định lý hình học phẳng

- Lí thuyếtNội dung định lí: Cho đường tròn (O) với dây cung AB.
- IN QN DN ID ΔIPC  ΔIND (c - c - c) ICE = IDF  IOE = IOF ΔOEF cân tại OOI là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyếnVậy I là trung điểm EFCách 2: Ta chứng minh định lí con bướm bằng bổ đề HarukiNhắc lại bổ đề Haruki: Cho 2 dây cung không cắt nhau AB vàCD trong cùng 1 đường tròn và 1 điểm P thay đổi trên cung ABkhông chứa C và D, E và F lần lượt là giao của các cung PC, ABvà PD,AB.
- 0Do a ≠ b nên x = y tức MX = MYVí dụ 1: Singapore 2011 Cho tam giác ABC nhọn, không cân, O, H lần lượt là tâm đường trònngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC, AB>AC.
- Chứng minh rằng ∠ODQ = 90 ° A O H E B C D P R F G Gọi G là điểm đối xứng của H qua , khi đó G thuộc đường tròn (O).
- Suy ra OD  EF hay ODQ = 90° Ví dụ 2: MOP 1998 Cho hai đường tròn (C) và (C’) có cùng bán kính, cắt nhau tại haiđiểm A, B.
- Dây cung CD của đường tròn (C)qua điểm O, Gọi P là giao điểm của đoạn thẳng CD cắt (C.
- Chứng minh rằng: AB,CQ, EP đồng quy.
- Gọi M là giao điểm của KDvà AB.Trong đường tròn (C) từ giả thiết O là trung điểm AB, theo định lí conbướm với 4 điểm C, Q, D, K ta có O là trung điểm MS.Mặt khác vì hai đường tròn (C) và (C’) có cùng bán kính nên O là trung điểmAB thì O cũng là trùng điểm của PD,EK nên tứ giác PDEK là hình bình hành.Từ đó ta có ΔKOM=ΔEOS' (g .
- (Đpcm).Ví dụ 3: Đề thi thử VMO 2015 Viện Toán họcCho tam giác nhọn ABC có D, E ,F là trung điểm BC, CA, AB.
- MN, EF cắt nhau tại P.a) Chứng minh (DIP) đi qua trung điểm Q của MNb) Gọi G là điểm cố định trên đoạn EF.
- Chứng minh trung điểm T của RS thuộc đườngtròn cố định A L P F I J E M Q B D C a) Do Q là trung điểm MN nên IQP = 90°, nên chỉ cần chứng minh IDP = 90° hay DP là tiếp tuyến của (I) tại D Gọi L là giao của (I) với trung trực của BC và J là trung điểm LD JEND, JFMD là các tứ giác nội tiếp, FD, ED là đường trung bình, đường tròn đường kính AD, nên ta có MJN = MFD + NED = 2 BAC = 2 ( MAD + DAN.
- G, I cố định nên V cũng cố định Mặt khác ITV= 90° nên T thuộc đường tròn đường kính IV, đây là đường tròn cố định Vậy trung điểm T của RS thuộc một đường tròn cố định2.
- Bài tập tự luyệnBài 1: Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC.
- Giả sử AM cắt đường tròn nộitiếp tam giác ABC tại K, L.
- Các đường thẳng song song với BC qua K, L cắtđường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt tại X, Y.
- Chứng minh rằng MP = MQBài 3: Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp.
- Gọi d là đường thẳngbất kì đi qua đường tròn tâm O với P là hình chiếu vuông góc của O lên đườngthẳng d.
- Gọi W làgiao điểm của đường thẳng d và tiếp tuyến của đường tròn (O) kẻ từ A.
- Chứngminh rằng P là trung điểm của YZ khi và chỉ khi P là trung điểm của XW.Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.
- Gọi S là giaođiểm thứ hai của DP và đường tròn (O) và Q là điểm thuộc đường tròn (O) sao choDQ vuông góc OM .
- Các tiếp tuyến tại B và tại Q của đường tròn (O) cắt nhau tại L .
- Chứngminh rằng A, R, S, L thẳng hàng.Bài 5: Cho tam giác ABC.
- M là trung điểm của BC.
- Chứngminh rằng tứ giác XYZT nội tiếp đường tròn (J) và J chuyển động trên một đườngthẳng cố định.
