Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian

- TRẦN KIM HƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN ỨNG DỤNG Hà Nội – Năm 2017 TRẦN KIM HƯƠNG TOÁN ỨNG DỤNG KHÓA 2016A BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI.
- TRẦN KIM HƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG MÃ CHUYÊN NGÀNH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.
- Bố cục của luận văn CHƢƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN………….6 1.1.
- Thang thời gian .
- Đạo hàm trên thang thời gian .
- Kết luận chương CHƢƠNG 2: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN…….17 2.1.
- Định nghĩa tích phân trên thang thời gian .
- Hàm đa thức và hàm mũ trên thang thời gian .
- Kết luận chương CHƢƠNG 3: PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN THANG THỜI GIAN….38 3.1.
- Lý do chọn đề tài Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của giáo sư Bernd Aulbach), với mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian và phát triển lý thuyết Giải tích trên thang thời gian.
- Từ đó đến nay, đã có một số quyển sách về giải tích, hàng chục luận án tiến sĩ và nhiều bài báo nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian.
- Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt bản chất của thế giới thực, đó là tính rời rạc và tính liên tục dưới cùng một khái niệm và công cụ.
- Giải tích trên thang thời gian hiện đang được nhiều nhóm các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm.
- Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu các bài toán tối ưu và phép tính biến phân, các mô hình kinh tế vĩ mô, áp dụng vào các bài toán trò chơi, hệ sinh thái.
- Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và cơ bản của giải tích, từ đó hiểu sâu hơn về giải tích cổ điển, để có hiểu biết rộng rãi về bản chất, về những kiến thức đã được học tập trong chương trình đại học và sau đại học, em xin chọn đề tài Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian làm đề tài luận văn thạc sỹ khoa học.
- Mục đích nghiên cứu Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian.
- Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các khái niệm cơ bản nhất về thang thời gian, đạo hàm, tích phân và phép biến đổi Fourier trên thang thời gian và ứng dụng.
- Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng biến đổi tích phân, thang thời gian, bất đẳng thức tích phân, tích chập, giải tích hàm, phương pháp toán tử.
- Phép tính vi phân trên thang thời gian.
- Phép tính tích phân trên thang thời gian.
- Phép biến đổi Fourier trên thang thời gian.
- Kết quả đạt đƣợc 6 CHƢƠNG 1: ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN Chương này đưa ra một số khái niệm cơ bản về thang thời gian, vi phân và đạo hàm trên thang thời gian.
- Thang thời gian Định nghĩa 1.1.
- Một thang thời gian, ký hiệu là T, là tập hợp con đóng khác rỗng của tập hợp số thực.
- Có một vài thang thời gian đặc biệt, chẳng hạn tập số thực , số nguyên.
- Trong luận văn này, ta giả định rằng một thang thời gian nhất định có cấu trúc liên kết tương đối chặt chẽ với các số thực.
- Trong cách này, không có số thực nào lớn hơn tiếp theo đối với .t Bây giờ, ta xem xét thang thời gian  1,0 .T.
- Định nghĩa sau đây đưa ra một hướng nghiên cứu mới có ý nghĩa đối với thang thời gian tùy ý.
- Định nghĩa 1.2.
- Định nghĩa sau sử dụng các toán tử để phân loại các điểm trên thang thời gian.
- Định nghĩa 1.3.
- Định nghĩa 1.4.
- Tuy nhiên, những giới hạn của f với thang thời gian 0được xác định khi f là hàm chính quy vì 0 không có bất kỳ điểm trù mật bên trái hoặc điểm trù mật bên phải nào.
- Định nghĩa 1.6.
- Đạo hàm trên thang thời gian Định nghĩa 1.9.
- Đạo hàm trên thang thời gian của một hàm thích hợp không thể xác định được cho tất cả các điểm trên toàn bộ thang thời gian.
- Đặc biệt, chúng ta không thể xác định nó ở cận trên hữu hạn của một thang thời gian.
- Tuy nhiên, chúng ta có thể xác định đạo hàm trên thang thời gian tại tất cả các điểm của kT.
- Theo định nghĩa sau đây, kT là tập xác định để đạo hàm trên thang thời gian có nghĩa.
- Khi một điểm t trên thang thời gian cô lập bên phải, Δ-đạo hàm tại t là độ dốc của đường thẳng đi qua các điểm.
- Ta có.
- ).f g t f g t g t Tuy nhiên, với thang thời gian tùy ý, điều này không còn đúng trong một vài trường hợp.
- Trong trường hợp này, có một vài quy tắc đạo hàm hàm hợp cho thang thời gian, mỗi quy tắc trong số đó có tính chất yếu hơn so với các số thực.
- Để đưa ra quy tắc đạo hàm hàm hợp trong định lý 1.15chúng ta chú ý đến câu hỏi dưới đây: với điều kiện nào cho hàm  để  Tlà một thang thời gian.
- Khi đó  T là một thang thời gian khi và chỉ khi (i.
- Giả sử rằng  không liên tục với  Tlà một thang thời gian.
- ta có.
- Vì vậy, giả thiết phản chứng T là một thang thời gian mâu thuẫn nên là liên tục.
- Bằng cách chứng minh phản chứng, khi  T là một thang thời gian, ta có  .ii Giả sử rằng  i và  ii đúng và a là một điểm giới hạn của γ (T).
- (quy tắc đạo hàm hàm hợp) Cho :T là một hàm tăng ngặt sao cho  :TTlà một thang thời gian.
- Như vậy trong trường hợp hàm tăng ngặt sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp thì đạo hàm trên thang thời gian ta thu được kết quả giống trường hợp đạo hàm hợp trong tập số thực .
- Vì vậy đạo hàm trên các tập số nguyên , số thực là trường hợp riêng của đạo hàm trên một thang thời gian cụ thể.
- Trình bày định nghĩa về thang thời gian và các khái niệm liên quan: Toán tử bước nhảy, điểm cô lập, điểm trù mật, hàm chính quy, hàm rd-liên tục.
- Trình bày định nghĩa về đạo hàm, vi phân trên thang thời gian, hàm tăng ngặt, quy tắc đạo hàm hàm hợp và một số ví dụ minh họa.
- 17 CHƢƠNG 2 TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Chương 2 của luận văn trình bày về các định nghĩa, tính chất cơ bản của tích phân trên thang thời gian.
- Đưa ra khái niệm, tính chất của hàm đa thức, hàm mũ trên thang thời gian.
- Định nghĩa tích phân trên thang thời gian Định nghĩa 2.1.1.
- Cho T là một thang thời gian, và cho ,a b T sao cho ab.
- Định nghĩa 2.1.2.
- Ví dụ 2.1.3 Xét thang thời gian.
- Định nghĩa 2.1.4.
- Dưới đây ta sẽ tính toán một số Δ-tích phân trực tiếp từ định nghĩa để hiểu được tích phân là gì đối với một thang thời gian khác trong trường hợp nó chỉ là tích phân Riemann thông thường.
- Chú ý rằng trong thang thời gian này  0,32nPPnếu 320 32n.
- Điều đáng chú ý là cho mỗi thang thời gian trong hai thang thời gian trong các ví dụ trên, Δ-tích phân nhỏ hơn so với trường hợp thông thường.
- Trong thực tế, đối với bất kỳ hàm tăng :f  và thang thời gian T.
- Chú ý rằng Δ-tích phân trên một khoảng rời rạc của một thang thời gian chỉ là tổng theo trọng số với giá trị tT được đưa ra bởi  t.
- Tính chất tuyến tính của Δ-tích phân trên thang thời gian sẽ được giới thiệu tiếp theo sau kết quả này.
- (định lý đổi biến) Cho :T là một hàm tăng ngặt sao cho  TT là một thang thời gian.
- Hàm đa thức và hàm mũ trên thang thời gian Trong khi 0 là đạo hàm của 1 và 1 là đạo hàm của t, trong thang thời gian không thể tìm ra t nào là đạo hàm theo cách tạo ra dạng thức đóng cho thang thời gian tùy ý.
- Ví dụ, t là đạo hàm của 22t trên , nhưng đối với một thang thời gian tùy ý 2122ttt.
- Ta mong muốn đưa ra một tập hợp các hàm có thể sử dụng biến t theo phép tính 24 trên thang thời gian.
- Định nghĩa 2.3.1.
- Cho hai hàm ,:kkg h T T với 0k thì đa thức trên thang thời gian được xác bởi biểu thức.
- Chú ý đối với thang thời gian ta có.
- Định nghĩa 2.3.3.
- Định nghĩa 2.3.4.
- Định nghĩa 2.3.6.
- Định nghĩa 2.3.9.
- Xác định hàm mũ trên thang thời gian.
- với ,s t T Chú ý rằng nếu không có tính hồi quy thì định nghĩa về hàm mũ trên thang thời gian sẽ không có ý nghĩa.
- Bây giờ ta sẽ sử dụng định lý 2.3.11 để tìm hàm mũ trên thang thời gian0,.qq 27 Ví dụ 2.3.12.
- Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng hàm mũ trên thang thời gian để xác định hàm sin, cos và các hàm hyperbolic trong phép tính trên thang thời gian.
- thì hàm lượng giác trên thang thời gian  p0cos ,ttvà  p0sin ,tt được xác định bởi công thức.
- ta định nghĩa hàm lượng giác trên thang thời gian hyperbolic coshpvà sinhp bằng biểu thức sau.
- Hơn nữa, đối với thang thời gian này.
- Định lý dưới đây cho hàm hai biến trên thang thời gian được sử dụng nhiều cho các phần tiếp theo.
- 1 t p tta có.
- Ta thấy khi tính tích phân trên thang thời gian có kết quả khác biệt rất lớn so với tính tích phân trên tập số thực T.
- Như vậy khi tính tích phân trên các thang thời gian cụ thể cho ta các kết quả hoàn toàn khác biệt so với trên tập số thực để đảm bảo tính phù hợp với các bài toán thực tế cho rất nhiều lớp bài toán mà các tập số thực không tính được.
- Có thể nói tích phân trên thang thời gian là trường hợp tổng quát còn trên tập số học chỉ là một trường hợp riêng cụ thể của nó.
- Định nghĩa, các tính chất cơ bản về tích phân trên thang thời gian.
- Định nghĩa và tính chất của hàm đa thức, hàm mũ, phép toán cộng vòng tròn  và phép toán trừ vòng tròn  trên thang thời gian.
- Một số hàm lượng giác với đạo hàm tương ứng trên thang thời gian.
- 38 CHƢƠNG 3 PHÉP BIẾN DỔI FOURIER TRÊN THANG THỜI GIAN.
- Trong chương này ta nghiên cứu phép biến đổi Fourier trên thang thời gian cho các hàm: liên tục, tuần hoàn, rời rạc và hàm hữu hạn đối với các thang thời gian cụ thể.
- [7] 3.1 Biến đổi Fourier Trước khi định nghĩa phép biến đổi Fourier, ta cần phải xác định một số thang thời gian đặc biệt.
- Thang thời gian hT được định nghĩa là 0:00.hhT h hh.
- Khi đó, thang thời gian hHT là nhóm thương được định nghĩa.
- Ở đây, h là số thực dương cố định và H có thể được coi là chiều dài của thang thời gian.
- Tất cả các thang thời gian là nhóm giao hoán có thể được viết dưới dạnghHT đối với một số h và .H Chứng minh: Giả sử G là một thang thời gian mà  ,G là một nhóm giao hoán.
- Bây giờ ta đưa ra định nghĩa về phép biến đổi Fourier trên thang thời gian Fourier

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt