- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI——————————-NGUYỄN QUANG CHUNGNGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNHTRONG TÁI BẢO HIỂMLUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCHà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI——————————-NGUYỄN QUANG CHUNGNGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNHTRONG TÁI BẢO HIỂMNgành: Toán họcMã ngành: 9460101LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:1. - 2MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN. - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 111.1 Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụng trong lý thuyết rủi ro . - 151.2 Một số mô hình rủi ro cổ điển. - 191.3 Tái bảo hiểm. - 211.3.1 Tái bảo hiểm quota share (tỷ lệ chia sẻ. - 221.3.2 Tái bảo hiểm stop\excess of loss (vượt ngưỡng. - XÁC SUẤT THIỆT HẠI LIÊN KẾT TRONG MÔ HÌNH RỦIRO VỚI TÁI BẢO HIỂM 322.1 Tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết trong mô hình rủi ro vớitái bảo hiểm quota share. - 332.2 Công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết trongmô hình rủi ro với tái bảo hiểm quota share. - 372.2.1 Mô hình rủi ro không lãi suất. - 372.2.2 Mô hình rủi ro có lãi suất. - 422.3 Công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết trongmô hình rủi ro với tái bảo hiểm excess of loss. - 462.3.1 Mô hình rủi ro không lãi suất. - 46i 2.3.2 Mô hình rủi ro có lãi suất. - ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNHTÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP MARTINGALE 593.1 Mô hình rủi ro không lãi suất. - 603.1.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share. - 603.1.2 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share −(α, β. - 673.1.3 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss. - 703.2 Mô hình rủi ro có lãi suất. - 783.2.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share. - 793.2.2 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss. - ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNHTÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY HỒI 1004.1 Mô hình rủi ro không lãi suất. - 1004.2 Mô hình rủi ro có lãi suất. - 117DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN. - 123ii LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướngdẫn của PGS.TS. - Tất cả cáckết quả, số liệu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được aicông bố trong bất kỳ công trình nào.Hà Nội Xác nhận của tập thể hướng dẫn Tác giả luận ánNguyễn Quang Chung1 LỜI CẢM ƠNĐầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tập thể cán bộ hướng dẫnkhoa học:1. - Bùi Khởi Đàm, người đã giao đề tài, tận tình chỉbảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án.Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đãnhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ mônToán ứng dụng, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. - Tôi xinđược chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.Tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoahọc cơ bản Trường Đại học Sư phạm- Kỹ thuật Hưng Yên đã tạo điều kiệncho tôi học tập và nghiên cứu.Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đãluôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên con đường nghiên cứutoán học mà mình đã chọn.Hà Nội NCS. - Nguyễn Quang Chung2 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁNh.c.c Hầu chắc chắnN Tập các số tự nhiên, N R Tập các số thựcAHàm chỉ tiêu của tập hợp Ax ∧ y min{x, y}với x, y ∈ Rx ∨ y max{x, y}với x, y ∈ R(Ω, F, P) Ω không gian mẫu, F là σ − đại số các tập concủa Ω, P độ đo xác suất trên(Ω, F)Z+max{Z, 0} với Z là biến ngẫu nhiênZ−− min{Z, 0} với Z là biến nhẫu nhiênMZ(r) Hàm sinh moment của biến ngẫu nhiên Zα Tỷ lệ chia sẻ phần thu phí bảo hiểmM Mức duy trìψn(u0) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chukỳ n khi chưa có tái bảo hiểmψ(u0) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gianvô hạn khi chưa có tái bảo hiểmψ(1)n(u0, α) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chukỳ n khi có tái bảo hiểm quota shareψ(1)(u0, α) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gianvô hạn khi có tái bảo hiểm quota shareψ(2)n(v0, α) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tới3 chu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota shareψ(2)(v0, α) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thờigian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota sharebψ(1)n(u0, α, β) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chukỳ n khi có tái bảo hiểm quota share−(α, β)bψ(2)n(v0, α, β) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tớichu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share−(α, β)φ(1)n(u0, α, M) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chukỳ n khi có tái bảo hiểm excess of lossφ(1)(u0, α, M) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gianvô hạn khi có tái bảo hiểm excess of lossφ(2)n(v0, α, M) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tớichu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of lossφ(2)(v0, α, M) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thờigian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of losseψ(1)n(u0, α, is) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chukỳ n khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suấteψ(1)(u0, α, is) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gianvô hạn khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suấteψ(2)n(v0, α, jt) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tớichu kỳ n khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suấteψ(2)(v0, α, jt) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thờigian vô hạn khi có tái bảo hiểm quota share và lãi suấteφ(1)n(u0, α, M, is) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm cho tới chukỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suấteφ(1)(u0, α, M, is) Xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm với thời gian4 vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suấteφ(2)n(v0, α, M, jt) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm cho tớichu kỳ n khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suấteφ(2)(v0, α, M, jt) Xác suất thiệt hại của công ty tái bảo hiểm với thờigian vô hạn khi có tái bảo hiểm excess of loss và lãi suấtψn(u0, v0, α) Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi cótái bảo hiểm quota shareψ(u0, v0, α) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi cótái bảo hiểm quota shareψn(u0, v0, α, M) Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi cótái bảo hiểm excess of lossψ(u0, v0, α, M) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi cótái bảo hiểm excess of lossψn(u0, v0, α, is, jt) Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi cótái bảo hiểm quota share và lãi suấtψ(u0, v0, α, is, jt) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi cótái bảo hiểm quota share và lãi suấtψn(u0, v0, α, M, is, jt) Xác suất thiệt hại liên kết cho tới chu kỳ n khi cótái bảo hiểm excess of loss và lãi suấtψ(u0, v0, α, M, is, jt) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn khi cótái bảo hiểm excess of loss và lãi suất5 MỞ ĐẦU1. - Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tàiMột trong những nghiên cứu đầu tiên về lý thuyết rủi ro trong bảo hiểmlà luận án của Filip Lundberg (1903) ở Đại học Uppsala (Thụy Điển). - Sauđó, Harald Cramér đã phát triển ý tưởng của Filip Lundberg mà ngày naychúng ta gọi nó là mô hình Cramér- Lundberg hay mô hình rủi ro cổ điển.Trong mô hình này phí thu bảo hiểm được xét là hằng số và phần chi trả bảohiểm là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.Một số tác giả S. - T Hong [21] đã xét các mô hìnhrủi ro với phí bảo hiểm thu được trong mỗi chu kỳ là một biến ngẫu nhiên.Sau đó một số tác giả B. - Quang đãđề cập tới mô hình có lãi suất. - Với hai mô hình rủi ro này, các tác giả trênđã ước lượng hoặc đưa ra biểu thức đúng cho xác suất thiệt hại của công tybảo hiểm.Tuy nhiên trong kinh doanh bảo hiểm, ngay các công ty bảo hiểm cũngcó thể gặp thiệt hại do các yêu cầu bồi thường quá lớn. - Một trong nhữngchiến lược để giảm nguy cơ thiệt hại trực tiếp cho các công ty bảo hiểm làhình thức tái bảo hiểm. - Borch [5] là một trong những ngườiđầu tiên nghiên cứu về tái bảo hiểm. - Ở đó, tác giả đã chỉ ra trong các phươngán tái bảo hiểm khác nhau thì tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu phươngsai cho phần chi trả bảo hiểm của công ty bảo hiểm. - Nghiên cứu này mở racác hướng nghiên cứu xung quanh tái bảo hiểm như P. - Zhang [41].Trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm, các yêu cầu bồi thường sẽ được chitrả bởi công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm, do đó sự thiệt hại có thể xảyra ở công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm. - Gần đây, các bài toán có sự quan tâm tới cả hai công ty bảo hiểmvà tái bảo hiểm đã được một số tác giả nghiên cứu, ví dụ: V. - Các nghiên cứu về tái bảo hiểmsẽ phù hợp hơn nếu có sự quan tâm tới công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm.Mặc dù vậy, các nghiên cứu theo hướng này còn khá ít trong các công trìnhnghiên cứu hiện nay.Luận án nghiên cứu mô hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm làcác biến ngẫu nhiên. - Các bài toán liên quan tới xác suất thiệt hại của công tybảo hiểm và công ty tái bảo hiểm được xem xét. - Các ước lượng (chặn trên)cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được thiết lập.2. - Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu• Mục đích nghiên cứu của luận án:Xây dựng mô hình rủi ro rời rạc với sự tác động của tái bảo hiểmquota share và tái bảo hiểm excess of loss.Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết(xác suất xảy ra thiệt hại của công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm);xây dựng các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kếtcủa công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, công thức tính chính xác choxác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm. - ước lượng (chặn trên)cho xác suất thiệt hại trong mô hình có tái bảo hiểm.7 • Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án:Các xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảohiểm trong mô hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share và táibảo hiểm excess of loss.Các bài toán về tối ưu, bài toán về công thức tính đúng và bàitoán về ước lượng cho các xác suất thiệt hại.3. - Phương pháp nghiên cứuTrong luận án sử dụng các kiến thức của giải tích và xác suất.Sử dụng phương pháp martingale để thiết lập các chặn trên cho các xácsuất thiệt hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. - Với phương pháp nàycác bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal và định lý về thời điểmdừng với martingale và martingale trên được sử dụng trong quá trình chứngminh.Phương pháp truy hồi để xây dựng các chặn trên cho các xác suất thiệthại của từng công ty bảo hiểm.4. - Ý nghĩa của các kết quả của luận án• Luận án đưa ra một số kết quả mới, có ý nghĩa về cả lý thuyết và ứngdụng trong việc nghiên cứu các mô hình rủi ro bảo hiểm.• Lần đầu tiên đưa ra cách xác định tỷ lệ chia sẻ (hệ số α) để cực tiểuxác suất thiệt hại liên kết cho công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm (cựctiểu đồng thời cả xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảohiểm) (Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2. - Xây dựng được công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết,xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3,Định lý 2.3.1 và Định lý 2.3.3. - Thiết lập được các hệ số hiệu chỉnh như là các hàm của tỷ lệ chia sẻvà mức duy trì (Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.12, Bổ đề 3.1.13, Bổ đề 3.2.1, Bổ đề3.2.6 và Bổ đề Đưa ra ước lượng trên dạng Cramér- Lundberg cho các xác suất thiệtcủa từng công ty bảo hiểm bởi phương pháp martingale và phương pháp truyhồi (Định lý 3.1.3, Định lý 3.1.10, Định lý 3.1.14, Định lý 3.2.3, Định lý 3.2.8,Định lý 4.1.2 và Định lý 4.2.2. - Chứng minh được sự tồn tại tỷ lệ chia sẻ α và mức duy trì M để cả haixác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm đều nhỏ hơnmột ngưỡng bé tùy ý cho trước (Hệ quả 3.1.4, Định lý 3.1.15, Hệ quả 3.2.5,Hệ quả 4.1.3 và Hệ quả 4.2.3).5. - Cấu trúc và kết quả của luận ánNgoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chialàm bốn chương:• Chương 1 trình bày khái niệm về kỳ vọng có điều kiện, quá trìnhMarkov, quá trình martingale. - nhắc lại hai mô hình rủi ro rời rạc sẽđược nghiên cứu trong luận án. - giới thiệu hai loại tái bảo hiểm quantrọng, tái bảo hiểm quota share và stop\excess of loss. - cuối cùng mộtsố các thuật ngữ và ký hiệu dùng trong luận án.• Chương 2 xác định lời giải tối ưu và công thức tính chính xác cho xácsuất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểmtrong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm quota share và tái bảo hiểm excessof loss.• Chương 3 nghiên cứu ảnh hưởng của tái bảo hiểm lên chặn trên củacác xác suất thiệt hại bởi phương pháp martingale. - Mục 3.2 đượcdành để giới thiệu các nghiên cứu cho mô hình rủi ro có lãi suất. - Tiếp theo, ước lượngtrên cho các xác suất thiệt hại. - Các Hệ quả 3.1.4 và Hệ quả 3.2.5 như9 là một phương pháp để dung hòa cho xác suất thiệt hại của từng côngty bảo hiểm.• Chương 4 của luận án trình bày phương pháp truy hồi để thiết lậpsự ảnh hưởng của tái bảo hiểm quota share đối với chặn trên của xácsuất thiệt hại trong các mô hình rủi ro không lãi suất và có lãi suất.Các chặn trên ở mục này không có dạng mũ như Chương 3 nhưng béhơn các chặn trên dạng mũ Chương 3 trong một số trường hợp. - Dựatrên các chặn trên này, một phương pháp để dung hòa cho các xác suấtthiệt hại của từng công ty bảo hiểm được giới thiệu.Nội dung chính của luận án dựa trên bốn bài báo được liệt kê ở"Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó cácbài đăng ở nước ngoài, bài [3] đăng ở tạp chí trong nước.Luận án đã được báo cáo tại:– Seminar " Đánh giá sự ảnh hưởng của tái bảo hiểm đối với chặntrên của xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro rời rạc" TrườngĐại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, tháng 8 năm 2017.– Seminar "Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro với tái bảo hiểm",Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 10 năm 2017.10 Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊChương này cung cấp các khái niệm và kiến thức quan trọng sẽ sử dụngtrong luận án. - Các định lý chỉ phát biểu mà không chứng minh. - Tuy nhiên, chi tiết của các chứng minh và các khái niệm đó được giớithiệu trong các tài liệu tham khảo của luận án. - Đầu tiên, tác giả giới thiệumột số quá trình ngẫu nhiên được sử dụng trong luận án. - Một số mô hình rủi ro được nghiên cứu ởcác chương tiếp theo sẽ được nhắc lại. - Hai loại tái bảo hiểm quan trọng làquota share và stop\excess of loss được trình bày trong phần này.1.1 Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụngtrong lý thuyết rủi roMở đầu mục này là khái niệm kỳ vọng có điều kiện, một công cụ quantrọng trong lý thuyết xác suất. - Xét ξ và ζ là hai biến ngẫu nhiên xác địnhtrong không gian xác suất (Ω, F, P).Định nghĩa 1.1.1. - 0 (h.c.c).Định lý 1.1.4. - Về phương diện xácsuất, ta phải dùng xác suất có điều kiện để diễn tả tính Markov
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt