Tuyển Tập Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Chuyên Toán

TUYỂN TẬP
N
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN
O
NĂM HỌC 2018 - 2019
IS
HA
VU
Sưu tầm và biên soạn: Vũ Hải Sơn

THÁNG 6 - 2018
TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019
Mục lục
1 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM
ĐỊNH (VÒNG 1) 3
2 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM
ĐỊNH (VÒNG 2) 4
3 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ
NỘI (VÒNG 1) 5
N
4 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ
NỘI (VÒNG 2) 6
O
5 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN
(VÒNG 1) 7
(VÒNG 2)
IS
6 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN
7 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC
HA
GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH (VÒNG 1) 9
8 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC
GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH (VÒNG 2) 10
9 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ 11
10 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ 12
VU
11 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM (VÒNG 2) 13
12 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 14
13 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 15
14 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC NINH 16
15 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 17
16 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH 18
17 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI BÌNH 19
18 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI NGUYÊN 20
19 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG NAM 21
20 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HẢI DƯƠNG 22
21 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN VÀ CHUYÊN TIN TỈNH HƯNG YÊN 23
22 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG 24
N
23 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HÀ TĨNH 25
O
24 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC GIANG 26
25 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HÀ NAM 27
AN
IS
26 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ
28
27 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 29
HA
28 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG BÌNH 30
29 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA 31
30 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG 32
31 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - KHÁNH HÒA 33
VU
32 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH LÀO CAI 34
33 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH PHƯỚC 35
34 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH ĐỊNH 36
35 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẾN TRE 37
36 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH VĨNH PHÚC 38
37 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH ĐỒNG NAI 39
38 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG NGÃI 40

1 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH (VÒNG 1)
Câu 1 ( 2 điểm):
√
a) Giải phương trình 2x + 3 = x
3
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng y = −x − 2(d1 ) và y = x + 3(d2 ) . Gọi A, B lần lượt là giao
2
điểm của (d1 ) và (d2 ) với trục Oy và C là giao điểm của (d1 ) với (d2 ) . Tính diện tích tam giác ABC
c) Cho tam giác ABC có AB = 8cm,BC = 17cm, CA = 15cm . Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC
N
d) Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là 6πcm, độ dài đường sinh là 5cm. Tính thể tích hình nón đó
√ √
√

1 x−1 1− x
Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức P = x− √ : √ + √
x x x+ x
O
(Với x > 0; x 6= 1)
1) Rút gọn biểu thức P
2) Chứng minh rằng với mọi x > 0; x 6= 1 thì P > 4
Câu 3 ( 2,5 điểm)

IS
1) Cho phương trình x2 − mx − m2 + m − 4 = 0 với m là tham số
a) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho (x1 < x2 ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để |x2 | − |x1 | = 2
HA
√ √ √
2) Giải phương trình 6 x + 2 + 3 3 − x = 3x + 1 + 4 −x2 + x + 6
Câu 4 ( 3, 0 điểm) Cho tam giác ABC với AB < AC ngoại tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn (O;R) tiếp xúc với các
cạnh BC; AB lần lượt tại D,N. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O;R) . Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại I cắt các
cạnh AB,AC lần lượt tại E;F.
1) Chứng minh tam giác BOE vuông và EI.BD = F I.CD = R2
2) Gọi P,K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC,AD.Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh AQ = 2KP .
VU
3) Gọi A1 là giao điểm AO với cạnh BC, B1 là giao điểm của BO với cạnh AC . C1 là giao điểm của CO với cạnh AB
1 1 1 2
và (O1 ; R1 ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh + + <
AA1 BB1 CC1 R − OO1
Câu 5 (1 điểm) 
 √ √
(2x + 4y − 1) 2x − y − 1 = (4x − 2y − 3) x + 2y


a) giải hệ phương trình:
 √ √
x2 + 8x + 5 − 2(3y + 2) 4x − 3y = 2 2x2 + 5x + 2


b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + 2bc + 2ca = 7. Tìm GTNN của
11a + 11b + 12c
Q= √ √ √
8a + 56 + 8b2 + 56 + 4c2 + 7
2
——HẾT——–
LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH (VÒNG 2)
Câu 1 (2 điểm)
x2 y2 x2 y 2
a) Rút gọn biểu thức P = − −
r (x + y)(1 − y)
r (x + y)(1 + x) r(1 + x)(1 − y)
1 1 1 1 1 1
b) Chứng minh rằng: 1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 + 2
+ < 2018
1 2 2 3 2017 20182
Câu 2 (2 điểm)
√
N
a) giải phương trình: 2 (1
2
2
− x) x + 2x − 1 + x = x − 1
p
 x − 3y − 2 + y(x − y − 1) + x = 0


b) giải hệ phương trình: √ 4y
3 8 − x − √ = x2 − 14y − 8


y+1+1
O
Câu 3 (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ
nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC
IS
( M khác B, C). Kẻ MH vuông góc với BC ( H ∈ BC), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai
đường thẳng AK, CM giao nhau tại E
a) Chứng minh BE 2 = BC.AB
b) Từ C kẻ CN vuông góc với AB ( N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), Gọi P là giao điểm của NK và CE.
HA
Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BN E và P N E cùng nằm trên đường BP
c) Cho BC = 2R. Gọi O1 ; O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác M CH và M BH. xác định vị trí điểm
M để chu vi tam giác O1 HO2 lớn nhất
Câu 4 ( 1,5 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2x2 + 5y 2 = 41 + 2xy
b) Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n3 + 2019 chia hết cho 6
VU
Câu 5 (1.5 điểm)

√ √
a) Cho các số thực dương thỏa mãn a+ b=1
1p
Chứng minh rằng 3(a + b)2 − (a + b) + 4ab ≥ (a + 3b)(b + 3a)
2
b) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao trong trong bất kỳ 4 điểm nào cũng có ít nhất 3 điểm thẳng hàng. Chứng minh
rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc 1 đường thẳng.
——HẾT——–
.
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI (VÒNG 1)
Câu 1: Cho biểu thức
2x √
√ − x+1
2 x−1
P = √ √ .
(x + 1) x + 1 + (x − 1) x − 1 √ 1 −√
1
x−1 x+1
Với x > 1
N
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm x để P = x − 1
O
Câu 2:
Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng
của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm
IS
nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x phần trăm so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm
2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x phần trăm so với số lượng sản phẩm nhà
máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51 phần
trăm so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x.
HA
Câu 3: cho phương trình x3 − x − 1 = 0. giả sử x0 là một nghiệm của phương trình đã cho
1. Chứng minh x0 > 0
2. Tính giá trị của biểu thức
x20 − 1
q
M= . 2x20 + 3x0 + 2
x30
Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a, AB = b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Qua
VU
điểm M dựng đường thẳng cắt đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD tại P và cắt đường thẳng BC tại Q sao cho
B nằm giữa C và Q.
1. Khi M P ⊥ AC hãy
a) Tính P Q theo a và b
b) Chứng minh a.BP = b.P N
2. Chứng minh M
\ \
NP = M N Q (Không nhất thiết M P và AC vuông góc với nhau)
Câu 5. Các số nguyên x, x1 , x2 , ...x9 thỏa mãn (1 + x1 )(1 + x2 )...(1 + x9 ) = (1 − x1 )(1 − x2 )...(1 − x9 ) = x
Tính P = x.x1 .x2 ...x9
———HẾT——–
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI (VÒNG 2)
Câu 1: Cho số thực x, y không âm thoả mãn (x + 1)(y + 1) = 2. Tính giá trị của biểu thức:
q p
P = x2 + y 2 − 2(x2 + 1)(y 2 + 1) + 2 + xy
Câu 2: Cho các số thực x, y, z không âm thoả mãn x2 + y 2 + z 2 + x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 = 6
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Q = x + y + z
N
Câu 3:
1) Cho biểu thức:
O
(a + b)2
M=
a3 + ab2 − a2 b − b3
Với a, b là các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên.
2) Cho a, b là 2 số nguyên dương, đặt: IS

A = (a + b)2 − 2a2 , B = (a + b)2 − 2b2
Chứng minh rằng A, B không đồng thời là số chính phương.
Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác
HA
BOC cắt đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy P sao cho AP
vuông góc với P C. Đường thẳng qua B song song với OP cắt P C tại Q. Chứng minh rằng:
1) P B = P Q
2) O là trực tâm tam giác ADE
3) P[ [
AO = QAC
Câu 5: Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu 2 người có số
VU
người quen nhau bằng nhau thì họ không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen
nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp)
1) Xây dựng ví dụ để S = 870
2) Chứng minh rằng S ≥ 870
——HẾT——–
ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN (VÒNG 1)
1) Giải phương trình
p √
x2 − x + 2 x3 + 1 = 2 x + 1
2) Giải hệ phương trình
N


xy + y 2 = 1 + y


.

x2 + 2y 2 + 2xy = 4 + x


O
Câu II:
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn
IS
√
(x + y)(3x + 2y)2 = 2x + y − 1
2) Với a, b là các số nguyên thỏa mãn a + 2b = 2 +
a
r
b
3
, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b
M=√ +√
a + 2b b + 2a
HA
Câu III: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Gọi
K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DE, M là trung của đoạn thẳng DF . 1) Chứng minh rằng hai tam
giác BKM và DEF đồng dạng.
2) Gọi L là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng DF , N là trung điểm của ddaonj DE. Chứng minh rằng
M K và N L song song.
3) Gọi J, X lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng KL, ID. Chứng minh rằng đường thẳng JX vuông góc với
đường thẳng EF
VU
Câu IV: trên mặt phẳng cho hai điểm P, Q phân biệt. Xét 10 đường thẳng nằm trong mặt phẳng trên thỏa mãn các
tính chất sau:
i) không có hai đường thẳng nào song song hoặc trùng nhau.
ii) mỗi đường thẳng đi qua P hoặc Q, không có đường thẳng nào đi qua cả P và Q Hoi 10 đường thẳng trên có thể
chia mặt phẳng thành tối đa bao nhiêu miền. Hãy giải thích.
——-HẾT——–
ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN (VÒNG 2)
Câu I:



xy(x + y) = 2


.

x3 + y 3 + x3 y 3 + 7(x + 1)(y + 1) = 31


N
2) Giải phương trình
p √ √
9 + 3 x(3 − 2x) = 7 x + 5 3 − 2x.
O
Câu II:
1) Cho x, y là các số nguyên sao cho x2 − 2xy − y va xy − 2y 2 − x đều chia hết cho 5. Chứng minh rằng 2x2 + y 2 + 2x + y
cũng chia hết cho 5 IS

2) Cho a1 , a2 , ..., a50 là các số nguyên thỏa mãn
1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a50 ≤ 50 và a1 + a2 + ... + a50 = 100
Chứng minh rằng từ các số đã cho ta có thể chọn một vài số có tổng bằng 50
HA
Câu III: Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường tròn (O) có CD song song với BE. Hai đường chéo CE và BD cắt
nhau tại P . Điểm M thuộc đoạn thằng BE sao cho M

\ AE. Điểm K thuộc đoạn thẳng AC sao cho M K song
AB = P[
song với AD, điểm L thuộc đoạn thẳng AD sao cho M L song song với AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC lần
lượt cắt BD, CE tại Q, S (Q khác B, S khác C).
1) Chứng minh rằng ba điểm K, M, Q thẳng hàng.
2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE lần lượt cắt BD, CE tại T, R (T khác D, R khác E). Chứng minh năm điểm
VU
M, S, Q, R, T thuộc một đường tròn.
3)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác P QR tiếp xúc với đường tròn (O)
Câu IV: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

r r !
ab bc 1 1
+ √ +√ ≤2
a+b b+c a+b b+c
——-HẾT——–
7 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN PHỔ THÔNG NĂNG
KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH (VÒNG
1)
Bài 1 ( 1,0 điểm) Biết 0 < x ≤ y và

√ √ √ √
( x + y)2 + ( x − y)2

y x 5 x
√ √ √ √ + √ √ √ +√ √ √ = . Tính
( x + y)( x − y) + 2(x + 2y) x( x + y) y( x + y) 3 y
Bài 2 (2 điểm)
N
2x2 (7 − x)
a) Giải phương trình √ = x(x − 7)
3−x

(x + 3)(x − 1) = (y − 2)(x + 3)


b) Giải hệ phương trình
O
 p
(x − 1) y 2 − 5y + 8 = (y − 2)2


Bài 3 (2 điểm) Cho phương trình x2 − x + 3m − 11 = 0 (1)
a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép? Tìm nghiệm đó
Bài 4 (2 điểm)
IS
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho 2017x1 + 2018x2 = 2019
a) Đầu tháng 5 năm 2018, khi đang vào vụ thu hoạch giá dưa hấu bất ngờ giảm mạnh. Nông dân A cho biết vì sợ
dưa hỏng nên phải bán 30 phần trăm số dưa hấu thu hoạch được với giá 1500 đồng mỗi kg, sau đó nhờ phong trào ” giải
HA
cứu dưa hấu” nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với giá 3500đ/kg; nếu trừ tiền đầu tư thì lãi được 9 triệu đồng (
không kể công chăm sóc hơn 2 tháng của cả nhà). Cũng theo ông A, mỗi sào đầu tư ( hạt giống, phân bón...) hết 4 triệu
đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu. Hỏi ông A đã trồng bao nhiêu sào dưa hấu
b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD ( AB < AC) có chu vi 240 mét được chia thành 2 phần mỗi khu đất hình chữ
nhật ABM N làm chuồng trại và phần còn lại làm vườn thả để nuôi gà (M, N lần lượt thuộc các cạnh AD, BC) Theo
quy hoạch trang trại nuôi được 2400 con gà, bình quân mỗi con gà cần 1 mét vuông diện tích vườn thả và diện tích vườn
VU
thả gấp 3 lần diện tích chuồng trại. Tính chu vi khu đất làm vườn thả.
Bài 5 ( 3 điểm)
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T ) tâm O bán kính R; CAD
\ = 45◦ , AC vuông góc với BD và cắt BD tại I,
AD > BC. Dựng CK vuông góc với AD ( K ∈ AD), CK cắt BD tại H và cắt (T ) tại E ( E không trùng với C)
a) tính số đo góc COD.

\ Chứng minh các điểm C, I, K, D cùng thuộc 1 đường tròn và AC = BD
b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R
c) IK cắt AB tại F . Chứng minh O là trực tâm tam giác AIK và CK.CB = CF.CD
——–HẾT———
8 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN PHỔ THÔNG NĂNG
KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH (VÒNG
2)
Bài 1.(1,5 điểm) Cho các phương trình x2 − x + m = 0(1) và mx2 − x + 1 = 0(2) với m là tham số.
a) Tìm m để các phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của (1) và x3 , x4 là 2 nghiệm của (2).
N
Chứng minh rằng x1 x2 x3 + x2 x3 x4 + x3 x4 x1 + x4 x1 x2 > 5
Bài 2.(2 điểm) Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn a3 + b3 > 0
a) Chứng minh rằng a3 + b3 ≥ a + b > 0
O
b) Chứng minh rằng a3 + b3 ≥ a2 + b2
c) Tìm tất cả các bộ số x,y,z,t nguyên sao cho x3 + y 3 = z 2 + t2 và z 3 + t3 = x2 + y 2

IS
Bài 3.(2 điểm) Cho An = 2018n + 2032n − 1964n − 1984n với n là số tự nhiên
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì An chia hết cho 51
b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho An chia hết cho 45
Bài 4.(3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Một đường tròn qua B,C cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại E và F. BF cắt
HA
CE tại D. Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng ∆KBC đồng dạng ∆DF E, ∆AKC đồng dạng ∆ADE
b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC. Chứng minh rằng MN vuông góc với AK.
c) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm MN. Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của cạnh BC.
d) Đường thẳng IJ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T (T 6= I). Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường
tròn ngoại tiếp tam giác DTJ.
Bài 5.(1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca,
VU
mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham giác vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca
bất kỳ có chung nhau nhiều nhất 1 học sinh.
a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên.
b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?
——-HẾT——–
9 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THPT CHUYÊN
QUỐC HỌC HUẾ
Câu 1: (1,5 điểm)

√ √
x x 2 x
Cho biểu thức P = √ √ +1 : √ − √ √ với x > 0, x 6= 1
x x+ √x x− x x x+ x−x−1
x+ x+1
a) Chứng minh rằng P = √
x−1
b) Tìm các giá trị của x sao cho P = 7
N
Cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx + 4. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P )
tại hai điểm phân biệt A, B nằm khác phía đối với trục tung, khi đó tìm giá trị của m để diện tích tam giác OAB nhỏ
O
nhất.
a) Cho phương trình x2 + x + m − 2 = 0 (x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm
IS
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 3x21 + 2x22 + x1 x2 − x2 = 7
r r
1 2
b) Giải phương trình 3 − x + 3 + x = 1
3 3
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của AO, đường thẳng d qua C và vuông góc với
HA
AB cắt nửa đường tròn (O) tại I. Gọi K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường
tròn đã cho tại M khác A. Tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại M cắt d tại N . Gọi D là giao của BM vầ d.
a) Chứng minh tứ giác ACM D nội tiếp và tam giác M N K cân tại N
b) Khi K là trung điểm CI, hãy tính diện tích tam giác ABD theo R
c) Chứng minh khi K di động trên CI thì đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD đi qua một điểm cố định khác A

VU
√
a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 6n2 + 10n + n2 + 2n + 52 + 2018 là số chính phương
b) Một quân cờ di chuyển trên một bảng ô vuông kích thướng 18x18 theo một trong 3 cách: đi lên một ô, đi sang bên
phải một ô, đi xuống bên trái một ô. Chứng minh rằng không tồn tại một ô nào trên bảng ô vuông đã cho để từ đó quân
cờ có thể đi qua tất cả các ô của bảng, mỗi ô đúng một lần và kết thúc tại ô kề bên phải của ô xuất phát.
———-HẾT———-
QUỐC HỌC HUẾ

√
2x − 12 x − 32 √
a) Cho các biểu thức P (x) = và Q(x) = x + x + 3. Tìm số nguyên x0 sao cho P (x0 ) và Q(x0 ) là
x − 16
các số nguyên, đồng thời P (x0 ) là ước của Q(x0 ).
x x2
b) Cho t = . Tính giác trị biểu thức A = 4 theo t.
x2 −x+1 x + x2 + 1
Câu 2: (2 điểm)
N
1 2 11 3
a) Cho parabol (P ) : y = x và đường thẳng (d) : y = x − . Gọi A, B là các giao điểm của (P ) và (d). Tìm tọa
4 8 2
độ điểm C trên trục tung sao
cho CA + CB có giá trị nhỏ nhất.
O
2x2 + xy − y 2 − 5x + y + 2 = 0

x2 + y 2 + x + y − 4 = 0


thỏa mãn điều kiện

1
x1
+
1
2x2
√
=
1
3
√
IS
a) Xác định các giá trị của m để phương trình x2 − 2mx − 6m − 9 = 0 (x là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
√ √
b) Giải phương trình 3 3x2 − x + 1 − 3 3x2 − 7x + 2 − 3 6x − 3 = 3 2
Câu 4: (3 điểm)
HA
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, có ba đường cao là AD, BE, CF và trực tâm H.
Gọi M là giao của AO và BC và P, Q lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ M đến AB, AC.
a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF .
b) Chứng minh HE.M Q = HF.M P

2
M B DB AB
c) Chứng minh . =
M C DC AC
Câu 5: (2 điểm)
1 1 1 49
VU
a) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng + + ≥

16x 4y z 16
b) Cho số tự nhiên z và các số nguyên x, y thỏa mãn x + y + xy = 1. Tìm giá trị của x, y, z sao cho (2z+1 + 42)(x2 +
y 2 + 1 + x2 y 2 ) là số chính phương lớn nhất.
——-HẾT——–
11 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC SƯ
PHẠM TP.HCM (VÒNG 2)
Câu 1 (2 điểm)
2
x3 + y 3

1 1
a) Cho các số thực x, y khác 0 và thỏa mãn x2 y + xy 2 = x2 − xy + y 2 . Chứng minh rằng = + . Từ
x3 y 3 x y
1 1
đó suy ra + 3 ≤ 16
x3 y
b) Giải phương trình 3(x2 − 3x + 1) +
p
3(x4 + x2 + 1) = 0
Câu 2 (2 điểm)
N
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình x2 y 2 = x2 + 2xy + 8y 2
b) Cho S là tập hợp tất cả các số tự nhiên biểu diễn dưới dạng x2 + 3y 2 với x, y là các số nguyên, tức là S =
O
n ∈ N | n = x2 + 3y 2 trong đó x, y là các số nguyên. Chứng minh các tính chất sau của dãy S.
1) Nếu m ∈ S, n ∈ S thì m.n ∈ S
2) Nếu n ∈ S và n chia hết cho 2 thì n chia hết cho 4.

IS
Câu 3 (2 điểm)
√ √
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhọ nhất của biểu thức P = x − 1 + 6 − 3x khi 1 ≤ x ≤ 2.
x2 y2
b) Chứng minh rằng với x, y là các số thực lớn hơn 2 thì + ≥ 16
y−2 x−2
Câu 4 (2 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và ba đường cao AD, BE, CF . Gọi M, N, K lần lượt là trực
HA
tâm của các tam giác AEF, BDF và CDE. Phân giác trong góc HCA và HBA cắt nhau tại P .
a) Chứng minh rằng BC = AH.tan\

BAC
b) Chứng minh P thuộc đường tròn đường kính BC.
c) Chứng minh tam giác M N K và tam giác DEF bằng nhau.
Câu 5 (1 điểm) Cho đường tròn tâm O và một điểm S nằm ngoài (O). Kẻ các cát tuyến SAB và SCD đến (O) (A
nằm giữa S và B,C nằm giữa S và D). Đường thẳng (d) vuông góc với OS tại S và cắt các đường thẳng BC và AD tại
VU
E và F . Chứng minh rằng OE = OF .
Câu 6 (1 điểm) Có 6 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt, tức là hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận.
Trong mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm, Nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được 1 điểm, Kết
thức giải thì tổng điểm của các đội là các số tự nhiên liên tiếp. Hỏi đội vô địch được mấy điểm? Giải thích rõ các câu trả
lời.
——-HẾT——–
12 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THÀNH PHỐ HÀ
NỘI
Bài I:
√
1) Giải phương trình x2 +
 2x + 7 = (x + 3) x2 + 5

(x − y) x2 − y 2 = 1

(x + y) x2 + y 2 = 1

Bài II:
N
1) tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 4x2 + 8xy + 3y 2 + 2x + y + 2 = 0
2) Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 3a2 + a = 4b2 − b. Chứng minh a + b là một số chính phương
O
Bài III:
1) Với x, y, z là các số thực thay đổi thỏa mãn xyz = 1, chứng minh:
1 1 1
+ + =1
√
1
yz + y + 1
+√
1
zx + z + 1
IS
xy + x + 1 yz + y + 1 zx + z + 1
2) Với xyz là các số thực dương thay đổi thỏa mãn xyz ≥ 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = √
1
xy + x + 1
+
Bài IV: Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, đường cao BE và nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường kính BD của
đường tròn (O). Đường thẳng BE cắt đường thẳng AD và AO lần lượt tại I và H.
HA
1) Chứng minh BH.BI = 2R2
2) Gọi M là trung điểm cạnh AB. Lấy điểm N thuộc tia đối của tia OA sao cho . Chứng minh tứ giác AM N C nội
tiếp.
3) Goi K là trung điểm của BC. Chứng minh đường thẳng KE đi qua trung điểm của đoạn thẳng OI.
Bài V:
Trên một đường tròn cho 2018 điểm phân biệt. An và Bình cùng chơi trò chơi như sau: Mỗi lượt chơi, một bạn sẽ nối
VU
hai điểm trong 2018 điểm đã cho để được một dây cung sao cho dây cung được vẽ không có điểm chung với bất kỳ dây
cung nào đã vẽ trước đó. Hai bạn luân phiên thức hiện trò chơi của mình. Bạn đầu tiên không thể thực hiện được lượt
chơi của mình là người thua cuộc. Nếu An là người đi trước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi để An luôn là người thắng cuộc.
——-HẾT——-
13 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ
NỘI
Bài I (2,0 điểm)

√
1) Giải phương trình: x2 +
 3x + 8 = (x + 5) x2 + x + 2
y 2 − 2xy = 8x2 − 6x + 1

2) Giải hệ phương trình:
 y 2 = x3 + 8x2 − x + 1

Bài II (2,5 điểm)
N
1) Cho p,q là hai số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p4 + 2019q 4 chia hết cho 20.
√ √
2) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn a < b ≤ c < d; ad = bc; d − a ≤ 1
O
a) Chứng minh a + d > b + c
b) Chứng minh a là một số chính phương
Bài III (1,5 điểm)
1
IS
1) Với x, y, z là các số thực thoả mãn xyz = 1, chứng minh
+
1
+
1
xy + x + 1 yz + y + 1 zx + z + 1
=1
1 1 1
2) Với x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn + + = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x y z
HA
1 1 1
P = p +p +√
2 2
2x + y + 3 2 2
2y + z + 3 2z + x2 + 3
2
Bài IV (3,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD (không có 2 cạnh nào song song với nhau) nội tiếp đường tròn (O). Các tia BA và CD cắt nhau ở
F. Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Vẽ hình bình hành AEDK.
1) Chứng minh tam giác FKD đồng dạng với tam giác FEB
2) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua trung điểm
VU
của EF.
3) Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN.
Bài V (1,0 điểm)

Cho tập hợp S = x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 50 Xét A là một tập hợp con bất kì của tập hợp S và có tính chất: Không có ba
phần tử nào của tập hợp A là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
1) Tìm một tập hợp A có đúng 40 phần tử và thoả mãn điều kiện đề bài.
2) Có hay không có một tập hợp A có đúng 41 phần tử và thoả mãn điều kiện đề bài?
Hãy giải thích câu trả lời.
——HẾT——–
14 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC NINH
Câu 1: (2,5 đ)
a) Rút gọn biểu thức
" √ √ # √
a + a2 − b 2 a − a2 − b 2 4 a4 − a2 b 2
P = √ − √ :
2
a− a −b 2 2
a+ a −b 2 b2
với |a| > |b| > 0
 b) Cho phương trình x + ax + b = 0(1), x là ẩn , a, b là tham số. Tìm a,b sao cho (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn
2
N
 x1 − x2 = 5

x3 − x3 = 35

1 2
Câu 2:(2.5 đ)
O
√ √
a) Giải phương trình x + 3 + 3x + 1 = x + 3
b) Cho các số thực a, b, c thảo mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3 Tìm Max và Min của biểu thức
Câu 3:(1.5đ)
IS P =
a2 + b 2 + c2
ab + bc + ca
a)Tìm cặp số nguyên tố (x; y) thỏa mãn x2 − 2y 2 = 1

HA
b) Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên n thì n
là tổng 2 số chính phương liên tiếp.
Câu 4:( 3.0 đ)
1)Từ A ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC (B,C là tiếp điểm ) . AO cắt BC tại H. Đường tròn đường kính CH cắt (O)
tại điểm thứ 2 là D. Gọi T là trung điểm BD
a) Chứng minh ABHD nội tiếp

VU
b) Gọi E là giao điểm thứ 2 của đường tròn đường kính AB với AC. S là giao của AO với BE. Chứng minh TS//HD
2) Cho (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại 2 điểm A,b. Gọi MN là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn với M thuộc (O1 ), N
thuộc O2 . Qua A kẻ đường thẳng d song song với MN cắt O1 ; O2 ; BM ; BN lần lượt tại C,D,F,G. Gọi E là giao của CM
và DN. Chứng minh EF=EG
Câu 5: Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7. Chứng minh rằng luôn chọn được ra 2 số sao
cho tích của chúng là 1 số chính phương.
——-HẾT——–
15 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HỒ
CHÍ MINH
Câu 1. (1 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0 và a2 = 2(a + c + 1)(a + b − 1). tính giá trị của biểu thức
A = a2 + b 2 + c2 .
Câu 2. (2 điểm)
√ 2
a) Giải phương trình: 4 x + 3 = 1 + 4x + .
N
 x
 x2 + y 3 = 1

b) Giải hệ phương trình:
x2 + y 5 = x3 + y 2

O
Câu 3. (2 điểm)
Cho tam giác ABC(AB < AC) vuông tại A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
√ √ √
a) Chứng minh rằng: BE CH + CF BH = AH BC
IS
b) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H và gọi O là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với
BC cắt AC tại K. Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO.
Câu 4. (1,5 điểm)

1
a) Chứng minh rằng : x4 − x + >0
2
HA
b) Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2 − xy + y 2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x2 + y 2
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB.
Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai K. Đường thẳng BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại L. Các đường
thẳng CL và KM cắt nhau tại E. Chứng minh rằng E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM.
VU
Câu 6. (2 điểm)
Các số nguyên dương từ 1 đến 2018 được tô màu theo quy tắc sau: Các số mà khi chia cho 24 dư 17 được tô màu
xanh; Các số mà khi chia cho 40 dư 7 được tô màu đỏ. Các số còn lại được tô màu vàng.
a) Chứng tỏ rằng không có số nào được tô cả hai màu xanh và đỏ. Hỏi có bao nhiêu số được tô màu vàng ?
b) Có bao nhiêu cặp số (a, b) sao cho a được tô màu xanh, b được tô màu đỏ và |a − b| bằng 2 ?
———-HẾT———-
ĐẠI HỌC VINH
Câu 1 (1,5 điểm). Cho phương trình x2 − (2m + 3)x + 3m − 1 = 0, m là tham số.
a) Tìm tất cả các số thực m để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x21 + x22 − x1 x2 = 7.
b) Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm).

√ √ √
a) Giải phương trình
N
+ x + 3 = 2x2 + 4x + 3
x
1 1
 x+ +y− =3


b) Giải hệ phương trình x y
1 1
x2 + 2 + y 2 + 2 = 5


x y
O
Câu 3 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên n (n ≥ 2) và số nguyên tố p thỏa mãn p − 1 chia hết cho n đồng thời n3 − 1 chia
hết cho p. Chứng minh rằng n + p là só chính phương.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn (a − b)2 = a + b + 2. Chứng minh rằng

1+
a3
(b + 1)3

1 +
b3
(a + 1)3

≤ 9.
IS
Câu 5 (3,0 điểm) Cho 2 đường tròn (O; R) và (O′ ; r) cắt nhau tại 2 điểm A và B (R > r) sao cho O và O′ ở hai phía
đối với đường thẳng AB. Gọi K là điểm sao cho OAO′ K là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng tam giác ABK là tam giác vuông.

HA
b) Đường tròn tâm K bán kinh KA cắt đường tròn (O; R) và (O′ ; r) theo thứ tự tại M và N (M, N khác A). Chứng
minh rằng ABM \.

\ = ABN
c) Trên đường tròn (O; R) lấy điểm C thuộc cung AM không chưa B (C khác A, M ). Đường thẳng CA cắt đường
tròn (O′ ; r) tại D. Chứng minh rằng KC = KD.
Câu 6 (0,5 điểm). Cho 17 số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp 1, 2, 3, 4. Chứng minh rằng ta có
thể chọn được 5 ó trong 17 số đã cho sao cho tổng của 5 số này chia hết cho 5.
VU
——HẾT——-
17 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI BÌNH
Câu 1: (2 điểm)
1) Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − 2m + 4 = 0 (1) (với m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
√ √
không âm x1 , x2 . Tính theo m giá trị biểu thức P = x1 + x2 và tìm min của P.
x2 + 2
2) Cho hàm số y = . Tìm tất cả giá trị x nguyên để y nguyên.
x+2
Câu 2: (2 điểm)
1) Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện a + 2b + 5c = 0. Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.
N
3
2) Giải phương trình: (4x3 − x + 3)3 = x3 +
2
Câu 3: (1 điểm)
Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết với vận tốc đều trong
O
3 giờ, cây nến thứ 2 cháy hết trong vận tốc đều trong 4 giờ. Hỏi phải cùng bắt đầu đốt lúc mấy giờ chiều đề đến 4 giờ
chiều phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đôi phần còn lại của cây nến thứ nhất.
Câu 4: (1 điểm) IS
Cho các số x,y dương thoả mãn điều kiện (x +
P =x+y
√
1 + x2 )(y + 1 + y 2 ) = 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
p
Câu 5: (3.5 điểm)

HA
1) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai
nửa đường tròn đường kính BH và HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E,F.
a) Tình diện tích nửa đường tròn đường kính BH.
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và
CH.
2) Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai đỉnh M, N thuộc nửa đường
tròn, hải đỉnh P, Q thuộc đường kính AB sao cho SMN P Q đạt max.
VU
Câu 6: (0.5 điểm)

1 1 1
Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện + 2 + 2 =1
a2 b c
1 1 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = √ +√ +√
5a2 + 2ab + 2b2 5b2 + 2bc + 2c2 5c2 + 2ca + 2a2
———-HẾT———
18 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI
NGUYÊN
Câu 1:(1,5 điểm )
Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức:
√ √ √
3+ 5 5 3 5
A= √ +√ − √
5+2 5−1 3+ 5
N
Câu 2(1,5 điểm)
Giải hệ phương trình


x2 + y 2 + 3 = 4x

O

x3 + 12x + y 3 = 6x2 + 9


Câu 3:( 1 điểm)
IS
Tìm các số x; y nguyên dương thỏa mãn
16(x3 − y 3 ) = 15xy + 371
Câu 4:(1 điểm) Giải phương trình

HA
√ √
2x − 3 + 5 − 2x = 3x2 − 12x = 14
Câu 5:( 1, 5 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương.Chứng minh
x2 y2 z2 x+y+z
p +p +√ ≤
2 2
8x + 3y + 14xy 2 2
8y + 3z + 14yz 2 2
8z + 3x + 14xz 5
VU
Câu 6:
Cho ∆ABC cân có∠BAC = 1000 . Điểm D thuộc nửa mặt phẳng không chứa A có bờ BC sao cho ∠CBD =
150 ; ∠BCD = 350 . Tính số đo ∠ADB
Câu 7: Cho ∆ABC nội tiếp (O), AB < AC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H( D ∈ AC, E ∈ AB). Gọi M là
trung điểm BC. Tia MH cắt (O) tại N.
a) Chứng minh A, D, E, H, N cùng thuộc một đường tròn
b) Lấy điểm P trên đoạn BC sao cho ∠BHP = ∠CHM . Q là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng HP. Chứng
minh DENQ là hình thang cân
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ tiếp xúc với (O)
———–HẾT———-
19 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG
NAM
Câu 1(2 điểm):

√ √ √ ! √ √ !
a+1 ab + a 2a b + 2 ab
a) Cho biểu thức: A = √ + √ +1 : với a > 0; b > 0 và ab 6= 1.
ab + 1 1 − ab 1 − ab
√ √ √
Rút gọn biểu thức A và tìm giá trị lớn nhất của nó khi a + b = ab
b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức: x2 y 2 − x2 − 6y 2 = 2xy
Câu 2(2 điểm):
N
√ √ √ √
a) Giải phương trình 3
x2+ 4x + 3 − 3 2x2 − 3x − 2 = 3 3x2 − 2x + 2 − 3 4x2 − 9x − 3
 3 27
8x + 3 = 18

b) Giải hệ phương trình: y
O
4x2 6x
+ 2 =1



y y
Câu 3(1 điểm):
Cho hai hàm số y = 2x2 và y = |mx|. Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt là ba
đỉnh của tam giác đều.
Câu 4(2 điểm):

IS
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 3M D.Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại
I sao cho ∠ABM = ∠M BI. Kẻ tia phân giác ∠CBI, tia này cắt cạnh CD tại N .
HA
a) So sánh M N với AM + N C
b) Tính diện tích tam giác BM N theo a.
Câu 5(2 điểm): Cho đường tròn tâm (O), dây cung AB không qua O. Điểm M nằm trên cung lớn AB. Các đường
cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H.
a) CM: OM vuông góc EF .
b) Đường tròn tâm H bán kính HM cắt M A, M B tại C, D. CMR: khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng
VU
kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 6(1 điểm):
Cho ba số thực dương a, b, c.CMR:

a2 + b 2 c2 + b 2 a2 + c2 3(a2 + b2 + c2 )
+ + ≤
a+b c+b a+c a+b+c
———–HẾT———–
20 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HẢI DƯƠNG
Câu 1: (2,0 điểm) s

√ p √
a2 x+ x−2 x+1+1
1) Cho x = a + 1 − 1+ a2 + (a > 0) và P = √ .
(a + 1)2 x2 − 2x + 1
Rút gọn P theo a
√
2) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + xyz = 4
√
Chứng minh x(4 − y)(4 − z) + y(4 − z)(4 − x) + z(4 − x)(4 − y) − xyz = 8
p p p
N
r
3
1) Giải phương trình 2(x + 1) x + = x2 + 7
 x
3x2 + xy − 4x + 2y = 2

O
x(x + 1) + y(y + 1) = 4

1) Đặt N = a1 + a2 + a3 + ... + a2017 + a2018 ,M = a51 + a52 + a53 + ... + a52017 + a52018 . với a1 , a2 , a3 , ..., a2017 , a2018 là
IS
những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu N chia hết cho 30 thì M chia hết cho 30.
2) Tìm tất cả số tự nhiên n và k để (n8 + 42k+1 ) là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Gọi A là điểm di động trên nửa đường tròn (A khỏc
B, C). Kẻ AD ⊥ V C (D thuộc BC) sao cho đường tròn đường kính AD cắt AB, AC và nửa đường tròn (O) lần lượt tại
E, F, G (G khác A). Đường thẳng AG cắt BC tại H.

HA
AD3
1)Tính theo R và chứng minh H, E, F thẳng hàng
BE.CF
2) Chứng minh rằng F G.F H + GH.CF = CG.HF
3) Trên BC lấy M cố định (M khác B, C). Gọi N, P lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M AB và M AC.
Xác định vị trí của A để diện tích tam giác M N P nhỏ nhất.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
2a b c
√ +√ +√ − a2 − 28b2 − 28c2
VU
1+a 2 1+b 2 1 + c2
——–HẾT———
21 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN VÀ CHUYÊN TIN
TỈNH HƯNG YÊN
Câu 1:
√
x+1 1
Cho các biểu thức A = √ √ : √ và B = x4 − 5x2 − 8x + 2025 với x > 0; x 6= 1
x x + x + x −x2 + x x
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để biểu thức T = B − 2A2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2:a)Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị 2 hàm số y = x2 ; y=x-m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) và
N
B = (x2 ; y2 ) sao cho (x1 − x2 )8 + (y1 − y2 )8 = 162
b) Tìm các giá trị nguyên của x để x4 + (x + 1)3 − 2x2 − 2x là số chính phương
O
Câu 3:
√ √
a) Giải phương trình 2x3
− 108x + 45 = x 48x + 20 − 3x2

x2 + x + y 2 + y = (x + 1)(y + 1)

Câu 4





x
y+1
2
+
IS
y
x+1
2
=1
Cho đường tròn (O; R) và 1 đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn.Trên D lấy 1 điểm M bất kỳ. Từ M
kẻ tiếp tuyến M A, M B với (O) (A, B là tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn
HA
(O) tại C cắt đường thẳng AB tại E.
a) Chứng minh rằng BE.M B = BC.OB
b) Gọi N là giao điểm của CM với OE. Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm 2 đoạn thẳng OM và CE vuông
góc với đường thẳng BN .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB khi M di động trên đường thẳng d.Biết R = 8cm và khoảng cách từ O đến
d = 10cm.
VU
Câu 5.
Cho a, b là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện a > 0 và a + b ≥ 1

8a2 + b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = + b2
4a
———HẾT———
22 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ
HẢI PHÒNG
Câu 1:
√
x+1 1 1
a) Cho biểu thức P = : √ + √ với x > 0 và x 6= 4. Rút gọn biểu thức P . Tìm giá trị của x để
4−x 2 x−x 2− x
1
P >
7
b) Cho phương trình x2 + 6x − 6m − m2 = 0 (1) (với m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai
nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x21 = 6x1 + x2
N
Câu 2:
√ √
a) Giải phương trình 3x 2
− 2 − x + 1 = 2x + x − 6
O

y 2 − xy − 2x2 = 6(x + y)



(4x + 1)2 = 3(4y − 21)


Câu 3: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường
IS
tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm D,E (D nằm giữa A và E). Gọi H là giao
điểm của BC và AO.
a) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trên cung nhỏ CD của đường tròn (O) lấy điểm F tùy ý (F khác C,D).Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với lần
HA
lượt cắt FC, FE lần lượt tại M,N.
AB BD NF BD2
Chứng minh rằng = và =
AE BE NE BE 2
c) MB cắt (O) tại P (P khác B). chứng minh rằng NH song song với PD.
Câu 4:
Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc = 2. Chứng minh rằng

√ √ √
a3 + b 3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b
VU
Câu 5:
a) Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n2 .Chứng minh rằng 24(2n + 3)Sn + 1 là số chính
phương.
b) Đặt tùy ý 2018 tấm bìa hình vuông canh bằng 1 nằm trong một hình vuông lớn có cạnh bằng 131. Chứng minh
rằng trong hình vuông lớn, ta luôn đặt được một một hình tròn bán kính 1 sao cho hình tròn trên không có điểm chung
với bất cứ hình vuông nào.
———Hết———-
23 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HÀ TĨNH

1 1 1
Câu 1. (1,5 điểm) Cho x, y, z là các số hữu tỷ, thõa mãn + =
x y z
Chứng minh x2 + y 2 + z 2 là số hữu tỷ.
p

√
a) Giải phương trình 4x2 − 3x + 2 = x + 2


 xy − x − y = −5
1 1 2
+ =


x2 − 2x y 2 − 2y 3
N
a) Cho phương trình x2 + 2mx − 1 − 2m = 0 (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai ngiệm x1 , x2
x1 x2 + 1
với mọi m. Tìm m để biểu thức P = đạt giá trị nhỏ nhất
O
x21 − 2mx2 + 1 − 2m
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1.
xy yz zx 3
r r r
Chứng minh + + ≤ .
xy + z yz + x zx + y 2
Câu 4. (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O 6∈ AB). C là điểm di động trên đoạn AB (C
IS
không trùng với A, B và trung điểm AB). Đường tròn tâm P đi qua điểm C và tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, đường
tròn tâm Q đi qua điểm C và tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Các đường tròn (P ), (Q) cắt nhau tại điểm thứ hai là
M . Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B cắt nhau tại I.
a) Chứng minh M C là tia phân giác của góc AM B và các điểm A, M, O, B, I cùng thuộc một đường tròn.
HA
b) Chứng minh khi điểm C thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M P Q thuộc môt đường thẳng cố định.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho a1 < a2 < a3 < ... < an < ... với (n ∈ N∗ ) là những số nguyên dương và không có hai số nào liên
tiếp. Đặt Sn = a1 + a2 + ... + an . Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất một số chính phương b thỏa mãn Sn ≤ b ≤ Sn+1
——-HẾT——-
VU
24 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC GIANG
Câu 1:
√ √
x+4 x+4 x+ x 1 1
1. Cho biểu thức A = √ + : √ − √ (x > 0; x 6= 1).
x+ x−2 1−x x+1 1− x
a) Rút gọn biểu thức A.
√
1 + 2018
b) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để A ≥ √ .
2018
2. Cho phương trình x2 − (m + 1)x − 3 = 0 (1), với ẩn x, m là tham số. Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (1).
3x21 + 3x22 + 4x1 + 4x2 − 5
Đặt B = . Tìm m khi B đạt giá trị lớn nhất.
x21 + x22 − 4
N
Câu 2:
√
1. Giải phương trình + 3 + x2 + 4x = 7.
x

O
x2 − xy − x + 3y − 6 = 0


2. Giải hệ phương trình
 √ √
 5x − 6 + 16 − 3y = 2y 2 − 2x + y − 4


Câu 3:
IS
1. Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n sao cho n2 + 2018 là số chính phương.
2. Mười đội bóng chuyền tham gia giải bóng chuyền VTV cup 2018. Cứ 2 đội trong giải đấu đó thi đấu với nhau đúng
1 trận. Đội thứ nhất thắng x1 trận và thua y1 trận, ... , đội thứ 10 thắng x10 trận và thua y10 trận. Biết rằng trong 1
trận bóng chuyền không có trận hòa. Chứng minh rằng: x21 + x22 + ... + x210 = y12 + y22 + ... + y10
2
.
HA
Câu 4:
1. Cho tam giác ABC nhọn nối tiếp đường tròn (O) với AB < AC. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC (M không trùng
với B, C), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác M CD cắt đường
thẳng AC tại điểm E khác C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác M BD cắt đường thẳng AB tại điểm F khác B.
a) Chứng minh rằng tứ giác BECF nội tiếp trong một đường tròn.
b) Chứng minh rằng hai tam giác ECD, F BD đồng dạng và 3 điểm E, M, F thẳng hàng.
c) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF .

VU
2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các cạnh của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện BC 2 = 2.BC.AC + 4AC 2 . Tính
số đo \
ABC.
Câu 5:
Cho x, y, z là các số thực toản mãn x2 + y 2 + z 2 = 8. Tìm GTLN của niểu thức:
M = x3 − y 3 + y 3 − z 3 + z 3 − x3 .

——-HẾT——-
25 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HÀ NAM
Câu 1:
√ !
1 √ 2
r
1+a 1−a 1
Cho biểu thức Q = √ √ +√ −1− a − 2a + 1 (Với 0 < a < 1)
1+a− 1−a 1 − a2 − 1 + a a2 a
1) Rút gọn Q
2) So sánh Q và Q3
Câu 2:
√ √
1) Giải phương trình:

x+9−3 9 − x + 3 = 2x
N
2) Trong mặt phẳng toạn độ Oxy, cho Parabol (P ) có phương trình và hai đường thẳng (d) : y = m và (d′ ) : y = m2
(Với 0 < m < 1). Đường thẳng (d) cắt Parabol (P ) tai hai điểm phân biệt A và B, đường thẳng (d′ ) cắt Parabol (P ) tại
hai điểm phân biệt C và D (Với hoành độ điểm A và D là số âm). Tìm m sao cho diện tích tứ giác ABCD gấp 9 lần
O
diện tích tứ giác OCD.
Câu 3:
Câu 4:
IS
Tìm các số nguyên dươngx, y thỏa mãn 7x = 3.2y + 1
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định (d và (O) không có điểm chung). Điểm P di động trên đường thẳng d.
từ điểm P vẽ hai tiếp tuyến P A, P B (A, B thuộc đường tròn (O)). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ điểm A xuống
HA
đường kính BC, điểm E là giao điểm của hai đường thẳng CP và AH. Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng CP
và đường tròn (O).
1) Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AH.
2) Vẽ dây cung CN của đường tròn (O) sao cho CN song song với AB. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng N F
IF AF
và AB. Chứng minh = và IA = IB
IB AC
3) Chứng minh điểm I thuộc một đường cố định khi P di động trên d.
Câu 5:
VU
Một học sinh chấm tùy ý 6 điểm phân biệt vào trong một hình tròn bán kính bằng 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại
hai điểm A, B trong 6 điểm đã cho thỏa mãn AB ≤ 1
Câu 6:
Cho các sô thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx ≥ x + y + z

x2 y2 z2
Chứng minh rằng √ +p +√ ≥1
x3 + 8 y3 + 8 z3 + 8
——-HẾT——
PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN
Câu 1:
√ √
a) Giải phương trình − 2 + 4 − x = 2x2 − 5x − 1
x
xy − 3y = 4x2


y 2 + 2y + 7 = 7x2 + 8x

Câu 2:
N
a) Tìm các số nguyên x, y, z sao cho x2 + y 2 + z 2 < xy + 3y + 4z
b) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m + n + 1 là một ước nguyên tố của 2 m2 + n2 − 1

O
Chứng minh rằng: m.n là số chính phương.
Câu 3:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Câu 4:
√
1
IS
a4 − a3 + ab + 2
+√
1
b4 − b3 + bc + 2
+√
1
c4 − c3 + ca + 2
√
≤ 3
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A
HA
qua BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I. Đường
thẳng BI cắt đường tròn (O) tại N (N khác B).
a) Chứng minh AN.BI = DH.BK
b) Tiếp tuyến của (O) tại D cắt dường thẳng BC tại P . Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại
tiếp tam giác AN P .
c) Tiếp tuyến của (O) tại C cắt DP tại M . Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M và cắt OD tại Q (Q khác D).
Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường
VU
tròn (O).
Câu 5:
Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cup 2018, ban tổ chức giải quyết định chuẩn bị 25000 quả bóng, các quả bóng
được đánh số từ 1 đế 25000. Người ta dùng bảy màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng
(Mỗi quả được sơn một màu). Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại ba quả bóng cùng màu được đánh
số là a, b, c mà a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc > 17.
——–HẾT——-
HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ
Câu 1:
1 1 1
a) Cho a, b, c là 3 số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a + = b + = c + = x (x ∈ R). Tính P = x.abc
b c a
1 1 1
b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 9 và + + = 1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y z
T = x3 + y 3 + z 3 + 3xyz
Câu 2: Cho a là số nguyên dương. Giả sử x1 , x2 , x3 (x1 < x2 < x3 ) là các nghiệm của phương trình x3 −3x2 +(2−a)x+a =
N
0
a) Chứng minh rằng A = 4(x1 + x2 ) − x21 + x22 + x23 không đổi khi a thay đổi.
O
b) Đặt Sn = xn1 + xn2 + xn3 (n ∈ N). Chứng minh Sn là một số nguyên lẻ với mọi n ∈ N.
Câu 3:
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 (y + 3) = y(x2 − 3)2

√
b) Giải phương trình x2 − 2 2x − 1 =
IS
13x2 − 28x + 24
2x + 1
Câu 4: Cho nửa đường tòn tâm O đương kính AB = 2R, H là điểm cố định trên đoạn OA (H 6= O, H 6= A). Đường
thẳng qua H và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đã cho tại C. Gọi E là điểm thay đổi trên cung AC (E 6= A, E 6= C),
F là điểm thay đổi trên cung BC(F 6= B, F 6= C) sao cho EHC

\ =F\HC.
HA
a) Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp
b) Gọi R′ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHOF . Tính góc EHF
\ khi R = R′
c) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: Trung tâm thành phố Việt Trì có tất cả 2019 bóng đèn chiếu sáng đô thị, bao gồm 3 loại: Đèn ánh sáng trắng
có 671 bóng, đèn ánh sáng vàng nhạt có 673 bóng, bóng đèn ánh sáng đỏ có 675 bóng. Vào dịp Giỗ tổ Hùng Vương,
người ta thực hiện dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: Mỗi lần người ta tháo bỏ hai bóng đèn khác loại và thay vào
VU
đó bằng 2 bóng đèn thuộc loại còn lại. Hỏi theo quy trình trên, đến một lúc nào đó, người ta có thể nhận được tất cả các
bóng đèn đều thuộc cùng một loại không?
——–HẾT——-
BÌNH
√
2 x+1 1 2 1
Câu 1: Cho biểu thức: A = √ −√ : √ −√ với x > 0
x+3 x+2 x+1 x+2 x+1
a) Rút gọn A.
1
b) Tìm các giá trị x > để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
9
Câu 2:
√ √

p
 x + 2y + x − 2y = 1 + x2 − 4y 2

N
a) Giải hệ phương trình
√ √
x + 2y = 1


b) Cho Parabol (P ):y = x2 và đường thẳng (d):y = 4x + 1 − 2m. Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P ) tại hai điểm
√ √
phân biệt có tung độ y1 ; y2 thỏa mãn
O
y1 . y2 = 5
1 21 4c
Câu 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = abc
1 + a 21 + 2b 4c + 27
Câu 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x3 − y 3 = 2018.2019
IS
Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn.
Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M vẽ M I ⊥ AB; M K ⊥ AC
a) Chứng minh rằng AIM K nội tiếp.
b) Vẽ M P ⊥ BC Chứng minh rằng M

\ \
PK = M BC
HA
c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích M I.M K.M P đạt giá trị lớn nhất.
——HẾT——
VU
LAM SƠN - THANH HÓA
Câu I:
2x − y
1. Tính giá trị cua biểu thức A = , biết x2 − 2y 2 = xy và y 6= 0, x + y 6= 0
x+y
1 1
2. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2 − x − 1 = 0, tính B = 5 + 5
x1 x2
Câu II: 
 2
(1 + x)2 = −

N

1. Giải hệ phương trình: y
 2
(1 + y)2 = −


x
2. Tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình 2x2 − 2mx + m2 − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa
O
mãn 0 ≤ x1 ≤ x2 , khi đó xác định giá trị lớn nhất của x2
Câu III:
1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 9x2 + 6x(y − 1) + 3y 2 + 2y = 35

IS
2. Tìm các số nguyên dương a, b nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn
a+b
a2 + b 2
=
9
41
Câu IV: Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên đường tròn (BC không đi qua O), A là điểm di động trên
cung lớn BC sao cho ABC là tam giác nhọn. Đường trronf tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, AC
tương ứng tạiM, N . Gọi Q là điểm chính giữa cung nho BC của đường tròn (O), P là giao điểm của AQ và BC, E là
HA
giao điểm của CI với M N .
1. Chứng minh tam giác BIQ cân.
2. Chứng minh 4 điểm B, I, M, E cùng nằm trên một đường tròn.
3. Chứng minh AI.P Q = IP.IQ và tìm vị trí của A để tích AI.P Q đạt giá trị lớn nhất.
Câu V: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy 2 z 2 + x2 z + y = 3z 2 . Timf giá trị lớn nhất của
z4
biểu thức M = .
1+ z 4 (x4 + y4)
VU
——-HẾT——-
30 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ ĐÀ
NẴNG
Bài 1:
√ √
2(x − 1) x2 − x 2x + x 3
a) Cho biểu thức A = √ + √ − √ , với x > 0, x 6= 1. Chứng minh rằng A ≥ .
x−1 x+ x+1 x 4
1 8
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y thỏa mãn y = +
x+1 x+4
Bài 2:
a) Chứng minh rằng phương trình ax2 + 2bx + c cx2 + 2ax + b = 0 luôn có nghiệm với mọi số
N

bx2 + 2cx + a
thực a, b, c.
b) Trên cùng một hệ trục tọa đô Oxy, cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx + 2m, với m là tham
O
số. Gọi A vàB lần lượt là giao điểm của (d) với trục hoành và trục tung. Tìm tất cả các giá trị của m để (P ) cắt (d) tại
hai điểm C và D nằm về hai phía trục tung sao cho sao cho điểm C có hoành độ âm và BD = 2AC.
Bài 3:
a) Giải phương trình 5x(x




√
IS
p
2
+ 1) = 3(x 2x + 1 + 4)
 √
4 x + 2 + 2 3(x + 4) = 3y(y − 1) + 10
(x + 2)3 + x = y(y 2 + 1) − 2



Bài 4:
HA
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) có \
BAC tù, AB < AC và H là trực tâm. Cấc đường thẳng
AH, BH, CH lần lượt cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại các điểm D, E, F .
a) Chứng minh rằng AO vuông góc với EF
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của đường thẳng AO với đường tròn ngoại tiếp tam giác OHD. Chứng minh rằng EF
là đường trung trực của đoạn AK.
Bài 5: Cho hai đường tròn (I; r) và (J; R) tiếp xúc ngoài nhau tại E (Với r < R) và đường thẳng d là tiếp chung tại
VU
E của hai đường tròn đó. Trên d lấy hai điểm A và C sao cho E nằm giữa A và C và R < EA < EC. Các tiếp tuyến thứ
hai của đường tròn (I) vẽ từ A và C cắt nhau tại B, các tiếp tuyến thứ hai của đường tròn (J) vẽ từ A và C cắt nhau
tại D. Chứng minh rằng tồn tại một điểm cách đều bốn đường thẳng AB, BC, CD, DA.
Bài 6:
Cho x, y là các số tự nhiên thỏa mãn 3y 2 + 1 = 4x2 . Chứng minh rằng x là tổng bình phương của hai số nguyên liên
tiếp.
——-HẾT——-
31 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN -
KHÁNH HÒA
Bài 1:
√
a) Giải phương trình x2 + 2x + 2 = 3x x + 1
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác cân.
Bài 2:
a) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta luôn có (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca)

2
N
1 1 1 1 1 1 1 1
b) Cho ba số x, y, z khác 0 đồng thời thỏa mãn x + y + z = , 2 + 2 + 2 + = 4 và + + > 0. Tính giá
2 x y z xyz x y z
trị của biểu thức Q = y 2017 + z 2017 z 2017 + x2017 x2017 + y 2017 .

O
Bài 3: Cho đường tròn O đường kính BC và H là một điểm tren đoạn thẳng BO (điểm H không trùng với B và O).
Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường tròn (O) tại A và D. Gọi M là giao điểm của AC và BD, qua M
vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại N .
b) Tính giá trị của P = 2

BO
AB
2
−
OH
BH
IS
a) Chứng minh rằng M BN A là tứ giác nội tiếp.
c) Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt hai đường thẳng AC và AN lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng
đường thẳng EC luôn đi qua trung điểm I của của đoạn thẳng AH khi điểm H di động trên đoạn thẳng BO.
HA
Bài 4:
√ √
1 + a2 1 + b2 √
Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Chứng minh rằng + − 1 + c2 < 1
a b
Bài 5:
Để tiết kiệm chi phí vận hành đồng thời đưa du khác tham quan hết 18 danh lam thắng cảnh trong tỉnh K, Công ty
Du lịch lữ hành KH đã thiết lập các tuyến một chiều như sau: nếu có chuyến đi từ A đến B và từ B đến C thì sẽ không
có chuyến đi từ A đến C. Hỏi có bao nhiêu cách thiết lập để đi hết 18 địa điểm trên?
VU
———HẾT——–
32 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH LÀO CAI
Câu 1:(3 điểm)

√ √
a3 − b 3 a b
1) Cho biểu thức P = −√ √ −√ √ với a, b là các số thực dương khác nhau. Rút gọn P .
a−b a+ b b− a
1 1 1 √ √ √
2) Cho hai số dương a, b và số c khác 0 thỏa mãn điều kiện + + = 0. Chứng minh rằng: a + b = a + c+ b + c
a b c
√ √ √ √
3) Cho x = 3 + 2 2 − 3 − 2 2; y = 17 + 12 2 − 17 − 12 2. Tính giá trị biểu thức M = (x − y)3 + 3(x −
p3
p
3
p3
p
3
y)(xy + 1)
Câu 2:(2 điểm)
N
1) Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 20 tấn rau theo một hợp đồng. Nhưng khi vào việc, công ty
không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn 1 tấn so với xe lớn ban đầu. Để đảm bảo thời gian
O
đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi trọng tải mỗi xe nhỏ là bao nhiêu
tấn?
2) Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình x2 − 3x + m − 4 = 0 (trong đó x là ẩn) có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2 thỏa mãn
Câu 3:(3 điểm)

x1 + x2
(x1 x2 )2019
IS
là một số nguyên.
Cho đường tròn (ω) có tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn (ω). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AK, AL tới (ω)
với K, L là các tiếp điểm. Dựng tiếp tuyến (d) của đường tròn (ω) tại điểm E thuộc cung nhỏ KL. Đường thẳng (d) cắt
HA
đường thẳng AL, AK tương ứng tại M, N . Đường thẳng KL cắt OM tại P và cắt ON tại Q.
1) Chứng minh rằng AOL

[ = AKL
\
\
KAL
2) Chứng minh rằng M
\ ON = 90o −
2
3) Chứng minh rằng M Q vuông góc với ON .
4) Chứng minh rằng KQ.P L = EM.EN
Câu 4:(1 điểm)

1 1 1 √
VU
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = + + . Chứng minh rằng 3(a + b + c) ≥ 8a2 + 1 +
a b c
√ √
2 2
8b + 1 + 8c + 1
Câu 5:(1 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn y 2 + 2xy − 3x − 2 = 0
2) Cho m, n là hai số nguyên thỏa mãn 4(m + n)2 − mn chia hết cho 225. Chứng minh rằng mn cũng chia hết cho
225.
———HẾT———
33 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH
PHƯỚC
Câu 1:
√ √ √ ! √ √ √ !
a+1 ab + a a+1 ab + a
a) Rút gọn biểu thức T = √ + √ −1 : √ − √ +1
ab + 1 ab − 1 ab + 1 ab − 1
√
b) Cho x + 3 = 2. tính giá trị của biểu thức: H = x5 − 3x4 − 3x3 + 6x2 − 20x + 2023
1 2 1
Câu 2: Cho parabol (P ): y = x và đường thẳng (d) : y = (m + 1)x − m2 − (m là tham số). Với giá trị nào của
2 2
m thì đường thẳng (d) cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ) sao cho biểu thức T = y1 + y2 − x1 x2
N
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3:
O
√ √
a) Giải phương trình + 1 + 6x + 14 = x2 − 5
x

 x2 + 1 y 2 + 1 = 10





B và C). Trên dây BD lấy điểm N sao cho M

\
IS
(x + y) (xy − 1) = 3
Câu 4: Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên dây BC lấy điểm M (M khác
1\
AN = CAD;
2
AN cắt CD tại K. Từ M kẻ M H⊥AB. a) Chứng minh tứ
giác ACM H và tứ giác ACM K nội tiếp.
b) Tia AM cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Tiếp tuyến tại E và B của đường tròn (O) cắt nhau tại F . Chứng
HA
minh AF đi qua trung điểm của HM .
c) Chứng minh M N luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M di chuyển trên dây BC (M khác B và C)
Câu 5:
a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 16p + 1 là bình phương của một số nguyên dương
b) Tìm tất cả các bộ số nguyên (a, b) thỏa mãn 3 a2 + b2 − 7(a + b) = −4

Câu 6:
VU
x2 y2
a) Cho x, y là hai số dương. Chứng minh rằng + ≥x+y
y x
b) Xét các số thực a, b, c với b 6= a + c sao cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thực m, n thỏa mãn
(a − b) (2a − c)
0 ≤ m, n ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
a (a − b + c)
—–HẾT—-
34 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH ĐỊNH
Bài 1:(2 điểm)

√ √ 2 √ √ √ !
a − b + ab a−b a3 − b 3
1. Cho biểu thức T = √ √ : √ √ − với a 6= b, a > 0, b > 0
a+ b a− b a−b
a. Rút gọn biểu thức T .
b. Chứng tỏ T > 1
2. Cho n là số tự nhiên chẵn, chứng minh rằng số 20n − 3n + 16n − 1 chia hết cho 323.
Bài 2:(2 điểm)
N
√
a. Giải bất phương trình
3x + 2 ≤ 7x + 8
4 4
x+y− − =3


b. Giải hệ phương trình x y
6
O
x + y + = −5


x+y
Bài 3:(1 điểm)
Cho phương trình (m − 1)x2 − 2(2m − 3)x − 5m + 25 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho
phương trình có nghiệm là số hữu tỷ.
Bài 4:(4 điểm)

IS
1. Cho tam giác ABC nhọn và AB ≥ BC ≥ CA. Xác định vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC (gồm các cạnh
và miền trong tam giác) sao cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh nhỏ nhất.
HA
2. Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt
đường thẳng BC và AD lần lượt tại K và I. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD tại M, N . Gọi O là
trung điểm BC.
a. Chứng minh DA là phân giác của góc F DE.
b. Chứng minh F là trung điểm M N .
c. Chứng minh OD.OK = OE 2 và BD.DC = OD.DK
Bài 5:(1 điểm)

VU
2
1 1 1 25
Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + = 1. Chứng minh rằng: a+ + b+ 2 ≥
b a b 2
——-HẾT——–
35 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẾN TRE
Câu 1: ( 2 điểm )
√ √ √ √
a b+ a−b a− b
Cho biểu thức P = √ với a, b là hai số thực dương.
1 + ab
1
a) Rút gọn biểu thức P : √ √ .
( a + b)(a + b)
√ √
b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 2019 + 2 2018 và b = 2020 + 2 2019.
Câu 2: ( 1,5 điểm )
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng p2 − 1 chia hết cho 24.
N
b) Cho phương trình x2 − 2mx − m − 4 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m đề phương trình đã cho có hai
1
nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn đạt giá trị lớn nhất.
x1 2 + x2 2
Câu 3: ( 1,5 điểm )
O
√
a) Giải phương trình: x3 + 1 = x2 − 3x − 1.

x2 + 4y 2 = 2


b) Giải hệ phương trình: .
Câu 4: ( 2 điểm )



IS
(x − 2y)(1 − 2xy) = 4
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 − xy + 2 = x + y.

4 1
b) Cho hai số thực a, b thỏa a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = + .
a b
HA
Câu 5: ( 3 điểm ) Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O)] tại B. Trên
cung AB lấy điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d tại N . Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng
AM , tia CO cắt đường thẳng d tại điểm D.
a) Chứng minh tứ giác OBN C nội tiếp.

N E.AD
b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N, O, E thẳng hàng và = 2R.
ND
c) Chứng minh rằng CA.CN = CO.CD
VU
d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất.
——–HẾT——–
36 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH VĨNH PHÚC
Câu 1:
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng d : y = 2mx − m + 1 (Với m là tham số).
Tim tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol (P ) tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) vả B(x2 ; y2 ) thỏa mãn
2x1 + 2x2 + y1 y2 = 0
√ √ √
b) Giải phương trình x+ x − 4 = −x2 + 6x − 1

x2 + y 2 = 5


c) Giải hệ phương trình
N

x + y + xy = 5


Câu 2: Cho phương trình x3 + 2y 3 + 4z 3 = 9! (1) trong đó x, y, z là ẩn và 9! là tích các số nguyên dương liên tiếp từ
1 đến 9.
O
a) Chứng minh rằng nếu có các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) thì x, y, z đều chia hết cho 4.
b) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn (1).
IS
Câu 3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
a2
a2 + ab + b2
+
b2
b2 + bc + c2
+
c2
c2 + ca + a2
≥1
Câu 4: Cho hình thoi ABCD(AC > BD). Đường tròn nội tiếp (O) của tứ giác ABCD theo thứ tự tiếp xúc với các
HA
cạnh AB, BC, CD, DA tại các điểm E, F, G, H. Xét điểm K trên đoạn HA và điểm L trên đoạn AE sao cho KL tiếp
xúc với đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng LOK [ và BL.DK = OB 2

\ = LBO
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CF L cắt cạnh AB tại điểm M khác L và đường tròn ngoại tiếp tam giác CKG
cắt cạnh AD tại điểm N khác K. Chứng minh rằng bốn điểm K, L, M, N cùng thuộc một đường tròn.
c) Lấy các điểm P, Q tương ứng trên các đoạn F C, CG sao cho LP song song với KQ. Chứng minh rằng P Q tiếp xúc
với (O).
VU
Câu 5: Một bảng hình vuông gồm n hàng và n cột ( n là số nguyên dương). Các hàng và các cột được đánh số từ
1 đến n (Các hàng đánh số từ trên xuống dưới và các cột đánh số từ trái qua phải ). Ô vuông nằm trên hàng i cột
j(i, j = 1, 2, 3, ..., n) của bảng gọi là ô (i; j). Tại mỗi ô của bảng điền một số 0 hoặc 1 sao cho nếu ô (i, j) điền số 0, thì
ai + bj ≥ n, trong đó ai là số số 1 trên hàng i và bj là số số 1 trên cột j. Gọi P là tổng tất cả các số trong các ô của bảng
hình vuông đã cho.
a) Xây dựng một bảng hình vuông thỏa mãn yêu cầu trong trường hợp n = 4 và P = 8.
2 2
n n n2
b) Chứng minh rằng P ≥ , với là phần nguyên của số
2 2 2
——–HẾT——-
37 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH ĐỒNG NAI
Câu 1:
1) Giải phương trình x4 − 22x2 + 25 = 0

√
a a+ a 4−a
2) Cho biểu thức P = √ + √ √ (Với a là số thực dương)
a+2 a+3 a+2 a
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm các số thực dương a sao cho P đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2: 
N

x2 − xy = 6


Giải hệ phương trình (Với x, y ∈ R)

3x2 + 2xy − 3y 2 = 30


Câu 3:
O
Tìm các tham số thực m để phương trình x2 − (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phẩn biệt x1 , x2 sao cho biểu thức
x1 + x2 − 1
P = 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
(x1 + x2 ) − 3x1 x2 + 3
Câu 4: IS
1) tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2x2 − 4y 2 − 2xy − 3x − 3 = 0
2) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:
a3 + b 3 b 3 + c3 c3 + a3 1 1 1
+ + ≥ + +
ab (a2 + b2 ) bc (b2 + c2 ) ca (c2 + a2 ) a b c
HA
Câu 5:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (50; 100) và N (100; 0). Tìm số các điểm nguyên nằm bên trong tam giác
OM N (Một điểm điểm gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó là số nguyên)
Câu 6:
Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Biết điểm C thuộc đường tròn (O), với C khác A và B. Vẽ đường kính
CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt hai đường thẳng AC vàAD lần lượt tại hai điểm E và
VU
F.
1) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp được.
2) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BF .. Chứng minh OE vuông góc với AH. 3) Gọi K là giao điểm của đường
thẳng OE và AH. Chứng minh điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF .
4) Gọi I là tâm của đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ECDF . Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố
định và đường tròn (I) luôn đi qua hai điểm cố định khi điểm C di động trên đường tròn (O) thỏa mãn điều kiện đã cho.
—-HẾT—–
NGÃI
Bài 1:
5x + 1 1 − 2x 2
a. Cho x 6= 1, hãy rút gọn biểu thức A = − − .
x3 − 1 x2 + x + 1 1 − x
b. Tìm các cặp số thực (x; y) sao cho y lớn nhất thỏa mãn
 điều kiện x + 5y + 2y − 4xy − 3 = 0
2 2

a2 + a = b 2







c. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện b2 + b = c2 .
N






 c2 + c = a2

Chứng minh rằng (a − b)(b − c)(c − a) = 1.
O
Bài 2:
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n3 − 9n + 27 không chia hết cho 81.
b. Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu số đó gấp 99 lần tổng các chữ số của nó. Tìm số may mắn đó.
IS
Bài 3:
√ √
a. Giải phương trình + 1 + 1 − 3x = x + 2
x

x − 2y + xy = 2


b. Giải hệ phương trình
HA

x2 + 4y 2 = 4


Bài 4: Cho hình vuông ABCD nội tiếp dduowngf tròn (O). Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC (M khác B và
C), N là điểm bất kì nằm trên cạnh CD sao cho BM = CN . Gọi H, I lần lượt là giao điểm của AM với BN, CD.
a. Chứng minh tứ giác AHN D nội tiếp và M N vuông góc với BI
b. Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn M N ngắn nhất.
c. Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại P (P khác D). Gọi S là giao điểm của AP và BD. Chứng minh SM song
song với AC.

VU
Bài 5: Trên biểu tương Olympic có 9 miền được kí hiệu được kí hiệu a,b,c,...,k (như hình minh họa). Người ta điền 9
số 1,2,3,...,9 vào 9 miền trên sao cho mỗi miền được điền bởi một số, miền khác nhau dược ddieenf bởi số khác nhau và
tổng các số trong cùng một hình tròn đều bằng 14.
a. Tính tổng các số trong các miền b,d,f và h.
b. Xác định cách điền thỏa mãn yêu cầu trên.
——–HẾT——-

Tuyển Tập Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Chuyên Toán

Uploaded by

Document Information

Copyright

Available Formats

Share this document

Share or Embed Document

Sharing Options

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

Copyright:

Available Formats

Tuyển Tập Đề Thi Tuyển Sinh Vào 10 Chuyên Toán

Uploaded by

Copyright:

Available Formats

TUYỂN TẬP

Sưu tầm và biên soạn: Vũ Hải Sơn

GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH (VÒNG 2) 10

12 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 14

13 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 15

14 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC NINH 16

17 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI BÌNH 19

18 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI NGUYÊN 20

19 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG NAM 21

20 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HẢI DƯƠNG 22

25 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HÀ NAM 27

30 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG 32

32 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH LÀO CAI 34

33 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH PHƯỚC 35

34 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH ĐỊNH 36

35 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẾN TRE 37

36 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH VĨNH PHÚC 38

37 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH ĐỒNG NAI 39

38 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG NGÃI 40

1 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH (VÒNG 1)

1) Rút gọn biểu thức P

2) Chứng minh rằng với mọi x > 0; x 6= 1 thì P > 4

Câu 3 ( 2,5 điểm)

cạnh AB,AC lần lượt tại E;F.

1) Chứng minh tam giác BOE vuông và EI.BD = F I.CD = R2

2 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH (VÒNG 2)

đường thẳng AK, CM giao nhau tại E

a) Chứng minh BE 2 = BC.AB

M để chu vi tam giác O1 HO2 lớn nhất

Câu 4 ( 1,5 điểm)

Câu 5 (1.5 điểm)

3 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI (VÒNG 1)

Câu 1: Cho biểu thức

1. Chứng minh x0 > 0

2. Tính giá trị của biểu thức

b) Chứng minh a.BP = b.P N

Tính P = x.x1 .x2 ...x9

4 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI (VÒNG 2)

Câu 2: Cho các số thực x, y, z không âm thoả mãn x2 + y 2 + z 2 + x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 = 6

1) Cho biểu thức:

2) Cho a, b là 2 số nguyên dương, đặt: IS

Chứng minh rằng A, B không đồng thời là số chính phương.

2) O là trực tâm tam giác ADE

1) Xây dựng ví dụ để S = 870

2) Chứng minh rằng S ≥ 870

5 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN

ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN (VÒNG 1)

1) Giải phương trình

2) Giải hệ phương trình

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn

2) Với a, b là các số nguyên thỏa mãn a + 2b = 2 +

giác BKM và DEF đồng dạng.

tính chất sau:

6 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN

ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN (VÒNG 2)

1) Giải hệ phương trình

cũng chia hết cho 5 IS

1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a50 ≤ 50 và a1 + a2 + ... + a50 = 100

nhau tại P . Điểm M thuộc đoạn thằng BE sao cho M

lượt cắt BD, CE tại Q, S (Q khác B, S khác C).