TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chuyên đề 28 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

Lý thuyết chung
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
 Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc nhau.

 Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i  (1;0;0) .

 Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  (0;1; 0) .

 Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k  (0; 0;1).
 Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.
    
2. Tọa độ vectơ: Vectơ u  xi  y j  zk  u  ( x; y; z ) .
 
Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:
  
 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )  a cùng phương
   
 ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) b  a  kb (k  R)
a1  b1 a1  kb1
    a a a
 a  b  a2  b2  a2  kb2  1  2  3 , (b1 , b2 , b3  0).
a  kb b1 b2 b3
a  b 
 3 3 3 3

   2
 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3  a  a12  a22  a22  a 2  a  a12  a22  a32

     a.b a1b1  a2b2  a3b3
 a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0  cos(a , b )    
a .b a1  a22  a32 . b12  b22  b32
2


3. Tọa độ điểm: M ( x; y; z )  OM  ( x; y; z ) . Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:

 AB  ( xB  xA ; yB  yA ; zB  z A )  AB  ( xB  xA ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A ) 2
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:  Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
 x  x y  y z  z   x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC 
M A B; A B
; A B . G A B C ; A ; .
 2 2 2   3 3 3 
QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
 Điểm M ( xM ; yM ; zM )   
Chieáu vaø o Ox
 M1 ( xM ;0;0)
( Giöõ nguyeân x )
 Điểm M ( xM ; yM ; zM )     M1 ( xM ; yM ;0)
Chieá u vaø o Oxy
( Giöõ nguyeân x , y )

 Điểm M ( xM ; yM ; zM )   
Chieáu vaø o Oy
 M2 (0; yM ;0)
( Giöõ nguyeân y )
 Điểm M ( xM ; yM ; zM )     M2 (0; yM ; zM )
Chieáu vaø o Oyz
( Giöõ nguyeân y , z )

 Điểm M ( xM ; yM ; zM )   
Chieáu vaø o Oz
 M3 (0;0; zM )
( Giöõ nguyeân z )
 Điểm M ( xM ; yM ; zM )     M 3 ( xM ;0; zM )
Chieá u vaøo Oxz
( Giöõ nguyeân x , z )

Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ
 M ( xM ; yM ; zM )       
 M1 ( xM ; yM ; zM )M ( xM ; yM ; zM ) 
Ñoái xöù ng qua Ox
( Giöõ nguyeâ n x; ñoåi daáu y, z )

Ñoái xöù ng qua Oxy
 M1 ( xM ; yM ; zM )
( Giöõ nguyeân x , y; ñoåi daá u z )

 M ( xM ; yM ; zM )  
Ñoái xöù ng qua Oy
 M2 (xM ; yM ; zM )M ( xM ; yM ; zM ) 
( Giöõ nguyeân y; ñoåi daáu x , z )

Ñoái xöù ng qua Oxz
 M2 ( xM ; yM ; zM )
( Giöõ nguyeân x , z ; ñoåi daáu y )

 M ( xM ; yM ; zM )  
Ñoái xöù ng qua Oz
 M3 (xM ; yM ; zM )M ( xM ; yM ; zM ) 
( Giöõ nguyeân z; ñoå i daá u x , y )

Ñoái xöù ng qua Oyz
 M3 ( xM ; yM ; zM )
( Giöõ nguyeân y , z; ñoå i daáu x )

4. Tích có hướng của hai vectơ:

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
   
 Định nghĩa: Cho a  (a1 , a2 , a3 ) , b  (b1 , b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:
   a2 a3 a3 a1 a1 a2 
 a , b    ; ;    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
           
 Tính chất: [ a, b]  a [ a, b]  b [a, b]  a . b .sin  a , b 
    
 Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là  Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a, b và c là
      
 a, b   0 với 0  (0;0;0). [a, b].c  0.
 
 Diện tích hình bình hành  Diện tích tam giác ABC:
  1  
ABCD: S ABCD   AB, AD  . S ABC   AB, AC  .
2
   1   
 Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B ' C ' D '  [ AB, AD]. AA ' .  Thể tích tứ diện: VABCD   AB, AC  . AD .
6

Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Dạng 1.1 Một số bài toán liên quan đến vectơ, tọa độ vec tơ
Câu 1. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm
A1; 2; 3 , B 1;0;2 , C  x; y; 2 thẳng hàng. Khi đó x  y bằng
11 11
A. x  y  1 . B. x  y  17 . C. x  y   . D. x  y  .
5 5
Lời giải
 
Có AB  2; 2;5, AC   x  1; y  2;1 .
 3
x  
  x 1 y  2 1  5
A, B, C thẳng hàng  AB , AC cùng phương      x  y 1.
2 2 5  8
 y 
 5
Câu 2. (HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ
   
a   2; m  1;3 , b  1;3; 2n  . Tìm m , n để các vectơ a , b cùng hướng.
3 4
A. m  7; n   . B. m  4; n  3 . C. m  1; n  0 . D. m  7; n   .
4 3
Lời giải

2  k k  2
      3
a và b cùng hướng  a  kb  k  0   m  1  3k  m  7 . Vậy m  7; n  
3  k 2n 4
   n   3
 4
Câu 3. (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A  2; 1;5  , B  5; 5; 7  , M  x; y;1 . Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng.
A. x  4; y  7 B. x  4; y  7 C. x  4; y  7 D. x  4; y  7
Lời giải
Chọn A
 
Ta có AB   3; 4; 2  , AM   x  2; y  1; 4 

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
  x  2 y  1 4  x  4
A, B, M thẳng hàng  AB , AM cùng phương     .
3 4 2 y  7

Câu 4. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;  2;1 ,
B  0;1;2  . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là
A. M  4;  5;0 . B. M  2;  3;0  . C. M  0;0;1 . D. M  4;5;0 .
Lời giải
 
Ta có M   Oxy   M  x ; y ;0 ; AB   2;3;1 ; AM   x  2; y  2;  1 .
  x  2 y  2 1 x  4
Để A , B , M thẳng hàng thì AB và AM cùng phương, khi đó:    .
2 3 1  y  5
Vậy M  4;  5;0 .

Câu 5. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các véc tơ
      
u  2i  2 j  k , v   m;2; m  1 với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để u  v .
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Lời giải

Ta có u   2;  2;1
 2  2
Khi đó u  22   2   12  3 và v  m 2  22   m  1  2m 2  2m  5
  m  1
Do đó u  v  9  2m 2  2m  5  m 2  m  2  0  
 m  2
Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 6. (Chuyen ĐHSP Hà Nội -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp
ABCD. ABCD có A  0; 0;0  , B  a; 0;0  ; D  0; 2a;0  , A  0;0; 2a  với a  0 . Độ dài đoạn thẳng
AC là
3
A. a . B. 2 a . C. 3 a . D. a.
2
Lời giải

  

Ta có AB   a;0;0  ; AD   0;2a;0  ; AA   0;0;2a  .
    
Theo quy tắc hình hộp ta có AB  AD  AA  AC  AC    a;2a;2a  .
 2 2
Suy ra AC  AC  a 2   2a    2a   3 a .

Vậy độ dài đoạn thẳng AC  3 a .

Câu 7. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho
   
a   2;3;1 , b   1;5; 2  , c   4;  1;3 và x   3; 22;5  . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
       
A. x  2 a  3 b  c . B. x  2 a  3 b  c .
       
C. x  2 a  3 b  c . D. x  2 a  3 b  c .
Lời giải
   
Đặt: x  m. a  n. b  p. c , m, n, p   .
 2 m  n  4 p  3

  3; 22;5   m.  2;3;1  n.  1;5; 2   p.  4;  1;3  3m  5n  p  22  I  .
 m  2n  3 p  5

m  2

Giải hệ phương trình  I  ta được: n  3 .
 p  1

   
Vậy x  2 a  3 b  c .

Câu 8. (Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với:
 
AB  1;  2; 2  ; AC   3;  4; 6  . Độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC là:
29
A. 29 . B. 29 . C. . D. 2 29 .
2
Lời giải
Ta có
2 2  
AB 2  12   2   22  9 , AC 2  32   4   62  61 , AC. AB  1.3   2  4   2.6  23 .
 2   2  2  2  
 
BC  AC  AB  AC  AB  2. AC. AB  61  9  2.23  24 .
Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
AB 2  AC 2 BC 2 9  61 24
AM 2      29 .
2 4 2 4
Vậy AM  29 .
Câu 9. (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ
   
a   2;m  1;3 , b  1;3; 2n  . Tìm m , n để các vectơ a , b cùng hướng.
3 4
A. m  7 ; n   . B. m  7 ; n   . C. m  4 ; n  3 . D. m  1 ; n  0 .
4 3
Lời giải
   
Các vectơ a , b cùng hướng khi và chỉ khi tồn tại số thực dương k sao cho a  kb


2  k 2  k 2  k
  
 m  1  3k  m  1  6  m  7 .
3  k 2n
   3  2  2n  n  3
 4

Câu 10. (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình
vuông ABCD, B  3;0;8  , D  5; 4;0  . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng  Oxy  và có tọa độ là
 
những số nguyên, khi đó CA  CB bằng:

A. 10 5 . B. 6 10 . C. 10 6 . D. 5 10 .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lời giải

 12
BD   8; 4; 8   BD  12  AB  6 2.
2
Gọi M là trung điểm AB  MC  3 10 .
  
CA  CB  2CM  2CM  6 10 .

Dạng 1.2 Tìm tọa độ điểm

Câu 11. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;0;3 ,
B  2;3;  4  , C  3;1; 2  . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
A. D  4;  2;9  . B. D  4; 2;9  . C. D  4;  2;9  . D. D  4; 2;  9  .

Lời giải

Gọi D  x; y; z  . Để ABCD là hình bình hành

 x  4
  
 AB  DC  1;3;  7    3  x;1  y; 2  z    y  2  D  4;  2;9  .
z  9

Câu 12. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
A 1;0;0 , B 1;1;0 , C  0;1;1 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD (theo thứ tự các đỉnh)
là hình bình hành?
A. D  2;0;0 . B. D 1;1;1 . C. D  0;0;1 . D. D  0;2;1 .
Lời giải
Gọi D  x ; y ; z  .
 
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ AD  BC .
 
Ta có AD   x  1; y ; z  và BC   1;0;1 .

Suy ra x  0; y  0; z  1 .

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Vậy D  0;0;1 .

Câu 13. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A(1; 2; 1), B (2; 1;3) và C ( 3;5;1) . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình
hành.
A. D ( 2;8; 3) B. D (4;8; 5) C. D (2; 2;5) D. D (4;8; 3)
Lời giải
Chọn D
Gọi D ( xD ; y D ; z D ) cần tìm
 
Tứ giác ABCD là hình bình hành  AB  DC
 xB  x A  xC  xD 2  1  3  xD  xD  4
  
  yB  y A  yC  yD  1  2  5  yD   yD  8 .
z  z  z  z  
 B A C D 3  (1)  1  z D  zD  3
Suy ra: D (4;8; 3) .

Câu 14. (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz , Tam giác ABC với
A 1; 3;3 ; B  2; 4;5  , C  a; 2; b  nhận điểm G 1; c;3 làm trọng tâm của nó thì giá trị của
tổng a  b  c bằng.
A. 5 B. 3 C. 1 D. 2
Lời giải
Chọn D
 1 2  a
1  3
 a  0
 3  4  2 
c   b  1
 3 
 3 5 b c  3
3  3

Vậy a  b  c  2

Câu 15. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B 1; 2; 3 ,
 
C  7; 4; 2  Nếu điểm E thỏa nãm đẳng thức CE  2EB thì tọa độ điẻm E là:
 8 8 8 8  8  1
A.  3; ;   B.  ;3;   . C.  3;3;   D.  1; 2; 
 3 3 3 3  3  3
Lời giải
Chọn A
Gọi E  x; y; z 
 
Ta có: CE   x  7; y  4; z  2  ; 2 EB   2  2 x; 4  2 y; 6  2 z 

x  3
 x  7  2  2x 
    8
CE  2EB   y  4  4  2 y   y 
 z  2  6  2z  3
  8
 z   3

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 16. (KTNL Gia Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với
A 1; 2; 3 , B  2;5;7  , C  3;1; 4  . Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là
 8 8
A. D  6;6;0  B. D  0; ;  C. D  0;8;8 D. D  4; 2; 6 
 3 3
Lời giải
Chọn D
1  3  xD  xD  4
   
Tứ giác ABCD là hình bình hành  AB  DC  3  1  yD   yD  2
10  4  z  z  6
 D  D
Vậy D  4; 2; 6  .

Câu 17. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC có A 1; 2;0  , B  2;1; 2  ,
C  0;3; 4  . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
A. 1;0; 6  . B. 1;6;2 . C.  1;0;6  . D. 1;6; 2  .

Lời giải
       
Ta có: ABCD là hình bình hành  OA  OC  OB  OD  OD  OA  OC  OB
 xD  x A  xC  xB  xD  1  0  2
 
  yD  y A  yC  yB   yD  2  3  1  D  1;0;6  .
z  z  z  z z  0  4  2
 D A C B  D
Câu 18. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
A  3;1;  2  , B  2;  3;5  . Điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA  2 MB , tọa độ điểm M là
7 5 8 3 17 
A.  ;  ;  . B.  4;5;  9  . C.  ;  5;  . D. 1; 7;12  .
 3 3 3  2 2
Lời giải
Gọi M  x; y;z  . Vì M thuộc đoạn AB nên:
 7
x  3
3  x  2  2  x  
    5
MA  2 MB  1  y  2  3  y    y  
  3
  2  z   2  5  z   8
z  3

Câu 19. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm
 
A  0;1; 2  và B  3; 1;1 . Tìm tọa độ điểm M sao cho AM  3 AB .
A. M  9; 5;7  . B. M  9;5;7  .
C. M  9;5; 7  . D. M  9; 5; 5 .
Lời giải
 
Gọi M  x; y; z  . Ta có: AM   x; y  1; z  2  ; AB   3; 2;3 .

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
x  9 x  9
   
AM  3 AB   y  1  6   y  5 . Vậy M  9; 5;7  .
z  2  9 z  7
 
Câu 20. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm

A 1; 2; 1 , AB  1;3;1 thì tọa độ của điểm B là:
A. B  2;5;0  . B. B  0; 1; 2 . C. B  0;1; 2  . D. B  2; 5;0 

Lời giải

Gọi B  x; y; z 

x  2
 
Có A 1;2; 1 AB  1;3;1   x  1; y  2; z  1   y  5  B  2;5;0 
z  0

Câu 21. (Đề Thi Công Bằng Khtn 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết
A  1;0;1 , B   2;1; 2  và D  1;  1;1 . Tọa độ điểm C là
A.  2;0; 2  . B.  2; 2; 2  . C.  2;  2; 2  . D.  0;  2; 0  .
Lời giải
Gọi tọa độ điểm C là  x ; y ; z 
 
Vì ABCD là hình bình hành nên DC  AB
 
Ta có DC   x  1; y  1; z  1  và AB  1;1;1
 x 1  1 x  2
 
Suy ra  y  1  1   y  0
 z 1  1 z  2
 
Vậy tọa độ điểm C là  2; 0; 2  .

Câu 22. (Sở Phú Thọ -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;  2  và
8 4 8
B  ; ;  . Biết I  a; b; c  là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Giá trị a  b  c bằng
3 3 3
A. 1 B. 3 C. 2 D. 0
Lời giải
Chọn D

A B
D
   8 4 8 
Ta có OA  1; 2;  2  , OB   ; ;  , do đó OA  3, OB  4 .
3 3 3
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
 DA  OA 
Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ O , ta có DA   .DB   .DB , suy ra
DB OB
 
 3   4.OA  3.OB  12 12 
DA   DB  OD  . Do đó D  ; ; 0  .
4 7  7 7 
  5 2  15
Ta có AD   ;  ; 2   AD  .
7 7  7
 AD  5   7 
ID   .IO   IO  OI  OD  D 1; 1; 0 
AO 7 12
Do đó a  b  c  0 .
Câu 23. (Chuyên Đhsp Hà Nội -2019) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho
A  2;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0;2  . Có tất cả bao nhiêu điểm M trong không gian thỏa mãn M

không trùng với các điểm A, B, C và    CMA

AMB  BMC   90 ?
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Lời giải
Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của AB, BC , CA .
Do    CMA
AMB  BMC   90 nên các tam giác AMB, BMC , CMA vuông tại M .
AB BC AC
Khi đó IM  ; JM  ; KM  . Mặt khác AB  BC  AC  2 2 .
2 2 2
Vậy MI  MJ  MK  2 . Khi đó M thuộc trục của đường tròn ngoại tiếp đáy IJK và cách
 IJK  một khoảng không đổi là 2 . Khi đó có hai điểm M thỏa mãn điều kiện trên.
 8 4 8
Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (2; 2;1) , N  ; ;  . Tìm tọa độ tâm đường tròn nội
 3 3 3 
tiếp tam giác OMN .
A. I (1;1;1) . B. I (0;1;1) . C. I (0; 1; 1) . D. I (1;0;1) .
Lời giải
Chọn B

Ta có bài toán bài toán sau

   
Trong tam giác ABC , I là tâm đường tròn nột tiếp ABC ta có: a .IA  b.IB  c.IC  0 .

với BC  a; AC  b; AB  c .

Thật vậy:

B C
A'

Gọi A là chân đường phân giác trong kẻ từ A .

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
 c    
 BA  A C  bBA  cCA  0 1
b
 c  c  b  c    
IA  AI  AI  AI  aIA  b  c IA  0
A' B ac a
bc
         
 aIA  bIB  cIC  bBA  cCA  0  aIA  bIB  cIC  0 do 1 .
Áp dụng công thức trong tam giác OMN
   
ta được OM .IN  ON .IM  MN .IO  0


 OM .xN  ON .xM  MN .xO

 xI  0

 OM  ON  MN

 OM . y N  ON . y M  MN . yO

 yI   1.

 OM  ON  MN


 OM .z N  ON .z M  MN .z O

 zI  1

 OM  ON  MN

Vậy điểm I (0;1;1) là điểm cần tìm.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A1; 2; 1 , B 2; 1;3 ,
C 4;7;5 . Gọi D a; b; c là chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC . Giá trị của
a  b  2c bằng
A. 5 . B. 4 . C. 14 . D. 15 .
Lời giải
Chọn A

A C
D

Ta có AB  26 , BC  104  2 26 .

DA BA 1  1 
Gọi D  x; y; z  , theo tính chất phân giác ta có   . Suy ra DA   DC * .
DC BC 2 2
 
Ta có DA  1 x; 2  y; 1 z  và DC  4  x;7  y;5  z  .

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 1 
 2

1 x   4  x   x 

 2 
 3

 
  2 11 
Do đó *  
2  y   7  y   
1 11
y   D  ; ;1  a  b  2c  5 .

 2 
 3  3 3 

 
z  1
 1
1 z   5  z   


 2 



Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;3;1 và B  5; 6; 2 . Đường thẳng

AB cắt mặt phẳng  Oxz tại điểm M . Tính tỉ số A M .

BM
AM 1 AM AM 1 AM
A.  B. 2 C.  D. 3
BM 2 BM BM 3 BM
Lời giải

Chọn A
 
M  Oxz   M  x;0;z  ; AB   7;3;1  AB  59 ; AM   x  2;  3;z 1 và
 x  2  7k  x  9
   
A, B, M thẳng hàng  AM  k. AB  k     3  3k  1  k  M  9;0;0 .
 z 1  k z  0
 
 
BM   14;  6;  2 ; AM   7;  3; 1  BM  2 AB.

Câu 27. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A  2;3;1 ,
B  2;1;0  , C  3;  1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện
tích tứ giác ABCD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC .
 D  8;  7;1  D  8;7;  1
A. D  12;  1;3 . B.  . C. D  8;7;  1 . D.  .
 D 12;1;  3  D  12;  1;3
Lời giải
Chọn A

1 1 2S
Ta có: S ABCD   AD  BC  .d  A, BC   S ABCD   AD  BC  . ABC .
2 2 BC

 3S ABC 
 AD  BC  .SABC  3BC  AD  BC  AD  2BC .
BC
 
Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên AD  2 BC 1 .
 
BC   5;  2;1 , AD   xD  2; yD  3; z D  1 .
 xD  2  10  xD  12
1   yD  3  4   yD  1 .

z 1  2 z  3
 D  D
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Vậy D  12;  1;3 .

Câu 28. (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình thang
ABCD vuông tại A và B . Ba đỉnh A(1;2;1) , B(2;0; 1) , C (6;1;0) Hình thang có diện tích bằng
6 2 . Giả sử đỉnh D(a; b; c) , tìm mệnh đề đúng?
A. a  b  c  6 . B. a  b  c  5 .C. a  b  c  8 . D. a  b  c  7 .
Lời giải
   
Ta có AB  1; 2; 2   AB  3 ; BC   4;1;1  BC  3 2 .

Theo giả thiết ABCD là hình thang vuông tại A và B và có diện tích bằng 6 2 nên
1 1 1
2 2
 
AB  AD  BC   6 2  .3. AD  3 2  6 2  AD  2  AD  BC .
3
 1 
Do ABCD là hình thang vuông tại A và B nên AD  BC .
3
 4  7
a  1  3 a  3
 
 1  7
Giả sử D(a; b; c) khi đó ta có b  2   b   a  b  c  6 .
 3  3
 1  4
c  1  3 c  3
 
Câu 29. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp
ABCD. ABC D . Biết A  2; 4;0  , B  4;0;0  , C  1; 4;  7  và D  6;8;10  . Tọa độ điểm B là
A. B  8; 4;10  . B. B  6;12; 0  . C. B 10;8; 6  . D. B 13;0;17  .
Lời giải
A' B'

C'
D'(6; 8; 10)

A(2; 4; 0)
O B(4; 0; 0)

D C(-1; 4;-7)

Giả sử D  a; b; c  , B  a; b; c

a  3
1 7  
Gọi O  AC  BD  O  ; 4;   b  8 .
2 2  
c  7

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
 
Vậy DD   9;0;17  , BB   a  4; b; c  . Do ABCD. ABC D là hình hộp nên
a  13
  
DD  BB  b  0 . Vậy B 13;0;17  .
c  17

Câu 30. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp
ABCD. ABCD có A 1;0;1 , B  2;1; 2  , D 1;  1;1 , C   4;5;  5  . Tính tọa độ đỉnh A của hình
hộp.
A. A  4;6;  5 . B. A  2;0; 2  . C. A  3;5;  6  . D. A  3; 4;  6  .
Lời giải
   
Theo quy tắc hình hộp ta có: AB  AD  AA  AC  .
   
Suy ra AA  AC  AB  AD .
  
Lại có: AC    3;5;  6  , AB  1;1;1 , AD   0;  1; 0  .

Do đó: AA   2;5;  7  .
Suy ra A  3;5;  6  .

Câu 31. (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp
ABCD. ABC D có A  0; 0; 0  , B  3; 0; 0  , D  0; 3; 0  , D  0; 3;  3  . Toạ độ trọng tâm tam
giác ABC là
A. 1; 1;  2  . B.  2; 1;  2  . C. 1; 2;  1 . D.  2; 1;  1 .
Lời giải
D
C

A
B
D
C

A B
 
Cách 1: Ta có AB   3; 0; 0  . Gọi C  x; y; z   DC   x; y  3; z 
 
ABCD là hình bình hành  AB  DC   x; y; z    3; 3; 0  C  3; 3; 0 
 
Ta có AD   0; 3; 0  . Gọi A  x; y; z   AD    x; 3  y;  3  z  
 
ADDA là hình bình hành  AD  AD   x; y; z     0; 0;  3  A  0; 0;  3

Gọi B  x0 ; y0 ; z0   AB   x0 ; y0 ; z0  3 
 
ABBA là hình bình hành  AB  AB   x0 ; y0 ; z0    3; 0;  3  B  3; 0;  3
 033
 xG  3
2

 003
G là trọng tâm tam giác ABC   yG   1  G  2; 1;  2  .
 3
 3  3  0
 zG  3
 2


Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
3 3 3
Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD .Ta có I  ; ;   .Gọi G  a; b; c  là trọng tâm
2 2 2
tam giác ABC
3  3
  3 a  
   3 3 3  
2  2
DI   ;  ;   a  2
  
 2 2 2  3  3 
Ta có: DI  3 IG với  . Do đó:   3  b    b  1 .
 
 IG  a  3 ; b  3 ; c  3   2  2  c  2
    
 2 2 2 3  3
  3  c  
 2  2
Vậy G  2;1;  2  .

Câu 32. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A 1; 2;  1 , B  2;  1;3 , C  4;7;5  . Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác
ABC là
 2 11   11   2 11 1 
A.   ; ;1 . B.  ;  2;1 . C.  ; ;  . D.  2;11;1 .
 3 3  3   3 3 3
Lời giải
   
Ta có: BA   1;  3; 4   BA  26; BC   6;8; 2   BC  2 26 .
Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác ABC
DA BA    2 11 
Suy ra :   DC  2 DA  D   ; ;1 .
DC BC  3 3 
Câu 33. (Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
   
OA  2i  2 j  2k , B  2; 2;0  và C  4;1;  1 . Trên mặt phẳng  Oxz  , điểm nào dưới đây cách
đều ba điểm A , B , C .
3 1  3 1  3 1   3 1
A. M  ; 0;  . B. N  ; 0; . C. P  ; 0; . D. Q  ; 0;  .
4 2  4 2  4 2   4 2
Lời giải
3 21
Ta có: A  2; 2; 2  và PA  PB  PC  .
4
Câu 34. (SGD Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A 1;3; 1 , B  3; 1;5  .
 
Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức MA  3MB .
 5 13  7 1  7 1 
A. M  ; ;1 . B. M  ; ;3  . C. M  ; ;3 . D. M  4; 3;8 .
3 3  3 3  3 3 
Lời giải
 x A  3 xB
 xM  1  3  4
   y  3 yB
Ta có MA  3MB   yM  A  3  M  4; 3;8  .
 1 3
 z A  3zB
 zM  1  3  8


Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 35. (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABC D ,
biết rằng A  3;0; 0  , B  0; 2; 0  , D  0;0;1 , A 1; 2;3 . Tìm tọa độ điểm C  .
A. C  10; 4; 4  . B. C   13; 4; 4  . C. C  13; 4; 4  . D. C   7; 4; 4  .
Lời giải
A' B'

D' C'

A B

D C
  
Gọi C   x; y; z  . Ta có AB   3; 2;0  ; AD   3;0;1 ; AA   4; 2;3 .
 x  10  3
     
Mà AC   AB  AD  AA  AC   10; 4; 4    y  4  0  C  13; 4; 4  .
z  4  0

Câu 36. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
A  0;2; 2  , B  2;2; 4  . Giả sử I  a; b; c  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB . Tính
T  a 2  b2  c 2 .
A. T  8 . B. T  2 . C. T  6 . D. T  14 .
Lời giải
 
Ta có OA   0; 2; 2  , OB   2; 2; 4  .  OAB  có phương trình: x  y  z  0
I   OAB   a  b  c  0 .
  
AI   a; b  2; c  2  , BI   a  2; b  2; c  4  , OI   a; b; c  .

 AI  BI a 2   c  2 2   a  2 2   c  4 2 a  c  4
Ta có hệ   2 2

 AI  OI 2
 b  2    c  2   b  c
2
b  c  2
a  c  4 a  2
 a  c  4 
Ta có hệ  b  c  2    b  0 .
a  b  c  0 b  c  2  c  2
 
Vậy I  2; 0; 2   T  a 2  b2  c 2  8

Câu 37. (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
 
A  4; 2; 1 , B  2;  1; 4  . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn đẳng thức AM  2 MB .
A. M  0;0;3 . B. M (0;0; 3) . C. M (8; 4;7) . D. M (8; 4; 7) .
Lời giải
 x  4  2  2  x  x  0
   
Gọi điểm M  x; y; z  . Khi đó: AM  2 MB   y  2  2  1  y    y  0 .
 z  3
z 1  2  4  z  

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Vậy M  0;0;3 .

Câu 38. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm
A  2;3;1 , B  2;1; 0  , C  3;  1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy
AD và S ABCD  3S ABC
 D  8;  7;1  D  8;7;  1
A. D  8;7;  1 . B.  . C.  . D. D  12;  1;3 .
 D 12;1;  3  D  12;  1;3
Lời giải
1 1 2S
Ta có: S ABCD   AD  BC  .d  A, BC   S ABCD   AD  BC  . ABC .
2 2 BC

 3S ABC 
 AD  BC  .SABC  3BC  AD  BC  AD  2 BC .
BC
 
Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên AD  2 BC 1 .
 
BC   5;  2;1 , AD   xD  2; yD  3; zD  1 .
 xD  2  10  xD  12
1   yD  3  4   yD  1 .

z 1  2 z  3
 D  D
Vậy D  12;  1;3 .

Dạng 2. Tích vô hướng, tích có hướng và ứng dụng

Dạng 2.1 Tích vô hướng và ứng dụng
Câu 1. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M  2;3;  1 , N  1;1;1 và
P 1; m  1; 2  . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
A. m  2 B. m  6 C. m  0 D. m  4
Lời giải
Chọn C
 
MN  3; 2; 2  ; NP  2; m  2;1 .
 
Tam giác MNP vuông tại N  MN .NP  0  6  2  m  2   2  0  m  2  2  m  0 .

Câu 2. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz cho các điểm
A  5;1;5  ; B  4;3; 2  ; C  3; 2;1 . Điểm I  a; b; c  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Tính a  2b  c ?
A. 1 . B. 3. C. 6. D. 9.
Lời giải

 AB   1; 2; 3  
Ta có    AB.BC  0  tam giác ABC vuông tại B .
 BC   7; 5; 1
 tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC .
 1 
 I 1;  ;3  . Vậy a  2b  c  3.
 2 

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 3. (HSG Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ
   
u  1;1; 2  , v  1;0; m  . Tìm tất cả giá trị của m để góc giữa u , v bằng 45 .
A. m  2 . B. m  2  6 . C. m  2  6 . D. m  2  6 .
Lời giải

    2 u.v 2 1  2m 1
   
+ u , v  45  cos u , v 
2
   
u.v 2

6. 1  m 2

2
 
 3 m 2  1  1  2m

 1
1  2m  0 m 
 2 2
 2  m  2 6.
3m  3  1  4m  4m  m 2  4m  2  0


Câu 4. (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho các vec tơ a   5;3; 2  và
  
b   m; 1; m  3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để góc giữa hai vec tơ a và b là
góc tù?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 5.
Lời giải
Chọn A
 
  a. b 3m  9
 
Ta có cos a; b    
a.b 38. 2m 2  6m  10
.

   
 
Góc giữa hai vec tơ a và b là góc tù khi và chỉ khi cos a; b  0  3m  9  0  m  3 .

Vì m nguyên dương nên m  1; 2 . Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
   
Câu 5. Biết c   x; y; z  khác 0 và vuông góc với cả hai vectơ a  1;3; 4  , b   1; 2;3 . Khẳng định nào
đúng?
A. 5 z  x  0 . B. 7 x  y  0 . C. 5 z  x  0 . D. 7 x  y  0 .
Lời giải
Chọn D
   
Theo giả thiết ta có c   x; y; z  khác 0 và vuông góc với cả hai vectơ a  1;3; 4  , b   1; 2;3
nên
 
c . a  0 1 x  3 y  4 z  0 1 x  3 y  4 z  0
   
c . b  0  1 x  2 y  3 z  0 5 y  7 z  0
 5
1 x  3 y  4. 7 y  0 7 x  y  0
  
 z  5 y 5 y  7 z  0
 7

Câu 6. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A  2;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0; 2  . Có tất cả bao nhiêu điểm
M trong không gian thỏa mãn M không trùng với các điểm A, B , C và
   CMA
AMB  BMC   90
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Lời giải
Chọn C

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
 
 AM .BM  0
  
Gọi M  x ; y ; z  .Ta có:    90   BM .CM  0
  CMA
AMB  BMC 
  
CM . AM  0
 x  x  2  y  y  2  z2  0  x2  y2  z 2  2 x  2 y  0  x2  y 2  z 2  2 x  2 y  0
 2  2 
  x  y  y  2  z  z  2  0   x  y2  z 2  2 y  2z  0   x  z
 2  x2  y2  z 2  2 x  2 z  0 y  z
 x  x  2   y  z  z  2   0  
 M  0;0;0 
3 x 2  4 x  0 
   4 4 4.
x  y  z M ; ;
  3 3 3 
 
Câu 7. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u và v
   
tạo với nhau một góc 120 và u  2 , v  5 . Tính u  v

A. 19 . B. 5 . C. 7 . D. 39 .
Lời giải
  2   2 2   2  2     2

Ta có : u  v    uv   
 u  2uv  v  u  2 u . v cos u; v  v

 1
 22  2.2.5.     52  19 .
 2
 
Suy ra u  v  19 .

Câu 8. (THPT Trần Nhân Tông - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
M  2;3;  1 , N  1;1;1 và P 1; m  1; 2  . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
A. m  6 . B. m  0 . C. m  4 . D. m  2 .
Lời giải
Ta có
 
NM   3; 2;  2  , NP   2; m  2;1 .
 
Tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi NM .NP  0
 3.2  2.  m  2   2.1  0  m  0 .
Vậy giá trị cần tìm của m là m  0 .
Dạng 2.2 Tích có hướng và ứng dụng
Câu 9. (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A  2; 0; 2  , B 1; 1; 2  , C  1;1;0  ,
D  2;1; 2  . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng
42 14 21 7
A. . B. . C. . D. .
3 3 3 3
Lời giải
  
AC   3;1; 2  ; AB   1; 1; 4  ; AD   4;1;0  .
 
 AB, AC    6; 10; 4  .
 
1    1 7
Thể tích khối tứ diện là: V  .  AB, AC  . AD  14  .
6 6 3

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
 
Câu 10. (SGD Cần Thơ - 2018) Trong không gian Oxyz , cho các vectơ a   5;3; 1 , b  1; 2;1 ,
   
c   m;3; 1 . Giá trị của m sao cho a  b, c  là
A. m  1 . B. m  2 . C. m  1 . D. m  2 .
Lời giải
 
b, c    5; m  1;3  2m 
 
   m  1  3
Ta có: a  b, c     m  2.
3  2m  1

Câu 11. (SGD - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ m   4;3;1 ,
     
n   0; 0;1 . Gọi p là vectơ cùng hướng với  m, n  (tích có hướng của hai vectơ m và n ). Biết
 
p  15 , tìm tọa độ vectơ p .
   
A. p   9; 12;0  . B. p   45; 60;0  . C. p   0;9; 12  . D. p   0; 45; 60  .
Lời giải
 
Ta có :  m; n    3; 4;0 
     
Do p là vectơ cùng hướng với  m; n  nên p  k  m; n  , k  0
   
   
Mặt khác: p  15  k .  m, n   15  k .5  15  k  3 . Vậy p   9; 12;0  .

Câu 12. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
A  0;  2; 2  a  ; B  a  3;  1;1 ; C  4;  3;0  ; D  1;  2; a  1 . Tập hợp các giá trị của a để bốn
điểm A , B , C , D đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
A.  7;  2 . B.  3;6 .C.  5;8 . D.  2;2 .
Lời giải
  
Ta có AB  a  3;1;a  1 , AC  4;  1;a  2  , AD  1; 0; 2a  3 .
 
 AB, AC    2a  3;  a 2  5a  10;  a  1 .
 
Để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng:
   a  0
 AB, AC  . AD  0  2a  3   2a  3 .  a  1  0   .
  a  3
 2
Câu 13. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD biết
A  3;  2; m  , B  2;0;0  , C  0; 4;0  , D  0;0;3 . Tìm giá trị dương của tham số m để thể tích tứ
diện bằng 8.
A. m  8 . B. m  4 . C. m  12 . D. m  6 .
Lời giải
  
Ta có: DA   3;  2 ; m  3  , DB   2; 0;  3  , DC   0; 4;  3  .
1    1  m  6
Thể tích tứ diện: V  DB , DC  .DA  8  24  8  m  3   .
 
6 6 m  6
Vì m dương nên m  6. Do đó chọn D.

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 14. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
   
u  1;1; 2  , v   1; m; m  2  . Khi u, v   14 thì
11 11
A. m  1 hoặc m   B. m  1 hoặc m  
5 3
C. m  1 hoặc m  3 D. m  1
Lời giải
Chọn C
   
u , v     m  2;  m; m  1  u , v    m  2  2  m 2   m  12  3m 2  6m  5
   
  m  1
u , v   14  3m 2  6m  5  14  3m 2  6m  9  0   .
 m  3
Câu 15. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD
có A  2; 1;1 , B  3;0; 1 , C  2; 1; 3 , D  Oy và có thể tích bằng 5 . Tính tổng tung độ của các
điểm D .
A. 6 B. 2 C. 7 D. 4
Lời giải
Chọn A.
  
Do D  Oy  D  0; y;0 , khi đó: DA   2; 1  y;1 , DB   3;  y; 1 , DC   2; 1  y;3 .
 
Khi đó  DA, DB   1  2 y;5; y  3
1     2 y  6  30  y  12
Và VABCD   DA, DB  .DC  5    .
6  2 y  6  30  y  18
Vậy y1  y2  12  18  6 .

Câu 16. (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 2;0 ,
B 1;0; 1 , C 0; 1; 2 , D 2; m; n . Trong các hệ thức liên hệ giữa m và n dưới đây, hệ thức
nào để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng?
A. 2m  n  13 . B. 2m  n  13 . C. m  2n  13 . D. 2m  3n  10 .
Lời giải
Ta tính
    
AB  0; 2; 1; AC  1;1; 2; AD  3; m  2; n ;  AB, AC   5;1; 2
 
  
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  . AD  0  m  2n  13
 
  
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ m   4 ; 3 ;1 và n   0 ; 0 ; 1 . Gọi p là véc tơ cùng
   
hướng với  m , n  và p  15 . Tọa độ của véc tơ p là

A.  9 ;  12 ; 0  . B.  0 ; 9 ; 12  . C.  9 ; 12 ; 0  . D.  0 ; 9 ; 12  .
Lời giải
 
Ta có:  m , n    3 ;  4 ; 0  .
     
Vì p là véc tơ cùng hướng với  m , n  nên p  k .  m ,
   n    3k ;  4k ; 0  , k  0 .
  k  3
Ta có: p  15  9k 2  16k 2  15   .
k  3

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

So sánh với điều kiện k  0  k  3  p   9 ;  12 ; 0  .

Câu 18. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm
A  0;  2;1 ; B 1;0;  2  ; C  3;1;  2  ; D  2;  2;  1 . Câu nào sau đây sai?
A. Bốn điểm A, B , C , D không đồng phẳng. B. Tam giác ACD là tam giác vuông tại A .
 
C. Góc giữa hai véctơ AB và CD là góc tù. D. Tam giác ABD là tam giác cân tại B .
Lời giải
 
AB  1; 2;  3  ; CD   5;  3;1
 
AC   3;3;  3  ; BD   3;  2;1

AD   2; 0;  2 
    
Ta có:  AB, AC    3;  6;  3   AB, AC  . AD   2  .3  0.6   2  3  0 .
  
 AB , AC , AD đồng phẳng hay bốn điểm A, B , C , D đồng phẳng. Vậy đáp án A sai.
 
Lại có AC . AD  3.  2   3.0   3  .  2   0  AC  AD .
 tam giác ACD là tam giác vuông tại A . Vậy đáp án B đúng.
     
 
Mặt khác: AB.CD  1.  5   2.  3   3 .1  14  0  cos AB, CD  0  AB, CD là góc tù.  
Vậy đáp án C đúng.
 
AB  BD  14 hay AB  BD  tam giác ABD là tam giác cân tại B . Vậy đáp án D đúng.

Câu 19. (THPT Lương Thế Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  2;3;1 , B  2;1;0  ,
C  3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S ABCD  3S ABC .
 D  8; 7;1  D  8; 7; 1
A. D  8;7; 1 . B.  . C.  . D. D  12; 1;3 .
 D 12;1; 3  D  12; 1;3
Lời giải

Ta có AD //BC  AD nhận CB   5; 2; 1 là một VTCP.

 x  2  5t

Kết hợp với AD qua A  2;3;1  AD :  y  3  2t  t     D  5t  2; 2t  3;1  t  .
z  1 t


Biến đổi S ABCD  3S ABC  S ACD  2 S ABC 1


 AB   4; 2; 1  
    AB; AC    4;1; 18 
 
Ta có  AC   1; 4;0     
    AC ; AD    4t; t;18t 
 AD   5t ; 2t ;  t 
 1   1 2 2 341
 S ABC   AB; AC    4   12   18  
 2 2 2

 1   1 2 2 2 t 341
 
 S ACD  2  AC ; AD   2  4t    t   18t  
2

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
t 341 t  2  D  8;7; 1
Kết hợp với 1 ta được  341  
2 t  2  D  12; 1;3
  
Với D  8;7; 1  AD  10; 4; 2   2CB  2 BC .
  
Với D  12; 1;3  AD   10; 4; 2   2CB  2 BC .
 
Hình thang ABCD có đáy AD thì AD  k BC với k  0 .

Do đó chỉ có D  12; 1;3 thỏa mãn.

Câu 20. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  0; 0; 2  ,
B  3; 0;5  , C 1;1; 0  , A  4;1; 2  . Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt
phẳng ABC là
11
A. . B. 1 . C. 11 . D. 11 .
11
Lời giải
Chọn A
Gọi DH là độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC .
1   
Công thức tính thể tích tứ diện ABCD là: VABCD   AB, AC  . AD .
6
1  
Công thức tính diện tích tam giác S ABC là: S ABC   AB, AC  .
2
1
Mặt khác VABCD   S ABC  DH nên
3
  
1    1 1    AB, AC  . AD
 AB, AC  . AD     AB, AC   DH  DH     

6  3 2    AB, AC 
 
Ta có:
  
AB   3; 0;3  ; AC  1;1; 2  ; AD   4;1; 0 
    
  AB, AC    3;9;3  ;  AB , AC  . AD  3.
  
 AB, AC  . AD 3 11
 
Nên DH      
 AB, AC    3 
2
 9 2
 3 2 11
 
Câu 21. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
A  0;  2; 2  a  ; B  a  3;  1;1 ; C  4;  3;0  ; D  1;  2; a  1 . Tập hợp các giá trị của a để bốn
điểm A , B , C , D đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
A.  7;  2 . B.  3;6 .C.  5;8 . D.  2;2 .
Lời giải
  
Ta có AB  a  3;1; a  1 , AC  4;  1; a  2  , AD  1; 0; 2a  3 .
 
 AB, AC    2a  3;  a 2  5a  10;  a  1 .
 
Để bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng:

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
   a  0
 AB, AC  . AD  0  2a  3   2a  3 .  a  1  0   .
  a  3
 2

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI

https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong

Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN) 
https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber

Tải nhiều tài liệu hơn tại: http://diendangiaovientoan.vn/

ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23