- Trần Sĩ Tùng Đại số 11 CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 1. - Định nghĩa đạo hàm tại một điểm · Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a. - f(x0)) x ® x0 x - x0 D x ®0 D x · Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. - Ý nghĩa của đạo hàm · Ý nghĩa hình học. - f¢ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x0 . - Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x0 . - Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0. - Qui tắc tính đạo hàm · (C. - 2 èvø v · Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u¢x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y¢u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: y¢ x = y¢u.u¢ x 4. - Đạo hàm của hàm số lượng giác sin x sin u( x. - 1 2 cos x sin 2 x 5. - Đạo hàm cấp cao. - Trang 71 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử Dx là số gia của đối số tại x0. - D x ®0 D x Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) y = f ( x. - 2 x 2 - x + 2 tại x0 = 1 b) y = f ( x. - 3 - 2 x tại x0 = –3 2x +1 p c) y = f ( x. - tại x0 = 2 d) y = f ( x. - sin x tại x0 = x -1 6 3 x2 + x +1 e) y = f ( x. - x tại x0 = 1 f) y = f ( x. - tại x0 = 0 x -1 Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a) f ( x. - 2x - 3 cos x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. - Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. - Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 3 2 a) y = 2 x 4 - x 3 + 2 x - 5 b) y. - x + 1) ç - 1÷ è x ø 3 2x +1 1 + x - x2 g) y = h) y = i) y = 2x +1 1 - 3x 1 - x + x2 x2 - 3x + 3 2 x2 - 4 x + 1 2 x2 k) y = l) y = m) y = x -1 x -3 x2 - 2 x - 3 Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y. - x - 1)3 è x -1 ø è x ø Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 2 x 2 - 5 x + 2 b) y = x3 - x + 2 c) y = x+ x f) y x ) 3 d) y. - x - 2)3 Trang 72 Trần Sĩ Tùng Đại số 11 x3 4x +1 4 + x2 g) y = h) y = i) y = x -1 x2 + 2 x Baøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 æ sin x ö a) y = ç ÷ b) y = x .cos x c) y = sin3 (2 x + 1) è 1 + cos x ø d) y = cot 2 x e) y = sin 2 + x 2 f) y = sin x + 2 x g) y = (2 + sin 2 2 x )3 h) y = sin ( cos2 x tan2 x ) i) y = 2sin 2 4 x - 3cos3 5 x æ x +1 ö 2 1 k) y = cos2 ç ÷ l) y = tan 2 x + tan 3 2 x + tan 5 2 x ç x -1 ÷ 3 5 è ø Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. - Chứng minh rằng: a) (sin n x.cos nx. - n sin n-1 x.cos(n + 1) x b) (sin n x.sin nx. - n.sin n-1 x .sin(n + 1) x c) (cos n x.sin nx. - n.cosn -1 x.cos(n + 1) x d) (cos n x. - n.cos n-1 x.sin(n + 1) x VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) 1. - Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) Î (C ) là: y - y0 = f. - Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k. - k (ý nghĩa hình học của đạo hàm. - Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y0 = f ( x 0. - Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức. - Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước. - Phương trình tiếp tuyến (d): y - y0 = f. - Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y0 = f ( x0 ) và f. - Từ đó viết phương trình (d) theo công thức. - a Baøi 1: Cho hàm số (C): y = f ( x. - Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1. - b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. - c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. - 2 - x + x2 Baøi 2: Cho hàm số y = f ( x. - x -1 a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2. - b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. - Trang 73 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng 3x + 1 Baøi 3: Cho hàm số y = f ( x. - 1- x a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2. - b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. - c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. - d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 1 d: y = x + 100 . - 2 e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng D: 2x + 2y – 5 = 0. - Baøi 4: Cho hàm số (C): y = x 3 - 3 x 2 . - a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2). - b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I. - Baøi 5: Cho hàm số (C): y = 1 - x - x 2 . - Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): 1 a) Tại điểm có hoành độ x0. - 2 b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0. - VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao. - Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4. - Để tính đạo hàm cấp n. - Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3. - từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. - Baøi 1: Cho hàm số f ( x. - y (5) 1- x Baøi 3: Cho n là số nguyên dương. - sin u( x ) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim x® x0 u( x ) Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức sin u( x ) lim = 1 (với lim u( x. - 1 + sin x - cos x 1 - sin x æp ö è 6ø e) lim f) lim g) lim ç - x ÷ tan x h) lim x®0 1 - sin x - cos x p 2 pè2 ø p x® æp ö x® x® 3 - cos x 2 ç - x÷ 2 6 2 è2 ø VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Baøi 1: Giải phương trình f. - 3 cos x - 4 sin x + 5 x b) f ( x. - cos x + 3 sin x + 2 x - 1 cos 4 x cos 6 x c) f ( x. - sin 3 x - 3 cos 3 x + 3(cos x - 3 sin x ) 2 Baøi 2: Giải phương trình f. - 8 cos x - 3 - 2 x sin x î 2 Baøi 3: Giải bất phương trình f. - x - x3 2 x Trang 75 Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Î R: mx 3 a) f. - (m + 1) x - 15 3 2 Baøi 5: Cho hàm số y = x 3 - 2 x 2 + mx - 3. - mx 3 mx 2 Baøi 6: Cho hàm số f ( x. - Trang 76 Trần Sĩ Tùng Đại số 11 BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x 3 ( x 2 - 4) b) y. - x sin x sin x + cos x d) y = e) y = x cot( x 2 - 1) f) y = cos2 ( x 2 + 2 x + 2) sin x - cos x g) y = cos 2 x h) y = cot 3 1 + x 2 i) y = tan 2 (3 x 2 + 4 x ) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với: a) (C. - y = x 3 - 3 x 2 + 2 tại điểm M(-1, -2). - y = tại điểm có hoành độ x0 = 0. - y = 2 x + 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là k. - 3 Bài 5: Cho hàm số y = x 3 - 5 x 2 + 2 có đồ thị (C). - Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng y = -3 x + 1. - 1 b) Vuông góc với đường thẳng y = x - 4. - cos x æp ö æp ö Bài 6: a) Cho hàm số f ( x. - cos 2 x è6ø è3ø 1 b) Cho hai hàm số f ( x