Professional Documents
Culture Documents
hệ trục tọa độ pt mặt phẳng
hệ trục tọa độ pt mặt phẳng
u x.i y. j z.k
Bộ ba số thực x, y, z thỏa mãn hệ thức trên được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ trục Oxyz.
Kí hiệu u x; y; z hoặc u x; y; z , trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của vectơ u .
Tính chất
a. u v u1 v1 , u2 v2 , u3 v3 .
b. u v u1 v1; u2 v2 ; u3 v3 .
f. Hai vectơ u; v vuông góc với nhau khi và chỉ khi u1v1 u2v2 u3v3 0
g. Hai vectơ u , v , v 0 cùng phương với nhau khi và chỉ khi có một số thực k sao cho u kv.
Kí hiệu M x; y; z hay M x; y; z . Trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.
4. Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm đầu mút
Trong không gian Oxyz cho hai điểm M x1; y1; z1 và N x2 ; y2 ; z2 thì khi đó tọa độ của vectơ
MN ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 ) và độ dài của nó là:
1
MN x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2 2
Định lý
Trong không gian Oxyz, mặt cầu S tâm I a; b; c bán kính R có phương trình là
x a y b z c R 2 (1).
2 2 2
Phương trình có dạng như phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu tâm I, bán
kính R.
Nhận xét: Khi biến đổi phương trình (1) ta được:
x2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz a 2 b2 c 2 R2 0
Nếu đặt a2 b2 c2 R2 d thì phương trình trên trở thành
x2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 (2)
Với điều kiện a2 b2 c2 d 0 thì phương trình (2) được gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu
có tâm I a; b; c và bán kính R a 2 b2 c 2 d
B. BÀI TẬP QUA CÁC ĐỀ THI
I. Test Nhanh (20 phút)
Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) ) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 1 và B 2;3; 2 .
Véctơ AB có tọa độ là
Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I 1;1;1 và A 1; 2;3 .
Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là
A. x 1 y 1 z 1 29 . B. x 1 y 1 z 1 5 .
2 2 2 2 2 2
C. x 1 y 1 z 1 25 . D. x 1 y 1 z 1 5 .
2 2 2 2 2 2
Câu 3: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 4;3
và B 2; 2;7 . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
Câu 4: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
S : x 3 y 1 z 1 2 . Tâm của S có tọa độ là
2 2 2
A. 3 B. 2 3 C. 3 D. 9
2
Câu 6: (Tham khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của
điểm A trên mặt phẳng Oyz là điểm
Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để
phương trình x2 y 2 z2 2x 2 y 4z m 0 là phương trình của một mặt cầu.
A. m 6 B. m 6 C. m 6 D. m 6
Câu 8: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba
điểm M 2;3; 1 , N 1;1;1 và P 1; m 1;2 . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N .
A. m 6 . B. m 0 . C. m 4 . D. m 2 .
Lời giải
Câu 9: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ
Lời giải
Ta có: cos a , b
a.b 2 2
.
a.b 5. 5 5
Câu 10: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A 2; 2;1 .
Tính độ dài đoạn thẳng OA .
A. OA 3 B. OA 9 C. OA 5 D. OA 5
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2; 3 . Gọi I là hình chiếu vuông góc
của M trên trục Ox . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ?
A. x 1 y 2 z 2 13 B. x 1 y 2 z 2 13
2 2
C. x 1 y 2 z 2 17 D. x 1 y 2 z 2 13
2 2
Lời giải
3
Chọn C
D
B
C
Câu 2: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho a i 2 j 3k . Tọa độ của vectơ a là:
A. 2; 1; 3 . B. 3; 2; 1 . C. 2; 3; 1 . D. 1; 2; 3 .
Lời giải
Chọn D
Câu 3: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
bốn điểm A 1;0; 2 , B 2;1;3 , C 3; 2; 4 , D 6;9; 5 . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện
ABCD ?
A. 2;3; 1 . B. 2; 3;1 . C. 2;3;1 . D. 2;3;1 .
Lời giải
Chọn C
x A xB xC xD 1 2 3 6
x x
4 4 x 2
y y y y 0 1 29
y
A B C D
y y 3
4 4 z 1
z z z z 2 3 45
z
A B C D
z
4 4
Câu 4: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,
cho ba điểm A 3; 2;3 , B 1; 2;5 , C 1;0;1 . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC ?
Lời giải
Chọn A
Theo công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác.
4
Câu 5: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
mặt cầu S :
A. I 3; 2; 4 , R 25 . B. I 3; 2; 4 , R 5 .
C. I 3; 2; 4 , R 5 . D. I 3; 2; 4 , R 25 .
Lời giải
Chọn C
Câu 6: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
hai điểm A , B với OA 2; 1;3 , OB 5; 2; 1 . Tìm tọa độ của vectơ AB .
Lời giải
Chọn A
Câu 7: (THPT Đức Thọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba
vectơ a 1;1;0 , b 1;1;0 , c 1;1;1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. a 2 . B. a b . C. c 3 . D. b c .
Lời giải
Chọn D
Ta có
a 1;1;0 a 2 A đúng.
c 1;1;1 c 3 C đúng.
5
Câu 8: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz
cho a 1; 2;3 và b 2; 1; 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a, b 5; 7; 3 .
Ta có a 1 2 32 14 .
2 2
Câu 9: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,
cho véctơ a 1; 2;3 . Tìm tọa độ của véctơ b biết rằng véctơ b ngược hướng với véctơ a
và b 2 a .
Lời giải
Chọn C
Câu 10: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
các vectơ a 2; 1;3 , b 1;3; 2 . Tìm tọa độ của vectơ c a 2b .
Lời giải
Chọn A
Câu 11: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba
điểm A 3;2;1 , B 1;3;2 ; C 2;4; 3 . Tích vô hướng AB. AC là
A. 2 . B. 2 . C. 10 . D. 6 .
Chọn A
Ta có: AB 4;1;1 và AC 1; 2; 4 . Vậy AB. AC 4 2 4 2 .
6
Câu 12: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm
A 1; 2;3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oyz là điểm M . Tọa độ của
điểm M là
A. M 1; 2;0 . B. M 0; 2;3 . C. M 1;0;0 . D. M 1;0;3 .
Lời giải
Chọn B
Điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oyz , khi đó hoành độ điểm
A : xA 0
Câu 13: (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên năm 2017-2018) Trong không gian Oxy , phương trình
nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I 1;0; 2 , bán kính r 4 ?
A. x 1 y 2 z 2 16 . B. x 1 y 2 z 2 16 .
2 2 2 2
C. x 1 y 2 z 2 4 . D. x 1 y 2 z 2 4 .
2 2 2 2
Lời giải
Chọn A
Câu 14: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm
A 3; 2;5 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng tọa độ Oxz là
Lời giải
Chọn D
Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm A 3; 2;5 lên mặt phẳng Oxz ta chỉ cần giữ nguyên
hoành độ và cao độ, cho tung độ bằng 0 .
Câu 15: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho A 0; 1;1 , B 2;1; 1 , C 1;3; 2 . Biết rằng ABCD là hình bình hành, khi đó
tọa độ điểm D là:
2
A. D 1;1; . B. D 1;3; 4 . C. D 1;1; 4 . D. D 1; 3; 2 .
3
Hướng dẫn giải
Chọn C
x 1 2
Gọi D x; y; z , ta có ABCD là hình bình hành nên BA CD y 3 2
z2 2
7
x 1
y 1 . Vậy D 1;1;4 .
z 4
Câu 16: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
OA 2i 2 j 2k , B 2; 2;0 và C 4;1; 1 . Trên mặt phẳng Oxz , điểm nào dưới đây
cách đều ba điểm A , B , C .
3 1 3 1 3 1 3 1
A. M ; 0; . B. N ; 0; . C. P ; 0; . D. Q ; 0; .
4 2 4 2 4 2 4 2
Lời giải
Chọn C
3 21
Ta có: A 2; 2; 2 và PA PB PC .
4
Câu 17: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz, A 3; 4; 2 , B 5; 6; 2 , C 10; 17; 7 . Viết phương trình mặt cầu tâm C bán
kính AB .
A. x 10 y 17 z 7 8 . B. x 10 y 17 z 7 8 .
2 2 2 2 2 2
C. x 10 y 17 z 7 8 . D. x 10 y 17 z 7 8 .
2 2 2 2 2 2
Lời giải
Chọn B
Ta có AB 2 2 .
Câu 18: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz , cho hình hộp ABCD.ABCD có A 0; 0; 0 , B 3; 0; 0 , D 0; 3; 0 , D 0; 3; 3 .
Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là
A. 1; 1; 2 . B. 2; 1; 2 . C. 1; 2; 1 . D. 2; 1; 1 .
Lời giải
Chọn B
D
C
A
B
D
C
A B
Cách 1 : Ta có AB 3; 0; 0 . Gọi C x; y; z DC x; y 3; z
8
ABCD là hình bình hành AB DC x; y; z 3; 3; 0 C 3; 3; 0
Gọi B x0 ; y0 ; z0 AB x0 ; y0 ; z0 3
033
xG 3
2
003
G là trọng tâm tam giác ABC yG 1 G 2; 1; 2 .
3
3 3 0
zG 2
3
3 3 3
Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD .Ta có I ; ; .Gọi G a; b; c là trọng
2 2 2
tâm tam giác ABC
3 3
2 3 a 2
3 3 3
DI 2 ; 2 ; 2 a 2
3 3
Ta có : DI 3IG với . Do đó : 3 b b 1 .
IG a 3 ; b 3 ; c 3 2 2 c 2
2 2 2 3 3
3 c
2 2
Vậy G 2;1; 2 .
Câu 19: (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-lần 1-năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 1 , B 2; 1;3 , C 4;7;5 . Tọa độ chân đường phân giác trong
góc B của tam giác ABC là
2 11 11 2 11 1
A. ; ;1 . B. ; 2;1 . C. ; ; . D. 2;11;1 .
3 3 3 3 3 3
Lời giải
Chọn A
Ta có: BA 1; 3;4 BA 26; BC 6;8;2 BC 2 26 .
Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ B lên AC của tam giác ABC
DA BA 2 11
Suy ra : DC 2DA D ; ;1 .
DC BC 3 3
Câu 20: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxy ,
có tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham số m để phương trình
x2 y 2 z 2 2 m 2 y 2 m 3 z 3m2 7 0 là phương trình của một mặt cầu.
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
9
ời giải
Chọn C
a 0
b m 2
Ta có:
c m 3
d 3m 2 7
Phương trình trên là phương trình mặt cầu khi:
a2 b2 c2 d 0 m 2 m 3 3m2 7 0
2 2
m2 2m 6 0 1 7 m 1 7 .
à m m 0,1, 2,3 .
Vậy có bốn giá trị số tự nhiên của m thỏa điều kiện đề bài.
Câu 21: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
I 1; 0; 1 và A 2; 2; 3 . Mặt cầu S tâm I và đi qua điểm A có phương trình là
A. x 1 y 2 z 1 3 . B. x 1 y 2 z 1 3 .
2 2 2 2
C. x 1 y 2 z 1 9 . D. x 1 y 2 z 1 9 .
2 2 2 2
Lời giải
Chọn C
Vì A S nên R2 2 1 22 3 1 9 R 3
2 2
Câu 22: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho A 1;0;0 , B 0;0; 2 , C 0; 3;0 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
14 14 14
A. . B. . C. . D. 14 .
3 4 2
Lời giải
Chọn C
1
d 0 a 2
1 2a d 0
3
Vì O , A , B , C thuộc S nên ta có: b .
4 4c d 0 2
9 6b d 0 c 1
d 0
10
1 9 14
Vậy bán kính mặt cầu S là R a 2 b2 c 2 d 1 .
4 4 2
Cách 2: OABC là tứ diện vuông có cạnh OA 1 , OB 3 , OC 2 có bán kính mặt cầu ngoại
1 1 14
tiếp là R OA2 OB 2 OC 2 1 9 4 .
2 2 2
Câu 23: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có A 0;0;0 , B 2;0;0 , C 0; 2;0 và A 0;0; 2 . Góc
giữa BC và AC là
A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Lời giải
Chọn D
Ta có: B 2;0;0 , C 0; 2; 2 nên BC 2; 2; 2 .
A 0;0; 2 , C 0; 2;0 nên AC 0; 2; 2 .
044
Suy ra: cos BC , AC cos BC , AC
12. 8
0 , BC , AC 90 .
Câu 24: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho tam giác ABC với A(1;0;0) , B(3; 2; 4) , C (0;5; 4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt
phẳng (Oxy) sao cho MA MB 2MC nhỏ nhất.
A. M (1;3;0) . B. M (1; 3;0) . C. M (3;1;0) . D. M (2;6;0) .
Chọn A
Do M thuộc mặt phẳng (Oxy) nên để MA MB 2MC nhỏ nhất hay MI nhỏ nhất thì M là
Câu 25: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz , cho ba điểm A 1;0;0 , C 0;0;3 , B 0; 2;0 . Tập hợp các điểm M thỏa mãn
MA2 MB2 MC 2 là mặt cầu có bán kính là:
A. R 2 . B. R 3 . C. R 3 . D. R 2 .
Lời giải
Chọn D
Giả sử M x; y; z .
11
MA2 MB2 MC 2 x 1 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 3
2 2 2
2 x 1 y 2 x 2 z 3 x 1 y 2 z 3 2 .
2 2 2 2 2
Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA2 MB2 MC 2 là mặt cầu có bán kính là
Câu 26: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
A 2;3;1 và B 5; 6; 2 . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oxz tại điểm M . Tính tỉ số AM .
BM
A. AM 1 B. AM 2 C. AM 1 D. AM 3
BM 2 BM BM 3 BM
Lời giải
x 2 7k x 9
A, B, M thẳng hàng AM k. AB k 3 3k 1 k M 9;0;0 .
z 1 k z 0
BM 14; 6; 2 ; AM 7; 3; 1 BM 2 AM .
12