Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01. MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA Thầy Đặng Việt Hùng 1) Khái niệm về Lũy thừa Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên. 1 Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên. a m Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m = ( a) n m với m, n là số tự nhiên. 1 Đặt biệt, khi m = 1 ta có a n = n a . 2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa  a 0 = 1, ∀a Tính chất 1:  1  a = a, ∀a  a > 1: a m > a n ⇔ m > n Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):  m n 0 < a < 1: a > a ⇔ m < n  am > bm ⇔ m > 0 Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì  m m  a < b ⇔ m < 0 Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa Nhóm công thức 1: a .a = a m n m am = a m−n n a (a ) m n Nhóm công thức 2: m+ n = a mn = ( a ) ( ) n am = a n = n ab = n a . n b , n a m 1  → a = a2 ; 1 3 ∀a, b ≥ 0 n n m n a a = n , ∀a ≥, b > 0 b b Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau : 1 a) a 2 .   a ( ) c) a 3 2 −1 b) a π . 4 a 2 : a 4π 3 3 d) a 2 . .a1,3 : a 3 2 Lời giải: 1 a) a 2 .   a 2 −1 =a 2 (a ) −1 2 −1 = a 2 a1− 2 =a. 1 b) a π . 4 a 2 : a 4π ( ) c) a 3 3 =a 1 a2 = aπ π = a 2 = a a 3. 3 = a3 2 = a 2. .a1,3 = a1,3 a 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức : 3 d) a 2 . .a1,3 : a 3 1 a = a3 ; n a = an Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) a2 (a 2 −b a c) a a) − b2 2 2 5 3 a2 (a (a b) a 3 ) −b 5 3 − b2 2 2 2 3 3 2 5 3 5 2 3 3 −b 3 +b +1 = 2 a4 7 7 3 3 ) − 1)( a −b (a b) +1 2 +a 3 b a c) 3 7 2 7 3 (a +a −a 3 2 −b (a + a3 3 3 2 ) +1 = a 3 3 +b 3 2 7 3  a  = 2 3 )( − 1 a2 a4 3 3 −b 3 ) 5 3 −b a 7 3 2 +b 3 3 +a 3 b 2 2 −b 3 3 3 3 7 3 +b 3 ) 3  1π  π π 2 a + b − ( )  4 ab    +a = 2 7 3 2a π 2 −b 2 2 3 2 3 3 7 2 7  2 5 3 3 3 3 a a b b + +    2 5 3 + a3 3 Lời giải: 3 3 +a −a a (a − b ) ) = ( a − 1)( a + 1) a ( a + 1 + a ) = a ( a ( a − 1)( a + 1 + a ) 2 3 )( a 2 3 7 +a 3 b 3 +b d) Facebook: LyHung95    =a 5 3 −b 3 3 ) +1 7 3 π 2  1  d) ( a + b ) −  4 π ab  = a 2 π + b 2 π + 2a π b π − 4a π b π = ( a π − b π ) = a π − b π   Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau : π π 2 11 a) A = 5 2 3 2 2 b) B = a a a a : a 16 c) C = 4 x 2 3 x d) D = 5 b3 a a b ( a > 0) ( ab > 0 ) Lời giải:  1   1  3  5 3  a) A = 2 2 2 =   2 2 .2  .2           b) B = a a a a : a 11 16 1 5  1 1 31 3   3  3   1  5   25 10 2 2  =  2  .2  =  2 .2  = 2 = 2            3 1    2  2 =  a        1 5 1   a   1 2 1 2 1 1 15 2   11 11 7 11 3 1 16 +1  2 +1  2   a  .a  : a 16 =   a 4  .a  : a 6 =  a 8  : a 16 = 11 = a 4        a 16     Ví dụ 4: [ĐVH]. Rút gọn biểu thức sau : 3 3   34   34  4 4 − + a b a b        1 1  a −b a −b   4      4 − 1 − ab  a) A = 3 : a −b  b) B =  1 1 1   1 1     a2 − b2  a 4 + a 2 b 4 a 4 + b 4       Lời giải:   1 1 1 1 1 1     1 1 1 1 2 2 2 2    − − − − + a −b a2 − b2   4 a b a b a b a a b 1    4 4 : a − b4  = 1 1 : a b . 1 a) A = 3 − 1 − − = =   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1        4   4      4 2 4 4 4 4 4 2 4 4 2 4 4 a + b  a a + b  a + b  a a + b  a −b   a + a b         1 1 1   b2  a2 − b2  b = 1 = 1   1 a a 2  a 2 − b 2  1 2 1 2 −1 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 3 3 3 1 1 1 1   34   32  34   12    12  4 4 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a b − + − − − −         (a − b)            b) B =  − ab  =  = a −b 1 1 1 1 1 1 =       a2 − b2 a2 − b2  a2 − b2            Ví dụ 5: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa) 2  3 32 1  a b   a    14  a2 + 4  4 + a) A =  3  +  : a b b) B =    2 b a   a b3      a2 − 4    a   +4  2a  Lời giải: a 1   + 1 1 a 2b2 + 1  + a  :  a 4 + b 4  = b ab3 =   1 1 2 3 1 1    ab    a 4 + b 4 ab3  a 4 + b 4        2 a 2 ⇔ a ≥ 0 = = a −2 ⇔ a < 0 3 2  32 12  3 1  a b  2  a    14   a b  a) A =  3  +   :  a + b 4  =  3 1 3     b 2 a 2 b a  a b       a2 + 4 b) B = = a2 + 4  a2 − 4  ( a2 + 4) a   +4 a 4a 2  2a  Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau : 2 1  2   1   a b a) 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab  b)  a 3 + b 3  :  2 + 3 + 3  b a      Lời giải: 2 2 2 2 3 3   a) 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab  = 3 a + 3 b  3 a − 3 a 3 b + 3 b  = 3 a + 3 b = a + b     1 1  13  13 13  13  13 13 3 3 1 1 a b a b a b + +    a b 1 3 3    13  a b a b  b)  a + b 3  :  2 + 3 + 3  =  1 1 2 = = 1 2 2 1 1 b a  13     3 3 3 2a 3 b 3 + a 3 + b 3 a + b a +b    2 ( ) ( ) 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại) a) A = 4 x 2 3 x . d) D = 3 b) B = 5 23 3 2 . 3 2 3 b3 a . a b c) C = 5 2 3 2 2 . e) D = 4 3 a8 . 5 f) F = 3 b2 b . b b Bài 2: [ĐVH]. Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau? 2 1 − − a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 . −3 −1 b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) . 1 c)   a −0,2 < a2 . 1 d) (1 − a ) − 1 3 > (1 − a ) − 1 2 . e) ( 2 − 3 a)4 > (2 − a) . 2  1 2  1  f)   >   a a − 1 2 . Bài 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  a) A =   3+ 2 − ( 3− 2     ) ( 1 2 3+ 2 ) 1 2  3− 2  + Facebook: LyHung95 −1 b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x) = 4x . 4x + 2 a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.  1   2   2010  b) Tính tổng S = f  + f   + ... + f  .  2011   2011   2011  Bài 5: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau 5 π 2 π a)   và   2 2 6 d)   7 3 10 3 7 và   8 2 π b)   2 2 π và   5 π e)   6 5 π và   5 3  3 c)   5 10 4  4 và   7 5 2 2 Bài 6: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau 30 và 5 20 b) c) 17 và 3 28 d) 4 13 và a) 3 4 5 và 3 7 5 23 Bài 7: [ĐVH]. Tìm x thỏa mãn các phương trình sau? 1) 4 = 1024 x 5 4) ( 3 3 ) 7) 2x 2) 1 =  9 x−2 x ( 12 ) . ( 3 ) = x x x +1 = 2  8  5)   .    9   27  1  0, 25  .322 x −8 =   0,125  8  10) 5 2   25 1 6 −x 8 125 −x 27 = 64 8) 0, 2 x = 0,008 11) 71− x.41− x = 3) 81 − 3 x = 3 6)   2 1 32 x 2 −5 x + 6 3 x −7  9  9)    49  =1 7 =  3 1 28 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 7 x −3