- DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018. - Tìm tất cả các hàm số f. - Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. - Đường tròn đường kính AH và đường tròn. - NP cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn. - a) Chứng minh rằng QR vuông góc OH. - Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác. - MIK tiếp xúc với đường tròn. - Tìm tất cả các giá trị tự nhiên của n để biểu thức (3. - Chứng minh rằng có thể chọn ra trong M một số số có tích là một số chính phương.. - b) Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều câu lạc bộ và mỗi câu lạc bộ có đúng 3 học sinh tham gia. - Biết rằng không có 2 câu lạc bộ nào có 3 học sinh giống nhau. - Chứng minh rằng có 2 câu lạc bộ chung nhau đúng 1 học sinh.. - DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2018 Môn thi: Toán. - Ta có. - Do đó:. - 2 Tìm tất cả các hàm số f. - 1 ta có xf x. - 1 ta có f (1. - Trong (1) ta cho y = 1 ta có xf x (2. - (4) Trong (4) lấy x = 1 ta có f (1 + y. - 1 ta có f ( 1. - Do đó f ( 1. - Trong (4) thay y bởi - y và sử dụng tính lẻ của hàm số ta có. - Cộng theo vế (4), (5) ta có f x. - Với mọi a b , mà a + ¹ b 0 ta có hệ x xy a x xy b ìï. - Do đó (6) đúng.. - Ta có f x. - Từ hai điều trên ta có xf x. - Thử lại ta có f x. - Î x x là tất cả các hàm số cần tìm. - 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. - a/ Chứng minh rằng QR vuông góc OH. - Khi đó AT, BC, B C 1 1 đồng quy tại Q ( do tính chất tâm đẳng phương của ba đường tròn. - BC ) là đường tròn đường kính AH, BC). - Ta có RA 2 = RP RN . - 1 do đó R Q , có cùng phương tích đối với đường tròn (O) và đường tròn Euler ( đường tròn 9 điểm qua P, N, B C 1 , 1. - 1,0 Ta đã biết tâm đường tròn Euler là trung điểm OH nên RQ ^ OH . - 1,0 b/ Ta chứng minh bài toán trong trường hợp như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự.. - Trước tiên ta có H và D đối xứng nhau qua BC và tứ giác HBEC là hình bình hành đồng thời các điểm T, H, M, E thẳng hàng.. - Ta có HIA 1 = HAK. - KTM do đó T, I, M, K cùng thuộc một đường tròn.. - Ta chứng minh T, I, D thẳng hàng. - Khi đó do tính đối xứng thì. - BHJ = BDJ = BDT = BET = BEH = EHC , do đó J trùng với I.. - Khi đó xTD. - TMI do đó Tx cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác TMI hay Tx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK.. - Hay Tx là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và đường tròn ngoại t iếp tam giác MIK, ta có điều phải chứng minh.. - 4 Tìm tất cả các giá trị tự nhiên của n để biểu thức (3. - Xét n ³ 4 , với p là số nguyên tố bất kì, ta có ((3. - Khi đó. - Nói cách khác, ta có 2 k 0. - Khi đó 3 n = 2( n + 2. - Vậy nên ta có. - Tóm lại ta có v p ((3. - b/ Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều câu lạc bộ và mỗi câu lạc bộ có đúng 3 học sinh tham gia. - Ta có bộ. - Do đó tồn tại 2 bộ trùng nhau, giả sử 2 bộ đó ứng với hai tích a a m , n. - Khi đó tích a a m . - Do đó bài toán được chứng minh.. - b/ Giả sử không có 2 câu lạc bộ nào chung nhau đúng 1 học sinh. - Nếu mỗi học sinh tham gia đúng 3 câu lạc bộ thì có tất cả 32 câu lạc bộ, mâu thuẫn.. - Suy ra có học sinh tham gia nhiều hơn 3 câu lạc bộ, giả sử là A tham gia câu lạc bộ thứ 1, 2, 3 và 4. - 0,5 Xét câu lạc bộ đầu tiên có A, B và C.. - Câu lạc bộ thứ 2 có đúng 1 trong B hoặc C, giả sử là A, B và D.. - Nếu câu lạc bộ thứ 3 không có B thì phải có cả C và D, nghĩa là có A, C và D.. - Khi đó không tồn tại cách chọn câu lạc bộ thứ 4.. - Suy ra câu lạc bộ thứ 3 có B, khi đó có A, B và E.. - Lập luận tương tự ta suy ra câu lạc bộ có A thì có B và ngược lại có B thì có A.. - Giả sử A tham gia k câu lạc bộ thì B cũng tham gia k câu lạc bộ.. - Mỗi học sinh còn lại chỉ tham gia nhiều nhất 1 trong k câu lạc bộ này và nếu học sinh đó cùng câu lạc bộ với A, B thì không tham gia câu lạc bộ nào nữa (nếu C tham gia 1 câu lạc bộ khác thì câu lạc bộ đó chung với A, B, C đúng 1 học sinh C, trái giả sử).. - Lúc này còn 30 – k học sinh tham gia 33 – k câu lạc bộ.. - Lập luận lại từ đầu (do 30 – k nhỏ hơn 33 – k), tồn tại học sinh tham gia nhiều hơn 3 câu lạc bộ.. - Quá trình diễn ra vô hạn, điều này là vô lí do ta có hữu hạn học sinh và hữu hạn câu lạc bộ.. - Bài toán có thể tổng quát: Có n học sinh tham gia n + 1 câu lạc bộ, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều câu lạc bộ và mỗi câu lạc bộ có đúng 3 học sinh tham gia. - Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.