Professional Documents
Culture Documents
Phương pháp: Tìm các điểm x0 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử
⇒ x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) Tiệm cận ngang: lim
x →±∞
y = y0 ⇒ y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
6 6
Kết quả: − ≤m≤
6 6
b) y = mx 3 − ( 2m − 1) x 2 + ( m − 2 ) x − 2 đồng biến trên tập xác định.
Kết quả: không có m.
1
c)y = − mx 3 + mx 2 − x + 3 nghịch biến trên tập xác định. Kết quả: 0 ≤ m ≤ 1
3
x 2 + mx − 5 4
d) y = nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh. Kết quả: m ≤ −
3− x 3
Bài 4: Định m để hàm số y = x − 3mx + ( m − 1) x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 .
3 2 2
Kết quả : m = 1
Bài 5: Định m để hàm số y = x − 3 x + 3mx + 3m + 4 :
3 2
min
−1
y = f (0) = −1
[ ;1]
2
Bài 10: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:
2x −1 x2 − x − 2
a) y= b) y =
( x − 1)
2
x+2
x 2 + 3x 3− x
c) y= 2 d) y = 2
x −4 x − 4x + 3
x +1 x2 − 2 x + 4
e) y= f) y =
x2 + 3 x −3
Kết quả:
Câu a) b) c) d) e) f)
Tiệm cận đứng x = −2 x =1 x = ±2 x =1 Không có x=3
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M o ( −2; −4 ) . Kết quả: y = 9 x + 14 .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = 24 x + 2009 ( d ) . Kết quả:
y = 24 x + 52; y = 24 x − 56 .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
1
y = x − 2009 (d ') . Kết quả: y = −3 x − 2 .
3
5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
6. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 − 3 x + 6m − 3 = 0 .
Bài 12: Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x.
( )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình
y ′′ = 0 . Kết quả: y = −3 x + 8 .
3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y = x + m2 − m đi qua trung điểm của đoạn
m = 0
thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị ( C) . Kết quả: m = 1 .
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng x = 2; x = 1 .
13
Kết quả: S hp = .
4
Bài 13: Cho hàm số y = x − 3 x − 1(C )
3
3. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng x = 0; x = 2 . Tính diện
tích (H).
4. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh trục Ox.
a = 1;
0
a = n;
−n
a = n am
n
a
* Tính chất của lũy thừa:
n
a a
n
(a )
n
a .a = a =a = n
m n m+n m mn
; ; ;
b b
am
( ab )
n
= a m−n ; = a n .b n
a n
( x ) ' = α .x
α α −1
( u ) ' = α .u
α α −1
.u '
( ) 1
( ) u'
' '
x = u =
2 x 2 u
( sin x ) ( sin u )
' '
= cos x = u '.cos u
( cos x ) ( cos u )
' '
= − sin x = −u '.sin u
1 u'
( tan x ) ( tan u )
' '
= =
cos 2 x cos 2 u
1 u'
( cot x ) = − 2 ( cot u ) = − 2
' '
sin x sin u
(e ) (e )
' '
x
= ex u
= u '.eu
(a ) (a )
' '
x
= a x .ln a u
= u '.a u .ln a
1 u'
( ln x ) ( ln u )
' '
= =
x u
1 u'
( log a x ) = ( log a u ) =
' '
x.ln a u.ln a
5) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit:
HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Dạng y = xα ( α tùy ý) y = a x ( 0 < a ≠ 1) y = log a x ( 0 < a ≠ 1 )
Chú ý:
a > 0 : a x > 0, ∀x
Điều kiện + α ∈ Z + : có nghĩa
*
có nghĩa ∀x có nghĩa với x > 0
của x để hs
với mọi x.
có nghĩa:
+ α ∈ Z − : có nghĩa
với x ≠ 0 .
+ α ∉ Z : có nghĩa
với x > 0
Đạo hàm
Sự biến thiên α >0 α <0 a >1 0 < a <1 a >1 0 < a <1
Hàm số đb Hàm số Hàm số đb Hàm số nb Hàm số đb Hàm số nb
trên nb trên trên D trên D trên D trên D
(0; +∞) (0; +∞)
Đồ thị Luôn qua điểm ( 1;1) . Nằm hoàn toàn phía Nằm hoàn toàn phía bên phải
trên trục hoành và luôn trục tung và luôn qua hai
qua hai điểm A(0;1) điểm A(1;0) và B ( a;1) .
và B (1; a) .
7) Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit: phương pháp tương tự như phương pháp
giải phương trình mũ và logarit nhưng ta cần xét a (khi sử dụng phương pháp mũ hóa hoặc lôgarit
hóa) để xác định chiều của bất phương trình.
Chú ý:
• Khi giải pt, bất phương trình mũ cơ bản ta phải xét b.
• Khi giải pt, bất phương trình logarit ta cần đặt điều kiện xác định của phương trình.
II. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
LUỸ THỪA
Dạng 1: Thu gọn một biểu thức
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
−0,75
1
2
a) A = 27 +
3
− 250,5 KQ: A = 12
16
1 2 4 31
B = 0,008 − ( −2 ) .64 − 8 + ( 90 ) B=
− −2 − 2
b) 3 3 3 KQ:
16
1
15
C = 3 5 : 2 : 16 : 5 .2 .3
3 5 −7 1 1 1 2
c) 2 3 4 3 4 2 KQ: C=
2
4 5 3
2 −2
−1 1 149
d) D = ( 0, 25 ) + 25 : KQ: D=
4 3 4 20
25.2−3 + 5−3 : 5−4
e) E = 2 KQ: E =3
8 3 − (0, 25)0
1
f) F = a −2 3 : a ( 3 −1) 2
KQ: F=
a4
( 3 +1)2
1
g) G=4 3+2
. KQ: G =1
2
Bài 2: Biến đổi thành dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
3 2 3
e) E = 3 3 9 27 3
KQ:
5 7 3 7 9
A=b 8
B=a 4
C=2 10
2 18 E =3 8
D=
3
Dạng 2: So sánh hai lũy thừa
Bài 3 : So sánh
π 2
( ) ( )
2 3 − 2 3
− −
a/ 3 −1 3
và 3 −1 4
b/ và
2 π
−4 −4
2 3
c/ và d/ 2300 và 3200
3 4
LOGARIT
Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức có chứa logarit
Bài 4: Tính logarit của một số
1
A = log24 B= log1/44 C = log 5
25
D = log279 E = log 4 4 8 F = log 1 3 9
3
34 3 3
G = log 1 5 H = log 1 3 I = log16 (2 3 2)
2 2 8 27 3
J = log 2 0,5 4 K = log a a 3
L = log 1 (a 2 5 a 3 )
a
KQ:
A=2 B = −1 C = −2 2 3 2
D= E= F =−
3 8 3
28 7 1 J =2 1 26
G= H =− I= K= L=−
15 18 3 3 5
Baøi 5 : Tính luyõ thöøa cuûa logarit cuûa moät soá
A = 4log 3 B = 27 log 3 C =9
2 9
log 3
2
2log 5
3
3
1
D=
2
E = 8 2
log 10
F = 21+log 70 2 2
2
G = 23−4log 3 8
H = 9log 2+3log 5 3 3
I = (2a)
log 1
( a > 0)a
J = 27 log 2−3log 5 3 3
1
C = log 2 log 25 3 2 D = log 3 6log 8 9log 6 2
5
log 2 30
E = log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log 8 7 F=
log 4 30
.49log 2
1 1
G = log 1 7 + 2log 9 49 − log 3 27 − log 4
H = 814 2 + 25log
9
125 8
7
3
A = 12 B = −8 1 2 1 F = 2 G = −6 + log 3 7 H = 19
C=− D= E = log 6 7
12 3 3
HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bài 7: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
π
y = ( x2 − 6 x + 8)
2
y = ( x − 4 x 2 + 3) 2 y = ( x2 + x − 6)
−3 −
a) b) c) 3
( ) y = log ( x 2 + 3 x + 2 )
1
y = ( x − 3x + 2 x )
ln − x 2 + 5 x + 6
d) 3 2 4 e) y=e f)
3 1− x
y = log 2 y = log 3 ( 2 − x ) y = log
2
g) h) i) j)
10 − x 2
1+ x
2x − 3
y= k) y = log 1 −x2 + 4x + 5 l) y = 2e 2 x + e x − 3
log 5 ( x − 2) 2
KQ:
a) R \ { 2; 4} b) c) d)
3 ( −∞; −3) ∪ ( 2; +∞ ) ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ )
−∞; − ∪ ( 1; +∞ )
4
e) ( −1;6 ) f) g) ( −∞;10 ) h) R \ { 2}
( −∞; −2 ) ∪ ( −1; +∞ )
i) ( −1;1) j) ( 2; +∞ ) \ { 3} k) ( −1;5) l) [ 0; +∞ )
Dạng 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = e x .sin 3x b) y = ( 2 x 2 − 3x − 4 ) .e x c) y = sin e x
(
y = cos e x − 2 x +1 ) 1 x2 − 1
2
d) e) y = 32 x+5.e − x + f) y=
3x 4x
KQ:
a) e x .sin 3 x + 3.e x .cos3 x b) ( 2x 2
+ x − 7 ) .e x c) e x .cos e x
d) e) f)
ln x
y=
x2
KQ:
a) 1 + ln x b) 2 x ln x 1
c)
1 + x2
2x 4ln ( 2 x − 1) 1 − 2ln x
d) e) f)
( x − 1) .ln 3
2
2x −1 x3
Dạng 3: Chứng minh một đẳng thức có chứa đạo hàm
Bài 10: Chứng minh hàm số sau thỏa hệ thức:
a) y = ( x + 1)e thỏa y ′ − y = e
x x
1
y = ln thỏa xy ′ + 1 = e
y
b)
x +1
c) y = e + 2e − x thỏa y ′′′ − 13 y ′ − 12 y = 0
4x
c) 32 x −3 = 9 x +3 x −5 = 41−3 x
2 2
x − x +8
d) 2
x +5
1 x +17
e) 52 x +1 − 3.52 x −1 = 110 f) 32 x −7
= .128 x −3
4
2 x + 2 x −1 + 2 x − 2 = 3x − 3x −1 + 3x− 2 h) (1,25) = (0,64) 2(1+
1–x x)
g)
x x
2 9 27
i) . = j) 3x −1 = 6 x.2− x.3x +1
3 8 64
KQ:
14 b) { −1;7} c) d) { −2; −3} e) { 1}
a) −2 ± 3 2
3
2
95 g) { 2} h) { 25} i) { 3} j) { −2}
f)
13
Bài 12 : Giải các phương trình sau:
a) 22x + 6 + 2x + 7 = 17 b) 32 x +1 − 9.3x + 6 = 0
(4− ) ( ) ( ) +( )
x x x x
i) 15 + 4 + 15 =2 j) 5+2 6 5−2 6 = 10
k) 12.9 x − 35.6 x + 18.4 x = 0 * l) 9 x + 2 ( x − 2 ) 3x + 2 x − 5 = 0
KQ:
a) { −3} b) { 0;log 2} 3 c) { 1;log 2} 7 d) { −1; 2}
3 f) { 0} g) { −1} h) { 4}
e) −1; −
2
i) { 0} j) { ±2} k) { −1; 2} l) { 1}
Bài 13: Giải các phương trình sau:
a) log 2 x + log 2 x + 1 = 1 ( ) b) log 2 ( 3 − x ) + log 2 ( 1 − x ) = 3
log ( x + 1) − log ( 1 − x ) = log ( 2 x + 3) d)
c)
log 4 ( x + 2 ) − log 4 ( x − 2 ) = 2log 4 6
e) log4x + log2x + 2log16x = 5 f) log 3 ( x + 2 ) + log 3 ( x − 2 ) = log 3 5
1
h) log 2 x + 6log 4 x = 4
2
g) log3x = log9(4x + 5) +
2
i) log 2 ( x − 1) + log 2 ( x − 1) = 7
2 2 3
j)
log 2 ( 9 x −2 + 7 ) − 2 = log 2 ( 3x −2 + 1)
1 2 log 2 2 x + 3log 2 x + log 1 x = 2
k) + =1 l)
4 − ln x 2 + ln x 2
l)
1
; 2
i) 3; + 1 2
2
m) { 3;81} n) { 2} o) { 0; −1} p) { 4}
21− x − 2 x + 1
i) 5 x − 3x +1 > 2 ( 5 x −1 − 3x − 2 ) j) ≤0
2x − 1
a) ( −∞;0] ∪ [ log5 2; +∞ ) b) ( 2; +∞ ) c) ( −3; +∞ ) d) [ 0;1] e) ( 1; +∞ )
f) g) ( 0; +∞ ) 1 i) ( 3; +∞ ) j) [ 1; +∞ )
( −∞;0 ) ∪ ( log 4
3; +∞ ) h) 0;
2
Bài 16: Giải các bất phương trình sau:
a) log 4 ( x + 7 ) > log 4 ( 1 − x ) b) log 2 ( x 2 − 4 x − 5 ) ≤ 4
c) log 2 ( x + 5 ) < log 2 ( 3 − 2 x ) − 4 d) log 1 ( log 3 x ) ≤ 0
2
2 2 − 3x
e) 2log 8 ( x − 2 ) − log 8 ( x − 3) > f) log 1 ≥ −1
3 3 x
a) ( −3;1) b) [ −3; −1) ∪ ( 5;7 ] 77
c) −5; −
18
d) [ 3;+∞ ) e) ( 3; +∞ ) \ { 4} 1 2
f) ;
3 3
Bài 17: Giải các bất phương trình sau:
log 21 x + 3log 1 x > 0 1 1
a) b) + >1
3 3 1 − log x log x
log 2 x − 3log x + 3
c) log 22 x + log 2 4 x − 4 ≥ 0 d) <1
log x − 1
log 5 ( 5 x − 4 ) > 1 − x f) log 1 (2 − 4 ) ≥ −2
x+ 2 x
e)
3
∫ 0dx = C
1 ( ax ± b )
α +1
∫ dx = x + C ∫ ( ax ± b ) dx = a . α + 1 + C
α
∫ kdx = kx + C
1 1
xα +1 ∫ ( ax ± b ) dx = a .ln ax ± b + C
∫ x dx = α + 1 + C ( α ≠ −1)
α
1 1
∫ e .dx = a e +C
ax ± b ax ± b
∫ x dx = ln x + C ( x ≠ 0 )
1 a kx ±b
∫ e dx = e + C
x x
∫ a dx = k . ln a + C
kx ± b
ax
∫ a dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1) 1
x
∫ cos ( ax ± b ) dx = sin ( ax ± b ) + C
a
∫ cos xdx = sin x + C 1
∫ sin ( ax ± b ) dx = − cos ( ax ± b ) + C
∫ sin xdx = − cos x + C a
1 1 1
∫ cos x dx = tan x + C ∫ cos 2 ( ax ± b ) dx = tan ( ax ± b ) + C
2
a
1 1 1
∫ sin x dx = − cot x + C
2 ∫ sin ( ax ± b ) dx = − a cot ( ax ± b ) + C
2
+ Tính chất :
b b b b b
a) ∫ kf ( x) dx =k ∫ f ( x) dx
a a
b) ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx
a a a
b c b
c) ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx (a<c<b)
a a c
1 −π π
a
2
+x
2
;
2 2
thì đặt x = atant., t ∈ ;
a +x 2 2
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
∫ udv = uv − ∫ vdu
Chú ý:
+ Dạng có lnx và đa thức: đặt u = lnx và dv = nhân tử còn lại.dx
+ Dạng có mũ/ lượng giác và đa thức: đặt u = đa thức và dv = nhân tử còn lại.dx
+ Dạng có mũ và lượng giác: đặt tùy ý.
Dạng 4: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm ⇒ nguyên
hàm cần tìm.
*Tích phân:
Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên
hàm thường dùng ⇒ kết quả.
Dạng 2:
b
Chú ý:
+ Đổi biến thì phải đổi cận
+ Chỉ áp dụng khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :
1 −π π
thì đặt x = atant., t ∈
2 2
a +x ;
2 2
;
a +x 2 2
b
+ Tính tích phân I= ∫ f[u(x)]u'(x)dx bằng phương pháp đổi biến dạng 2.
a
Phương pháp giải:
B1: Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '( x). dx
B2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u(a) ; x = b ⇒ t = u(b)
B3: Viết tích phân I về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .
Chú ý :Áp dụng cho các trường hợp sau :
+ Tích phân của lnx. Đặt t = lnx
+ Tích phân có căn bậc hai. Đặt t = căn bậc hai
+ Tích phân của sinx và cosx mũ lẻ.
Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
b b
b
Công thức : ∫ u.dv = u.v a − ∫ v.du
a a
Chú ý:
+ Dạng có lnx và đa thức: đặt u = lnx và dv = nhân tử còn lại.dx
+ Dạng có mũ/ lượng giác và đa thức: đặt u = đa thức và dv = nhân tử còn lại.dx
+ Dạng có mũ và lượng giác: đặt tùy ý.
b
P ( x)
Dạng 4: Tính tích phân hàm phân thức hữu tỉ ∫ Q( x)dx
a
+ Nếu bậc đa thức trên tử ≥ bậc đa thức dưới mẫu thì chia đa thức .
+ Nếu bậc đa thức trên tử < bậc đa thức dưới mẫu :
• Dạng mẫu có nghiệm : dùng phương pháp hệ số bất định hoặc đưa về dạng tích phân
dx
∫ xα
•
Dạng mẫu vô nghiệm :kiểm tra đạo hàm mẫu có bằng hiện tử hay không?
+ Nếu có đặt u = mẫu ( pp đổi biến)
+ Nếu không thì áp dụng đổi biến dạng 1.
Dạng 5: Tính tích phân của một số hàm lượng giác.
β β β
Dạng: ∫ sin ax.cos bxdx, ∫ sin ax.sin bxdx, α∫ cos ax.cos bxdx
α α
+ Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi
giải.
β β
S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a
Phương pháp giải toán:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
TH1:Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng
b
TH2:Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1∈(a;b). Khi đó diện tích hình
phẳng cần tìm là:
b x1 b
S = ∫f x−
( )g x= )∫ −f [x (+
(dx )g∫x (dx
−)] f [x ( )g x (dx
)]
a a x 1
TH3:Nếu pt hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2∈(a;b). (x1<x2) . Khi đó diện tích hình
x1 x2 b
Chú ý:
• Nếu pt hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.
• Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
• Nếu bài toán cho 2 đường (C) và (C’) tìm cận a,b bằng cách giải pt : f(x) = g(x)
• Nếu bài toán quá phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thông
qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình.
• Có thể tìm phương trình tung độ giao điểm của hai đường congdiện tích hình phẳng
b
S = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy
a
Dạng 3: Thể tích của một vật thể tṛòn xoay
V = Π ∫ f 2 ( x)dx
a
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Baøi 1: Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
1 1
1) ∫ ( 2 + x 2 ) dx 2) ∫ ( x 3 − 9 ) dx 3) ∫ x − 2 dx
2 x
4) ∫ ( x 2 − 3x ) ( x + 1) dx
4 x3 + 5x 2 − 1
5) ∫ (2
x
+3 )dx x
6) ∫ ( x + 2 x 3
) ( x + 1) dx 7) ∫ dx
x2
x −1
dx 8) ∫
x2
1
∫ (2a + x )dx 10) ∫ xlnx dx 11) ∫ cos2x.cos6xdx 12) ∫ sin2xcos2xdx
x
9)
Đáp số:
x3 x4 1 3 1 4)
1) 2x + + c 2) − 9x + c 3) x + +c x 4 2 x3 3 2
3 4 3 x − − x +c
4 3 2
5) 6) 1 1
2 x
3 x
2x x x x
5 4 3 2 7)2x2+5x+ +c 8) ln x + + c
+ +c + + + +c x x
ln 2 ln 3 5 2 3 2
9) 10) ln ln x + c 11) 1
2a 2 3 x
1 1 12)- cos 4 x + c
+ x sin 8 x + sin 4 x + c 8
ln a 3 16 8
+c
Baøi 2: Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau baèng phöông phaùp
ñoåi bieán soá
1) ∫ (sin 5 x + e 2) ∫ ( 7 − 3x ) dx
8
4) ∫ x 1 − xdx
6 x+7
)dx 3) ∫ 3 x 7 − 3x 2 dx
x3 ( 2ln x + 3) 3
5) ∫ 4 dx 6) ∫ cos x sin xdx 7) ∫
2 3
dx
x +1 x
x
8) ∫ 3 dx
1 − 3x
2x + 1 1 + ln x sin 2 x
9) ∫ 2 dx 10) ∫ dx 11) ∫ dx 12) ∫ x 3 1 + x 2 dx
x + x +1 x 1 + sin x
2
Đáp số:
( 7 − 3x ) 3) 4)
9
1) 2) − +c 1 2 2
1 1 27 − (7 − 3 x 2 )3 + c− (1 − x )3 + (1 − x)5 + c
− cos5 x + e 6 x +7 + c 3 3 5
5 6
5 3 8 6 15
9) 10) 11) 12)
ln x + x + 1 + c 2
( ) ( ) −( )
5 3
2 1 + sin x + c
2 3 2
1 + ln x + c 1 + x2 1 + x2
3 +c
5 3
Baøi 3: Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau baèng phöông phaùp
nguyeân haøm töøng phaàn:
1) ∫ x.e x dx 2) ∫ x.cos(2 x − 3)dx 3) ∫ ln xdx 4) ∫ x s inxdx
5) ∫ xlnxdx 6) ∫ e x sin xdx 7) ∫ x 3 ln xdx 8)
∫ (2x + 1)e x
x
Đáp số:
1) ex(x-1) + c 2) 3)x(lnx-1)+c 4) - xcosx +
1 1 sinx + c
x sin(2 x − 3) + cos(2 x − 3) + c
2 4
5) 1 x 7) 8)
6) e (sin x − cos x) + c
1 2 1 2 x 4
x 4
(2 x − 1)e x + c
x ln x − x 2 + c ln x − + c
2 4 4 16
Baøi 4: a/Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=1+ sin3x bieát
π
F( ) = 0.
6
Đs:
1 π
F ( x) = x − cos3 x −
3 6
b/ Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=sin2x.cosx, bieát giaù trò
1
bieát F(1) =
3
Đs:
x2 2 13
F ( x) = + x + −
2 x +1 6
Bài 5: Tính các tích phân sau :
1) ∫ ( x
3
+ 1)dx 2) ∫− ( cos 2 x − 3sin x)dx 3) ∫ x − 1 dx 4) ∫ 1 − x 2 dx
−1 π −2 0
4
1
2x +1 1
2x
2 0
x 3 + 3x + 1
5) ∫ 2 dx 6) ∫ x + 3.x.dx
2
7) ∫ dx 8) ∫ dx
0 x + x +1 0 1 2x −1 −1 x −1
2
5 ( x − 1) dx 1
(2 x + 1)dx 1
9) ∫ 2 10) ∫0 x 2 − 4 x + 4 11) ∫
3
1 − xdx 12)
1 x − x−6 0
π
4
0 0 0
Đáp số:
1) 24 2) 8 3) 5 π 5)ln3 6) 1 8)
4) 1 7) ln 3 + 1 23
4 (8 − 3 3) 2 − 5ln 2
3 . 6
9)ln 10) 11) 12) 13) 2 2
16 5 3 1 π 14)
3
15)
15
− ln 4
27 2 4 2 4
Bài 6: Tính các tích phân sau
π
1 1
2
1) ∫ x (1 − x ) dx
2 3 4
∫ 3x + 1dx
2) 3)
∫ ( x + sin x)cos xdx 4)
2
−1 0
0
π
2
sin 2 x
∫ 4 − cos x dx
0
2
ln 2 x 3x 2 1 + ln x
e 1 e 3
∫ x.e dx
− x2
5) ∫1 x dx 6) ∫0 x 3 + 1 dx 7) ∫ dx 8)
1 x 0
π π
2
2 6 x 2 dx
∫ (2 x − 1) dx ∫
5
9) 10)
∫ sin x cos xdx 11)
∫ e cos xdx 12)
3 sin x
1
0 0
3
1 + x3
Đáp số:
32 14 3) 4 1 6)ln2 7) 8)
1) 2) π 2 4) ln 5) 2 1 1
15 9 − 3 3 (2 2 − 1) (1 − 9 )
2 3 3 2 e
182 1 11) e-1 12)
9) 10) 1 3
3 4 ( 4 − 1)
2
Bài 7: Tính các tích phân sau :
0 0
0 0
π
2 π e 1
2
∫ (2 x − 1) ln x dx 7) ∫ x sin x dx ∫ ln xdx 9) ∫ e x dx
x
6) I = ∫ x cos x dx 2 8)
1 0 1 0
0
1
10) ∫ e
−x
x 2 dx
0
Đáp số:
1) π −3 1 π2 −4 1 π2 1
2) 3) 4) (e − 1) 5) 2ln 2 −
2 2 2 2
π2 7) π 8) 1 9) 1 2e − 5
6) −2 10)
4 e
Bài 8:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 π ] và trục
hoành . Đs : 4
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2x , và (P2) y = x2 + 1 và các đường
13
thẳng x = -1 ; x =2 . Đs :
2
Bài10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y2 = 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0.
Đs: 9
Bài 11 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ y =lnx ; y = 0 ; x = e Đs :1
π
b/ y = x ; y = x + sin2x ( 0 ≤ x ≤π ) Đs :
2
c/ y = ex ; y = 2 và x = 1 Đs :2ln2 + e - 4
Bài 12: Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
16π
khi nó quay xung quanh trục Ox: y = 2x – x2 và y = 0 Đs :
15
Bài 13:Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
18π
khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x Đs :
5
Bài 14: Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
khi nó quay xung quanh trục Ox:
π π2
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x = Đs :
2 4
b/ y = lnx ; y = 0 ; x = 2 Đs :
2π (ln 2 − 2ln 2 + 1)
2
π
c/ y = xe x ;y=0; ;x=2 Đs : (5e 4 − 1)
4
π 3π 2
d/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = Đs :
8
3 −i 2 −i 3 +1 + 2 2 −1 − 3
l) − Đs :
1+ i i 2 2
i
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
2+i −1 + 3i
a) z= Đs :
1− i 2+i
22 4
+ i
25 25
b) ( 5 − 7i ) + 3z = ( 2 − 5i ) ( 1 + 3i ) Đs :
12 8
+ i
3 3
c/ 5 − 2iz = ( 3 + 4i ) ( 1 − 3i ) Đs :
5
+ 5i
2
d/ (3 + 4i ) z = (1 + 2i )(4 + i ) Đs :
42 19
+ i
25 25
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a/ z 2 − 2 z + 5 = 0 Đs
1 ± 2i
1 ± i 23
b/ 3z 2 − z + 2 = 0 Đs :
6
3 1
c) z 2 − 3.z + 1 = 0 Đs : ± i
2 2
d) 3 2.z 2 − 2 3.z + 2 = 0 Đs :
6 6
± i
6 6
f/ z 4 + 2 z 2 − 3 = 0 Đs: ±1; ± i 3
Bài 4: Tìm số phức z, biết z = 2 5 và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
Đs: z = 2 + 4i; z = -2 - 4i
Bài 5: Tìm hai số phức, biết:
3+i 7 3−i 7
a/ Tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4 Đs : z1 = , z2 =
2 2
b/ Tổng của chúng bằng 6 và tích của chúng bằng 16 Đs :
z1 = 3 + i 7, z2 = 3 − i 7
a 3 2 , d A, SBC = a a3 2
KQ: a/ V = ( ( )) 2 b/ V =
12 18
Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a
, ·ACB = 300 , khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng a. Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
4a 3
KQ: V =
3 3
Bài 7: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA ⊥ ( ABC ) ,
SA = a , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
a3
KQ: V =
3
Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , góc
giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 450 .
a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm SC, SD. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
a3 2 a3 2
KQ: a/ V = b/V =
3 8
Bài 9: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng 2a và cạnh đáy bằng a.
a/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ .
b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BB’ và CC’. Tính thể tích khối chóp
A.MNCB.
KQ: a/ V =
a 3
3 b/V =
a 3
3
2 6
Bài 10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có hai đáy là hai hình thoi,
AC = 6a, BD = 8a, AC ' = 10a . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
KQ: V = 192a 3
KQ: 60 , S xq = 2π a , Stp = 3π a ,V =
0 2 π a
2
3
3
3
Bài 2: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao bằng a. Thiết diện qua đỉnh của hình nón hợp với đáy
một góc 300 có diện tích bằng 4a 2 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón đó.
7π a 3
KQ: S xq = π a 2
56,V =
3
Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2a. Một thiết diện qua đỉnh của hình nón cách
a
tâm của đường tròn đáy một khoảng bằng và cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ
2
dài bằng 2a.Tính diện tích xung quanh, thể tích của khối nón đó.
2π a 2 23 4π a 3 3
KQ: S xq = ,V =
5 3 5
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) ,
SA = 2a . Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của khối trụ có đường cao
SA và đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
x − xo y − yo z − zo
b) Phương trình chính tắc của đường thẳng = =
a b c
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
r ur
Trong Oxyz cho (d) qua M và có VTCP u và (d’) qua M’ và có VTCP u ' .
r ur r uuuuur r
o d trùng d’ ⇔ u , u ' = u , MM ' = 0
khác 0)
Loại 4: Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (α )
Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính r =d(I,(α ))
Vấn đề 4: CÁC DẠNG TOÁN KHÁC
Loại 1: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng
Loại 2: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng
Loại 3: Tìm hình chiếu của 1 điểm lên đường thẳng
Loại 4: Tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng
Loại 5: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Loại 6: Tìm giao điểm của 2 đường thẳng
+ Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (d) và vuông góc (α )
( α )
+ Bước 2: (d): từ đó suy ra phương trình tham số của (d)
( β )
Loại 10: viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau
r r r
+ Bước 1: d có VTCP u = [ u1 ; u2 ]
+ Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa (d) và (d1 )
+ Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (d) và (d2 )
( α )
+ Bước 4: (d): từ đó suy ra phương trình tham số của (d)
( β )
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Vấn đề 1: Trong không gian (Oxyz) viết phương trình mặt phẳng (α ) biết:
1) (α ) đi qua 3 điểm A ( 1; −2;5 ) , B ( 2;1; −7 ) , C ( 0; 2; −2 )
2) (α ) đi qua 2 điểm A ( 1; −2;5 ) , B ( 2;1; −7 ) và (α ) song song với đường thẳng
x = 2 + t
∆ : y = −3t
z = −1 + 2t
A ( 1; −2;5 ) , B ( 2;1; −7 )
3) (α ) đi qua 2 điểm và (α ) vuông góc mặt phẳng
( β ) : 2x + 3y − 6z + 1 = 0
x = 2 + t
4) (α ) đi qua 1 điểm A ( 1; −2;5 ) và (α ) vuông góc với đường thẳng ∆ : y = −3t
z = −1 + 2t
2 2 1 2 1 1
Giải hệ trên, ta được : x = − ,y= ,z= . Vậy H − ; ; .
3 3 3 3 3 3
b) Cách 1 (dựa vào kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A. tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có:
2 2 2
2 2 1 5 6
R = AH = 1 + + 4 − + 2 − = .
3 3 3 3
Do đó, mặt cầu có phương trình là:
50
( x − 1) 2 + ( y − 4) 2 + ( z − 2) 2 =
3
Hay 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 24y – 12z + 13 = 0
Cách 2 (độc lập với kết quả phần 1):
Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P). Ta có R bằng khoảng cách từ A
đến (P). Suy ra :
x+2 y z +3
Câu 7:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) : = = và mặt
1 −2 2
phẳng (P) : 2 x + y − z − 5 = 0
a) Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .
b) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) .
Giải
9 3
1 x −1 y − 6 z + 5
+ t = − ⇒ M(1;6; − 5) ⇒ ( ∆1 ) : = =
3 4 2 1
1 x − 3 y z +1
+ t = ⇒ M(3;0; − 1) ⇒ ( ∆ 2 ) : = =
3 4 2 1
Câu 9:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1;0;5) và hai mặt phẳng
(P) : 2 x − y + 3 z + 1 = 0 và (Q) : x + y − z + 5 = 0 .
a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) .
b) Viết phương trình mặt phẳng ( R ) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với
mặt phẳng (T) : 3 x − y + 1 = 0 .
Giải
1
a) d(M;(Q)) =
3