Về một phương pháp giải toán sơ cấp.pdf

- Qua đây, tác gi xin đưc gi li cm ơn sâu sc đn thy giáo,ngưi hưng dn khoa hc ca mình, GS.TSKH.
- 61.2.1 Các tính cht liên quan đn phép cng.
- 61.3 Dng đi s ca s phc.
- 131.4 Dng lưng giác ca s phc.
- 151.4.1 Ta đ cc trong mt phng.
- 21 2 S dng s phc trong gii toán sơ cp 25 2.1 S phc và các bài toán hình hc.
- 252.1.2 Điu kin thng hàng , vuông góc và cùng thucmt đưng tròn.
- 302.1.3 Tam giác đng dng.
- lưng giác.
- 452.2.1 Các bài toán lưng giác.
- Đc bit s dng s phcđ gii mt s dng toán: hình hc, đi s, t hp, lưng giác.
- Ý nghĩa khoa hc và thc tin ca đ tài To đưc mt đ tài phù hp cho vic ging dy, bi dưng hc sinhtrung hc ph thông.
- Bây gi chúng ta xét phương trình bc hai tng quát vi h s phc az 2 + bz + c = 0 , a.
- 0 S dng các bin đi đi s như trưng hp phương trình bc hai vi hs thc ta đưc: a.
- b 2 − 4 ac cũng đưc gi là bit thc ca phương trình bc hai.Đt y = 2 az + b phương trình trên đưc rút gn v dng y 2.
- Như vy các tính cht trên đưc bo toàn khi các h s ca phương trìnhthuc trưng s phc C .
- y ) đưc gi là dng hình hc ca s phc z = x + yi.
- 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Dng hình hc ca s đi - z ca s phc z = x + yi là đim M.
- OM , vi M ( x,y ) là dng hình hc ca s phc z.
- v | mô đun | z | ca s phc z = x + yi là đ dài ca đon thng OM hoc là đ ln ca véc tơ.
- Chú ý a) Mi s thc dương r , tp hp các s phc có mô đun r tương đươngvi đưng trònC ( O .
- r ) tâm O bán kính r trong mt phng.b) Các s phc z vi | z.
- r là các đim nm bên trong đưng tròn C ( O .
- r là các đim nm bên ngoài đưng tròn C ( O .
- 1.3.4 Ý nghĩa hình hc ca các phép toán đi s a) Phép cng và phép tr Xét hai s phc z 1 = x 1 + y 1 i và z 2 = x 2 + y 2 i tương đương vi hai véctơ.
- 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 1.4 Dng lưng giác ca s phc 1.4.1 Ta đ cc trong mt phng Xét mt phng ta đ vi M ( x,y ) không trùng gc ta đ.
- Góc đnh hưng t.
- Đim P ging như argument cc t.
- Ta xácđnh argument cc trong các trưng hp saua)Nu x.
- π 2 khiy > 03 π 2 khi y < 0 17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 1.4.2 Ta đ cc ca s phc Mi s phc z = x + yi ta có th vit dưi dng cc z = r (cos t.
- [0 , 2 π ) đó là ta đ cc dng hình hc ca s phc z.
- Argument cc ca dng hình hc ca s phc z đưc gi là argumentca z , kí hiu là arg z .
- Bán kính cc ca dng hình hc ca s phc z bng mô đun cua z .
- 2 kπ, k ∈ Z } đưc gi là arguent m rng ca s phc z.
- 0 có dng z 1 = r 1 (cos t 1 + i sin t 1 ) v à z 2 = r 2 (cos t 2 + i sin t 2 ) bng nhau khi và ch khi r 1 = r 2 v à t 1 − t 2 = 2 kπ , vi k là s nguyên.
- Chú ý Các dng sau nên nh 1 = c os 0 + i sin0 , i = c os π 2 + i sin π 2 − 1 = c os π + i sin π.
- 1.4.3 Các phép toán s phc trong ta đ cc Phép nhân Gi s rng z 1 = r 1 (cos t 1 + i sin t 1 ) v à z 2 = r 2 (cos t 2 + i sin t 2 ) thì z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos( t 1 + t 2.
- Phép chia Gi s rng z 1 = r 1 (cos t 1 + i sin t 1 ) v à z 2 = r 2 (cos t 2 + i sin t 2 ) thì z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos( t 1 − t 2.
- Đim M 3 ( r 1 r 2 , t ∗ 1 + t ∗ 2 ) là dng hình hc z 1 .z 2 Ly A là dng hình hc ca s phc 1 .
- 0 , ging như trên trưngs thc, phương trình Z n − z 0 = 0 19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 area [ ABC.
- Ta thy rng π 4 < α + π 4 < 3 π 4 .
- Phương trình đưng thng đưc xác đnh bi đim đi qua vàphươngMnh đ 2.1.18.
- Cho đưng thng d : αz + αz + β = 0 và đim P 0 ( z 0.
- Phương trình đưng thng di qua P 0 ( z 0 ) và song song vi d là : z − z 0.
- Phương trình đưng thng di qua P 0 ( z 0 ) và vuông góc vi d là : z − z 0 = αα ( z − z 0.
- Hình chiu vuông góc ca mt đim lên mt đưng thng Mnh đ 2.1.20.
- Cho đim P 0 ( z 0 ) đưng thng d : P 0 ( z 0.
- Ta đ hình chiu ca đim P 0 ( z 0 ) lên đưng thng d là: z = αz 0 − αz 0 − β 2 α .
- 40Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Khong cách t mt đim đn mt đương thngMnh đ 2.1.21.
- Khong cách t đim P 0 ( z 0 ) ti đưng thng d : αz + αz + β = 0 ,α ∈ C ∗ bng D.
- Đưng trònMnh đ 2.1.22.
- Phương trình ca mt đưng tròn trong mt phng là z.z + α.z + α.z + β = 0 , vi α ∈ C v à β ∈ R .
- Phương tích ca mt đim đi vi mt đưng trònMnh đ 2.1.23.
- Cho mt đim P 0 ( z 0 ) và mt đưng tròn có phương trình z.
- z + α.z + α.z + β = 0 Vi α ∈ C v à β ∈ R Phương tích ca đim P 0 vi đưng tròn trên là ρ ( z 0.
- 2.1.6 Tích thc ca hai s phc Khái nim tích vô hưng ca hai véc tơ đã tr thành kinh đin.
- Trong nhiu trưng hp s dng tích này làm cho li gii bài toán đơn gin đi đáng k.
- 41Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 D dàng thy rng a.b = 12  ab + ab.
- a.b + a.c (tích thc phân phi đi vi phép cng);4.
- Gi s A ( a ) ,B ( b ) ,C ( c ) ,D ( d ) là bn đim phân bit.Khi đó các khng đnh dưi đây là tương đương:1) AB ⊥ CD ;2.
- Mnh đ Cho tam giác ABC có tâm đưng tròn ngoi tip là gc ta đ trong mt phng phc.
- Chng minh rng AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 Khi và ch khi AC ⊥ BD.
- Gii S dng tính cht tích thc ca s phc ta có AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 khi và ch khi ( b − a.
- 42Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 T (1) và (2) thy rng CD vuông góc vi OE khi và ch khi AB = AC .
- Gii Kí hiu ch thương là ta đ ca các đim ch hoa tương ng.
- 0 khi và ch khi đưng thngAB và CD vuông góc.
- Gi E,F,G,H theo th t là tâm các hìnhvuông vi các cnh AB,BC,CD,DA dng ra phía ngoài t giác.
- 45Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Bài 3 Trên đưng tròn ω cho trưc hai đim A,B c đnh và mt đim M di đng trên ω .
- Chng minh rngtrng tâm hai tam giác ABC,A 1 B 1 C 1 có cùng trng tâm.
- Chng minh rng tâm đưng tròn Eulerca các tam giác MBC,MCA,MAB là đnh ca mt tam giác đngdng vi tam giác ABC.
- Bài 6 Các cnh AB,BC,CA ca tam giác ABC đưc chia thành bađon bng nhau bi các đim M,N .
- V phía ngoài tamgiác ABC dng các tam giác đu MND,PQE,RSF .
- Chng minh rng DEF là tam giác đu.
- Bài 8 V phía ngoài t giác li ABCD , ta dng các tam giác đu ABM,CDP .
- v phía trong tam giác, ta dng các tam giác đu BCN,ADQ .
- Chng minh rng MNPQ là hình bình hành.
- Chng minh rng: MB + MC = 2 MB cos πn .
- Bài 10 Cho P là mt đim bt kì nm trên đưng tròn ngoi tip hìnhvuông ABCD .
- M là mtđim bt kì trong mt phng tam giác .
- Chng minh rng: a ) a.MA 2 + b.MB 2 + c.MC 2  abc .
- P là 46Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 mt đim bt kì trong mt phng tam giác.
- Bài 13 Cho tam giác ABC có trng tâm G .
- Ta chng minh kt qu sau.Nu z = cos t + i sin t và z.
- Chng minh rng A 1 A 4 − A 1 A 2 = R.
- Đngthc cn chng minh trên tr thành 2 z 6 − 12 iz 3 − z 2 − 12 iz = 1 ⇔ z 6 − z 4 + z 2 − 1 = 2 iz 3 .
- 0 51Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Bài toán 8 Chng minh rng cos π 7 − cos 2 π 7 + cos 3 π 7 = 12.
- Bài toán 9 Chng minh rng:trung bình cng ca các s k sin k o ( k = 2 , 4.
- (1996 USA Mathematical Olympiad) Gii: Đt z = cos t + i sin t ta có đng thc z + 2 z 2.
- nz n +1 z − 1 − z n +1 − z ( z Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 t đây ta thu đc hai đng thc n  k =1 k cos kt.
- Khng đnh đưc chng minh.
- Gii: S dng đng nht thc S 1 = n  j =1 c os 2 jx = sin nx cos( n + 1) x sin xS 2 = n  j =1 sin2 jx = sin nx sin( n + 1) x sin x Ta thu đưc S 21 + S 22.
- Bài toán 11 Tính các tng sau vi θ = 30 o i )1 + c os θc os θ + c os (2 θ ) c os 2 θ + c os (3 θ ) c os 3 θ.
- Bài toán 12 Chng minh rng 1 + c os 2 n  πn.
- u + 1 u 2 + v v − 1 u 2 + v Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 ly phương trình th (2) nhân vi i sau đó cng vi phương trình (1) tacó u + iv + u − ivu 2 + v i 4 √ 2 √ 7.
- 2.2.3 Bài tp Bài 1 Chng minh rng : a ) c os 2 α + c os 2 2 α.
- Bài 2 Chng minh rng : a ) c os 2 π 2 n + 1 + c os 4 π 2 n + 1 + c os 6 π 2 n + 1.
- Bài 3 Chng minh rng vi mi n chn ( n = 2 m ) ,ta đu có: cos nφ = c os n φ − C 2 n c os n − 2 φ sin 2 φ + C 4 n c os n − 4 φ sin 4 φ.
- Bài 4 Chng minh rng : 56Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 a ) sin π 2 n + 1 sin 2 π 2 n + 1.
- Bài 6 Chng minh rng vi mi n l.
- 2.3 S phc và các bài toán t hp Bài toán 1 Tính tng 3 n − 1  k =0

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt