- T ă n g H ả i T u â n DIỄN ĐÀN VẬT LÍ PHỔ THÔNG http://vatliphothong.vn TĂNG HẢI TUÂNGIẢI BẤT ĐẲNG THỨCĐỀ THI HSG QUỐC GIA MÔN TOÁN 2015 Cho a, b, c là các số thực không âm. - Chứng minh rằng 3( a 2 + b 2 + c 2. - (Trích Đề thi chọn HSG quốc gia môn Toán 2015) Lời giải 1 Đầu tiên, ta sẽ chứng minh 3( a 2 + b 2 + c 2. - Bất đẳng thức trên tương đương ( a + b + c ) 2. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. - 2 Tiếp theo, ta sẽ chứng minh ( a + b + c. - Cách 1: Bất đẳng thức này tương đương ( a − b ) 2. - Như vậy, ta chỉ cần chứng minh a 2 S b + b 2 S a ≥ 0 , tức là chứng minh a 2 1 − a + b + c 2. - Bài toán được chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b,c = 0. - Cách 2: Đổi biến a,b,c bởi a 2 ,b 2 ,c 2 ta cần chứng minh ( a 2 + b 2 + c 2. - ab + bc + ca. - Theo bất đẳng thức Schur bậc 4, ta có a 4 + b 4 + c 4 + abc ( a + b + c. - Do đó ta cần chứng minh ab ( a 2 + b 2. - Bất đẳng thức này luôn đúng vì theo AM − GM thì a 2 + b 2 ≥ 2 ab, b 2 + c 2 ≥ 2 bc,c 2 + a 2 ≥ 2 ca .Bài toán được chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b,c = 0 hoặc các hoán vị của nó. - Cách 3: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương ( a + b + c. - a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4( ab + bc + ca. - Sử dụng các bất đẳng thức này và bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta được ( a + b + c. - a 2 + b 2 + c 2 = 2( ab + bc + ca. - a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2( ab + bc + ca. - Mặt khác, theo bất đẳng thức Schur bậc 3 ta có 9 abca + b + c + a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2( ab + bc + ca. - 2( ab + bc + ca. - 4( ab + bc + ca. - Bài toán được chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b,c = 0 hoặc các hoán vị của nó. - Cách 4: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương ( a + b + c. - T ă n g H ả i T u â n Do đó, ta cần chứng minh a 2 + b 2 + c 2 + 2 abc + 1 ≥ 2( ab + bc + ca. - 0 hay tương đương 2 abc + 2 c ≥ 2( bc + ca. - Từ đó, chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a 2 + b 2 + c 2 + 2 abc + 1 ≥ 2 ab + 2 abc + 2 c, hay ( a − b ) 2. - Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bài toán được chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt