- Điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu trong không gian vô hạn chiều 13 2.1 Định lí Fermat. - 2.1.1 Bài toán trơn không có ràng buộc. - 2.1.2 Bài toán lồi không có ràng buộc. - Điều kiện cần cho bài toán biến phân 30 3.1 Bài toán biến phân cơ sở. - 3.3 Bổ đề Du Bois-Reymond và bài toán Bolza. - 3.5 Điều kiện Weierstrass. - 3.6 Điều kiện Legendre. - 3.8 Bài toán đẳng chu. - 3.9.2 Bài toán điều khiển tối ưu. - Điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu được Fermat phát biểu cách đây hơn 300 năm. - Đây là bài toán cực trị có ràng buộc:. - Sau Bernoulli, bài toán này được tổng quát thành bài toán biến phân:. - Điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu trong không gian vô hạn. - Những điều kiện cần cực trị đầu tiên chỉ phát biểu cho bài toán trơn (cho các hàm mục tiêu khả vi) và không có ràng buộc. - Euler giải Bài toán đẳng chu, đưa ra cách tiếp cận đầu tiên cho bài toán tối ưu có ràng buộc. - kiện cần cực trị (Định lí Kuhn-Tucker) cho bài toán có ràng buộc bất đẳng thức.. - Xét bài toán. - Do đó, ta phải giải bài toán:. - (2.2) Nếu x ∗ là điểm tối ưu của bài toán (2.2) thì theo Định lí Fermat ta. - Bài toán (2.2) có nghiệm tối ưu (xem [1], trang 13), nên x. - Có thể chỉ ra rằng bài toán cực trị (2.5) có nghiệm tối ưu (xem [1], trang 13).. - Bài toán lồi có ràng buộc bao hàm thức Xét bài toán. - Khi đó, x ∗ là nghiệm cực tiểu (toàn cục) của bài toán (2.7) nếu và chỉ nếu. - Điều kiện cần và đủ để x ∗ là nghiệm cực tiểu (toàn cục) của bài toán. - Bài toán trơn với ràng buộc đẳng thức Ta xét một bài toán tối ưu đơn giản sau đây:. - Để xác định nghiệm cực tiểu của bài toán tối ưu lồi này, ta áp dụng Định lí Fermat:. - Đây chính là nghiệm tối ưu của bài toán (2.10) với ràng buộc (2.12).. - Xét bài toán tổng quát hơn sau đây: Cho f i : R → R với i = 0, 1. - Lagrange đã xây dựng phương pháp để giải bài toán cực trị có ràng buộc đẳng thức. - Như vậy, để giải bài toán (2.13), ta tìm cực tiểu của hàm L(x, λ 1. - Như vậy, để giải bài toán (2.13), cần xét hàm Lagrange L(x, λ 0. - Mô hình toán học của bài toán này là f (x). - compact và khác trống, nên theo Hệ quả (xem [1]) thì bài toán (2.19) có nghiệm. - Bài toán lồi có ràng buộc bất đẳng thức.. - Xét bài toán lồi. - Định lý 2.2.5 (Định lí Kuhn-Tucker) Nếu x ∗ là nghiệm cực tiểu của bài toán (2.20) thì tồn tại các nhân tử Lagrange λ i. - Trong trường hợp này, (2.22) và (2.23) là điều kiện đủ để một điểm x ∗ thỏa mãn các ràng buộc là nghiệm cực tiểu của bài toán (2.20).. - Điều kiện Slater được M. - Cho x ∗ là một nghiệm chấp nhận được của bài toán (2.20). - Trong trường hợp này, (2.28) là điều kiện đủ để x ∗ là nghiệm cực tiểu của bài toán (2.20).. - Chứng minh: Áp dụng Định lí 2.1.7 cho bài toán (2.22) trong Định lí Kuhn-Tucker ta có ngay kết luận của hệ quả này.. - Bài toán này có dạng giải tích là:. - Đây là bài toán tìm cực tiểu của một hàm liên tục trên một tập compact nên theo Định lí Weierstrass thì nó có nghiệm.. - Điều kiện cần cho bài toán biến phân. - Nghiên cứu điều kiện cần cho các bài toán biến phân là một nguyên nhân quan trọng dẫn đến sự hình thành Giải tích trong không gian vô hạn chiều. - Xét bài toán tìm đường nhanh nhất trên hệ trục tọa độ (x, y). - Bài toán tìm đường lăn nhanh nhất trở thành T = lim. - (3.1) Bài toán này là bài toán đầu tiên của tối ưu trên không gian vô hạn chiều (ở đây là không gian của tất cả những quỹ đạo (đường cong) nối hai điểm cho trước, tức là không gian các hàm khả vi liên tục trên [x , x 1 ] có số chiều vô hạn). - Đây cũng là một trong những bài toán tối ưu có ràng buộc (điều kiện biên y(x 0. - Euler xây dựng phương pháp giải bài toán đẳng chu tổng quát. - Kết quả được Euler trình bày là cách xử lí tổng quát đầu tiên cho các bài toán tối ưu có ràng buộc (xem [1], trang 48). - Tuy nhiên, người được hưởng vinh dự là đã đưa ra cách giải đầu tiên cho bài toán tối ưu có ràng buộc là J. - 3.1 Bài toán biến phân cơ sở. - Bài toán (3.1) thuộc vào lớp bài toán biến phân cơ sở sau đây F (x. - Nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (3.2) trong không gian định chuẩn được hiểu là nghiệm tốt nhất trong một lân cận nào đó. - 3.2 Phương trình Euler Xét bài toán. - là nghiệm tối ưu địa phương yếu của bài toán (3.3).. - là khả vi liên tục và thỏa mãn điều kiện x(t 0. - Bây giờ ta đi tìm điều kiện cần tối ưu của bài toán biến phân cơ sở.. - Bài toán (3.3) là bài toán có ràng buộc, nhưng ta có thể đưa về bài toán không có ràng buộc bằng phép đổi biến như sau. - là nghiệm tối ưu địa phương yếu của bài toán (3.3) thì z. - 0 là nghiệm của bài toán sau. - Giả sử x ∗ (t) là nghiệm tối ưu của bài toán (3.3), tức là F (x. - 0 là nghiệm tối ưu của bài toán (3.4). - Đây chính là điều kiện cần cho bài toán biến phân cơ sở. - C 1 [t 0 , t 1 ] là cực tiểu địa phương yếu của bài toán (3.3) thì. - C 1 [t 0 , t 1 ] là cực tiểu địa phương yếu của bài toán (3.3) và x. - Mà x ∗ (t) là cực tiểu địa phương yếu của bài toán (3.3) nên ta có:. - và điều kiện x(t 0. - Điều kiện (3.6) được gọi là điều kiện cần tối ưu Lagrange cho bài toán biến phân cơ sở.. - Phương trình Euler (3.6) cho bài toán này với L(t, x(t), x. - C không thỏa mãn điều kiện x(0. - Ví dụ dưới đây của Hilbert chỉ ra rằng, bài toán biến phân có thể không có nghiệm trong lớp hàm khả vi liên tục. - Như vậy, nếu x ∗ (t) là nghiệm của bài toán biến phân (3.20) thì x(t. - Nhận xét: Giả sử x ∗ (t) là nghiệm của bài toán Hilbert. - KC 1 [t 0 , t 1 ] được gọi là nghiệm mạnh của bài toán. - với điều kiện x(t 0. - Kết luận: Bài toán trong ví dụ của Hilbert không có nghiệm trong C 1 [t 0 , t 1. - là một nghiệm tối ưu địa phương mạnh của bài toán (3.3) thì nó phải thỏa mãn. - t không thỏa mãn điều kiện Weierstrass, nên nó không thể là nghiệm tối ưu địa phương mạnh của bài toán (3.7) Để chứng minh định lí trên. - là nghiệm tối ưu địa phương yếu của bài toán (3.3) thì. - Bây giờ ta xét một bài toán gần giống với (3.7) trong Ví dụ 3.2.4, chỉ thay đổi một chút điều kiện biên.. - Do đó, theo các Định lí 3.2.2 và 3.6.1, bài toán (3.26) không có nghiệm tối ưu địa phương yếu nên γ <. - là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (3.3) nên theo Định lí 3.2 (điều kiện cần bậc cao) ta có. - là nghiệm tối ưu địa phương yếu của bài toán (3.3) thì không thể tồn tại một điểm liên hợp của t 0 trong khoảng (t 0 , t 1. - Phương trình Euler cho bài toán này là x. - Trong phần này, ta xét một lớp rộng hơn, gọi là bài toán đẳng chu:. - Định lý 3.8.1 Giả thiết rằng các hàm xuất hiện trong bài toán đều khả vi liên tục. - x 2 dt (g ≈ 9.8m/s 2 ) Gọi l là độ dài cho trước của sợi dây, ta có bài toán biến phân sau đây:. - 3.9 Bài toán điều khiển tối ưu và nguyên lý cực đại Pontria- gin. - 3.9.1 Dẫn tới bài toán điều khiển tối ưu. - Một bước phát triển mới của bài toán cực trị là Bài toán điều khiển tối ưu. - Phần này trình bày bài toán điều khiển tối ưu như là sự phát triển của bài biến phân cổ điển.. - Bài toán đặt ra là: Tìm một hàm x(t. - Ví dụ trên cho thấy cần thiết nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ phương trình vi phân tổng quát.. - Trong mục này, ta xét bài toán điều khiển tối ưu với khoảng thời gian [t 0 , t 1 ] cố định và trạng thái kết thúc x(t 1 ) hoàn toàn tự do. - như đã từng làm trong khi chứng minh Điều kiện Weierstrass cho nghiệm cực tiểu địa phương mạnh của bài toán biến phân (Định lí 3.5.1).. - là một quá trình tối ưu của bài toán và điều khiển tối ưu u. - b) điều kiện cực đại. - Đặc biệt, luận văn đã trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân (bài toán tối ưu trong không gian vô hạn chiều).
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt