- TĂNG HẢI TUÂN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC. - Chứng minh rằng 3(a 2 + b 2 + c 2. - 1 Đầu tiên, ta sẽ chứng minh. - Bất đẳng thức trên tương đương. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.. - 2 Tiếp theo, ta sẽ chứng minh. - Bất đẳng thức này tương đương. - Như vậy, ta chỉ cần chứng minh a 2 S b + b 2 S a ≥ 0, tức là chứng minh. - Bài toán được chứng minh xong.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b, c = 0.. - Đổi biến a, b, c bởi a 2 , b 2 , c 2 ta cần chứng minh. - (a 2 − b 2 ) 2 + (b 2 − c 2 ) 2 + (c 2 − a 2 ) 2 ≥ (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 , tương đương với. - Theo bất đẳng thức Schur bậc 4, ta có. - Do đó ta cần chứng minh. - Bất đẳng thức này luôn đúng vì theo AM − GM thì a 2 + b 2 ≥ 2ab, b 2 + c 2 ≥ 2bc, c 2 + a 2 ≥ 2ca.. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 hoặc các hoán vị của nó.. - Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương (a + b + c)(. - Sử dụng các bất đẳng thức này và bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta được. - Mặt khác, theo bất đẳng thức Schur bậc 3 ta có. - Cách 4: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương (a + b + c)(. - Sử dụng các bất đẳng thức này ta được. - Chứng minh hoàn tất nếu ta chỉ ra được. - a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4(ab + bc + ca), tương đương. - Do đó ta cần phải chứng minh 2 (ab + bc + ca). - hay là chứng minh. - Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo Cauchy − Schwarz. - Dễ thấy rằng khi abc = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.. - Vì bất đẳng thức hoàn toàn thuần nhất, nên ta có thể chuẩn hóa abc = 1.. - Sử dụng bất đẳng thức AM − GM , ta có (a + b + c)(. - Do đó, ta cần chứng minh. - Từ đó, chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được. - Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bài toán được chứng minh xong.. - Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.