- XÁC SUẤT THỐNG KÊ • Phép thử ngẫu nhiên: là việc thực hiện một hành động mà không đoán trước được kết quả xảy ra • Không gian mẫu Ω: là một tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử • Biến cố: là một kết quả nào đó của phép thử, có thể xảy ra hoặc không xảy ra. - Gọi tên biến cố: A, B, C. - Xác suất của biến cố: (định nghĩa cổ điển) 𝑛𝐴 𝑃 𝐴 = 𝑛Ω Lưu ý: 0 ≤ P(A. - 1 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ • Quan hệ thuận lợi B 𝐴⊆𝐵 A • Quan hệ tích A.B A B • Quan hệ tổng A+B A B • Quan hệ xung khắc 𝐴. - 1 𝐴 𝐴 VÍ DỤ 1 Cho tập hợp số tự nhiên từ 1 đến 20. - Chọn ngẫu nhiên 1 số trong tập hợp đó. - Tính xác suất chọn được số chia hết cho 3. - Phép thử là: chọn ngẫu nhiên 1 số. - nΩ = 20 • Biến cố A là chọn được số chia hết cho 3 • Khi đó A là tập hợp gồm: A. - nA = 6 𝑃 𝐴 =6/20 VÍ DỤ 2 Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen. - Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu. - Tìm xác suất để chọn 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu đen. - Phép thử là: chọn 6 quả cầu từ 12 quả. - nΩ = 𝐶12 • Biến cố A là: chọn 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu đen nA = 𝐶63 . - 𝐶21 /𝐶12 6 VÍ DỤ 3 Có 10 quyển sách khác nhau gồm 1 quyển tiếng Nhật, 2 quyển tiếng Nga, 3 quyển tiếng Pháp và 4 quyển tiếng Anh. - Xếp ngẫu nhiên các quyển sách đó lên 1 cái kệ, tính xác suất sao cho: a) Những quyển sách cùng một ngôn ngữ được xếp cạnh nhau. - c) Hai quyển tiếng Nga không được xếp cạnh nhau. - Phép thử là: xếp 10 quyển sách. - nΩ = 10! a)Biến cố A là quyển sách cùng một ngôn ngữ được xếp cạnh nhau. - 𝑃 𝐴 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) b) Gọi B là biến cố 3 quyển tiếng Pháp được xếp cạnh nhau nB . - 𝑃 𝐵 C) Gọi C là biến cố Hai quyển tiếng Nga không được xếp cạnh nhau 𝐶 là Hai quyển tiếng Nga được xếp cạnh nhau n𝐶 = 2!9. - 𝑃 𝐶 CÔNG THỨC XÁC SUẤT 1. - Công thức cộng 2. - Xác suất có điều kiện P(A/B): Là xác suất của * Với A, B, C là hai biến cố tùy ý, ta có: biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra. - 𝑃 𝐴 + 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴𝐵 Nếu A, B độc lập thì: P(A/B)=P(A) 𝑃 𝐴+𝐵+𝐶 = Công thức nhân = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 − 𝑃 𝐴𝐵 + 𝑃 𝐵𝐶 + 𝑃 𝐴𝐶 + 𝑃 𝐴𝐵𝐶 𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 Khi A, B,C xung khắc từng cặp với nhau thì: 𝑃 𝐴𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐶 𝐴 𝐵 𝑃 𝐴+𝐵+𝐶 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 +𝑃 𝐶 Nếu A, B, C độc lập toàn phần với nhau thì: 𝑃 𝐴𝐵𝐶 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃(𝐶 Ví dụ: Một nhóm có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên biết Ví dụ: Một thùng đựng 10 phiếu, trong đó có 3 chơi bóng chuyền, 30 sinh viên biết chơi đá banh. - Chọn ngẫu nhiên 1 đến khi bốc được phiếu trúng thưởng thì dừng. - sinh viên từ lớp này, tính xác suất chọn được sinh viên biết chơi ít Tính xác suất để việc bốc thăm dừng lại ở lượt nhất một trong hai môn thể thao nói trên. - Khi gọi điện thoại một khách hàng quên mất 3 chữ số cuối đành chọn ngẫu nhiên 3 số. - Tính xác suất người đó thực hiện được cuộc liên lạc khi chỉ nhớ là 3 chữ số đó khác nhau và số cuối là số chẵn. - Phép thử: là 3 chữ số đó khác nhau và số cuối là số chẵn. - nΩ = 5.9.8 Biến cố:A= người đó thực hiện được cuộc liên lạc nA=3 P(A . - Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi, Tính xác suất sao cho 3 bi lấy ra trong đó có ít nhất 2 bi cùng màu? 3 Phép thử: chọn 3 bi từ 20 bi. - nΩ = 𝐶20 Biến cố: A= ít nhất 2 bi cùng màu 2 bi cùng màu + 3 bi cùng màu TH1: 2 bi cùng màu: 𝐶62 . - Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào cùng 1 mục tiêu với xác suất trúng lần lượt là 0,7 và 0,9. - Tính xác suất mục tiêu bị trúng đúng 1 viên đạn. - Một lô hàng có 10 chính phẩm và 5 phế phẩm. - Lần thứ nhất chọn ngẫu nhiên không hoàn lại 5 sản phẩm và lần thứ hai cũng chọn không hoàn lại thêm 5 sản phẩm nữa. - Tính xác suất để lần thứ nhất được 5 chính phẩm, lần thứ hai được 2 chính phẩm và 3 phế phẩm. - Gọi A1 là biến cố lần thứ 1 chọn được 5 chính phẩm A2 là biến cố lần thứ 2 chọn được 2 chính phẩm và 3 phế phẩm 5 5 Ta có P(A1)= 𝐶10 /𝐶15 . - 𝐶53 /𝐶15 5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN Nhóm các biến cố A1, A2. - An là nhóm biến cố. - An= Ω A A1 + Xung khắc từng đôi: Ai xung khắc Aj, 𝑖 ≠ 𝑗 An A là biến cố xảy ra đồng thời với các biến cố A1, A2. - +𝑃 𝐴𝑛 𝑃(𝐴/𝐴𝑛 CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÍ DỤ 1: Có 2 hộp đựng bi: hộp A có 3 bi đỏ và 7 bi trắng. - Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra một bi. - Tính xác suất bi lấy ra là bi đỏ? CHỌN 1 HỘP Giải P(A1)=1/2 P(A2)=1/2 Gọi A là biến cố chọn được bi màu đỏ A1 là biến cố chọn được hộp A A2 là biến cố chọn được hộp B HỘP A HỘP B 4Đ + 4T Ta có 3Đ + 7 T P(𝐴 = 𝑃(𝐴1 . - P(A/A Đ 1T 1Đ 1T CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN • VÍ DỤ 2: Một thùng đựng 10 phiếu, trong đó có 1 phiếu trúng thưởng. - Hai người chọn ngẫu nhiên mỗi người một phiếu. - Tính xác suất bốc được phiếu trúng thưởng của mỗi người. - NG 2 NG 2 NG 2 NG 2 K TRÚNG K TRÚNG TRÚNG TRÚNG CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN • VÍ DỤ 3: Một kho hàng chứa 1 loại sản phẩm được sản xuất bởi 3 phân xưởng. - Số lượng sản phẩm của phân xưởng I gấp đôi số sản phẩm của phân xưởng III. - số lượng sản phẩm phân xưởng II gấp đôi số sản phẩm của phân xưởng III. - Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là . - Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho, tính xác suất chọn được phế phẩm Giải CHỌN 1 SẢN PHẨM Gọi A là bc chọn được phế phẩm A1 là bc chọn được sp của PX 1 P(A3)=1/5 P(A1)=2/5 A2 là bc chọn được sp của PX 2 P(A2)=2/5 A3 là bc chọn được sp của PX 3 Ta có PX 1 PX 2 2 PX 3 P 𝐴1 = 5 2 P(A/A1)=5% P 𝐴2 = P(A/A2)=8% P(A/A3)=10% 5 1 P 𝐴3 = 5 P(𝐴 = 𝑃(𝐴1 . - 10% =7,2% pp 5 5 5 9P pp 9P pp 9P CÔNG THỨC BAYES 𝑃(𝐴.𝐵 Ta có: 𝑃 𝐴. - 𝑃(𝐵/𝐴) =>𝑃 𝐵/𝐴 = 𝑃(𝐴 Công thức xác suất toàn phầ: P(𝐴 = 𝑃(𝐴1 . - 𝑃(𝐴 𝑃(𝐴 𝑃(𝐴1 .𝑃(𝐴/𝐴1 = 𝑃(𝐴1 .𝑃(𝐴/𝐴1 +𝑃 𝐴2 𝑃(𝐴/𝐴2 +⋯.+𝑃 𝐴𝑛 𝑃(𝐴/𝐴𝑛 CÔNG THỨC BAYES • VÍ DỤ 3 (TT. - Một kho hàng chứa 1 loại sản phẩm được sản xuất bởi 3 phân xưởng. - Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho. - a) Tính xác suất chọn được phế phẩm b) Biết sản phẩm chọn ra là phế phẩm, hỏi khả năng sản phẩm đó thuộc phân xưởng nào sản xuất là cao nhất? Giải Gọi A là bc chọn được phế phẩm b) Theo bài ra thì A là biến cố đã xảy ra A1 là bc chọn được sp của PX 1 Cần tìm xác suất lớn nhất: 𝑃(𝐴1 /𝐴), 𝑃(𝐴2 /𝐴), 𝑃(𝐴3 /𝐴)? A2 là bc chọn được sp của PX 2 Ta có 2 𝑃(𝐴1 .𝐴 𝑃(𝐴1 .𝑃(𝐴/𝐴1 .5% 10 A3 là bc chọn được sp của PX 3 5 P 𝐴1 /𝐴. - a) Ta có 𝑃(𝐴 𝑃(𝐴 𝑃(𝐴2 .𝐴 𝑃(𝐴2 .𝑃(𝐴/𝐴2 .8% 16 P 𝐴1 = 5 5 P 𝐴2 /𝐴. - 2 𝑃(𝐴 𝑃(𝐴 7,2% 1 36 P 𝐴2 = .10% 5 𝑃(𝐴3 .𝐴 𝑃(𝐴3 .𝑃(𝐴/𝐴3 5 10 P 𝐴3 = 1 P 𝐴3 /𝐴. - 10% =7,2% CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÍ DỤ 4:Một thùng đựng 10 quả bóng trong đó có 4 quả bóng cũ. - Lần đầu tiên chọn ngẫu nhiên 2 quả ra thi đấu rồi bỏ trở lại vào thùng. - Lần thứ hai chọn ngẫu nhiên 1 quả. - a) Tính xác suất quả chọn ra lần thứ hai là quả mới. - b) Biết quả lấy ra lần thứ hai là quả mới, tính xác suất 2 quả lấy ra lần đầu cũng là 2 quả mới CHỌN 2 quả thi đấu Giải Gọi A là bc lần thứ hai chọn được quả mới P(A3)= P(A1)= A1 là bc bc lần thứ nhất chọn được 2 quả mới P(A2)= A2 là bc bc lần thứ nhất chọn được 1 mới 1 cũ A3 là bc bc lần thứ nhất chọn được 2 quả cũ 2 mới 1M 1 C 2 cũ a) Ta có (4M+6C (5M+5C (6M+4C 𝐶62 P 𝐴1 = 2 P(A/A1)=4/10 P(A/A2)=5/10 𝐶10 P(A/A3)=6/10 𝐶61 .𝐶41 P 𝐴2 = 2 𝐶10 𝐶42 P 𝐴3 = 2 𝐶10 P(𝐴 = 𝑃(𝐴1 . - 𝑃(𝐴/𝐴1 + 𝑃 𝐴2 𝑃(𝐴/𝐴2 + 𝑃 𝐴3 𝑃(𝐴/𝐴1M 3 1C 1M 1C 1M 1C 𝑃(𝐴1 .𝑃(𝐴/𝐴1 b) P(A1/A)= 𝑃(𝐴 CÔNG THỨC BERNOULLI • n: số lần thực hiện phép thử Ví dụ: Tung một con xúc xắc cân • Mỗi lần thực hiện phép thử có đối, đồng chất liên tiếp 5 lần. - Tính thể xảy ra biến cố A hoặc 𝐴. - xác suất có 3 lần xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chẳn. - k: số lần xảy ra biến cố A Giải k = 0, 1, 2. - n n= 5 • 𝑝 = 𝑃 𝐴 mỗilần thực hiện phép thử k=3 • 𝑞 = 𝑃 𝐴 = 1 − 𝑝. - 6 6 CÔNG THỨC BERNOULLI • Một đề thi trắc nghiệm gồm 20 • Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy là 2%. - Mỗi câu có 4 đáp án, trong đó Chọn ngẫu nhiên 10 sản phẩm do nhà máy có 1 đáp án đúng. - Tính xác suất đó sản xuất. - Tính xác suất có ít hơn 2 phế một người làm bài ngẫu nhiên phẩm trong 10 sản phẩm chọn ra. - đúng được 15 câu? GIẢI Giải Ta có A = {chọn được phế phẩm) A = {chọn được đáp án đúng. - 1 k = 15 Gọi B là biến cố có ít hơn 2 phế phẩm 𝑃 𝐵 = 𝑃10;2% 0 +𝑃10;2% 1 𝑃 𝐶20