Ứng dụng của số phức trong hình học phẳng

- Ứng dụng của số phức trong hình học phẳngBiểu diễn hình học của số phức:Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng Oxydưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại,mọi điểm M(a,b) của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnhcủa số phức a + bi.Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox.
- Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo.Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.
- Trong nhiều trường hợp, người ta xem uuu rvec tơ OA như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.Phép cộng và trừ số phức có thể được thực hiện như với vecto.Một số kết quả của hình học phẳng mô tả theo ngôn ngữ số phức Sau đây là một số kết quả của hình học phẳng được mô tả dưới dạng ngôn ngữ số phức nhưgóc, khoảng cách, sự đồng quy, thẳng hang, đường thẳng, đường tròn cùng một số phép dờihình, đồng dạng.
- Cho trước hai điểm M(m) và N(n).
- 1 − t ) a + tbĐịnh lí 1: Cho trước hai điểm A ( a.
- AM ]Phuơng trình đường thẳng qua hai điểm A ( a.
- B ( b )Do ta có: t = t , ∀t ∈ RMọi điểm M ( z.
- AB ) ta có: m.
- z−a t = z−a z−a Vậy ta có.
- b − aVậy ta có phương trình đường thẳng qua hai điểm A ( a.
- 0Góc giữa hai đường thẳng z2Cho hai điểm M 1 ( m1.
- Nếu nói góc trong mặt phẳng phức, ta hiểu đó là góc định hướng).
- Khi đó góc tạo bởi hai đường thẳng M 1M 3 và M 2 M 4 z 4 − z2là arg .
- z3 − z1Định lí: Hai tam giác ABC và A' B 'C ' đồng dạng cùng hướng khi và chỉ khi c − a c.
- B' b−a b −a ' Hai tam giác ABC và A' B 'C ' đồng dạng ngược hướng khi và chỉ khi c − a c.
- a' C' A' A BTích vô hướng của hai số phứcTrong mặt phẳng phức, cho hai điểm M 1 ( z1.
- Khi đó: uuuur uuuuur OM 1.OM 2 = OM1 .OM 2 .cos∠M1OM2Nếu số phức zk có modul bằng rk và có arg zk = α k thì: uuuur uuuuu r OM 1.OM 2 = r1 .r2 .cos ( α 2 − α1.
- z1 .z2 + z1 .z2 2Từ đó suy ra z1.
- z2 = z1 .
- Tích vô hướng của hai số phức có tínhchất như tích của hai vecto.
- z2 và z.z1.
- z2 = z z1 .
- Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M 1 ( z1.
- z +z  Chú ý M  1 2  là trung điểm của M 1M 2 và bán kính của đường tròn đường kính  2  z −z M 1M 2 là r = 1 M 1M 2 = 2 1 nên ta có 2 2 ( z + z.
- z2 − z1.
- z2 − z1 ) 2 2 z2 + z1 − z2 − z1 OM − r z z +zz z1.
- D ( d ) là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức, thì: b−a AB ⊥ CD ⇔ b − a, d − c = 0 ⇔ Re  =0  d −cTích ngoài của hai số phức.
- Diện tích của tam giác.Cho hai điểm M 1 ( z1.
- OM 2 .sin ∠M1OM 2Nếu số phức zk có modul bằng rk và có arg zk = α k thì: uuuur uuuuu r OM 1 × OM 2 = r1r2 sin ( α 2 − α1.
- r1 r2 ( sin α2 cosα1 − cosα2 sin α1 )Do đó ( i ) z1 × z2 = z1 .z2 − z1 .z2 2Từ đó, do z1 × z2 = z1 × z2 nên suy ra z1 × z2 ∈ R .Tích ngoài của hai số phức cũng có tính chất như tích ngoài của hai vecto trong mặt phẳng,ngoài ra ta có.
- C ( c ) thẳng hàng khi và chỉ khi ( b − a.
- B ( b ) là hai điểm phân biệt, không thẳng hàng với O thì 1 [ OAB.
- a × b + b × c + c × a ) 2Đường trònĐường tròn tâm M 0 ( z0 ) bán kính R là tập hợp những điểm M ( z ) sao cho M 0 M = R hayz − z0 = R tức là: z z − z0 z − z0 z + z0 z0 − R 2 = 0Từ đó, mọi đường tròn đều có phương trình dạng: zz +α z +αz + β = 0 trong đó α ∈ C , β ∈ RĐường tròn này có tâm với tọa vị là −α , bán kính R = α .α − β ,Mô tả phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức.Phép dời hình Phép tịnh tiến rPhép tịnh tiến theo vecto v.
- Từ đó ta có: Phép đối xứng qua trục thực: z = f ( z.
- z0 ) nên phép đối xứng qua αđường thẳng d đi qua gốc O và điểm z = ei 2 có biểu thức z.
- z0 Điều kiện đồng quy, thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm trên một đường tròn(đồng viên).Định lí: Cho ba đường thẳng với phương trình ∆1.
- u3 = 0Khi đó, ba đường thẳng ∆1.
- 2 , ∆3 đồng quy khi và chỉ khi.
- M 3 ( z3 ) thẳng hàng khi và chỉ khi: z3 − z1 ∈ R* z2 − z1 z −z  hay Im  3 1.
- z2 − z1 Định lí: Bốn điểm M k ( zk.
- k cùng nằm trên một đường thẳng hay đường tròn khivà chỉ khi: z3 − z2 z3 − z4 : ∈R z1 − z2 z1 − z4Hệ quả: Bốn điểm M k ( zk.
- k cùng nằm trên một đường thẳng khi và chỉ khi.
- k cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi.
- 1 2 z1 − z2 z1 − z4.
- D ( d ) là bốn điểm phân biệt của mặt phẳng phức, thì: b−a AB ⊥ CD ⇔ b − a

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt