Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1 Chuỗi Fourier 1.1 Không gian Lp [- ; ] Định nghĩa 1.1.1 Lp [- ;  ] (1  p  ) là lớp tất cả các hàm f :[   ;  ]   khả   p tích Lebesgue sao cho   f ( x ) dx     1/ p  . Ta đã biết Lp [- ;  ] là không gian Banach với chuẩn   p    f ( x) dx     1/ p f p . Đặc biệt L2 [- ;  ] là một không gian Hilbert với tích vô hướng 1  f , g  2 Ký hiệu    f ( x) g ( x) dx . en :[   ;  ]   xác định bởi công thức en ( x )  einx , n   . Rõ ràng en  L2 [   ;  ] và en , em   1 2 1 nÕu n  m i ( n m ) x e dx .    nÕu n  m 0    Vậy en : n   là một hệ trực chuẩn trong L2 [- ;  ]. 1.2 Chuỗi Fourier 1 Giả sử f  L [   ;  ] . Xét hàm f :    cho bởi f (n)  2 1 Định nghĩa 1.2.1 f (n) và  f (n)einx  n     f ( x)e inx dx . lần lượt được gọi là hệ số Fourier thứ n và chuỗi Fourier của f . 5 Luận văn Thạc sĩ Để chỉ   n  NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Aneinx là chuỗi Fourier của f ta viết f    n  An einx . Nhận xét 1.2.2 Trường hợp riêng với f  L2 [   ;  ], khi đó: +) f (n)   f , en  và f    f , en en .  n  +) Nếu ta ký hiệu S p ( f )   f (n)en , p   p n  p và p  Span en :  p  n  p thì   f , en en  S p ( f ) . Bởi định lý hình chiếu trực giao của f lên p chính là Pythagore ta có: S p ( f )  f  S p ( f )  f p n  p 2 2 2 2 2 2  p n  p . Từ đó ta suy ra f (n) 2  S ( f ) 2  f p 2 2 2 , p   . Đây chính là bất đẳng thức Bessel quen thuộc. Trong phần sau chúng ta sẽ thấy đẳng thức   n  f (n) 2  f 2 2 là đúng với mọi f  L2 [   ;  ] . 1.3 Định lý Fejer và hệ quả Định lý 1.3.1 (Fejer). Giả sử f :    là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì 2 . Với mỗi số tự nhiên p đặt Cp ( f )    p0 hội tụ đều về Khi đó dãy C p ( f ) Chứng minh. Xét D p (t )  S0 ( f )    S p ( f ) p 1 . f trên  .  eint , t   . Do (eit  1) D p (t )  ei( p1)t  eipt p n  p 6 nên Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 1 sin( p )t  cos( p  1)t  cos pt  i sin( p  1)t  sin pt  2 D p (t )   . t (1  cos t )  i sin t sin 2 Ta có 1 S p ( f )( x)   f ( n)einx  2 n  p f (t )  e   p p n  p  và 1 C p ( f )( x)  2    in ( x t ) 1 dt  2    f ( x  t ) D p (t )dt f ( x  t ) K p (t ) dt , ở đây K p (t )  D0 (t )    D p (t ) p 1 1 t sin    sin( p  )t 2 2  1 1  cos( p  1)t .  t p  1 1  cos t ( p  1)sin 2 Từ đẳng thức trên suy ra K p (t ) có các tính chất sau: 1 i) K p (t )  0, K p (t )  K p (t ) và 2 ii) K p (t )   K p (t )dt  1 .   1 2 với 0    t   . p  1 1  cos  Đặt M  max f ( x) . Do tính liên tục đều của f trên [   ;  ] nên   0 có   x    (0;  ) để f ( x)  f ( y )   khi ( x, y )  [   ;  ]2 : x  y   . 2 Sử dụng i) ta có (1.1) 1 C p ( f )( x )  f ( x )  2  [f ( x  t )  f ( x)]K p (t )dt   7 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011     2M    1  K p (t )dt  .   2 M  K p (t )dt   K p (t ) dt  2 M  K p (t ) dt ]     2  2  2    Theo ii)  K p (t ) dt  0 khi p   nên có số nguyên dương N sao cho   (1.2) 2M  K p (t ) dt  . p  N :    2  Từ (1.1) và (1.2) dẫn tới x  , p  N : C p ( f )( x)  f ( x)   .   p0 hội tụ đều về Điều này chứng tỏ dãy C p ( f ) f trên  .  Hệ quả 1.3.2 Tập tất cả các đa thức lượng giác chu kì 2 trù mật trong không gian Lp [- ;  ] . Chứng minh. Gọi  là tập tất cả các đa thức lượng giác có chu kì 2 . Lấy f  Lp [- ;  ] và   0 tùy ý. Bởi vì tập các hàm số liên tục trên [   ;  ] là trù mật trong Lp [- ;  ] nên có g :[   ;  ]   liên tục thỏa mãn g f (1.3) p   . 2 Ta thác triển g thành hàm g1 liên tục trên  và tuần hoàn với chu kì 2 . Áp dụng định lý Fejer sẽ có P  hội tụ đều tới g1  g trên [   ;  ] . Vậy x  [   ;  ] : P ( x )  g ( x)  Suy ra (1.4) Pg p  1   2  Tổ hợp (1.3) và (1.4) ta thu được P f p     P ( x )  g ( x) dx     Pg  . 2 1/ p p p  g f 8 p   .  . 2 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Như thế  trù mật trong Lp [- ;  ] .  Hệ quả 1.3.3 Với mọi hàm f  L1[   ;  ] ta đều có lim f ( n)  0 . n  Thật vậy, cho   0. Theo Hệ quả 1.3.2 có P  để P  f (phụ thuộc vào bậc của P ) thì Suy ra với n đủ lớn ta có f ( n)  1 2  P( x)e    inx 1   . Khi n đủ lớn dx  0.   f ( x )  P( x ) e    inx dx  P  f 1  . . Do đó f (n)  0 khi n   .  1.4 Sự hội tụ trung bình bình phương-Đẳng thức Parseval   p 0 Định lý 1.4.1 (Parseval). Với mọi hàm f  L2 [   ;  ] , dãy tổng riêng S p ( f ) hội tụ trung bình bình phương tới f , nghĩa là lim S p ( f )  f p  2 0. Chứng minh. Cho   0. Áp dụng Hệ quả 1.3.2 sẽ tồn tại đa thức lượng giác P  thỏa mãn P f (1.5)  . Với mỗi số tự nhiên p, đặt p  Span en :  p  n  p , ta nhận thấy 2   Span en : n    Vậy phải tồn tại số tự nhiên để P N .  p . p Mặt khác do S p ( f ) là hình chiếu trực giao của f lên không gian con p nên N h p :  h, S p ( f )  f   0 . Đặc biệt (1.6)  P  S p ( f ), S p ( f )  f   0, p  N . Kết hợp (1.5) với (1.6) ta được 9 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 2  P f Vậy p  N : S p ( f )  f 2 2 2  P  Sp( f )  Sp( f )  f 2 2 2 2 .   . Nói cách khác ta có lim S p ( f )  f p  2 0. Định lý đã được chứng minh. Hệ quả 1.4.2 (Đẳng thức Parseval). Với mọi hàm f  L2 [   ;  ] ta đều có   f (n ) 2  1 2 n  Chứng minh.   p 0 2 f ( x ) dx .  hội tụ tới f trong không gian L2 [   ;  ] . Bởi Từ Định lý 1.4.1, dãy S p ( f ) ánh xạ   : L2 [   ;  ]   là liên tục nên S p ( f )  f 2 2 Nhưng Sp( f )  2 2 Vậy phải có   n    p n  p f (n)e n 2  2 f (n) 2  1 2    2 2 2 2  p n  p khi p   . f (n) 2 . 2 f ( x ) dx.  Đẳng thức Parseval đã được chứng minh. 1.5 Sự hội tụ đều và định lý Riesz-Fischer Như chúng ta đã biết chuỗi Fourier  f (n)einx  n  của một hàm f bất kì chưa chắc đã hội tụ và nếu hội tụ thì tổng có thể khác f . Trong mục này ta sẽ đưa ra một điều kiện đủ về sự hội tụ đều của  f (n)einx .  n  10 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 1.5.1 Giả sử f :    là hàm tuần hoàn với chu kì 2 sao cho tồn tại các hằng số M  0,  1 thỏa mãn 2 f ( x)  f ( y )  M x  y , ( x, y )   2 .  Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ đều trên  và có tổng là f . Chứng minh. Với h   cố định, xét  :    xác định bởi  (t )  f (t  h)  f (t  h) Từ giả thiết suy ra  là hàm liên tục trên  và tuần hoàn với chu kì 2 . Ta có 1 n  ,  (n)  2 1  2  [f (t  h)  f (t  h)]e     h   h f (u )e  in ( u h )  int 1 du  2 dt   h  h f (v)e  in ( v h ) dv  f ( n).einh  f (n).e  inh  2i f (n)sin(nh). Áp dụng đẳng thức Parseval vào  thu được (1.7) 1 2     2 2 2  f (t  h)  f (t  h) dt  4  f (n)  f ( n)  sin 2 ( nh)  n 1  Mặt khác từ giả thiết ta suy ra: f (t  h)  f (t  h)  M 2h . (1.8) Với N là số nguyên dương tùy ý, chọn h    . Khi đó ta có bất đẳng thức sau 4N 1 sin 2 (nh)  , n   N  1,,2 N  . 2 (1.9) Từ (1.7), (1.8) và (1.9) dẫn tới  2N n  N 1 f ( n) 2  trong đó A     f ( n) 2  f ( n) 2  sin 2 nh  1 2 M 2h     4   n  N 1  2N M 2 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 2 2 1 11  dt  A.N 2 2 , Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 2N 2 f ( n)      1  n  N 1  n N 1  1/2 2N Đặc biệt với mọi số tự nhiên p : nhiên q ta đều có  2q 1 thế với mọi m  2   p 0 n  2 1 p f ( n)  n 2 1 Do   nên chuỗi 2  2 p 1  2N  2    f ( n)   n N 1  1/2 f ( n)  A . q p 0  n 1  f (n)  n2 trên  . Gọi S ( x)  Từ đó với mọi số tự   1  p 2 2 . p m Vậy   1  p 2 2 .  1   1 . Như    2 2  hội tụ và có tổng là 1    p 0   1 22 1  p 2 2  f ( n) hội tụ cũng như A.  1  2 A .N . n 1  f (n)einx , x  .  n  A 1  1 22 . f ( n) hội tụ. Suy ra  f (n)einx  n  hội tụ đều Do tính hội tụ đều ta có S liên tục trên  hơn nữa S (n)  f (n), n   . Cuối cùng áp dụng đẳng thức Parseval vào hàm S  f ta được Sf 2 2    n  2 ( S  f )(n) 0 hay S  f . Vậy chuỗi Fourier của f hội tụ đều tới chính nó trên  .  Hệ quả 1.5.2 Nếu f :    là hàm tuần hoàn với chu kì 2 và thuộc vào lớp C1    thì chuỗi Fourier của f hội tụ đều về chính nó trên  . 12 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 1.5.3 ( Riesz-Fischer). Giả sử  an  n 0 2 an  là dãy số phức thỏa mãn điều kiện   . Khi đó tồn tại hàm f  L2 [   ;  ] sao cho f (k )  ak với mọi số tự nhiên k . Chứng minh. Với mỗi số tự nhiên n đặt S n   ak ek , ở đây ek :   ;    , ek ( x )  eikx . Do n ek : k   n  m ta có Vì  an  n 0 2 k 0 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert L2 [   ;  ] nên với mọi Sn  Sm 2 2  am 1em 1    anen 2 2   n k  m1 2 ak .   nên từ trên ta suy ra S n  là dãy Cauchy trong L2 [   ;  ]. Vậy phải tồn tại f  L2 [   ;  ] để lim Sn  f n 2  0. Cố định số tự nhiên k . Do  S n , ek   ak với mọi n  k và f (k )   f , ek  nên f ( k )  a   f , e    S , e   f  S . e k k n k n 2 k 2  Sn  f Cho n   ta thu được f (k )  ak , định lý đã được chứng minh. 2 , n  k . 2 Hàm chỉnh hình một biến 2.1 Khái niệm hàm chỉnh hình Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số f xác định trên miền D   và z  D. Giới hạn lim h 0 f ( z  h)  f ( z ) , z hD h nếu tồn tại thì được gọi là đạo hàm phức của f tại z , ký hiệu f ' ( z ) . 13  Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định nghĩa 2.1.2 Cho hàm số f xác định trên miền D   và z0  D. Nếu có r  0 sao cho f ' ( z ) tồn tại với mọi z  D ( z0 ; r ) thì f được gọi là chỉnh hình tại z0 , ở đó D ( z0 ; r )   z   : z  z0  r. Nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc D thì ta nói f chỉnh hình trên D . 2.2 Công thức tích phân Cauchy Định lý 2.2.1 (Định lý Cauchy cho miền đơn liên) Nếu f chỉnh hình trên miền đơn liên D thì với mọi chu tuyến trơn từng khúc   D ta đều có:  f dz  0 . Chứng minh. Trường hợp riêng:   P , ở đây P là một đa giác mà P  D . Bằng cách chia P thành hữu hạn các tam giác, ta đưa về chứng minh  f dz  0 với  là tam giác bất kì thỏa mãn   D . Đặt M   f dz , chia  thành bốn tam giác bởi các đường trung bình. Gọi  k (k  1,4) là biên của các tam giác nhỏ thu được, ta có:  f dz    k 1 4 k f dz . Suy ra tồn tại một tam giác, kí hiệu 1 sao cho  f dz  trên ta nhận được dãy các tam giác  n  có các tính chất sau: i)  n1   n , n  1 và p (  n )  ii)  n f dz  1 p , với p là chu vi của  . 2n M , n  1 . 4n 14 M . Lặp lại quá trình 4 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011   n  z0  . Do  Nhờ i) và nguyên lý Cantor, ta suy ra n 1 mọi   0 có r  0 thỏa mãn: f chỉnh hình tại z0 nên với f ( z )  f ( z0 )  f ' ( z0 )( z  z0 )   z  z0 khi z  z0  r . (2.1) Chọn số nguyên dương N để p  r , khi đó : 2N  N  D ( z0 ; r ) . (2.2) Mặt khác ta có: (2.3)  N f ( z ) dz    N  f ( z )  f ( z0 )  f ' ( z0 )( z  z0 )  dz .   Từ (2.1),(2.2) và (2.3) suy ra: M  4N  N f dz     N z  z0 dz   p2 , z   N . 4N Vậy M   p 2 với   0. Do đó phải có M  0 , nghĩa là  f dz  0 . Trường hợp tổng quát:  là chu tuyến trơn từng khúc bất kì. Áp dụng bổ đề Goursat với mỗi   0 , tồn tại đa giác P, P  D sao cho  f dz  P f dz   . Theo trên P f dz  0 nên  f dz  0 và định lý được chứng minh.  Định lý 2.2.2 Giả sử D là miền đơn liên bị chặn với D là một chu tuyến. Nếu f chỉnh hình trên D và liên tục trên D thì : D f dz  0 . Chứng minh. Không giảm tổng quát ta giả thiết miền D có tính chất: tồn tại z0  D sao cho mọi tia xuất phát từ z0 chỉ cắt D tại đúng một điểm, có thể coi z0  0 . Gọi phương 15 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 trình tham số của D là z   (t ), t  [   ;  ] . Với 0    1 , ký hiệu   là đường cong cho bởi z   (t ), t  [   ;  ] . Áp dụng Định lý 2.2.1 ta có ra D f (  z ) dz  0 . Vậy:   f dz  0 , suy D f ( z) dz  D  f ( z )  f (  z )  dz . (2.4) Do f liên tục đều trên D nên   0 , có   0 để khi z ,  D : z     bất đẳng thức sau đúng: f ( z )  f ( )  (2.5) ở đây p chỉ độ dài của D . Luôn có   (0; 1) thỏa mãn: (2.6)  , p z   z   , z  D . Từ (2.4), (2.5) và (2.6) ta có: D f ( z )dz  D  f ( z )  f (  z) dz  D Vì vậy f ( z )  f (  z ) dz   . D f dz  0  và định lý được chứng minh. Định lý 2.2.3 (Định lý Cauchy cho miền đa liên) Giả sử D   là miền đa liên với D   0   1     n . Nếu f chỉnh hình trên D và liên tục trên D thì : D f dz  0 . Chứng minh. Để đơn giản nhưng không làm mất tính tổng quát ta coi D là miền nhị liên với D   0   1 . 16 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Nối  0 với  1 bởi đoạn thẳng l , gọi D*  D \ l. Áp dụng Định lý 2.2.2 ta được D * Suy ra f dz   f dz    f dz   f dz    f dz  0 . 0 1 l D f dz    0  1 l f dz  0 .  Vậy định lý đã được chứng minh. Định lý 2.2.4 (Công thức tích phân Cauchy) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền đơn liên D   và   D là một chu tuyến trơn từng khúc. Với bất kì z0  D  D ta đều có: f ( z0 )  f ( ) 1 d .  2 i    z0 Nếu thêm vào đó f liên tục trên D và D là một chu tuyến trơn từng khúc thì: f ( z)  1 f ( ) d , z  D .  2 i    z Chứng minh. Lấy r  0 sao cho D ( z0 ; r )  D , gọi Cr là biên của D ( z0 ; r ) . Áp dụng Định lý 2.2.3 cho miền nhị liên D \ D( z0 ;r ) ta có  C  r Suy ra (2.7) f ( ) d  0 .   z0 f ( ) f ( ) d      z0 Cr   z0 d . Do f chỉnh hình tại z0 nên với r  0 đủ nhỏ, tồn tại M  0 để bất đẳng thức sau đúng 17 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 C Vậy f ( )  f ( z0 ) d  2 rM .   z0 r C r Hệ quả là: (2.8) f ( ) C   z0 r f ( )  f ( z0 ) d  0 .   z0 d   Từ (2.7) và (2.8) đưa tới f ( z0 )  f ( z0 ) d   2 i. f ( z0 ) . Cr   z 0 f ( ) 1 d .  2 i    z0 Nếu có thêm giả thiết f liên tục trên D và D là một chu tuyến trơn từng khúc thì trong chứng minh trên ta có thể lấy   D và z  z0  D . Khi đó: f ( z)  1 f ( ) d , z  D .  2 i D   z  2.3 Thặng dư của hàm chỉnh hình Bằng cách sử dụng định lý Cauchy cho miền đa liên ta nhận thấy nếu f là hàm chỉnh hình trên vành khăn V   z   : 0  z  z0  r thì tích phân không phụ thuộc vào chu tuyến  vây quanh z0 ,   V .  f ( z )dz Định nghĩa 2.3.1 Giả sử f chỉnh hình trên V   z   : 0  z  z0  r và  là Điều này đưa tới định nghĩa sau: một chu tuyến trong V vây quanh z0 . Thặng dư của f đối với điểm z0 được ký hiệu là res[ f ; z0 ] , xác định bởi: res[ f ; z0 ]  1 f ( z ) dz . 2 i  18 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Mệnh đề 2.3.2 Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D trừ ra điểm z0  D , đặt F ( z)  d f ' ( z) ln f ( z )  , z  D.   dz f ( z) Khi đó: i) Nếu z0 là không điểm cấp n của f thì res[ F ; z0 ]  n . ii) Nếu z0 là cực điểm cấp m của f thì res[ F ; z0 ]  m . Chứng minh. i) Ta có f ( z )  ( z  z0 ) n g ( z ) , ở đây g là hàm chỉnh hình trong một lân cận của z0 và g ( z0 )  0 . Suy ra F ( z)  d n g ' (z) n ln( z  z )  ln g ( z )     z  z g (z) . 0 dz 0 g ' ( z) Ta vây z0 bởi đường tròn Cr   z   : z  z0  r với r đủ nhỏ. Do chỉnh g ( z) hình trong lân cận của z0 nên: 1 1 n 1 g ' ( z) res[ F ; z0 ]  F ( z ) dz  dz  dz 2 i Cr 2 i Cr z  z0 2 i Cr g ( z )  n 1 dz  n.  2 i Cr z  z0 ii) Vì z0 là cực điểm cấp m nên f ( z )  của z0 và h( z0 )  0 . Vậy h( z ) , với h chỉnh hình trong lân cận ( z  z0 ) m d h' ( z ) m F ( z )   ln h( z )  m ln( z  z0 )   . dz h( z ) z  z0 Bằng lập luận như ở i) ta thu được res[ F ; z0 ]  m . 19  Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 2.3.3 Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D trừ ra một số hữu hạn điểm z1 , , z N . Nếu  là một chu tuyến trong D thỏa mãn  z1,, z N   D thì ta có đẳng thức: N 1 f ( z ) dz   res[f ; zk ] . 2 i  k 0 Chứng minh. Ta vây mỗi zk bằng một chu tuyến  k sao cho hai chu tuyến bất kì không giao nhau và D k  D . Áp dụng định lý Cauchy 2.2.3 cho miền ( N  1) -liên D \ N  D k 1 k Suy ra thu được:  f ( z ) dz     f ( z ) dz  0. N k 1 k N 1 1 N f ( z ) dz  f ( z ) dz    res[f ; zk ] . 2 i  2 i k 1  k k 1  2.4 Nguyên lý argument và hệ quả Định nghĩa 2.4.1 Giả sử  là một chu tuyến có phương trình tham số z  z (t ),   t   và f :   \ 0 . Đại lượng  arg f  arg f  z ( )   arg f  z (  )  được gọi là số gia argument của f dọc chu tuyến  . Định lý 2.4.2 ( Nguyên lý argument ) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền đơn liên D trừ ra hữu hạn các cực điểm và  là một chu tuyến tùy ý trong D không chứa các cực điểm và không điểm của f . Khi đó ta có các đẳng thức sau: 1 1 f ' ( z) dz  N ( f )  P ( f )   arg f  2 i  f ( z ) 2 ở đây N ( f ), P ( f ) lần lượt là số không điểm (kể cả bội) và số cực điểm (kể cả bội) của f trong D . 20 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Chứng minh. Gọi  z1 , z2 , , z K  là tập tất cả các không điểm của f trong D và n j là bậc của z j . Áp dụng Mệnh đề 2.3.2 ta có:  f'  res  ; z j   n j .  f  Suy ra:  f'  K res ; z   f j    n j  N ( f ) . j 1   j 1 K Tương tự như vậy nếu ta gọi  p1 , p2 , , pL  là tất cả các cực điểm của f trong D , p j có cấp m j thì : K  f'  res ; p     f j   m j   P ( f ) . j 1 j 1   L Sử dụng Định lý 2.3.3 thu được: (2.9) K  f'  L  f'  1 f ' ( z) dz  res ; z  res ; p      N ( f )  P ( f ) .   j j 2 i  f ( z ) f f j 1   j 1   Mặt khác ta có: (2.10)   f ' ( z) 1 1 1  dz  ln  f ( z (t ))    ln f ( z ( t ))  i  arg f        2 i f ( z ) 2 i 2 i 1   arg f . 2 . Từ (2.9) và (2.10) ta nhận được kết luận của định lý.  Định lý Rouche sau dây là một hệ qủa của nguyên lý argument mà ta sẽ không trình bày chứng minh. 21 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Hệ qủa 2.4.3 (Rouche) Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình trên một lân cận của miền đóng, bị chặn D sao cho f ( z )  g ( z ) với mọi z  D . Khi đó số không điểm của hàm F  f  g và hàm g trong D là bằng nhau. Hệ qủa 2.4.4 Cho f là hàm chỉnh hình trên U   z   : z  1 và z  0 là không điểm bậc N của f . Nếu f không đồng nhất bằng không trên U thì tồn tại r  (0;1) và   0 sao cho f   có đúng N không điểm (kể cả bội) trong đĩa mở D (0; r ) với mọi  mà    . Chứng minh. Bởi vì f không đồng nhất bằng không trên U nên có số r  (0;1) thỏa mãn D (0; r )  U và f ( z )  0 với mọi z  D (0; r ) . Đặt   min f ( z ) . Do f ( z )  0 trên D(0; r ) ta suy ra   0 . Với  mà    , z r ta có f ( z )     , z  D(0; r ) . Áp dụng Định lý Rouche vào hình tròn z  r ta được: số không điểm của f ( z )   và số không điểm của f ( z ) trong z  r là như nhau. Vậy f ( z )   có đúng N không điểm trong D (0; r ) khi    .  3 Bài toán Dirichlet 3.1 Các khái niệm Định nghĩa 3.1.1 Hàm giá trị phức f được gọi là điều hòa trên miền D nếu phần thực và phần ảo của f là các hàm thực điều hòa trên D . Ta đã biết nếu f là hàm chỉnh hình trên miền D thì f điều hòa trên D . 22 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định nghĩa 3.1.2 Giả sử miền D   và f : D   là hàm liên tục. Bài toán tìm hàm phức f liên tục trên D , điều hòa trên D và f D  f được gọi là bài toán Dirichlet. 3.2 Tích phân Poisson và lời giải bài toán Dirichlet Với 0  r  1 , Pr (t )  giản ta có  r n eint , t   được gọi là nhân Poisson. Bằng tính toán đơn  n  1  reit  1 r2 Pr (t )    .  it  2 1  re  1  r   2r 1  cos t  Từ đẳng thức trên suy ra Pr (t ) có các tính chất sau: 1 i) Pr (t )  0 hơn nữa 2  Pr (t )dt  1 .   ii) Nếu 0     thì lim Pr ( )  0 và Pr (t )  Pr ( ), t :  t   . r 1 Từ đây về sau chúng ta gọi U   z   : z  1 và U   z   : z  1 . Ký hiệu Lp (U ) (1  p  ) là không gian định chuẩn các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên U với chuẩn f Lp ( U )   U p f ( z ) dz  1/ p . Lp (U ) cũng chính là không gian định chuẩn các hàm  :    khả tích Lebes- gue, tuần hoàn với chu kì 2 và  Lp ( U )  1   2  e d  ( )   .    i p 1/ p Định nghĩa 3.2.1 Giả sử f  L1 (U ) và 0  r  1. Hàm F : U   cho bởi công thức   F rei  1 2  Pr (  t ) f (e   it ) dt , z  rei  U được gọi là tích phân Poisson của f và ký hiệu F  P[f ] . 23 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Nhận xét 3.2.2 Khi f  L1 (U ) và F  P[f ] ta có thể chứng minh được: +) Fr L1 ( U )  f L1 ( U ) với Fr : U  , Fr (ei )  F ( rei ) . +) lim F ( rei )  f (ei ) hầu khắp nơi. r 1 Định lý 3.2.3 (Lời giải bài toán Dirichlet trên đĩa đơn vị) Giả sử f : U   liên tục. Khi đó hàm u sau đây sẽ liên tục trên U và điều hòa trên U i  f (e ) nÕu r  1 . u (re )   i nÕu F ( re ) 0  r  1  i Chứng minh. Gọi f1 (t ), f 2 (t ) lần lượt là phần thực, phần ảo của f (eit ) . Nhờ tính chất của nhân Poisson ta suy ra: z  rei  U , u ( z )  F ( rei )   1    2    1 2 f1 (t )    Pr (  t ) f (eit )dt  eit  z   1 dt i   .   eit  z   2   1 2     f 2 (t )  eit  z  f (eit )  it  dt e  z   eit  z  dt  . eit  z  Vậy u có phần thực và phần ảo là những hàm điều hòa trên U do đó nó điều hòa trên U . Lấy điểm cố định eit0  U . Do f liên tục đều trên U nên với mọi   0 , tồn tại   (0;  ) sao cho (3.1) f (eit )  f (eit0 )   khi t  t0   . Sử dụng tính chất i) của nhân Poisson ta được: (3.2) u (re )  f (e )  i it0  t0  t0   f (eit )  f (eit0 ) Pr (  t ) dt   24 Luận văn Thạc sĩ  1 2  NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 f (eit )  f (eit0 ) Pr (  t ) dt  1 2  f (eit )  f (eit0 ) Pr (  t )dt ở đây I  t  [   ;  ] : t  t0    và J  t  [   ;  ] :   t  t0    . I Từ (3.1) suy ra: 1 2 (3.3)  f (eit )  f (eit0 ) Pr (  t )dt  I J  Pr (  t )dt   . 2 I Mặt khác theo ii) ta có: Pr (  t )  Pr ( ), t  J và Pr ( )  0 khi r  1 . Điều này dẫn tới: (3.4) 1 2  r 1 f (eit )  f (eit0 ) Pr (  t ) dt  2 Sup f ( z) .Pr ( )  0 . z 1 J Tổ hợp (3.2), (3.3) và (3.4) ta kết luận được: tồn tại r0  [0;1) sao cho với mọi r mà r0  r  1 bất đẳng thức sau đúng u ( rei )  f (eit0 )  2 . Như vậy u liên tục trên U và định lý được chứng minh hoàn toàn.  Từ chứng minh trên chúng ta thấy chỉ cần f  L1 (U ) là đã có P[f ] điều hòa trên U . Vấn đề đặt ra ở đây là cần thêm những điều kiện gì đối với hàm f để P[f ] chỉnh hình trên U ? Mệnh đề sau sẽ cho một câu trả lời. Mệnh đề 3.2.4 Nếu f : U   liên tục và f (n)  0 với mọi số nguyên âm n thì P[f ] là hàm chỉnh hình trên U ( f (n) chỉ hệ số Fourier thứ n của f ). Chứng minh. Đặt F  P[f ] . Theo định nghĩa của tích phân Poisson   i F re 1  2  Pr (  t ) f (e  it  Sử dụng công thức nhân Poisson ta có 25 ) dt , z  rei  U . Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 F ( z)  1 Bởi vì f (n)  2 1 F ( z)  2         1 2  f (eit )  r ein(  t) dt .  n  n f (eit )e  int dt  0 với mọi số nguyên âm n nên ta suy ra: f (e ) r e it  n 0 n in(  t) 1 dt  2 Như vậy F  P[f ] là chỉnh hình trên U . f (eit ) 1 f ( )  1  rei( t ) dt  2 i U   z d .    Hệ quả 3.2.5 Nếu f liên tục trên U và chỉnh hình trên U thì f  P[f U ] trên U . Chứng minh. Với số nguyên âm n , do lý Cauchy Đổi biến z  eit ta được f ( z) chỉnh hình trên U , liên tục trên U nên theo định z n1 U f (n)  1 2 Từ Mệnh đề 3.2.4 ở trên ta có: F (z)  f ( z) dz  0, n  0. z n1    f (eit )e  int dt  0, n  0 . 1 f ( ) d , z U .  U   z 2 i Mặt khác theo công thức tích phân Cauchy thì: f ( z)  Vậy f  P[f U ] trên U . 1 f ( ) d , z U .   U  z 2 i  26 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 4 Không gian H 2 4.1 Khái niệm về không gian H 2 Định nghĩa 4.1.1 H 2 là lớp tất cả các hàm f : U   chỉnh hình sao cho   2 lim   f (rei ) d   r 1     1/2   (0  r  1). Ta có thể chứng minh được H 2 là một không gian Banach với chuẩn:   2  lim   f (rei ) d   r 1     1/2 f H2 . Định lý 4.1.2 Giả sử f : U   xác định bởi f ( z )   an z n , z  U . Điều kiện cần   an  và đủ để f  H là 2 n0  . 2 n 0 Chứng minh. Với 0  r  1 và    ta có   i f re 2   . f  re   f re Do 1 2 nên 1 2 Vậy f  H 2 khi và chỉ khi i i     n in      an r e  .  am r me im  .  n 0   m 0  e 1 nÕu n  m d   0 nÕu n  m        i ( n  m ) f rei  an  n 0 2 2 d   an r 2 n .  2 n 0  .  27 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 4.2 Hàm giới hạn bán kính trên H 2 Định nghĩa 4.2.1 Hàm f * : U   được gọi là hàm giới hạn bán kính của hàm f : U   nếu f * (ei )  lim f (rei ) hầu khắp nơi, 0  r  1 . r 1 Hệ quả 3.2.5 cho chúng ta thấy khi f liên tục trên U và chỉnh hình trên U thì f  P[f U ] trên U . Đặt f *  f U , sử dụng lời giải bài toán Dirichlet (Định lý 3.2.3) sẽ có f * (ei )  lim f (rei ) với mọi    . Bây giờ ta mở rộng kết quả này r 1 trong không gian H 2 . Định lý 4.2.2 Giả sử f : U   là hàm xác định bởi f ( z )   an z n , z  U . Nếu  n0 f  H 2 thì f có hàm giới hạn bán kính f *  L2 (U ) và f  P[f * ] trên U . Chứng minh. Theo định lý 4.1.2, do f  H nên 2  an  2 n 0   . Áp dụng định lý Riesz-Fischer (1.5.1) sẽ tồn tại f *  L2 (U ) thỏa mãn *  f ( n)  an , n  0 và f * ( n)  0, n  0 . Mặt khác với s  (0;1) , xét các hàm f s xác định trên U bởi công thức sau: (4.1) Ta có: f s (eit )  f ( seit )   an s neint , t   .  n 0   f s ( n)  an s n , n  0 và ( f *  f s )(n)  (1  s n ) an , n  0 . Sử dụng đẳng thức Parseval cho f s  f * thu được fs  f Suy ra (4.2) 2 L ( U ) 2 lim f s  f * s 1   (1  s n ) an .  2 n 0 L2 ( U ) 0 28 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Cố định s  (0;1) , do f ( sz ) chỉnh hình trên đĩa mở D  0; 1 / s   U nên từ Hệ quả 3.2.5 ta có f ( sz )  Do đó 1 (4.3) f ( sz )  2 1 2  Pr (  t ) f s (e   1  Pr (  t ) f (e )dt  2   * it  Pr (  t )  f s (e  Từ (4.2) và (4.3) khi cho s  1 ta được  Pr (  t ) f   * )dt .   Pr (  t ) 1 f ( z)  2 it L2 ( U ) it )  f * (eit )  dt . fs  f * L2 ( U ) . (eit ) dt , z  rei  U . Như vậy f  P[f * ] trên U . Theo Nhận xét 3.2.2 ta có f * (ei )  lim f (rei ) hầu r 1 khắp nơi.  Hệ quả 4.2.3 Giả sử  ( z )   an z n , z  U thỏa mãn điều kiện: tồn tại các đa thức  n0 không có nhân tử chung R ( z ), S ( z ) sao cho  ( z )  R( z) , z  U . Nếu   H 2 thì S ( z)  là một phân thức chỉnh hình trong lân cận của U . Chứng minh. Do  chỉnh hình trên U nên đa thức S ( z ) không có không điểm trong U . Ta cần chứng minh  không có cực điểm trên U . Giả sử 1,, J  ( J  1) là tập tất cả các cực điểm của  trên U . Theo Định lý 4.2.2, tồn tại hàm  *  L2 (U ) mà  *   trên I  U \ 1,, J  . Lấy eit  1 , ,  J . Không giảm tổng quát ta coi đó là cực điểm cấp một. Vậy có thể viết: 29 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011  ( z)   1( z) , z  eit ở đây  1 chỉnh hình trong lân cận của eit và  1 (eit )  0 . Suy ra :  (ei )  2  1 (ei ) 2 ei  e it 2 , z  ei  I . Luôn có   0 sao cho  1 (ei )  0 khi   t   ; t    đồng thời ei  I với mọi   t   ; t    \ t. Theo trên  I  L2 (U ) nên ta có  t  t   1 (ei ) ei  eit 2 2 d   . Nhưng do ei  eit    t nên bất đẳng thức trên dẫn tới điều mâu thuẫn là  t  t  d  t 2 . Vậy  là một phân thức chỉnh hình trong lân cận của U .  5 Thác triển phân hình lên đĩa đơn vị 5.1 Các khái niệm Định nghĩa 5.1.1 Hàm chỉnh hình trên miền D trừ ra các điểm bất thường là cực điểm được gọi là hàm phân hình trên D . Định nghĩa 5.1.2 Hàm liên tục f : U   được gọi là có thác triển phân hình lên đĩa đơn vị U nếu tồn tại hàm f và tập hữu hạn I  U sao cho f liên tục trên U \ I , chỉnh hình trên U \ I , f U  f và mọi điểm của I đều là cực điểm của f . Trường hợp đặc biệt khi I   ta có: 30 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định nghĩa 5.1.3 Hàm liên tục f : U   được gọi là có thác triển chỉnh hình lên đĩa đơn vị U nếu tồn tại hàm f liên tục trên U , chỉnh hình trên U đồng thời f U  f . Ta ký hiệu A(U ) là lớp tất cả các hàm liên tục trên U và có thác triển chỉnh hình lên U . 5.2 Chuỗi Fourier và thác triển phân hình Trong phần này nhờ chuỗi Fourier ta sẽ đưa ra điều kiện để một hàm liên tục trên U thác triển phân hình lên U . Giả sử f : U   liên tục, ta có hệ số Fourier thứ n của f là: f (n)  1 2 Khi đó f     f (eit ) e  int dt.  f (n)eint .  n  Định lý 5.2.1 Điều kiện cần và đủ để hàm liên tục f : U   thác triển chỉnh hình lên U là f (n)  0 với mọi số nguyên âm n . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử f  A(U ). Vậy có hàm f liên tục trên U , chỉnh hình trên U và f U  f . f ( z ) liên tục trên U , chỉnh hình trên U nên z n 1 Với mọi số nguyên âm n, bởi vì Đổi biến z  eit ta được U f ( z ) f ( z)  dz U z n1 dz  0 . z n1 f (n)  1 2    f (eit ) e  int dt  0, n  0 . 31 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Điều kiện đủ. Giả sử f (n)  0 với mọi số nguyên âm n. Do Mệnh đề 3.2.4 ta có tích phân Poi- sson của f , P[ f ] chỉnh hình trên U . Bây giờ áp dụng lời giải bài toán Dirichlet (Định lý 3.2.3), hàm u sau đây liên tục trên U nÕu z  U  f ( z) u ( z)   . P f z z U  nÕu [ ]( )  Vậy f  u là thác triển chỉnh hình lên U của f .  Hệ qủa 5.2.2 Hàm liên tục f : U   thác triển chỉnh hình lên U nếu và chỉ nếu với mọi    \ U ta đều có: U z   dz  0 . f ( z) Chứng minh. Với mọi    \ U ta có: U   f ( z) 1 f ( z) 1 1 z dz    dz    f ( z )   dz   n1  z n f ( z ) dz.   D U U z z    n 0    n 0  1  n Mặt khác: f (1  n)  1 2    f (eit )ei ( n1)t dt  1 z n f ( z ) dz.   U 2 i Theo Định lý 5.2.1: f  A(U ) khi và chỉ khi f (1  n)  0 với mọi n  0 . Do đó f  A(U ) khi và chỉ khi U z   dz  0,    \ U . f ( z)  Vậy hệ quả đã được chứng minh. 32 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Hệ qủa 5.2.3 Cho  : U   là hàm liên tục,   U và  :U   xác định bởi  ( z )  ( z   ) ( z ), z  U . Khi đó nếu  thác triển chỉnh hình lên U thì  cũng thác triển chỉnh hình lên U . Chứng minh. Gọi   n  An eint , Bn  1 2    Be  n  n int lần lượt là chuỗi Fourier của  và   ( z   ) . Ta có : (eit   ) (eit )eint dt  1 2     (eit )ei ( n 1)t dt   An 1   . An .  2    (e  it )eint dt Nếu   A(U ) thì theo Định lý 5.2.1 ở trên phải có Bn  0, n  0 , suy ra: An 1   . An , n  0. Vậy An  An 1 , n  0. Nhưng An  0 khi n   (Hệ quả 1.3.3) nên An  0 với mọi số nguyên âm n . Lại dùng Định lý 5.2.1 ta có   A(U ) .  Sau đây là điều kiện để một hàm liên tục trên U thác triển phân hình lên U . Định lý 5.2.4 Điều kiện cần và đủ để hàm liên tục f : U   thác triển phân hình lên đĩa đơn vị U là tồn tại một đa thức khác không P sao cho Pf thác triển chỉnh hình lên U . Trong trường hợp này hàm thác triển có nhiều nhất deg P cực. Chứng minh. Điều kiện cần là đơn giản nên sau đây ta chỉ chứng minh điều kiện đủ. Giả sử có đa thức khác không P sao cho Pf  A(U ) . Nếu P  c  0 thì f  A(U ) và định lý được chứng minh. Giả sử P là đa thức có bậc N  1 : P ( z )  a ( z  z1 ) ( z  z N ), a   \ 0 . 33 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Khi tất cả các z j đều không nằm trong U thì ta có ngay f  A(U ). Bây giờ ta giả sử tồn tại z j thuộc U . Gọi 1 ,,  J   U   z1 ,, z N  . Do Pf  A(U ) nên có hàm   A(U ) sao cho z  U , ( z  1 ) ( z   J ) f ( z )   ( z ). Ta chia 1 , ,  J  thành hai tập: 1 , ,  k   U và  1 ,,  l   U . Áp dụng Hệ quả 5.2.3, sau khi chia  cho ( z  1 ) ( z   k ) ta vẫn được một hàm thuộc A(U ) , nghĩa là: z U , ( z   1 ) ( z   l ) f ( z )  F ( z ) với F  A(U ) .  là thác triển chỉnh hình của F lên U . Khi đó f có thác triển phân hình Gọi F lên U là f xác định bởi: f ( z )   ( z) F , ( z   1 ) ( z   l ) z U . Rõ ràng f có nhiều nhất l cực, l  N  deg P .  Định lý đã được chứng minh. Trong các đa thức P bậc không vượt quá N nói ở Định lý 5.2.4 ta chú ý tới đa  ( 1)  Pf  ( 2)    Pf  (  N )  0 vì sự tồn tại của nó được thức có tính chất Pf khẳng định ở mệnh đề sau: Mệnh đề 5.2.5 Đối với mỗi hàm liên tục f : U   và mỗi số nguyên dương N  ( n)  0 với mọi cho trước, luôn tồn tại đa thức khác không P thỏa mãn Pf n   N , , 1 . Chứng minh. 34 Luận văn Thạc sĩ Xét hệ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 a0 f (  N )  a1 f ( N  1)    aN f ( 2 N )  0  a0 f (  N  1)  a1 f ( N )    a N f (2 N  1)  0  .      a0 f ( 2)  a1 f ( 3)    aN f ( N  2)  0 a f ( 1)  a f (2)    a f (  N  1)  0 1 N  0 Đây là hệ thuần nhất gồm N phương trình, N  1 ẩn nên luôn có nghiệm không tầm thường a0 , a1 , , a N . Đặt P ( z )  a0  a1 z    a N z N . Vậy P là một đa thức khác không. Ta có:  ( n)  1 Pf 2  P(e   it it ) f ( e )e  int 1 dt  2  (a0  a1e   it    aN eiNt ) f (eit )e  int dt  a0 f (n)  a1 f (n  1)    aN f ( n  N ). Từ hệ trên suy ra :  ( 1)  Pf  ( 2)    Pf  ( N )  0 . Pf  Như vậy mệnh đề đã được chứng minh. 35 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Chương 2 Nguyên lý argument và thác triển phân hình Giả sử hàm  : U   \ 0 liên tục, ta ký hiệu W ( ) là số gia argument của  dọc U chia cho 2 : W ( )  1  U arg  . 2 Nội dung chính của chương này là chứng minh kết quả sau : Điều kiện cần và đủ để hàm liên tục f : U   thác triển phân hình lên đĩa đơn vị U là tồn tại số tự nhiên N sao cho W ( Pf  Q)   N với mọi cặp đa thức P, Q thỏa mãn Pf  Q  0 trên U . 1 Thác triển chỉnh hình Trong phần này chúng ta xét trường hợp đặc biệt khi N  0 , kết quả đạt được là: Định lý 1.1 Hàm liên tục f : U   thác triển chỉnh hình lên đĩa đơn vị U nếu và chỉ nếu W ( f  Q )  0 với mọi đa thức Q sao cho f  Q  0 trên U . Để chứng minh Định lý này chúng ta cần tới Bổ đề sau: Bổ đề 1.2 Cho hàm liên tục F : U   và p là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: W ( z p F  Q)  0 với mọi đa thức Q mà z p F  Q  0 trên U . Khi đó ta có U z p F ( z ) dz  0 . U z p F ( z ) dz  0 . Chứng minh Bổ đề 1.2 Giả sử ngược lại Gọi   k  Ak eik là chuỗi Fourier của hàm liên tục z p 1F ( z ) . Theo công thức tính hệ số Fourier: 36 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 A0  1 2    1 z p F ( z ) dz  0 .   U 2 i F (ei )ei ( p1) d  Không mất tính tổng quát ta có thể coi A0  1 . Với mỗi số tự nhiên m, đặt: S m (e )  i và Cm (ei )  Ta có:  m k  m Ak eik 1  S0 (ei )  S1 (ei )    S m (ei )  .  m 1  1  A0  ( A1e  i  A0  A1ei )    ( A me im    A0    Ameim )   m 1  m  1   ik   Ak eik )  . ( m  1) A0   (m  1  k )( A k e m 1  k 1  Cm (ei )  Vì A0  1 nên từ đẳng thức trên ta suy ra tồn tại các đa thức Rm ( z ), Tm ( z ) xác định trên U sao cho Cm ( z )  1  zRm ( z )  zTm ( z ), z  U . Chuyển qua phần thực ta được (1.1)  Cm ( z )  1  zRm ( z )  zTm ( z ) , z  U . Mặt khác áp dụng định lý Fejer (1.3.1-Chương 1), dãy Cm (ei ) hội tụ đều về ei ( p 1) F (ei ) trên  . Do đó ta có với m đủ lớn : 1 Cm ( z )  z p1F ( z )  , z  U . 2 Suy ra : (1.2)   1 1    Cm ( z )  z p1F ( z )  . 2 2   Từ (1.1) và (1.2) dẫn tới với những m đủ lớn, bất đẳng thức sau được thỏa mãn 1 3   z  z p F ( z )  Rm ( z )  Tm ( z )   , z  U . 2 2 37 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Như thế z  z p F ( z )  Rm ( z )  Tm ( z )   0 ( z  U )  và  W z  z p F ( z )  Rm ( z )  Tm ( z )   0 . Vậy:   W z p F ( z )  Rm ( z )  Tm ( z )  1 . Đặt Q ( z )   Rm ( z )  Tm ( z ). Ta có z p F  Q  0 trên U và W ( z p F  Q )  1  0 , điều này trái với giả thiết của Bổ đề. Do đó: U z p F ( z ) dz  0.  Bổ đề 1.2 đã được chứng minh. Nhận xét 1.3 Qua chứng minh ở trên ta thấy nếu F : U   liên tục và p là số nguyên dương sao cho: z p1 F (z)    k  Ak eik với A0  0, A p    A1  0  A1    Ap thì tồn tại đa thức Q thỏa mãn F  Q  0 trên U và W ( F  Q )   p  1 . Chứng minh. Thật vậy, không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử A0  1 . Bởi vì m  1  Cm (e )  ( m  1) A0   (m  1  k )( A k e ik  Ak eik )   m 1  k 1  i nên ta có Cm (ei )  1 nếu m  p và khi m  p thì: Cm (ei )  m  1  m  1  (m  1  k )( A k e  ik  Ak eik )  .   m  1  k  p 1  Do đó tồn tại các đa thức Rm ( z ), Tm ( z ) sao cho Cm ( z )  1  z p 1Rm ( z )  z p1Tm ( z ), z  U . 38 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 1, khi m đủ lớn ta nhận được  đẳng thức  W z p 1  F ( z )  Rm ( z )  Tm ( z )  0 . Vì vậy W  F ( z )  Rm ( z )  Tm ( z )    p  1. Đặt Q ( z )   Rm ( z )  Tm ( z ). Ta có F  Q  0 trên U và W ( F  Q )   p  1 .  Chứng minh Định lý 1.1  ) Giả sử f thác triển chỉnh hình lên U với hàm thác triển là f . Ta có f  Q liên tục trên U , chỉnh hình trên U và ( f  Q ) U  f  Q . Theo nguyên lý argument: W ( f  Q ) chính là số không điểm của f  Q trong U nếu f  Q  0 trên U . Vậy W ( f  Q)  W ( f  Q)  0.  ) Đảo lại, giả sử W ( f  Q)  0 với mọi đa thức Q mà f  Q  0 trên U . Với mỗi    \ U , xét hàm liên tục F xác định trên U bởi F ( z)  f ( z) , z  U . z  Gọi Q là đa thức sao cho F  Q  0 trên U . Lúc này ta cũng có f ( z )  ( z   )Q ( z )  0, z  U và F ( z )  Q( z )  1  f ( z )  ( z   )Q( z ) , z  U . z  Bởi vì    \ U nên số gia argument của hàm z  Mặt khác theo giả thiết W ( f  ( z   )Q)  0. 39 1 dọc U bằng không. z  Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Như vậy với mọi đa thức Q mà F  Q  0 trên U ta có W ( F  Q )  W ( f  ( z   )Q )  0. Áp dụng Bổ đề 1.2 cho hàm F với p  0 ta được U F ( z ) dz  0 . Do đó với mọi    \ U ta đều có U z   dz  0. f ( z) Áp dụng Hệ quả 5.2.2 –Chương 1 suy ra f thác triển chỉnh hình lên U .  2 Thác triển phân hình Trước hết ta chứng minh điều kiện thác triển phân hình đối với một hàm trơn trên U dựa vào nguyên lý argument. Định lý 2.1 Điều kiện cần và đủ để hàm f  C  (U ) thác triển phân hình lên đĩa đơn vị U là tồn tại số tự nhiên N sao cho W ( Pf  Q)   N với mọi cặp đa thức P, Q thỏa mãn Pf  Q  0 trên U . Để chứng minh định lý này chúng ta cần hai bổ đề sau: Bổ đề 2.2 Giả sử A là tập con khác rỗng của  và  : A   là một ánh xạ Lips- chitz. Khi đó nếu A có độ đo Lebesgue bằng không thì ( A) cũng có độ đo Lebesgue bằng không. Chứng minh Bổ đề 2.2 Gọi u, v tương ứng là phần thực và phần ảo của . Ta có u , v : A   . Do  là Lipschitz nên u, v cũng là Lipschitz. Vậy phải tồn tại hằng số L  0 để với mọi ( z ,  )  A  A ta có: u ( z )  u ( )  L z   . Xét hàm u :  2   xác định bởi x   2 , u ( x)  inf u ( a)  L x  a : a  A . 40 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Do với mỗi a  A , ánh xạ x  u (a )  L x  a là L  Lipschitz nên u là Lipschitz. Rõ ràng u  u trên A . Tương tự ta cũng thấy v có mở rộng Lipschitz là v :  2   .  :   . Giả sử M  0 là hằng số thỏa mãn Vậy  có mở rộng Lipschitz  (2.1) Với   0 tùy ý.  ( z)    ( )  M z   , ( z ,  )   2 .  Bởi vì A có độ đo Lebesgue bằng không nên tồn tại dãy các hình vuông  Pn n1 phủ A sao cho (2.2)   Pn  n 1   , Pn chỉ diện tích của Pn . 2M 2 Gọi cn là độ dài cạnh của Pn thì cn 2 là độ dài đường chéo của Pn . Sử dụng (2.1)  ( P )  Q , với Q là hình vuông cạnh M .c 2 . suy ra  n n n n   ( A) và theo (2.2) Như vậy Qn n1 là dãy hình vuông phủ   Qn  n 1  2M 2   n 1 cn2  2M 2  Pn  n 1  .  ( A) có độ đo Lebesgue bằng không. Điều trên dẫn tới  ( A)    Bổ đề 2.3 Giả sử m là số nguyên dương cho trước và  : U   là hàm thỏa mãn   C  (U )  A(U ) . Nếu  không đồng nhất bằng không trên U thì luôn tìm được    sao cho z m    0 trên U và W ( z m   )  m . Chứng minh Bổ đề 2.3 Gọi  là thác triển chỉnh hình của  lên U . Trường hợp 1:  ( z )  0 với mọi z  U . Theo nguyên lý argument W ( z m ) chính là số không điểm của hàm z m trong U . 41 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Vậy: W ( z m )=W ( z m )  m . Như thế trong trường hợp này ta chọn   0 . Trường hợp 2: Tồn tại z  U để  ( z )  0 , nghĩa là 0  H (U ) với H là hàm xác định bởi: H : U  , H ( z )  z m ( z ), z  U . Bởi vì z m liên tục trên U và  không đồng nhất bằng không trên U nên z m không đồng nhất bằng không trên U . Gọi  là bội của không điểm z  0 của z m trong U . Rõ ràng   m . Sử dụng Hệ quả 2.4.4 của nguyên lý argument, sẽ tồn tại r  (0; 1) và   0 sao cho trong đĩa mở D (0; r ) hàm z m   có đúng  không điểm khi    . Mặt khác vì H  C  (U ) nên theo Bổ đề 2.2 suy ra H (U ) có độ đo Lebesgue bằng không. Do đó: D (0;  )  H (U ) mặc dù z  0  H (U ) . Vậy phải có    : 0     để z m    0 trên U đồng thời z m   có đúng  không điểm trong D (0; r )  U . Áp dụng nguyên lý argument cho hàm chỉnh hình z m   ta được: W ( z m   )=W ( z m   )    m. Như vậy Bổ đề 2.3 đã được chứng minh hoàn toàn.  Chứng minh Định lý 2.1 Điều kiện cần. Giả sử f có thác triển phân hình lên U là f với số cực N . Xét cặp đa thức P, Q thỏa mãn Pf  Q  0 trên U . 42 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Gọi 0 ,  p tương ứng là số không điểm ( kể cả bội ) và số cực điểm (kể cả bội) của P f  Q trong U . Khi đó  p  N . Theo nguyên lý argument: W ( Pf  Q)  W ( P f  Q)  0   p   p   N . Điều kiện đủ. Ta xét N  1 vì N  0 đã được chứng minh trong Định lý 1.1. Áp dụng Mệnh đề 5.2.5-Chương 1 sẽ có đa thức khác không P với bậc không vượt quá N sao cho: (2.3)  ( 1)  Pf  ( 2)    Pf  ( N )  0 . Pf Để chứng minh f thác triển phân hình lên U ta sẽ chứng minh Pf thác triển chỉnh hình lên U , nghĩa là ta chứng minh Pf  A(U ) ( Định lý 5.2.4-Chương 1 ). Xác định các hàm G , H trên U bởi:  (0)  Pf  (1) z  Pf  (2) z 2   G ( z )  Pf  (1) z  Pf  (2) z 2  Pf  ( 3) z 3   H ( z )  Pf ( z  U ) Vì Pf  C  (U ) nên chuỗi Fourier của Pf hội tụ đều về chính nó trên  (Hệ quả 1.5.2-Chương 1). Vậy trên U ta có Pf  G  H với G , H  C  (U )  A(U ) . Do (2.3) nên  ( N  1) z N 1  Pf  ( N  2) z N  2    z N 1 ( z ), z  U , H ( z )  Pf ở đây   C  (U )  A(U ) . Giả sử  không đồng nhất bằng không trên U . Áp dụng Bổ đề 2.3 có    sao cho z N 1    0 trên U và W ( z N 1   )  N  1 . Điều trên dẫn tới 43 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 W ( Pf  G   )  W ( z N 1   )  W ( z N 1   )   N  1. Xấp xỉ hàm G   bằng đa thức Q ta thu được Pf  Q  0 trên U đồng thời W ( Pf  Q )   N  1. Điều này trái với giả thiết của Định lý 2.1. Vậy   0 trên U và do đó Pf  G  A(U ). Theo Định lý 5.2.4-Chương 1 ta có f thác triển phân hình lên U và hàm thác triển  có nhiều nhất nhất N cực điểm. Từ chứng minh Điều kiện đủ ở trên chúng ta thấy điểm mấu chốt là Pf có dạng Pf  G  H với G  A(U ) và H  C  (U )  A(U ) , vì vậy có thể mở rộng Định lý 2.1 tới kết quả sau. Định lý 2.4 Giả sử f : U   thỏa mãn f  G  H trên U với G  A(U ) và H  C  (U )  A(U ) . Nếu tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi cặp đa thức P, Q mà Pf  Q  0 trên U ta đều có W ( Pf  Q)   N thì f thác triển phân hình lên U và hàm thác triển có nhiều nhất N cực . Chứng minh. Gọi P là đa thức khác không bậc không vượt quá N thỏa mãn điều kiện (2.4) Trên U ta có  ( 1)  Pf  ( 2)    Pf  ( N )  0 . Pf Pf  PG  PH . Do PH  C  (U ) nên nhờ tính hội tụ đều của chuỗi Fourier của PH trên  ta viết được Vậy PH  F  H1 trên U ; với F , H1  C  (U )  A(U ) . Pf  PG  F  H1  G1  H1 , trong đó G1  PG  F  A(U ), H1  C  (U )  A(U ) . 44 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Suy ra với mọi số nguyên n :   ( n)  G  ( n)  H Pf 1 1 (n) .  (n)  0, n  0 (do G  A(U ) ). Kết hợp Theo Định lý 5.2.1-Chương 1 ta có G 1 1 với (2.4) ta thu được:    H1 ( 1)  H1 ( 2)    H1 (  N )  0 . Do đó  (1)  H  (2)    H  (N )  0 . H 1 1 1 (2.5) Mặt khác vì H1  C  (U )  A(U ) nên: H1 ( z )   H1 (n) z n  H1 (0)  H1(1) z  H1 (2) z 2    n  , z  U . Do (2.5) ta có:  (0)  H  ( N  1) z N 1  H  ( N  2) z N  2    H  (0)  z N 1 ( z ) H1 ( z )  H 1 1 1 1 với   C  (U )  A(U ) . Vậy trên U có đẳng thức .  (0)  z N 1 . Pf  G1  H 1 Lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1 ta thu được   0 trên U . Suy ra:  (0)  A(U ). Pf  G1  H 1 Từ Định lý 5.2.4-Chương 1, ta có f thác triển phân hình lên U và hàm thác triển  có nhiều nhất N cực. Trước khi đi tới kết quả tổng quát ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.5 Giả sử hàm f : U   liên tục và N là số nguyên dương sao cho W ( Pf  Q)   N với mọi cặp đa thức P, Q mà Pf  Q  0 trên U . Khi đó tồn tại 45 Luận văn Thạc sĩ 2N số phức  j  NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 2 N 1 j 1 , j  N  1 thỏa mãn : f ( N  k )   2 N 1 j 1 j  N 1  j f (k  j  1) với mọi k nguyên dương. Chứng minh. Cố định số tự nhiên m , xét các phiếm hàm tuyến tính  ,  j :  m1   xác định bởi: x  ( x0 , x1,, xm )   m1 , 1 ( x )  x0 f (1)  x1 f (2)    xm f (1  m)  ( x)  x f ( 2)  x f ( 3)    x f (2  m) 2 0 m 1   N ( x )  x0 f ( N )  x1 f (  N  1)    xm f (  N  m)  ( x)  x f (  N  2)  x f ( N  3)    x f ( N  m  2) N 2 0 m 1   2 N 1 ( x)  x0 f (2 N  1)  x1 f (2 N  2)    xm f ( 2 N  m  1) và  ( x)  x0 f (  N  1)  x1 f (  N  2)    xm f (  N  m  1) . Trước hết ta chứng minh (2.6) Giả sử ngược lại 2 N 1  j 1 j  N 1 Ker  j  Ker  . 2 N 1  j 1 j  N 1 Ker  j  Ker  . Vậy phải có x  ( a0 , a1 ,, am )   m1 sao cho 46 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011  j ( x )  0, j  1, 2 N  1 ( j  N  1) .    ( x )  0 (2.7) Đặt F ( z )  ( a0  a1 z    am z m ) f ( z ), z  U và gọi của hàm z N 1F . Ta có: 1 Ak  2  (a0  a1e   i   k  Ak eik là chuỗi Fourier    ameim ) f (ei )ei ( N 1k ) d  a0 f ( k  N  1)  a1 f ( k  N  2)    am f ( k  N  m  1). Cụ thể là AN  a0 f ( 1)  a1 f ( 2)    am f ( 1  m)  1 ( x )  A1  a0 f (  N )  a1 f ( N  1)    am f (  N  m)   N ( x  ) A  a f ( N  2)  a f (  N  3)    a f (  N  m  2)   1 0 m 1 N 2 ( x )  A N  a0 f ( 2 N  1)  a1 f (2 N  2)    am f (2 N  m  1)  2 N 1 ( x ) và A0  a0 f ( N  1)  a1 f ( N  2)    am f ( N  m  1)   ( x ) . Theo điều kiện (2.7) ta có  A1  A2    AN  0 và A0  0.   A1  A2    A N  0 Áp dụng Nhận xét 1.3, sẽ tồn tại đa thức Q thỏa mãn F  Q  0 trên U đồng thời W ( F  Q)   N  1 . Đặt P ( z )  a0  a1z    am z m , z  U . Ta có Pf  Q  0 trên U và W ( Pf  Q)   N  1 , điều này trái với giả thiết của Bổ đề. 47 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Vậy (2.6) đã được chứng minh. Suy ra  là tổ hợp tuyến tính của 2N phiếm hàm  j , tức là tồn tại 2N số phức  j  , j  N  1 sao cho x  ( x0 , x1,, xm )   m1 j 1 2 N 1 đều có  ( x)  11 ( x )    N N ( x )  N 2 N 2 ( x )    2 N 12 N 1 ( x) . Một cách tương đương: với mọi ( x0 , x1 ,, xm )   m1 , đẳng thức sau luôn đúng x0 f (  N  1)  x1 f (  N  2)    xm f ( N  m  1)  1  x0 f (1)  x1 f ( 2)    xm f ( 1  m)    2  x0 f (2)  x1 f (3)    xm f (2  m)     N  x0 f (  N )  x1 f ( N  1)    xm f ( N  m)    N  2  x0 f ( N  2)  x1 f (  N  3)    xm f (  N  m  2)     2 N 1  x0 f (2 N  1)  x1 f (2 N  2)    xm f ( 2 N  m  1)  . Hệ quả là f ( N  1)   f ( 1)     f (  N )   f ( N  2)      1 N N 2 2 N 1 f ( 2 N  1) f ( N  2)   f ( 2)     f ( N  1)   f ( N  3)     f ( 2 N  2) 1 N 2 N 2 N 1  f ( N  m  1)  1 f ( 1  m)    N f ( N  m)  N  2 f ( N  m  2)    2 N 1 f ( 2 N  m  1) Do m là số tự nhiên tùy ý nên với mọi k nguyên dương ta có: f ( N  k )   2 N 1 j 1 j  N 1  j f (k  j  1) .  Như vậy Bổ đề 2.5 đã được chứng minh. Kết quả sau đây là mục đích chính của luận văn này. 48 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Định lý 2.6 Điều kiện cần và đủ để hàm liên tục F : U   thác triển phân hình lên U là tồn tại số tự nhiên N sao cho W ( PF  Q)   N với mọi cặp đa thức P, Q thỏa mãn PF  Q  0 trên U . Chứng minh. Điều kiện cần: Tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1. Điều kiện đủ: Ta chỉ xét N  1 vì N  0 đã được chứng minh trong Định lý 1.1. Đặt (2.8)  ( N  1) z  F  ( N  2) z 2   , z  U . ( z )  F Ta có  chỉnh hình trên U và do   ( n) 2  F   ( k  j  1), k  1, j F  N 1 n    n   ( n) 2   nên   H 2 (Định F lý 4.1.2-Chương 1). Ta sẽ chứng minh  là một phân thức chỉnh hình trên lân cận của U . Thật vậy, theo Bổ đề 2.3:  ( N  k )  F 2 N 1 j 1 j  N 1 nên  (1)     F      ( z )  z 1 F N (  N )   N  2 F (  N  2)    2 N 1 F ( 2 N  1)    (2)     F      z 2  1 F N (  N  1)   N  2 F ( N  3)    2 N 1 F ( 2 N  2)    Bằng cách nhóm các  j ta được (2.9)  ( 1) z  F  (2) z 2    ( z )  1  F    ( 2) z  F  ( 3) z 2    2  F     ( N ) z  F  ( N  1) z 2    N  F    (  N  2) z  F  (  N  3) z 2    N  2  F     ( 2 N  1) z  F  (2 N  2) z 2   .  2 N 1  F   49 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Xét các đa thức P1 ,  , PN , PN  2 , , P2 N 1 xác định trên U bởi: (2.10)  ( 1) z  F  (2) z 2    F  ( N ) z N P1 ( z )  F  (2) z  F  ( 3) z 2    F  (  N ) z N 1 P ( z)  F 2   ( N ) z PN ( z )  F  (  N  1) z P ( z)  F ( z U ) N 2  ( N  1) z  F  (  N  2) z 2 PN 3 ( z )  F   (  N  1) z  F  ( N  2) z 2    F  ( 2 N ) z N . P2 N 1 ( z )  F Từ (2.8), (2.9) và (2.10) ta suy ra:  ( z )  1  P1 ( z )  z N  ( z )   2  P2 ( z )  z N 1 ( z )   N  PN ( z )  z ( z )   N  2  ( z )  PN  2 ( z )  z 1   N 3   ( z )  PN 3 ( z )  z 2    2 N 1   ( z )  P2 N 1 ( z ) z  N . Đưa ( z ) về một vế ta thu được    ( z ) 1  1z N  2 z N 1    N z  N  2 z 1  N 3 z 2    2 N 1 z  N     1P1 ( z )  2 P2 ( z )   N PN ( z )  N 2 z 1PN 2 ( z )    2 N 1 z  N P2 N 1 ( z )  . Đẳng thức trên dẫn tới: tồn tại các đa thức R ( z ), S ( z ) không có nhân tử chung sao cho  ( z )  R( z ) , z  U . Bởi vì   H 2 nên Hệ quả 4.2.3-Chương 1 cho phép ta S ( z) kết luận  là một phân thức chỉnh hình trong lân cận của U . Đặt:  (1) z  F  (2) z 2    F  (  N ) z N  z N ( z ). H ( z)  F Vậy H cũng là một phân thức chỉnh hình trong lân cận của U . Ta có với mọi z  U thì 50 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011  (1) 1  F  ( 2) 1    F  ( N ) 1  1  ( z ) H ( z)  F 2 z z zN zN  ( 1) 1  F  (2) 1   F z z2 Bằng cách tính các hệ số Fourier của H ta được 1  H (n)  2 1  2   F (1) ei  F (2) e2i  e      F (1)e   1 1  i ( n1) Do đó với mọi số nguyên âm n :   in d  ( 2)e i ( n 2)  d . F    (n) . H (n)  F   ( n)  F  ( n)  H ( n)  0 với mọi số Đặt G  F  H . Vậy G liên tục trên U và G nguyên âm n . Từ Định lý 5.2.1-Chương 1, ta có G  A(U ) . Như thế F  G  H, với G  A(U ) và H là một phân thức chỉnh hình trong lân cận của U , đặc biệt H  C  (U )  A(U ) . Áp dụng Định lý 2.4 ta suy ra F thác triển phân hình lên U và hàm thác triển có nhiều nhất N cực. Định lý đã được chứng minh. 51  Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 KẾT LUẬN Các kết quả ở trên cho chúng ta đặc trưng đơn giản để một hàm liên tục trên U thác triển phân hình lên U . Ta cũng nhận thấy ở các Định lý 2.1 và 2.4 chỉ cần xét Q trong lớp tất cả các đa thức có bậc không vượt quá số nguyên dương N nhưng ở Định lý 2.6 P, Q phải có bậc lớn tùy ý. Đặc biệt Định lý 1.1 sẽ không đúng nếu Q có bậc bị chặn bởi Mệnh đề sau. Mệnh đề 2.7 Đối với mỗi số nguyên dương n0 bất kì cho trước, luôn tồn tại hàm liên tục f : U   sao cho W ( f  Q )  0 với mọi đa thức Q có bậc không vượt quá n0 , f  Q  0 trên U nhưng f không thể thác triển chỉnh hình lên U . Chứng minh. Lấy n  n0  1 và a   : a  1 , xét hàm f : U   cho bởi a f ( z)  z n  , z U . z Giả sử Q là đa thức tùy ý có bậc không vượt quá n0 , f  Q  0 trên U . Gọi 0 ,  p tương ứng là số không điểm và số cực điểm (kể cả bội) của hàm f  Q trong U , vậy  p  1 . Ta có 0 bằng số không điểm trong U của đa thức: Q1 ( z )  z n1  zQ ( z )  a . Do bậc của đa thức zQ ( z ) không vượt quá n0  1 nên z n1 là số hạng có bậc cao nhất của Q1 . Sử dụng định lý Viet cho đa thức, suy ra tích môdul các không điểm của Q1 bằng a  1 . Vậy phải có một không điểm thuộc U , nghĩa là 0  1 . Áp dụng nguyên lý argument: W ( f  Q )  0   p  0  1  0 . Rõ ràng f liên tục trên U và không thể thác triển chỉnh hình lên U . 52  Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 Cuối cùng một câu hỏi được đặt ra là: trong Định lý 2.6 (với N  1 ) ta có thể chọn P  1 như trong Định lý 1.1 hay không ? Nói cách khác nếu f là hàm liên tục trên U và có số nguyên dương N để W ( f  Q )   N với mọi đa thức Q thỏa mãn f  Q  0 trên U , liệu f có thác triển phân hình lên U ? Câu hỏi này cho tới nay vẫn còn để mở ngay cả trong trường hợp đơn giản của Định lý 2.1 khi mà f  C  (U ) . 53 Luận văn Thạc sĩ NGUYỄN MẠNH TƯỜNG-ĐHSP Hà Nội-2011 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, tập 2, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà nội. 2. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2009), Hàm biến phức, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nội, Hà nội. Tiếng Anh 1. Josip Globevnik (2008), “Meromorphic extendibility and the argument principle”, Publ.Mat, 52, 171-188. 2. LarsV. Ahlfors (1966), Complex analysis, Mc Graw-Hill Book Company, New York. 3. Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey (2001), Harmonic Function Theory, Springer-Verlag, New York. 4. Thomas Ransford (1995), Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge Univ press, Cambridge. 5. W. Rudin (1964), Principles of Mathematical Analysis, Mc Graw-Hill Book Company, New York. 6. W. Rudin (1974), Real and Complex Analysis, Mc Graw-Hill Book Company, New York. 54