Professional Documents
Culture Documents
Tuyển Tập Công Thức Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán
Tuyển Tập Công Thức Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán
\
• Góc loại 1: (SA, (P )) = SAH
[ (Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy).
\
• Góc loại 2: (SB, (SIC)) = BSF
[ (Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đứng chứa đường cao SI).
\
• Góc loại 3: (SK, (SDE)) = KSG
\ (Góc giữa đường cao SK và mặt bên (SDE)).
\(P )) = SCD
• Góc loại 1: ((SAB), [ (Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy).
\
• Góc loại 2: ((SAB), (SCD)) = KSJ
[ (Góc giữa hai mặt bên có hai cạnh song song AB và CD).
\
• Góc loại 3: ((SM N ), (SHN )) = OP
\ M (Góc giữa mặt bên và mặt phẳng đứng chứa đường cao SH).
SA2
Mặt cầu loại 2: Nếu SA vuông góc với đáy thì: R2 = RD
2 + . Các vấn đề cần chú ý về RD :
4 √
1 a 3
+ Nếu đáy là tam giác vuông thì RD = cạnh huyền và nếu đáy là tam giác đều thì RD = .
√ 2 3
a 2
+ Nếu đáy là hình vuông thì RD = .
2
1
+ Nếu đáy là hình chữ nhật thì RD = đường chéo.
2 √
+ Nếu đáy là tam giác cân có góc 1200 cạnh bên bằng a thì cạnh đáy bằng a 3 còn RD = a.
abc
+ Nếu đáy là tam giác thường thì áp dụng công thức Heron: RD = p
4 p (p − a) (p − b) (p − c)
1
• Mặt cầu loại 3: Nếu O.ABC là tam diện vuông tại O thì R = (OA2 + OB 2 + OC 2 ).
2
4
SA2
• Mặt cầu loại 4: Nếu chóp có các cạnh bên bằng nhau thì: R = . Trong đó O là tâm của đáy và:
2SO
+ Nếu đáy là tam giác đều thì O là trọng tâm, trực tâm.
+ Nếu đáy là tam giác vuông thì O là trung điểm cạnh huyền.
+ Nếu đáy là hình vuông, hình O là giao điểm hai đường chéo và là trung điểm mỗi đường.
AB 2
• Mặt cầu loại 5: Nếu hai mặt vuông góc với nhau thì R2 = R12 + R22 − trong đó AB là giao tuyến.
4
• Mặt cầu loại 6: Chóp S.ABC tổng quát có chiều cao SH và tâm đáy là O thì ta giải phương trình:
(SH − x)2 + OH 2 = x2 + RD 2 để tìm x. Với x tìm được ta có R2 = x2 + R2 .
D
3V
• Mặt cầu loại 7: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r = .
Stp
• Một số vấn đề khác của mặt cầu: √
2√ 2
+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều: R = a + b2 + c2 .
√ 4 √
a 6 a 6
+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều: R = và mặt cầu nội tiếp tứ diện gần đều: r = .
4 12
VẤN ĐỀ 5: NHỮNG ĐIỀU CẦN NHỚ VỀ ĐA DIỆN ĐỀU:
• Hình 1:
+ Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R.
+ Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong đó AB = 2R và AD = h. Nếu thiết diện qua
trục là một hình vuông thì h = 2R.
+ Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là:
d(OO0 , (BGHC)) = OM .
• Hình 2:
1
+ Nếu AB, CD là hai đường kính bất kỳ trên hai đáy của hình trụ thì: VABCD = AB.CD.OO0 . sin (AB, CD).
6
1
+ Đặc biệt nếu AB và CD vuông góc nhau thì: VABCD = AB.CD.OO0 .
6
• Hình 3: (AB,\ OO0 ) = A
\ 0 AB.
• Hình 1:
1
+ Các công thức nón cụt: V = πh R2 + Rr + r2 , Sxq = πl (R + r) , Stp = π R2 + r2 + l (R + r) .
3
+ Thiết diện vuông góc trục cách đỉnh một khoảng x cắt hình nón theo một đường tròn có bán kính là r.
r x
+ Nếu h là chiều cao của hình nón ban đầu thì ta có tỉ số: = .
R h
+ Thiết diện chứa trục là một tam giác cân. √
+ Nếu tam giác đó vuông cân thì h = R. Nếu tam giác đó là tam giác đều thì h = R 3.
• Hình 2:
+ Thiết diện đi qua đỉnh mà không chứa trục cắt hình nón theo một tam giác cân SAB:
+ (SO,\(SAB)) = OSM
\ , ((SAB), \ (ABC)) = SM\ O.
+ Nếu M là trung điểm của AB thì AB⊥ (SM O).
h1 + h2
+ Khối trụ cụt: Sxq = πR (h1 + h2 ) ; V = πR2 .
2
2 3 π 2
+ Hình nêm loại 1: V = R tan α. Hình nêm loại 2: V = − R3 tan α.
3 2 3
• Các công thức liên quan đến parabol bậc hai và elip:
r 3
4 S0 x a 3 1
+ Sparabol= Rh; = = . Vparabol = πR2 h Selip = πab.
3 S h R 2
π2
• Thể tích cái phao: V = (R + r)(R − r)2 .
4
• Bài toán 4: Viết d nằm trong (P ) và qua A sao cho d(M, d) nhỏ nhất: − →= − n→ −→ −−→
h h ii
ud P , nP , AM .
h h −−→ii
• Bài toán 5: Viết (P ) chứa d sao cho d(M, (P )) lớn nhất: −
n→ −
→ − →
P = ud , ud , AM với A bất kỳ trên d.
6
−−→i
• Bài toán 6: Viết d nằm trong (P ) và qua A sao cho d(M, d) lớn nhất: −
→= − n→
h
ud P , AM .
Zb
• Thể tích của vật thể có thiết diện với diện tích S(x): V = S (x) dx.
a
Zb q
• Độ dài đường cong: L = 1 + (f 0 (x))2 dx
a
Zb q
• Diện tích mặt cong vật thể tròn xoay quanh trục hoành: S = 2π |f (x)| 1 + (f 0 (x))2 dx
a
VẤN ĐỀ 13: HÀM SỐ BẬC 3 CÓ 2 CỰC TRỊ:
Cho hàm số bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d có 2 cực trị là A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ). Khi đó ta có các chú ý sau:
• Điều kiện có 2 cực trị: ∆ = b2 − 3ac > 0.
b2 − 3ac ≤ 0, a > 0
2
b − 3ac ≤ 0, a < 0
• Hàm số đồng biến trên R khi và nghịch biến trên R khi .
a = b = 0, c > 0 a = b = 0, c < 0
a<0 a>0
• Đồng biến trên đoạn có độ dài δ: và nghịch biến trên đoạn có độ dài δ: .
|x2 − x1 | = δ |x2 − x1 | = δ
• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số bậc ba y = f (x) =
ax3 + bx2 + cx + d là y = mx + n trong đó mx + n là dư thức trong phép chia f (x) cho f 0 (x).
2 b2 − 3ac bc
• Phương trình đường thẳng qua hai cực trị: y = − x+d− .
9a 9a
b c
• Định lý Viet với cực trị: x1 + x2 = − x1 x2 = .
3a 3a
b
• Phương trình bậc 3 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng khi có 1 nghiệm là x = − , lập thành cấp số
r 3a
3 d
nhân nếu 1 nghiệm là x = − .
a
• Cách nhận diện đồ thị hàm số bậc 3:
+ Để xác định dấu của a ta chú ý đến hình dáng của đồ thị hàm số. Đồ thị đi lên +∞ ở bên phải thì
a > 0. Đồ thị đi xuống −∞ ở bên phải thì a < 0.
b
+ Để xác định dấu của b ta chú ý vào vị trí của điểm uốn và hoành độ tương ứng là x = − .
3a
c
+ Để xác định dấu của c ta xét tích hai hoành độ cực trị x1 x2 = . Nếu hai cực trị có hoành độ cùng
3a
dấu thì a, c cùng dấu và ngược lại nếu hai cực trị có hoành độ trái dấu thì a, c trái dấu.
+ Để xác định dấu của d ta xét vị trí tương giao của đồ thị với trục tung Oy, tại đó tung độ giao điểm
chính là y = d để xét dấu.
√
a
+ Tam giác ABC vuông cân khi tan 450 = ⇔ a = 1.
√ a2
a √
+ Tam giác ABC đều khi tan 300 = 2 ⇔ a = 3 3.
a √
a 1
+ Tam giác ABC có góc 120 khi tan 600 = 2 ⇔ a = √
0
3
.
a √ 3
√ 5
+ Tam giác ABC có diện tích là S khi S = a2 a ⇔ a = S 2 .
abc 2S
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = , bán kính đường tròn nội tiếp: r = .
4S a+b+c
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng nếu 9b2 = 100ac.
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tạo thành ba miền diện tích có diện tích phần trên và diện tích phần dưới
bằng nhau khi và chỉ khi 5b2 = 36ac.
VẤN ĐỀ 15: HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT:
ax + b
Cho hàm số phân thức hữu tỷ bậc nhất trên bậc nhất y = .
cx + d
d d
• Hàm số đồng biến trên D nếu ad − bc > 0, − ∈/ D và nghịch biến trên D nếu ad − bc < 0, − ∈/ D.
c c
• Tiếp tuyến với tiệm cận:
+ Tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB.
1
+ Khoảng cách từ M tới TCĐ: |cxM + d|.
|c|
9
|ad − bc| 1
+ Khoảng cách từ M tới TCN: .
|c| |cxM + d|
|ad − bc| 2 2
+ IA = và IB = |cxM + d| với I là giao 2 tiệm cận.
|c| |cxM + d| |c|
2
+ Diện tích tam giác IAB không đổi: SIAB = 2 |ad − bc|.
c
Đặc biệt chú ý: Điểm M thỏa mãn một trong các yếu tố: Tổng khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất/Chu
vi tam giác IAB nhỏ nhất/Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất/Khoảng cách từ I tới tiếp
tuyến đạt giá trị lớn nhất thì điểm M đó phải thỏa mãn tính chất: IA = IB ⇔ |y 0 (xM )| = 1.
• Cách nhận diện đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất:
a
+ Tiệm cận ngang: y = . Nếu tiệm cận ngang nằm trên Ox thì ac > 0 còn nếu nằm dưới thì ac < 0.
c
d
+ Tiệm cận đứng x = − . Nếu tiệm cận đứng nằm bên trái Oy thì cd > 0 còn nếu bên phải thì cd < 0.
c
b
+ Giao Oy: y = . Nếu giao điểm này nằm trên Ox thì bd > 0 còn nếu nằm dưới thì bd < 0.
d
b
+ Giao Ox: x = − . Nếu giao điểm này nằm bên trái Oy thì ab > 0 còn nếu bên phải thì ab < 0.
a
VẤN ĐỀ 16: ĐỒ THỊ HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT:
• Loại 1: Đồ thị hàm số mũ:
+ Thứ tự: 0 < b < a < 1 < d < c (Mẹo: Giao 4 đồ thị với đường thẳng x = 1 để đánh giá nhanh nhất!).
+ Hàm số y = ax có tập xác định D = R, tập giá trị E = (0, +∞).
+ Đồ thị hàm số y = ax luôn đi qua điểm I(0, 1) và có tiệm cận ngang là trục hoành Ox.
• Loại 2: Đồ thị hàm số logarit:
10
+ Thứ tự: b > a > 1 > d > c > 0 (Mẹo: Giao 4 đồ thị với đường thẳng y = 1 để đánh giá nhanh nhất!).
+ Hàm số y = loga x có tập xác định D = (0, +∞) và tập giá trị E = R.
+ Đồ thị hàm số y = loga x luôn đi qua điểm I(1, 0) và có tiệm cận đứng là trục tung Oy.
• Loại 3: Đồ thị hàm số lũy thừa:
VẤN ĐỀ 17: CÁC BÀI TOÁN LÃI SUẤT CƠ BẢN CẦN BIẾT:
• Bài toán 1: Đem số tiền a đi gửi ngân hàng thu được số tiền P = a(1 + r%)n .
(1 + r%)n − 1
• Bài toán 2: Đem số tiền a hàng tháng đi gửi ngân hàng thu được số tiền P = a(1 + r%) .
r%
• Bài toán 3: Vay số tiền P dưới hình thức trả góp và hàng tháng đi trả ngân hàng khoản tiền a thì:
(1 + r%)n − 1
+ Số tiền còn lại trong ngân hàng sau n tháng là: Q = P (1 + r%)n − a .
r%
n
(1 + r%) − 1
+ Khi hoàn thành trả góp thì ta giải phương trình: P (1 + r%)n = a .
r%
VẤN ĐỀ 18: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
• ax2 + bx + c ≥ 0∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0, a > 0 và ax2 + bx + c ≤ 0∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0, a < 0.
• ax2 + bx + c ≥ 0∀x > 0 ⇔ ∆ ≤ 0, a > 0 hoặc a, b, c ≥ 0.
• ax2 + bx + c ≤ 0∀x > 0 ⇔ ∆ ≤ 0, a < 0 hoặc a, b, c ≤ 0.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt dương khi ∆ > 0, S > 0, P > 0.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt âm khi ∆ > 0, S < 0, P > 0.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm trái dấu khi P < 0.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 < α khi ∆ > 0, (x1 − α)(x2 − α) > 0, x1 + x2 < α.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt α < x1 < x2 khi ∆ > 0, (x1 − α)(x2 − α) > 0, x1 + x2 > α.
• ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < α < x2 khi ∆ > 0, (x1 − α)(x2 − α) < 0.
• m = f (x) có nghiệm khi m ∈ [min, max]; m ≥ f (x) có nghiệm khi m ≥ min;m ≤ f (x) có nghiệm khi
m ≤ max.
• m ≥ f (x)∀x khi m ≥ max;m ≤ f (x)∀x khi m ≤ min.
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng - Điện thoại: 0902.920.389