Ứng Dụng Của Máy Tính Cầm Tay Trong Giải Toán

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM – THẦY NGHUYỄN MẠNH
CƯỜNG
(Giáo viên chuyên luyện thi THPTQG và thi vào lớp 10)
ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY

TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
(Dùng cho kỳ thi tốt nghiệp THPTQG và tuyển sinh ĐH – CĐ)
 Tài liệu tham khảo cho quý thầy cô và phụ huynh.

 Tài liệu tham khảo cho các em học sinh tham gia kỳ thi THPTQG và ĐH – CĐ.
 Tài liệu làm tư liệu học tập môn toán từ lớp 9 đến 12.
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIẸM
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ. NGHIÊM CẤM SAO CHÉP DƯỚI MỌI HÌNH THỨC
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 3
§1. CHỨC NĂNG EQN ............................................................................................................. 4
1. Giải phương trình............................................................................................................... 4
a. Giải phương trình bậc hai .............................................................................................. 4
b. Giải phương trình bậc ba ............................................................................................... 4
2. Giải hệ phương trình .......................................................................................................... 4
a. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ........................................................................... 4
b. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn............................................................................. 4
§2. CHỨC NĂNG INEQ ............................................................................................................ 5
1. Giải bất phương trình bậc hai ........................................................................................... 5
2. Giải bất phương trình bậc ba ............................................................................................. 5
§3. CHỨC NĂNG TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PARABOL.............................................. 6
1. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai (hàm parabol) ............................. 6
2. Chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm ................................................................... 6
a. Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm ....................................................................... 6
b. Phương trình bậc hai hai ẩn vô nghiệm ........................................................................ 7
§4. CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM .......................................................... 9
1. Tính đạo hàm tại một điểm ............................................................................................... 9
2. Tìm các hệ số của lượng liên hợp của phương trình vô tỷ có nghiệm bội .......................... 9
a. Nghiệm kép ..................................................................................................................... 9
b. Nghiệm bội ba .............................................................................................................. 10
§5. CHỨC NĂNG STO ............................................................................................................ 12
§6. CHỨC NĂNG SOLVE ....................................................................................................... 13
1. Tìm nghiệm của phương trình chính xác......................................................................... 13
2. Tìm mối quan hệ giữa hai ẩn........................................................................................... 14
§7. CHỨC NĂNG TABLE ....................................................................................................... 18
1. Xét tính đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số ............................................ 19
2. Tìm đoạn chứa nghiệm của phương trình ....................................................................... 21
3. Tìm hệ số của lượng liên hợp khi phương trình vô tỷ có nghiệm vô tỷ đơn duy nhất ..... 22
4. Tìm hệ số của phương trình bậc hai chứa nghiệm vô tỷ đơn........................................... 23
1
Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG - SĐT: 0967453602
Email: loptoanthaycuong.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/ThayCuongToan
§8. CHỨC NĂNG CALC......................................................................................................... 26

1. Gán giá trị vào một biến bất kỳ, tính giá trị biểu thức ................................................... 26
2. Rút gọn (khai triển) đa thức hữu tỷ ................................................................................ 26
3. Chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử ............................................................. 28
a. Đa thức hữu tỷ ............................................................................................................. 28
b. Đa thức vô tỷ (chứa căn thức) ..................................................................................... 30
4. Tính giới hạn ................................................................................................................... 34
a. Tính giới hạn tại một điểm.......................................................................................... 34
b. Kiểm tra nghiệm bội .................................................................................................... 34
c. Rút gọn đa thức hữu tỷ ................................................................................................. 35
§9. MỘT SỐ PHÍM VÀ CHỨC NĂNG BỔ SUNG ................................................................ 37
1. CÁC PHÍM CƠ BẢN QUAN TRỌNG HAY DÙNG .................................................... 37
2. CÁC CHỨC NĂNG BỔ SUNG....................................................................................... 37
2
LỜI MỞ ĐẦU
Chào các em học sinh yêu quý!
Hôm nay, thầy sẽ chia sẻ một tài liệu mà có thể giúp ích các em tiết kiệm thời gian trong
quá trình làm bài thi trắc nghiệm. Đó là tài liệu: ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM
TAY TRONG GIẢI TOÁN TẮC NGHIỆM.
Mong rằng tài liệu này sẽ giúp ích cho các em.
Tài liệu đã được viết rất công phu và tỉ mỉ nhưng không tránh khỏi sai sót, mong rằng
sẽ nhận được lời góp ý tích cực từ bạn đọc.
Mọi thông tin xin liên hệ:
Thầy Nguyễn Mạnh Cường
Số điện thoại: 0967453602
Fanpage: https://www.facebook.com/loptoanthaycuong.vn
Chúc các em có kỳ thi đầy thành công và may mắn!
3
§1. CHỨC NĂNG EQN

1. Giải phương trình
a. Giải phương trình bậc hai
Ta bấm w5R1 (đối với máy vinacal) hoặc w53 (đối với máy casio) rồi
nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải phương
c 0 (a ≠ 0) .
trình bậc hai dạng ax 2 + bx +=
Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.
b. Giải phương trình bậc ba

Ta bấm w5R2 (đối với máy vinacal) và bấm w54 (đối với máy casio)
rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải
d 0 (a ≠ 0) .
phương trình bậc hai dạng ax 3 + bx 2 + cx + =
2. Giải hệ phương trình

a. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta bấm w51 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc
a1 x + b1 y =
c1
nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng  .
a2 x + b2 y =
c2
b. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Ta bấm w52 (dùng cho cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc
a1 x + b1 y + c1 z =
d1

d2 .
nào không có thì hệ số đó bằng 0) để giải hệ phương trình dạng a2 x + b2 y + c2 z =
a x + b y + c z = d3
 3 3 3
⚠ Chú ý: Chức năng EQN nhằm hỗ trợ cho các bạn kiểm tra lại tính đúng sai của
nghiệm chứ không nêu lên cách cách giải của bài toán.
4
§2. CHỨC NĂNG INEQ

1. Giải bất phương trình bậc hai
Ta bấm wR11 và chọn bấm từ 1 đến 4 để giải bất phương trình bậc hai mà
muốn giải (đối với cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc
giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0).
2. Giải bất phương trình bậc ba

Ta bấm wR12 và chọn bấm từ 1 đến 4 để giải bất phương trình bậc hai mà
muốn giải (đối với cả hai máy) rồi nhập hệ số theo bậc
giảm dần vào (bậc nào không có thì hệ số đó bằng 0).
⚠ Chú ý: Chức năng EQN nhằm hỗ trợ cho các bạn kiểm tra lại tính đúng sai của
nghiệm chứ không nêu lên cách cách giải của bài toán. Và không dùng cho máy casio
fx-570ES PLUS.
5
§3. CHỨC NĂNG TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PARABOL

1. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai (hàm parabol)
2
 b  ∆
Như các bạn đã được học từ lớp 9, nếu hàm số y= ax 2 + bx + c= a  x +  −
2a  4a
(a ≠ 0)

với biệt thức ∆= b2 − 4ac mà có:
∆ ∆ b
TH1. a > 0 thì y ≥ − , ∀x ⇒ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất Min y = − khi x = −
4a 4a 2a
∆ ∆ b
TH2. a < 0 thì y ≤ − , ∀x ⇒ hàm số đạt giá trị lớn nhất Max y = − khi x = −
4a 4a 2a
=> Từ đó ta nói rằng hàm số parabol đạt cực trị (hoặc cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm
 b ∆
 − 2a ; − 4a  .
 
⚠ Chú ý: a 2 ≥ 0, ∀a ⇒ ∀c > 0 : a 2 + c > 0, ∀a
Ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol để tìm nhanh điểm cực trị (các bạn phải
xét xem hệ số a dương hay âm từ đó xác định được đó là cực đại hay cực tiểu) như sau:
Bấm q66 (đối với máy vinacal) hoặc w53 (đối với máy casio) để vào
chức năng tính cực trị của hàm parabol rồi nhập hệ số theo bậc giảm dần vào (bậc nào
không có thì hệ số đó bằng 0)
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số y =
−3 x 2 + 5 x + 2
2
 5  109 109
Ta biến đổi hàm số về dạng y =
−3  x −  + ≤ , ∀x
 6 12 12
109 5
Mà hệ số a =−3 < 0 ⇒ Max y = ⇔x=
12 6
2. Chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm

a. Phương trình bậc hai một ẩn vô nghiệm
c 0 ( a > 0 ) vô nghiệm khi

Như các bạn đã biết, phương trình bậc hai ax 2 + bx +=
∆ < 0 ( ∆ ' < 0 ) nhưng ta phải trình bày sao cho hợp lý và có tính thuyết phục cao để
người chấm có thiện cảm bằng cách sau:
2
 b  ∆
Vẫn đưa VT (vế trái) của phương trình về dạng VT
= a x +  − > 0, ∀x ( do ∆ < 0 )
 2a  4a
6
Và hoàn toàn tương tự như phần số 1, ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol
 b ∆
để tìm điểm cực trị  − ; −  (các bạn vẫn có thể tính tay nhá nhưng dùng máy tính
 2a 4a 
cho nhanh và khá tiện lợi, tránh sự nhầm lẫn đáng tiếc)
Ví dụ: Giải phương trình x 2 + 4 x + 8 =0
Rõ ràng các bạn thấy ∆ = −4 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm (hoặc dùng chức năng
EQN)
Nên ta trình bày như sau:
( x + 2)
2
Ta có VT = + 4 > 0, ∀x ⇒ phương trình vô nghiệm.
b. Phương trình bậc hai hai ẩn vô nghiệm

Trước tiên ta sẽ đi làm một ví dụ từ đó ta sẽ xác định hướng làm tổng quát:
Giải phương trình x 2 + y 2 + xy − 3x − 5 y + 9 =0

2 2
 y−3 3 7 8
Ta có VT =  x +  +  y +  + > 0, ∀x , y ⇒ phương trình vô nghiệm.
 2  4 3 3
Vậy từ đâu mà ta lại làm được như vậy? thì mời bạn đọc nghiên cứu cách làm sau:
Ta viết phương trình thành
x 2 + ( y − 3 ) x + y 2 − 5 y + 9= 0 
y =1000
→ x 2 + 997 y + 995009= 0 (*)
Ta dùng chức năng tính cực trị của hàm parabol cho (*) ta được
2 2
 997  2986027 y =1000  y − 3  3 y 2 − 14 y + 27
 x + + = 0  →  x +  + = 0
 2  4  2  4
2
3 y 2 − 14 y + 27 3  7 8
Dùng chức năng cực trị lần hai cho =  y +  + > 0, ∀y
4 4 3 3
2 2
 y−3 3 7 8
Do đó ta viết phương trình đã cho thành  x +  + y+  + =
0
 2  4 3 3
Dễ dàng nhận thấy VT > 0, ∀x , y
=> Ta có cách làm tổng quát sau:
Dạng tổng quát ax 2 + bx + cxy + dy + ey 2 + f =

0 (1)
Cách làm:
7
Ta sẽ gán y = 10n , tùy thuộc vào các bạn cho n ∈  nhưng ở đây tôi cho
n = 2 ⇒ y = 100

n = 3 ⇒ y = 1000
Do đó VT (1) = ax 2 + ( b + c.10n ) x + ( e.10 2 n + d.10n + f ) = ax 2 + b1 x + c1
Ta lại quay về bài toán ở mục 2 là chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm, rồi sau
đó thay y = 10n mà ta vừa gán. Mời các bạn làm thêm ví dụ sau:
Giải phương trình 3x 2 + y 2 + xy − 8 x + 7 y + 12 =

0
Ta gán 3x 2 + ( y − 8 ) x + y 2 + 7 y + 12 y =100
= 0  → 3 x 2 + 92 x + 10712
= 0 (*)
Ta có
2 2 2
 46  30020  100 − 8  3.100 2 + 20  y−8 2 20
VT (*)= 3  x +  + = 3 x +  + = 3 x +  +y + > 0, ∀x , y
 3  3  6  3  3  3
Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.
⚠ Chú ý: Chức năng này không dùng cho máy casio fx-570ES PLUS.
8
§4. CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Tính đạo hàm tại một điểm
Chắc hẳn các bạn vẫn còn nhớ cách tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa lẫn
công thức đạo hàm mà đã được học vào cuối kỳ 2 lớp 11 (các bạn tự ôn lại nên tôi sẽ
không nhắc lại nữa) nhưng ở đây, tôi muốn giới thiệu đến bạn đọc cách tính đạo hàm
tại một điểm bằng máy tính cầm tay (chỉ dùng để tính kết quả chứ không nói lên cách
làm).
Ví dụ tính đạo hàm của hàm số y = 85 − 57 x + 13x 2 − x 3 tại điểm x = 3 thì ta làm như
sau:
Bấm qy rồi nhập hàm số đó vào ô trống thứ nhất và nhập giá trị điểm đề cho vào
ô trống còn lại ta thu được kết quả là

d
dx ( 85 − 57 x + 13 x 2 − x 3 ) x=3
−1, 5
=
Ta hoàn toàn có thể tính bằng công thức đạo hàm
( 85 − 57 x + 13x 2
− x3 ' )
( 2 3
)
85 − 57 x + 13 x − x ' =
2 85 − 57 x + 13 x − x 2 3
= −
3 x 2 − 26 x + 57
2 85 − 57 x + 13 x − x 2 3
x=3
→ −1, 5
2. Tìm các hệ số của lượng liên hợp của phương trình vô tỷ có nghiệm bội
Như trong mục VII, bài 1, tôi đã trình bày qua về cách phân biệt nghiệm đơn và nghiệm
bội (nghiệm kép và bội ba) nên không nhắc lại nữa (mời bạn đọc xem lại).
a. Nghiệm kép
Khi phương trình vô tỷ chứa căn thức là n f ( x) ,... và có nghiệm kép x = x0 thì lượng liên
hợp của căn thức thường là dạng nhị thức n f ( x) = ax + b ⇒ b = n f ( x) − ax (1)
Mà phương trình có nghiệm kép nên ( n f ( x) '= ) ( ax + b ) ' ⇔ a= d

dx
( n
)
f ( x) (2)

a =

d n
dx
f ( x) ( )
Mặt khác, do x = x0 nên thay lần lượt vào (1) và (2) ta được  x = x0
= b n f ( x) − ax
 x = x0
( )
Ta nghiên cứu ví dụ sau:
Cho phương trình 2 x − 1 + 2 x = 2 x + 1. Tìm lượng liên hợp cho các căn thức biết
phương trình có nghiệm kép là x = 1.
Quá dễ dàng để tìm lượng liên hợp của 2 x − 1 = ax + b

9

=
Ta có 
a
d
dx
2x − 1 = 1
x =1
( )
⇒ 2 x − 1 = x + 1 hay lượng liên hợp của 2 x − 1 là x + 1.
=

b (
2 x − 1 − ax = 1
x =1
)
Hoàn toàn tương tự với căn còn lại.
b. Nghiệm bội ba
Khi phương trình vô tỷ chứa căn thức là n f ( x) ,... và có nghiệm bội ba x = x0 thì lượng
liên hợp của căn thức thường là dạng tam thức
n f ( x)= ax 2 + bx + c ⇒ c= n f ( x) − ax 2 − bx (1)
Mà phương trình có nghiệm bội ba nên

( n f ( x) =') ( ax 2
)
+ bx + c ' ⇔ b=
d
dx
( n
)
f ( x) − 2 ax (2)

1 d  ( f ( x) ) ' 



( n
) (
f ( x) '' = ax 2 + bx + c '' ⇔ a = ) ×   (3)
2 dx  n n f n−1 ( x) 
  
Mặt khác : do x = x0 nên thay lần lượt vào (1), (2) và (3) ta được

a= 1 d  ( f ( x) ) ' 
×  
 2 dx  n n f n−1 ( x) 
   x = x0

=


b
 d
 dx

( n
) 
f ( x) − 2 ax 
 x = x0

=

c ( n f ( x) − ax 2 − bx ) x = x0

Ta nghiên cứu ví dụ sau :
Cho phương trình x 5 − 3x 4 + 4 x 3 − 3x 2 + 2 x − 1 =( x − 1) 2 x 2 − 2 x + 1 . Tìm lượng liên hợp

của căn 2 x 2 − 2 x + 1 biết phương trình đã cho có nghiệm bội ba là x = 1 .
Lượng liên hợp của 2 x 2 − 2 x + 1= ax 2 + bx + c . Hoàn toàn dễ dàng ta tìm ra được các hệ
số như sau:
10
 1 d  4x − 2 
a = ×   = 0, 5
 2 dx  2 2 x 2 − 2 x + 1 
x =1


b =

d
dx ( 2x2 − 2x + 1 ) x =1
− 2 ax = 0 ⇒ 2 x 2 − 2 x + 1 =
x2 + 1
2

c
= 2 x 2 − 2 x + 1 − ax 2 − bx
= 0, 5


x2 + 1
Từ đó ra kết luận rằng lượng liên hợp của 2 x 2 − 2 x + 1 là .
2
( f ( x) ) '
⚠ Chú= (
ý: n f ( x) ' ) n f
n n −1
( x)
(n ∈ N )
*
11
§5. CHỨC NĂNG STO

Gán một giá trị (nghiệm) vào một biến bất kỳ trong máy (biến A, B, C, D, E, F, X, Y,
M)
Để gán một giá trị bất kỳ hay nghiệm bất kỳ vào một biến trong máy ta làm như sau:
Giá trị cần gán + qJ+ Biến cần gán (là các chữ in đỏ được viết in hoa)
Ví dụ như các bạn muốn gán giá trị 22 vào biến A trong máy thì ta bấm như sau:
22qJz
Và để biết ta đã gán 22 vào biến A trong máy chưa ta cần bấm: Qz= nếu kết quả
ra 22 thì tức là đã thực hiện đúng yêu cầu.
12
§6. CHỨC NĂNG SOLVE

1. Tìm nghiệm của phương trình chính xác
Ta dùng SOLVE để tìm nghiệm của phương trình đã cho một cách chính xác theo hai
hướng sau:
Ví dụ ta đi tìm nghiệm của phương trình

x2 + 2x − 8
x2 − 2x + 3
= ( x + 1) ( x+2 −2 )
+ Hướng 1: Tìm nghiệm bằng số bắt đầu bất kỳ
Bước 1: Nhập 
 X 2 + 2X − 8
2
 X − 2X + 3
− ( X + 1) ( ) 
X + 2 − 2  và ấn =

Bước 2: Bấm qr thì máy hỏi giá trị X bắt đầu thì các bạn chọn tùy ý.
Bước 3: Tùy vào việc các bạn cho giá trị X bắt đầu mà máy hiện kết quả là nghiệm nào
trước, ở đây máy của tôi dùng là vinacal và cho giá trị X bắt đầu là 9 thì kết quả là
x = 3, 302775638 là một nghiệm
Bước 4: Ta gán nghiệm này vào biến A đồng thời chia nghiệm này đi để xem phương
trình còn nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ! và sửa thành
 X 2 + 2X − 8
 2
 X − 2X + 3
− ( X + 1) ( )
X + 2 − 2  : ( X − A ) rồi bấm qr thì máy hỏi giá trị A, các

bạn bấm phím M== (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu được
kết quả là x = 2 là một nghiệm nữa
Bước 5: Tiếp tục chia nghiệm x = 2 đi để xem phương trình còn nghiệm nào nữa không
bằng cách bấm phím back ! và sửa thành
 X 2 + 2X − 8
 2
 X − 2X + 3
− ( X + 1) ( )
X + 2 − 2  : ( X − A )( X − 2 ) rồi bấm qr== thì thu

được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết nghiệm), thử lai với giá trị X bất
kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự.
Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x = {2; A}
+ Hướng 2: Tìm nghiệm bằng số bắt đầu trong đoạn chứa nghiệm đã tìm được bằng
TABLE
Như ở phần dùng chức năng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm, ta đã tìm được đoạn
chứa nghiệm của phương trình là 1; 4  và thật “chẳng may” ta tìm được luôn phương
13
trình có một nghiệm là x = 2 và bây giờ ta sẽ dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm
chính xác trên đoạn chứa nghiệm như sau:
 X 2 + 2X − 8
Bước 1: Nhập  2
 X − 2X + 3
− ( X + 1) ( )
X + 2 − 2  : ( X − 2 ) và ấn =

Bước 2: Bấm qrvới X ∈ 1; 4  thì máy hiện kết quả là x = 3, 302775638 là một
nghiệm.
Bước 3: Ta gán nghiệm này vào biến A đồng thời chia nghiệm này đi để xem phương
trình còn nghiệm nào nữa không bằng cách bấm phím back ◁ và sửa thành
 X 2 + 2X − 8
 2
 X − 2X + 3
− ( X + 1) ( ) 
X + 2 − 2  : ( X − 2 )( X − A ) rồi bấm qr thì máy hỏi giá trị

A, các bạn bấm phím M== (tức là gán nghiệm vừa tìm được vào biến A) thì thu
được kết quả là Can’t solve (tức là phương trình đã hết nghiệm), thử lai với giá trị X bất
kỳ ta cũng thu được kết quả tương tự.
Như vậy, phương trình đã cho tạm thời có hai nghiệm là x = {2; A}
=> Ta rút ra một nhận xét sau:
Nếu ta tìm nghiệm trong đoạn chứa nghiệm sẽ nhanh hơn (về mặt thời gian) và ta sẽ
bao quát được nghiệm hơn khi dùng TABLE. Nhưng suy cho cùng thì các bạn nên làm
hướng 1 để tránh sự phức tạp.
⚠ Chú ý: Một điều cực kỳ quan trọng khi dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm chính
xác đó là khi nhập phương trình (chuyển tất cả hạng tử về một bên và bỏ “= 0”) phải
có dấu mở đóng ngoặc ở hai đầu của phương trình và ấn = sau khi nhập xong (để
máy lưu lại phương trình)
2. Tìm mối quan hệ giữa hai ẩn

Thường là tìm mối quan hệ giữa x, y để thay vào phương trình còn lại của hệ, rồi đi giải
phương trình một ẩn x hoặc y. Nhưng việc nhận ra mối quan hệ giữa x và y là rất khó
chính vì vậy, ta cần dùng đến công cụ là máy tính cầm tay mà cụ thể là chức năng SOLVE
này để nhận ra mối quan hệ đó một cách nhanh chóng rồi từ đó định hướng cách làm.
Xét ví dụ sau:
Tìm mối liên hệ giữa hai ẩn x và y thỏa mãn x 3 − y 3 + 12 x 2 + 3 y 2 + 50 x − 5 y + 75 =

0
Ta dùng SOLVE để tìm mối quan hệ giữa hai ẩn bằng hai hướng sau:
14
+ Hướng 1: Cho Y = 100
Bước 1: Nhập X 3 − Y 3 + 12X 2 + 3Y 2 + 50X − 5Y + 75
Bước 2: Bấm qr với Y = 100 và X bất kỳ ta thu được kết quả là

X = 95 = 100 − 5 = Y − 5
Do đó mối quan hệ hệ dự đoán giữa x và y là x= y − 5
+ Hướng 2: Lập bảng
Bước 1: Nhập X 3 − Y 3 + 12X 2 + 3Y 2 + 50X − 5Y + 75
Bước 2: Bấm qr với Y = 1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là X = −4 (tức là

Y =⇒
1 X= −4 )
Làm như vậy với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm được X tương ứng và có bảng giá trị về mối quan
hệ giữa X và Y như sau
Y 1 2 3 4 5 9
X -4 -3 -2 -1 0 4
Từ bảng ta thấy x= y − 5 , đó là mối quan hệ giữa x và y.
Từ đó ta có cách làm như sau :
x 3 − y 3 + 12 x 2 + 3 y 2 + 50 x − 5 y + 75 =
0
⇔ x 3 + 12 x 2 + 50 x + 75 = y 3 − 3 y 2 + 5 y
⇔ ( x + 4 ) + 2 ( x + 4 ) = ( y − 1) + 2 ( y − 1)
3 3
) 3t 2 + 2 > 0, ∀t ∈ 
) t 3 + 2t có f '(t=
Xét hàm số f (t=
⇒ Hàm số f (t ) luôn đồng biến trên 
⇒ x + 4 = y −1 ⇔ x + 5 = y
Trên đây là cách giải theo phương pháp hàm số (ta sẽ nghiên cứu ở phần sau Phương
pháp hàm số)
=> Mỗi cách có ưu và nhước điểm khác nhau, chính vì vậy ta sẽ làm thêm một ví dụ
nữa để biết xem cách nào tổng quát cho mội bài.
Tìm mối quan hệ giữa x và y dương thỏa mãn x 12 − y + y ( 12 − x 2 ) =

12
Bước 1: Nhập X 12 − Y + Y ( 12 − X 2 ) − 12
Bước 2: Đến ta ta có hai hướng làm

15
Bước 2.1 : Bấm qr với Y = 100 và X bất kỳ ta thu được kết quả là Can’t
solve nên ta chuyển sang hướng thứ 2 là :
Bước 2.2 : Bấm qr với Y = 1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là

X = 3, 316624752 (tức là Y =1 ⇒ X =3, 316624752 )
Làm như vậy với Y = 2, 3, 4, 5… ta tìm được X tương ứng và có bảng giá trị về mối quan
hệ giữa X và Y như sau
Y 1 2 3 4 5 12
X 3,3166… 3,3162… 3 2,8284… 2,6457… 0
Qua bảng ta thấy, các giá trị X rất lẻ và không biết được nó sẽ có mối quan hệ như thế
nào với Y. Một câu hỏi đặt ra trong đầu: “ta sẽ bỏ ư?”. Câu trả lời là: “KHÔNG”. Đúng
vậy, ta sẽ không bỏ cuộc dù hoàn cảnh có khó khăn như thế nào. Sau đây, là một lưu ý
cực kỳ quan trọng, nó cũng như “cốc nước mát giữa sa mạc vậy”
“Khi lập bảng giá trị về mối quan hệ giữa X và Y mà chưa cho ta được mối quan hệ X
và Y thì ta phải tính thêm tất cả các biểu thức (căn, lũy thừa) chứa X và Y theo các giá
trị vừa tìm được”
Như vậy, ta sẽ tính thêm x 12 − y , y ( 12 − x 2 ) vào bảng vừa rồi và được
Y 1 2 3 4 5 12
X 3,3166… 3,3162… 3 2,8284… 2,6457… 0
12 − Y 3,3166… 3,3162… 3 2,8284… 2,6457… 0
(
Y 12 − X 2 ) 1 2 3 4 5 12
Ta đã ra mối quan hệ giữa x và y là
  x ≥ 0
x
= 12 − y   x ≥ 0
 ⇔  =y 12 − x 2 ⇔
y
= y(12 − x 2 )  y = 12 − x 2 (do 0 ≤ y ≤ 12) y 12 − x 2
=


Bây giờ, ta sẽ đi tách nhân tử bằng cách sử dụng: Phương pháp liên hợp, phương pháp
đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số, phương pháp đáng giá, …
Ở đây, tôi dùng BĐT Cô si để đánh gía (các bạn tham khảo ở mục sau)
 x 2 + 12 − y
 x 12 − y ≤ x 12 − y ≤
Ta có  2
2
( )
⇒ x 12 − y + y 12 − x 2 ≤ 12
 y 12 − x 2 ≤ y + 12 − x
 ( ) 2
16
 x = x  x ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  ⇔
y 12 − x
=
2
=y 12 − x 2
=> Tổng kết lại là ta nên dùng hướng 2 để tìm mối quan hệ giữa hai ẩn tức là đi lập
bảng và khi lập bảng các giá trị ta phải nhớ liệt kê tất cả các phần tử có chứa các biến
rồi tính giá trị tại các điểm x và y tìm được.
17
§7. CHỨC NĂNG TABLE

Giới thiệu sơ qua về TABLE:
TABLE là bảng thống kê sự thay đổi của hàm theo biến trên từng giá trị cụ thể, tức là
khi biến thay đổi một lượng thì hàm cũng thay đổi theo lượng đó
X= X0 ⇒ F ( X ) =F( X0 ) và sau đây là thao tác bấm máy:
Tại giao diện MODE ta chọn 7 để vào chức năng TABLE
Tại giao diện hàm số f(X) ta nhập hàm số cần xét
Tại giao diện hàm số g(X) ta nhập hàm số thứ 2 cần xét (nếu
cần)
(không áp dụng cho máy casio fx-570ES PLUS)
Tại giao diện Start ta cho giá trị bắt đầu cần xét (thường là điểm
đầu của TXĐ ví dụ như hàm số có TXĐ là  a; b  thì ta cho Start
bằng a)
Tại giao diện End ta cho giá trị kết thúc cần xét (thường là điểm
cuối của TXĐ ví dụ như hàm số có TXĐ là  a; b  thì ta cho End
bằng b)
Tại giao diện Step ta cho bằng 1 hoặc 0,5 (các bạn có thể cho bất
kỳ)là giá trị bước nhảy hay khoảng cách giữa hai số liền nhau
Cuối cùng ta thu được kết quả là bảng thống kê giá trị hàm thay
đổi theo biến lần lượt từ trái qua phải là STT→X→F(X)→G(X)
⚠ Chú ý:
Bảng thống kê TABLE thông thường tính được 20 giá trị ví dụ chạy từ -9 đến 9 với bước
nhảy là 1 hoặc chạy từ -4 đến 4 với bước nhảy là 0,5. Nhưng bảng TABLE có thể tính
được tối đa là 30 giá trị (trừ máy casio fx-570ES PLUS) và để mở rộng đến 30 giá trị
thì ta cần bấm các thao tác sau để bảng giá trị của chúng ta tăng thêm 10 giá trị từ 20
lên 30 bằng cách bấm qwR51. Như vậy, ta đã làm tăng thêm 10 giá trị
bây giờ các bạn xét từ -14 đến 14 với bước nhảy là 1 hoặc từ -7 đến 7 với bước nhảy là
0,5 để xét chính xác hơn và tránh để bỏ xót “không cho chúng nó thoát”.
18
1. Xét tính đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) của hàm số
Ta dùng TABLE trong trường hợp này nhằm mục đích xét tính đơn điệu của hàm số mà
cụ thể hay dùng nhất là xét dấu (dương hay âm) biểu thức sau khi liên hợp để thuận tiện
việc chứng minh vô nghiệm. Hay là việc kết hợp với định lý Rolle để tìm nghiệm duy
nhất của phương trình khi mà VT (đã chuyển tất cả các hạng tử về một vế và vế còn lại
bằng 0) của phương trình đó đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định.
⚠ Chú ý: Đối với dạng này ta kết hợp thêm với chức năng SOLVE để tìm nghiệm trước
nếu có nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D thì ta áp dụng định lý Rolle
để làm còn nếu không có nghiệm mà hàm số đồng biến (nghịch biến) thì ta kết luận
rằng biểu thức đó luôn dương (âm) trên tập xác định.
Ta hiểu định lý Rolle như sau:
+ Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f= ( k const ) có
( x) k=
không quá một nghiệm trên khoảng (a;b).
+ Nếu hàm số f(x) và g(x) đơn điệu ngược chiều nhau trên khoảng (a;b) thì phương trình
f ( x) = g( x) có không quá một nghiệm trên khoảng (a;b).
1 2
Ví dụ 1: Giải phương trình ( 2 x − 1) x + 3 − − =0
x −1 + 2 x+2 +2
Ta có quy trình bấm máy như sau:
Bước 1: Bấm w7 (để vào chức năng TABLE)
1 2
Bước 2: Nhập F( X=
) ( 2 X − 1) X+3− −
X −1 + 2 X+2 +2
Bước 3: Cho =
Start 1;= Step 1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-
End 19;=
570VN thì bấm qwR51 (để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start 1;=
= End 29;=
Step 1
Bước 4: Ta thấy f ( x) > 0, ∀x ∈ 1; +∞ )
Bước 5: Dùng SOLVE bằng cách nhập lại F(X) vào và bấm qr rồi cho X bất kỳ
thì máy hiện Can’t solve tức là phương trình vô nghiệm. (ta phải làm thêm bước này để
kiểm tra xem phương trình còn nghiệm không nếu không thì ta đi chứng minh vô
nghiệm trên tập xác định còn nếu có ta vẫn chứng minh hàm số đó đồng biến (nghịch
biến) trên tập xác định rồi áp dụng định lý Rolle để kết luận nghiệm)
Bước 6: Ta chứng minh như sau:
19

( 2 x − 1) x + =
3  2 ( x − 1) + 3  ( x − 1) + 4 ≥ 6 > 2 ⇒ ( 2 x − 1) x + 3 − 2 > 0

 1 1
Do x ≥ 1 ⇒  x − 1 + 2 ≥ 2 > 1 ⇒ < 1⇒ 1− >0
 x −1 + 2 x −1 + 2
 2 2
 x + 2 + 2= ( x − 1) + 3 + 2 ≥ 3 + 2 > 2 ⇒ < 1⇒ 1− >0
 x+2 +2 x+2 +2
 1   2 
Nên ta có f ( x)= ( 2 x − 1) x + 3 − 2  + 1 −  + 1 −  > 0, ∀x ≥ 1
   x −1 + 2  x + 2 + 2
Vậy phương trình vô nghiệm. (trên đây là cách chứng minh đơn giản, vào các bài sau
chúng ta sẽ nghiên cứu nhiều hơn và gặp nhiều dạng bài cũng như cách giải tổng quát
hơn)
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x 3 − x 2 + 2 x − 28 + ( x 3 − 4 ) x 3 − 7 =0
Xét hàm số f ( x) = 3x 3 − x 2 + 2 x + ( x 3 − 4 ) x 3 − 7 trên  3 7 ; +∞

 )
Ta có quy trình bấm tương tự như ví dụ 1, ta thấy f ( x) đồng biến trên ( 3
)
7 ; +∞ nhưng
khi dùng chức năng SOLVE ta tìm được nghiệm duy nhất là x = 2 nên áp dụng định lý:
“Nếu hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì phương trình f= ( k const ) có
( x) k=
không quá một nghiệm trên khoảng (a;b)”, do đó ta có cách làm như sau:
Dễ thấy x = 3 7 không phải là nghiệm của phương trình nên ta có điều kiện x > 3 7
Xét hàm số f ( x) = 3x 3 − x 2 + 2 x + ( x 3 − 4 ) x 3 − 7 trên ( 3

7 ; +∞ )
Có
2
f '( x)= 9 x − 2 x + 2 + 3 x 2 3
x −7 +
(
3x2 x3 − 4 )= 
2
1  17 2 3
9  x −  + + 3x x − 7 +
3x2  x3 − 7 + 3
  >0 ( )
2 x3 − 7  9  9 3
2 x −7
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng ( 3

7 ; +∞ )
Mà f (2) = 28 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2.
Ví dụ 3: Giải phương trình x x + x +=

12 12 ( 5−x + 4−x )
Xét hai hàm số f ( x) = x x + x + 12 và g=
( x) 12 ( )
5 − x + 4 − x trên đoạn 0; 4 
20
Tương tự về cách bấm như trên, dùng TABLE ta thấy f ( x) > 0 và g( x) < 0 trên khoảng
( 0; 4 ) hay f ( x), g( x) là hai hàm đơn điệu ngược nhau trên khoảng ( 0; 4 ) nên phương
trình f ( x) = g( x) có nhiều nhất một nghiệm. Dùng SOLVE hay TABLE ta tìm được một
nghiệm duy nhất là x = 4. Từ đó ta có hướng làm như sau:
+ Xét hàm số f ( x) = x x + x + 12 xác định và liên tục trên đoạn 0; 4 
3 x 1
Có f '(=
x) + > 0, ∀x ∈ ( 0; 4 ) ⇒ f ( x) là hàm đồng biến trên đoạn 0; 4 
2 2 x + 12
+ Xét hàm số g=
( x) 12 ( )
5 − x + 4 − x xác định và liên tục trên đoạn 0; 4 
 1 1 
Có g '( x) =−12  +  < 0, ∀x ∈ ( 0; 4 ) ⇒ g( x) là hàm nghịch biến trên đoạn
 2 5−x 2 4−x 
0; 4 
Mà f (4) = g(4) nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4.
2. Tìm đoạn chứa nghiệm của phương trình

Từ việc kết hợp với định lý hàm số liên tục mà ta đã được học ở kỳ 2, lớp 11 (đã nói qua
ở mục định lý hàm số liên tục, rolle, lagrange) và được hiểu như sau:
“Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b] và đơn điệu trên khoảng (a;b) đồng
thời f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn [a;b]”
Vậy tại sao lại phải dùng TABLE để tìm đoạn chứa nghiệm? Vì khi dùng chức năng
SOLVE ta sẽ tìm nghiệm của phương trình trong đoạn chứa nghiệm mà ta đã tìm được
trong TABLE, lúc này ngoài việc tìm nghiệm một cách nhanh chóng (nói về thời gian
máy tính tìm nghiệm nhanh hơn so với việc tìm nghiệm mà không trong đọan chứa
nghiệm) mà còn tìm đủ số nghiệm (nói về việc tìm đầy đủ các nghiệm mà phương trình
có, tránh trường hợp tìm thiếu nghiệm bằng SOLVE mà không tìm trong đoạn chứa
nghiệm)
Ta nghiên cứu ví dụ sau đây:
x2 + 2x − 8
Giải phương trình 2
x − 2x + 3
= ( x + 1) ( )
x + 2 − 2 (tuy nhiên ta chỉ cần tìm đoạn chứa
nghiệm của phương trình thôi mà không giải hẳn vì việc giải chi tiết sẽ được làm vào các
bài sau)
Ta co quy trình bấm máy như sau:
21
Bước 1: Bấm w7 (để vào chức năng TABLE)
Bước 2: Nhập hàm =

số F( X )
X 2 + 2X − 8
X 2 − 2X + 3
− ( X + 1) ( X+2 −2 )
Bước 3: Cho Start =
−2; End = 1 , nếu các bạn dùng máy vinacal hay casio fx-
−17; Step =
Start =
−2; End =
27; Step =
1
Bước 4: Ta thấy phương trình có nghiệm trong đoạn 1; 3  ;  3; 4  ⇒ 1; 4  mà đặc biệt
f (2) = 0 ⇒ x = 2 là một nghiệm, bây giờ ta dùng chức năng SOLVE để tìm xem phương
trình còn nghiệm nào trong đoạn 1; 4  nữa không ngoài nghiệm x = 2 (ta sẽ thực hiện
thao tác này trong bài chức năng SOLVE)
Như vậy, khi dùng TABLE ta tìm được một nghiệm là x = 2 và đoạn chứa nghiệm là
1; 4 
3. Tìm hệ số của lượng liên hợp khi phương trình vô tỷ có nghiệm vô tỷ đơn duy nhất
Khi các bạn học qua bài phương pháp liên hợp rồi, các bạn sẽ biết được lượng liên hợp
của nghiệm đơn vô tỷ đơn duy nhất là dạng nhị thức bậc nhất. Ở đây, tôi xin phép nói
luôn cách tìm hệ số của nhị thức bậc nhất:
Ta luôn có ϕ n f ( x) =ax + b ( n ≥ 2|n ∈ N ; a , b =const ) trong đó ϕ ∈  * là số được chọn

một số bất kỳ trong −10 ≤ ϕ ≤ 10
Mà =
x x0 → A là nghiệm vô tỷ đơn duy nhất của phương trình (trong quá trình tìm
nghiệm bằng SOLVE ta đã tìm được nghiệm vô tỷ x = x0 và đã được gán vào biến A)
Nên ta phải có ϕ n f ( A)= a.A + b ⇒ b= ϕ n f ( A) − a.A (ta nói a là biến còn b(a) là hàm
thay đổi theo a)
Ta dùng chức năng TABLE để tìm a, b bằng cách gán a → X ⇒ b( a) → F( X ) , thao tác
bấm máy như sau:
Bước 1 : Bấm w7 (để vào chức năng TABLE)
Bước 2 : Nhập hàm

= F ( X ) ϕ n f ( A) − X. A
Bước 3 : Cho Start =

9; Step =
570VN thì bấm qwR51(để mở rộng bảng thêm 10 giá trị) rồi cho
Start =
−14; End =
14; Step =
1
22
Bước 4 : Chọn X ∈  ⇒ F( X ) ∈  từ đó thu được a ∈  ⇒ b ∈ 
Cho phương trình x 3 − x 2 − x − 5 − ( x + 4 ) x + 2 =0 . Tìm lượng liên hợp của x+2
Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta tìm được một nghiệm vô tỷ đơn duy nhất
là x = 3, 302775638 và gán nó vào biến A trong máy. Bây giờ ta đi tìm lượng liên hợp của
x + 2 như sau :
Ta luôn có ϕ x + 2 = ax + b
Mà x = A là nghiệm và chọn ϕ = 1 nên ta có b= A + 2 − a. A
Dùng TABLE để tìm a, b bằng cách gán a → X ⇒ b( a) → F( X ) và các bước bấm máy như
sau:
Bước 2 : Nhập hàm F( X )= A + 2 − X. A

9; Step =
Start =
−14; End =
14; Step =
1
Bước 4 : Ta thấy X =
1 ⇒ F( X ) = )
−1 nên ta chọn ( a; b= (1; −1)
Vậy lượng liên hợp của x + 2 = x −1.
⚠ Chú ý : Với một số bài mà chúng ta không tìm ra ( a; b ) ∈  khi cho ϕ = 1 thì các
bạn phải thay đổi và cho ϕ = 2, 3, 4, 5... để tìm ra (sẽ không mất thời gian khi cho ϕ ↑
tăng dần vì ứng với ỗi giá trị ta chỉ mất 30 giây để tìm cặp số thỏa mãn chính vì vậy
các bạn phải kiên trì và nhớ đến câu nói nổi tiếng của tỷ phú Jack Ma : “Hôm nay khó
khăn, ngày mai khó khăn hơn nhưng ngày kia sẽ là ngày tuyệt vời”)
4. Tìm hệ số của phương trình bậc hai chứa nghiệm vô tỷ đơn

Thường thì trong kỳ thi THPTQG hiện nay thì nghiệm vô tỷ thường sẽ là nghiệm của
một phương trình bậc hai dạng ϕ x 2 + mx + n = 0 (có thể là dạng lượng giác nhưng ít suất
hiện hơn và sẽ được trình bày vào các bài sau) và ta đi tìm dạng tường minh của nghiệm
lẻ hay đi tìm dạng tương minh của phương trình bậc hai như sau:
23
Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta đã gán nghiệm vô tỷ vào biến A trong máy
và nghiệm này là nghiệm của phương trình ϕ x 2 + mx + n =0 (trong đó ϕ ∈  * là số được
chọn một số bất kỳ trong −10 ≤ ϕ ≤ 10 ) nên ta phải có
n = −ϕ x 2 − mx ⇒ n =−ϕ A 2 − m. A

 −ϕ x 2 − n −ϕ A 2 − n
= m ⇒m
=
 x A
Ta dùng chức năng TABLE để tìm ( m; n ) ∈  bằng cách gán m → X ⇒ n → F( X ) (tương

tự với trường hợp còn lại) nên ta có thao tác bấm máy như sau:
Bước 2 : Nhập hàm F( X ) =

−ϕ A 2 − X. A

9; Step =
Start =
−14; End =
14; Step =
1
Bước 4 : Chọn X ∈  ⇒ F( X ) ∈  từ đó thu được a ∈  ⇒ b ∈ 
Cho phương trình x 3 − x 2 − x − 5 − ( x + 4 ) x + 2 =0 . Tìm nghiệm của phương trình.
Trong quá trình tìm nghiệm bằng SOLVE ta tìm được một nghiệm vô tỷ đơn duy nhất
là x = 3, 302775638 và gán nó vào biến A trong máy.
Bước 2 : Nhập hàm F( X ) =

− A 2 − X. A

9; Step =
Start =
−14; End =
14; Step =
1
Bước 4 : Ta thấy X =−3 ⇒ F( X ) =−1 nên ta chọn ( a; b ) =( −3; −1)
 3 + 13
= x = A
Vậy nghiệm vô tỷ là nghiệm của phương trình x 2 − 3x − 1 = 0 ⇔  2
 3 − 13
x = (loai )
 2 
24
3 − 13
Nghiệm x = sẽ bị loại do điều kiện nào đó trong quá trình giải, cách giải chi tiết
2
ta sẽ nghiên cứu vào các bài sau.
⚠ Chú ý : Với một số bài mà chúng ta không tìm ra ( a; b ) ∈  khi cho ϕ = 1 thì các
bạn phải thay đổi và cho ϕ = 2, 3, 4, 5... để tìm ra (sẽ không mất thời gian khi cho ϕ ↑
tăng dần vì ứng với ỗi giá trị ta chỉ mất 30 giây để tìm cặp số thỏa mãn chính vì vậy
các bạn phải kiên trì và nhớ đến câu nói nổi tiếng của Samuel Johnson : “Những thành
tựu vĩ đại không được gặt hái bằng sức mạnh mà bằng sự kiên trì”)
25
§8. CHỨC NĂNG CALC

1. Gán giá trị vào một biến bất kỳ, tính giá trị biểu thức
+ Cũng như việc gán một gái trị bất kỳ vào một biến bất kỳ trong máy mà không cần sử
dụng chức năng STO như sau:
Ví dụ ta muốn gán 22 → A thì ta làm như sau:
Bấm Qzr22
Để kiểm tra ta đã gán 22 vào biến A chưa thì ta ấn Qz=
Như vậy, ngoài việc dùng chức năng STO ta cũng có thể gán một giá trị bất kỳ vào một
biến bất kỳ trong máy bằng cách gọi tên biến và ấn CALC rồi nhập giá trị cần gán.
Ngoài ra, ta cũng dùng chức năng CALC để tính giá trị biểu thức, tỉ dụ như:
2x + 2 y + 5
Tính giá trị biểu=
thức P + 12 x 2 − 3 y + 2 x − 1 , biết=
x 1,=
y 2
6x − 5y
2 X + 2Y + 5
Bước 1: Nhập + 12 X 2 − 3Y + 2 X − 1
6 X − 5Y
23
Bước 2: Bấm r với=
X 1,=
Y 2 ta thu được kết quả là P =
4
2. Rút gọn (khai triển) đa thức hữu tỷ
) an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 trong đó a0 , a1 ,..., an = const là các hệ số và

Cho đa thức f ( x=
n∈ N
Mấu chốt ở đây là đi tìm các hệ số a0 , a1 ,..., an bằng cách gán

= x 10 k ( k ∈ Z * )
Giả sử ta gán=
x 10
= 3
1000 thì ta thu được
f (1000) = an 00 an−1 00...a1 00 a0 ≈ an × 1000 n = an × 10 3 n
f (10 3 )
Do đó hệ số bậc cao nhất được tính bởi công thức an ≈
10 3 n
Lưu ý khi quy đổi:
10 3 =
= x , 10 6 x=
2
, 10 9 x=
3
, 1012 x=
4
, 1015 x=
5
, 1018 x=
6
, 10 21 x=
7
, 10 24 x 8
26
Sau khi tìm được hệ số bậc cao nhất là an rồi, để tìm các hệ số tiếp theo (theo bậc giảm
f (10 3 ) − an × 10 3 n
dần) là an−1 ta cũng làm tương tự bằng cách lấy an−1 ≈
10 ( )
3 n −1
 f (10 k )
a
 n ≈
 10 kn
TỔNG QUÁT: 
f (10 k
) − ∑
n
an−i +1 × 10 (
k n − i +1) ( n, i ∈ N ; n ≥ i ; k ∈ Z )*

an−i ≈ i =1
10 ( )
k n−i

Ta nghiên cứu một số ví dụ sau
(x )
− x2 − x − 5 − ( x + 4 ) ( x + 2 )
2 2
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau P= 3
Ta thấy P là một đa thức hữu tỷ và có dạng như sau
P = a6 x 6 + a5 x 5 + a4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0
Trong đó a0 → a6 =
const là các hệ số tăng dần theo bậc và được tìm như sau:
Bước 1: Để tìm hệ số a6 ta nhập ( X 3 − X 2 − X − 5 ) − ( X + 4 ) ( X + 2 )  : X 6 rồi r với

2 2
 
X = 10 3 ta thu=
được kq 0,997998991
= ≈ 1 ⇒ a6 1
Bước 2: Để tìm hệ số a5 ta bấm phím back ! và sửa lại thành
(

( )
 X3 − X2 − X − 5 2 − X + 4 2 X + 2 − X6  : X5
)( ) 
rồi cũng r với X = 10 3 ta thu được kq = −2,001008999 ≈ −2 ⇒ a5 = −2
Bước 3: Để tìm hệ số a4 ta bấm ta bấm phím back ! và sửa lại thành
(

)
 X 3 − X 2 − X − 5 2 − X + 4 2 X + 2 − X 6 + 2X 5  : X 4
( )( ) 
(

)
 X 3 − X 2 − X − 5 2 − X + 4 2 X + 2 − X 6 + 2X 5 + X 4  : X 3
( )( ) 
Bước 5: Để tìm hệ số a2 ta bấm phím back !và sửa lại thành
27
(
 )
 X 3 − X 2 − X − 5 2 − X + 4 2 X + 2 − X 6 + 2X 5 + X 4 + 9X 3  : X 2
( )( ) 
rồi cũng r với X = 10 3 ta thu được

= kq 0,977993 ≈ =
1 ⇒ a2 1
Bước 6: Để tìm hệ số a1 ta bấm phím back !và sửa lại thành
(
 )
 X 3 − X 2 − X − 5 2 − X + 4 2 X + 2 − X 6 + 2X 5 + X 4 + 9X 3 − X 2  : X
( )( ) 
(
 )
 X 3 − X 2 − X − 5 2 − X + 4 2 X + 2 − X 6 + 2 X 5 + X 4 + 9 X 3 − X 2 + 22 X 
( )( ) 
rồi cũng r với X = 10 3 ta thu được kq =−7 ⇒ a0 =−7
Bước 8: Thử lại phép tính bằng cách bấm phím back !và sửa lại thành
(

)
 X 3 − X 2 − X − 5 2 − X + 4 2 X + 2 − X 6 + 2 X 5 + X 4 + 9 X 3 − X 2 + 22 X + 7 
( )( ) 
rồi cũng r với X bất kỳ ta thu được kq = 0 tức là ta đã làm đúng.
Như vậy P = x6 − 2 x 5 − x 4 − 9 x 3 + x 2 − 22 x − 7
( 2x ) (1 − 2x ) − ( 8x ) (x − x )
2 2 2
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau Q= 2
− 2x + 1 2
− 8x + 1 2
Hoàn toàn tương tự như trên ta thu được kết quả là
Q= 80 x 6 − 240 x 5 + 276 x 4 − 152 x 3 + 45 x 2 − 9 x + 1
3. Chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử

a. Đa thức hữu tỷ
Hoàn toàn tương tự về phương pháp làm ở mục 2, ta nghiên cứu các ví dụ sau đây:
x 6 − 2 x 5 − x 4 − 9 x 3 + x 2 − 22 x − 7
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau P( x) =
x2 − 3x − 1
28
Ta thấy P có lũy thừa của bậc cao nhất là bốn và hệ số của bậc bốn là 1 nên
P( x) =x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 , ta đi tìm các hệ số còn lại bằng cách áp dụng công thức
n
f (10 k ) − ∑ an−i +1 × 10 (
k n − i +1)
an−i ≈ i =1
( n, i ∈ N ; n ≥ i )
10 ( )
k n−i
P(10 3 ) − a4 × 1012
Do đó a3 ≈ 1 ( a4 =
= 1) , hoàn toàn tương tự ta có=
a2 3,=
a1 1,=
a0 7
10 9
Như vậy, ta thu được kết quả là P( x) = x 4 + x 3 + 3x 2 + x + 7
Để kiểm tra tính đúng sai của kết quả ta nhập P( X ) − ( X 4 + X 3 + 3X 2 + X + 7 ) rồi r
với số bất kỳ, nếu kết quả là 0 thì đúng và ngược lại. Trong bài này kết quả ra 0.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử P= 80 x6 − 240 x 5 + 276 x 4 − 152 x 3 + 45x 2 − 9 x + 1
Đầu tiên ta sẽ dùng SOLVE để tìm nghiệm (các bạn tự thao tác nhé) ta tìm được hai
nghiệm lẻ nhưng rất may tổng và tích của chúng lại thuộc hữu tỷ nên ta nghĩ tới việc sử
A + B = 1

dụng định lý Vi-et  1 ⇒ A , B là nghiệm của PT
 A.B = 5

1
x2 − x + = 0 ⇔ 5x2 − 5x + 1 = 0
5
Do đó ta có P= ( 5x 2
)
− 5 x + 1 Q( x) trong đó
80 x 6 − 240 x 5 + 276 x 4 − 152 x 3 + 45 x 2 − 9 x + 1

Q( x) =
5x2 − 5x + 1 = 0
Bây giờ bài toán trở thành : rút gọn biểu thức
80 x 6 − 240 x 5 + 276 x 4 − 152 x 3 + 45 x 2 − 9 x + 1

Q( x) =
5x2 − 5x + 1 = 0
Và việc làm này hoàn toàn tương tự như ví dụ 1, ta thu được két quả
Q( x)= 16 x 4 − 32 x 3 + 20 x − 4 x + 1
Như vậy, ta có P= ( 5x 2
)(
− 5 x + 1 16 x 4 − 32 x 3 + 20 x − 4 x + 1 )
Thử lại tính đúng sai:
Ta lấy P ban đầu trừ đi P sau rồi r với x bất kỳ ta nhận được kết quả là 0, như vậy ta
đã làm đúng.
29
⚠ Chú ý: Nếu các bạn để ý thì bản chất của phân tích đa thức thành nhân tử thì nó
chính là chia đa thức mà bản chất của chia đa thức thì nó chính là rút gọn (khai triển)
đa thức bằng cách sử dụng chức năng CALC với
= X 10 k ( k ∈ Z * ) .
b. Đa thức vô tỷ (chứa căn thức)

Như phần trên là chia đa thức hữu tỷ còn phần này chỉ khác là chia đa thức vô tỷ hay
nói cách khác là chia đa thức chứa căn và được phân thành các dạng như sau:
+ Chia đa thức có chứa một căn thức:
A1 ( x) + B1 ( x) f ( x)
Ta thực hiện phép chia và thu được = u + v f ( x) (1)
A2 ( x) + B2 ( x) f ( x)
A1 ( x) − B1 ( x) f ( x)
Đổi dấu trước căn ta được = u − v f ( x) (2)
A2 ( x) − B2 ( x) f ( x)
VT (1) − VT (2) VT (1) + VT (2)

Do đó ta có u
= = ,v
2 2 f ( x)
+ Chia đa thức có chứa hai căn thức :
Ta thực hiện phép chia và thu được
A1 ( x) + B1 ( x) f ( x) + C1 ( x) g( x)
u + v f ( x) + w g( x) (1)
=
A2 ( x) + B2 ( x) f ( x) + C2 ( x) g( x)
Đổi dấu trước f ( x) ta được
A1 ( x) − B1 ( x) f ( x) + C1 ( x) g( x)
u − v f ( x) + w g( x) (2)
=
A2 ( x) − B2 ( x) f ( x) + C2 ( x) g( x)
Đổi dấu trước g( x) ta được
A1 ( x) + B1 ( x) f ( x) − C1 ( x) g( x)
u + v f ( x) − w g( x) (3)
=
A2 ( x) + B2 ( x) f ( x) − C2 ( x) g( x)
Đổi dấu trước f ( x) , g( x) ta được
A1 ( x) − B1 ( x) f ( x) − C1 ( x) g( x)
u − v f ( x) − w g( x) (4)
=
A2 ( x) − B2 ( x) f ( x) − C2 ( x) g( x)
30
Do đó ta có
VT (1) + VT (2) + VT (3) + VT (4)

u= ,
4
VT (1) − VT (2) + VT (3) − VT (4)
v= ,
4 f ( x)
VT (1) + VT (2) − VT (3) − VT (4)
w=
4 g( x )
+ Chia đa thức có chứa ba căn thức:
Ta thực hiện phép chia và thu được
A1 ( x) + B1 ( x) f ( x) + C1 ( x) g( x) + D1 ( x) h( x)
u + v f ( x) + w g( x) + t h( x) (1)
=
A2 ( x) + B2 ( x) f ( x) + C2 ( x) g( x) + D2 ( x) h( x)
Đổi dấu trước f ( x) ta được
A1 ( x) − B1 ( x) f ( x) + C1 ( x) g( x) + D1 ( x) h( x)
u − v f ( x) + w g( x) + t h( x) (2)
=
A2 ( x) − B2 ( x) f ( x) + C2 ( x) g( x) + D2 ( x) h( x)
Đổi dấu trước g( x) ta được
A1 ( x) + B1 ( x) f ( x) − C1 ( x) g( x) + D1 ( x) h( x)
u + v f ( x) − w g( x) + t h( x) (3)
=
A2 ( x) + B2 ( x) f ( x) − C2 ( x) g( x) + D2 ( x) h( x)
Đổi dấu trước h( x) ta được
A1 ( x) + B1 ( x) f ( x) + C1 ( x) g( x) − D1 ( x) h( x)
u + v f ( x) + w g( x) − t h( x) (4)
=
A2 ( x) + B2 ( x) f ( x) + C2 ( x) g( x) − D2 ( x) h( x)
Đổi dấu trước f ( x) , g( x) , h( x) ta được
A1 ( x) − B1 ( x) f ( x) − C1 ( x) g( x) − D1 ( x) h( x)
u − v f ( x) − w g( x) − t h( x) (5)
=
A2 ( x) − B2 ( x) f ( x) − C2 ( x) g( x) − D2 ( x) h( x)
VT (1) + VT (5) VT (1) − VT (2) VT (1) − VT (3) VT (1) − VT (4)

Do đó ta có u
= = ,v = ,w = ,t
2 2 f ( x) 2 g( x) 2 h( x)
Ta dùng CALC để tìm u, v, w, t bằng cách gán

= x 10 k ( k ∈ Z * ) và gán VT vào các biến
khi x = 10 k
⚠ Chú ý: bậc của tử luôn lớn hơn bậc của mẫu.
31
x3 − x2 − x − 5 − ( x + 4 ) x + 2
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức P =
x −1− x + 2
Ta có
x3 − x2 − x − 5 − ( x + 4 ) x + 2 
P= u+v x+2 
=
x −1− x + 2  P +Q P −Q
⇒u
= = ,v
x − x − x − 5 + ( x + 4) x + 2
3 2
 2 2 x+2
Q= u− v x + 2
=
x −1+ x + 2 
Ta gán x = 1000 thì=

10 3 x=
, 10 6 x 2
Dựa trên cơ sở đã trình bày ở trên cùng với chức năng CALC của máy tính cầm tay ta
có các bước như sau:
X3 − X2 − X − 5 − (X + 4) X + 2
Bước 1: Nhập P và ấn =
X −1− X + 2
Bước 2: Bấm r với X = 1000 ta thu được kết quả là P = 1032689,038 rồi bấm
qJz (tức là gán giá trị đó vào biến A)
Bước 3: Thay vì phải trực tiếp nhập Q ta sẽ bấm phím E rồi sửa thành
X3 − X2 − X − 5 + (X + 4) X + 2
rồi cũng bấm r với X = 1000 ta thu được kết quả là
X −1+ X + 2
Q = 969316,962 rồi bấm qJx (tức là gán giá trị đó vào biến B)
Bước 4: Do đó
A+B 6 A−B
u
= = 1001003
= 10= 10 3 +=
3 x 2 + x + 3,=
v = 1001 1 x+1
= 1000 +=
2 2 X+2
Như vậy, ta có kết quả là P = x 2 + x + 3 + ( x + 1) x + 2
Thử lại tính đúng sai: Ta lấy P ban đầu trừ đi P sau rồi CALC với x bất kỳ ta nhận được
kết quả là 0, như vậy ta đã làm đúng.
x 12 − x + ( 11 − x ) x + 1 − 25
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức P =
12 − x + x + 1 − 5
Đây là dạng chia đa thức vô tỷ chứa hai căn thức nên ta có cách làm sau:
32
x 12 − x + ( 11 − x ) x + 1 − 25 
P= = u + v 12 − x + w x + 1 
12 − x + x + 1 − 5  
 u = P + Q + M + N
− x 12 − x + ( 11 − x ) x + 1 − 25
Q= = u − v 12 − x + w x + 1   4
− 12 − x + x + 1 − 5 
  P Q
− +M−N
 ⇒ v =
x 12 − x − ( 11 − x ) x + 1 − 25   4 12 − x
M= = u + v 12 − x − w x + 1   P +Q− M − N
12 − x − x + 1 − 5  w =
− x 12 − x − ( 11 − x ) x + 1 − 25   4 x+1
N= = u − v 12 − x − w x + 1 
− 12 − x − x + 1 − 5 
Do đó ta có quy trình bấm máy như sau:
X 12 − X + ( 11 − X ) X + 1 − 25
Bước 1: Nhập P và ấn =
12 − X + X + 1 − 5
Bước 2: Bấm r với X = 10 −3 thì ta thu được kết quả là P = 26,12683169 và gán vào
biến A bằng cách bấm qJz
Bước 3: Thay vì phải trực tiếp nhập Q ta sẽ bấm phím E rồi sửa thành
−X 12 − X + ( 11 − X ) X + 1 − 25
rồi cũng bấm r với X = 10 −3 ta thu được kết quả là
− 12 − X + X + 1 − 5
Q = 1,875667681 và gán vào biến B bằng cách bấm qJx
Bước 4: Thay vì phải trực tiếp nhập M ta sẽ bấm phím E rồi sửa thành
X 12 − X − ( 11 − X ) X + 1 − 25
12 − X − X + 1 − 5
M = 14,19295468 và gán vào biến C bằng cách bấm qJc
Bước 5: Thay vì phải trực tiếp nhập M ta sẽ bấm phím E rồi sửa thành
−X 12 − X − ( 11 − X ) X + 1 − 25
− 12 − X − X + 1 − 5
N = 3,804545946 và gán vào biến D bằng cách bấm qJj
Bước 6: Lúc này ta có
A + B + C + D 23 A− B+C − D 5 A + B−C − D 5
=u = = ,v = = ,w =
4 2 4 12 − X 2 4 X +1 2
5 12 − x + 5 x + 1 + 23
Như vậy, ta có kết quả là P =
2
33
trị x 10 k ( k ∈ Z * ) cho phù

⚠ Chú ý: Hãy chú ý đến biểu thức trong căn để gán giá =
hợp, tỷ dụ như bài này ta chọn k =−3 < 0 ⇒ x =10 −3 vì nếu cho k > 0 thì không tồn tại
12 − x tại giá trị x đó.
4. Tính giới hạn

a. Tính giới hạn tại một điểm
Ta dùng CALC để tính giới hạn của hàm số f(x) tại điểm x = x0 bằng cách cho giá trị gần
đúng của x0 hay =
x x0 ± 10 − n . Tùy thuộc vào các bạn chọn một số n ∈ N * bằng bao nhiêu
để tính giới hạn một cách thuận lợi nhất.
2 x + 2 − 3x + 1
Ta nghiên cứu ví dụ sau: Tính lim
x →1 x −1
2 X + 2 − 3X + 1
Bước 1: Nhập và ấn =
X −1
Bước 2: Bấm r với X= 1 + 10 −5 ta thu được kết quả là kq ≈ −0, 25
2 x + 2 − 3x + 1 1
Vậy kết quả là lim = −
x →1 x −1 4
b. Kiểm tra nghiệm bội

Như ta đã biết ở mục trên, nghiệm x = x0 là nghiệm bội k của phương trình f ( x) = 0
 f ( x)
lim =0
( )
x → x0 k −1
 x − x 0
khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện  , lúc này
lim f ( x )
≠0
 x→ x0 ( x − x ) k
 0
f ( x) =0 ⇔ ( x − x0 ) .g( x) =0 ( g( x0 ) ≠ 0 )
k
Ta nghiên cứu ví dụ sau:
Cho phương trình 2 x 3 + 7 x 2 − 8 − 4 4 x 2 − 2 =0 . Tìm nghiệm của phương trình đã cho và

nghiệm đó là nghiệm bội mấy.
Dùng SOLVE ta tìm được nghiệm duy nhất là x = −2 , ta sẽ kiểm tra nghiệm đó là nghiệm
2x3 + 7 x2 − 8 − 4 4 x2 − 2
bội mấy bằng cách tính giới hạn lim (ta đã biết cách tính giới
x →−2 x+2
hạn tại một điểm cho trước như mục a, đã trình nên tôi sẽ bỏ qua phần này).
34
Ta thấy:
2x3 + 7 x2 − 8 − 4 4 x2 − 2
lim ≈ 0,
x →−2 x+2
2x3 + 7 x2 − 8 − 4 4 x2 − 2
lim ≈ 0,
( x + 2)
x →−2 2
2x3 + 7 x2 − 8 − 4 4 x2 − 2
lim ≠0
( x + 2)
x →−2 3
Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = −2 và nghiệm đó là nghiệm
ba.
⚠ Chú ý: Do tính giá trị tại điểm gần ≈ x0 nên ta có quy ước về kết quả sau khi tính
≈ 0 ⇔ n ≥ 3
giá trị biểu thức tại một điểm như sau: nếu kết quả ra a × 10 − n  trong đó
≠ 0 ⇔ n ≤ 2
a = const là hệ số, n ∈  .
c. Rút gọn đa thức hữu tỷ
Xét đa thức f ( x=
) an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 trong đó a0 , a1 ,..., an = const là các hệ số và
n∈ N
Ngoài cách dùng CALC với

= x 10 k ( k ∈ Z * ) (mà đã được trình bày ở mục 2 cùng bài)
thì ở phần này tôi sẽ hướng dẫn các bạn sử dụng giới gạn để tìm các hệ số a0 → an khi
mà cách làm ở mục 2 chưa chính xác (nguyên nhân do hệ số lớn …)
f ( x)  an−1 a a  f ( x) − an x n
Ta có=
an lim = lim  an + + ... + n1−1 + 0n  ⇒ an−1 ≈ lim
x →+∞ n x →+∞ x  x x x  x →+∞ x n −1
 f ( x)
an = xlim
→+∞ x n

TỔNG QUÁT:  n
( n, i ∈ N ; n ≥ i )
 f ( x ) − ∑ an−i +1 x n−i +1
an−i = lim i =1
 x →+∞ x n−i
Ta dùng chức năng CALC để tính giới hạn trên bằng cách cho x là một giá trị đủ lớn
như x = 108...
Ta nghiên cứu ví dụ sau đây:
(x )
− 96 x + 148 − 576 ( 2 x − 3 )( 3 x − 1)
2
2
P( x) =
x 2 − 36 x + 52
35
Ta thấy P( x) = a2 x 2 + a1 x + a0 do bậc ở tử cao nhất là bốn và bậc ở mẫu cao nhất là hai
nên ta thu được kết quả bậc cao nhất là hai và để ý thì ta thấy a2 = 1 do hệ số của bậc cao
nhất ở tử là 1 và hệ số của bậc cao nhất ở mẫu là 1. Ta đi tìm hệ số a1 , a0 như sau:
P( x) − a2 x 2 CALC P(10 8 ) − a2 1016

a1 = lim 
X =108
→ a1 ≈ = −156
x →+∞ x 10 8
=
x →+∞
(
a0 lim P( x) − a2 x 2 − a1 x  )CALC
X =108
→ a0 ≈ P(10 8 ) − a2 10=
16
− a1 10 8 388
Như vậy, ta có kết quả là P =x 2 − 156 x + 388
36
§9. MỘT SỐ PHÍM VÀ CHỨC NĂNG BỔ SUNG

1. CÁC PHÍM CƠ BẢN QUAN TRỌNG HAY DÙNG
1) Phím q có chức năng là cùng với các phím chìm chữ vàng tạo thành các
chức năng của phím chìm đó, ví dụ như: qJ có chức năng là gán giá trị vào biến
bất kỳ
2) Phím Q có chức năng là gọi tên các biến chữ đỏ, ví dụ như: Qz là gọi
biến A
3) Phím w là hộp chức năng
4) Phím M có chức năng là lưu kết quả tạm thời.
2. CÁC CHỨC NĂNG BỔ SUNG

1) Chức năng Abs (tính độ lớn): qc
2) Chức năng tăng giảm dấu phẩy: qb lùi dấu phẩy qua phải; ENG tiến dấu phẩy
qua trái
3) Chức năng tính chỉnh hợp chập k của n phần tử: qO
4) Chức năng tính tổ hợp chập k của n phần tử: qP
Ngoài ra còn một số chức năng khác mà tác giả chưa khai thác hết, mong quý bạn đọc
chia sẻ nếu tìm được các chức năng khác.
37
Phải có thời gian để nhìn nhận lại bản thân. Xem

mình đã ngã chỗ nào thì phải đứng dạy ở chỗ đó. Đặc
biệt không được tự ti, tự phụ mà phải tự tin vào bản
thân mình. Bởi lẽ người thành công không bao giờ nói
“không” với bất kì khó khăn nào. Có như vậy thì
thành công sẽ đến với bạn trong tương lai gần.
38

Ứng Dụng Của Máy Tính Cầm Tay Trong Giải Toán

Uploaded by

Document Information

Copyright

Available Formats

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Copyright:

Available Formats

Ứng Dụng Của Máy Tính Cầm Tay Trong Giải Toán

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM – THẦY NGHUYỄN MẠNH

ỨNG DỤNG CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY

(Dùng cho kỳ thi tốt nghiệp THPTQG và tuyển sinh ĐH – CĐ)

 Tài liệu tham khảo cho quý thầy cô và phụ huynh.

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ

§8. CHỨC NĂNG CALC......................................................................................................... 26

Mọi thông tin xin liên hệ:

Thầy Nguyễn Mạnh Cường

Số điện thoại: 0967453602

Chúc các em có kỳ thi đầy thành công và may mắn!

Thầy Nguyễn Mạnh Cường

§1. CHỨC NĂNG EQN

Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.

b. Giải phương trình bậc ba

Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.

2. Giải hệ phương trình

Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.

b. Giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.

§2. CHỨC NĂNG INEQ

Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.

2. Giải bất phương trình bậc ba

Bạn đọc tự nghiên cứu ví dụ.

§3. CHỨC NĂNG TÍNH CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PARABOL

⚠ Chú ý: a 2 ≥ 0, ∀a ⇒ ∀c > 0 : a 2 + c > 0, ∀a

2. Chứng minh phương trình bậc hai vô nghiệm

c 0 ( a > 0 ) vô nghiệm khi

Ví dụ: Giải phương trình x 2 + 4 x + 8 =0

Nên ta trình bày như sau:

b. Phương trình bậc hai hai ẩn vô nghiệm

Giải phương trình x 2 + y 2 + xy − 3x − 5 y + 9 =0

Ta viết phương trình thành

Dễ dàng nhận thấy VT > 0, ∀x , y

=> Ta có cách làm tổng quát sau:

Dạng tổng quát ax 2 + bx + cxy + dy + ey 2 + f =

Do đó VT (1) = ax 2 + ( b + c.10n ) x + ( e.10 2 n + d.10n + f ) = ax 2 + b1 x + c1

Giải phương trình 3x 2 + y 2 + xy − 8 x + 7 y + 12 =

Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc.

§4. CHỨC NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

ô trống còn lại ta thu được kết quả là

Ta hoàn toàn có thể tính bằng công thức đạo hàm

Mà phương trình có nghiệm kép nên ( n f ( x) '= ) ( ax + b ) ' ⇔ a= d

Quá dễ dàng để tìm lượng liên hợp của 2 x − 1 = ax + b

Mà phương trình có nghiệm bội ba nên

Ta nghiên cứu ví dụ sau :

Cho phương trình x 5 − 3x 4 + 4 x 3 − 3x 2 + 2 x − 1 =( x − 1) 2 x 2 − 2 x + 1 . Tìm lượng liên hợp

§5. CHỨC NĂNG STO

§6. CHỨC NĂNG SOLVE

Ví dụ ta đi tìm nghiệm của phương trình

=> Ta rút ra một nhận xét sau:

2. Tìm mối quan hệ giữa hai ẩn

Tìm mối liên hệ giữa hai ẩn x và y thỏa mãn x 3 − y 3 + 12 x 2 + 3 y 2 + 50 x − 5 y + 75 =

+ Hướng 1: Cho Y = 100

Bước 1: Nhập X 3 − Y 3 + 12X 2 + 3Y 2 + 50X − 5Y + 75

Bước 2: Bấm qr với Y = 100 và X bất kỳ ta thu được kết quả là

Do đó mối quan hệ hệ dự đoán giữa x và y là x= y − 5

+ Hướng 2: Lập bảng

Bước 1: Nhập X 3 − Y 3 + 12X 2 + 3Y 2 + 50X − 5Y + 75

Bước 2: Bấm qr với Y = 1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là X = −4 (tức là

Từ đó ta có cách làm như sau :

⇒ Hàm số f (t ) luôn đồng biến trên 

Tìm mối quan hệ giữa x và y dương thỏa mãn x 12 − y + y ( 12 − x 2 ) =

Bước 2: Đến ta ta có hai hướng làm

Bước 2.2 : Bấm qr với Y = 1 và X bất kỳ ta thu được kết quả là