- BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÀM LỒI VÀ HÀM TỰA LỒI TRÊN TẬP LỒI. - 1 Hàm lồi, hàm tựa lồi trên tập lồi 3. - 1.1 Tập lồi. - 1.2 Hàm lồi. - 1.3 Hàm tựa lồi. - 1.3.3 Đạo hàm và dưới vi phân của hàm tựa lồi. - 2 Bài toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi 22 2.1 Bài toán cực tiểu hàm lồi. - 2.2 Bài toán cực tiểu hàm tựa lồi. - Cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi trên tập lồi là một lớp bài toán cơ bản của tối ưu hóa. - Tiếp đến sẽ giới thiệu hai thuật toán chiếu dưới đạo hàm để giải bài toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi trên tập lồi.. - Hàm lồi, hàm tựa lồi trên tập lồi. - Bài toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi. - Một tập C ⊆ R n được gọi là một tập lồi, nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. - coA là một tập lồi. - coA là một tập lồi đóng. - Vậy tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi.. - k sẽ được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm (véc tơ) x 1. - Cho X là tập khác rỗng, X được gọi là tập affine khi và chỉ khi nó có dạng X = L + a với L là một không gian con và a ∈ X . - (Toán tử chiếu lên tập lồi đóng) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của R . - Gọi y là một véc tơ bất kì, đặt. - (Định lý tồn tại duy nhất) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng. - Khi đó:. - Khi đó ta nói f là hàm lồi (convex function) trên C , nếu epif là một tập lồi trong R n+1. - 0 , nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta có:. - được gọi là một hàm lõm (concave function) trên C , nếu −f lồi trên C. - a T x + α trong đó a ∈ R n , α ∈ R được gọi là hàm lồi. - và C ⊆ R n là một tập lồi khác rỗng và η là một số thực. - với mọi x. - Hàm f được gọi là đóng (closed function), nếu epif là một tập đóng trong R n+1. - Nếu f là một hàm lồi trên R n thì các tập mức L f (α. - Cho E là một tập lồi đóng khác rỗng, một hàm f : R n → R được gọi là nửa liên tục dưới đối với E tại một điểm x , nếu như với mọi dãy x k ⊂ E , x k → x ta có lim inf f (x k. - (i) Trên đồ thị của f là một tập đóng trên R n+1 , tức là f = f. - α} là một tập đóng.. - Khi đó (x j , α. - Khi đó f (x j. - µ j với mọi j. - Cho f là một hàm lồi chính thường trên R n và x 0 ∈ int(domf. - Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên R n . - Cho f là một hàm lồi chính thường trên R n . - (Tính Lipschitz) Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên R n và bị chặn trên trong một lân cận của một điểm nào đó thuộc một tập mở D ⊆ domf . - là một lân cận của điểm x. - với mọi u ∈ B(x). - Theo (1.5) ta có:. - Vậy ∂f (x) luôn là một tập lồi đóng.. - Khi đó ta có:. - ta có: f (x. - Khi đó. - Cho Γ là một tập con của R n , một hàm θ xác định trên Γ ⊂ R n được gọi là tựa lồi (quasiconvex) tại x ∈ Γ nếu. - θ được gọi là tựa lồi trên Γ nếu nó là tựa lồi tại mỗi điểm x ∈ Γ. - Một hàm θ xác định trên Γ ⊂ R n được gọi là tựa lồi. - Cho θ là một hàm xác định trên tập lồi Γ ⊂ R n , đặt Λ α = {x | x ∈ Γ, θ(x. - Khi đó θ là tựa lồi trên Γ ⇔ Λ α là tập lồi với mỗi α ∈ R. - (1 − λ)x 1 + λx 2 ≤ α = θ x 1 , và do đó θ là tựa lồi trên Γ.. - Đặt θ là tựa lồi trên Γ , α là một số thực và đặt x 1 , x 2 lần lượt là các. - Cho θ là một hàm xác định trên Γ ⊂ R n . - Cho θ là một hàm xác định trên tập lồi Γ ⊂ R n , đặt x ∈ Γ là cực tiểu địa phương (cực đại địa phương). - nên ta có:. - Cho Γ là một tập mở trên R và đặt θ là một hàm khả vi trên Γ . - θ tựa lồi trên Γ. - ta có:. - Cho θ là một hàm khả vi trên một tập mở Γ ⊂ R n . - Cho θ là một hàm khả vi trên tập mở Γ ⊂ R n và x ∈ Γ . - 0 với mọi x ∈ Γ, θ(x. - 0 với mọi x ∈ Γ.. - (i) Đặt x là một điểm thuộc Γ . - x∈Γ , nên ta có:. - Cho C là một tập mở trên R n , hàm ϕ : R n → R. - Khi đó ϕ là tựa lồi và ∂ (a − αb)(x) là một tập con của ∂ GP ϕ(x. - 2.1 Bài toán cực tiểu hàm lồi. - Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của R n và f : R n → R . - Hơn nữa tập hợp các điểm cực tiểu của f là một tập lồi. - Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của R n . - f (x) với mọi x ∈ C . - trong đó X ⊆ R n là một tập lồi đóng khác rỗng và f, g i (i = 1. - Bài toán (OP ) này được gọi là một bài toán quy hoạch lồi. - k) affine nên D là một tập lồi. - lồi, f, g i lồi và h j affine hữu hạn trên X nên C là một tập lồi, khác rỗng trong R m+k+1 . - 0 với mọi i . - 0, ta có:. - Ta có λ ∗ 0 >. - ta có x k ∈ X . - Chú ý rằng thuật toán này có thể áp dụng với D là một tập lồi đóng bất kỳ.. - Khi đó bài toán cực tiểu hàm tựa lồi được phát biểu như sau:. - (OP) trong đó g : R n → R là một hàm tựa lồi trên C. - Cho C là một tập lồi đóng của R n , chọn một dãy thực {α k } thỏa mãn các điều kiện sau:. - Nếu g k = 0 , thì ta dừng lại: x k là một nghiệm.. - ta có g(y. - 0 với mọi y ∈ C. - Cho C là một tập lồi đóng của R n , với x k là điểm lặp ở bước k . - 1 , ta có:. - g x k , ta có:. - 0 và k 0 là một điểm sao cho k >. - Theo Mệnh đề 2.2.3 ta có:. - Theo Mệnh đề 2.2.3 ta có: x k+1 − z 2 ≤ x k − z 2 + 2α k. - Chọn z = x k q , ta có: x k+1 − x k q 2 ≤ x k − x k q 2 + 2α k. - ta có lim. - Đặt x là một điểm giới hạn của {x k i. - Khi đó theo Bổ đề 2.2.4 (a), ta có:. - Kết luận trong chương này trước hết chúng tôi đã trình bày về bài toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi. - Trình bày về bài toán cực tiểu hàm lồi và hàm tựa lồi
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt