- TĂNG HẢI TUÂN Admin diễn đàn Vật lí phổ thônghttp://vatliphothong.vn BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN TOÁNCỦA CÁC TRƯỜNG, CÁC TỈNH TRÊN CẢ NƯỚCNĂM HỌC Hà Nội - 2015 1 Đề bài Bài 1. - Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn 3( x 4 + y 4 + z 4. - Chọn HSG Quốc gia, Yên Bái Bài 2. - Chứng minh rằng a 201 a 112 + a 202 a 113. - Chọn HSG Quốc gia, Cần Thơ Bài 3. - Tìm hằng số k lớn nhất với mọi a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 thì bất đẳng thứcsau đúng a 1 + 9 bc + k ( b − c ) 2 + b 1 + 9 ca + k ( c − a ) 2 + c 1 + 9 ab + k ( a − b ) 2 ≥ 12 . - Chọn HSG Quốc gia, Hải Phòng Bài 4. - Tìm giá trị lớn nhất của S = 2 x +2 y + 2 y +2 z + 2 z +2 x − 2 x + y + z Chọn HSG Quốc gia, Hải Dương Bài 5. - Chọn HSG Quốc gia, Cà Mau Bài 6. - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . - Chứng minh rằng a 3 1 + 9 b 2 ac + b 3 1 + 9 c 2 ba + c 3 1 + 9 a 2 cb. - Chọn HSG Quốc gia, chuyên Quốc học Huế Bài 7. - Chọn HSG Quốc gia, Thanh Hóa Bài 8. - Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta có a ( b + c. - Chọn HSG Quốc gia, Thái Bình Bài 9. - Chứng minh rằng xyz + x 2 + y 2 + z x + y + z. - Chọn HSG Quốc gia, Chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận Bài 10. - Cho a,b,c là các số thực dương. - Chứng minh rằng ( a + b − c ) 2 ( a + b ) 2 + c 2. - Chọn HSG Quốc gia, Đăk Lăk Bài 11. - Chứng minh bất đẳng thức sau 3( x 2 − x + 1)( y 2 − y + 1. - xảy ra khi nào? Chọn HSG Quốc gia, Quảng Trị Bài 12. - Chứng minh rằng x + y ( x − y ) 2 + y + z ( y − z ) 2 + z + x ( z − x ) 2 ≥ 9 x + y + z . - Chọn HSG Quốc gia, Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội Bài 13. - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 . - Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 + 2 1 a + 1 b + 1 c. - Chọn HSG quốc gia, Lâm Đồng Bài 14. - Chứng minh rằng. - Chọn HSG quốc gia, Quảng Nam Bài 15. - Chứng minh rằng: 3 yz x + 4 zxy + 5 xyz ≥ 4 . - Chọn HSG quốc gia, Tuyên Quang Bài 16. - Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz . - Chứng minh rằng 2 √ 1 + x y z 2 ≤ 94 . - Chọn HSG quốc gia, Thái Nguyên Bài 17. - Chọn HSG Quốc gia, Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ Bài 18. - Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6 . - Chứng minh rằng khi đó ta có a 2 + bcb + b 2 + cac + c 2 + aba ≥ a 2 + b 2 + c 2 . - Chọn HSG tỉnh, Hải Phòng Bài 19. - Chứng minh 4 b ≤ 3 a. - Chọn HSG tỉnh Bình Thuận Bài 20. - Chọn HSG tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu Bài 21. - Cho a,b và c là các số thực dương. - Chọn HSG tỉnh Kiên Giang Bài 22. - Chứng minh rằng: 1 a 3 + b 3 + 1 + 1 b 3 + c 3 + 1 + 1 c 3 + a 3 + 1 ≤ 1 . - Chọn HSG tỉnh Long An Bài 23. - Cho các số thực a,b,c ≥ 1 thỏa mãn a + b + c = 6 . - Chọn HSG tỉnh Vĩnh Phúc Bài 24. - Chọn HSG tỉnh, Thanh Hóa Bài 25. - Chọn HSG tỉnh, Gia Lai Bài 26. - Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1 . - Chứng minh rằng 1 + a 1 − a + 1 + b 1 − b + 1 + c 1 − c ≤ 2 ab + bc + ca. - Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + d = 4 . - Chứng minh rằng P. - Cho x,y,z là các số thực dương. - Chứng minh. - Chọn HSG Quốc gia, Yên Bái Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz , ta có 3( x 4 + y 4 + z 4. - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz , ta lại có P = x 2 y + 2 z + y 2 z + 2 x + z 2 x + 2 y = x 4 x 2 y + 2 zx 2 + y 4 y 2 z + 2 xy 2 + z 4 z 2 x + 2 yz 2. - Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc ab + bc + ca. - a + b + c ) 2 3 , ta có x 2 y + y 2 z + z 2 x. - Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được 2 ( xy 2 + yz 2 + zx 2. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1. - Chọn HSG Quốc gia, Cần Thơ Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM − GM cho 20 số dương, ta có a 201 a a a 201 a 112 · a a 1 . - Tương tự với 2013 số hạng còn lại, sau đó cộng vế với vế, và với chú ý 2014 ∑ i =1 a i = 2014 ta thu ngayđược điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tất cả các biến bằng nhau và bằng 1. - Chọn HSG Quốc gia, Hải Phòng Lời giải Cho a = b = 12 và c = 0 ta có k ≤ 4 và ta sẽ chứng minh k max = 4 . - Thật vậy, với k = 4 bấtđẳng thức cần chứng minh trở thành a 1 + 9 bc + 4( b − c ) 2 + b 1 + 9 ca + 4( c − a ) 2 + c 1 + 9 ab + 4( a − b ) 2 ≥ 12 . - Kí hiệu vế trái là A, sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có A. - Do đó, ta quy bài toán về chứng minh 1 + 27 abc + 4 a ( b − c ) 2 + 4 b ( c − a ) 2 + 4 c ( a − b ) 2 ≤ 2 . - Đồng bậc hóa bất đẳng thức này, ta cần chứng minh 4 ab ( a + b. - 6 Kết hợp đánh giá trên và sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có VT. - Phép chứng minh hoàn tất.Với x ≥ y ≥ z ≥ 0 thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = (2. - Chọn HSG quốc gia, Lâm Đồng Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có 1 a + 1 b + 1 c ≥ 9 a + b + c = 3 . - Do đó ta cần chứng minh a 3 + b 3 + c ab + bc + ca. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM dễ thấy rằng a a , do đó ta cần chứng minh 3( a + b + c. - Bài toán được chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. - Chọn HSG quốc gia, Quảng Nam Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có √ 3( a 2 + b 2 + c 2. - Từ đó, sử dụng đánh giá trên và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc ( b + c ) 2 ≤ 2( b 2 + c 2. - ta có 5 a 2 √ 3( a 2 + b 2 + c 2. - Chọn HSG quốc gia, Tuyên Quang Lời giải Nhìn bất đẳng thức không có dạng đối xứng, nên ban đầu mình đoán đẳng thức xảy ra khi các biếnkhông bằng nhau. - Sau một hồi suy nghĩ không tìm được đẳng thức xảy ra khi nào, mình đã thử cho trường hợp x = y = z và âu mai gót, nó xảy ra khi x = y = z = 13 . - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có 1 = 2 √ xy. - 14 Chú ý rằng yz x · zxy = z, xyz · zxy = x, xyz · yz x = y nên để đánh giá vế trái về x,y,z thì ta sẽ sử dụngbất đẳng thức AM − GM cho hai số. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có ( a + c ) yz x. - Vì ta đã dự đoán được dấu bằng xảy ra khi x = y = z nên để dấu bằng của bất đẳng thức AM − GM thỏa mãn, ta cần có a = b,c = d,e = f . - Bài toán được chứng minh xong. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 13. - Chọn HSG quốc gia, Thái Nguyên Lời giải Cách 1: Đặt a = 1 x,b = 1 y,c = 1 z ta có ab + bc + ca = 1 . - Nhìn dấu căn như thế làm ta nhớ đếnngay bất đẳng thức AM − GM . - Tuy nhiên ta không thể sử dụng bất đẳng thức AM − GM kiểunhư. - Vì ta chưa biết dấu đẳng thức xảy ra khi nào. - Đã đếnlúc dự đoán đẳng thức đạt được khi nào.Vì bất đẳng thức cần chứng minh đối xứng với hai biến b và c , nên ta dự đoán đẳng thức đạt đượckhi b = c . - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có 2 a. - Bài toán được chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab + bc + ca = 1 ,a = 7 b = 7 c tương đương a = 7 √ 15 ,b = c = 1 √ 15 hay x. - Khiđó, ta cần chứng minh 2cos A + cos B + cos C ≤ 94 . - Thiết lập ba biểu thức còn lại, sau đó cộng vế với vế và chú ý a + b + c + d = 4 ta thu ngay đượcđiều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. - Chọn đội tuyển dự thi Olympic 30-4 lớp 10, tỉnh Bình Thuận Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với xy + yz + z x. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có xy + z x + z x ≥ 3 3 z 2 xy = 3 z 3 √ xyz ,yz + xy + xy ≥ 3 3 x 2 yz = 3 x 3 √ xyz ,z x + yz + yz ≥ 3 3 y 2 xz = 3 y 3 √ xyz . - Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên, ta thu được xy + yz + z x ≥ x + y + z 3 √ xyz . - Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được xz + yx + z y ≥ x + y + z 3 √ xyz . - Từ đó cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta thu được điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt