a3 C ti p t c nh v y cho n h t 20 ch s c a A. N u s A thu c l s chia h t cho 9 th ng i th hai th ng cu c, ng c l i th ng i th nh t th ng cu c. Ch ng minh r ng c m t cch chi lun m b o cho ng i th nh t th ng cu c. Cu 4 G i O l tm ng trn ngo i ti p ABC, M l trung i m c a AC, E l tr ng tm c a ABM. Ch ng minh r ng OE = BM n u AB = AC. (c n ki m tra l i bi)

174. THI HSG L P 11 VNH PH (nm h c 93 94) thi ngy 11 01 1994. |sin x | Bi 1 Gi i phng trnh 3 = cosx .
2 x3 7 x2 + 8 x 2 = y Bi 2 Gi i h phng trnh trn t p s nguyn 2 y 3 7 y 2 + 8 y 2 = z . 2z3 7 z 2 + 8z 2 = x Bi 3 V i s nguyn dng n 2 cho tr c, tm gi tr nh nh t c a tch ( i = 1, n ) v

xi , v i =1

i i u ki n xi

1 n

xi = 1. i =1
2

Bi 4 Gi s S, R l n l t l di n tch v bn knh ng trn ngo i ti p ABC. G i S1 l di n tch tam gic c cc nh l chn ng vung gc h xu ng cc c nh c a ABC t m t i m M cch tm

ng trn ngo i ti p ABC m t kho ng d. Ch ng minh r ng S1 =

1 d2 S 1 2 . R 4

thi HSG mn Ton

Trang 147

Nguy n Vn X

175. THI HSG L P 11 VNH PH (nm h c 94 95) thi ngy 06 01 1995. Bi 1 Gi s a2 + b2 0. Ch ng minh r ng t nh t m t trong hai phng trnh sau y c nghi m: asinx + bcosx + c = 0 (1), atanx + bcotx + 2c = 0 (2). n n n Bi 2 Tm s nguyn dng n phng trnh x + (2 + x) + (2 - x) = 0 c nghi m h u t . n a a Bi 3 Cho a th c P(x) = ai xi (n 2, an.a0 0) c n nghi m dng. Ch ng minh n1 1 n 2 . an a0 i =0
Bi 4 Cho dy {un} c u1 = 3, u2 = 17, un = 6un 1 un 2, n = 3, 4, 5, 2 a. Ch ng minh u 2 6u n u n+1 + u n = 8, n N *. T suy ra r ng v i m i n th u 2 - 1 chia h t cho n+1 n 2 v thng l s chnh phng. b. Tm cng th c s h ng t ng qut c a dy s . Bi 5 Cho t di n ABCD c cc c nh i di n b ng nhau BC = DA, CA = DB, AB = DC, M l m t i m ty trong khng gian. Ch ng minh bnh phng kho ng cch t M n m t nh c a t di n khng l n hn t ng bnh phng cc kho ng cch t M n ba nh cn l i c a t di n.

176. THI HSG L P 11 VNH PH (nm h c 95 96) thi ngy 09 01 1996. Th sinh cc tr ng b ng A lm t t c cc cu, k c cu 5, th sinh cc tr ng b ng B ch lm cc cu 1, 2, 3, 4, khng ph i lm cu 5. Cu 1 sin 6 x + cos 6 x 1 = . a. Gi i phng trnh 4 tan( x ) tan( x + ) 4 4 b. Cho tr c cc i l ng a v . Xt hm s f(x) = cos2x + acos(x + ). t M = maxf(x),
m = minf(x), v i x R. Ch ng minh M2 + m2 2. Cu 2 Cho ABC cn nh A, c nh bn b ng b, c nh y b ng a, v r ng a5 4a3b2 + 3ab4 b5 = 0. b 2 = 1 + 2 cos . Ch ng minh a 7

1 Cu 3 Cho b > a > 1. L p hai dy s (un) v (vn) nh sau: u1 = b, v1 = a, u n+1 = (u n + v n ), 2 2n 2u n .v n (b - a) vn + 1 = , n *. Ch ng minh 0 < u n+1 v n+1 < , nN*. u n + vn 2n Cu 4 Cc ng cho c a t gic l i ABCD vung gc v i nhau. Qua trung i m cc c nh AB, AD k nh ng ng vung gc tng ng v i CD, CB. Ch ng minh r ng cc ng ny v ng th ng AC ng quy.

177. THI HSG L P 11 VNH PHC (1997 1998) Cu 1 (2 i m) Tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c v i cc h s nguyn v a > 0, c hai nghi m th c phn bi t trong kho ng (0; 1). a) Ch ng minh r ng a 5. b) Hy tm t t c cc a th c th a mn i u ki n trn v c a = 5.
thi HSG mn Ton Trang 148

Nguy n Vn X Cu 2 (2 i m) Cho x2 + y2 + z2 = 1. Ch ng minh xyz + 2(1+ x + y + z + xy + yz + zx) 0. Cu 3 (2 i m) V i i u ki n no th 3 s h ng dng lin ti p c a m t c p s nhn l di c a ba c nh m t tam gic? Cu 4 (2 i m) Gi i bi n lu n theo a v b phng trnh asinx + bcosx = a 2 + b 2 + cos 2 2x . Cu 5 (2 i m) Cho t di n ABCD v G l m t i m n m bn trong t di n. G i A, B, C, D l cc giao GA' GB' GC' GD' i m c a cc tia AG, BG, CG, DG v i cc m t i tng ng. Ch ng minh r ng + + + GA GB GC GD t gi tr nh nh t khi v ch khi G l tr ng tm c a t di n ABCD.

178. THI HSG L P 11 VNH PHC (1998 1999) Cu 1 Ch ng minh f(x) = x5 5x3 + 4x -1 c ng 5 nghi m.
Cu 2 Cho ABC cn nh A, c nh bn b ng b, c nh y b ng a, v r ng a5 4a3b2 + 3ab4 b5 = 0.

b 2 = 1 + 2 cos . Ch ng minh a 7

Cu 3 Cho , (0; ) v tan = 3 tan . Ch ng minh r ng + . 2 6 Cu 4 Cho dy s {un} th a mn un + un+2 2un+1, n = 1, 2, 3, Ch ng minh r ng 1 1 (u1 + u3 + ... + u2 n +1 ) (u2 + u4 + ... + u2 n ) , n = 1, 2, 3, n +1 n Cu 5 Cho hnh chp SABC bi t SA = a, SB = b, SC = c, BSC = , CSA = , ASB = . Tnh th tch kh i chp SABC.

179. THI HSG L P 11 VNH PHC (1999 2000) Cu 1 Tm phng trnh sau c nghi m 3(sin 4 x + cos 4 x) + 2(sin 6 x + cos 6 x)cos =3+cos .
Cu 2 Dy s (an) xc nh b i an = k + k + ... + k (n d u cn). a. Ch ng minh r ng v i m i s dng k c nh th dy s trn lun c gi i h n. b. Tm s nguyn dng k gi i h n c a dy s trn l m t s nguyn. Cu 3 Cc gc C, B, A c a ABC theo th t l p thnh c p s nhn. G i O, K, L l n l t l tm ng trn n i ti p, bng ti p gc B , bng ti p gc A c a ABC. Cc gc O, K, L c a OKL theo th t 5 cng l p thnh c p s nhn. Ch ng minh cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = . 4 Cu 4 Cho ABC c nh v m t i m M thay i trong khng gian nhng lun khng thu c cc ng th ng AB, BC, CA. K hi u x, y, z l n l t l kho ng cch t M t i AB, BC, CA. Tm t p h p i m M x y z 1 th a mn + + = . 1999y + 2000z 1999z + 2000x 1999x + 2000y 1333 Cu 5 K hi u Sn l t p h p n s nguyn dng u tin, t c l Sn = {1, 2, 3, , n 1, n}.

thi HSG mn Ton

Trang 149

Nguy n Vn X a. Tm n t p h p Sn c th chia c thnh hai t p h p khc r ng, r i nhau, v t ng cc ph n t c a n(n + 1) m i t p h p con b ng . 4 b. Tm n t p h p Sn c th chia c thnh ba t p h p khc r ng, i m t r i nhau, v t ng cc ph n n(n + 1) t c a m i t p h p con b ng . 6

180. THI HSG L P 11 VNH PHC (2000 2001) Cu 1 Tm cc gi tr c a tham s a sao cho t t c cc nghi m khng m c a phng trnh (2a 1) sin x + (2 a ) sin 2 x = sin 3 x l p thnh c p s c ng.
Cu 2 Cho ABC cn nh A, ng phn gic trong gc B c t AC t i D. Bi t BC = BD + DA, hy tnh gc A . Cu 3 Cc s th c x, y tho mn x2 + y 3 x3 + y4. Ch ng minh x3 + y3 2. Cu 4 Dy s nguyn (f(n)) , trong f(x) l m t hm xc nh v nh n gi tr trn Z, th a mn n=0 f(0) = 0, f(n) = n f(f(n - 1)) v i m i n nguyn dng. a. Ch ng minh r ng f(n) f(n 1) v i m i n nguyn dng. b. T n t i hay khng s nguyn dng k th a mn f(k + 1) = f(k) = f(k 1), t i sao? Cu 5 Trn m t ph ng Oxy cho p i m Ak(k; rk ), k = 0, 1, 2, 3, , p 1; v i p l s nguyn t l n hn 3 v rk l s d trong php chia k2 cho p. Ch ng minh r ng trong cc i m Ak(k; rk ) khng c 3 i m no th ng hng, khng c 4 i m no l 4 nh c a m t hnh bnh hnh.

181. THI HSG L P 11 VNH PHC (2001 2002) Bi 1 Gi i phng trnh log 2002 (tan x) = cos2x .
x + y + 2 xy + a 1 c nghi m duy nh t. Bi 2 Tm a h b t phng trnh x + y 1 Bi 3 Cho a, b, c l s o ba c nh c a m t tam gic. Ch ng minh r ng a (b 2 + c 2 a 2 ) + b(c 2 + a 2 b 2 ) + c(a 2 + b 2 c 2 ) > 2abc . Bi 4 Cho t gic l i ABCD c AB = a, AD = b, BC = p a, DC = p b, v i a, b, p l cc s dng cho tr c. G i O l giao i m c a hai ng cho AC, BD. t BAD = . OA 1. Tnh t s theo a, b, p v . OC 2. Tnh lim OA .
0

Bi 5 Cho dy s a1, a2, , an, xc nh b i an+1 = an(2 ban), n = 1, 2, 3, b l s dng cho tr c, 1 a1 l s ty thu c kho ng (0; ). Ch ng minh dy s trn n i u v b ch n, t tm gi i h n c a b dy.

thi HSG mn Ton

Trang 150

Nguy n Vn X

182. THI HSG L P 11 VNH PHC (2002 2003) Cu 1 Cho phng trnh n x 3 x x cos 2 ( (a x)) 2 cos( (a x)) + cos .cos( + )+2 = 0. 2a 2a 3 1. Gi i phng trnh khi a = 18. 2. Xc nh s nguyn dng a nh nh t phng trnh c nghi m.
Cu 2 Xt ABC th a mn rng bu c max{A, B, C} > . Tm gi tr l n nh t c a bi u th c 2 P = sinA + sin2B + sin3C.

n + 1 21 2 2 2n ( + + ... + ) , n = 1, 2, 3, Ch ng minh r ng: n 2n +1 1 2 a. an + 1 an, v i n 3. Cu 3 Gi s an =

b. Dy {an }n =1 c gi i h n v tm gi i h n . Cu 4 G i O l m t i m n m trn c nh AB c a t di n ABCD (O khng trng v i A, B). M t c u ngo i ti p t di n AOCD c t cc c nh BC, BD c a t di n ABCD l n l t t i M, N (M C, N D). M t c u ngo i ti p t di n BOCD c t cc c nh AC, AD c a t di n ABCD l n l t P, Q (P C, Q D). Ch ng minh r ng hai tam gic OMN v OQP ng d ng.

183. THI HSG L P 11 VNH PHC (2003 2004)

Cu 1 (2.5 i m) Gi s ABC c di ba c nh th a mn

BC AB + BC = . Tnh 3A + B . AB BC AC

Cu 2 (2.5 i m) Cho m t c p s nhn bi t r ng t ng cc s h ng c a chng b ng 11, t ng bnh phng cc s h ng b ng 341, t ng l p phng cc s h ng b ng 3641. a) Ch ng t r ng cng b i c a c p s nhn cho khc 1. b) Xc nh cc s h ng c a c p s nhn . an (0;1) Cu 3 (2.0 i m) Cho dy s {an} th a mn 1 v i m i s nguyn dng n. an +1 (1 an ) = 4
1 1 v i m i n nguyn dng. 2 2n b> Ch ng t dy {an} c gi i h n v tm gi i h n . Cu 4 (3.0 i m) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh vung, SAB u, (SAB)(ABC). Gi s M l m t i m di ng trn o n AB v P l hnh chi u vung gc c a S trn CM. a./ Tm qu tch i m P khi M di ng. b./ Xc nh v tr c a M di o n th ng n i M v i trung i m c a SC t gi tr l n nh t. a> Ch ng minh r ng an >

184. THI HSG L P 11 VNH PHC (2004 2005) Dnh cho HS cc tr ng khng chuyn

thi HSG mn Ton

Trang 151

Nguy n Vn X Cu 1 (3.0 i m) Gi i bi n lu n theo tham s a b t phng trnh x

(ax)4 . Cu 2 (2.0 i m) Tm t t c cc nghi m c a phng trnh cos 4 x + sin 4 x = cos2x th a mn b t phng trnh 1 + log 1 (2 + x - x 2 ) 0 .
2

loga (ax)

Cu 3 (1.0 i m) Cho a, b, x, y l cc s th c th a mn a > 0, b > 0, x > y > 0. Ch ng minh r ng x x y y y x (a + b ) < (a + b ) . Cu 4 (3.0 i m) Cho t di n ABCD, m t ph ng ( ) song song v i hai ng th ng AD, BC, c t cc ng th ng AB, AC, CD, DB l n l t t i M, N, P, Q. Xc nh ( ) : a. T gic MNPQ l hnh thoi. b. Di n tch thi t di n c a ABCD c t b i ( ) l l n nh t. Cu 5 (1.0 i m) Cho dy s (un) xc nh b i (n 2 + n + 1)(n + 1) n +1 u n + 2 + (n 2 + n +1)u n +1 u n , n N . u0 = 0, u1 = 1, u2 = 0, u n + 3 = n n Ch ng minh r ng un l s chnh phng v i m i n = 0, 1, 2, 3,

185. THI HSG L P 11 THPT NH NGUY T (2009) Vng 1 Bi 1 Cho dy s {un} xc nh nh sau:
u0 = 1, u1 = - 1, u n + 2 = k.un + 1 - un, n N. Tm s h u t k dy s trn l dy tu n hon. Bi 2 Gi s phng trnh anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 = 0 c n nghi m th c (n N, n 3, ai R, i = 0, n , an 0). Ch ng minh (n 1)a 2 1 2na n a n 2 , n N, n 3. n Bi 3 Tm a, b t p gi tr c a hm s

y=

ax + b l o n [- 1; 4]. x2 +1

Bi 4 Tnh gi i h n: [(2+ 3)n ] a) lim n ( [x] l ph n nguyn c a s th c x, t c l s nguyn l n nh t khng v t qu x). n + (2+ 3) b) lim ( n ( x + a1 )( x + a2 )...( x + an ) x) (v i n N*, ai R, i = 1, n ).
x +

Bi 5 Cho hm s lin t c f : [a; b] R v hai s th c , dng. Ch ng minh r ng t n t i x0 [a; b] f (a) + f (b) sao cho f(x0) = . + nn n n Bi 6 Tm s nguyn dng n 20063 +14 + 20062005 + 2007 + 1 l s nguyn t .

186. THI HSG L P 11 - THPT NH NGUY T (2009) Vng 2 m 1 + ax .n 1 + bx 1 ( v i a, b R; m, n N*). Bi 1 Tnh lim x 0 x Bi 2 Tm gi tr l n nh t v nh nh t c a bi u th c T = a2 + b2 + c2 + 2abc, v i a, b, c l di ba c nh m t tam gic c chu vi b ng 2.

thi HSG mn Ton

Trang 152

Nguy n Vn X Bi 3 Cho hai hm s lin t c f, g : [a; b] R th a mn f(x) = g(x), x ta lun c f(x) = g(x), x [a; b]. Bi 4 Ty theo cc tham s a, b, c dng, bi n lu n s nghi m c a phng trnh a + b = c . Bi 5 Cho dy s {an} th a mn an+1 an an2, n N. Ch ng minh r ng liman = 0. Bi 6 Trn n a ng trn (O; R = 1) l y 2n + 1 i m (n N*) P1, P2, , P2n+1
2 n +1

[a; b]. Ch ng minh r ng

x x x

cng pha i v i m t

ng knh no . Ch ng minh

OP
k =1

1.

187. THI HSG L P 12 - THPT NH NGUY T (2009) Vng 1 Bi 1 Ng i ta ch ng minh c nh l sau, g i l nh l Lagrng: N u hm s f(x) lin t c trn o n f (a ) f (b) . [a; b], c o hm trn kho ng (a; b) th t n t i gi tr c(a; b) sao cho f '(c) = a b 1 a) By gi ta xt hm s f(x) = 1 x 2 + 2 x + 1 lin t c trn o n [- ; 1] v c o hm trn kho ng 2 1 (- ; 1). Hy tm gi tr c nh trong nh l trn ni t i. 2 a b a a b b) Cho a > b > 0. V n d ng nh l trn ch ng minh < ln < . a b b Bi 2 Kh o st v v th hm s y = x3 3x. T dng th bi n lu n theo m s nghi m c a phng trnh x3 3x = m3 3m. Bi 3 a. Trong m t ph ng Oxy cho ng trn (C) (x 1)2+ (y + 2)2 = 4. Tm qu tch cc i m M trong m t ph ng sao cho t M k c 2 ti p tuy n t i (C) v 2 ti p tuy n vung gc v i nhau. b. G i T l t p h p cc i m trn ng trn (C) v c cc thnh ph n t a u l s nguyn. Tm i m N trong m t ph ng Oxy sao cho NA2 t gi tr nh nh t.
A T

188. THI HSG L P 12 - THPT NH NGUY T (2009) Vng 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x Bi 1 Cho hm s f(x) xc nh trn (a; b) v th a mn f ( 1 2 ), x1 , x2 (a; b). 2 2 f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) x1 + x2 + x3 f( ), x1 , x2 , x3 (a; b). a Ch ng minh r ng 3 3 f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) x + x + ... + xn b Ch ng minh r ng f( 1 2 ), x1 , x2 ,..., xn (a; b), n N *. n n x2 (C). Bi 2 Cho hm s y = x +1 a> Kh o st v v th hm s . b> Tm hai i m A, B thu c 2 nhnh khc nhau c a (C) sao cho di AB nh nh t.

thi HSG mn Ton

Trang 153

Nguy n Vn X Bi 3 V i m i s nguyn dng k, hy ch ng minh tch c a k s nguyn lin ti p bao gi cng chia h t cho k!. Bi 4 Tm t a cc nh c a hnh vung ABCD n m trong m t ph ng Oxy, bi t A thu c ng th ng (d) x y = 0, C thu c ng th ng (d) 2x + y 1 = 0, v B, D thu c tr c Ox.

189. THI HSG L P 12 QU C GIA B NG A (11 03 2004) x 3 + x( y z )2 = 2 Bi 1 Gi i h phng trnh y 3 + y ( z x) 2 = 30 . z 3 + z ( x y )2 = 16

Bi 2 Trong m t ph ng, cho ABC, g i D l giao i m c a c nh AB v ng phn gic trong c a

ACB. Xt m t ng trn (O) i qua hai i m C, D v khng ti p xc v i cc ng th ng BC, CA. ng trn ny c t l i cc ng th ng BC, CA t i M, N tng ng. 1/ Ch ng minh r ng c m t ng trn (S) ti p xc v i ng th ng DM t i M v ti p xc v i DN t i N. 2/ ng trn (S) c t l i cc ng th ng BC, CA l n l t t i P, Q. Ch ng minh r ng cc o n th ng MP, NQ c di khng i, khi ng trn (O) thay i. Bi 3 Cho t p A g m 16 s nguyn dng u tin. Hy tm s nguyn dng k nh nh t c tnh ch t: trong m i t p con c k ph n t c a A u t n t i hai s phn bi t a, b sao cho a2 + b2 l m t s nguyn t .

190. THI HSG L P 12 QU C GIA B NG A (12 03 2004)

(2 + cos2 )x n + cos 2 ,v i (2 2cos2 )x n + 2 cos2 m i n =1, 2, 3, , trong l m t tham s th c. Hy xc nh t t c cc gi tr c a dy (yn) v i n 1 yn = , n = 1, 2, 3, ... , c gi i h n h u h n khi n + . Tm gi i h n c a dy (yn) trong cc k=1 2x k + 1 tr ng h p . Bi 5 Xt cc s th c dng x, y, z th a mn i u ki n (x + y + z)3 = 32xyz. Hy tm gi tr nh nh t v x 4 + y4 + z 4 gi tr l n nh t c a bi u th c P = . (x + y + z ) 4 Bi 6 V i m i s nguyn dng n, k hi u S(n) l t ng t t c cc ch s trong bi u di n th p phn c a n. Xt cc s nguyn dng m l b i c a 2003. Hy tm gi tr nh nh t c a S(m). Bi 4 Xt dy s th c (xn), n = 1, 2, 3, , xc nh b i x1 = 1, x n + 1 =

191. THI HSG L P 12 B C NINH (1999 - 2000)

( ny c n ki m tra l i v c nh my theo m t b n photocopy b m , c th c m t s chi ti t khng c chnh xc) [X]

Bi 1 (5 i m)

x 6 x 2 x + 1 + 1 = 0 khng th c nghi m m. 2 1 1 2) Tm a sao cho v i m i x 0 ta lun c ( x 2 + 2 ) + (1 + 3sin a )( x + ) + 3sin a > 0 . x x Bi 2 (4 i m)

1) Ch ng minh r ng phng trnh x3
thi HSG mn Ton

Trang 154

Nguy n Vn X 1) Cho su s th c dng a, b, c, x, y, z th a mn 4xyz (a x + b y + c z) = abc. Ch ng minh t n t i cc

2 2 2

s , th a mn 0 < <

,0 < <

, sao cho a = 2 yz sin , b = 2 zx sin , v c = 2 xycos( + ) .

x+y+z=a+b+c 2) Cho tr c ba s dng a, b, c. Tm cc s dng x, y, z theo a, b, c, bi t . 2 2 2 4xyz (a x+b y+c z) = abc Bi 3 (5 i m) 3 3 1) Ch ng minh r ng sinA + sinB + sinC . 2 log sin A sin B log sin B sin C log sin C sin A + + . 2) Cho ABC khng vung, tm gi tr nh nh t c a P = sin A + sin B sin B + sin C sin C + sin A Bi 4 (6 i m) Cho t di n ABCD c BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c. G i G l tr ng tm t di n v x, y, z, t l n l t l kho ng cch t G n cc m t ph ng (DBC), (DCA), (DAB), (ABC). a. Tm m i lin h gi a a, b, c GA + GB + GC + GD = 3(x + y + z + t). b. G i , , l gc gi a cc c p ng th ng tng ng BC v DA, CA v DB, AB v DC. Gi s
c < b < a . H i ba o n th ng a cos , b cos , c cos c th d ng c m t tam gic hay khng ?
(Xem thm 48)

191. THI CH N I TUY N TON B C NINH D THI HSG QU C GIA ( 2001 2002) Ngy thi 26 -11-2001 (bu i 2) 1 1 1 3( x + ) = 4( y + ) = 5( z + ) Bi 1 (2 i m) Gi i h phng trnh x y z . xy + yz + zx = 1
Bi 2 (2 i m) Cho ABC khng c gc t. Tm gi tr nh nh t c a bi u th c sin A + sin B + sin C E= . cos A + cos B + cos C Bi 3 (2 i m) Cho hm s f : N N v ng th i th a mn hai h th c (1)
(2)

f(f(n)) = 4n + 9 v i m i n N;
f(2 ) = 3 + 2
n n+1

v i m i n N*.

Tnh f(1789). Bi 4 (2 i m) Ch ng minh r ng m i m t ph ng i qua ng th ng n i hai trung i m c a hai c nh i c a m t t di n chia t di n thnh hai ph n c th tch b ng nhau. Bi 5 (2 i m) Cho n hnh vung b t k (n N*). Ch ng minh r ng c th c t n hnh vung thnh nh ng a gic m v i nh ng a gic ny c th ghp l i c m t hnh vung m i.

192. THI HSG B C NINH (10 04 2002) Bi 1 (2 i m) sin 3 x ln(cosx) 1/ Tm gi i h n a. lim . b. lim . x 0 x2 x 1 2 cos x
3

thi HSG mn Ton

Trang 155

Nguy n Vn X 2/ Cho an = cos( n. 3 n 3 + 3n 2 + n + 1) , n N*. Tm lim an .

n

Bi 2 (1.5 i m) Tnh cc t ng sau: a) Sn = sinx + sin2x + + sinnx. b) Cn = cosx + 2cos2x + + ncosnx. Bi 3 (2 i m) 1) Gi i phng trnh x 3 + (1 x 2 ) 3 = x 2(1 x 2 ) . x3 9 z 2 + 27 z = 27 2) Gi i h phng trnh y 3 9 x 2 + 27 x = 27 . z 3 9 y 2 + 27 y = 27 Bi 4 (1.5 i m) Cho dy s v h n ph n t {an}. Ch ng minh r ng n u an + an + 2 2an +1 , n N*, th a1 + a3 + ... + a2 n+1 a2 + a4 + ... + a2 n , n N*. n +1 n Bi 5 (3 i m) 1) Ch ng minh r ng n u m i c nh c a m t tam gic no u nh hn 1 th di n tch c a tam gic 3 nh hn . 4 2) Trong t di n ch c m t c nh c di l n hn 1, ch ng minh r ng th tch t di n y khng v t 1 qu . Hy ch ra m t t di n nh th . 8

193. THI CH N I TUY N TON B C NINH D THI HSG QU C GIA ( 2002 2003) Ngy thi 16 -10 -2002 (bu i 1)
Bi 1 (2 i m) Ch ng minh r ng
3

5 2 +7 3 5 2 7 = 2. 2an 1an +1 , n N*, n > 1. Ch ng minh an 1 + an +1

Bi 2 (2 i m) Cho dy {an} g m v h n s t nhin th a mn an = r ng a1 = a2 = ... = an .

Bi 3 (2 i m) Cho ABC. Ch ng minh r ng 1 1 1 1 1 + + ( )2 . A B C sin 2 A sin 2 B sin 2 C A B C 2 sin sin sin 4 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 Bi 4 (2 i m) T n t i hay khng hm s f : RR th a mn (f(x) f(y))2 |x y|3, x, y R , v f

khng ph i l h ng s ? Bi 5 (2 i m) Cho hnh chp c t ABC.ABC. Ch ng minh r ng cc m t (ABC), (BCA), (CAB) c t nhau t i m t i m.

194. THI HSG B C NINH (2003)

thi HSG mn Ton

Trang 156

Bi 1 (2 i m) Tm cc gi i h n sau:
3

1) lim (s inx) tanx ;

x

Nguy n Vn X 1 1 2) lim (sin + cos ) x . x x x

Bi 2 (2.5 i m) Cho hm s f(x) = x 3x 1. 1. G i x1 , x2 , x3 l honh giao i m c a th hm s v i tr c honh. Tnh gi tr c a bi u th c

3 3 3 3 2 2 A = x13 x2 + x2 x3 + x3 x13 + 4 x12 x2 x3 . 2. Xt s nghi m c a phng trnh f(f(x)) = 0. Bi 3 (1.5 i m) 2 x 2 y = ( y x)( xy + 2) . 1. Gi i h phng trnh x2 + y2 = 2 2. Tm s k l n nh t v i m i ABC ta lun c sin2A + sin2B > ksin2C.

Bi 4 (2.75 i m) Cho hnh chp SABC, SA SB, chn ng cao h t S n m t ph ng (ABC) trng v i tr c tm ABC. 1. G i , , l n l t l gc t o b i cc m t ph ng (SAB), (SBC), (SCA) v i y (ABC). Tnh gi tr c a bi u th c T = cos2 +cos2 +cos2 . 2. G i m l c nh l n nh t trong cc c nh bn v r l bn knh hnh c u n i ti p hnh chp SABC, tnh t m s . r Bi 5 (1.25 i m) Cho hm s f(tanx) = sin2x, v i m i |x| < c a bi u th c P = f(sin32x).f(cos32x).

. Tm gi tr l n nh t v gi tr nh nh t

195. THI HSG B C NINH (2004 - 2005) Ngy thi 12 04 - 2005

1 Cu 1 (2 i m) Tm gi i h n: 1) A = lim ( sinx ) x a ;
x a

sina

2) B = lim

cosx) 2 . x0 sin(tanx)

cos(

Cu 2 (2 i m) x x 1. Tnh o hm c a hm s f(x) = x ( x > 0), t tm nguyn hm c a hm s (x) = x (1 + lnx). 2. Tnh tch phn J = sin n -1 x.cos(n+1)x.dx , trong n l s nguyn dng khng nh hn 2.
0

b2 x 2 + c 2 x2 = a Cu 3 (2 i m) Cho ABC c di 3 c nh l a, b, c. Gi i h phng trnh c 2 y 2 + a 2 y 2 = b . 2 2 2 2 a z + b z =c Cu 4 (2 i m) Cho ABC c di 3 c nh l a, b, c, bn knh ng trn ngo i ti p v n i ti p l R, r, chu vi l 2p. 1. Ch ng minh r ng ab + bc + ca = p2 + r2 + 4Rr. 1 1 1 2. Tnh t ng + + qua p, R, r. a b c
thi HSG mn Ton Trang 157

Nguy n Vn X 3. Ch ng minh r ng p2 + r2 14Rr. ( x 19) 2 ( y 98)2 Cu 4 (2 i m) Cho elip (E) + = 1998 . G i R1, R2, R3, R4 l n l t l di n tch cc ph n 19 98 c a (E) n m trong gc ph n t th nh t, th hai, th ba, th t tng ng trn th . Hy xc nh gi tr T = R1 - R2 + R3 - R4.

196. THI HSG B C NINH (2005 - 2006) Ngy thi 05 04 - 2006 x s inx ( x 2 + 2005) 9 1 5 x 2005 . Bi 1 Tm gi i h n 1) lim ; 2) lim x x+sinx x 0 x Bi 2 1) Cho hm s f(x) = x3 3x 1. Tnh s nghi m c a phng trnh f(f(x)) = 0. 2) Tm m phng trnh |x|3 3|x| 2 = m(x 2) c 4 nghi m th c phn bi t. Bi 3 Cho hnh chp SABC c y ABCD l t gic n i ti p ng trn ng knh AC, SA = 2BD, BAD = 60o , SA (ABCD). K AH, AK l n l t vung gc v i SB, SD t i H, K. Hy tnh gc gi a hai m t ph ng (AHK) v (ABCD). 13 . Bi 4 Cho cc s khng m x, y, z th a mn x + y + z = 1. Ch ng minh r ng x2 + y 2 + z2 + 4xyz 27 D u ng th c x y ra khi no? Bi 5 Cho hm s f xc nh b i f(x) = f(x + 3).f(x 3), x R . Ch ng minh f l hm tu n hon.

197. THI CH N I TUY N TON B C NINH D THI HSG QU C GIA ( 2005 2006) Ngy thi 20 -10 -2005 4 x y 2 + 2 xy + 2 y = 0 Cu 1 (4 i m) Gi i h phng trnh . 2 x + y x 1 = 0 A B C Cu 2 (4 i m) Cho ABC, tm gi tr nh nh t c a T = tan 2 + 3(tan 2 + tan 2 ) . 2 2 2 Cu 3 (4 i m) Tm t t c cc hm s f(x) xc nh v c o hm trn R , th a mn f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy, x, y R . Cu 4 (4 i m) Cho t gic ABCD n i ti p ng trn (O). Ti p tuy n c a (O) t i A v C c t nhau Q, ti p tuy n c a (O) t i B v D c t nhau P. Ch ng minh r ng P AC Q BD.
Cu 5 (4 i m) Ch ng minh r ng hai s 2005 v (2005 + 5 dng.
n n n

) c s

ch s b ng nhau v i m i n nguyn

198. THI THAM KH O HSG Bi 1 Ch ng minh phng trnh xn + px + q = 0 (p, q R, n N*) khng th c qu 2 nghi m th c n u n
ch n v khng th c qu 3 nghi m th c n u n l .

thi HSG mn Ton

Trang 158

Nguy n Vn X Bi 2 Cho hm s f(x) lin t c trn [0; 2], kh vi trn (0; 2), v |f (x)| 1, x (0; 2), f(0) = f(2) = -1. Ch ng minh r ng 1 f ( x) dx 3 .
0 2

Bi 3 Xt s h i t c a dy {un} xc nh b i u0 [0; 1], un + 1 = sin2un, n = 1, 2, 3, Bi 4 Cho f : [a; b] R lin t c v th a mn |f(x) f(y)| > x y, x [a; b], x y. Ch ng minh r ng t n t i x0 [a; b] sao cho f(x0) [a; b].
- 2006x Bi 5 Tm hm f xc nh v ng bi n (0; + ), th a mn f(x + 2006) f(x) = e , x (0; + ).

Bi 6 Cho hm f kh vi n c p 2 trn (0; + ), c lim f ( x) = 0 v |f (x)| 1, x 0; + ), Ch ng

x +

minh r ng lim f '( x) = 0.

x

Bi 7 Ch ng minh 1

1 + x 4 dx

4 . 3

Bi 8 Gi s hm f kh vi trn o n [a; b] v |f (x)| M v i m i x [a; b]. Ch ng minh r ng |f(x)| M(b a), x [a; b], v

f ( x)dx a

M (b a) 2 . 2

Bi 9 Hai hm f, g c o hm n c p hai lin t c trn o n [a; b] v f(a) = g(a) = f(b) = g(b) = 0. Ch ng minh r ng

f ( x) g ''( x)dx = f ''( x) g ( x)dx . T

a a

ch ng minh

( x a)( x b) f ''( x)dx = 2 f ( x)dx . Gi

a a

thi t no c a f, g t i a v b c th cho cng k t qu ? Bi 10 Cho a < c < b, hm f lin t c trn cc o n [a; c] v [c; b]. Ch ng minh f lin t c trn o n [a; b].

199. THI THAM KH O HSG 2001 Bi 1 Ch ng minh r ng m i nghi m c a phng trnh x = 1 2001.x u l nghi m cuat phng trnh 2001 2001 x = 1 2001(1- 2001.x ) .
Bi 2 Ch ng minh r ng v i m i ABC ta c A B C A B C 3 a) sin + sin + sin + tan + tan + tan + 3 . 2 2 2 2 2 2 2
3 3

2 b) (sin A)sin A .(sin B )sin B .(sin C )sin C > ( ) 3

Bi 3 Gi i phng trnh l ng gic 1 + sin x + 1 sin x =

7 + cos 2 x . 4 Bi 4 Trong m t ph ng Oxy cho B(- m; 0), C(m; 0) c nh, m 0. G i A l i m thay i trong m t

ph ng v th a mn i u ki n: tung c a A b ng 3 l n tung i m I l tm ng trn n i ti p ABC. Tm qu tch i m I. Bi 5 Gi i h phng trnh v b t phng trnh

thi HSG mn Ton Trang 159

Nguy n Vn X 1 1 1 1 2 2 2 8 x(2 x 2 1)(8 x 4 8 x 2 + 1) = 1 3( x + ) = 4( y + ) = 5( z + ) 32 x( x 1)(2 x 1) = 1 x y z . a) . b) x . c) 0 x 1 0 < x <1 xy + yz + zx = 1 Bi 6 Ch ng minh r ng trong m t t di n, tch c a cc c p c nh i chia cho tch cc sin c a nh di n tng ng b ng nhau (nh di n tng ng l nh di n nh n c nh lm c nh).

200. THI THAM KH O HSG Bi 1 Gi i phng trnh 1 1 35 1 + 2x 1 2x 1 1 4 3 + + = . b) + = . c) 1 2 x + 1 + 2 x = . a) 2 1 2x 1+ 2x x 12 1 1 x 1+ 1 x 1 x 1 x Bi 2 a) Cho ABC u c nh a, P v Q l hai i m di ng trn AB, AC tng ng v th a mn 1 1 3 + = . Ch ng minh r ng ng th ng PQ lun i qua i m c nh. AP AQ a
b) Cho ABC n i ti p ng trn (O), M (O). Ch ng minh r ng MA 4 + MB4 + MC4 c gi tr l h ng s khng ph thu c vo i m M. AP BP CP Bi 3 Cho O.ABC l tam di n vung nh O, i m P (ABC). t u = ,v= ,w= , v g i AO BO CO Ch ng u2 l gc gi a OP v (ABC). minh + v2 + w2 = cot2 . Bi 4 Cho t gic ABCD c B + D < A + C. G i R1, R2, R3, R4 l n l t l bn knh ng trn ngo i ti p cc tam gic ABC, BCD, CDA, DAB. CMR R1 R3 < R2 R4. Bi 5 1 yz zx xy 1) Cho x, y, z > 0. Ch ng minh r ng x cos A + y cos B + z cos C ( + + ) . 2 x z y 2) Ch ng minh r ng v i m i s th c x v m i ABC ta c 1 + x2 cosA+x(cosB+cosC) . 2 n n Bi 6 Cho n N*, cho dy g m n s (un) cho b i uk = C 2 n+ k .C 2 n k v i k = 1, 2, , n. Xt tnh n i u c a

dy s (un).

========== H T ==========

Nm thng s tri qua m t cch v v i v i nh ng ai nhn tng lai qua m t c p knh vi n v ng c a nh thng thi v ch bi t hi hoa c a hi n t i, nhng ai bi t s d ng th i gian gi ng nh m t ci cy c m i nm cao thm m t ng n, th h s c h nh phc!

thi HSG mn Ton

Trang 160