zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Điều kiện tối ưu cần cho cực tiểu pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc

Chia sẻ: ViLichae ViLichae | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

35
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán tối ưu với ràng buộc tập và bất đẳng thức (hay còn gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc) được nghiên cứu trong bài báo này với dữ liệu trong không gian Banach thực.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Điều kiện tối ưu cần cho cực tiểu pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc

TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 ON NECESSARY OPTIMALITY CONDITIONS FOR LOCAL WEAK PARETO MINIMUM IN VECTOR OPTIMIZATION PROBLEM WITH CONSTRAINTS Vu Thi Thu Loan1, Tran Van Su2, Dinh Dieu Hang3* 1TNU - University of Agriculture and Forestry, 2Quang Nam University 3TNU - University of Information and Communication Technology ARTICLE INFO ABSTRACT Received: 16/4/2021 The vector optimization problem with set and inequalities constraints (also called as multiobjective optimization problem with constraints) is Revised: 27/5/2021 considered in this paper for which the data is of real Banach spaces. Published: 31/5/2021 Using the regularity condition in the sense of Clarke’s derivatives in which the objective function and the constraints function are Gâteaux KEYWORDS differentiable at the given optimal point, we provide the dual second- order nec- essary optimality condition for the local weak Pareto Second-order necessary minimum of the vector optimization problem through the Clarke optimality conditions generalized derivatives and the Páles-Zeidan type second- order upper Local weak Pareto minimum generalized directional derivatives. The result obtained in the literature Clarke’s generalized derivatives is new and also illustrated by an example for our findings. Optimality condition Páles and Zeidan’s second-order upper generalized direc- tional derivatives ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẦN CHO CỰC TIỂU PARETO YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ CÓ RÀNG BUỘC Vũ Thị Thu Loan1, Trần Văn Sự2, Đinh Diệu Hằng3* 1Trường Đại học Nông Lâm – ĐH Thái Nguyên 2Trường Đại học Quảng Nam 3Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông – ĐH Thái Nguyên THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT Ngày nhận bài: 16/4/2021 Bài toán tối ưu với ràng buộc tập và bất đẳng thức (hay còn gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc) được nghiên cúu trong bài báo Ngày hoàn thiện: 27/5/2021 này với dữ liệu trong không gian Banach thực. Sử dụng điều kiện Ngày đăng: 31/5/2021 chính quy trong trường hợp đạo hàm Clarke trong đó hàm ràng buộc và hàm mục tiêu là khả vi Gâteaux tại điểm tối ưu cho trước, chúng TỪ KHÓA tôi thiết lập điều kiên tối ưu cần cấp hai dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu thông qua ngôn ngữ đạo Điều kiện cần tối ưu cấp hai hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp hai Cực tiểu Pareto yếu địa phương dạng Páles-Zeidan. Kết quả thu được trong bài báo là mới và chúng tôi cũng đề xuất một số ví dụ cho mô tả kết quả mới của bài báo. Đạo hàm suy rộng Clarke Điều kiện tối ưu Đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp hai Páles-Zeidan DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4319 * Corresponding author. Email: ddhang@ictu.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 247 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 1. Mở đầu Giả sử X là một không gian Banach, C là một tập con mở khác rỗng trong X , hàm giá trị vectơ f = ( f1,..., f p ) :C → R p và các hàm giá trị thực gi :C → R, i =1, 2, ..., m . Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu bài toán tối ưu vectơ với ràng buộc tập và bất đẳng thức dạng: min f ( x) (hay f ( x) → min ) (p) thỏa mãn x  K Trong đó, tập chấp nhận được K của bài toán tối ưu vectơ (P) có dạng: K := x  C : g i ( x)  0, i =1, 2 , ..., m. Một vectơ x K được gọi là cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ (P), nếu tồn tại một lân cận min f ( x) U của x sao cho không tồn tại bất kỳ x  K  U để fi ( x)  f j ( x), j = 1, 2,..., p . Trường hợp U = X , từ “địa phương” có thể bỏ qua cho nghiệm cực tiểu Pareto yếu. Nếu một vectơ x K là một cực tiểu Pareto yếu của bài toán tối ưu vectơ (P) thì cũng là một cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán. Do đó, trong nhiều bài toán tối ưu, tính chất nghiệm địa phương được ưu tiên trong thiết lập tính hữu hiệu “cần” cấp 1 và cấp 2. Bài toán tối ưu vectơ (P) với điều kiện Lipschitz địa phương được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây, nhưng giả thiết về hàm mục tiêu và ràng buộc ít nhất là khả vi liên tục. Trong nhiều kết quả về lĩnh vực điều kiện tối ưu cấp 2 tốt hơn cấp 1, nghĩa là điều kiện tối ưu cấp 2 chứa nhiều thông tin hơn điêu kiện tối ưu cấp 1, chúng còn làm mịn được các thông tin trong điều kiên tối ưu cấp 1. Trong nhiêu bài toán tối ưu vectơ, các điều kiện tối ưu cấp 1 không thể sử dụng cho kiểm tra kết quả tối ưu hay thiết kế thuật toán số trong thực hành mà cần đến điều kiện tối ưu cấp 2. Đấy là lý do chính tại sao chúng tôi cần nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp 2 trong bài báo này. Để bạn đọc có một góc nhìn toàn diện hơn về các điều kiện tối ưu cấp 2 đã biết, chúng tôi giới thiệu một vài vấn đề mang tính lịch sử đã được đề cập trong các bài báo uy tín như sau: Năm 1999, Bonnans-Cominetti-Shapiro [1] sử dụng đạo hàm parabolic cấp 2 để thiết lập điều kiện cần tối ưu vectơ có ràng buộc; năm 2003, Guerraggio-Luc [2] nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu đa mục tiêu vectơ với dữ liệu trong lớp C 0 ,1 và C 1, 1 , và cũng trong thời điểm này, Jiménez-Novo [3]-[5] thu được điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu vectơ với dữ liệu là các hàm khả vi được mô tả thông qua các tập tiếp liên cấp 2. Kế tiếp đến năm 2010, Gutiérrez-Jiménez-Novo [6] sử dụng các tập tiếp tuyến cấp 2 thiết lập điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối đa mục tiêu có ràng buộc; năm 2018, Luu [7] biểu diễn điều kiện tối ưu cấp 2 dạng cơ bản và đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc sử dụng đạo hàm theo hướng cấp 2 dạng Páles-Zeidan. Gần đây nhất vào năm 2020, Constantin [8] cung cấp điều kiện tối ưu cấp 2 dạng cơ bản theo đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng cấp 2 dạng Páles- Zeidan. Nối tiếp kết quả của Constantin [8], chúng tôi cung cấp trong bài báo này điều kiện tối ưu cần cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương trong không gian Banach với dữ liệu bài toán Lipschitz địa phương tại thời điểm tối ưu cho trước. Ngoài ra, chúng tôi cũng đề xuất một số ví dụ mô tả kết quả mới của bài báo. 2. Kiến thức chuẩn bị Trong bài báo này chúng tôi quy ước: 0  (−) = 0 và 0   = 0 , http://jst.tnu.edu.vn 248 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 Với mỗi số tự nhiên n , ký hiệu I n là tập n số tự nhiên đầu tiên bắt đầu từ 1. Phần trong topo và bao đóng poto của một tập con A trong X được ký hiệu tương ứng bởi convA và riA . Số phần tử của tập A được mô tả như A . Định nghĩa sau đóng vai trò then chốt trong bài báo, bạn đọc có thể thấy trong Clarke [9], V. I. Ivanov [10] and Constantin [8]. Định nghĩa 2.1 Cho f là một hàm giá trị thực Lipschitz địa phương trên một tập mở C của X và x0  X . Ta có các định nghĩa sau: (a) Đạo hàm suy rộng Clarke của f tại x0 được xác định bởi: f ( x + tv) − f ( x) f 0 ( x0 , v) := lim sup ( x , t ) → ( x0 , 0 + ) t (b) Đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp hai kiểu Páles-Zeidan của f tại x0 được xác định bởi: f ( x0 + tv) − f ( x0 ) − tf ( x0 ; v) f 00 ( x0 , v) := lim sup ,v X t → 0+ t2 2 Chú ý 2.2 Theo Clarke [9], nếu X là hữu hạn chiều, f là Lipschitz địa phương xung quanh x0 , chính quy trong trường hợp của Clarke và khả vi Gâteaux tại x0 của f được ký hiệu bởi f G ( x0 )(v), (v X ), thì chúng ta luôn có đẳng thức đúng: f 0 ( x0 , v) := f G ( x0 )(v), v  X Đặc biệt, nếu f là khả vi Fréchet và liên tục xung quanh x0 và khả vi theo hướng cấp 2 tại x0 theo hướng v  X , ta cũng thu được: f 00 ( x0 , v) = f G ( x0 )(v), v  X Ở đây f ( x0 + tv) − f ( x0 ) − tf ( x0 ; v) f '" ( x0 , v) := lim sup t → 0+ t2 2 và f ( x0 ) là đạo hàm Fréchet tại x0 của hàm f . Với mỗi x  K (điểm chấp nhận được), tập chỉ số hoạt của bài toán tối ưu vectơ (P) ký hiệu  I ( x) := i  I m : gi ( x) = 0  Khi đề cập đến dữ liệu của bài toán (P), luôn giả thiết rằng các hàm f1,..., f p và gi i  I (x) ( ) ( Lipschitz địa phương trên tập mở khác rỗng C  X , các hàm gi i  I m \ I x liên tục tại điểm( )) chấp nhận được x . Một phương v  X được gọi là trọng tâm tại điểm x nếu: ( )  f j0 x; v  0, j  I P  0 ( ) ()  g i x; v  0, i  I x . Với trọng tâm v , ký hiệu: ( ) ( )  J x; v = j  I p : f j0 x; v = 0 , http://jst.tnu.edu.vn 249 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 ( )  () ( )  I x; v = i  I x : fi 0 x; v = 0 Chuẩn hóa ràng buộc cấp 2 dạng Zingwill ký hiệu (ZSCQ) được thỏa mãn nếu: ( ) ( ) B x; v  A x; v , Trong đó: A (x; v ):= w  X : i  I (x; v )  i  0:  1   gi  x + tv + t 2 w   0, t (0;  i )  2   ( )  ( ) B x; v := w  X : g i0 x; w + g i00 x; v  0 ,  i  I x; v ( ) ( ) Định lý 2.3 (xem Constantin [8]) Giả sử x  K là một cực tiểu Parteto yếu địa phương của (P). Khi đó, với mọi hướng trọng tâm v  X thỏa mãn (ZSCQ), hệ sau không có nghiệm w X ( ) ( )  f j0 x; w + f j00 x; v  0, j  J x; v , ( )  0 ( ) ( )  g i x; w + g i x; v  0, i  I x; v . 00 ( ) 3. Kết quả mới của bài báo Xét bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức (P) được xác định trong phần 2. Một điều kiện tối ưu cần cấp 2 dạng đối ngẫu cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán (P) theo ngôn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp 2 được thiết lập như sau: Định lý 3.1. (Điều kiện tối ưu cấp 2 cho x  K là một cực tiểu yếu địa phương dạng đối ngẫu) Cho x  K là một cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán (P). Giả sử X hữu hạn chiều, các hàm mục tiêu và các ràng buộc hàm f1,..., f p và g i i  I (x) chính quy trong trường ( ) hợp của Clarke và khả vi Gâteaux tại x . Khi đó, với mọi hướng trọng tâm v  X thỏa mãn ( ( )) (ZSCQ), tồn tại  j  0 j  J x; v và không đồng thời bằng 0 sao cho với mọi w X ,   f (x )(w) +   g (x )(w)  0 , G G (1) ( ) ( ) i j i i jJ x;v iI x;v   f (x )(w) +   g (x )(w)  0 , i j 00 i 00 i (2) ( ) jJ x ; v ( ) iI x ; v  g (x)= 0, i  I . i i (3) m Chứng minh. Giả sử tất cả các giả thiết của định lý 3.1 được thỏa mãn. Do X hữu hạn chiều, ( ) các ánh xạ hàm f1,..., f p và g i i  I (x) chính quy trong trường hợp của Clarke và khả vi Gâteaux tại x, chúng ta suy ra các đẳng thức sau đúng: ( ) () ( ) f j0 x; v = f jG x (v ), j  J x; v g (x; v)= g (x)(v), i  I (x; v). 0 i G i Xét tập: L :=  ( ) jJ x;v () f jG x ( X )   g iG x ( X ) ( ) iI x;v () L :=  ( ) () f jG x ( X )   g iG x ( X ) =  ( ) () ( ) f (x)(w): w X  G j  ( ) g (x)(w): w X  G i jJ x;v iI x;v jJ x;v iI x;v http://jst.tnu.edu.vn 250 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 mà phần trong tương đối của L không chứa vectơ l , ở đây Xét tập L :=  ()  g (x )( X ) f jG x ( X )  G i ( ) jJ x ; v ( ) iI x ; v =  f (x )(w) : w  X  j G ( ) j J x ; v   g (x )(w) : w  X  G i ( ) iI x ; v mà phần trong tương đối của L không chứa vectơ l , ở đây ( ) l :=  − f100 x; v , ..., − f J00(x;v ) x; v ,  ( ) ( ) − g100 x; v , ..., − g 00I (x;v ) x; v  .  ( ) Sở dĩ ta có kết quả như trên là do X hữu hạn chiều, tập L là một nón lồi và theo giả thiết rằng hướng trọng tâm v X thỏa mãn (ZSCQ), theo Định lý 2.3, L không chứa vectơ l và ngoài ra phần trong tương đối của L cũng là tập khác rỗng. Sử dụng định lý tách một điểm và tập là phần trong tương đối rời nhau (xem Rock-afellar [11]), tồn tại  j  0 j  J x; v và ( ( )) i  0 (i  I (x; v)) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn các bất đẳng thức sau:  i f jG (x )(w1 ) +  i giG (x )(w2 )  0 ( ) jJ x ; v ( ) iI x ; v với mọi w1 , w2  X và  i f j00 (x; v ) +  i gi00 (x; v )  0 ( ) jJ x ; v ( ) iI x ; v Do đó, các điều kiện (1)-(2) đúng. Đặt i = 0 trong trường hợp i  I m \ I x; v , nhận được ( ) kết quả (3). Định lý được chứng minh. Trong trường hợp các hàm mục tiêu và ràng buộc của bài toán (P) khả vi Fréchet, liên tục xung quanh điểm tối ưu và khả vi theo hướng cấp 2 tại điểm đó theo hướng trọng tâm v  X , chúng tôi thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương theo đạo hàm theo hướng cấp 2 qua Định lý sau: Định lý 3.2. (Điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương theo đạo hàm theo phương cấp 2) Giả sử tất cả các giả thiết của Định lý 3.1 được thỏa ( mãn, các hàm mục tiêu và ràng buộc f1,..., f p và gi i  I (x) của bài toán (P) khả vi Fréchet, ) liên tục xung quanh x, và khả vi theo hướng cấp 2 tại điểm đó theo hướng trọng tâm v  X thỏa mãn (ZSCQ), tồn tại  j  0 j  J x; v ( ( )) và  i  0 (i  I m ) không đồng thời bằng 0 sao cho với mọi w X ,   j f jG (x )(w) +  i giG (x )(w)  0 , (4) ( ) jJ x ; v ( ) iI x ; v  ( )  j f jn x; v +  ( ) i gi x; v  0 , n (5) ( ) j J x ; v ( ) iI x ; v () i gi x = 0, i  I m. (6) http://jst.tnu.edu.vn 251 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 Chứng minh. Áp dụng Định lý 3.1, tồn tại  j  0 j  J x; v ( ( )) và  i  0 (i  I m ) không đồng thời bằng 0 sao cho với mọi w X , các điều kiện (1), (2) và (3) được nghiệm đúng. Sử dụng giả thiết ban đầu cùng với Chú ý 2.2, ta có: ( ) ( ) ( ) f j'' x; v = f j00 x; v j  J x; v , g (x; v) = g (x; v) i  I (x; v). '' i 00 i Vậy các điều kiện (4), (5) và (6) cũng được thỏa mãn. Định lý được chứng minh. Chú ý nếu chúng ta đổi tính khả vi Gâteaux tại điểm bằng tính khả vi Fréchet trong một lân cận điểm x , dễ dàng kiểm tra được kết quả thu được trong Định lý 3.1 và Định lý 3.2 vẫn còn đúng nếu thay bất đẳng thức cũ:   j f jG (x )(w) +  i giG (x )(w)  0 , ( ) jJ x ; v ( ) iI x ; v bằng bất đẳng thức mới:   jf j (x )(w) +  igi (x )(w)  0 , ( ) jJ x ; v ( ) iI x ; v Chúng tôi minh họa Định lý qua ví dụ sau: Ví dụ 3.3. Xét bài toán (P), trong đó p = 2 , m = 1 , C = R 2 và x = (0, 0) . Khi đó, f = ( f1 , f 2 ) : R 2 → R 2 và g = g1 : R 2 → R , ở đây, với mọi x = ( x1 , x2 )  R 2 , f1 ( x) := ( x1 − x2 ) 2 + x14 + 1, f 2 ( x) := − x12 − x22 + x26 , g1 ( x) := x1 − x2 − x14 .  Tập chấp nhận được của bài toán (P) có dạng K = x  R 2 : x1  x2 + x14 . Dễ thấy x là một  cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán (P) vì f1 ( x)  f 2 ( x) với mọi x  R 2 và các hàm f1 , f 2 , g1 thỏa mãn các giả thiết của Định lý 3.1 và Định lý 3.2. Chọn hướng trọng tâm v thỏa () ( ) mãn v = (0, v2 )  R  R+ . Ta có I x = 1, J x; v = 1, 2 , . Dễ thấy chuẩn hóa ràng buộc dạng Zing-will (ZSCQ) thỏa mãn. Theo Định lý 3.1 và Định lý 3.2, tồn tại 1  0, 2  0 và 1  0 với 1 = 2 = 1  0 sao cho các điều kiện (1), (2) và (3) (hoặc các điều kiện (4), (5) và (6)) đúng. Thật vậy, trong cách thiết lập ta có vế trái của (1) (hoặc (4)) bằng 0, trong khi với 1 = 2 = 1  0 và 1 = 0 , ta có vế phải của (2) (hoặc (5)) bằng v22  0 và hiển nhiên (3) được thỏa mãn. 4. Kết luận Dựa vào điều kiện cần tối ưu cấp 2 được biểu diễn ở dạng cơ bản cho cực tiểu Pareto yếu địa phương trong bài báo của Constantin [8], chúng tôi đã thiết lập được một số điều kiện cần tối ưu cấp 2 dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc tập và bất đẳng thức thông qua ngôn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke và đạo hàm theo hướng suy rộng trên cấp 2 dạng Pasles-Zeidan trong không gian Banach. Kết quả nhận được có thể mô tả trong trường hợp các hàm mục tiêu và ràng buộc của bài toán (P) là khả vi Fréchet và liên tục xung quanh điểm tối ưu và khả vi theo hướng cấp 2 tại điểm đó theo hướng trọng tâm v  X , hoặc trong trường hợp các hàm này khả vi liên tục Fréchet trong một lân cận điểm x . Kết quả đạt được trong bài báo có thể được áp dụng để xây dựng các thuật toán cho bài toán tối ưu vectơ. http://jst.tnu.edu.vn 252 Email: jst@tnu.edu.vn
TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] J.-F. Bonnans, R. Cominetti, and A. Shapiro, "Second order optimality conditions based on parabolic second order tangent sets," SIAM J. Optim., vol. 9, no. 2, pp. 466-492, 1999. [2] A. Guerraggio and D. T. Luc, "Optimality conditions for C1;1 constrained multiobjective problems," J. Optim. Theory Appl., vol. 116, pp. 117-129, 2003. [3] B. Jiménez and V. Novo, "First and second order sufficient conditions for strict minimality in nonsmooth vector optimization," J.Math. Anal. Appl., vol. 284, pp. 496-510, 2003. [4] B. Jiménez and V. Novo, "Second order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization," Math. Meth.Oper. Res., vol. 58, pp. 299-317, 2003. [5] B. Jiménez and V. Novo, "Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets," Math. Meth. Oper. Res., vol. 9, pp. 123-144, 2004. [6] C. Gutierrez, B. Jiménez, and V. Novo, "On second-order Fritz John type optimality conditions in nonsmooth multiobjective programming," Math. Program., Ser. B, vol. 123, pp. 199-223, 2010. [7] V. L. Do, "Second-order necessary efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems," J. Glob. Optim., vol. 70, pp. 437- 453, 2018. [8] E. Constantin, "Second-order optimality conditions in locally Lipschitz inequalityconstrained multiobjective optimization," J. Optim. Theory Appl., vol. 186, pp. 50-67, 2020. [9] F. H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley, New York, 1983. [10] V. I. Ivanov, "Second-order optimality conditions for vector problems with continuously Fréchet differentiable data and secondorder constraint qualifications," J. Optim. Theory Appl., vol. 166, pp. 777-790, 2015. [11] R. T. Rockafellar, Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton, 1970. http://jst.tnu.edu.vn 253 Email: jst@tnu.edu.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.