- ĐINH LÝ AUGUSTE MIQUEL*Auguste Miquel Auguste Miquel là một nhà toán học người Pháp, tác giả của mộtsố định lý hình học phẳng liên quan đến đường tròn và đa giácNăm 1838, sau đó là nhiếp chính (trợ lý giáo sư) toán học tại Nantua , ông đã xuất bảntrên tạp chí toán học của Liouville một số bài báo liên quan đến lý thuyết về đường congvà giao điểm của các đường tròn và hình cầuGiữa năm 1844 và 1846, khi đó là giáo sư toán học tại trường đại học Castres, ông đãxuất bản một luận án về hình học trong ba phần*Địểm MiquelCho tứ giác ABCD có E là giao điểm của AB và CD , F là giao điểm của AD và BC .Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác EBC,FCD,EAD,FAB đồng quy.Gọi M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC và FCD .
- Dotứ giác EMDA nội tiếp hay M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EAD .
- Chứng minhtương tự M cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác FAB .
- Vậy đường tròn ngoại tiếpcủa các tam giác EBC,FDC,EAD,FAB đồng quy tại M .
- Điểm M được gọi là điểmMiquel.*Đường tròn MiquelCho tứ giác ABCD có E là giao điểm của AB và CD , F là giao điểm của AD và BC .Gọi M là điểm Miquel và O1,O2,O3,O4 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tamgiác EBC,CDF,EAD,ABF .
- Chứng minh rằng năm điểm M,O1,O2,O3,O4 cùng nằm trênmột đường tròn.Chứng minh: Gọi H,I,K theo thứ tự là trung điểm của FM,BM,CM .
- Các đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại M và C nên O1O2 là đường trung trực của MC , do đó O1O2 vuông góc với MK tại K .
- Nói cách khác H,I,K theo thứ tự là hình chiếu của M trên các cạnh O2O4, O1O4, O1O2 của tam giác .
- Tươngtự M,O1,,O3 ,O4 cùng nằm trên một đường tròn.
- Vậy năm điểm M,O1,,O2 , O3 ,O4 cùngnằm trên một đường tròn.Đường tròn đi qua năm điểm M,O1,,O2 , O3 ,O4 được gọi là đường tròn Miquel.*Định lý MiquelCho tam giác ABC, với các điểm A´, B´ và C´ lần lượt trên các cạnh BC, AC, và AB khiđó đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB´C´, A´BC´, và A´BC' sẽ đồng quy tại điểm M(điểm Miquel)*Chứng MinhGọi M là giao điểm thứ hai của (BA’C’) và (CA’B’)Ta cần chứng minh M thuộc đường tròn (CA’B.
- ∠A = 180° (Tứ giác B’MC’A nội tiếp đường tròn) (1) ∠C’MA.
- ∠B = 180° (Tứ giác C’MA’B nội tiếp đường tròn) (2) ∠A + ∠B + ∠C = 180° ∠B’MC.
- Điều phải chứng minh*Hệ quả: +Nếu như A´, B´ và C´ trong định lý Miquel không thẳng hàng, định lý này còn có tênlà định lý Pivot.Nếu A´, B´ và C´ thẳng hàng thì điểm Miquel nằm trên đường tròn ngoạitiếp ∆ABC và ngược lại nếu như điểm Midquel nằm trên đường tròn ngoại tiếp thì bađiểm A´, B´ và C´ thẳng hàng + Nếu A', B', C' lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC và AB thì điểm Miquel là tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác ABC + Nếu A', B', C' là lần lượt là chân hình chiếu của A, B, C trên BC, AC , AB thì điểmMiquel là trực tâm của tam giác ABC*Tính chất:1.Chân các đường vuông góc hạ từ điểm M (Miquel) xuống các đường thẳng AB, BC,CD, DA thẳng hàng (đường thẳng Simson)Chứng MinhGọi H, N, K, L lần lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng AB, BC, CD, DA.Dễ thấy H, L, K thuộc đường thẳng Simson của điểm M ứng với tam giác ADEChứng minh tương tự với bộ 3 điểm {L, K, N.
- {N, H, L}→ Điều phải chứng minh2.định lý MannheimCho tam giác ABC .
- M là điểm Miquel của D,E,F ứng với tam giác ABC.
- Chứng minh a.
- Gọi N là giao điểm của AP,BQ .Do tứ giác AFMP,BMFQ nội tiếp nên  APM.
- Giả sử AP,BQ,CR đồng quy tại N .Chứng minh tương tự như trên ta được: tứ giác MPNQ, MPNR nội tiếp.Do đó M ,P,Q,R,N đồng viênMở rộng: 1.Định nghĩa tứ giác toàn phầnTứ giác toàn phần là hình được tạo nên bởi 4 đường thẳng từng đôi một cắt nhau nhưngkhông có 3 đường thẳng nào đồng quy.Chứng minh tính chất:Một số ví dụ:1.Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AC cắt BD tại E.
- Đường tròn ngoại tiếptam giác EAB và ECD cắt nhau tại F.Chứng minh rằng OF⊥FE .Giải:Theo tính chất trục đẳng phương EF, AB, CD đồng quy tại G.Theo định lí Miquel dễ thấy F nằm trên các đường tròn ngoại tiếp tam giác GAC, GBD.Từ đó gọi R là bán kính của đường tròn (O) thì: OE2 − OG2 = (OE2 − R 2.
- Cho tam giác ABC có đường đối trung AD, trung tuyến AM.
- Chứng minh rằngđường tròn ngoại tiếp tam giác KDM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác PBC.Giải: Gọi PB, PC theo thứ tự cắt CA, AB tại E, F.
- Gọi S là giao điểm thứ hai của hai đườngtrong ngoại tiếp tam giác PEF và PBC.
- SPA = ∠SKA , suy ra S nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM.Kẻ tiếp tuyến tại S của đường tròn ngoại tiếp tam giác SPB cắt BC tại T.Do ∆SBE ∼ ∆SCF và tính chất đường đối trung ta có.
- −1 ⇒ TS2 = TB.TC = TD.TM hay TS tiếp xúc với đường tròn ngoạitiếp tam giác KDM.Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM và PBC tiếp xúc với nhau tại S.Nhận xét:Áp dụng tính chất của ví dụ trước ta có được kết quả hay, điểm S thực chất làmột trong các điểm Miquel của tứ giác BCEF.3.
- Cho tam giác ABC nội tiếp (O).
- Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tamgiác ADE.Gọi M là trung điểm của đoạn BC.
- Suy ra K thuộc đường tròn (ABC).
- Từ đây suy ra A thuộc giao hai đường tròn (KBC) và(SMT).Gọi J là giao điểm của CD và BE.
- Theo định lí Brocard ta có T J⊥SK tại A’ .Áp dụng định lí Pascal đảo cho 6 điểm BBKCC J ta suy ra J thuộc đường tròn (KBC).Lại có A’, S, T, M đồng viên.Suy ra: A’ thuộc vào giao của hai đường tròn (SBC) và (SMT).
- Do đó A ≡ A’ .Từ đó suy ra B là điểm Miquel của tam giác KSC nên tứ giác ASDB nội tiếp.
- Do đó hai tam giác ABC và ADE đồngdạng.Bài tập tự luyện:1.Cho tam giác ABC.
- Một đường tròn O qua B, C cắt AC, AB lần lượt tại E, F.BE giaoCF tại P.
- Gọi M là trung điểm của BC, L đối xứng với K qua M.
- Các đường thẳng PK,QL, BC cắt nhau tạo thành tam giác XYZ.
- Chứng minh rằng (XYZ) tiếp xúc với (ABC).2.
- Cho tứ giác lưỡng tâm ABCD có tâm đường tròn ngoại tiếp là O.
- Chứng minh rằng tồn tại môt đường tròn tâm Otiếp xúc với bốn đường tròn ngoại tiếp các tam giác EAD, EBC, FAB, FCD.3.
- Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).
- Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O.Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BA.
- qua K và vuông góc với CA’ và đường thẳng OM cắt nhautạo thành tam giác XYZ.
- Cho tam giác ABC.M,N,P lần lượt thuộc các đường thẳng BC,CA,AB sao choΔABC∼ΔMNP .
- Cmr: tâm ngoại tiếp của tam giác ABC trùng với trực tâm tam giácMNP5.
- (VMO 2006) Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn.Xét M di động trên đườngthẳng CD sao cho M khác C,D .Gọi N là giao điểm thứ 2 khác M của ( BCM ) và( DAM ).Chứng minh: a) N di động trên một đường tròn cố định.b) M N luôn đi qua điểm cố định.6.
- Cho △ A B C một đường tròn (O) cắt các cạnh B C,C A,A B lần lượt tạiA1,A2,B1,B2,C1,C2.Các đường tròn AB1C1,BC1A1,CA1B1 cắt nhau tại E .Các đường trònAB2C2,BC2A2,CA2B2 cắt nhau tại F Chứng minh: O E = O F.1.
- Định lí Pascal Cho các điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (có thể hoán đổi thứ tự).
- Áp dụng định lý Menelaus cho Q tam giác XYZ đối với các đường E D thẳng BCQ, DEP, FAR, ta có: F C P Y B A X Mặt khác, theo tính chất phương tích của một điểm đối với đường tròn ta có: YC.YD=YB.YA, ZF.ZE=ZD.ZC, XB.XA=XF.XE (4) Nhân (1), (2) và (3) theo vế, ta được: Thế (4) vào (5), ta được: Vậy P, Q, R thẳng hàng (theo định lý Menelaus).2.
- Định lí Pascal với bộ điểm ( )Bài 1: (Olympic Toán Trung Âu 2010) o I l đường tròn n i tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, ABlần lượt tại D, E v F tương ứng K l điểm đối xứng của D qua tâm đườngtròn n i tiếp.
- đpcmBài 2: (Mathematical Olympiad Summer Program 1998)Cho tam giác ABC n i tiếp m t đường tròn.
- của đường tròn đó Gọi.
- đồng quy tại làtâm đường tròn n i tiếp tam giác .Áp dụng địn lí ascal c o 6 điểm.
- ta có.
- Chứng minh rằng các đườngchéo của hình lục giác đó đồng quy ”Bài 3: (Đường tròn Mixtilinear)Cho tam giác nội tiếp đường tròn .
- Đường tròn tiếp xúc với , và tiếp xúc với tại.
- Chứng minh rằng đi qua tâmđường tròn nội tiếp của tam giác .
- Lời giải 1 (Pascal)Giả sử tiếp tuyến tại và của đường tròn cắtnhau tại , gọi , lần lượt l giao điểm của , với đường tròn .Ta có ∠K ∠K , ∠K.
- cùng đi qua tâm I của đường tròn n i tiếp tam giác .Áp dụng địn lí ascal c o 6 điểm.
- thẳng ng, ay N đi qua tâm I của đường tròn n i tiếp tamgiác ABC.
- (IMO Shortlist 1991) o điểm t ay đổi trong tam giác ABC cố định.Gọi , là hình chiếu vuông góc của điểm tr n v .
- Gọi l giao điểm của vChứng minh rằng X di chuyển trên m t đường tròn cố định.Bài 2.
- (China 2005) M t đường tròn cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứtự tại các điểm D1, D2, E1, E2, F1, F2.
- o tam giác , các đường p ân giác v đường cao tại đỉnh B và Clần lượt là.
- Đường tròn n i tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC tại Nvà M.
- Chứng minh rằng N, DE, đồng quy.Bài 4.
- (IMO Shortlist 2007) Cho tam giác ABC cố địn , các trung điểm A1, B1,C1 của.
- tương ứng Điểm t ay đổi tr n đường tròn ngoại tiếp tamgiác ác đường thẳng PA1, PB1, PC1 cắt lại đường tròn tại.
- tạo thành tam giác.
- Trong hình học Euclide, định lý được phátbiểu như sau: Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn (O).
- 2) Chứng minh.
- lần lượt l tiếp điểm của với.
- D, DE, EF, FTr n tia l y , tia l y , tia l y , tia TE l y T , tia E l y , tia l y sao c o TT Rõ ràng tồn tại đường tròn (O1) tiếp xúc với VV’, ZZ’ tại V’,Z.
- đường tròn (O2) tiếp xúc với YY’,UU’ tai U’,Y.
- đường tròn (O3) tiếp xúc với XX’,TT’ tại X.
- Tương tự ta thu được AD, BE, CF đồng quy tại tâm đẳng phương của (O1),(O2),(O3).Cách 2:3)Một số trường hợp đặc biệt của định lý BrianChon - Ta có thể áp dụng định lý Brianchon vào các ngũ giác, tứ giác, tam giác ngoại tiếp bằng cách coi những hình này như những lục giác ngoại tiếp đặc biệt có một, hai hoặc ba cặp cạnh trùng nhau.
- Ngũ giác ngoại tiếp đường tròn: Hai đường nối hai cặp đỉnh không kề nhau nào đó cắt nhau tại một điểm thẳng hàng với đỉnh thứ năm và tiếp điểm của cạnh đối diện với đỉnh này.
- Theo đó ta có thể phát hiện thêm những tính chất mới của tứ giác, tam giác ngoại tiếp như sau:• Tứ giác ngoại tiếp đường tròn: Nếu một hình tứ giác ngoại tiếp một đường tròn thì các đường nối các đỉnh đối diện và các đường nối các tiếp điểm trên các cạnh đối diện đồng quy.
- Tam giác ngoại tiếp đường tròn: Nếu một hình tam giác ngoại tiếp một đường tròn thì ba đường nối mỗi đỉnh với tiếp điểm trên mỗi cạnh đối diện là ba đường đồng quy.4) Ứng dụngCác link và trang web tham khảo[1] Tạp chí toán học tuổi thơ 2[2] Tạp chí toán học tuổi trẻ[3] Nguyễn Văn Linh, 108 bài toán hình học sơ cấp[4] Nguyễn Bá Đang, 279 bài toán hình học cả nước[5] Group Hình học phẳng – facebook[6] Diễn đàn Aops[7] Diễn đoàn Toán học VMF[8] HuyCao ' s Blog[9] http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/BetterButterfly.shtml[10] Định lí Miquel và các áp dụng liên quan – NguyễnTrường sơn

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt